09.零基础考点精讲9-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:24:11

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先听一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的这个零基础提前学的课程，那么今天的核心重点，我们最后还有一点点核心知识点就是这个分段函数求导。把这个内容讲完了之后啊，

我们所有部分的政客部分东西啊，我们就全部结束了，然后在这里面当中啊，这节课呃，剩下部分时间，我们把之前部分的这个作业啊。我们来给同学们进行做一个这个精讲，然后大家有问题的题，然后一会儿过程当中啊，你们就可以跟我一起来进行去互动一下。好了，那么接下来首先第一事情，我们先来回顾一下，在上节课部分当中啊的核心知识点，那么在上节课过程当中，

其实我们最重要问题啊，讲了一个事情，就是导数计算。那么，首先第一个事情，你必须要具备的基础知识，第一个事情导数表。对吧，这张表没有任何商量余地，你必须要把这张表记住里面当中啊，每个部分的导函数，你必须要是掌握得非常熟练。好，这是第一事情，第二事情就是四则运算法则，

那么加减法，乘法，除法数乘，它们都是怎么进行去导数计算的？那么，接下来过程当中，我们来看看各种导数计算型的类型问题。那么，先看第一种复合函数求导。那么，在复合函数求导当中啊，它的核心方法非常简单。其实就是使用了链式法则，对吧？在这里面当中，

你发现y对这个x求导，我就可以让这个y先对u求导。u在对这个什么东西啊s求导利用这个列式法则，其实就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导。把这个事情掌握清楚就行。好，这是我们在这里面当中要介绍的第一个问题，然后紧接着第二事情幂值函数，如果拿到幂值函数求导怎么做？我们有两种方法，第一种方法就是幂值转换，第二种方法就是取对数。取完对数了之后啊，然后这个方程两边同时对s求导，

但是我怎么讲呢？我说将来过程当中只要见到幂值函数。你就去想一个事情就行，就是幂值转换，如果在这里面当中碰到了u的v。你立即把它变成多少e到v倍的l引用唉，进行一下幂值转换，然后再按照复合函数求导来做。唉，这件事情你掌握清楚就行了，好了，那么接下来我们再看第三个事情，你要这里面当中啊，区分两个符号，那么这里面当中你发现我这样写。

跟这样写这俩东西一样不一样。唉，很明显不一样，第一个东西什么意思啊？第一个东西是这个复合函数。咳咳咳。这个人，然后这个人呢，对中间变量求导，然后下面这个人呢，下面这个东西是这个复合函数去求导复合函数去求导，就是对自变量求导。所以说这两个人呢，你必须要区分开，对吧？

第一个人什么意思？第二人什么意思？如果对中间变量求导，你发现怎么做？就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，就这个人对自变量求导，就这样做的好，这是我们在这里面当中啊介绍的第一个问题。然后紧接着我们再来看第二点，隐含数学导，那隐含数学导最重要问题的标志是什么？就是方程。我们在这里面当中，你发现你看如果拥有两个人的这个方程，

然后确定了一个一元函数。唉，它其实就叫一元引函数，然后在这里面当中怎么做呢？方程两边同时对s求导，但是在这里面当中要注意一个事情。这里面当中的y啊，不是个常数y中是有x的好了，这个隐函数求导难度系数不是说特别大，你最重要问题就是。它两边同时对s求导就行，要求二级导两边再同时对s求导，注意一个事情，如果求该点处的值直接带进去就行。好，

这是第二个问题，第三个事情参数方程。如果是参数方程确定的函数，那么在这里面当中，比如说s=xt，然后这里面当中的y=yt。我确定了一个函数y=fs，那么请同学们告诉我这个函数怎么求导？那这个函数的话，你发现如果进行去求一阶导。其实就是y对t求导，然后再比上x对t求导。然后在这里面当中最重要问题其实就是二阶导数计算，二阶导数计算怎么做？二阶导其实是一阶导数对t求导。

然后再补上一个什么x对t求导分之一。把这个事情一定要想清楚，对吧？这个内容是三九六同学，我们单独考，然后数三同学，他们不考的部分内容，所以把这个知识点呢，一定要把它想清楚。好了么？同学们唉，这就是我们在上节课过程当中啊，讲解的几个知识点，我相信难度系数也不是说特别大呃，这个部分的东西啊。

它其实就是需要跟这个高中帮部分的东西啊，稍微的契合一点点对吧，尤其是导数表里面当中好多个都是我们在高中过程当中啊，学过的内容。好了，这个知识点我们就讲到这，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看，还有最后一个人叫做分段函数去求导。那这个部分的知识点在考研过程当中啊，也是非常重要的，那么首先第一个事情我们先来看看分段函数的求导法则。coding分段函数。求导法则。那么，

如果遇到一个分段函数，我们如何进行求导呢？那么，在这里面当中呢？它的求导性方法分成两个事情。第一个事情就是它的分段点y对吧？你是个分段函数就有分段点y。那么你肯定有分段点啊，你分段点的外面怎么求导？还有一个什么事情呢？就是分段点上。唉，这两个人一个是分段点外，一个是分段点上，那么在分段点外怎么求呢？

我们叫做直接求。分段点y直接求。啊，这是第一个事情，然后在这个分段点上怎么办？我们用定义。用这个定义啊，就是用导数定义，所以它的核心方法论非常的简单，就是分段点y，直接求分段点上用定义。这个分段点的外面，你就直接计算就行，这个分段点的上面，你用这个导数定义来做，

所以接下来我们来看一个题。我们来试一下，先来看看这里面当中的六点一零这个题，你看这个题怎么做？好，我们来看看这个题目。那么，在这里面当中啊，给了一个分段函数，然后让我们去求解这个分段函数的导函数，那怎么操作分段点y就直接求什么叫做分段点y啊？你看分段点是零吧，不包括这个人就叫外面，你看这个大于零就叫外面，然后这个小于零也叫外面。

但是你发现一个事情等于零呢，等于零，这个人叫做分段点商。唉，所以说大家注意分段点外直接求分段点商用定义，那么在这里面当中，我们先看第一个事情，如果这个人导函数呢？分段点外求导，其实就是这个s in进行求导。s in求导刚好是cos。然后第二事情分段点y直接求，其实就是这个x求导，那这求导是几求导是一？好，

