07.零基础考点精讲7-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:23:21

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六五宗数学的零基础提前学的课程呃，今天呢，构成当中我们的核心知识点。下次过程当中啊，我们再还有一次到两次课程呢，

我们这个零基础提前学的这个阶段呢，就正式结束了，那么在上节课过程当中啊，其实我们重点已经把。第一章当中的核心知识点全部讲完了，然后我们这个零基础提前学注重点，其实是为了这个基础班呢，做一定的服务。所以我们的核心设置点一个事情是突破极限问题，一个事情是突破导数问题啊，这两个事情非常的重要。那么，在上节课过程当中啊，我们重点而言讲了三个事情，这三个概念，

它们核心知识点都是一个事情，都是极限当中的应用篇。哎，都是极限的应用。啊，在这里面当中，你就听课就行了，你不用按照你的想法进行去发挥，你就好好听你的课程，每个课程的设置都是有它的原因的，你就不用进行去发挥你自己的想法了。好了，那么接下来我们就正式开始，那么在上节课过程当中啊，你发现我们在这一章的学习过程当中走的脉络线是这样子。

第一个阶段，我们先进行去学习了函数函，数学完了之后，我们去学习极限，极限学完了之后马上做应用。那这一类目当中，你发现上节课学的这三个知识点连续性间断点，还有这个导数定义这三个事情都是极限的应用。那么，首先我们先来看看第一个事情连续性，那连续我们在将来过程当中啊，只要碰到连续立即反映出来什么事情？连续还记得吗？我们上节课讲过，只要碰到连续立即反应极限等于函数值。

那这个东西所突出的理解性是什么呢？它其实就是在这个点处不断，对吧？我画一个二维底卡坐标系。s0如果你发现一个事情，它要想在这个点处是连续的，它就得在这个点处不断，那你发现左边往这跑，右边往这跑，函数值补住这个东。所以说你发现它的核心定义就是一个事情，就是我在趋向于这个点处的极限，一定要怎么办？等于这个点处的函数值。那所以说这里面当中啊，

有几个突出性的理解，第一事情你想一个问题，如果一个题目告诉你说这个函数在这个点处连续，请问同学们？这个点处的极限存不存在？极限存不存在，当然是存在。如果你发现它说在这个点处是连续极限，本来就是存在，那如果碰到四则运算都存在，就可以拆开。对吧，这是第一个事情，然后第二个事情，那请问同学们该点处的函数值存不存在？

当然也得存在那，所以说这里面当中就碰到一个问题了，如果一个题目告诉我是这样一个事情，说什么呢？说这个人在这个点处连续。好同学们，能不能推出这个函数，在这个点处有定义啊？能不能哎，当然是可以的，如果你在这个点处连续，当然是可以推出在这个点处有定义。但是同学们注意一个事情，你反过来想想他可以吗？你注意啊，

我讲的这个事情啊，在去年过程当中就有一道考题，考的还稍微的对很多同学而言，稍微的会比较难一点，如果他说有定义。能不能推出连续啊？当然不行，什么叫做有定义啊？有定义就是有没有？连不连续是断不断，我举个简单例子，比如说你看这个点现在有没有有那你发现一个事情，现在是这样子。那你发现一个事情有定义吧，但是它没有连续，

所以在这里面当中这条方向性一定不行，因此同学们注意啊，连续了肯定有定义。但是你要有定义，一定连续吗？那不一定。所以你在碰到一个题目当中啊，它是怎么说的？一定要稍微的小心一点好了，这个第三个事情，这两者之间啊，是相等的。所以说理解起来就这三个事情告诉连续极限是存在函数值，是存在它们是相等，然后第三个事情同学们注意它的判断方法呢。

那判断方法就要分成分还是不分呢？对吧，反正你的核心思想都是一个事情，就是极限等于函数值，我只要碰到连续就是极限等于函数值，我去求极限，我来求函数值。然后看看这两者之间相不相等，只要相等了，他这个人就在这个点处是连续的，能理解吧好，这是第一个问题，那么接下来我们再来看看第二事情间断点。那么，在间断点当中的核心之间，

包括两个事情，一个事情叫第一类间断点，一个事情叫第二类间断点，第一类间断点当中包括可去间断点和跳跃间断点。那可去呢？可去是极限是存在，但不等于函数值那跳跃呢？左极限存在，右极限存在，但不相等。如果是无穷呢，只要有一侧是无穷大，它就是无穷间断点，那震荡的只要有一侧是不唯一，它就是震荡间断点。

那么，在考验过程当中啊，比较经典的震荡间断点就是这个人，这个人在几处呢？正在零处。它在零处啊，就具有经典的震荡间断点。好了，这个事情我们就讲到这，那么这是我们在这个上节课过程当中讲的第二个问题，然后我们再来看看第三个事情导数的定义。这是不是上节课的核心知识点呢？倒数。那么，在这节课过程当中，

我们还要继续进行去讲这个问题，所以说这块内容我们重点来复习一下，那么上节课过程当中我讲过的事情。什么叫做导数？导数是什么？导数在这里面当中有两种理解性方式，那么首先我们先来看看第一种理解方式，那么在这里面当中我们来画一个，这是一个二维的迪卡坐标系。然后这条曲线，然后这里面当中给一个点x0。那么，在这里面当中有两种理解方式，第一种理解方式叫做瞬时变化率。怎么去理解呢？

哎，你发现看x上有一个增量，这个增量跑到哪呢？跑到x0加到德尔塔x处。然后你发现这个纵坐标也有个增量，也就说横向增量是德尔塔s，纵向增量是德尔塔y。那你想问一个事情，那么这里面当中你看德尔塔y这个人比上这个德尔塔s这个人，他表示的这个点处的什么变化率？这叫什么？你想我有一个自变量增量，我有个因变量增量，我用因变量增量比上自变量增量，应该叫做这个点处的什么？

