08.零基础考点精讲8-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:23:46

同学们，行！那么接下来我们就准备开始今天的课程了。首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的第一个阶段的课程零基础提前学课程，那么在上节课过程当中啊，我们其实已经把这个导数定义部分的内容全部讲完了。那么，在上节课过程当中啊，

讲的这个部分的东西啊，显得非常的重要，我们在考研过程当中啊，对我们三九六同学一定会考察的。你像在这里面当中，无论是进行去判断，在一个点处可不可导或者而言的话，让你进行去计算一个点处的导函数，或者让你进行去利用导数定义进行求极限。你像这些问题啊，都是考研当中的黄金重点，所以我相信在这里面当中的东西啊，尤其是零基础提前学，我们讲的这个部分内容跟我们下个阶段的这个课程呢，两个部分的衔接度是比较高的。

所以下去过程当中一定要好好进行整理，把它进行消化到位好了，那么首先第一个事情，我们先来回顾一下，那么在上节课过程当中还有在上上节课过程当中讲了一点点。我们讲了哪些部分的东西呢？其实你发现核心重点就这四个点，那么在这里面当中啊，你发现第一个事情我们学习导数。那么，截止到今天，你发现别人问你说唉，你知道什么叫导数吗？导数在这里面当中啊，你有两个方向，

如果你在这里面当中，你发现你走第一个方向。我们可以利用瞬时变化率的隐私进行去定一导数。对吧，瞬时变化率那么在这里面当中还有第二个方向，那第二方向什么呢？其实就是我们在这上面一条曲线上取两个点。取两个点的话，你发现这一个a点，我取两个点，这叫做这条唉曲线，在这个点处的割线，对吧？这是两个点，对吧？

就是曲线的割线。如果你发现一个事情，你取得更近更近更近，这个割线会无限的逼近于这个切线，就是切线斜率的问题。所以在这里面当中啊，有两个方向性，第一个方向性就是一个点处的瞬时变化率，还一个方向性就是这个点处的切线斜率。那么，在这里面当中啊，我们利用的比较多啊，在考试过程当中，如果做题你发现用的比较多，就这两个人，

一个是计算前提，一个是单侧导数。那么，在这里面当中，我们来看看一个点处的导数定义怎么写的非常简单，其实就是这个点处的瞬时变化率，那其实就是fs。减去fs 0比上多少呢？s-s 0s趋向s0。那么，这个极限，它其实就定义了该点出的导航数。如果这个极限存在，该点导航数值存在。如果这个极限不存在，

该点导航数值不存在。如果这个极限等于一，你发现该点导函数值，它就等于一。所以说你发现一个点处可导的充要条件是什么呢？其实就是这个极限存在。只要这个极限存在，它该点就可导能理解我的意思吗？好了，在这里面当中，我们讲了第一个事情，然后在这里面当中，我们又讲了单侧逃出。你把上面这个极限改成右极限诱导数，你把上面这个极限改成左极限，

左导数，右极限，右导数一个点处可导的重要条件是什么？左右导数存在，且相等。所以在这里面当中，你发现你看这个第一个问题啊，非常的重要，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第二事情可导性和连续性的判定性的方法。怎么进行去判断连续性呢？我们都知道是极限等于函数值，如果它需要分就是左极限，右极限都等于函数值。

如果不需要分，就是极限等函数值，如果是可导性呢，你发现如果它不需要分，就是该点导函数的定义的极限存在。如果需要分，就是左导数，右导数存在且相等。对吧，这两个问题你发现非常的重要，那么接下来我们再来看看第三个事情，大家注意啊，这个部分的内容是不是会很重要？相当的重要连续性和可导性之间的关系啊，在这里面当中啊，

你发现很多同学在学的过程当中学的稍微的浅显一点，对吧？学的非常的浅，你发现一个事情，他就说可导，必连续连续不一定可导，你记住这两句话，你未必会做题。所以说在这里面当中啊，一定要理解的深层次一点，人家这件事情怎么说人家是这样说说，如果fx这个人。在该点可导。对吧，然后能推出谁fs这个人在该点处连续。

所以说一定要记清楚一个事情，谁可导谁连续，对吧？你在这个点处可导，你在这个点处连续。不要把这个东西啊，你想差了好了，这里面当中啊，我们讲的这个原定理的内容就是这样说，那我想问你个事情，如果在这里面当中，我们说一句话。我们说fx在这个点处可导。我问你个事情，我能不能换句话说，

我说成什么东西呢？我就说f导x0存在。可不可以可以啊？这两句话是没有问题的，对吧？你在这个点处可导不就是这个导函数存在吗？所以同学们注意这两句话是一样的。其实你发现考了一个语文能力，然后第三件事情我们再来看大家听啊，你要理解，不用进行去背这句话，那我想问你个事儿，如果这个人。它在x0处怎么了？连续。

那请同学们告诉我个事情，能不能推出fx这个人在x0处有定义啊？能不能可以的吧？连续了，连续的话，极限存在函数值存在它们相等。那本来就有定义啊，所以说这一条方向性是没问题的，但是你发现有定义就连续吗？那不一定。我讲了这个事情有定义，就是有没有连不连续就是断不断，你在这个点处有就不断吗？那未必。你比如说举个例子，

可去间断点对吧？我在这个点处，你发现一个事情，我具有可去间断点，我存在了，但是不连续啊。好了，要注意这几个事情，所以在这里面当中，你要注意这两句话，其实考了一个什么情况，考了一下你的语文水平。对吧，你的中文的这个理解水平，我在这个点可导不就是我导出来这个东西存在吗？

是不是这个事件，所以两者之间是一样的，好了，那么接下来我们在上节课过程当中，我们讲了这个重点，我们怎么说的呢？大家一定注意，谁可倒谁连续高阶连续能推低阶连续，所以在这里面当中，你发现这两句话非常的重要。你把这两句话给我记住就行，你记住谁可？谁连续。大家注意，只有连续了极限，