这是第二任，那么在这里面当中，我们再看第三个事情分段点上呢？分段点上得用定义。那大家想一个事情，分段函数在分段点上求导，用导数定义，而且你发现大于零和小于零不一样。两侧不一样，那请告诉我事情在这个题当中需不需要分呢？当然要分，所以在这里面当中，我们就需要分成右导数，还有在这里面当中分成左导数。那么，

接下来我们就继续看你发现这个人导数定义就是x趋向零正。好先写fs是多少fs？刚好是这个人，那f0是多少呢？把零带进去是零。fs减去f零比上s减零，所以说这里面当中就是limits趋向零帧s分之s in这个极限，这个极限就是一呀。那么，接下来我们再来看看第二事情lay mates趋向零负好，继续看fs，那就是比零小，比零小就是s-f零。比上s- 0，那这个极限也是一样。

那这两个东西当中的左右导数都是一，那就说明一个事情，该点处的导函数就是一，因此在这里面当中啊，我们就可以写了。那所以说这个人的导函数马上出来，那这半边的导函数是你这半边导函数是你如果这个大于零是你。然后在这里面当中小于零是你。那等于零呢？等于零，等于一。那等于一的话，你发现挂这个上面行不行？可以啊cos in零九11挂这个下面行不行？也可以啊，

那所以说这里面当中啊，两边随便挂，你就挂到下面去就行。啊，无所谓的，好了，这个导函数我们就计算完了。所以你发现一个事情，有些同学以为这个导函数怎么算出来的？他这个叫做学艺不精啊，他认为说这个处的导函数是你这个处的导函数是你就做完了啊，这是纯属瞎做。大家注意，我们现在这个题啊，算出来这个东西啊，

是一种巧合。刚好在这个分段点上，它就是一挂上去的。所以一定注意分段点上是用定义来做的。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个题，你注意啊，这种考点是必考的，我们在考研过程当中啊，特别喜欢出分段函数。所以往往每年过程当中啊，有一道题要注意一下，这个事情好，我们再来看例二。

那么，这里面当中啊，我们再来写一个函数啊，你来试一下这个人。如果在这里面当中，我们说这个大fs啊。它等于这个人，它等于x方倍的这个sin x分之一。然后这是x不为零，然后这是x=0=0。我在这个题当中啊，我让你去求两个事情呃，这个题啊，第一问吧，我就写一个大题来做，

但是没关系啊，出成选择题很好出。第一件事情我让你进行去求解，这个人导函数。第二事情我让进行去判定。导函数在这个x=0处。是否连续。连续吗？好，这是这两个问题呃，那么接下来我给你这个30秒时间吧，然后你赶紧动手做一下，你把这个里面当中的第一问给我进行去动手啊，把它写一下。好，

动手吧。呃，写完了给我回复二啊。求解这个人导函数。一个分段函数求导怎么去做？好，写完了给我回复一下啊。呃，难度系数应该不是说特别大对吧啊，就基本上这个导数计算上节课的内容，还有上上节课内容。上上节课，我们学导数定义上节课，我们学导数计算啊，所以说把这两个事情综合一下就行了好了，

那么接下来我们来看看这个题来解吧。第一个人直接求导，那么在这里面当中啊，分段点y直接求当x不为零的时候，那这个人的导数是多少呢？很明显一个事情，这个人进行求导，其实就是这个x方再乘上sin x分之一的导函数。那这个人导函数呢？就是前导前导是2s，后面这个人不导，然后再加上。前面这个人不倒，后面的倒。后面怎么求导？

先对这个中间变量变成cos in中间变量，再求导x方分之负一，跟得上吗？我相信你把作业练习了之后啊，这个东西不是说特别难，然后整理一下，其实就是二s倍的sins分之一。然后再减去coss方分之一s分之一。好，这是这个人，然后紧接着我们继续再看s=0。那么，在等于零的过程当中啊，我们就使用这个导数定义来做就行，那么在这里面当中，

我们来写一下f导零，那么其实就是limits趋向零。fx-f零比上这个x- 0。是不是这个事情那么接下来我们就写一下这个定义x趋向零趋向零的时候，你发现是不为零，那不为零，不就是这个人吗？所以在这里面当中，就是s方再乘上s in fs分之一。f零是零啊，然后比上s减零，那所以说这个人就变成了limits趋向零x倍的sin x分之一。无穷小乘，有阶无穷小无穷。小的极限是零。

所以说这个题啊，立即就破题了，因此在这里面当中赶紧把这个大f导写下，那这人等于多少呢？它就等于二s倍的sins分之一，然后减去cos分之一，这是不为零。然后当x=0的时候，它就等于零好，这是第一问行吧，听明白了给我回复一。呃，这个第一问呢，难度系数不大，就是分段点外直接求，

然后在这个分段点上上定义就行，把这个思维方式掌握清楚就行。那么，接下来我们关注点，我们再来看看第二问。第二问当中说什么，他说这个导函数连续不连续。那我想问你一个事情，怎么判断导函数的连续性啊？连续就是一句话，连不连续就是极限，等不等于函数值。所以说在这个题当中，你发现你的核心思想就是一个事情，你就要进行去求，

趋向于零，它的极限。然后这个点处的导函数值看看两者之间相不相等。对吧，就看极限到底等不等于函数值，如果极限等于函数值，它就连续极限不等于函数值，它就不连续。那么所以说这个问题点就出来了，我们就来求呗，再来看看第二问。怎么办？来求极限，求趋向于零导函数的极限，那我想问你个事情。

区域限位零到零了吗？没有到零。没有道林对谁求极限，就对这个人求极限。那么，在这里面当中，我们来看看这个题，那这个极限等于多少？先来看第一个人无穷小，有阶无穷小乘，有界无穷小无穷小的极限，这是零。没问题吧，但是你发现一个事情，这个coss分之一的极限呢？

这个人在零处是什么情况？我原来给你讲过这个事情，这个sins分之一在零处和coss分之一在零处是正当的吧？所以同学们注意，这个部分是正当的。其实就是不唯一的不存在，因此你发现这个极限结果是不存在。那你既然不存在，你肯定不会等于该点处的导函数值啊，因此你就发现一个事情，马上说这个导函数这个人。在临处不连续。唉，绝对不连续好了，这个题啊，