这叫平均变化率。但是平均变化率描述不了这一个点处的瞬时情况，所以在这里面当中，我让这个德尔塔s非常的小。对吧，我让你这个人非常小，就描述了这个点处的什么变化率，瞬时变化率，我把这个点处的瞬时变化率就叫做了该点处的导函数。所以说将来过程当中，我们就知道对吧，说一个点处的瞬时变化率，其实你发现一个事情就是这个点处的导函数。你要注意啊，这个定义会考题的。

对吧，这个定义会考的你，比如说举个例子呃，这个往年过程当中啊，出过这样的道题，当然这个题啊，考给我们三九六太恰当了。比如说在这里面当中，我出一个题，我说例一，我说已知什么情况呢？已知这里面当中f撇s0。哎，等于二分之一，然后说什么情况呢则？

当什么情况？当德尔塔x趋向零的时候。然后这个德尔塔y为这个德尔塔x的什么东西？好，这个括号，然后a选项说什么情况？说它是它的高阶无穷小。好，这是a选项，然后b选项，然后说的是低阶无穷小。然后第三个事情c选项说的是等价无穷小。然后d选项说的是同阶无穷小，但不是等价，但非等价。

非等价无穷小，然后这里面当中啊，再看一一选项未知。所以同学们，你想那这个题选什么呀？对吧？出给我们三九六同学出成一道真题，非常的恰当。那么，在这里面当中，我们来重点来看看你，想一个事情，这个题考什么呢？它考不就考这个事情吗？就考了这个点处的倒数第一。

那么这个点处的导数定义是什么呢？其实就是什么这个德尔塔y比上德尔塔x，这叫平均变化率，让这个德尔塔x趋向零，就叫顺时变化率。那所以说你发现一个事情，这个人等于二分之一，那同学们想你比上我，对吧？这是无穷小，这是无穷小，无穷小之比，这人是一个。数对吧？如果是无穷大叫，

低阶无穷小，如果是零叫，高阶无穷小，如果是一是，等价无穷小，但它是二分之一。所以很明显是一个是同界无穷小，但非等价答案选d，那你想你看这个题这个题你只有知道了这个人的核心定义，你做起来这个题啊，非常的简单。好了，这是我们在这里面当中啊，当年的一道考题。啊考给我们三九六啊，

非常的恰当好了，那么接下来我们继续，我们再来看，其实你发现这个定义啊，还有一种理解性方式。好，我们就继续看。再来看那么第二种理解方式啊，就叫切线斜率，那么上节课过程当中啊，我们重点讲过这个事情，那同学们想象一个问题，我在这里面当中啊。这个点是起点是a点，这个点是终点，

这是b点，我就来问你个事情，把AB连起来。那请问同学们，这个AB的斜率是多少？AB的斜率是不是它的因变量增量比上自变量增量？对吧，直线斜率嘛，直线斜率就是y2-y一比上s2-x一，这叫什么？这叫割线斜率。能听懂我的意思吗？哎，你发现你看这条线斜率叫做割线斜率。但是同学们注意这个割线呢，

如果你这个b点一直挨近于a那个割线的话，是不是就接近于这个人的切线呢？这个事情我上节课讲过吧，你看如果你a点在这儿，你b点在这儿。那这个时候你看这是割线斜率，如果你发现一个事情啊，比如说我把这条线画的突出一点。如果你这条线挨得更紧，哎，你挨得更紧，挨得更紧，你越挨得近，那这个人是不是接近于这个切线斜率啊？所以在这里面当中，

我再对这个人进行求个极限。它不就是切线斜率吗？因此同学们，我们在这里面当中，我让什么情况德尔塔x趋向零，然后这个德尔塔y比上德尔塔x。是不是就是切线斜率，切线斜率不就是这一点导函数吗？所以你发现还是这个理。两种理解方式啊，一种方式啊，就是瞬时变化率一种方式啊，就是切线斜率两种理解方式都是可以的。所以我们终于知道什么叫导数啊，导数就是这个点处的瞬时变化率，

导数也描述了这个点处的切线斜率。能听懂我的意思吗？好，这两个问题啊，非常的重要，那么接下来过程当中，我们来看看增量定义，那增量定义的话，这个点处的导函数就是这个点处的瞬时变化率。来一起写末点s0，加上德尔塔s减去起点。德尔塔y德尔塔y比上德尔塔s，然后这是德尔塔s趋向零，这就是这个点处的瞬时变化率。那么，

接下来过程当中，我们再来看还有一个东西叫计算性定义，那计算性定义当然太重要了，那么在这里面当中啊，跟着我一起来写一下可以吗？那请同学们告诉我，什么叫做这个点处的导函数啊？这个点处的导函数是用极限来定义的，那这个点处的导函数就是fx-fx零就是这个点处的德尔塔y。比上s-s零，这是德尔塔s，然后再是x趋向s0。能理解我的意思吗？你要注意一个事情，这俩人是一样的。

就是我要求解这个点出导函数，我就来计算这一坨的极限。不是fs极限，是这一坨的极限。这一坨的极限其实就是这一点，导函数，所以同学们注意这个东西啊，就像什么样呢，就是我经常给你讲的大小名。对吧，这是你的大名啊，你叫导数。导数，你发现一个事情，你的本质是什么呢？

这是你的本质。这其实是你的小名儿啊，你发现比如说你这个家里人叫你小名儿对吧？能看到你的本质。哎，这小明这俩东西是一样的。大名不好看的时候，你发现叫他小名啊，显得亲切一点，然后把它计算出来，能听懂我的意思吗？所以说你要了解清楚这俩玩意儿是一样的。如果这个极限存在，你发现这个导数存在，如果这个极限不存在，

导数不存在，所以说我们都知道一个事情，导数具有可导和不可导之分。可导了，那就说明这个极限是存在不可导了，说明这个极限不存在，反正你就记清楚，我就是利用这个极限，然后来计算这个点导函数。那这个东西就出来了好了，这是第一个事情，过去了可以吗？好，我们继续，我们再来看看下面一个问题。

那么，这就是我们在这里面当中啊，你发现讲的这个上节课的内容，那么这节课我们就继续吧，我们再来看一个题，那么在上节课过程当中，我还讲了几个非常重要的经验，我不知道同学们还记得吗？我在上节课过程当中啊，我讲过一个非常非常重要的，那么这里面当中啊，有一个定势思维。啊，定式思维一。那定式四倍一当中过程当中，

