07.零基础考点精讲7-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:23:32

好，接下来我们就继续吧，我们再来看看这个五点六这个题，你们选多少？这个题选几啊？五点六这个题。啊，这个题啊，考给我们非常好啊，这个题型。啊b选项好都回给我看看啊，我看看这个情况。嗯，非常好，非常好，

非常好啊，非常好，对这个题正确，答案选几选b？那么，接下来我们来看看这个题啊，可能很多同学你发现把这个题的正确答案选成a了啊，这里面当中啊，出现问题的点在哪？何处这个题是个易错题？那么，首先第一个事情，我们先来看。你发现这个函数让我们进行求一处的导函数，分段函数在分段点，

而且你发现两边不一样。所以说这个题啊，肯定是要用定义，而且需要分成左右，那么首先第一个事情，我们先来进行去写下左导数，然后再来写下右导数。那么，首先第一个事情，同学们，你来把这个导数定义给我写一下，你看这人就是趋向一负，然后是多少fx-f一比上x- 1？然后这类目当中，你发现这就是limit x趋向于一正，

然后这是多少？这是fx-f一比上s- 1。那么这个里面当中核心知识点的话，我们就是要把它带进去，对吧？这是s- 1好先来看第一个问题。趋向了一负一负，就是比一小比一小是多少呢？比一小就是这个人，所以说这个部分是三分之二x三次方。好，这是第一个人，然后在这里面当中，我们再来看看下面这个人，这是一真。

那么一正就是比一大比一大的话，就是这个人，这是s平方，但是这里面当中你发现啊，容易出错误的点在何处啊？就是这个f1。那我想问你个事情，这个题的f1有几个人呐？有几个人？它只有一个，什么叫f1啊？f1就是f=1处的值在哪块画等号在这？所以说它的结果只能是三分之二。因此，你要注意一个事情，

你看在这要减三分之二，这还是要减三分之二。很多同学，你发现下面这个人没有减三分之二，减成了一，他说把这个一代到这里面代不了。一在上面呢，所以你在这里面当中做题要稍微的注意一下，那么接下来我们来求解一下这个人，你看把这个人进行去啊，进行去定下型。首先你看一定型，这是零，然后上面定型呢，上面还是零？

那么所以说这个题就是个零比零型的未定式，那既然是零比零型未定式，这个题怎么做？很多同学可能在这里面当中说，我把三分之二提出去，然后用一下立方差公式，没有必要零比零，我直接落下。一个洛必达就出来了，不用因式分解，因式分解太麻烦。我一个洛必达下面没了，上面这个人就是刚好是二倍的s平方，就等于二本题结束。没有必要进行化简，

然后接下来我们再来看看下面这个人，有些同学又落笔党了，那就离谱了，你看下面这人极限是零，上面这人极限呢，真是三分之一。所以说这个极限结果是无穷大。因此，你发现一个事情，这个部分是存在的，这个部分是不存在的。所以在这里面当中啊，它的左导数是存在的，右导数是不存在的，正确答案选b。

呃，所以说这个题啊，对我们而言，做起来还是非常重要的，非常好的一个题啊，你下去过程当中好好想想好了，那么这个题啊，我们就讲到这儿。哎，把这里面当中的知识点好好梳理一下。好了呃，这就是我们在这里面当中啊，介绍的第一波问题，对吧？连续性怎么判定可导性怎么判定连续性和可导性的判定性的问题？

好了，这个第一波知识点呢，我们就讲到这，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题，好，我先问一下这个你们现在状态怎么样？状态怎么样？非常好吧，哎，拿出你最好的状态，然后听下面播内容，因为下面这个部分知识点呢，稍微的会绕一点点。哎，

好好听啊，这波知识点。连续性。和可导性之间的关系啊，这个部分的知识点呢，稍微的会有点绕，我相信很多同学你发现这个在大学过程当中啊，你都应该是学过这句话的。就算再没有怎么去学，你发现你也知道这句话叫做什么呢？叫可导必连续连续却不一定可导。就跟有些呃，我之前的话在那个微博上。看过一个，这个好像采访的一个段子，

对吧啊？就什么东西呢？说呃，你的高中的青春。说出一句你高中的刻骨铭心的话。很多人就回复的说什么呢？叫做啊，你看说前面的话叫做呃，叫做奇变偶不变符号看象限。对吧，鸡穿藕不穿啊，等等一系列东西，你发现在大学过程当中呢，你再没有学习过高数，你在这里面当中啊，

你还记得这句话叫做什么东西呢？叫做可导必连续连续却不一定可导。我在这里面当中啊，稍微的找一下对吧，我记得原来过程当中我找过这幅图。有一张图片，对吧？哎，就是这张图片。我给你拿过来给你看看啊。对吧，就这张图片，你还记得吗？在这里面当中，有这种图片叫做什么叫可导，

必连续连续却不一定可导。但是同学们注意啊，这里面当中的东西啊，可很神。你仅仅记住这句话，我觉得同学们你还是不会做题。但是对于三九六同学，你发现就算做错做错了，最后答案也有可能做对了啊，但是我希望你们一开始要学好啊，不要乱来。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事情是一个什么样的一个问题呢啊？不用去说可危啊，

可危一元函数，可危跟可导没什么区别。二元函数可微和可导差别大了，后面我们再说，那么在这里面当中啊，首先我们看第一个事情，它是这样说的。他说如果这个函数。它怎么办呢？它在x0处是可导的。大家注意啊，你如果在s0处可导，我立即可以推出什么，我立即可以推出这个函数。在这个点处是连续。

大家注意，如果你在这个点可导，一定能推出你在这个点初始连续。所以接下来过程当中，我们来看看这个事情，那么今天过程当中学习啊，你可以把这个问题啊，你可以来进行去证明一下能不能证呢？当然可以这样。那么，首先我们先看第一个事情，你如果在这个点处可导，你能推出什么？你想一个事情，我刚才讲过，

我们说可导性的判定，如果你在这个点处可导立即可以推出什么？那这个东西不就可以推出导数定义的极限是存在的吗？是不是这个事情哎，就可以推出这个导函数这个定义的极限是存在的，也就说s趋向s0。然后这是fs-fs零，然后比上s-s零，这个极限是存在的。对吧，这是我们刚才讲的可导，它本来就能推出这个导数定义极限存在，那么接下来过程当中，我们就继续看。你看另一项性质比值极限是存在的。

比值极限存在，而你发现一个事情，这个分母的极限是多少？分母极限是零吧？那既然分母极限是零，我立即就可以推出什么这个分子的极限它。他不也是零吗？所以在这里面当中fs-fs零这个人的极限不也是零吗？这是不是利用钢材性质啊？刚讲到，不要忘了对吧？比值存在下面极限是零，上面极限也是零。那么，在这里面当中，

我们就继续马上来推。你想一个事情，这个东西是什么？这个东西是个树啊？一个数数的极限当然存在啊，所以在这里面当中加减法当中，只要见到存在就可以拆开你的极限减这个数的极限，还是这个数移过去不就得到这个人吗？那么，同学们告诉我个事情，这个东西是什么？这个东西不就说明fx怎么办？极限等于函数值，不就说明它在这个点处是什么连续的吗？是不是这个问题，

所以在这里面当中啊，你发现马上把这个东西啊，就想清楚了。对吧，我就立即可以推出这个函数，在这个点处是连续的。所以说如果你在这个点处可导，一定可以推出你在这个点处是连续的，没有任何问题吧，但是你发现一个事情，这个方向性能回来吗？绝对回不来。连续却不一定可导你，比如说举个例子，我们刚才讲过经典的函数，

这个点这个人呢？你发现一个事情在x=0处呢？它是连续的。但是你发现一个事情，它在这个点处呢，却不可导，我连续了，但是没有在这个点可导。对吧，这就是一个非常好的反例，所以在这里面当中，我希望同学们注意你能把这句话给我记清楚。如果你在这个点处可导，你就在这个点处是连续的，对吧？