我们就讲完了，所以很容易进行，就出成一个道这个呃，选择题啊，你非常简单，你比如说这个a，我说下列。啊，说法正确的是对吧？我说这个if导零=0，if导零=1，导函数等于这个人或者导函数再等于别人，然后导函数连续导函数不连续说上列叙述当中有几个是正确的？你看一做就是一个选择题，所以下去过程当中啊，

把这个基本知识点一定要练透，能听懂我的意思吗？好，这是例二这个题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看六点一这个题啊，这个题啊，非常的不错。那么，这个题当中，你发现他给了一个什么情况？他说这个人等于max。哎，等于三者之间的最大值，

然后让我们去求解这个人导函数。你说这件事情怎么做？对吧，最大值我们之前重点讲过，你见到最大值，最小值，绝对值取，整它都是分段函数。所以说首先第一个事情，你可以画一张图，然后怎么办呢？把这个函数确定一下，那么在这里面当中，你发现这是第一个人。哎，

这是y=S曲线，这是y=s这个人。然后这是y=x^2这个人。然后在这里面当中，我们再看三次方，三次方是这样，唉，这块比它低一点，然后这块比它高一点，而这个部分的焦点是几焦点是一？那所以说这个最大值就出来了，那么最大值的话，你发现看这一段的时候是它。然后这个中间这一段的时候是他。然后再一段的时候，

你发现是他。而且这话你发现这个点和这个点是个交点。所以说这个函数就出来了啊，这种题啊，出给我们非常的好。所以说在这里面当中的第一个事情，赶紧来看那小fs，这个人等于多少，他其实有三段。第一段的时候是x方，第二段的时候是x，第三段的时候是三次方，然后在这里面当中，如果x是怎么办？小于零的数是它，

如果是零到一的数是它，然后大于一的数是它。唉，就是这个三段那么在这里面当中等于零和等于一呢，那无所谓，因为你发现看这个等于这个零的话，在左边在右边都一样。在左边和在右边都一样，因为在这个点处是连续的，它不断，因此你发现你就挂在这儿，挂在这儿都行，无所谓的这个人。好了，这是第一个事情，

那么接下来我们就可以求了分段点y，直接求来则。求导那么在分段点外就直接求分段点y点y点y。直接求那这个直接求就是2s直接求就是一直接求就是3s方哎，分段点y直接求。然后在分段点上呢，分段点上得对这个人用第一。好，我们一起来看看当什么情况，当x=0的时候。好，我们要用定义。但是你要注意一个问题，临出的左边和右边一样不一样。它不一样，

小于零的数是x方，大于零的数是x两边是不一样的。所以说这个时候你发现一个事情，这个函数在该点处的导函数就需要分左右。所以在这里面当中啊，你发现他有诱导出这个人，他也有这个人，左导出这个人。对吧，两边就需要分享，那么首先我们先看第一个事情，那就趋向零正，然后第二事情就是趋向零负。那么，趋向零正，

我们来写一下这个事情，就是fs-f零比上s- 0，那么首先我们先来看看趋向零正。那你想趋向于零阵式比零大。但是你发现你看这个比林大有两个人呐，注意一个事情，比林大一点点。大一点点是谁呀？大一点点就是它，所以说这是sf 0是零比上s- 0。然后接下我们再看，那么这个时候你发现看这半边还是ifs-if零比上i- 0，然后这个时候的话，它就变成了limits趋向零负。然后这是s- 0，

那就比零小比零小的话，它刚好是x方，然后减零，那这是一吧，然后这半边呢？一÷1下是xx，极限是零。那所以说很明显一个事情，你发现它不相等啊，那不相等就说明在零处的导函数不存在。哎，这个导函数就不存在。其实你发现这是一种方法，当然在这里面当中啊，我们还可以用别的方法来判断。

其实你通过这个图像，你都能看出来，在这个点不可导。就这个点呃，非常好看，那么同学们想想一个事情，你这半边是平方吧？平方这个人的导函数是2x。所以说在零处的导函数呢，这一块的切线斜率就是零。因为导函数是零，你在这个点处切线斜率是零，而这一段是x导函数是一，你有没有发现你看？你这边儿导函数是零，

你这边儿导函数是一，很明显两个导函数不相等啊。你既然这两个人导函数不相等，很明显就不可导。那这就是一定的。所以说从图像上就能看出来，也就说你发现这个人的左导数是零，右导数是一。那我想问你个事情，你速战速决啊，你来告诉我个事情，这个函数在这个点处可导吗？哦，赶紧给我看。请问同学们，

这半边的这个左导数是多少？诱导数是多少？左半边这个人呢？你发现是x。x这个人导函数刚好是一。所以说左导数是一，然后右半边呢，右半边是x三次，方导函数是3x方。所以该点处的导函数就是三。因此你猜都能猜出来，这半边的导函数是一这半边的导函数是三对吧？左右两边导数都出来了。肯定不可导。其实这件事情也就是我们经常讲的什么，

这叫做在这个点处啊，不光滑。哎，不光滑。一点都没有开玩笑啊，就是不光滑，只要不光滑就不可导。我怎么看看光不光滑呢？你用手机进去摸一下都行，对吧？只要在这个点处冒尖了，冒出了一个尖。它就不可导，所以在这里面当中，你可以去求一下两边的导函数，

你大致的看一看，那这个事情就出来了好了，在这里面当中，我们继续，我们再来看第二事情。来看一下这个x=1处，我们算一下嘛，你看是不是一边是一一边是三，你试一下，然后在这里面当中，因为这个一的左右两边一样不一样。你看小于一是它，大于一是它两边不一样就要分，所以说在这里面当中需要分成一阵。和衣服。

好，先看看仪征。一阵就是fs fs比一大的时候，你发现是三次方。f1这个人是一。对吧，因为小f1这个人是一，然后再比上s- 1，然后接下来我们继续看limits趋向多少一负？一负的时候比一小小一点点，是s该点处值是1 s- 1，这是一那么同学们告诉我这个结果是多少？这个极限怎么做？有的说啊，老师，

我把这个上面东西进行立方差公式除一下，然后这个东西就出来，没有必要你发现一个事情，你看这。这个题是个零比零型，未定式一个洛必达就出来了。对吧，我一次洛必达就出来了，我下面求导没了，然后上面求导是它，它就等于三两者之间不可不相等。所以说在这里面当中，问题点马上出来。你看左右导数都存在，但不相等，