我讲的什么事情要注意是分段函数在分段点。点处的倒数。对吧，在这个点处的导数。导数那么这里面当中啊，一定要用定义哎，必须要用导数定义来做，就说我如果去求一个分段函数，我在分段点处求导。那这个时候你发现我一定会要用定义进心球，你要注意啊，我们三九六同学一定要注重点进行去培养自己的定时思维能力。这个事情太重要了，我见到这个东西立即反应，我见到这个东西就立即想，

我不会说我见到这个东西，我再去想别的。天马行空的想你，没有那么多的时间，我们去处理一个题啊，顶多就是两分钟到三分钟，平均下来是两分钟。有些题你发现你可以做到三分钟，有些题一分钟就干掉了，所以说最后平均下来应该是两分钟。你如果在做一个题的时候，你天马行空去想怎么怎么样，你像平时过程当中，当然我们现在训练是可以的，因为一遍会比一遍强。

就算你第一遍做这个题，花了五分钟没有关系，你还会做第二遍，你做第三遍，越做的越多，最后的话你就发现时间会越来越快。因为这个时这个做题的这个速度啊，一个事情是取决于你知识点的熟悉程度。知识点的熟悉程度，如果没有问题，那就取决于你的计算能力，然后就取决于你对这个知识点的反应程度。所以我希望同学们注意啊，这个啊，这个运算能力啊，

会越来越快，无它嘛，但数数二好了，那么接下来我们继续来看看，那这里面当中讲了两种，一种叫做显示的。对吧，还有一种情况呢，叫做隐式的。哎，隐式的。所以说一个分段函数啊，它包括有两种情况，一种叫做显示的分段函数，还有一种呢，

叫做隐式的分段函数。那么，在这里面当中啊，显示我就不讲了啊，一看就出来了。一看你就知道它是分段函数，那么在这里面当中啊，还有一种叫隐式的。那什么情况？叫隐式的呢你比如说举个例子，我碰到最大值。对吧，我碰到的最小值，尤其是碰到的绝对值。绝对值这个东西啊，

考的非常的多，我上节课讲过，那么像这个什么情况下的话，你发现它是分段点啊。就是让这里面当中等于零的这个点。对吧，比如说举个例子啊，我们在这里面当中，你看我写个x那这人的分段点就是零，如果在零处进行求导，那就是分段函数在分段点一定要用零。那如果在这里面当中，我再改一下，你看如果这里面当中我写的是x- 1，你发现一个事情让里面等于零，

它的分段点就是一。如果去求这个带有这个式子，它在一处的导数要用定义，如果这是s-s零，你发现一个事情，然后里面等于零呢，就是s=s零。能听懂我的意思吗？好像这几个问题啊，把它想清楚啊好了，这是这个问题呃，像取整这个东西啊，你不用着急。因为像取整这个东西，考研当中只要考了，

他都会给你说的，你不要着急啊，我们到了这个基础班，我们都会讲的。所以说所有的部分的知识点我全都会给你讲，不要着急，慢慢来，一步一个脚印，那么接下来过程当中我们来看看五点四这个题。那么，在这个题当中啊，你发现它说下列函数当中在x0处不可导的是？我明确讲，我们对于三九六同学，你能把这个题做得好，

它就达到了这一块类型问题计算能力的巅峰。这就是我们考研的至高水平。你不要想的话，零基础提前学到了基础班，强化班，真题班到了最最后的话，你发现冲刺了它的核心思想都是这个。你把这个人练透就行，那么接下来我们来看你想jam当中是不是带有绝对值，我只要看到绝对值，我就立即会想到分段函数，而且你发现它的分段点就是零。所以说这几个人都是分段函数，在分段点处求导，那分段函数在分段点处求导，

一定用什么？一定用定义。所以在这里面当中，我们就用四项定义。对吧，连着用四下，那么对于我们的考题，我们考研考为什么这个题你看我连改都没改，我也没有改成五个选项，我为什么把这个题放在这呢？你发现这个前面的序号我也没改。那这里面当中的原因就是什么呢？对于我们的考题而言，就这一个选项就能考一道题。这一个选项就能考一个题，

所以说这四个选项就能考四个题。所以对于我们而言的话，你会发现每个选项就是一个题，对吧？做一道两分，做一道两分，做一道两分好了，那么接下来我们来看看a选项。好，我们一起来用定义跟着我写好吧啊，我们才开始慢一点，不要着急，if撇儿零跟我一起来写计算型定义。怎么写fx-f零德尔塔y比上x- 0德尔塔xx趋向零德尔塔x趋向零。瞬时变化率，

所以在这里面当中，我们就来写了，那就是limits趋向零，然后你继续看那这个fs，你代进去就是s绝对值，再乘上sins绝对值。你告诉我个事情f0是多少？那么，只要有一个人是零零乘，任何数都是零，不要再去想零乘无穷大的未定式了，我上节课讲过这个问题啊，代值嘛？代值就是你从小到大怎么带就怎么带好，这是零比上这个s。

那么，接下来我们的核心重点，我就来求这个极限，那这个极限怎么做呢？那么，首先第一个事情，我们先来看看第一种方法。你做这个怎么做？那么，首先第一个事情，我稍微进行去瞅一下，你发现诶，我可以进行等价啊。当x趋向零的时候，你发现这是x。

对吧，然后这个人的话，你发现看这有三印框。因为这个当x趋向零，这就是框啊，而我们都知道一个事情s in框立即等价无穷，小框只要这个人往零跑。所以说这块东西啊，就可以等价了，你等价了之后的话就变成了这样，那所以说这里面当中就是limit x趋向零两个绝对值相乘的，那就是平方。所以说这个结果等于零。好，这是第一种方法，

还挺快的。那么，在这里面当中，我们再来看看第二种方法。有些同学可能想到了我们前面讲的七这个七种未定式结束了之后，讲的左右开工法。说如果是趋向零有绝对值，我们要分那，所以说在这里面当中，我们就需要分左右，那就来分呗那。那么，先来看看右极限，然后在这里面当中再来看看左极限。那优极限的话，