才会等于函数值，如果你未必连续极限，未必等于函数值。你这个极限要想等于函数值，你必须是连续的，你这个极限都等于函数值的，但是不连续那不行。对吧，你不知道连续性，你怎么能说极限等于函数值啊，所以说在这里面当中第一句话谁可导谁连续记住这个问题，然后是高阶连续。可推低阶连续。所以同学们注意第二句话，怎么进行去理解呢？

为什么高阶连续能推低阶连续？你比如说举个例子，我们在这里面当中说一句话，我想问你个事情，如果一阶导数在这个点处连续。这个连续，请问同学们能不能推出fx在这个点处连续啊？我希望你要注意零基础的时候，你慢慢进行去，想能不能？当然可以，高阶连续就能推低阶连续，为什么呢？我们刚才讲过这个事情，如果你连续。

连续什么意思？你的极限等于你的函数值。只要连续了，一定可以突出什么情况，你在这个点处有定义，你在这个点处有定义不就是这个东西存在吗？是不是这个东西啊？你有定义，就是你存在着，那你想一个事情，这句话是怎么理解的？这句话的等价化不就是说什么？不就是fx在这个点处可导吗？然后能推出这一点连续没有任何问题。所以同学们注意一个事情，

一阶导数存在推的是fs，连续听懂了一阶导数存在推的是fs，连续。所以在这里面当中啊，上节课过程当中，你要想把这个部分的东西啊学清楚，其实你只需要把上节课那个例题当中的最最后一个小问。把那个小问掌握清楚了之后啊，什么东西都过关了，那么在这里面当中，我再来把这个事情我们再讲一下，大家跟着我好好进行去看看。好了，我们一起来捋捋，把这个东西啊好再来深化下。

先来看看这里面当中的第一个人，如果它二阶导数存在，能不能说明二阶导数在这个点连续啊？你想一个事情，你存在了，就连续吗？就说你这个点数是有的，但是你能保证这个点不断吗？这不行，所以在这里面当中，你要注意存在。跟连续不一样，你有定义了，就能保持连续吗？不行的。

但是同学们注意，如果二阶导数存在。二阶导数是存在的，谁导出来的？你想象一个事情，假设这是孙子。你孙子都生出来的话，说明是儿子生出来的呗，那说明一阶导数是可导的，那一阶导数可导一阶导数连续啊。没有问题啊，然后在这里面当中，你看一切都连续fs肯定连续啊。所以同学们注意一个事情，你把这个页面就算记住也行。

所以大家注意啊，将来用什么呢？用这种存在的这种话进行去说一个问题的时候，你看二阶导数存在。能不能推二阶导数连续不行，他推的是一阶导数之前的人连续。把这个东西给我记清楚，听懂了吧？唉，你看二阶导数存在推的是一阶导数之前的人连续。一姐零姐他们都是连续的，跟得上我的意思吗？好了，这一波内容啊，稍微的绕对吧？

有点绕。啊，昨天晚上的过程当中，我刚好讲的这个数一数二数三。基础班的这个部分，很多同学还绕不清楚，因为这件事情我太理解很多同学了。我也知道这里面当中，你发现就是一个逻辑感的问题，你稍微的在下去过程当中找上个五分钟的时间，在你的草稿纸当中把这几句话好好进行去，想想什么东西都通过了。但是你发现啊，每年都是这样。现在是零基础，

零基础的时候有同学说啊，绕到了基础班的时候呢，你发现我问这块东西怎么样？还绕。到了强化班，绕到了真题班，绕到了冲刺班，绕唉，你发现一个事情，你永远都是绕，那你都知道绕，其实又不难，你下去过程当中挑上五分钟的时间，就把它搞定。其实我们上课就听懂了，

所以说你发现这又是很多同学的学习方法的懒惰性，脑子里面永远都是我知道我这块东西不行，但是就是不补。我就是知道我得到的结论就是什么，我不太行，我这块东西不太行，结束了啊，不要这样，你知道这个东西稍微的绕一点，你下去过程当中再串串其实不难啊。啊，就那几句话，你发现考的不是你的数学能力，考的是你的语文能力。好了，

那么这个点我们就讲到这，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看最后一个内容推广力。那么，在上节课过程当中啊，讲的这个推广定义特别的重要。对吧，推广定义那么同学们还记不记得推广定义的过程当中，我说做题方法两句话哪两句话？你要注意一个事情啊，你这个东西考的几率是贼高的。高的不行，又不难，但是你发现一个事情，出题频率相当高。

那么，在这里面当中，推广定义怎么说非常简单。如果你要求该点处的导函数一凑，结构就是s0，加上个框。减去fs 0比上个框。一促结构，然后第二件事情加上帽子去看零，然后这个部分必须是零，如果这个部分的极限是零，那这个极限就表示了该点导函数。这个极限是一该点导函数值是一，这个极限是二该点导函数值是二，但是你发现如果是右导数右极限，

左导数左极限。既能零正，也能零负，才是导数。听懂我的意思吗？你发现一个事情，这种类型问题的做题方法就是。套套路对吧？唉，就是套路。完全就是个套路，难度系数一点都不大，你把这个结构给我凑出来之后，然后直接再去看零就行，本题结束。

所以说你发现一个事儿，每年很多同学这种题做不出来。尤其是我们三九六同学啊，三九六同学的话，你发现到了这个冲刺班的时候，有些同学做不出来这种题啊，不要这样。呃，今天过程当中，我刚好去那个高教社那边呃，刚好那本书啊啊要定稿，然后今天上午过去了一下，刚好跟那边那个呃制定的话，这个就是编辑，尤其是每年的过程当中会出大纲。