那就说明在这个点处不可导呗。而你从图像上也能看出来，你看这半边的导函数是几一，这半边导函数是三，看得非常的清楚，好了，这个六点一一这个题啊，我们就讲解到这。所以说在下去过程当中啊，把这个问题点你看清楚一点好了，这是我们在这里面当中讲解的这个题，来继续吧，下面过程当中还有个题啊把。把这个铁啊，我们继续灭掉。

来看看这个题吧。好看一下这个题。呃，这个题啊，是我们这两年的过程当中的考研真题啊。啊，这是我们的真题，三九六同学的真题。把这题做下来。你看这个题的考察方式啊，其实就非常简单了。你看第一个事情，它让我们去求零处的导函数，分段函数，在分段点处的导函数。

第二事情呢，让我们去求一处的导函数，分段函数，在分段点外处的导函数。说这个题，它的考法的话，你非常清楚它到底怎么去考这个事情，首先第一个事情，我们先来看看分段点y。当s怎么办？不尾。如果这个人不为零的时候就是分段点y，那分段点y的时候你发现这个人导函数怎么算？就是直接求那直接求的话，其实就是这个x分之多少呢？

x分之这个s in它的导函数。那这个导函数是多少？这个平方上面求导是cos乘，下面减去下面求导乘上面。好这个人，然后在这里面当中，你马上把这个一带进去一可以啊，因为分段点y1往这一带没了，然后这是cos 1再减去s in 1。呃，这个题啊，我们考生选择题都还好。不然的话，有些同学就离谱了，有人说多少cos多少等于1 cos 0=1 s in多少等于1s in 2分之派等于一。

同学们，对不对？不对的。你想的那个东西是arc cosy。arccosine的时候你去想cosine多少等于一。arcsine的时候你去想sine多少等于一，但是同学们注意一个问题，这个题就是cosine 1和sine 1啊。不要乱来啊，就这个结果好，这是第一个事情，然后接下来我们再看第二个事情当s=0的时候。如果等于零的时候，你发现在这个点处，我们就可以用导数定义了，

那么在这里当中x趋向零继续写。然后这个是多少呢fx？减去f0是几一？比上x- 0，所以说这个极限结果就变成了x趋向零，然后这是s in-x比上平方。这个题啊，你可以慢慢做，然后在这里面当中，我们都知道当s趋向零的时候，三再减去s立即等价无穷小于多少。负六分之一x三次方能做到吗？所以说这个时候一除就是limits趋向零，然后这是负六分之一s就等于零。当然，

在这里面当中啊，你作为一个高手，你可以眼睛稍微的漂一下就出来了，你看上面是个三阶无穷小。下面是个二阶无穷小。高阶无穷小比上，低阶无穷小极限。结果必然是零。所以说这个结果立即出来了。那你想这两个人一加两个，一加不就是cos1-s in1嘛，cos1-s in1答案选a。好，这是我们在这里面当中啊，考研真题啊，

对吧？考的难度系数不是说特别大，都是一个第一事情最基础的导数计算。第二事情，你发现这个导数定义的应用。把这个事情你要想清楚好了吗？同学们。哎，过去了。好了，这是这两个题啊，我们接下来过程当中啊，我们这个正课部分的东西啊，就全部讲完了，所以说我们在这个考研过程当中啊，

这个零基础提前学的阶段。我们就正式讲完了，那么其实我们在这个阶段的零基础提前学课程呢，我们的核心重点其实重要讲了两个问题。一个事情是极限问题。一个事情是导数问题啊，这两个事情跟我们的基础班会有完全的衔接。所以说下一轮过程当中，我们去讲这个极限部分呢，我希望同学们能够提前把这个零基础提前学部分的东西啊，稍微的进行再看看。那么，接下来我们来看看这个作业部分吧，这个作业完成了没有？应该都做完了吧，

这个作业。好了，那么接下来我们把这个作业部分的一些题啊，大家尤其是有问题的题，我们把这个部分的东西啊，我们再来给同学们进行去讲一下。呃，我们先来看看这个第一次作业吧。好，先看看第一次作业。你看看第一次作业哪个题需要讲？我记得第一次作业里面当中一些题我都讲过这个题啊。呃，我们一个一个看吧，我们先看第一次。

第一次作业的话，其实重要的话就是函数的性质，还有这个无穷小比阶的问题嘛。这是讲过的是吧？呃，第二次呢？看看第二次。呃，第二次作业说过吗？前两次都讲过了是吧？好了，这两次我们就过去了。啊，都说过的话，我们来看看第三次。

呃，就是这个七种未定式的这个专题计算。嗯，连续和间断也都说过了吗？就差最后一次了是吗？好，我们来看看最后一次啊，倒数零。好，来看看这个，这次作业。这次作业当中啊呃，首先下去过程当中，我建议同学们还是要进行去重点看看，就是那个连续性，

还有那个可导性之间的关系。那个部分的东西还比较重要一点，那就是尤其是你不光要记住可导必连续对吧，连续不一定可导，但是它的本质到底讲的什么事情，你把这个东西啊，你要好串串。好了，这个题啊，里面当中有哪个题需要讲的吗？啊，都不需要，那就有意思了啊。啊，需不需要？

好了，重点看看吧啊，看看这个题。今天刚好是元宵节，对吧啊？我这个今天刚好两节课啊，下午刚上了一节，然后晚上是我们的这个课程。好，我们来看看这个第几题啊？第四题吧，这不能说第四题全讲吧？好了，那么这个题啊，我们来重点的说一下这个事情。

来看看第四题。来看看这个题。那么，在这个题当中啊，你发现呃它考的是什么呢？就是给了一个极限，然后让我们进行去凑倒数第一。对吧，就是来凑导数定义，那么凑导数定义怎么做呢？两件事情一凑结构二看零。所以说大家注意一个事情，你就要把这个东西啊，往什么上凑呢，就是往这个x0+1个东西，