在这里面当中，首先第一个人的话，这就是x。然后这个部分呢，因为你发现零正的话比零大就是x，然后接下来过程当中，我们再来看这是x，那这就是负x，然后这是多少s in负x？那么然后我们看看上面这个人当limit x趋向零的时候，你看这是x这是xs in它等价无穷小于它。然后这里面当中当x趋向零的时候，我们继续看，你发现这是x这是负xs in框，立即等价无穷框这是零这是零。

左右都是零，所以说这是零，那因此这个极限也算完了，它就是零。能听懂我的意思吗？那相比而言的话，你发现这两种方法哪个更快？那很明显一个事情这个方法更快。对吧，速度上更快一点，但是同学们注意，我们还能更快。对这个题而言，你知道我怎么做，我只需要眼神稍微的漂一下，

这个题就出来了。那么，在这里面当中，我们来重点来看一个人，就是这个人。看到这个人吗？那么，对于这个人而言的话，你发现limit x趋向零，然后是x分之绝对值，那么同学们去想一个问题，你稍微速战速决。我们都知道一个事情，如果是临阵。还有灵符。

如果是零正的话，你发现当x趋向零正的时候，你发现这是x分之x，如果这是零负的时候，你发现趋向零负正是相反数。因为小于零嘛，所以这是一这是负一，那么同学们，你稍微琢磨一下，也就说一个事情，就是这个绿色部分呢。它的左右，它要不是一要不是负一。你能听得懂我的意思吗？就说你的极限，

要不是一要不是负一我不管，反正你要不然是一要不是负一就这两个人。但是同学们，你想一个事情，这后面这个人呢？后面这个人永远是零诶。那也就说你前面无论是一还是负一，我后面永远是零，我咔的一乘永远都是零，那这个结果永远等于零。你看这个速度，我眼神稍微的飘一下，这题就出来了。跟得上我的意思吗？好了，

这是我们讲的第三种方法。当然，同学们注意这个方法还能更快一点。好注意啊，我们稍微的更快一点，那你想一个问题，上面这个人是几届？这是一阶，这是一阶，其实这个人是二阶，然后这人是一阶，高阶比低阶，这就是零。所以说这个结果的话，你发现高阶比低阶一定是零低阶比高阶一定是无穷大。

但是如果是同阶呢？同阶不知道。同阶有可能是个数，但是同阶有可能的话，这两边不一样，对吧？你有个数，然后前面有正有负它不一样，所以同学们我看阶。我高阶比低阶，我咔的眼睛一瞅，我就知道这人是零。所以你看这个题而言，我给你讲述了四种思路，这每一种思路啊，

你都可以去学习一下，因为我觉得这里面当中的话，你可以拓宽一下自己的方法。你作为一个题啊，你会发现越做越快。好了，这是这个事情，听懂了吧？好掌握清楚给我回复一，那既然是零是存在的，那a不选，因为人家要选什么选不可导的。好，我们一道考研真题当中的一道两分题拿到了。你注意一个事情，

你看我已经拿到两分题了，那么接下来我们继续吧，我们再来拿啊，然后我们再来看看下面。来再来看看这个bcd呃，注意一个问题啊，下去要复盘，听懂了吧？哎，下去要复盘。因为这个很多同学，你发现这个学到后面而言的话，这个越学越混。你这个知识点，你永远注意一个事情，

你说数学要不要记？我就跟你谈论这个问题，数学要不要背？要背当然，我们说的比较牛逼一点，说的装逼一点，就是理解着背，理解着背也要背。当然要记呀，你脑子里面没有货，做个鬼的题呀，你说哎，这个题我知道，用导数导数定义是什么，你写不出来。

然后求极限的时候，你发现等价无穷，小公式用不出来。你这都不行，我们在这里面当中说了很多，比如说举个例子，当x趋向零的时候，你发现这是x再乘上sin x分之一，这题怎么做的？然后在这里面当中当x趋向无穷，大x乘上sin x分之一又怎么做呢？很多同学非常的混你，比如说做上面这个人的话，离谱啊，简直离谱，

说is乘上is分之一，因为s in框等价无穷框，这是一。这不胡来吗？你发现一个事情趋向零的时候，这是无穷大。不要乱来，那这题转方法无穷小乘，有界无穷小无穷小极限是零。而第二种呢，趋向无穷，大的时候无穷，大分之一才是零，那这才是框，那这个时候你才能等价趋向零的时候x乘上x分之一，

这是一。是不是啊？所以同学们注意把这个方法的东西一定要抠死，我再强调一遍，我们三九六同学而言呃，不要着急啊，我看了很多同学特别着急。呃，有个同学问说什么问题呢？说老师我六月份我把基础复习完，是不是太慢了？说根据那个课表的话说，六月份基础复习完太慢了，我不说别的，你想数一数二数三那么多的东西，

六月份复习完都不晚。大家注意不用看那个东西，你要看质量，不要看数量。我们数学到底最后而言，考的成绩怎么样？它在于这个质量。不是去比谁快点。你说你现在已经把这个概率论与数理统计复习两三遍都行。对吧，但是你每一遍我们要做好，我们一遍比这个人的话好几遍做的都稳，所以不要着急，千万不要着急，我我一看很多同学你发现。

一月份呐。对吧，一月份。呃，逻辑和写作的话，这个我就不太专业了啊，你你们可以根据的话，你们逻辑和写作的话，这个这个老师的一些规划对吧？安排往下走啊。所以我觉得同学们注意啊，这个啊，复习的话一个情况，那么这个数学千万不要着急啊，千万不要着急。

所以你你想象一个事情，你说一月份了之后的话，你说来不及了，你让很多同学这个三月份五月份六月份开始的同学，那不人家要弃考了。啊，不要这样啊，我们其实已经是走在这个前面好了，那么接下来继续吧，不多说了，来看看第二个人。来看b选项。那么，在这个b选项当中啊，我们继续看，