可导必连续可导，一定能推出连续。对吧，谁可导谁连续。我在这个点处可导，我能推出你在这个点处是连续的，但是注意一个事情，你就这样学，你发现好多题你都做不了。呃，我们先来进进行讲一个这个同义词闯换啊，那么首先第一件事情你告诉我个事，他说我在这个点处可导。跟这句话，你发现一个事情一样不一样。

一样还不一样。你在这个点可导跟导函数是存在的一样不一样。一样的吧，这个脑筋急转弯，这都不算啊，稍微有一点逻辑性就行。你在这个点可导不就说这个导函数是存在吗？这个能理解吧，好理解清楚给我回复一。你在这个点可导，我们其实就是导函数在这个点初始存在，这是一样的，好了，那么接下来我们来看几个问题来做一下，五点七这个题吧。

这个题啊，能帮助你把这个事情理解的非常的到位，好，我们来看看这个事情。那么，首先我们先看看第一句话。第一句话对不对？那么他说这个人在这个点处存在。那就能说明在这个点处是连续，对不对？这个存在啊，其实你发现可以转，其实就是有定义。哎，有定义，

你在这个点处有定义，你就能说明这个函数在这个点连续吗？这是我刚才讲的，绝对不对。我刚刚怎么讲的？连续了肯定有定义，但是有定义不一定连续，所以说大家注意这条不对。能听懂我的意思吗？你在这个点处存在，你不能推连续的。连续可以推出，在这个点存在好，这是我们讲的这个第一个事情来继续，我们再看第二句话。

如果你在这点可导，你在这点连续对不对？第二句话对不对？你想一个事情，我在这点可导，我在这个点处连续，对不对？第二句话对不对？对不对啊？我估计很多同学已经把这个课程听了，对吧啊？这个零基础提前学听的比较快一点啊。可能这个之前的这个部分课程啊，没关系啊，你把这个东西啊深化一下，

对不对？大家注意不对？呃，如果一些同学你发现学的非常浅呐，他就认为对了，哎，这句话不对，我们刚才讲的是什么？我们说fs在这个点可导fs在这点连续。你发现一个事情，这是高街道一街道连续吗？那不一定。因为我们都知道一个事情，谁可导谁连续fs可导，只能推出fs连续。

你可导推的是你连续你不能推出比你高一级的连续。因为一阶导的连续是怎么写的？是一阶导的极限等于一阶导函数值，这不对的，所以说你发现这句话不对。fs可导，fs连续，谁可导谁连续。记住这句话，谁可导谁连续。那么，接下来我们再来看第三条，它说如果这个导函数存在，则这个fs在零处连续s0处连续，对不对？

哎，这句话对着为什么呢？因为这句话的意思其实就是如果你的导函数存在，不就是fs在该电处可导吗？你可倒你连续这句话对称。能听懂我的意思吗？不要绕啊啊，千万不要绕，所以你把这几个问题啊，你把它想清楚，所以这个前几个问题啊，我们学清楚了一个问题就是。谁可导谁连续，一定要记住谁可导。谁连续fx可导？

fx连续一阶导数可导，一阶导数连续二阶导数可导，二阶导数连续。谁可倒谁连续好，这是我们讲的这个第一个问题，对吧？第一个点那么在这里面当中，我们再来看一个事情，我来问你个事儿。如果高阶连续。高阶连续能不能推出低阶连续？告诉我个事情，能不能？高阶连续能不能推出低阶连续？能不能非常简单，

你想一个事情，如果你已经连续了，我就能推出你在该点处是存在的。是不是啊？因为我刚才讲了，如果连续了，连续能推出存在。那你想一个事情，如果一阶导数存在，其实就是fs可导fs可导fs连续它，当然是可以的。所以要记住一个事情，第二句话，高阶连续能推，低阶连续。

记住啊，高阶连续能推低阶连续，但是不可以逆推，所以你把这两句话记到旁边，什么东西都清楚了。谁可倒谁连续，高阶连续能推，低阶连续那么在这里面当中，我们来看看第四条，你如果能把这三个问题啊，把它想清楚，我相信绝对没有问题了。来看第一个事情，那请问二阶导数存在？能推出二阶导书连续吗？

当然不行，你存在了，推不出来，你连续这是不对的。但是你发现二阶导数存在，能不能推出一阶导数连续二阶导数是存在的，不就说明是一阶导数是可导吗？一阶导数可导，一阶导数连续没问题吧？那你想，如果二阶导数存在。一阶导数可导，一阶导数连续高阶都连续fs肯定连续。所以说这几条都是对的，那么在这里面当中啊，

你也可以把它给我记住，如果这件事情你能把它记住啊，我相信在考试过程当中你也可以用的非常快。记住二阶导数，存在推不了二阶导数，连续能推出之前的是连续。能听懂吧哎，二阶导数存在推的是一阶导数，连续推的是fs，连续好了，像这块问题啊很呃有点绕啊，稍微这个绕一点。可能很多同学你发现往年的情况，学到这个什么这个强化班，学到这个冲刺班，

他都绕不清楚。我就觉得这个问题啊，要不是上课，我们就理解清楚了，如果你觉得还绕一点，你下去过程当中啊，挑上五分钟时间，冷冷静静的把它想想，哎，什么东西都清楚。就是两句话，谁可倒谁连续，然后高阶连续能推低阶连续，就这两件事情。然后说二阶导数存在，

其实是一阶导数可导，把这两句话会做转换，什么东西都清楚了，好了，同学们，这些问题啊，把它掌握清楚了，请给我回复一。呃，这个页面非常重要，我希望同学们把这个可导性，连续性把它好好跟我想想啊，一点都不难。所以你就记住这件事情就行，谁可导谁连续高阶连续能推低阶连续把这个问题想清楚就行好了，

那么接下来我们就来看看五点五这个题。来做一下这个题吧。你来看看这个题目，我们怎么去处理啊？五点五往前翻啊，那么在这里面当中，他说了一句话，他说fs在二处是连续的。那么，请同学们告诉我，只要见到连续立即反一件什么事情？只要见到连续立即反应，我在趋向于二处的极限，我一定怎么办？等于二处的函数值。

好，这是连续这个问题，你把这个事情你先想清楚，对吧？极限等于函数值，然后在这里面当中啊，他告诉我们一件事情，他说。这个极限等于一，然后让我们去求该点导函数，所以在这里面当中，我又要讲一个定势思维能力了。这个第二个定式思维能力啊，可能考的会更多一点哎，我们考研非常喜欢考定式思维二。

那么，这个第14维能力讲的是什么情况呢？哎，如果在考研当中啊，见到将极限。与导数挂钩的问题。大家注意，你先想想导数d。倒数零，大家注意一个事情，如果在考研过程当中啊，你见到这种问题将什么问题呢？将这个极限和这个导数挂钩的问题，那就什么问题呢？哎，

我知道极限求导数，我知道导数求极限，你立即跟我想导数定义。对吧，将极限跟导数挂钩的问题立即去想。导数第一，所以说这个题啊，我们马上来处理一下这个事情来解。那么，在这里面当中，你看我知道这个极限，去求该点导函数是不是要去凑该点导函数的导数定义啊？二处的导数定义根据limit是s趋向二，我就写这个定义就趋向于二，然后这是多少fs再减去f2比上s- 2。

那么接下来也就说我要用这个极限求这个极限。那么，先对比一下吧，你觉得这两个极限哪个部分相差比较大一点？是分子差的大，还是分母差的大？当然是分子首先第一件事情，我就要把f2求出来，那f2是多少呢？f2就等于这个极限。所以我要求这个极限，那要求这个极限还不简单吗？那来根据一个性质对吧？比值极限是存在的，而你发现一个事情下面这个极限呢？