然后再减去fx 0。比上一个东西，上面蹭。这是你要做的第一个事情，你先进行去把这个结构凑出来，这叫一凑结构，第二事情我们再来看零。那在这里面当中的重点其实就是我们要到底来看看这个部分的极限到底是不是零？是零正还是零负？还是既能零正也能零负？那么，在这里面当中啊，我们看看第一个人，第一个人非常简单了吧？你看这种结构的话，

你就往上面凑呗，他已经写的非常好了，他写的是多少a加上h分之一？所以说我肯定会把h分之一当做成框。然后在这里面当中，我再减去fa。好，这是第一个事情，那就要除上a分之一，你除上a分之一，你把这个人除下去，除下去就变成这个人。h趋向，正无穷。所以说第一件事情，

这个结构出来了。结构出来再看零，你发现一个事情，这个极限是不零？无穷大分之一的极限当然是零。所以说这个部分的极限就是零，但是要注意一个问题，你发现一个事啊，你这个人趋向正无穷，我h分之一只能趋向零正。所以说这个人的话，结果的话应该是a处的什么导数诱导数唉，不是导数，是诱导数。好了，

这是第一个事情，那么接下来我们就继续呃，不用着急啊，是这个2月10号左右才开始寄送，不用不用进行催那个讲义的问题，我们这个基础班还没开始，你拿到的话你就放在那了啊。好了，那么接下来我们再来看看第二题来继续。再往这个结构上凑，所以说在这里面当中啊，你看这是a+-h，应该把它调一下。所以这个内容的话就写成a，加上负h。

对吧a+-h，然后这个时候再减去fn，你上面是不是调了一下，调了一下，把这个人调下面来？然后这个h趋向零。那这个时候你发现一个问题h趋向零的时候，这里面当中的负h是不是也是零？你临正我临负，你临负我临正，所以说这个人呢，其实就是a处的导函数，唉，这是个充要条件啊。a处导函数，

那么接下来我们再来看看第三个人，那第三个人的话，你看我这个人加上这个人。我就要比上这个人，然后前面来个。那么，当h进行趋向零的时候，你再来看那么h趋向零的时候，这个部分它就趋向零。对吧h趋向零的时候，你发现一个问题，那这个部分就趋向零，那你是零正，我是零正，你是零负，

我是零负。所以说这个部分的东西啊，它刚好其实就是a处的导函数。所以说这个题啊，我觉得难度系数倒不大好，我们来看看第四个点。第四个人呢？你稍微的进行注意一下他这个结构已经给你写的非常好。结构是不是写出来了？那么所以说第一个事情，我们把这个东西啊，往这个什么导数定义式的结构上凑，那其实就是a，然后再加上个框。s0加上框，

然后再减去fs 0，我在这种当中，你发现我就需要比上这个框。但是你发现没有这个人呢？没有这个人就补一下，补一下了之后的话，这个人再补个s方那就可以了s这个人呢？刚好去向零。所以说这个时候的话，你发现这个结构，我们就往这上面走，然后在这里面当中，我们来重点看看，你发现这个极限是几啊？是一吧，

这个极限是一。而且这两项之间是乘除法，乘除法中的非零项，它的名字叫什么？它的名字叫做非零因子。所以就淡化出去了，那么在这里面当中，我们就来看，当你结构出来了，再看零你看看这个人零。也就说，当x趋向零的时候，你发现这个s in方是不是趋向零？当然趋向零，但是有一个问题。

就说无论你这个人是零正还是零负，但是你的平方永远都是零正。对吧，但是你发现这个人永远都是凌晨啊，可以的也行。因为你发现三应方等价无穷，小于这个平方平方也可以等价乘它啊，这两个东西是没有问题的，但是你最好按照刚才的这种套路去做都行。因为都是为了后面部分东西啊，进行铺垫的好来啊好了，那么接下来我们再来看s in那s in这个人呢，你画一个大致的图像你都知道。你看看这个s in这个人。那么，

赛因这个人的话，你发现我这个人是趋向廉政的。所以说这个函数是这样趋向零，因此你发现你只能保证这个人是零阵。你既然只能报志是领证，那这人就是代表什么？这代表诱导数。能理解吧，不是导数，是诱导数好了，这是我们在这里面当中介绍的第四个人，可以了吧？来继续啊，我们再来看看最后一个人。最后一个人，

第五个人结构出来了吗？结构出来了，结构出来再看零我们就来看看这个人。那么，这个人的话，你发现x趋向零三次方，当然趋向零啊。那三次方趋向零的话，而且在这里面当中，你来发现一下这个大致的图形，它的图形就是这个样子的。所以在这里面当中，你看你是趋向零负，他是这样趋向零，你是这样趋向零，

正他是这样趋向零。所以在这种当中，它应该是既能零正也能零负，因此这个东西啊，它就代表了a处的导函数。好跟上我的意思嘛啊，所以说这个题非常非常重要，这对我们在考研过程当中我们都做的这些题，它是非常关键的。我们基本上而言的话，在考试过程当中啊，喜欢这样出啊。好了，继续啊，再来看。

呃，你如果可导性，连续性之间的关系还不清楚，你自己去把那个课程部分的东西你再串一串啊。你自己都知道哪块不清楚，你为什么不找到那个部分的课程，然后把那个东西啊，你再进行去补一补，我之前过程当中我都跟你说过了。你自己稍微的挑点时间。对吧，你挑上个五分钟的时间，然后冷冷静静的找张白纸去，把那个东西进行去串一下，什么东西都清楚了。

他其实没有考数学能力，他都是你的语文能力好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个第六个题是吧？好，来看看这个人。好看一下这个人。呃，那么这种题啊，大家注意这种经验性的结论呢，把它掌握清楚，大家好好听啊。这个类型问题是这样，它的内容点叫做抽象的比值极限存在。你看抽象的比值极限存在，

而且这个函数在这个点处连续，我立即可以求出该点值。和该点导航主旨。大家记住这个问题，我再说一遍，看到抽象的比值极限存在。而且连续我立即可以求出该点值和该点导函数值，怎么求的呢？第一件事情定型求该点。你下面这个人的极限是零笔直极限存在，下面这人极限是零，那就说明什么上面这人的极限也是零。而且你发现这个人在这个点处连续连续极限等于函数值。所以说这个点处的极限又等于这个点处的函数值，所以你告诉我f0是不是等于零？

