06.零基础考点精讲6-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:23:05

好，接下来我们就继续吧，我们再来看看呃，刚才我说了，我们把这个图形呢，给同学们进行去看一下，你看在这里面当中啊，我给同学们大致的用这个软件进行去画了一下，你看这是。sin x分之一的图形，这个函数啊，很明显一个事情，它其实是有界的，你看这个人我放大一点。对吧，

就是从负一刚好到一，然后在这里面当中啊，我们再来放大一点。有没有发现一个事情这个图形啊？我稍微把这个粘一下啊。你来看看这个人。那这些人的突出特点的话就是这样，就是你越靠近于零。对吧，就是这个函数的话，你看在这里面当中，我们越靠近于零，你靠的越接近，然后这个人上下来回的摆动。你要注意看这个极限的话，

你要顺着这个绿色线看。绿色线跑到哪？它最后就是趋向那个点的时候，它跑到哪？极限是多少？所以在这里面当中，如果你来看看这个事情，我把它再放大。越靠近零摆的越快，越靠近零摆的越快，也就是说，在趋向零的时候，它是上下摆动的，这种情况就是停不下来。这叫震荡的能理解我的意思吗？

所以说这个图形如果用这个画的话，你可能会看得更加的清楚一点好这个题啊，我们继续回来。那么，首先我们来看看刚才过程当中的这个第三题，第三题做了吗？什么间断点那么首先我们先看第一个事情，这个函数很明显在零处没有定义。对吧，没有定义，没有定义了之后的话，我们再来看看，求这个极限，我们刚才说判断间断点，第一个事情先看这个人是不是他的无定义点？

或者是分段函数的分段点，没有的话就求极限，然后求极限了之后再来判定。那么，既然求极限的话，我们就趋向零求极限，趋向零求极限要不要分呢？当然要分，为什么呢？因为这里面当中意义的头顶是无穷大。因此，在这个题当中，我们需要分成什么？需要进行分右极限，还有在这里面当中的左极限。

那么，首先我们先来看看上面这个人，他是一的s分之一，加上二分之一，然后这是二倍的e的s分之一，加上一。然后这个还是对吧，这是e大于四分之一。然后加上二分之一，然后这是二倍的e的x分之一，再加上一。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事情，你先看第一个人。

趋向于零正的时候，如果s是趋向于零正，这个s分之一正无穷e的正无穷就是正无穷。那既然是正无穷，正无穷加个二分之一，正无穷加个一，我就可以抓大头啊，我一抓的话，你发现这两个人就不要了，他就留下了个二分之一。那么然后我们再来看看下面一个事情，如果这个人趋向零负，那这些人们当当中的e的x分之一就趋向多少e的负无穷就是零啊。那既然是零的话，这个人就可以操作了。

零加二分之一，零加一，那这个人是已定式未定式，你上面这个人是二分之一，你下面这个人是一很明显，这个人是个已定式，一定是直接代入啊。那就等于二分之一，所以说这两者之间是相等的，你相等的话就突出了一个事情，我在趋向零的时候，这个函数的极限就等于二分之一。那极限等于二分之一，但是这个点处的函数值有没有很明显？一个事情，

这f零是没有定义的，没有函数值。极限不会等于函数值极限，存在不等于函数值，因此在这个人呢，他就是个可去间断点。而最后一个人呢，很明显是个震荡间断点，这不是我们刚才讲的例子嘛，所以d选项最后一个就是送分题了，好这里面当中的内容，我们就讲到这。你看，这是第一个事情，判断这个人的间断点的类型好，

四点三这个题啊，我们就讲到这，那么接下来我们继续，我们再来看看四点四这个题。再来抽象这个人。呃，刚才下课过程当中，我让你去做一下这题选几啊？做完了没有？选几？好，首先第一个事情，我们先来看看。那么，拿到一个函数去判断间断点，

第一件事情先进去去找无定点，那这个人的无定点有几个？首先，我们先看第一个事情，无定义点。那么，在这里面当中的无定点先来看第一个事情，这个分母不能为零吧？所以说s不能等于一。第二事情我们再来看，这个分母也不能为零吧。你不能为零的话，这个人就不能为一什么时候为一呢？这个人是零的数是一，所以说s不能等于零。