你趋向二二二得四，然后的话，这个人呢？这人是零，那你想一个事情，下面的极限是零，我就立即可以推出什么，我就可以推出。上面的极限也是零。那上面的极限是零，那这两个东西一结合，马上可以推出f2，这个结果就是零。所以说在这里面当中f2这个结果是零，那f撇二就可以写了f撇二就是s趋向二，

然后用fs-f二。你减去f2是零啊，然后比上s- 2，所以说这个极限就立即变成了这个极限，那你发现看s- 2，然后fx。那求这个人呢？那么接下来你看我根据这个极限求这个极限，那你就往上面靠呗，对吧？若要寻求不可知，就要从已知推未知。所以在这里面当中，你看这个人的话是什么呢？我们去创造这是fx的话，

这是x- 2，你很明显一个事情，你相差一个加二，你在这乘一下不就行了。能听懂吗？你在下面乘个加二，你在这乘个加二，不就创造出来它吗？而我们马上知道一个事情，你发现看这个极限部分等几？这个极限部分等于一，然后这个极限部分等于几？这个极限部分等于四，注意一下趋向二。对吧，

这是四你发现一个事情，两个极限都存在，都存在不就可以拆吗？就等于四跟得上我的意思吗？所以说你发现你看这个题，我们就处理了。那这个题立即把这个答案做出来。而我们出成选择题就出四个选项啊，这个五个选项就行，对吧？我出一个一二三四五或者但是一般出答案都不会这样出。我出一个四，另外一个出负四对吧？出个二，另外出个负二，

再来出个零，那就可以了。这个题学会了吗？所以你发现看这个方向性，我知道极限求导数，导数定义，然后把导数定义求出来之后，你发现我马上要求出f2f2是谁？极限等于函数值，因为连续赶紧求这个极限，下面是零，上面极限是零，马上求出来。好了，这是这个问题，

那么接下来过程当中，我们再来看这个题，但这个题我还没讲完，还有没有方法呢？同学们，我们再来看还有没有方法？你发现这个题，我能不能这样处理啊？在这里面当中，你发现一个事情当x趋向几趋向二。这是fs，这是平方减四，然后这个结果等于一。那你发现一个事情，你看这个极限，

结果等于。这个极限结果等于一的话，那么在这里面当中，我们稍微漂一下，你发现我们要进行求什么，我要进行求f撇。那f撇r怎么求呢？我们这里面当中啊，你发现下面极限是几零？那上面极限也是零，因为比值极限存在。下面极限是零，上面是零零比零，那么所以说在这里面当中，我可以怎么办？

我落个必答。我一落的话，你发现这人是2s，然后上面是f撇s，然后等于一。是不是这个事情，然后在这里面当中，我们再来看你，发现一个事情，我马上来处理一个问题，下面极限是零，所以说在这里面当中，你发现。上面的极限就是零。对吧，

上面的极限是零的话，你发现又因为导函数极限等于导函数函数值，所以说这人等于零，对不对？同学们告诉我，我这样做对不对？那这题就废了。所以说这个题啊，出的非常的好。哎，这个题出的非常好，他出的好的点在何处呢？一般情况下用了这个错误的方法也能做出正确答案，但是你发现这个题你如果方法做错了，绝对做错了。

那么，在这里面当中，我们来看看这个事情错误的点在哪？这个题的错误的点在哪？我就想要问你个事情，就是这个题，如果找错误错误的点在哪？我写这一行当中有几个错误点。几个嗯。好，这里面当中啊呃，这里面当中的这个这个题啊，不是这样做对吧？呃，这个题的话应该是这样来，

因为下面不是零了，对吧？所以说在这里面当中s趋向二。然后这是多少？下面是四吧，所以说这个limits趋向二，然后这是f撇s，它就等于四。然后说该点处的导函数等于四好同学们，你告诉我对不对？我把这个写完啊，刚才这个下面不是零。对吧，这个不是零那么，所以说你看下面这个人是四。

下面这人极限是四的话，我马上就可以推出来，你发现一个事情，那这个四就可以先算了，先算了之后就得到了一个什么情况，得到了这个人的结果是四，而且他的极限等于函数值，然后等于四。好了，这个答案也做对了。哎，注意啊，这个题你发现我用了错误的方法，我也做出正确答案，我来问你个事情，

请问这个方法对不对？咳咳。方法对不对？请问一下，这个事情这两行当中方法对不对？答案是对的。对不对？错完了。那么，大家注意一个事情，这里面首先出错的第一个点呢？你看你是不是f撇二啊？f撇s。在趋向于二，也就是二的附近，

你二的附近可导吗？不一定啊，你想一个事情，它只告诉fs在二处是连续的。你只告诉我在二处是连续的，我能不能推出在二处可导？我不能对吧，你这个题当中，你只告诉什么情况，你只能告诉二处是连续的。首先推不出来，二处是可导。这推不出来。况且而言，就算你知道二处可导，

你能知道二的附近可导吗？你不能，所以在这里面当中出错的第一个问题就是在二的附近，这个人未必可导你求导了。这是第一个错误点，那么这里面当中还有一个更重要的错误点在哪？更重要的错误点就是你这个人真的等于他吗？等于吗？我只知道fs连续，我知道导函数连续吗？你想想一个事情，你在这里面当中就用到导函数在二处是连续的。是不是？但是你发现导函数在二处连续吗？我刚才讲了低阶连续推不了，

高阶连续高阶连续能推，低阶连续。所以在这里面当中，你发现这个东西啊，也错了。所以说像这一块类型问题啊，对于我们三九六同学其实是一种优势，优势点在何处呢？就是有的时候你虽然方法用错了，但是你答案也做对了。就就很讨很讨厌，对吧？这个没有区分度。所以在去年的考研真题，它就变贼了。

他说，下列当中有几个是正确的，你们看到这个去年的真题吗？那去年他就变贼了。所以像这种类型问题啊，大家一定要注意这个事情，你看你该做错了，他就把你往错处引，注意一个事情这种东西啊，绝对不行，我再来重复一遍。第一个事情在二的附近，未必可导。因为只知道二处连续推不了，二处可导，

就算二处可导，也不知道附近可不可导？对吧，二处可导跟附近可不可导不一样，第二事情你在这里面当中胡乱用了导函数是连续没有这个条件。好了，同学们，这个题听明白了，给我回复个一。这个答案是对的，但是这个方法错误。所以在这里面当中啊，一定要稍微小心一下，这种类型问题啊，这种题啊，

出错误错误率还是非常高的，那么接下来过程当中，我们再来看一个题。来做一下五点八这个题，把这个题啊，我们来稍微处理一下，看看这个题。那么，在这个题当中啊，他说了一个事情，他说fs在零处导函数连续。大家注意一个事情啊，它这里面当中说了一个什么事情，它说的是导函数，这个人怎么了？

在零处连续。注意是导函数连续，那我想问你个事情，导函数连续能不能推出fs连续？当然可以退出。对吧，连续什么叫连续呢？连续就是极限等于函数值。对吧，导函数极限等于导函数函数值。极连续就是极限等函数值，你的极限等于你的函数值。把这东西列出来，然后在这种当中，你发现这个f0等于二零二三f撇零等于二零二四，

它说如果这个函数在零处连续。同学们，只要见到连续跟我立即蹦，那么只要看到你这个人连续他说的不就是这个事情吗？就是趋向于零的极限。等于零处的函数值，它的零处函数值等于a。我要想求a不就是来求极限吗？所以在这里面当中啊，我立即来求一下这个人极限，那这个人极限是多少？他就是limits趋向零。然后这是x，然后这是fs+a倍的这个s in。是不是这个事情好了，

同学们，你看到这个题，你怎么去想？对吧，稍微的要有接的感觉。你想想一个事情，眼睛一漂是一阶，眼睛一漂是一阶，同阶之比是存在，那这个东西是存在咔的，一下拆出去。听得懂我的意思吗？我赶紧把这项拆出去。所以在这里面当中，首先做这个题当中的第一步就是要把这个人拆出去，