我们刚才说了，只要见到绝对值诶，而且里面这个人等于零的话，你发现他刚好是分段点分段函数在分段点处求导，我立即怎么办？我用定义，所以在这里面当中啊，赶紧来看当x趋向零的时候一起写啊fx-f零。比上x- 0，所以在这里面当中limits趋向零的时候，然后继续往下来。那这个时候你看fx就是它告诉我f0是多少？f0那f0不就是零吗？你往里面带呗。代进去零比上x好，

告诉我个事情，这个题能不能用眼神漂出来两种方法可以秒？首先你发现看这是一阶，这是二分之一阶，所以说这是二分之三阶，高阶比低阶一定是零。或者这样看你发现一个事情，这个极限，它要不是一要不是负一对吧，要不是一要不是负一，而你发现一个事情后面是零，所以这两个是一乘呢，永远都是零。好了，这是这个问题，

我曾经见过一个。你们来猜一下这个题啊呃，是数一数二数三同学的考题，我刚才说了，我们每个选项都能做一道题。这个题啊，在当年过程当中，你去猜一下这个题是四分，当年是四分，在考研试卷当中的第几个题啊？你猜一下。第一个题。整张试卷当中的第一个题，然后你发现一个事情就这个题的，有些的话那个试面当中我看过一些讲法。

离谱，你那样做的话，十来分钟都下不来，我做考研选择题的第一个题，我花了十分钟，我还想考吗？怎么做呢？它说这个fx你可以把它写成分段函数的样子，然后说什么x大于零的时候就是x乘上s in。然后这个x小于零的数值是负x，再乘上s in负x，把它写开等于零无所谓。然后进行去求导。我的天，我疯了。

那这样速度太慢了啊，你做一个题的话，你发现七八分钟都下不来，一定要注意正确的方法好了，那么接下来我们继续再来看c选项，然后来看f撇零。好，我们继续用定义，那么用定义的话，你发现看这是fs减去多少f0比上s- 0，然后我们继续往里面带。那就是limits趋向零，然后往里面来。那你这个时候你发现你看这个函数是cosines绝对值。然后就继续看f0是多少，

你把这个零往里面塞。你往里面塞的话，你看cosine 0是一注意这个事情不是零，这是一，然后再比上s告诉我个事情，这个极限等于多少？来用眼神瞄。明显一看，一键cos框是二分之一的，它的平方，那你发现它是个二阶高阶比低阶是零秒了。当然，你也可以做慢一点，那就是limits趋向零你，然后在这里面当中等价得二分之一，

这个人的平方，这人平方就是x方，所以这个人呢，也是零。对吧，用眼神去漂一漂，这个东西就出来了，好，我们再来看看d选项会做了吧，哎，你要做一个做题的高手。然后这里面当中f撇零，我们继续来看，那就是limit x趋向零，我们能不能直接写？

fs是多少cos in，然后是根号下s绝对值。然后cosine 0是多少f0？这人是一，然后这人BS。那么，同学们想想一个事情，你看这是一减cos框二分之一，它的平方这是一减，然后下面也是一减，你这就不知道了。因为一阶比一阶是个数嘛。对吧，这个数如果再分正负的话，如果这个数是正的，

这个数负的这个数就不好说了。你就不能用接了，我怎么办呢？我就慢慢处理呗，那这里面当中可以稍微等一下一下，当x趋向零，你发现你看这是x。很明显一个事情，这个部分是不是框啊？对吧，这是框啊，那么所以说在这里面当中等价无穷二分之一，它的平方。它的平方是多少？它的平方就是绝对值。

而我们都知道一个事情，这个极限，它一会是几，一会是一，一会是负一，所以说对于这个题的结果，它一会是二分之一，一会是负二分之一。那一会儿是二分之一，一会儿是负二分之一，那一边儿是二分之一，一边儿而负二分之一，它就不存在啊。如果这个极限不存在，那就导数就不存在，

那就不可导答案选d。能听懂我的意思吗？所以你看这个题就灭了。你发现一个问题啊，我们的考研呢，无论是这个三九六同学，对于我们而言，还是对于这个考数一数二数三同学的这个普研的考试。那么，这个普言和这个数一数二数啊，这个三九六同学，你发现啊，考研绝对值特别喜欢考。就很喜欢考绝对值，就无论什么情况的话，

你发现很喜欢考。啊，这个绝对值为什么呢？因为你不喜欢，你越不喜欢的东西啊，他偏喜欢考啊，这是这么多年的考试都是这样啊。你喜欢的东西啊，往往而言的话稍微比较简单，对吧？你非常不喜欢的东西啊，它往往是重点啊，这考试就这样。好了，这个问题点我们就讲到这，

你看这是第一种定时思维能力，能学会吧答案选d好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题。那么，在讲下面一个问题之前呢？我们首先第一个事情，我们先跟同学们去介绍一个问题。那么，在这里面当中啊，我们来给同学们进行去介绍一个知识点，把这个知识点呢，学会了之后我们再进行去处理下面的问题点。那么，这里面当中讲一个考点内容叫做什么比值极限？

存在的性质呃，这个部分内容是非常重要的，因为我们在考试过程当中啊，也经常使用。那么，接下来我们来把这个性质啊，我们来重点讲一讲好稍微的眼神，嫖一嫖，那么在这里面当中啊，它是这样说的，说已知。那么，在这里面当中，我们说已知一个极限是存在的，在这里面当中是比值情况，

你fs比上这个gs这个极限呢？它是存在的。啊，就说两者之比的极限诶，它是存在的好，那么这里面当中我们先看第一条。第一条是这样说的，如果两个之比的极限是存在，那如果分母的这个极限是零。那么请告诉我个事情，这个分子的极限是多少？好，这是第一个空啊，然后第二个事情我们就继续再来看，如果这里面当中你发现这个分子的极限是零呢？

你得往下除吧，你得往下除的话，这个结果得不为零，那这个时候你发现我就说这个分母的极限是多少？好，我们一起来看看这个事情，所以在这里面当中啊呃，大家稍微的理解啊，你要好好理解你，思考一个问题，你看。下面已经是零，你注意啊，这是一个函数趋向于零。如果上面这个结果不是零。