因为等于零的时候，你看这个人一除这是零一的零是一一减一就是零，所以不行，有两个无定点。找到无定点了之后，那么接下来过程当中，我们来求极限先进行求趋向零的极限，趋向零的极限只是x比上x减一再减一分之一。呃，这个极限呢，你怎么做都行，有些同学可能是眼丑的，有些同学在这里面当中等价了下都行，那么首先我们看看吧。在这里面当中，

你发现一个事情，如果s是趋向零，那这人往哪跑？你上面这个人往零跑。对吧，这人往零跑，然后这人往哪跑？往负一跑，那这两个咔的一除呢？咔的一除就往零跑，所以说这个部分呢？往零跑。那健身房领跑，有些同学在这里面当中就等价了一下，他怎么做的呢？

他说在这里面当中，当x趋向零的时候，你就发现。这个部分既然是零，就是框一的框减一等价无穷小于框。对吧，因为你是零嘛，趋向零，它就可以等价，所以在这里面当中，我们来看当x趋向零就是is- 1比s。现在的话，你发现看上面这个部分是负一，下面是零，所以说结果等于无穷大。

所以有些同学可能是这样做的，对吧？哎，这样进行处理没有问题啊，都非常好，或者而言的话，眼睛漂一下就出来了。你来看看吧，这个人是0e的，零就是一。那一减一就是零，所以说对于这个极限而言的话，它就上面是一，下面是零，那这个极限结果就是无穷大。

大家注意啊，我写这种情况都是趋向于零，趋向于一，你要看得懂好，这是我们在这里面当中，如果极限是无穷大，它就是无穷间断点。无穷间断点属于第二类间断点，因此这个人是第一类间断点不对，那这人是第一类间断点不对，因此正确答案只在BD当中选。好，我们再来看第二事情，那就趋向于一。那趋向一的话，

这个人继续来看is比上is- 1，然后再减一，那么同学们告诉我这个人要不要分呢？你先来看呗，那这个人是这个情况。你往一跑，你往零跑，那这个结果就是往无穷大跑。那这个结果往无穷大跑一亿的头顶是无穷大，要不要分？当然要分，所以说对于这个人而言，你就需要分成左右极限，你看学习东西啊，慢点来，

要有章法，对吧？所以这个人要看他的右极限，看他左极限好，我们先来看看右极限，慢慢来啊。首先第一个事情，右极限x比上多少x- 1好，你是趋向多少一正？有些同学比较纠结，说老师一阵呢一阵怎么了？只有零我才关注。你想想一个事情，一一的左边一点一的右边一点那零在这儿都是大于零啊。对吧，

一的左边一点点，一的右边一点点都是比零大的很多。你除了是零的，右边一点点，这是正的零的，左边一点点，这是负的，你能听得懂我的意思吗？所以大家注意一个事情，你趋向一正就是比一大一点点。大一点点本来就大于零，然后在这里面当中，我们继续看。比一大一点点，减一呢就比零大一点点，

所以说这个人是正无穷。那因此你会发现一亿的正无穷。正无穷，所以对于这个人而言的话，这人x- 1，这个人就往正无穷跑。一亿的正无穷，正无穷，正无穷，减个一呢，不要了。无穷大分之一呢，真是零。能听懂我的意思吗？好，

那么接下来我们再来看下面一帧s比上s- 1。那然后这个部分是依附依附，你不用管依附不是附的。所以有些同学做这个题做的非常轴，他说一负哎，一负是负，一负也是正的，一的旁边一点点嘛，那比零大呀。所以在这里面当中，它是一，然后这人呢一负呢比一小一点点，减个一呢比零小一点点，所以说这人是负无穷。一亿的父亲呢？

一亿的父亲真是灵。那所以说在这里面当中，你看上面是一零减一，这是负一一定是吧？一定是这人就是负一。左右极限都存在，但不相等。很明显一个事情，它是个跳跃间断点，跳跃间断点呢，属于第一类间断点。因此，正确答案选d。好这题啊，我们做完了，

学会了没好掌握清楚，给我回复一，所以大家会发现一个事情，我们这节课所学习的东西啊。其实就是上节课的缩影。你只有把上节课学好了，然后学这节课，你会非常的轻松，那核心重点不就考两个事情，一个事情会进行去求极限的内容。另外，事情会利用左右开弓法进行处理问题呗，你要知道一个事情什么时候要分，什么时候不分。哎，