因为加减法当中，只要见到存在就可拆，因为这里面当中你发现同阶之比是存在的。好，做成这样。那么做成这样了之后的话，你看后面这个极限没有问题，关注点是前面这个极限好，我们来看看前面这个极限。前面这个极限先来定型，你发现一个事情，下面这个人的极限是零。上面这个人连续极限等于函数值，等于这个人。呃，

这块改一下，这个敲错了，对吧？你把这个改一下，把这个二零二三改成零啊，不然这个题做不了。把这改一下。把那个二零二三改成零。所以说你发现一个事情，你看这个人是零极限等于函数值，这个人也是零。所以同学们告诉我个事情，你看这个人是个零比零型未定式，请告诉我个事情，这个人怎么做？

我敢不敢落必达？敢不敢落零比零啊？零比零的话，你发现一个事情我就落了。行不行？我当然可以，我就落了，我落完了之后的话，你看这个后面这个极限是a，然后在这里面当中，我们再来看。因为导函数是连续的导函数极限，等于导函数的函数值。所以等于a导函数函数值等于多少导函数函数值等于二零二四。加上人，

你看这个事情，我立即就把这个东西做出来了。你看清楚这个问题了吧？那所以说你看这个极限等于它，那说明什么情况？说明这个大a就等于它。问题结束。那么，请同学们告诉我个事情，我这个题当中的做题方法对不对？没有任何问题，每一步有理有据，扣的非常的细致，这是没有问题的，能听得懂我的意思吗？

好掌握清楚给我回复一。掌握清楚给我回复一，但是同学们注意一个事情，我把这题稍微改一下。对吧，在这个题当中，我把它改一下。我改成一个什么情况呢？稍微等会，我把这个。讲义打开，我在word里面改过。那么，在这里面当中啊，我稍微的话进行把这个题目啊，

稍微的给你改一下，你再来瞅瞅我，所以说我希望同学们注意啊，这块内容还是要把它进行去学到位的啊。嗯，改编下面是有吧？好，我们就刚好看看下面这个题。来再来瞅一下五点九这个题。这是五点八，下面刚好有改变这个题，那么同学们告诉我一个事情，你看我现在改了。我改成什么情况呢？我改成fs在零处导函数是存在的。

大家注意一个事情啊，也就说明什么事情呢？说的是f导零是存在的。我刚才过程当中。导函数。这有什么区别吗？这没有什么区别，导函数存在，你这是中文那个翻译水平啊，对吧？稍微想想就行了，导函数存在嘛？导函数存在跟可导不就一样吗？你看我fx在x=0处，我说它是可导的。

它可以导导出来的话，不就是f导零存在这两句话是一样的呀。这没有什么区别啊，你你好好想想，他说导函数是存在的，导函数存在不就是fs在零处可导吗？那么，请问同学们，导函数存在能不能说明导函数连续？能不能说明你在邻处？是连续能不能？我刚才已经讲过导函数存在。是fx可导。fs可导推出的是fs连续，这句话不行，

而你发现一个事情，我能不能推出fs在x=0处连续？能不能哎，大家注意这就行了。我是可以推出fs在零处连续。因为你发现看f导零它是怎么出来的？就是fs可导fs导出来的，我可导我连续没有任何问题。所以说在这个题当中啊，你发现你把这个改一下，这人改成零，那因此在这个题当中，首先它说连续性连续性的话，在这里面当中趋向零，我求极限。

我求极限的过程当中，就是对这一坨求极限。对于这一坨球极限的话，首先第一个事情，我可以把它拆开，没有任何问题，只要在加减法当中见到存在都可拆好，没有任何问题，我来看下面。那么再看下面的时候的话，你发现拿到极限先定型，我一定这是零，然后你发现看连续极限等于函数值fs连续啊，我是连续的极限等于函数值上面是零。那我想问你个事情，

我在这一步的过程当中，能不能落必达呀？能不能你在这里面当中的话，你发现一个事情，如果你落了一下就落成这样子了，然后在这里面当中加个a。那这个时候的话，你再说导函数的极限等于导函数函数值，然后做出来这个答案，这是二零二四同学们告诉我这个答案还对不对？行不行？大家注意，绝对不行了。你这样一做就废了，为什么呢？

因为你在这里面当中是不是用到了这一步？你用到了导函数极限，等于导函数函数值，你是不是用到了导函数连续，但是导函数连续吗？未必连续，因此在这里面当中这一步就不对了。所以说对于这个题而言，你在这一步当中绝对不能使用诺贝达法则。你如果使用了洛必达法则，这题就废了。绝对不行。那所以说像这种题啊，你发现我们看到题的时候先具体去想想能不能落，如果这个题落不了怎么办？

落不了非常简单，凑到数定义。那就去凑呗，你看这是fs而f0刚好是零，你减一下，然后在这里面当中加个它，这根极限是a。所以说你看这个极限不就是f导零吗？哎，这人就可以了，他就等于二零二四+a。对吧，因为f导零是存在的，这个极限就是存在。所以你看看这样做，

它就可以，所以说这个人就等于大a。那么像这两个题啊，我希望同学们下去过程当中好好想想，我讲了两个题了，刚才那个题就是这样，现在这个题还是这样。就是像这种题的话，你发现我用了正确方法，哎，我做对了。我用了错误方法，哎，我发现我还做对了这种方法就很讨厌。对吧，

但是你发现一个事情，这里面当中啊，我希望同学们要学好，对吧啊，我们才开始，你如果是只追求那个答案呢，那是我们最后冲刺阶段，我们要做的事情。但是这个阶段我希望同学们要学到位，对吧？每个细节性的东西啊，你还是要学好。好了么？同学们掌握清楚给我回复一啊，听明白了吧？

好了，掌握清楚给我回复一，一定要进行去分析清楚，连续了极限才会等于函数值，你fs连不连续啊？你导函数连不连续啊？你连续了之后才能极限等于函数值。一定要注意，那么接下来同学们，我们来回过神来。再回到五点八这个题。那我想问你个事情，刚才这个题虽然能落必答，但是我不落必答行不行？行不行？

我在这里面当中，你发现一个事情，虽然能洛必达，但是我不洛必达，我就在这里面当中凑导数定义行不行？我在这上面减个零。我在这儿减个零，然后这人是a，我照样得到了f撇儿零，加上a，我照样等于二零二四，然后再加上a。行不行可以啊？没有任何问题，所以说同学们注意一个事情，

就这个题啊，虽然能落，但是我不落也行。落了也没错哎，把这个类型问题点你想清楚。呃，我在这里面当中，我可以给你稍微的进行去说一下。你把这种类型问题啊，你如果想总结啊，其实吧，这里面当中啊，有一个非常重要的一个结论。你把这个结论记住就行，就是含有抽象函数的极限问题。

到底能落到。洛必达。到哪？你想不想知道，你不就想知道这个事情吗？如果这个题当中啊，你发现含有抽象函数。对吧，我还有抽象函数的极限问题，就这种类型问题，你到底能落笔答到哪？你到底能落到哪一级啊？你想不想知道？你肯定想知道，你非常想知道这个人，

大家注意一个事情，结论是落到。函数连续的那一些。那一步大家注意啊，就是落到那个函数连续的那一步。那么，接下来同学们，我们来分析一下这个事情，我看看你的水平怎么样来吧。同学们赶紧回来。再看五点八这个题，我想问你一个事情，人家这个题说的很清楚，对吧？五点八这个题说的很清楚，

他说的是谁？他说的是这个人的导函数连续谁连续一阶导函数连续，那既然是一阶导函数连续，如果一会儿你出现在极限里面，能落到哪儿？能落到一阶导数，所以说刚才那个题的话，你发现一个事情，我落到了一阶导数没有出错。对不对哎？没有出错，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个题，下面这个题的话，它说fs在该点处的导函数是存在的。