啊，那个编辑的话聊了聊呃，所以说我们对于经济类同学，你像去年过程当中三九六的经济类对吧？考的稍微的难。其实你发现一个事，因为我们现现在而言呢，这个经济类那分数线确实是高。所以说得有点区分度啊。因此你发现这个数学部分，它难度系数就变得大啊，但是呢，去年过程当中啊，稍微的狠了一点，它没有一点过度。

他可能是从这个什么东西呢？这个二零二二年一下到二零二三年，这个过渡的太没有过渡就太狠了。原来过程当中，你发现是两星期，原来二零二零年之前。没有心机。这个题难度系数连一星级都达不到，顶多是零点五星级，一星级都达不到，然后到了这个二一年之后的话，你发现变成了两星级。对吧，中间没有过渡，如果你慢慢的话，

你发现变成三星级，然后再难一点，变成四星级再难一点，变成五星级，它没有它咔的一下变成六星级。啊，这就是去年的考题，所以它没有一点点过度，导致了很多同学可能这个啊，学习到这个最后的话，这个成绩不是说特别好。所以在今年过程当中啊，你发现但是它稍微的变难一点点，这是趋势，那很明显的话，

这个分数线你像现在的话，各个国家线都很挺高。对吧，这个考经济类同学啊，大家都知道这个国家线稍的会高一点，所以说他在这里面当中肯定会控制一些啊，好了，那么在这里面当中我们就不多说了，所以下去过程当中啊，我希望今年过程当中三九六同学。我们的大纲的内容不是说特别多。大家注意啊，大纲要求的知识点的内容不是说特别多，所以说每个部分的知识点一定要把它吃烂。你想想零基础一遍基础一遍，

强化一遍，然后最后冲刺一遍，模考再来一遍。五遍来上五遍的话，你发现一个事情来来回回这些内容你还学不会吗？大家可以去看你去年过程当中，我今年讲的这个零基础阶段，讲的这个推广题。可能有些同学在去年过程当中的冲刺班都没达到这个水平，毫不夸张，一点都不夸张，他做题毫无章法，所以你看一遍两遍三遍，到时候你见到这个题立即反应出来。所以做题速度也上来了好了，

那么这个事情我们就不多说了，那么接下来我们就正式来看今天的课程内容啊，导数的计算。那么，首先第一个事情，大家注意，这一节必考。哎，这节必出题。有的时候你发现一个事情，他出一道题，有的时候你发现他出两道题，所以说他的这个考点的话，要不然出一个，要不出两个，

出过三个的都有。因为我们考的这个题目的量是比较大的，所以说这个导数计算一定会考查，那么所以说接下来过程当中啊，我们要想进行去学习导数计算。那么，在这里面当中，必须要拥有一些必备的知识点。我在上节课过程当中啊呃，这个下课之前我让你们去背一下，有没有背啊？有背的同学给我回复一呢。没有背的同学给我回复二呢。啊，能记住吗？

啊记的同学给我回复一没记的同学给我回复二。你还回复二，你还真回复啊，你怎么好意思对吧啊，我要是我没有做，我就不说话啊啊，别给我别告诉我啊。好了，这是这个点，那么接下来我们就直接开始，我们来看看第一个事情导数表。那么，这张表对我们而言非常的重要，你必须要记住导数表，但是同学们注意，

导数表都比较简单。我真正比较担心的是后面有一张表叫做积分表，积分表有些同学到了这个考前都记不住，所以说第一个事情这个导数表一定要把它记清楚。那么，在这里面当中，我们先看第一个事情，一个常数的导函数是零。然后是阿尔法次方的导函数呢，是阿尔法倍的s阿尔法减一。所以大家注意这个东西啊，你要经常要用，那么这不是高中知识点吗？幂函数嘛，所以在这里面当中，

我们来看一个事情，你比如说你看这是四次方，你四次方求导的话，你发现你看这个四移前，然后四减一，这是三次方。如果你在这里面当中，你看只是二分之三次方求导，你求导的话，你看四方数移减，然后再减一二分之一次方。所以像这种东西啊，你把它给我记准直接用就行，只要见到幂函数对这个人求导，那就是阿尔法移前s阿尔法减一。

但是这类目当中啊，有两个人是常考的，有一个人是这个人就是根号s这个人，当然你可以慢慢做，是x的二分之一次方。移前再减一，最后得到的结果是多少二倍的根号s分之一，但是同学们注意，因为这个东西考的多。每次过程当中，还进行去推，推什么二分之一次方进行求导，太慢了，所以你就把它给我记死，对吧？

然后我们接下来我们再看s分之一这个导函数。它也是这样，你写成负一次方一前再减一，太慢了，直接来负的x方分之一。所以这两个东西啊，一定要把它记清楚，那么接下来过程当中，我们再来看三求导是cos，然后是cos求导是负三。好了，这两个东西啊，都还好，那么这两个当中你发现真正容易比较忘的是谁呢？是忘的是这两人。

对吧，就这两个人，一个是tangent t tangent题的导函数等于second题的one。quantity的导函数等于负的cos in的方。所以在这里面当中，至少而言，你要知道这个东西是谁吧，你要知道这个东西是谁吧，second方负的cos。然后second题的导函数呢？second题tangent题call second题导函数呢？负的call second题quantity。这四个人呢？容易忘，所以你把它给我记死，

大家一定要记住一个事情，你把导数表都记不好，你后面的积分表非常的麻烦。所以今年过程当中啊嗯，大家可能看到了这个课表已经排出来了，对吧？对我们三九六同学的话，你大致去看一下呃，到了这个基础班的结束，课表全部排出来了。我们基础班的话，结课时间应该是6月2号左右。所以说这么长的时间呢，我相信你能把这一全部的部分的内内容啊，你能学得非常清楚，