出来了吧，所以因此要记住这个事情，抽象到比值极限存在，且连续。定型求出该点。对吧，定型下面极限是零，上面极限是零。极限是零，又因为连续极限等于函数值，函数值是零，第二件事情，然后凑倒数第一，注意啊，第一个事情定型，

求该点。第二，事情凑定义，求该点导函数值，这是非常重要的经验，所以第二件事情我们就来进行去凑导数定义。s趋向零，然后这时fs-f零比上s- 0，而你发现因为f0是零。所以说这人极限就变成了这样。那同学们怎么做用已知凑位置，你就怎么办呢？你就用这个极限去凑这个极限。所以在这里面当中，我们来重点来看看，

这是limit x趋向零，而我们的知道的是什么呢？我知道的是这个平方，所以你看我补一个x我这是不是来个x？为什么用已知凑位置嘛？我们经常讲，若要寻求不可知，需要用已知凑位置，不要用未知凑已知。那么所以说在这里面当中，马上就出来了，你看第一个极限是二零二四，然后第二极限是零。因为两个都存在，就可以拆，

所以说它是零。你看这种类型问题啊，它就出来了，记住这个问题啊，抽象的比值极限存在，且连续对吧？抽象的比值极限存在，且连续。定型求出该点值，然后用导数定义去求出该点导函数值，那么同学们，你把你的思维方式再给我往前拉。好认真听，把你的这个思维方式往前拉，你还记不记得原来在上课过程当中，

我们还讲过一个题。你来看看这个题。那这个题啊，基本上而言就变成了一种定式思维能力了，那么将来过程当中只要我见到这个题，你发现刻骨铭心。好同学们，我们再试一下，你看。抽象的比值极限存在，且连续告诉我个事情，能求出几个值该点值和该点导函数值，第一件事情定型求该点。下面的这个部分的极限是零，所以说你发现上面这个部分的极限，

它就是零。那又因为连续连续极限等于函数值啊，这是趋向二，它的极限是零，又因为你发现一个事情，它在这个点处连续极限等于该点值。所以说你发现一个事情，那f2这个人是不是就是零好，这是第一个事情，然后第二件事情立即去凑导数定义，把这人给刚出来。s趋向几趋向二，然后是多少fx减去f二比上s减二，所以说这个人其实就变成多少s趋向二s减二分之fx。跟得上吗？

同学们，所以说你要注意一个事情，一定要把这个事想清楚，你看抽象的比值极限存在，且连续。定型求该点，然后进行凑到注定，然后怎么办？若要寻求不可知，就用已知凑位置，然后去凑一下。那么，在这里面当中limit x趋向二已知条件告诉什么？已知条件说，不光有个减二，

还有个加二，所以说在这乘上个加二。然后这个第一个极限是一，这个人是四，所以说是一×4就等于四。跟得上吗？所以将来过程当中，这件事情就变成了一个定式思维能力了。只要见到抽象的比值极限存在，且连续立即怎么办？定行求该点，然后怎么办？通过凑导数定义再去求该点导函数值。必须是抽象的比值极限存在，且连续啊。

而且你发现呃，我们通常而言的话，在这个考试当中啊，喜欢把一些这个信息点吧。对吧，就是藏在一些这个，比如说我想告诉你f0=0，我想告诉你f导等于多少，对吧？我想告诉你这些东西，但是我不直接告诉你。我都把这些东西藏在这极限里面，尤其过程当中，比如说考研，喜欢这样考，

说什么呢？说这个人在这个x=0处。连续。而且你发现它又说了limits趋向0 fs比上s它等于a，然后这里面当中你告诉我个事情。如果考试过程当中，他说出了这样一句话，你立即可以挖出几个信息啊。你给我挖快一点啊，这就是不用写了对吧？稍微挖快一点，你看抽象的比值极限存在，且连续立即求出该点和该点导函数值。认真听，因为分母极限是零。

所以说分子的极限也是零。而又因为连续极限等于函数值，所以说你告诉我函数值等于几零跟得上吗？没问题吧，然后接下来你看。这个人已经等于零在上面减个零，下面减个零，所以说这个部分其实就是它的导函数值等于a。所以将来过程当中，我们只要眼神瞅出这个问题啊，眼睛瞅一下这个人就出来了。所以像这种类型问题啊，他喜欢通过这个题目条件信息啊，希望去挖一下。包括给你这个人，

我考试过程当中就可以出一道题。那所以说这个方向险还是挺重要。好了吗？同学们掌握清楚给我回复一了。看懂了，下面极限是零，上面的极限是零，又因为连续极限等于函数值，所以说函数值是零。啊，然后再凑一下这个导数定义出来了。好了，我们继续啊，我们再来看。呃，

然后还有个这个第几题第七题是吧？好，我们来看看这题。那么这个题啊呃，首先第一个事情看看它连不连续对吧？那么连续性的话，检验我们怎么检验？只要见到连续性的检验核心思想，就是一个事情，就是它的极限到底等不等于函数值，那趋向于零，这个人呢？还没有道理。那没有道理，就对谁求极限呢？

就对这个人求极限。对吧，对你求极限，那么所以说在这里面当中啊，我们就来求这个极限。那你想一个事情，求这个极限需不需要分呐？当然要分，因为趋向于零零分之一是无穷大这个里面当中有个重要的标志意义的头顶是无穷大。所以说这个题需要分成左右极限，然后在这里面当中，我们来看，如果是limits趋向零正，然后是limits趋向零负。零正一加上一的x分之一零负，

然后是一加上一的x分之一来求这个值。那么，所以说首先第一个事情，我们先来看档案是去向领证。零帧的时候你发现这个x分之一就是正无穷。那既然是正无穷e的正无穷，就是正无穷那e的正无穷，是正无穷，上面是零正无穷加一是正无穷，告诉我这是一定式还是未定式？一定是吧啊，这当然是一定是因为你发现你看零比上无穷大，其实它就等于多少零，然后再乘上无穷大分之一。然后这个人就是凌晨零，

当然是零。所以说这个结果它就一定是零，不用想了，它绝对是零。然后接下来我们再来看，如果x分之一趋向多少，这是负无穷。去向零负负无穷，一的负无穷是零零+1是一，所以上面是零，下面是一，一定是，所以说这个结果也是零。那因此你发现这个极限，结果就是零啊。