一阶导数是存在的，那说明的是fs连续，所以只有fs这节连续，因此你只能落到哪，你只能落到fs。那你也就说这里面当中只能到fs，能不能落不能落？听清楚我的意思吗？我们再来看看刚才这个题。比如说这里面当中，我们刚才还讲了这个五点五这个题，你看这个题说的是fs连续那fs连续的话，你看你这个人只能落到fs不能进行洛必达。你只要在这里面当中落到一级岛就出错了。听清楚了吗？

哎，就这么简单，所以说如果你想总结他总结出来，最后的结论就是这个结论啊，当然我们后面的话，这个基础班。还有这个强化班呢，我们会慢慢的渗透啊，这个知识点非常的重要啊。能听懂我的意思吗？所以将来过程当中啊，我们呃做这种含有抽象函数的极限，我们稍微的贼一点，我一看诶导函数存在。fs连续fs连续，

我只能落到fx哦一阶导数连续，我能落到一阶导二阶导数连续，我能落到二阶导。谁连续我坐在那对吧？这个思维方式的话，你一立即啊，就把这个东西啊升华了。好了，像这个问题点，我们就讲到这能听清楚吧，好听明白了给我回复一。掌握清楚给我回复一。好了吗？同学们。可以了吧？

哎，这是这个问题，那么接下来同学们注意，我们再来看看下面考点黄金重点内容啊。那么，接下来这个问题啊，在考研的过程当中啊，是一定会考察的，100%会出题的内容。那么，这个内容叫做什么呢？叫做导数的推广力。大家注意，考研必考我们的考研过程当中，我们就贼喜欢考这个人导数的推广力。

那么，接下来过程当中，我们再一次回到导数定义的这个问题。那么，接下来过程当中，我再来问你啊，什么叫做导数啊，同学们？何为导说。导数是什么？这是y这是零，然后这是x。那么，在这里面当中，我们来拉条线，

如果你发现一个事情，我在这里面当中给了一个x0，什么叫导数？导数就是这个点处的瞬时变化率。就是这个点处的瞬时变化率，那么原来过程当中我们是不是给你了个增量啊？我给你了个增量，我用什么表示呢？原来这个增量我们用德尔塔s表示。那么，现在而言的话，我不用德尔塔s表示行不行？我用框表示行不行？我可以增量一个好长的一个东西，一个式子，

一个函数都是可以的，我增加了一个很很长的东西，然后我跑到了x0，加上这儿。这没关系啊，反正你发现一个事情，我反正跑到了b。那么，现在而言的话，同学们告诉我，我们一起来写一下这个事情。那请问这个人的末点是多少？他的末点就是x0，加上这个人。然后再减去起点，

请问一个事情是不是a点处的德尔塔y呀？a点处的德尔塔y再比上a点处的德尔塔x，你看这就是德尔塔y再比上a点处的德尔塔x，请问同学们告诉我这叫什么？这叫a点处的平均变化率。那a点处的平均变化率，我要想变成瞬时变化率，我得怎么办？我得让这个德尔塔这个部分非常小，也就让这个框一定得趋向于零。如果你发现看平均变化率，再让这个人趋向于零，就是这个点处的瞬时变化率，这个点处的瞬时变化率。就叫做这个点处的导函数。

呃，明确记住一个问题啊，这个东西就是我们考研的啊，这个终极目标你能达到这个水平就行了，考研基本上就考这个人。你能让这个框啊，趋向于零就行，所以在这里面当中，我们做题啊，我们有两件事情。第一件事情。我们经常讲叫做一凑结构。大家注意，拿到这种东西进行凑导数定义的时候，先把这个结构给我，

备注就是ff多少呢？s0+1个人减去fs 0比上这个人。先把这个结构给我凑出来，哎，凑这个结构，然后第二件事情。大家注意二看零。那么，现在这种写法就是我们所谓的参考书的写法啊，参考书都是这样写，但是你发现参考书这种写法让很多同学不会做题。有些同学一直在瞄这个limit，下面是不是框趋向于不要管，不要管limit，下面请同学们注意一个事情，

就给我看这儿就行。看这块是不灵。对吧，你原来学长学姐们把这个人叫做脸，对吧？就看这个部分，就看这个框是不是零，不要管limit下面。所以我们做题方式就是两个事情，一凑结构，二看领域。一凑结构二看零，就这两个问题，所以你要把这个事情要记清楚，但是大家注意一个事情，

看零也要会看。那么，首先这里面当中，我们先看第一个问题。你注意一下这个事情。那么，结构出来之后，我们再来看零这个零呐，它有可能只能往零阵跑。也就说什么事情呢？这个人呢？有可能永远都是大于零，同学们想想一个事情，如果你永远都大于零，看就是这个增量。

增量永远都是大于零，他只能往哪增？只能往右边增，你只能往右边增，你是不是只有这半边的切线斜率？你只有右边这本期限斜率，同学们告诉我个事情，这叫什么导数？这叫诱导数吧？这我刚才讲的呀，右极限诱导数嘛，如果你发现一个事情，这个人只能趋向于零负。零负也就说只能往回跑，往回跑只有这半边的切线学历，

这叫什么？这叫左导说。所以因此你要注意一个事情，你看零的时候要稍微的小心一点。对吧，如果这个人只能临阵，他叫右导数只能临负，叫左导数，他既能临阵也能临负，他才能叫做导数。所以我们要记住这个事情，所以做题方式就是这个页面呃，其实你发现这个页面呢，其实都能到的三九六同学，我们讲的这个。

强化班就达到这个水平就行，你不要小看，这是零基础，提前学课程，我们到了这个强化班，或者有些同学二战同学你都理解，你到了冲刺班，你就学会这波内容。其实就够了。就是这波知识点就是一凑结构。然后戴上一个帽子，让它等于零，这个人就是导函数。注意这个事情，所以说就是一凑结构，

戴上帽子，如果是零就是导函数一凑结构二看零。那么，接下来同学们，你跟我一起来看看接下来这几个例题，我们一起来做一下好，我们先来看看第一个例题。那么，这里面当中我们这样写，这是limits趋向零，然后你发现一个事情，我来写一个事情，这是。四再加上x方，然后再减去f4。

然后再比上多少呢？比上个一减cos in好了，同学们告诉我这个空填多少好，这是第一个题。然后接下来过程当中，我们再来看，如果上面这个人，我们继续写，这是f。然后这是四，再加上三。再减去f4，我来比上多少呢？我来比上s这个人等于多少？然后第三个事情我们继续看。

这是limits趋向零，然后这是f。五然后再减去f5-x，然后比上x，这等于多少？好，我们一起来看看这几个题，慢慢做，请同学们注意这节课，你能把这个练会就行好，先看第一个事情。那么，首先第一个问题点的话，你发现出来了，你看给了这个极限凑导数定义吧，

给了极限凑导数定义做题方式就是两个事情。一凑结构来，同学们注意给我背啊。那么，凑结构的话，你发现看这很明显，一个事情就是四，再加上个框。减去f4。对吧，来我们背啊s0加上框减去fs 0，我们是不是要比上框啊？所以在这里面当中就要比上这个人。你比上这个人的话，你就要乘上这个人，

它下面是一减cos in。好了，同学们，请告诉我个事情，这波能看懂吗？可以看懂吧，这就叫一凑结构，就是要什么给什么，需要什么就给什么，然后同学们告诉我个事情，请问这。这个部分的极限是多少？那这个极限的话，你看这个人等价无穷，小于二分之一x方，

那既然是二分之一x方，你也可以把下面直接等价。也没有关系都行啊，你可以先等价也行，或者而言去凑都行，没有关系的，你看这是二分之x方，然后这个部分是二，请问同学们注意它是不是个非零因子先算了？非零因子没有关系的好了，同学们告诉我结构出来了吗？出来了，结构出来再看零，你马上来看看这个事情。把这个东西给我看看。