我不是说别的。对于我们三九六的同学的话，这个以前的考试的这样的一个基本能力是什么呢？就是你把这个基础班听完了之后，你都可以进行去做那个二一年二二年之前所有的真题，你去看看吧，你全能做。没有做不出来的。都能做，所以对于我们而言的话，第一个阶段的课程其实就是非常完整的，在这么长的时间段内，把每一个知识点一定要给我学到位了。然后到了强化班过程当中，我们再带着同学们进行刷题，

所以两个阶段拼凑下来之后，其实到了九月份已经达到了今年考研过程当中的水平。所以希望同学们不要着急，这个事情你去看看课表，那课表里面当中已经都有了，然后大家稍微的进行去观察一下。那么就是我在基础班讲到不定积分的那块。我会讲三节课，三节课的之后的话，你发现接下来的六天都没有事啊，就是这个课程讲完了之后六天都没有事，不是没有事情。那这六天我就会带着同学们进行不定积分的训练。这是每年同学们必须要走的一关，所以说这节课过程当中，

我们讲的导数计算，其实我不担心大家都能学得非常好，但是我非常担心的是不定积分的计算。所以每年过程当中，这块讲完了之后啊，我们要带着同学们进行训练啊，这一块东西的计算呢，是很多同学的硬伤。啊，所以说一定要跟上这个课程，那么接下来不多说了，我们就直入主题再来看看下面部分内容。然后这个部分是log啊，其实这个人考的非常非常的少，基本上不怎么考log，

以a为底s的对数。他求导的s倍的lna分之一，喜欢考的谁是这个人？那这个里面当中啊，你要记住这个东西啊，它可以拓展。唉，就这个问题，那么这里面当中有个lns绝对值的导函数等于多少呢？考点内容啊lings绝对值。那这个人的导函数你可以稍微的进行去试一下，你看如果s大于零lns绝对值就是lns导函数是s分之一没问题吧？如果js 4十万，你发现是小于零小于零的话，这个绝对值就会等于相反数，

那这个部分的导函数等于多少呢？稍微会算吧啊，我还没讲复合函数求导，但是你也会呀，在高中学的啊，先对这个中间变量求导。中间变量再求导是负一，所以说你发现无论怎么样它都是x分之一，因此要记住这个事情lings绝对值对这里面这个东西求导。就是这个东西分之一，记住它lo es绝对值求导不是绝对值分之一，是s分之一常考。好了，这是这个问题，那么接下来我们继续a的s导函数等于a的sl nae的s导函数等于es，

然后这里面当中arcs in等于根号下一减s方分之一arccosine天赋号。rt an是一+x^2分之一，然后arc quota nt天赋号最后两个人先不背。那么，在这里面当中啊，你发现就是这一页的导数表啊，这一页的导数表我相信每个同学你必须都要熟记于心。啊，一定要把它给我记住呃，等到这段时间啊，我把它忙完了之后，我们今年过程当中会给你，到时候出一个这个公式测试本。啊，当然的话，

在这个考前过程当中啊，我们有一个东西叫考前21计啊，所以说有些同学可能是二战同学，你们都清楚，所以这个直播课程的好处就是在这儿。你一直都是跟着拍子在走的，一直踩着这个拍子在走，考前过程当中啊，有一个考前21季。我把这么多年我们核心重点，以至于大纲所重点考察东西，我分成了21天，等到这个我们到了这个基础班呢，讲到这个中间部分呢，我们再开始因为才学第一章嘛。

那基础班还没开始讲到基础班的中间，然后给同学们进行去准备一个这个公式测试，然后大家的话，我们把这个公式都弄成填空版嗯，自己每天测一测。你像这个公式你都记不住，你说怎么做题啊？你比如说这个去年过程当中，我们这两天在开设这个税前系列。啊，今年三九六同学，我们也开始了，有些同学估计已经跟了啊，有些同学还不知道，还知道这个税前系列啊。

呃，昨天是第一天，今天是第二天，也就说每天早晨的这个八点钟。呃，我会在这个微博或者这个B站或者是啊，前一天晚上在公众号，你选一个都行啊，无论是这个微博还是这个B站还是这个公众号，我会发布一个题。然后从今天开始啊，我们三九六同学的这个答案的视频解析，我会在六点多钟啊发到这个B站当中，当然前一天的过程当中也会发在公众号里面。所以大家可以去看看每天一道题，

当然这里面当中啊，东西都是比较贴合我们三九六的，你们就做你们的，你不要去做那个数一数二数三的啊。啊，很多说我拔高一下，不用不需要不需要，所以今年过程当中啊呃，我相信三九六的同学要比去年同学要幸福太多，因为去年我们班级上的同学很多，也是考三九六的，我们现在班上有好多同学是从数三转过来的。啊，去年的话，大家都跟着这个数三来啊，

虽然的话，这个现在的话，网上都说要跟着这个数三的这个强度来，但是今年过程当中，我们三九六同学。我们基本上你就只要做你们的东西就行，因为很多部分的东西，你发现他们的要求跟我们的要求不一样。侧重点也不一样，有可能人家那道题考的是道大题就是十分题，我们就是一道题两分，所以你们就做自己的东西就行。好了，那么接下来我们不多说了，我们就直接继续，

然后最后两个公式，等会再说，听懂我的意思吧，唉，最后两个公式，等会再说。那么，接下来过程当中，我们再来看看第二个问题，求导法则，也就是四则运算。那么，在这个求导的四则运算法则当中啊，你发现不就是有以下几个吗？第一个人速成。

我们先来讲加减法唉a加减b，他这个人导函数他就等于多少a导加减上b的导？对吧，所以说加减法呢，你就拆开进行钩子导就行，然后接下来过程当中，我们再来看那乘法，求导a×b的导函数。那乘法求导的话，就是前倒后不倒，然后是前不倒，后来倒。呃，这个东西啊，可以证明的，