这个事情非常的重要，你把这些题啊，你要拿下来啊，其实很多同学二战的同学你都清楚了一个问题，其实我们刚才所做的这些题啊。就是我们所考研过程当中会考察到间断点的难度系数，你就这样。你学到最后的话，今年的12月25号，你能达到这个能力，其实就可以了。所以对我们三九六同学一定不要操之过急，不要在那注重说什么复习的进度啦，做题的数量啦，我觉得这不重要。

最重要的问题是质量，你的质量很重要，你学一节，你要消化一节，你不是说我现在过程当中，你现在复习完了又怎么样？你把高数现在概率都全复习完了，那又怎么样？你发现每个部分的东西学的又不通透，你还得来一遍。还得来一遍，你来三遍，我来一遍，我们质量是等价的，何必呢？

哎，所以说一定要保证这个质量好了，这个部分内容我们就说到这。好，这是第一个问题点。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，所以学到这儿，我们的连续性和间断点的两个问题，我们就全部讲完了。其实在我们的这个高等数学教材当中啊，这个第一章部分的东西就全部结束了。那么，我们的学习思维方式是什么呢？

我们学习思维方式是这样。首先，第一个事情，我们先来进行去学函数。对吧，学习这个对象。学习完了函数之后怎么办呢？我们进行去学习函数的极限对吧？学习这个对象对给你进行求极限。然后第三个事情，我们就要来应用了，刚才第一个应用，我们进行去定义了什么定义了，连续定义了间断。所以这是一个主心骨啊。

你学习完了极限，我用它来定义了，连续定义了阶段，那么接下来同学们，我们来再来看看它的第二个应用，这是刚才的应用一。优化过程当中，我们再来看看应用二，我们来看看导数部分问题，那么接下来过程当中啊，我们就正式进入到第二章部分内容的学习，叫做导数。那么，在学习导数之前呢？首先，

第一个问题，我们必须要学习导数的定义。对吧，只有必须要进行学，这是我们其实高中当中的一个啊，非常大的一个漏洞，你想想一个事情，你高中学没学过导数？你学过呀，你比如我问你几个问题。s in进行求导是多少cos你会s方求导是多少2s你会。对吧，然后在这里面当l进行求导，多少x分之一你会，然后这里面当中a乘b求导，

你会不会就是前导后不导前不导，后来导你会不会你会？你看都会，那我问你个事情，为啥呀？为什么答曾经背过？高中就是这样学的，高中老师就是这样教的。显然。但是你深刻的进行去问一下自己这个东西为什么是这样，为什么sine求导是cosine，为什么平方求导是2s，为什么求导是这样，哪怕这里面当中为什么乘法求导就是。前倒后不倒，

前不倒后来倒。更夸张的，但我们不会这样考对吧？我们考不了这个，当年二零一五年的时候，数学一同学和数学二同学和数学三同学就考了这个问题的证明。我给你看一下，我们不会这样考，因为我没有真命题，对吧？我们只有计算题，但是只有计算题这一节部分的东西也非常的重要，我给你看看这个部分。那么，当年过程当中啊，

我们来看看二零一五年的考题。你看这个事情，当年过程当中数一和数三考了一个十分的题，他说u和v都可导，请你用导数定义给我证明u乘上v的导等于u导v不导u不导v来导。你看当年过程当中的一道证明题，这一本给你六分。第二问四分。六分有同学说啊，这不是显然吗？这肯定就这样做的呀，那我为什么要进行证呢啊？当然我们不会这样考。我们没有真命题。所以学到今天呐，

高中我们就这样学就算了，但是上了大学，我们真正的进行学习，微积分，那么从这节课开始啊，我们要真正的进入到微分篇。这门课程的名字叫什么？叫微积分。微分积分，我们从这节课开始，真正的进入到微分篇，我当然要知道导数是什么？我只有知道它是什么，我再学习它的计算，所以应该是这样学的，