当x趋向零的时候，平方是不是零平方当然是零，但是平方有一个区别，平方有个区别就是你只能是零帧。所以同学们注意这个东西应该是二倍的，这个什么四处的诱导数。大家注意啊，不是导数，是诱导数。你要记住清清楚这个问题好，这是我们讲的第一个事，学会了吗？好掌握清楚给我回复一吧呃，如果你把这个东西掌握清楚了之后，你再来给我看看下面两个人。

把下面两个人处理一下啊，接下来你再处理下面两个人。好，再来看第二个。还行吧，就是很简单，你要会学就行了，你要有信心呃，所以下去过程当中啊，你不用进行看这个里面有些讲的，你就按照我们这个体系走就行，因为讲这个导数定义有好多体系。你可能身身边当中还有什么讲什么，一动一静的这种啊，都没有关系，

你在这里面当中把这个事情掌握清楚就行，我们这个套路一朝吃到黑。好，再来看看第二人。那第二，你怎么做好？首先第一个事情凑导数定义那一凑结构，二看零来凑吧，然后是x0。加上这个框，然后要减去fs 0，就要比上这个框，那你就要比这个人，但是没有啊，哎，

没有没关系，你就要乘一个除一个，然后比上x。然后在这里面当中，你给我看看这个极限，请问同学们在x趋向零的时候，这个极限等于多少？这个极限等于一非零因子抛出去了。所以说这个人就变成了这个人。那么，接下来告诉我个事情，结构出来了吗？出来了，结构出来了再看零。那再看林的话，

就看这个人。你就看s in这个人，当x趋向于零的时候，你发现s in这个人是不是可正可负啊？你来看看s in这个人图像。s in这人图像是这样子。如果你发现你这边往这跑，它是正的，你这边往它跑，它是负的，所以可正可负，既能临正也能临负。所以说大家注意这个东西啊，其实就是四处的导函数。哎，

就这个人，你看这是第二个人的问题，那么接下来我们再来看看第三个事情，继续来看。能说清楚吧，哎，把这个东西想清楚就行，再来看第三个人。那么，第三个人的话还是这样，我们叫做一凑结构，那首先第一个事情的话，你发现解你凑结构的时候，这是limits趋向零。那么，

这个结构怎么从？你能调一下，你得把这个人调到这个前面去，所以它是五+1个负x。再减f5。叫做s0加上框减去fs 0，然后上面调了一个负号，负号是不下来了。那刚好把上下一调嘛，你上面调一个负号，下面调个负号好了，结构出来了，结构出来再看零我就来问你个事情，请问一个事儿，这个部分是不是零？

你趋向零我负零负，它当然是零你零正我零负你零负我零正。所以同学们既能零正也能零负，那这个东西呢？它就是无处的导函数。跟得上我的意思吗？所以说要把这个东西啊，你要学会它。好，这是这个问题，能掌握清楚吗？哎，应该是可以的。好了，这是我们讲的这个第一步问题，

那么接下来继续我们再来看第二事情。哎，我来稍微的加点难度。如果在这里面当中啊，你发现我说f0。如果是零，那么请同学们告诉我个事情，我们继续看，那这就是limits趋向零。然后这里面当中我们这样写这个部分的话，是一减cos in。然后比上x方等于多少？好来看这个题。那么，现在而言的话，

你发现我把这个东西啊，也往导数定义上层。那这人怎么办？你注意啊，不不能落笔打，我在给你讲凑导数定义呢，那么这个题当中啊，首先我们来看看第一个事情，这是limits趋向零。好凑了，那么请同学们告诉我，你凑几处啊？有些同学说我凑一处一处的话，增量就是这个，但是cosine 0不是零。

所以不是不是一不是一处。那么，这个人的话，你告诉f0，那这个人应该是零处啊。所以说应该写成x0，加上这个框。对吧诶，应该是零处。林这个人。所以应该是零，加上这个框，把这个整体当成框，然后在这里面当中，我再怎么办？

f0是零随便减，然后比上这个。看清楚了吗？哎，你看s0加上框减去这个人，所以说要比上这个框比上这个人的话，你发现除一个就要乘一个，然后这是x方那么。那么，同学们告诉我这个极限等于多少？这个极限是二分之一，所以就抛出去了，就做成这样了。对吧，这叫一凑结构，

然后第二个事情再来看零，我就想问你个事情，请问同学们这个部分是不是零？是不是当然是啊，因为x趋向零cosine零是一一减一就是零，所以同学们注意这个人就是零。但是有一个问题。就是这里面当中到底是邻正还是邻负呢？你把这个事情要想清楚。那么，在这里面当中，我们都知道cosine这个人的话是这样子。对吧，它永远是介于负一和一之间，因为cos这个人，

他永远是小于一的，所以在这里面当中一减cos这个人永远是比零大的。我一永远比你大，所以在这种当中，它只能是零阵。那既然只能是零帧的话，同学们注意这个结果应该是什么？应该零处的什么导数右导数？它只能是诱导数，它不是导数。能学习清楚吗？把这个事想清楚，那么接下来我们就继续啊这个题啊，往年考过，但没没有我们这个题考的难。

往年真题出过这种题啊，但是没有我们这个题考的难，当时那个题的话就出的是fs方BS方。哎，所以说可以出一道题，那么接下来我们继续，我们再来看看下面事情例三。我在这里面当中，我们说已知什么情况呢？已知这个f。一=0。然后我们去求什么东西呢？我们去求这个极限s趋向零。然后这里面当中啊呃是。一处f cos。

然后这里面当中呃，我再想想趋向于一，那么就写一个x- 1^2。可以吧哎，这个人。那么，接下来我们来看看这个情况，他怎么去处理？来再来操作这个人。你把这个题能做出来，我觉得你的水平呢，相对而言还是非常好的。来看看这个题。怎么去处理啊？那么，

现在而言的话，你得稍微进行去筹备。那现在这个人的话，你看cosine 0是一，你得减个一，而告诉f1是零，那所以说这个题你往上面上凑，你就往一上面凑来。同学们，我们一起写啊。这是x呃，这个x趋向零啊。趋向于x- 1^2啊。但这个题不得叫我，叫我想想啊。

出称这个吧，屈向林。趋向于零，然后这是x方啊，这样出吧好了，我们来看看这个题。你接下来怎么做？我们现在这个人是曲向林。你怎么处理啊？那么现在这个人的话，你发现看cos 0是一。告诉了f1，所以说这个人增量的话，我们只能去选一，那么就是加个一我，

然后再怎么办？减个一。信不信？那这人就创造出来多少s0加上框，然后这里面当中，我再把f1减下。那然后再把这个框除一下，除一下再要乘一下，这是coss- 1比上平方诶，这题突破了。只要你能想到这儿，这个题就结束了，那么接下来过程当中，我们再来看你，发现看这个极限是多少？

你上面等价无小于负的二分之一x方，因为这都是乘除法，这是非零因子负二分之一把负二分之一抛出去，所以说这个结果就是这样。对吧，做成这样，那么做成这样了，结构出来再看零，我就想问你个事情，这个部分是不是零？但是你发现cos零是一一减一是零，但是你永远比一小比一小，这人指的是零负。因此，这个结果马上出来，

它就是多少负的二分之一f一处的倒负。对吧，是左导数，不是导数，是一处的左导数。你来把这些东西啊，你都掌握清楚了，我相信下去过程当中处理起来问题啊，就变得简单很多。好了吧，像这个导数定义啊，我们基本上达到这个水平，零基础绝对是没有问题的，你下去好好做一下难不难？好，

掌握清楚给我回复一吧，听明白了给我回复一啊，我觉得问题点不大啊，就是两个事情呗，就是一凑结构二看理呗。对吧，你就在这里面当中怎么办？你先把结构凑一下，然后再看零啊，这个难度系数不不大啊，对吧？往这个结构上凑。对吧，凑一下，然后第二件事情再来看零就行啊，