那么当年过程当中，二零一五年的考研真题考的这个事情，但是是属于数二数三考的，我们三九六同学不需要证明。你能把它记住就行，你会用就行。对吧，你把这些时间呢，你发现如果你能捋下来的时间，你要进行去看数三的话，东西太多了，后面过程当中你发现很多东西啊，你也不考啊，浪费了一些时间。如果有这些时间，

你去复习你的逻辑啊。还有你的写作呀。还有这两门课程呢，所以说大家一定要稍微的进行平衡一下啊，然后第三个事情我们继续，那就是除法求导。a÷b的导函数a÷b导函数等于b方，然后是上面求导乘，下面减去，下面求导，然后再乘上上面。很多同学你发现洛必达法则做多了，然后说什么情况a÷b的导函数等于多少呢？等于b导a导不对，这是洛必达法则啊。

啊，不要在这乱来啊，这是高中基础，然后最后一个事情，我们再来一个，如果你发现这是一个数一个数，乘上a的导函数呢？那么这个数啊，我们就自动移钱，然后再来a到。系数是提出去的。你不要在这里面当中，你发现这个系数啊，你不知道为什么你可以把这个人看成函数嘛，你前导是零，

后面不导，然后再加上前面不导，这是k后面来导，不就是这个结果吗？所以在这种当中，系数式提出这个四则运算是我们在运算过程当中最基础的内容。对吧，最最基础内容，那么接下来过程当中啊，我们就来看看以下几个问题。那么，在考研过程当中啊，对我们的要求啊，我先说一下这个里面，这个里面当中的东西啊，

跟这个数三同学还不一样。那么，对我们考研过程当中的要求。有以下几个函数的求导，那第一个事情叫做复合函数求导，第二事情隐函数求导，第三个事情分段函数求导，然后是参数方程。确定的函数求导，还有一个是反函数，还有一个是高阶导数。那么，在这里面当中，我们考研过程当中对我们的要求啊，有以下几个函数啊，

这里面当中总共有六个人，我把这里面当中的东西啊，我稍微的说一下。那么，在考研过程当中，复合函数，隐函数，分段函数，反函数，高阶导数，数三同学也学。但是同学们注意这个东西数三同学不要求，但是我们三九六同学一定要看。啊，三九六同学要看，

因为它在我们的考纲内容当中。所以今年过程当中，一定要保证这个知识点复习的这个完备性，也就说我们在考研过程当中的要求有以下几个函数。我们在基础班的过程当中，我们的重点我们去讲这四种。也就是基础班的时候，你把复合函数求导隐函数求导分段函数求导参数方程求导，把这几个人掌握清楚。至于反函数求导和高阶导数啊，我放到这个基础班再来讲，唉，所以说同学们不用进行着急这个事情，那么接下来过程当中我们来看看第一个问题点，我来讲讲。

这个导数符号的问题啊。对吧，我们在这里面当中啊，我们先来注意一下第一个知识点，我们来看看导数的符号。那么，在考研过程当中啊，你发现这个导数符号，其实你高中也学过导数。但是有没有发现一个事情，等你上了这个大学的过程当中啊，这个导数的符号怎么有点不太一样了，对吧啊，其实你发现有些东西我们也照常在用。我比如说举个例子，

我这里面当中写了一个y=fx。那导函数怎么写啊？我们有以下几种写法，第一种写法就是歪导。那么，这个y导的话y上面打一撇就是y对s求导，一定要注意啊y上面打一撇是y对自变量求导，这个自变量谁x就对s求导？那这个人呢？他也等于f撇s。没有问题，但是你发现一个事情，上了大学过程当中啊，又换了一种写法，这种写法叫什么呢？

你发现他用这种写法。d这个上面这个d啊，其实是这个导数的这个首字母的缩写。然后下面这个d啊是delta的缩写，你不用管这个事情用d，然后这里面当中怎么写呢？你看就写了一个yx。这个东西具有指哪打哪的效果？它说的就是y对x求导。y对s求导。你比如说举个例子，我们在这里面当中，我写个y=1的x方。我这里面当中，你发现一个事情，

我可以说y对x方求导等于多少？也就说你这个函数要对这个整体求导，把这个人看成整体一的，这个东西对这个整体求导多少就是一的它。对吧，我具有指哪打哪效果，它不一样。那这个东西说的就是y对这个整体求导。所以这种写法它方便方便的点在哪呢？它指运的这个对应项说的非常的清楚。对吧，我说的是谁？那么接下来过程当中，我们再来看第20题，再来看二级导，

那二级导数的话就是两撇。然后在这里面当中打两撇，那二阶导数什么意思呢？二阶导数是一阶导数，再对x求导。怎么去想？那其实就是一阶导数，这个人再对自变量求导。跟得上我的意思吗？你看你再对s求导，那么因此在这里面当中，我们怎么办？把它滑下来，滑下来过程当中，你发现这个dy几个d两个d滑下来几个s两个s。

所以这样写，一个人在d上面，一个人在s上面，这个东西啊，叫二级导看的也非常清楚y对s求了两项。好了，那么接下来过程当中，我们再来看三级导，三级导三撇，然后这个人的话，你发现是三撇，那这个人怎么写呢？唉，这个人就非常懒，你看y对x求导这个人是三。

正是三那么在这里面当中，我们就继续我们再来看四阶道怎么写？那四阶导的话，你发现这个打四撇儿是吧？五阶导五撇儿，六阶导六撇儿，然后100阶导打100，然后打了个100，是不是啊？注意不要这样写，一定注意一个事情，只要是超过三阶，一般我们都这样写，如果这样写，这叫四次方。

打个括号叫四阶倒注意，这两者区别。所以在这里面当中，我们就继续，你看这是fs在这个头顶上打了一个，这个点这就叫n阶导数，然后接下来继续这就是y对x求n项n项。n项那么这里面当中的东西啊，就得到了这个高阶导数的问题好了吧？这是这个事情。因此，在这里面当中啊，你要稍微注意一下，只要是超过这个四阶，我们都是这样写，