比如说你看是一。一÷0，这是无穷大吧？如果这是二三四，这一除都是无穷大，哪怕是无穷大呢？无穷大除零是多少？要注意一个事情，无穷大除零是已定式，这不是未定式，无穷大除零其实就是无穷大乘上零分之一。那就是无穷大乘无穷大无穷大乘无穷大，当然是无穷大。所以你会发现一个事情，如果这个上面这个人不为零，

他咔的一除永远都是无穷大，怎么可能是个数啊，所以说这个人永远是零。跟得上我的意思吗？所以把这个事情啊，你要想清楚，把这个问题点要绕记啊，对吧？比值极限是存在的。下面的极限是零，上面的极限也是零。然后你发现上面的极限是零，结果不为零，那下面这人极限呢？下面这人的极限也是零。

所以在这里面当中，比值极限存在的性质，把它要记住。好，我再说一遍啊，比值极限是存在的。下面的极限是零。然后上面的极限一定是零。上面的极限是零，结果不为零，下面的极限一定也是零，那么在这里面当中，我们来看个题吧啊，这个往年真题当中啊，经常去出这个问题，

我在这里面呢找一下。呃，这个题啊，完全可以给我们进行去改变。所以对于我们，你看每次我去找一些比较经典的题啊，我都很少去翻这个三九六同学的话，我们的那个真题。因为你要知道一个事情，就是我们在这个二零年之前的这个真题啊，不具有任何参考价值。因为那些真题实在是考的相当的菜啊，那都不是菜，那是相当相当的菜，所以在这里面当中一些稍微的话，

跟我们的难度系数接近的一些题啊，我们在这里面当中，我们可以去处理一下。好，那么接下来我来给你找一个题，你稍微的进行去看看。哎，来看看这个题，这个题啊，完全可以考给我们。对吧，它其实就是适合出一道这个两分题出给我们一道题来瞅一下这个人。看这种题怎么做？那么这种题啊，你发现就是给了一个极限是多少，

然后让我们去求解其中的待定参数。那么，在这里面当中，我们稍微进行去瞅一下吧，你发现当x趋向零的时候，这个极限，然后来写这是一亿的x，怎么怎么办？减个a。然后这里面当中啊，你看见这个里面当中有个三。s in根这个人是除法，这是乘法，所以说它可以等价无穷小于它，这是cosines再来减b，

那么这个极限结果等于多少等于五？好注意下它这个结果等于五。那么你发现一个事情，只要拿到极限，第一件事情干嘛先定型好，我们来定一下有没有发现一个事情，这个人往零跑。这个人放一减b炮。那零乘上一减b是多少？零乘上一个数，你发现一个事情，它当然是一个零。有人说一剪必变，万一是无穷大你胡扯。我来说一个事情，

只要在考研当中出现了一个数，它就是数。你听得懂我的意思吗？你不要说一减b有可能是无穷大啊，不要乱来。要学东西啊，学的太轴，这可不太行。所以在这里面当中，马上来看哦，上面的极限是零来用一下，刚才的性质。比值极限是存在的，上面是零，结果不为零，

那下面的极限呢？一定是零。赶紧来写，那就说明es减a这个极限，这个极限就是一减a直接代码，那这人就是零，所以在这里面当中马上推出来a是一，你看出来了。如果在这里面当中，你发现这个a是一了之后的话，我们来继续处理一下，这是1s进行减个一，然后这是x，然后这是cosines再减b。你发现这人等价无穷。

一等价的话，这个人就可以约一下，一约的话就变成了cosines再来减个b，那这人其实就是一减b一定是吗？然后等于五那这个结果呢？就等于负四。你看这个结果是不出来了，因为这里面当中啊，它其实就第一项用了刚才的性质，你学会了吗？你看比值期限存在性质。反正我拿到极限，我的第一步干嘛我定型，我永恒不变的，我原来定型，

我现在碰到极限，我还是定型，我这个思维方式是一成不变的。所以在这里面当中利用了一下刚才的性质。但是每年讲到这个题啊，我都有感而发，无论是讲哪个班，我都有感而发，大家注意一个事情，你们是一个成人。你也是个大学生，当你去看到一些市面当中的，有些这个讲法的时候，你一定要进行去好好进行去关注一下这个事情，我曾经见过一个。

这个。视频里面讲的这个啊，有一次的话，刷刷刷到这个，我觉得这个相当的夸张，然后这个标题起的也非常的猛。叫做什么这个东西啊，一秒破题可以猜哎，我一看呐哎，然后我去点一下，你发现他说什么情况，他说这个题非常简单。为什么呢？因为我们经常碰到es，肯定减一，

所以说这是一。那既然这是一的话，这人等价无穷，小x这人就没了，然后这是一减b等于五，然后等于负四，然后拍案叫好。我的天呐，还能这样讲。我一句话就把你进行去怼回去了，你说es喜欢减一那cosines还喜欢减一，你咋不说b是一呢？那这就是拿到答案去讲这个过程，拿到答案去讲方法，那这谁都会。

所以同学们注意啊，你可不要，千万不要这样来啊，你这样来，这个就毁到这儿了，所以同学们注意这个呢，不要乱来啊，不要乱来。好，我们就回来了。所以像这种类型问题的操作形式啊，你必须要把它掌握清楚，对吧？比值极限存在的性质。能学会吧哎，

笔直极限存在哦，我们在这里面当中利用的性质就是下面极限是零，那上面极限是零。上面极限是零，结果不为零，下面极限是零。所以像这里面当中的操作性方式方法，必须要把它掌握清楚好了，这里面当中的第一个点，我们就讲到这。可以了吗？来我们继续吧，我们再来看看下面一个题，我就来重点来讲讲这个题啊。看一下这个题，

那么在这个题啊呃，我们可以稍微的等一会儿，这个题等一会儿回过来我再来讲，这个题可以吗？因为一会过程当中，我要讲好多好多的细节性问题，所以说像这个五点五这个钱你先放在这啊，一会过程当中啊，我们来多讲讲。尤其是对我们三九六同学，因为我们考的是选择题，有好处。但是也有这个弊端，对吧对啊，有些同学的话，