不是说特别难好了，这是我们在这里面当中啊，讲的这个问题，那么下节课我们就上完这个最最后一个部分内容。我们在下节课过程当中，我们就会来看看最最后的一个部分内容，叫做导数的计算。那么，下节部分的东西啊，首先第一个事情，我们需要同学们有一个基础，所以在这里面当中，我简单把这个事情说一下，你下去过程当中把这个东西啊，该背的背一下行不行？

可不可以哎？就是这里面当中的这张导数表。把它能背的给我背一下。就这张表，背到这儿就行。这个没有任何商量余地啊，这是你高中的水平啊，你高中就会背你，如果连导数表都背不过，我相信下去，过程当中就非常麻烦了。所以说这张表一定要会背。那么，在这里面当中，我们首先我们稍微给你过一下，

然后你下节课上课之前呢？我建议同学们呢，把它背过。那么，首先第一个事情，一个常数的导函数是零幂函数，求导次方数移前，然后次方数减一。对吧，比如说举个例子，你发现你看这个四次方求导，那就是四移前，然后四减一三次方，但是这里面当中啊，常考的人有两个人。

你把这个人给我记住，一个是根号s，这个人你给我速战速决，立即是二倍根号s分之一考的多。还有一个部分的话是x分之一，这个人也考的多是负的x方分之一，快速过去了，不要在那里面墨迹，说什么负一移前负一再减一太慢了。所以这是幂函数，然后是sine求导cosine cosine求导sine，我知道很多同学你发现最背的非常差的，其实就是这四个人。是的吧，你像什么tangent求导高中没学过什么quant t求导高中没学过second求导高中没学过cosine求导高中没学过。

但是你不要到了今天而言，还是SEC我就觉得我都麻木了，不要这样啊，不要SEC就second。tangent的导函数，second的方cos in的导函，数负的cos in的方，然后second的导函数，second t tangent t cos in的导函，数负的cos in的cosin t。好了么？同学们，把这些东西啊，你要把它记住了。好了，

这就是我们在这里面当中，我们把这几个类型问题，这是稍微难背一点，你把它给我背过就行，然后这是对数这个人。那么，这里面当中啊，比较重要的是ln这个人对吧？这是这个部分，然后在这里面当中，你发现这是a的s这个指数函数。还有e的s那么，然后其实就是这个反三角函数这个部分。啊，反三角。

呃，没有零基础了呀。哦，后面没有零基础了啊，你们可能看到那个数一数二数三，它是讲到那个不定积分那块，你们不用着急啊，因为我们两套课程的体系是不一样的。然后到了我们那个部分的话，我们直接在基础班的过程当中，我们去会讲这个哎，不定积分的话，我们会讲的更加详细一点。所以说那个部分对我们而言的重心呢呃，一个事情是那个不定积分的那个定义，

那定义对我们特别重要。但是你发现那个数一数二数三好些年没考，我们基本上每节课过程当中，我们都会出题，然后第二事情的话，其实就是我们在呃这里面当中的这个不定积分计算，对我们非常非常关键。所以我们今年过程当中啊，到了不定积分那块儿，我们也会打卡。呃，可能是2月14号的那天。2月14号，2月14号的那天的话，我们这个对于数一数二数三同学，

他们会有这个不定积分的打卡。等我们讲到不定积分，我们会也会有打卡，所以我们针对我们就做我们的题就行，你不用进行去跟那个数一数二数三的题进行去掺和，因为有些题啊，难度系数稍微的会大一点。所以我们只做我们的题就行啊，不用着急啊，因为我们后面还有一节是那个零基础，提前学通关测试。大家注意啊，不要着急啊，我们还有一次课是零基础的通关测试。啊，

然后另外一节课的话，我会把这个前面部分的一些作业啊，大家有问题的点，我会给你进行去点评一下，所以说这个课程的这个时间呢呃，我们来把控就行，你不用进行着急这个问题。好吧，所以说在下个节课上课之前呢，我建议同学们把这个部分的东西啊，都把它给我背过，对吧？导数表把里面当中的每个人都要记住。这对我们而言，考研非常重要，

就可以直接出题了，所以在这个下去过程当中，把它该记的东西啊，也要记住，然后另外一个事情的话，就是求导法则。那么，求导法在这里面当中啊，其实有几个事情呢？一个是加减法a加减b的导函数，它就等于a的导函数加减上b的导函数。如果是乘法求导，它就等于前导后不导，然后是前面不导，后面来导，

然后就是除法求导。除法求导的话，就是下面平方，然后上面求导乘，下面减去，下面求导乘上面。所以我觉得下节课上课之前有两个事情，一个事情是求导法则，一定要把它给我背过，另外一个事情呢，就是这个导数表把它给我记住。好了吧，同学们，哎，这就是我们在这节课的核心知识点呃，

其实导数定义啊，我们就全部讲完了，然后上节课的话，这个作业。我说一下这个事情有作业啊，有作业。上节课那个作业那个题啊，我简单说一下，里面当中啊有几个题目，我这里面当中啊，方法写的很多。其实你发现如果你学的熟练了，这里面当中还有一些非常好的一些方法呃，所以说我觉得下去过程当中啊不。不拘泥于这个，

这个答案叫做参考答案嘛。你要记住，记住一个事情，就是每当你用这个方法的时候，只要你做题是合情合理的，有理有据的，那我觉得就可以了。你比如说举个例子，你看这个题对吧？你做到这一步。就这个题，那么这个题当中啊，你发现很多同学有好多种方法呀。你比如说做到这一步的时候，我们可以继续处理，

那就是limits趋向零，然后这里面当中，它把这个一减cos二s放到一起。然后是x三应放到一起，然后下面这个部分呢？前面还有一个二分之一，下面等价无穷小于多少二分之一平方就是四分之一x方。那么，接下来同学们，我们稍微进行一眼睛漂着来，眼神要会漂。那么，请问同学们注意，你看这里面当中，我眼睛一瞅，

我会发现这人是个二姐嘛？真人也是二阶吧，真人也是二阶，大家都知道同阶是存在的，所以说我把它拆出去，同阶是存在的，我把它拆出去。所以说你像那个方法，二把它拆出去啊，我在这里面当中做题，我是眼睛漂出来的。有些同学不是有些同学是看答案看出来的。看了答案之后，哦，原来能拆啊，

不行，这种水平达不到，你必须自己要独立自主的想清楚，我为什么能拆？我在做题的过程当中，我怎么想到能拆好，这是第一种，当然有些同学还有第三种做法。他把这上面这两个人进行等价了，我想问你个事情，行不行？一减cos二x，然后x乘s in，然后把这人直接等价无穷二分之一二x的平方，然后再加上x方，

对不对？对着呢，但是这里面当中又分成两种同学，有一种同学是这样，他去检验了，或者他是眼睛瞅出来的。他把这两个东西进行做了个比。做了一个比了之后的话，你发现当x趋向零的时候，这是x方，然后这是二分之一，这是二x方，然后这个结果不等于负一。两者作比的极限不等于负一，所以说他把它等价了，

好这种同学我非常鼓励你学的非常好，水平点非常的高。但是有些同学不是有些同学是怎么做到的？胡赖赖，反正在这里面当中加减法就用了，等价了，其实你的原理都出错了，只不过是怎么办？碰对了运气好，碰对了，但是你发现考研最后那道题你能不能碰对呢？那又是一个问题了。好了，同学们能听清楚我的意思了，所以下去过程当中啊，

你自己好好想想，然后接下来过程当中我们再看下面这个题。你看这个题，为什么我能想到拆呢？因为我一看这是一阶，然后这人也是一阶，然后这个一阶和一阶是不是存在？加减法当中见到存在就可以拆开，所以说我把它拆了。能学会吗？所以在这里面当中啊，怎么拆的这个方向性要想清楚，然后这里面当中你要看清楚，我是趋向无穷大的，这个部分是零就是框就可以等价。