你看这个写四五阶就写五六阶就写六。跟得上我的意思吧，好，这是我们在这里面当中导数符号的问题。这是一个常识啊，好了，那么接下来我们就正式开始我们的导数计算型问题，那么在这里面当中啊，我们的核心重点，我们将会重点来学习以下四个人。我们先来看第一个人复合函数求导。那么，首先在讲之前呢？我们先来看看第一个问题，什么叫做复合函数？

对吧，复合函数是什么？那么，在这里面当中，我们先来看看第一个事情，大家来瞅，如果在这里面当中，我们说一个y=fu。然后这个u=gx。那这个时候你发现一个事情，我能确定一个函数，我能确定一个什么函数呢？我能确定一个y等于。fgs这个函数。唉，

这就是复合函数，那么接下来我们来看看这个复合函数的结构，它的结构是这样，我从这个y啊，然后到了这个js。然后这个js又到了x。它们之间的关系应该是这个关系，这是因变量。然后这是自变量，然后这个人是中间变量。唉，三者之间呢，你发现一个事情，它具备这样的一个关系，也就说这个东西是因变量。

这个东西是中间变量，这个东西是自变量，其实这个东西就是u。那么，接下来过程当中，我们来看看求导同学们思考一个事情，如果一个函数求导。一般情况下，指的是谁对谁求导。都是指的是因变量对自变量求导没问题吧？我不说肯定是因变量对自变量，所以在这里面当中，我们一定指的是因变量对自变量求导。就是我这个y一直求到我的自变量，那么接下来过程当中，

大家思考一下你这个y能直接对这个s求导吗？不行。你这个y要能对u求导u能对x求导。所以在这里面当中，我怎么办呢？唉，你看看这个事情，我这里面当中这是ds，我这要操作一下，我在这里面当中使用一下链式法则，我在这补个地油，这补个地油。大家注意一个事情，这个东西啊，就叫链式法则。

那其实非常简单，其实就是除一个再乘一个，那么最后而言的话，这个做题方式是什么？那这个结果就是我y先对u求导，也就是先对中间变量求导。然后这个中间变量再对自变量求导。对吧，我就先对中间变量求导，中间变量再对四变量求导，那比如说举个例子，我们来看看一个事情。来看例一这个题。那么，接下来这个题啊，

你不要觉得我写的啰嗦，我将来都不会这样写。我今年过程当中，我只会写这样一遍，所以你好好听一下我接下来过程当中，我希望你能听得懂，其实接下来这个页面呢，你高中都会。所以不要嫌啰嗦，我在这里面当中写一个东西。如果这里面当中是e的这个三。我让你进行去求导，我求一下y对s求导等于多少？怎么去求呢？很明显一个事情，

这个东西就是一个复合函数。那这个复合函数是怎么复合的呢？我在这种当中记一下，我就记一下，把这个u记成这个sins。行不行？然后在这里面当中，你发现这个函数就变成了e的u，然后u是等于这个sin x。没问题吧？那这个时候你发现一个事情，我y对x求导求导就是怎么办？我叫先对中间变量求导来，我先对u求导。u在对x求导。

那请同学们告诉我个事情，你这个人对优求到底是多少？y对u求导e的求导嘛e的求导就是本身u再对s求导呢是coss，然后你再把它带进去就行。就是这个结果。能理解我的意思吗？唉，所以说你想看的详细就是这个样子。就是我先对中间变量求导，我中间变量再对自变量求导，这就是我的求导法则。你可以看得非常清楚，你现在就知道一个事情，我高中为什么这样学我高中为什么这样求，就是这个原因。

但是同学们注意，这太慢了。这太慢了，如果你是这个速度，你根本达不到考研要求，因此将来过程当中啊，我们就得直接看。你脑子里面始终想一句话，就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导好了，同学们，我们一起来看啊y对x求导直接来。把这个人看作成中间变量。那看成中间变量的话，你发现这个方法也叫薄洋葱法。

中间变量看成一个整体e，一个东西求导是多少e，一个东西求导就是e，一个东西。好，这叫先对中间变量求导，乘以这个中间变量再对次变量求导cos in好，本题结束。先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，一层一层的剥开你的心，对吧？是这种情况吧？叫保养从法一层一层的来。唉，

这个东西先对中间变量，中间变量，再对自变量好，这是我们在这里面当中介绍的第一个人，那么这里面当中，我们继续，我们再来看一个人。如果这个东西我换一个方法，我再来写一个人，如果这是l，然后这是sin x分之一好了，同学们，我们再让你进行去求。这个y对x求导怎么办？好，

一起来啊，我们一层一层来，那么这个里面当中，首先第一个事情请你告诉我，先把谁当做成中介变量。很明显一个事情，我先把这个人当做成一个整体，看作成中间变量，也就说我先让y对这个整体求导。那你去想罗印求导是多少？lin求导就是这个人分之一好就是这个人分之一。那你说我先对这个人求导了，那么接下来的事情就是什么接下来的事情就是这个人去求导了。那这个人求导的话，你发现他还是一个复合函数，

我就要先对他那s in求导是多少s in求导是cos？好求完了，那么求完了之后的话，你发现又是最后一个中间变量，求导x分之一，求导多少来x方分之负一。本题解说啊，不用整理了，我相信你会整理，谁不会整理这个人呢？所以我们最重要问题，你发现方向性，我就是先对这个中间变量求导螺纹求导分之一，把这个直接写分之一。然后这个中间变量求导，