你发现考的是高分，但是你发现这个能力啊啊，其实没有复习好。好，稍微的等会儿，不要着急，一会儿我们再继续，那么接下来我们再来看看下面一个问题，好，我再来问一个事情，请问同学们。导数这个东西是用谁来定义的？这个东西是不是用极限来定义的？对吧，你这个人是用极限来定义的，

包括我们上节课讲的连续性也是用极限来定义的。大家都知道极限这个东西啊，有左极限和右极限之分，我有左极限，我也有右极限。我既有左极限，也有右极限，那你发现一个事情，我们之前讲有左连续，也有右连续，那我想问你个事情，有左导数有右导数吗？有没有当然也有那么在这里面当中，我们就来重点来看看单侧导数的问题。哎，

也有左导数和右导数。所以在这里面当中啊，非常的简单，那么这里面当中你发现看我们原来讲的这是什么定义？这是核心定义，这是什么定义？这是增量定义，这什么定义？这是计算性定义。如果这个定义当中的极限呢，你发现都变成了右极限，都变成了右极限，我就把这个导数叫做诱导数。怎么去写的呢？大家注意一个事情，

这叫导数吧？诱导数怎么写？你就在这儿打个加号。这叫诱导数。有些同学放荡不羁爱自由，对吧？人家就在这写。你说你这个同学虽然是理解了，对吧啊？你不能在你自己的这套体系里面混。你如果是微积分学的发展史当中的那些人呢？你要这样写了，我们现在就这样写。因为你都知道一个事情，学一个东西啊，

它这个这个记号，它只是为了很多人进行去交流，为了进行去记忆。对吧哎，继续去交流，我们方便进行交流，我们统一一下，当然的话在这里面当中，你如果说哎，我这样写，我知道是这个意思啊，其实你把这个问题学习了。但是你不行啊，我们现在是规定死的，人家这个写法是怎么写？

人家在这块写个加号。你要注意一个事情，人家在这儿写个加号，这叫诱导数，人家在这里面当中写个减号，这叫左导数，所以说你把之前的这个极限。都改成左极限，就叫左导数都改成右极限，就叫右导数左极限，左导数右极限，右导数左极限，左导数右极限，右导数。听得懂我的意思吗？

所以在这里面当中啊，非常简单灵活点啊，这块不用打点，不用打。非常简单，就是什么情况，把原来这个极限写成右极限，就叫诱导数写成左极限，就叫左导数。那我想问你个事情，刚才讲过。如果在一个点处是可导的，原来不加这个号的，这个极限是存在这个极限，只要存在，

我就说你在这个点处可导吧。那现在你告诉我那个极限怎么样才能存在左极限和右极限存在，且相等能推出这个极限存在？这个极限存在，它就可导，所以在这里面当中，我们又得出了一个结论，叫什么东西呢？如果在一个点处，导函数等于a的充要条件是什么呢？就是左导数和右导数存在，且相等。大家注意啊，就是左右导数存在，且相等，

我就说这个导函数是存在的。听得懂我的意思吗？所以你发现我们现在所学习的这个体系啊，它又跑到哪块呢？就跑成分和不分的那块内容了。能想清楚吗？啊，我知道有些同学脑子里面跟连续又混了，我就说那左右不是还要跟该点相等吗？妈妈不要乱来。把这个东西岔开，所以在这里面当中啊，我为了同学们学好，我来把这块东西啊，我来做一个大总结。

哎。对吧，连续性还有可导性的判定，哎，这个东西在考研过程当中会考的。连续性的判定和可导性的判定，你把这个东西给我记死。你就记住，只要碰到连续性的，判定好我们首先看第一个事情，连续性的判定。对吧，这是第一种，然后在这里面当中，我们再来看看第二事情，

我们再来讲讲可导性的判定。对吧，如果在这里面当中，你发现我只要碰到连续性的问题，我立即会想到什么事情。我只要见到连续性，我立即会想到极限等于函数值。我只要碰到可导性的问题，就是导数定义的极限是存在的。是吧，所以说在这里面当中，我觉得说细致一点，那就是部分的情况，还有第二种情况，那就是需要分的情况。

对吧，有一种情况叫分的情况，还有一种情况是部分的情况，我们把这个东西啊，学细一点可不可以啊？这个将来过程当中，你拿到一个题的时候，你发现你做的就非常顺畅。那不怪乎，就是这两种情况吧，分的情况还有不分的情况。那么所以说接下来过程当中，我们先来看第一个事情连续性，如果部分呢？部分其实就是极限。

等于函数值。对吧，求极限，然后看看等不等于函数值，如果需要分呢？需要分其实就是左极限。然后怎么办呢？等于右极限。然后都要等于函数值。对吧，这是分的情况，所以你要把这个方向性把它给我梳理清楚啊，这是第一个问题，点那么在这里面当中，我们继续来看可导性。

那么，在可导性当中，也有两种，一种是分的，一种是不分的吧？那你如果不分呢，那不分非常简单，我们做了一天了啊。如果在这个点处，它是可导的或者不可导的，我只需要保证什么情况，我只需要保证导数定义的这个极限是存在的。对吧，我只要保证这个极限是存在的。只要这个极限是存在该点，

就可导极限等于一导数等于一极限等于二导数等于二。能听懂吧，如果是需要分呢？需要分的话，你发现就是左导数。和诱导数。然后都等于。如果左右导数都存在，且相等啊，你注意一个问题啊，我写了好久了吧，我只要写a都是一个数，都是存在听懂吗？哎，所以说你把这个两个事情你想清楚。

就连续性，如果不分。极限等于函数值，如果可导性不分，那就是导数定义的极限式存在。如果需要分左右都存在，都等于函数值，如果这个可导性需要分左右导数存在，且相等听懂我的意思吗？哎，这个页面非常重要。如果在考研过程当中考，它可以进行出一个两分题，或者是四分。呃，