所以我把它等价了，对吧？好，这是这个问题呃，第六题的话，这块少来了个e是e的平方，你注意一下，我估计很多同学都看到了啊。好了吧，这是这个问题，别的题我觉得都还好了啊。基本上问题点不大。呃，做的慢没关系，其实你呃，

有些同学的话，这个今年是二战的三九六同学，你会发现一个问题啊，就这个我们零基础的作业。难度系数都稍微的会高一点点。在三九六的同学呢当中啊，都算稍微的会高一点点。你可能去买一些这个辅导书啊，它里面当中写的这个强化篇的题，它有的都还抵不上这个，我们讲的这个零基础的题呢？所以今年过程当中，我希望同学们好好跟上这个课程啊，将来过程当中这个能力啊，一定要把这个东西啊列上来啊，

做的慢没关系啊，这个这个没关系，没任何关系。因为呃，对于我们三九六同学，你像这个数一数二数三同学，他可能上到这个强化，把那个零基础的那个东西啊，都给扔掉了啊，那也没关系。但是对于我们而言的话，我们从零基础开始的这个讲义，还有这个作业你都保存好，只要出错的你都好好的进行去整理一下。把这东西该整理的都整理好了吧？

别的东西啊，我觉得都还好，你下去好好处理吧啊。然后这个是。这是在一处啊，不这这这个什么一这是零处是吧？把它稍微诶，这是一处吧？对吧，这个在一处，你稍微的调一下啊，好了，这是这个问题，所以说在这里面当中啊，我简单说一下这个事情。

对于我们每个同学啊，你在上课之前呢，我觉得上课是听课是一定要注意的。就这个第一第四题的话，你注意一下，就是一处就行了。对吧，这是一处。你自己标标好就行了啊。哪个是四题？这个题吗？这题多简单呀，这个题。啊，不是说我，

我说简单，它简单，它是真的简单。14题14题秒不动吗？我不信啊，这个题你绝对能秒的动。你在这里面当中，你发现你看它是趋向多少，它趋向无穷大呀。你去向无穷大的话，你看上面这个人是平方。然后下面这个人的话，如果抓一下的话，就是两个x，那这人是一一的无穷大吧？

答案就等于多少e的极限符号照抄，如果你还不记得这个可不行，然后是头顶照写。然后d- 1d，把它乘一下呗，那不是ix方，然后再怎么办呢？这个部分的话就是减去ax，减去BS，然后再加上AB，然后再来减一。是不是这个情况，然后这里面当中的话，你就发现这是limits趋向无穷，大把它整理一下呗，

但是s方减去as-bs+AB。然后减个一，就是上面减下面就是a+b倍的x，然后减AB，然后前面还有一个x那来一下呗。然后在这里面当中，你发现一个事情，这里面当中的内容。我刚才都说了嘛，对吧？你就听听课啊，然后在这里面当中，你看抓个大头。对吧，无穷大比无穷大，

你抓一下，一抓的话，这个人是e的a+b啊。对吧e的a+b啊，所以说这个题啊，非常的简单呃，做起来可能稍微的话对很多同学觉得复杂。但是这个题啊，难度系数不大。我这么大的抓大头，怎么不能抓呀？我就害怕你看不懂，所以说我还写了个抓大头。你自己定一下型，这不就是无穷大比无穷大吗？

那无穷大比无穷大落叶里面是可以抓的，你记住这个特性。你记住他。哎，这里面当中啊，你注意一个事情，罗印里面是可以抓单向的，无穷大比无穷大，你可以抓。如果第六题你不会做呀，我觉得这个你得好好进行去呃复习了，因为这个问题点非常的大，证明上课的内容。你可能都没有消化到位啊。这个题你没做出来啊，

我觉得问题点特别大啊，你这这个证明你上课你根本就问题点的就没有消化到位。啊，你这里面当中，你首先看第一个事情，你看这是零，这是一，这是一的无穷大，那答案就等于多少，你如果这个看不懂，你证明课程的内容一点都没消化到位，你再做。更多的题也没多少用，然后这里面当中，你看这人再减个一，

所以说这里面当中就变成了limit x趋向零，然后这是x+e的x再减一。那这个题的话，你可以把它拆拆，这是一到二或者怎么办呢？洛必达也行，因为是零比零嘛，你落一下的话，之后的话，你看这里是一+e的x，所以说这是e的二次方嘛。他们就出来了哦，注意一下这个事情啊，这个这个问题点的话，我觉得。

啊，哪步好慢？好了，不要催笔记了啊，我我一直跟你讲的话，如果你老是依赖这个笔记啊，这就是不是一个特别好的事，你去看看的话，有些课程的话，人家不发笔记怎么办呢？啊，你上课的过程当中就记，然后的话，那个回头的话，有一个补充作用就行。

然后这个题当中啊，你发现这个人能不能等价呢？可以等价，因为前后之比是一不是负一可以等价，那么这里面当中有三种方法。第一种方法可以落，第二种方法可以拆，第三种方法可以，怎么办？可以等价啊，三种方法都行，你腌一下就行。所以我觉得同学们注意啊，你要发挥自己的这个做题的主观能动性好了，这个题啊，

我们就说到这，然后这里面当中的这个。呃，刚才说的这个这个题的话。你把它改成一啊，这个下面是敲错了，对吧？这个下面角标是一对吧？这是一你把它改一下就行，这是一。答案都对着呢。好了吗？同学们行吧？呃，这个作业啊，

我后头后面的话，如果大家有任何的问题啊，我可以给你统一进行去讲一下都行，然后的话，这个至于下去，如果有问任何问题啊，你都可以提前。下去过程当中，把这个什么呃这个问助教啊。哎呀，这个太轴了对吧？学习问题特别的轴。如果是三个三个部分，那就不叫因子。如果是三个部分的话。

你就把两个部分合到一起，然后进行看看两者之比的极限是不是负一。如果是负一就能等下。所以学东西一定要稍微的灵活一点点，不不要进行去这个硬生生的把这个东西进行去背。哦，这个到了，今天你不知道有助教啊啊？在那个APP里面APP里面就有，然后里面我们这个课程是有答疑的，所以说我们的课程里面当中是包括这个所有的资料。还有这个答疑，还有这个课程啊，所有的都都是直播课程，所以大家下去过程当中啊，

你把这个呃东西好好进行处理。哎呀，如果下去你再问这种问题，我都我都觉得我都疯了，对吧啊？下次什么时候上课看课表？去看课表，课表上不是有吗？课表什么时候上课就什么时候上课。啊，好吧，同学们，然后的话呃，这个助教大学生。所以下去熟悉一下，

这几个可能在这个零基础提前学的时候，大家你可以去下一个那个APP对吧？我不知道你们是用什么听课，你可能是用网页。网页上面也能查看这个课表，或者而言的话，你下一个APP APP上面都有那个可以进行去答疑的好吧，同学们行吧，不多说了，然后下去过程当中把这个类型问题啊，好好处理一下。啊，这个逻辑不在我的控制范围内了啊呃，好吧，那么今天课程呢，

我们就讲到这儿，所以下去过程当中啊，把这个问题点好好进行去处理一下。相对的东西啊，好好进行消化，把上课的内容消化到位，然后再去做作业，对吧？然后作业当中，如果遇到了问题啊，然后再回过头来看看自己的笔记，上课当中的内容。哪些东西没有消化到位？好了，同学们行吧，

那么今天课程呢？我们就讲到这呃，另外一个事情，你要是一直不知道有答疑。你去看看那个APP里面当中是能答疑的，你找到那个课程上面有个我的答疑都可以在上面问问题好吧，这是一个事情，然后另外一个事情的话就是。呃，下去做作业的时候，然后的话提前先把笔记先整理一下再去做。然后另外一个事情自己去找一个错题本，把这个该整理的错题啊，好好整理整理行吧，同学们好了，

那么今天课程呢，我们就讲到这儿下去过程当中啊，把这个东西啊。好好进行去整理整理好吧，同学们行吧，好下节课见啊。

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