那么接下来过程当中，我们真正来看什么叫导数？其实这个定义啊，你高中学过，但是为什么不刻骨铭心呢？因为高考不考。所以这就是我们在呃这些年当中啊呃，其实也是非常好的方式，叫做以考促学嘛，你比如说将来过程当中，你想。呃，真的是去掌握一个什么样的一个技能呢？你就去报一个那个考试，比如你想这个学习这个会计类的什么东西呢？

你可以报个CPA对吧？你去考一考对吧？你比如说你想进去去了解这个法律类的一些知识的，你就可以报一个这个司法考试。对吧，你可以呃，想继续去考什么？比如说考一个这个计算机类级的啊，这个报一个二级考试其实非常好，就是。如果真让你去散着学啊，你今天学一点，明天学一点，碰到难的又不想学，你真正用个考试的方式也挺好。

也行，所以今天过程当中啊，我们来看看什么叫导数，其实这件事情高中学过。我们高中学过这样一件事情吗？那么，在这里面当中，我们来看一条线。这是a点，这是b点。对吧，然后在这里面当中，我们占了一个人。那这个人呢？你发现他说我们从这个t10克到t20克，

然后从a走到了b。能理解我的意思吗？那么请问同学们，那这个时候它的平均速度是多少？你看这里面当中，我们定义的一个东西叫做平均速度。怎么求的？它这样求的，它就是这段的位移，那就是xb。减去xa。这是位移，然后再比上多少t2前提。那就是用这段的位移除上这个什么东西呢？这个长度也就在这里面当中，

你发现就是德尔塔s比上德尔塔t。对吧，位移比上这个时间就是这个平均速度，但是你想一个事情。这是这一段时间平均速度能描述一个点处的瞬时情况吗？描述不了的。我举个例子，我从这个a点跑到这儿，比如说我平均速度是六。但是每个点都是六吗？我有可能中间有一个点跑到十二十三十都有可能。它平均的情况。你就这样讲的话，比如说你这个呃，跟别人的话进行去平均对吧？

我说一个班的平均分。平均分是90分，那证明每个人都能考到90嘛，那也不一定有人比他高，有人比他低，所以他描述的是平均状态。那我如果就想知道这个点处的瞬时速度怎么办呢？对吧，我就想知道这一个点处的瞬时速度，这个时间是德尔塔t，这个时间德尔塔啊，这个位移是德尔塔s，我想知道这一个点处的瞬时速度，那怎么办？那非常简单，

你看这不是平均速度吗？如果在这里面当中，我让这个时间非常非常的小。就这个时间，非常的小，那不就是近似描述的是a这一个点处的瞬时速度吗？你想想是不是啊，从a点跑了一点点的平均速度，那不就是瞬时速度吗？所以在这里面当中，我们就用这种方式定义了a点处的瞬时速度。你高中学过吧？你肯定学过这个东西，哪怕你是高文科的同学，因为这是你高一学的内容。

你肯定学过这个东西，你看当时过程当中不就学了机械吗？然后把这个东西啊，其实就有导数的含义。对吧，其实就有导数的含义，你学过这个内容，但是你发现高考不考，所以很多同学给忘掉了，那么接下来我们真正来看看什么叫导数？什么叫导数呢？导数其实就是这个点处的瞬时变化率，你先写到笔记上。所以将来过程当中有个人问你，说你知道什么叫导数吗？

导数就是这个点处的瞬时变化率，那么接下来我开始讲了。那么，在这里面当中，我们先来看看第一个问题。我来拉一个二维的d卡坐标系，那这个部分的话，它是y轴，然后这是零，然后这是x轴。然后这个部分呢，有条曲线。这有一个点，这个点呢是x0这个点。如果在这个点呢，

你发现它有个横向的跨度，横向跨度跨到哪儿呢？跨到这儿。哎，走过了一个这个位移啊，或者走经过了一个时间，反正有个增量，这个部分的增量是多少呢？这个部分的增量是德尔塔x。也就说我从a点呐。有一个增量对吧？自变量有一个增量德尔塔s。然后跑到了b。对吧，跑到b，

然后在这里面当中，它有个因变量增量，这个因变量增量是多少？是德尔塔y。对吧，这是delta y，那么在这里面当中，我们马上来看一个事情，你把这两个点连起来呢。这条线叫什么线啊？其实你发现非常简单，这个初中你也学过这种定义啊，在一条线当中啊，连接两个点，这是a点，