把这个看成真题cosine塔。然后你发现一个事情，这个人在求。所以说在这里面当中就是第一个板块。先对中间变量求导法。中间变量再对下一个中间变量求导，然后中间变量再对自变量求导，那么所以说同学们一层一层的求下去。扒到最后的x求导就行，你看最后一个人是不是对x求导一层一层的剥下去，剥第一层剥。包第二层包第三层包洋葱法。能学会吗啊，其实这块内容是我觉得很多同学听到估计最没有意思的一个部分，因为你发现高中不就这样学的吗？

大家思考一下一个事情，你原来有可能在高一过程当中学这个东西，你觉得很难。但是你发现一个事情，等你上到高三的时候，你再也没有问过你老师，这个东西为什么要这样求？你有没有发现这就是肌肉记忆？对吧，一个东西你发现首先第一个事情你先听懂。对吧，然后你再会。对吧，你再会用。然后再熟练，

它都是会经历过这样的一个过程的，所以你发现一个你原来在高一过程当中，你听慢慢会，然后会用。到了最后的话，你根本不会再问啊，这个人为什么这样求？好了，这是我们在这里面当中，我们继续，我们再来看几个人。例三好了，同学们，你跟着我去求啊，这节课我们多练练。

那么，在这里面当中，我们写个这个人。如果这里面当中是摊正题。然后是e的x分之一好了，同学们，我们来看看，则这个人导函数是多少？求这个人导函数。来看这个题。那么，在这里面当中啊呃，接下来过程当中，我给你30秒时间，你去写吧。

啊，给不了30秒，20秒就行了，好写完了给我回复一。写完了给我回复一。一层一层来嘛。你先把谁当成优，然后再往下求，再往下求，一层一层来。好了没？可以是吧？好，我们继续。那么，

这里面当中啊，你就把这个人当做成整体就行。对吧，我摊正题，对这个整体求摊正题求导是多少摊正题求导是second题，这个人的方。好注意一下这个写法，这个写法的话就是second这个人的平方，唉，就这个意思好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，然后紧接着就是e的s分之一去求导。那你是不是要对这个人穷？你对这人求的话就是本身。

然后最后一个事情就是你，你去求x方分之负一。就是先对中间变量求导，中间变量对下个中间变量求导，然后一直求到最后。好，这是我们在这种当中介绍的问题，然后再来看看例四。如果这里面当中，我们写个这个函数。我让你去求y对s求导等于多少？啊，首先我们来看看同学们的这个基础水平怎么样？你告诉我这个函数什么函数？奇函数，

偶函数。还是飞机推广函数。你到时候就忘完了啊。奇函数，偶函数。那这个东西你发现一个事情不就是一减s，再减去ln一加s吗？这不是xx，再减去多少f负x吗？奇函数吧，非常经典的奇函数，要记住它。另外一个事情的话，你发现这个人的等驾校会做吗？会不会做你发现一个事情，

如果在x趋向零的时候ln这个什么一减s比上一加s等价多少？还记得吗？那么在这里面当中啊，你发现一个事情，你有两种方法啊，这都是作业题当中做的啊，第一种方法你把它写成多少ln1-s。再减去lin多少一+s？然后你看这个人，如果等价这个人等价是负x后面等价呢，也是是x，然后你看看这两者之比的极限，不是负一，所以说等于负二。s是不是这个问题好，

这第一种方法，第二种方法呢？那么这里面当中你发现一个事情s 1+s，这里面部分是不是一？龙一个函数趋向于一，立即等价无穷。小于这个函数再减一，然后这个部分的一整理一整理就是一+s。然后用上面减去下面负2x，然后趋向零的时候，这是一吧非零，因此可以淡化变成它。我讲过没？你看这种题，所以在考试过程当中，

你一定要注意这个事情，你首先你看经典的奇函数。而且它的等价项呃，做起来一定要稍微注意一下，考的非常多，我们以前的考研真题就喜欢考这个人好了，那么今天的过程当中我们再来看看这个人导函数。来操作一下。都学过吧。还记得吗？学过做过，但不一定说你下次碰到你还会做。什么样的一个水平呢？等你下次过程当中见到这个事情，你发现你立即能反应，

你才叫学会了，不是说这个东西我见过。我学过，我练过，这都没有用，你练过了，到底练不练会？所以说大家注意啊，保证质量，你不要老是跟我在这追求速度，我这个我的同学都复习到哪了？谁都复习到哪了？你你发现还有好多同学没开始呢？好，慢慢来，

不要着急，那么在这里面当中，我们先来进行求导，你先把这个人。对吧，把这个人当做成游，所以说l一个人求导呢，就是这个人分之一，所以说同学们这个人翻一下。翻一下就是这个人跑上这人跑下。对吧好，这是第一个事情，先对你求导，你求导完了之后就是你这个中间变量再求导啊，我今天写的慢一点啊。

然后接下来过程当中，我们再来看这是一减s一加s，请同学们告诉我这个人怎么求除法，求导吧来背公式，下面的平方上面求导是负一负的这个人。然后再减去下面求导乘上上面啊，这个人，所以说这个东西你一整理就出来，我不整理了。好，这是这个人导函数会做了吧？那么接下来过程当中，我们再来看看例五。y=ln x，加上根号下一+x^2，

然后这里面当中让我们去求y对x求导。好，来看看这个。啊，继续看这个题。呃，在这里面当中啊，讲之前我还想问一下啊，有些同学估计把昨天数一数二数三同学的那个税前系列把它看了啊，昨天晚上我还讲过这个题。那么，这里面当中啊，你发现这个函数考的非常多。就喜欢考这个函数。唉，

考点函数。lis加上根号，下一+I次方贼喜欢考来同学们第一个特性，我原来在这个零基础提前学讲的这个例一点一的时候我就讲过这个题。它是个奇函数还是偶函数？非常好，它是个奇函数。有的说啊，为什么是奇函数？你看吧，课白听了，学也白学了。学了半天，到最后你发现这个人还不会啊，这是个奇函数，