那极限结果是零，而该点处的函数值也是零，所以说这题分不分当然需要分，因此这个人连不连续啊？需要分，而且的话，你发现极限等于函数值连续了呀，所以这题结束了。那么，这里面当中a选项和b选项不对。然后接下来过程当中，我们再来看看导函数。导函数这个事情的话，继续来看f导零。从这个分段函数的样子上，

我们是不需要分的，然后接下来我们看趋向于零，然后是afs-f零比上s- 0。然后求一下这个极限，当x趋向零的时候，你看。其实就是谁了，就是这个fx，然后再减去f0比上s- 0，因此在这里面当中马上就得到什么情况？就得到了一加上一的s分之一分之一。是不他呀，那么接下来我们继续看，请告诉我个事情，需不需要分呐？

当然分，因为e的头顶上是无穷大要分，因此在这里面当中，我们就需要分成多少零正和零负。唉，只是我写的稍微的多啊，因为零基础提前学嘛，我写的这个步骤啊，你们基本上都能看得明白啊，你要自己做的话，你会做的非常快。好，这个如果在这里面当中，你发现这是零帧，那这个x分之一就是正无穷一的正无穷就是正无穷。

那么，既然是正无穷，你发现正无穷加一正无穷无穷大分之一，这就是零。然后在这里面当中，我们再看，如果趋向零负s分之一，趋向负无穷，然后这是e的负穷e的负穷是零。那一的负数是零的话，这是零零+1是一一比一呢，一定是是一，所以说这个人呢，他当然不存在。如果这人不存在导数，

就不存在答案选d。好，这是这个题目，掌握清楚了吧？呃，如果从难度系数上啊，不是说特别大对吧？不是说特别难，但是在这里面当中，核心重点还是求极限。大家抠准一点啊，就是你做题的思维方式还是先定型后定法，定法之前先四化。如果在这种当中需要分的话，就是左右开工法的内容，

还是把这个极限部分东西好好进行，加强一下，不要绕，对吧？唉，千万不要换。好了，继续啊，再来看还有哪个题啊？呃，这个导数定义的这个部分的题啊，我们就说到这吧，还有哪个题需要讲吗？怎么迅速化简到最后一步的？什么意思啊？

哪哪里画到最后一步？说什么意思？我怎么没有听懂你说？哪个人呢？这个人呢？你这个看不懂吗？呃，这个东西啊，你看你就在这里面提一个。call second不就行了吗？然后这人不就是扩second题，再减去quarter t吗？然后你发现这不就约掉了吗？不就是他吗？啊啊。

第二个。能用。啊，什么意思啊？我我没有听懂这个意思啊。这个部分呢？的x分之二。用求导吗？啊，这是什么意思呢？就是二分之s当然要求啊，你看。你这个求导的话，你看你先把这个人当做成真题，这是优，

那就是先对这个优求导。对吧，你必须要注意一个事情，你要求到最后一项，对吧？先对这个优求导，然后是这个三阿克塞，因这个优求导。然后是阿克塞，因这个二分之x求导，这个求导是根号下多少一减去二分之x的这个人平方？对吧，你是对这个人求导，你对这个人求导才能这样用，然后这个人还要再求导二分之一。

唉，所以说把这个导航这个部分的东西啊，一定好好弄一下。呃，你不用经常去怀疑这个答案出错了，这个一般情况下它不可能这样事情啊。你把这个部分的东西不就约掉。约掉了之后的话，这个。呃，把这个四提出去，上面不就是二吗？这有啥问题啊？这这不就是一个。初中内容嘛，

然后是根号下一减去四分之x方嘛。你把这里面当中的四分之一提出去呗。你四分之一提出去就是四减去它。然后这个四分之一开出去不就是二分之一吗？那二分之一上去不就变成二吗？啊啊，好了，那么接下来继续啊，我们再看还有哪个题啊？12题不会化简，叫我看看12题。唉呀，我发现这个怎么回事儿呢？这个这个大家嗯。不不要懒啊，

这不懒的话，什么东西都好买。第九题不密之状。我为啥不迷之转换？那那我上课全白讲了啊，这这什么一做作业各种问题都来了。上课说的好好的，说密制函数有两种方法，第一种方法见到它密制转换，第二件事情两边取对数，我说请你忘掉了，两边同时取对数，只要见到密制函数，立即密制转换。答应的好好的，

一做作业，怎么又又说哦，那我不密制转换怎么办？那就跟我们说，用导数定义那样做，你来句说，我不用导数定义，我怎么办？我不不要这样啊，那这这样的话，我们就我们所有的学习，没有任何的意义了嗯。好了，我把这个12题给你化简一下啊。这个题。

丝毫没有用到一点化简手段啊，就这个人，你看这个部分的话，他是多少呢？它是e到x，你只要不懒，我问你个事情，你是怎么做题的呀？你做题是对着答案做吗？你要注意一个事情，如果你做一道对一道答案，做一道对一道答案，你最后的能力会极其的差。等你到了这个九月份和十月份做卷子的时候，你会发现一个事情，

你这个运算能力和各方面的话，这个做题的自信心一点都没提升上来。所以一定要是做完了之后，这个答案只去到一道这个参考作用，对照一下就行了，唉，一定注意这个问题，然后你看这两个东西约掉了没？然后这个结果就是根号下多少一加上多少e到2s，然后这个上去呢，是根号下一+2s×1个es，然后再加上e到2s。那一到2s在这里面当中，你发现你把这个e的s就提出去了呗。因为你发现e的2s其实就是e的x乘上e的s同底数幂相乘指数相加呗，

所以你把这个里面当中的这个es就提出去呗。提出去了之后，这条对角线不就约掉了本题就出来了。哎，所以说这个难度系数丝毫不大啊，这个人。呃，这个题的话，你可以这样做，没有任何问题，其实就是什么情况呢？你把这个人写成多少？你写成这个es，然后再加上根号下多少es的这个平方？没有问题啊，

你在求导的过程当中，你可以这样做，你可以怎么办？把这个人看作成优。对吧，看成优那么所以说在这里面当中，你发现一个问题，我就是先对这个中间变量求导，就是先对这个优求导。先对这个u求导，就是一加上u的这个平方就是e的二s分之一，中间变量再求导没有问题啊。就是你做题的思维方式是正确的，因为你做题的话不就是这样吗？你先把它当做成优呗。