这是b点。这条线呢，叫做割线。大家知道这条线叫割线。你发现一个事情，这个割线斜率你会求吧？那么，在这里面当中，我们来求一下这个割线斜率，这个割线斜率的话是这样因变量增量比上自变量增量，这叫斜率。能听懂吗？哎，这个因变量增量比上自变量增量，这叫斜率。

哥，现在写的。那么，这些里面当中，你发现它也叫平均变化率。是吧，在a点处的一个平均变化情况。但是它却描述不了a点处的一个点处的顺时变化情况，那我怎么才能描述呢？非常简单，我在这里面当中，我让这个德尔塔s非常小。那么，这类目当中的理解方式有两个，我们先来看看第一种理解方式。

第一种理解方式就有瞬时变化率的理解方式。同学们来看你看，因变量增量比上自变量增量。这叫a点处的平均变化率吧。如果让这个德尔塔s非常小，就描述了a这个点处的瞬时变化率有没有问题。没问题吧，这是第一种理解方式，然后接下来过程当中，我们再来看第二种理解方式，我把a这个点处的瞬时变化率就叫做了该点处的导函数。那么，接下来我们再来看看第二种理解方式，大家再来看。你来看看这幅图。

对吧，这是a这一个点。然后这里面当中有个b这个点。对吧b这个点我把这个连起来了，请同学们告诉我这条线是不是割线？对吧，如果你发现一个事情，你让这个b跟它再挨得更近一点呢。你更近一点的话，你发现看这个割线是不是更接近，如果你让这个人再接近一点呢？越接近你，再接近一点呢，你看这个割线，所以你发现如果这个距离越来越小，

它的割线是不是就无限的逼近于这条线叫什么线？这条线就叫切线。你总学过吧，导数就是这个点处的切线斜率几何意义嘛？所以你发现当那个德尔塔x非常小的时候，这个割线就无限的逼近于这个人的切线。是不是这个问题，所以像这个事件，你发现立即就通了。两种理解方式，第一种理解方式，我们用瞬时变化率的理解方式，因变量增量比上自变量增量。就是这个点出的什么东西啊，这叫做平均变化率。

如果这个德尔塔s非常的小，那这个近似表示成这个点处的瞬时变化率当然也可以用第二种理解方式，那就是割线逼近。德尔塔y比上德尔塔s表示的这条割线的斜率。斜率嘛，因变量比上自变的增量，对吧？割线斜率如果这个德尔塔s非常小，不就近似表示的这个点处的切线斜率吗？不就该点导函数？能听懂我的意思吗？好掌握清楚了给我回复个一。所以你可以看出来这个时候啊，我就定义出了该点处的导函数，那你告诉我个事情，

导数是用谁定义的？谁定义了导数？导数是不是用极限来定义的？所以将来你就非常清楚的一个事情，别人问你，哎呀，你知道什么叫导数吗？导数就是用极限定义的。导数这个点处的导数就是这个点处的瞬时变化率。因变量增量比上自变量增量平均变化率，德尔塔x趋向零顺时变化率这个点处的顺时变化率就是这个点处的导函数。你注意一个问题啊，这考研必考，一定会考，我把这个定义叫做核心定义。

哎，这是核心定义，图法就是这个点处的瞬时变化率。能掌握清楚吧，第一个事情，但同学们注意这个定义啊，我们基本上考试当中啊，用的非常的少，我们考研过程当中啊，喜欢用这个人。所以在这里面当中，我们来注意一下，把这一写开，一起来讲。这个点处的导函数。

就是这个点处的瞬时变化率，我们先来看看因变量增量。因变量增量是多少呢啊？我把这条线擦掉。等一下好，我们先来看看，因变量增量，那就是末点b点减去这个a点。s0加上德尔塔s，然后再减去fs 0，然后再比上这个德尔塔s，让德尔塔s趋向零。用这个极限定义的。那所以说我们在这里面当中就看清楚了。导数也是用极限定义的。