像这个类型问题啊，都是可以出，我可以出一道，我也可以出两道。对吧，有连续性判定，有可导性判定，好像这个问题点呢，我希望同学们把它想清楚，那么接下来我们来看个题。来把这个题啊，操作一下。要不然这样吧，我们来进行去先讲一个简单一点的啊，然后我们再来看看下面一个问题，

我在上节课过程当中啊，我其实就讲过这个人。那么，同学们注意，你看这个函数还记得吗？我就来问你一个事情，请问第一个事情，它在x=0处连续吗？第二事情，它在这个点处可导吗？好，我们来判断这个人啊，这个题非常的简单，对吧？哎，

连续性和可导性的判定来那么，首先第一个事情，我们先来判断第一个人连续性。连续性的判定其实就是极限等于函数值，那就是趋向于零求极限呗。你趋向于零求极限的话，你发现一个事情，我不就是在这里面当中，你也不用分了，要不要分呢？这个分不分都一样，都是零。然后等于该点函数值吧。连续的，然后第二事情再来看看可不可导，

可不可导的话，用导数定义呗，导数定义的话，你发现一个事情就是I趋向零。fs-f零比上s- 0，那这个人呢？这个极限很明显不存在，所以说是不可导，连续而且不可导。对吧，连续但不可导，上节课过程当中，我给你画了一个图。我说过那个事情吗？我在那里面当中给你画了一下这个图，

这个图形的话，你发现看这是y这是零，然后这是x，然后在这里面当中哎，它其实是一个v字状。对吧v字种，它在这个点。它在这个点处连不连续呢？连续的，但是在这点可不可导的不可导，因为你发现看你这半边的切线斜率是一。你这半边的切线斜率是负一，你右导数是一，左导数是负一，或者而言，

我当时给你讲过一个事情，我说在这个点处怎么办？冒尖了。冒尖了就不可导，我说你用手去摸。对吧，它不可导，所以在这里面当中，你同理可推，那我想问你个事情，你像这里面当中，我再讲一个这个x-x零这个函数。你看这个人这个函数其实就是在这个函数的基础上，你把它怎么办？向右移动x零个单位，

它是不是在这儿？那也就说这个函数在这个点处呢，是连续的，但也不可导的。所以你看看像这个事情，你可以稍微的推广一下。很快就把这个问题点学清楚了，好，这就是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，点那么接下来过程当中，我们再来看看下面的事情，你来把这个题来处理一下。啊，五点六这个题。

来操作一下这个题吧。呃，这个题目啊，你先来看看，要不然这样吧，我再来出一个题，等会再来做这个题，这个题啊，留到下课休息过程当中再做。那么，这里面当中，我再来出一个题啊，我们再来看看例二。呃，如果讲义记不下来，

你就记个笔记对吧？一会过程当中我再来说一下这个学习的一些啊，方法的一些问题啊，一会我们再来说。那么，在这里面当中啊，我们来看看第一个人，那这个人的话是一减去e的x方，然后再比上x，这是x大于零。然后这个等于零的话，它就是零。然后s小于零的话，我们继续看。那这人其实就是。

一减cos x。比上多少呢？然后这个是。比上这个x。然后让我们去求解一个什么事情呢，然后让我们去求解该点处的导函数。好，我们来看看这个题，那这个题怎么做啊？当然我们的考题都是选择题啊，有会有可能出好几个选项，比如说一二三不存在无穷大，我出五个选项。溢出就出来了好了，那么接下来我们来看看这个题，

首先这里面当中的第一个事情。分段函数在分段点处求导，一定得用定义，所以说这个题肯定用导数定义，但是这个题而言的话，你发现大于零和小于零不一样。所以说对于这个题而言，需不需要分呢？当然需要分这个题，就需要分成左右。对吧，需要分成左导数和右导数，那么在这种当中，我们先来看第一个事情，我先来进行去讲一下这人的诱导数。

那么，诱导数我们就来写诱导数的定义x趋向零正，然后这是多少fx-f零？比上多少x- 0，然后再来看看左导数，左导数，左极限，右导数，右极限嘛，就是把原来的东西改一下就行。然后我们继续fs在哪个点f0，然后比上s- 0求一下这个人就行，那么这里面当中我们先来看看第一个事情，如果这是零阵来同学们看。那么，

首先第一个问题，如果趋向零正，就是比零大，比零大是谁呀？比林大不就是这个人吗？所以说在这里面当中，你就把这个人写进去，然后比上s，然后f0是谁f0不就是零吗？比上这个x- 0。然后在这里面当中，我们就继续，我们再来看看下面这个人只是limit x趋向零负零负这个人的话，我们就继续看那比零小比零小，谁不就是这个人嘛，

一减cosine，然后比上x。然后再减去零比上x- 0。是不是这个问题，你稍微的把它进行整理一下，那这个人就是limit x趋向零，然后这是多少一减去e的x方比上x方？然后这里面当中就是limit x趋向零，然后多少一减cosine比上x方。然后来看看上面这个人，那这个人的话，你发现一亿的框对吧？这是框，因为你是零嘛，平方也是零一亿的框，

减一等价无穷小于框。所以上面这个人等价无穷，小多少负的x方，因此这个人是负一，然后这个人等价无穷，小多少二分之一x方，所以说两者之比的结果是多少二分之一？那我想问你个事情。左导数存在，右导数存在，但它们两者之间不相等，因此这个东西怎么填？这个填就填，不存在就行。很多同学估计又来问了说啊，

老师，我们怎么去填这个答案？你着这个急干嘛？你的题都是选择题。所以像这个题啊，你必须要进行去会算对吧？有左导数有右导数，这两个事情怎么去处理呢？好了，这是我们讲的这个例例二这个题能学会吗？哎，下去过程当中把这个类型问题啊，好好进行去梳理一下。然后我们在下课过程当中，我们稍微休息会，

然后你在休息的过程当中完成一下五点六这个题。呃，这个题非常重要，我们在下课休息过程当中啊，你把这个题做一下好不好？同学们行吧？好，我们稍微的休息会儿，一会儿我们再继续。好了么？同学们好，一会继续啊。做下五点六这个题好动手做。

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