一+u的方，然后u等于多少呢？u=e的s，所以说你在做这个dy比上ds的时候其实就是y先对u求导，然后u再对s求导嘛。这个对优求导，直接套公式是根号下一，加上u方分之一嘛，然后中间变量再求导时差嘛，然后把这个态进去一的s1到2s嘛，非常好非常好。可以的，没有问题嗯。还有哪个题啊？第几题？

第六题。呃，看来我们扯这个导数计算呢，有非常大的问题哦。这都是呃，曾经你初中啊遗留下来这个很大的问题，你下去多练练啊，这个导数计算。如果你一开始做的慢，你就不要像别的同学，人家已经练得非常熟练的，那样写的非常快，你可以写慢一点。你看你可以把它当成u，你当成u的话，

你发现看求导的时候是多少呢？那就是根号下。一减去u的平方就是它的平方，它的平方就是一减s平方。然后再是这个人求导。那么，在这里面当中，你发现这个人求导呢来继续，这是根号下多少一减去它那，所以说这是x方。是不是这人那么，然后这个部分你再把这个人当成优，你当成优的话就是二倍的根号下，这个人分之一，然后这里面当中的这个优求导致是负2x，

它就出来了。啊，就一步一步的做，就是你最终要求导的谁呢？你要求导到x。就是一直用中间变量，一直用中间变量，最后一定要乘上那个中间变量，对x求导，这是你的最最后的影响。好了，这是第六个，然后第七个。第七个不一样吗？啊，

第七个也是这样，那在做题过程当中，你看你这个y对这个x求导你做题的方式，就是你先把这个人当做成中间变量。那其实就是根号下一减上这个u的平方，这就是一减s，然后比上这个一加s。然后就是什么东西呢？就是这个人的导函数。那这个人导函数的话，你发现我又可以把里面这个人对吧？你求导的时候，你发现你把这个这个东西你自己再抄一下，你看这个人。把这个人再当成u，

那其实就是二倍的根号，这个一加一减s比上一加s分之一。对吧，然后再乘上这个人的导函数诶，这个导函数直接能算了，你就用一下除法求导，把它出来就行。所以我觉得这个做题的时候稍微的进行去注意一下啊，这个不是说特别难啊，尤其是大家注意你的这个，如果运算能力啊。运算能力不达标，说实话，一个事情，这个35个题在这个一个多小时，

一个小时20分钟内啊，很多同学做不完。这是非常基础的运算能力，你在这个零基础啊，你多练练啊。好了没？就复合函数求导你，如果做的慢呐，你就一步一步的做。不要着急，一点一点来，把这个人求好好了，还有没有？还有哪个题吗？我11题。

我是用到了什么化简啊？我啥化简都没有用到这个，你要是我觉得如果说这样学习下去可太不行了。一个事情是要自己独立动手，要进行去练这些，另外一个事情的话就是你这个初高中的重点的一些公式啊。我们在第一节课程过程当中给你讲过，我说你让你下去背，这是你非常基础的内容。在考研过程当中，不会直接出题，不会说这个tangent等于多少让人直接出题，不会出的，因为人家默认。这就像你在初中进行去学习的时候，

人家默认你一+1=2这件事情已经会了的。好了，在这里面当中啊，你看你这个摊正题，你摊正题不是塞笔扣吗？那塞笔扣的话，它不就变成了扣笔塞吗？是吧，这个人，然后这个second题second题不就是cos in分之一吗？然后这人平方不就平方分之一嘛，前面有个二分之一，然后你把这个东西约一个。是变成这样了，所以说在这里面当中，

你可以怎么写呢？我有两种写法，比如说有些同学写成这样了，人家是二倍的它，然后用了下二倍角公式写成这样行不行？然后就写成了call second x行不行？可以做对了，没有问题，或者而言的话，你发现这个分之一呢？这个分之一不是call second题吗？这二分之一是谁呀？是不是second题啊？你这个最起码的这个高中公式，你这些东西你不背啊，

你后面的问题非常大。你虽然一节每节课的话都跟着这个部分的东西做，但是有些的话你发现这个最起码的这个公式你得背过。好了，这是这个人对吧？你这这都行，然后你再看这个人，这个人也没有什么化简，你看这是cos in，然后这是多少？这是赛比call。然后这是多少扣分之一，然后这是平方约掉一个约掉一个，这人就没了，然后这人下来，

那这人下来的话，你看。这个这个部分再约一下，约一下的话就是这个人分之一，那这个人分之一不就是cos in吗？是不是这个事情，所以这个化解难度系数一点都不高啊，好了，还有哪个题吗？看看还有哪个题？好，我们速战速决，这都是提前做过的题啊，尤其这个运算下去，多进行去练习一下。

还有吗？呃，上节课的还有没有那个题？没有哪个题的话，一会儿下课的过程当中，你把第六题和第七题做一下，然后一会儿上课过程当中，我把这两题讲一下啊，讲一下的话，我们这个部分的作业我们就基本上完成了。还有没有？你看看吧，这个上次作业的话，你发现这个隐函数求导，你觉得没有问题，

做的很好。然后在这里面当中的话，这个参数方程求导也做的很好，然后的话证明上了大学过程当中的这些东西啊，我们又开始重新讲的这些东西，唉，上课我们消化的都非常的好。但是最后你不能的话，这个最后能拉住你的人，变成了你的一个初高中那些基本公式，自己不努力进行去背，这可不行。你得去背一背，对吧？这个sin cos tan t导数表，

我们后面过程当中还有一张积分表，你导数表背不好，后面的积分表就非常有问题了。好了，还有问题吗？没有问题的话，下课休息过程当中，把这两题做下啊。还有问题没啊？没有问题给我回复一吧啊。好没了是吧？好了，没有问题就行，那行吧，你们下课过程当中把这个第六题和这个第七题把它做一下。

呃，这个最后两个题啊，尤其是那个第七题啊，第七题我记得之前的话，好多同学问这个题啊，这个题。那个做的不是说特别好好动手做一下吧，把这两个题啊，你下课过程当中完成一下，那完成完了之后一会儿我们讲一下，那么我们所有的作业部分的内容，我们就全部结束了。好同学们行吧，我们稍微的休息会，一会我们继续。

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