那么你可以看出来我为什么要先学极限，用极限定义了，连续用极限定义了导数，导数出来了，微分学就出来了。所以说这个极限就等于该点导函数，注意啊，我这块用的是等号，两者之间是一样的。这个极限就等于该点导数会求极限吧，这个极限是一导数是一，这个极限是二，该点导数是二。这个极限是不存在的，该点导数不存在，

所以我们终于明白了导数，其实你发现就是用极限来定义的。但是同学们，我们在考研过程当中，我也不喜欢用它。我把这个定义啊，叫做增量定义。我也不喜欢我们喜欢的是什么呢？我们喜欢的是第二种，它的名字叫做计算性定义，哎，这个定义非常的重要，我们来重点来看看。这个人计算心理。那么，

在这里面当中，我们来停上三秒钟时间，如果将来别人问你，你知道什么叫导数吗？你立即回答他什么。你不要说我知道你回答他就是这一个点处的瞬时变化率。对吧，顺时变化率，我从这个点开始走到下一个点，因变量增量比上自变量增量，这叫平均变化率。当自变量增量趋向于零的时候，就是这个点处的导函数，就是这个点处的瞬时变化率。能听清楚我的意思吗？

好，我再说一遍，将来只要别人问你说你知道这个点处的导函数什么意思吗？就是这个点处的顺时变化率。几何意义上就是这个点处的切线斜率。好同学们，你想清楚了，勤工回复个一。哎，掌握清楚了给我回复一，那么接下来我们来看看第二定义，我们来看看定义一下这个点处的导函数。那这个点处导函数怎么定义呢？就是这个点处的瞬时变化率好，我们一起来看啊。

那这是一条线，然后找到这个点。从这个点开始走到下一个点。对吧，从a点开始走到下一个点，那么下一个点的话跑到哪呢？哎，刚才过程当中，我用s0加德尔塔s表示。我们现在呢，我喜欢用计算型题，我用x表示。行不行从这个a点走到了b点，然后这个时候你发现它的因变量增量是什么？因变量增量，

德尔塔y，然后这是自变量增量。那么，所以说首先第一个事情，我们先来写因变量，增量是fx-fx零。那这个时候就叫因变量增量，然后再比上次变量增量x-x零。那请同学们告诉我这个东西什么意思啊？这个东西的意思就是这个点处的。平均变化率。对吧哎，就是你看德尔塔y比上德尔塔s其实也是这条线的斜率嘛。对吧，割线斜率嘛，

然后在这里面当中，我们就继续再来看，但是你发现平均变化率表示不了这个点处的瞬时变化率啊。然后怎么办呢？我让求一个极限。我就要让这个部分非常的小，也就说我一定要让x-x零趋向于零，其实就是x趋向x0。如果求一下这个极限，就表示了这个点处的瞬时变化率，它就是这个点导函数能学清楚吗？就非常简单。我从这个点开始走到下一个点，德尔塔y比德尔塔s平均变化率让德尔塔s趋向零，就是我这个点出现的时候变化率。

我这个点处的顺时变化率就是我这个点导函数就这么简单。能学清楚吗？好听明白了给我回复一，这个定义要理解。当然，你理解了之后啊，你就可以记住了。对吧，我们就是先理解，然后把它记住，会用它，然后再做题啊，就可以好这个定义啊，非常的重要，把它给我标出来。

所以我们也明白了，那该点处的导函数就是用极限来定义的。如果将来过程当中，我要求该点处的导函数。我就来求该点处的极限。对吧，就这个极限，你要注意啊，不是求函数极限，是求这一坨的极限。这个极限存在导数存在这个极限，不存在该点导数，不存在你要注意一个问题啊，这俩人是一个人。对吧，

这个一就是这个二。对吧，这个人其实就是他的大名叫导数，这是他的小名，你导数是什么哎？这是他的本质。能理解我的意思吗？好了，那么接下来我们来看一个题来求解一下离。好，先来看第一个题。那么，在这里面当中，我们首先给你一个函数。对吧fx。

如果这个人的话，他是这样写，叫做x绝对值，再乘上s in，我让你进去去求该点处的导函数等于多少？哎，我现在不写选择题了，我们就来做这个人，一出就是一个题。那么，在这个题当中啊，首先我们来看看。对吧，给你这个函数。那这个函数的话，