然后第二事情导函数导函数是多少呢？在这里面当中，一会我们算一下第三个事情。那第三个事情就是这个函数在x趋向零的时候，这个人是等价无穷小于x的。唉，他等价无穷，小S这个人跟s是等价的，为什么呢？我来讲讲这个事情。其实这个人的证明也非常简单，大家听一下，你自己记到笔记上，我就不写到这上面了。那么，

请同学们告诉我，如果x趋向零，这是x加上根号下一+x^2回答我一个事情，请问这个部分现在是几？去向几。这是零，这是一，那就趋向于一录一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数再减一。没问题吧？那么请同学们分别告诉我个事情，这是几节，这是几节？这个东西很明显是一阶无穷小，

如果它能等价是二分之一x方，那这人是二阶无穷小，我说如果等价。一阶和二阶，根据何取第一阶原则，取一阶，那所以说这个等价无穷s。跟得上我的意思吗？记住这个函数的三大特性，它是个奇函数，如果趋向零的时候，等价无穷x，然后第三个事情你发现一个事情导函数是多少？好记住啊，到时候的话，

你做这个基础班的题的时候，你一定要会做，你不要到时候过程当中啊，啥都不记得了，这可不行。好了，那么接下来我们继续，我们来看看这个导函数，我求慢一点啊，你将来过程当中啊，你发现我在这个题当中，接下来写的步骤，其中好几步都能审。一下子就出来了，来一起看y对s求导。

那么，这个当中，我们接下来就继续。噢，你看不懂这是二阶啊？啊重听啊重听，你把前面这个部分得补一下，你把这个无穷小那说明忘完了。你看你到了这个，今天你告诉我一个事情，你看不出来这个人是个二阶无穷小。那这个。这个部分的课程，那我到底是在讲什么呢？就这个人。

那这个人不就是一加上x方的二分之一次方减一，这不就是一加框的二分之一次方减一吗？一加框的阿尔法次方减一等价无穷。阿尔法框这不是等价无穷二分之x方怎么进行去看它的解，就去看看它等价的解。不要管它能不能等价，去看看它等价的结，等价的结就是我的结，等价的是二结，我就是二结，不会看不懂吧？那说明这个，那你能告诉我个事情，你这个作业是怎么做完的吗？啊，

这个才开始啊，所以说上课过程当中我提到这个事情，你下去得调整一下自己，你不能说到了这个最后你发现。课也听完了啊，这个所有部分也听完了，这个这个不行啊。哦，行行行，好，没关系啊，对吧？这是平方嘛，慢慢来啊，不要着急，

不要着急呃，尤其是那八个等价无效公式啊，都去看看。好了，那么接下来来继续啊，没有关系啊，我在上课过程当中提到这些事情，大家一直要进行调整，这就是直播课嘛，每当发现问题，我们去调整，每当发现问题去调整。一点一点的调整的会越来越好，好来看看这个题，一起操纵，

那么请同学们告诉我事情，你是不是要把这个人当做成优啊？我就要对这个部分进行求导，那其实就是这个部分分之一。然后在这里面当中，你发现一个事情，不就是接下来过程当中啊，再乘上一个你的导函数。是不是这个事情唉，所以说你发现一个事情，那这个人求导完了之后，然后是中间变量再求会了吧，然后接下来继续我们再来看。这是x加上根号下一+x^2，然后继续看。

加法求导就是分别求导你，是你导是一，然后再怎么办？就是你来求导。所以说这里面当中再使根号下一+x^2这个人的导函数。对吧，你导加上我导，然后接下来继续，然后这是s加上根号下一+s^2，你再乘上多少一加上？那真人求导怎么求？那这人求导的时候又是复合函数，把这人看成u吧根号，求导是二倍的根号，下它分之一。

这刚才让背了吧根号求导，然后这里面再求导呢2s这个人就求完了。好了，这是这个点哎，同学们看懂了没？看懂没好看，明白了给我回复一。我相信这个部分内容你肯定是看明白了，因为这个东西我写的很慢了。对吧，这里面当中每一步我都给你写了，那按理说啊，同学们达到的能力是什么？从第一步一下到这一步。你必须要有这种水平，

所以在这里面当中，我们接下来就继续再来看，那让is加上多少根号下一+s^2分之一。然后这里面当中是根号下一+x^2，然后是x加上根号下一+x^2，那这个结果呢？它就等于根号下一+x^2分之一。所以同学们注意一个事情，这个人的导函数具有特征，这个人的导函数就等于这个部分分之一。所以大家注意啊，将来过程当中把它给我记住，这个人导函数就等于后面这个部分分之一，大家注意，这不是个巧合，

这是个必然。所以在这种当中继续拉回来，我们在导数表里面当中啊，还有两个人，一个人是这个人，你看这个人求导。就是x加上根号下x方加a方导函数是这个人分之一，然后是ln x加上根号下x方减a方导函数是这个人分之一。记住，这两个人也会考到啊，考研过程当中会考的，记住这两个问题，这俩导函数。好了呃，这个部分问题啊，

我们就说到这，你下去过程当中啊，好好练习一下，那么接下来过程当中啊，嗯，这样吧。我们稍微的休息会儿。可以吧，为什么休息会儿呢？大家可以进行下课练习一下，你就不要占用我们上课时间了啊，上课时间的话让你做，我还得停一下。然后这个下课休息过程当中，你就可以把这三个题进行完成一下好不好？

我们休息五分钟，然后把这三个题做一下。然后上课过程当中啊，我们就立即开讲好吧，同学们好，稍微休息会一会，我们继续讲义当中的六点一和讲义当中的六点二。然后再看看。还有一个六点三可以作为思考题啊，这三个题第一题第二题还有第三个题啊，这三个题如果你都能做完呢，那是最好的。好，我们稍后休息会儿吧，一会儿我们继续。

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08.零基础考点精讲8-1

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