然后让我们去求导怎么做？有些同学就会想到这个人说，老师这还不简单吗？那不就乘法求导我高中都是这样求的，就是前导后不导。然后前面不倒，后面来倒。对吧，前倒后不倒前不倒，后来倒，然后一求把它一代不就行。但同学们注意，这就大错特错了。你要注意一个问题，这里面当中有个函数绝对值，

我们来看看这个人。对吧，我们来看看y=s绝对值是多少？这个人的话，你发现他在邻处可不可导？s=0处。就这个人在临处，到底可不可导？我有两种看法，第一种方法我就来看图，第二种方法我来进行去计算。非常简单，那这个人在零处可不可导？我可以用定义法来判定吧。那我们来求一下，

那这个点处的话，你发现嗯，要不我们用这个人吧，用个大fx。我要想进行求该点处的导函数。那求呗，它到底可不可导？我就用计算型定义来进行计算。因为你这个点处的导函数其实就等于我们一起来写定义啊，它就等于这个点处的瞬时变化率fs-f零。比上x- 0x趋向零没问题吧？这个极限定义了该点导函数，我用的就是这个人嘛。极限定义了该点导函数，然后在这里面当中，

我们就把它代进去，当x趋向零的时候，这是x。f0是多少？这个题的f0很明显就是零。所以说就是绝对值再减零，我就求这个极限，那这个极限存在，它就可导这个极限，不存在它就不可导。很明显一个事情，你发现这里面当中就分成两个，如果在这里面当中是趋向零正，零正就是s比s是一。如果趋向零负，

那这个人的话就是x，这是负x，这是负一。那所以说我很明显发现一个事情，这个极限是不存在的，极限不存在，既然不存在，它就不可能。所以你要注意这个函数在零处是不可导的啊，就绝对值函数在零处不可导，那么接下来我们看看连不连续呢？连不连续很好看？那我想问你个事情，这个函数在这个点处连不连续？连续的为什么我在这个点处就没有端，

我是连续的。对吧，但是不可导。其实还有第二种方法看可导性，你也可以看图像，你看这半边的切线斜率是一吧？这半边的切线斜率是负一吗？很明显，两边的切线曲率不一样，两边的导函数不一样，当然不可导。那这种看法也行，或者你用手摸，你看冒尖了，对吧？

这人就冒尖了，什么样叫可导的？就这种动画，你会发现一个事情，这个人要想可倒他在这块儿必须是光滑的，我没跟你开玩笑啊，对吧？必须是光滑的。你用手摸一下，哎，光滑哎，光滑就可导，有些人说那我怎么知道光不滑，那你就要计算呢，对吧？

如果你能看出来，那就非常啊好了。对吧，这个人光滑，他就可导你像刚才这个人，那很明显不光滑冒尖了，不可导。这个人冒尖了，不可能。能理解我的意思吧好，这是这个问题，所以说你会发现一个事情，这个人在零处，他就不可导。你不可导就没法用刚才的这个公式，

你不能说前导后不倒前不倒，后来倒那不行，所以说在这里面当中啊，你只能算。对吧，我只能用定义来算，要求该点处的导函数，我可以用该点处的导函数的定义好，跟着我一起来写一下。levator fs-fs 0f零比上s- 0。s趋向零。求一下这个极限，求这个极限呢，之后把这个函数带进去。带进去了之后的话，

你看这是绝对值，然后这是三。那f0是多少？你把零带进去。你带进去的话，你发现这两个都是零，那就是零。然后在这里面当中是x那你求这个人的话非常简单，你看这人可以等价无穷，小x俩人一约就变成了这个人。那这个时候也不用分了，对吧？因为零正零负都是零。那既然该点处的这个极限，它是零对吧？

就这个人的极限就是该点导数，这个极限是零，该点导数就是零。所以这样的话，我立即把这个人点导函数求出来了，能学会吗？啊，不要小看这种问题啊，像这种东西啊，我们考研过程当中啊，可以直接考。好了，像这个题啊，我们就介绍到这，能想清楚吗？

哎，一定要注意这个问题。所以像这个函数，我们在通常而言的话，考试当中啊，我们需要进行去处理啊，其实就是五点一这个题。对吧，我把这个删掉了，就五点一这个题，好在这里面当中，但是这里面当中啊，讲到这儿，我们还是需要进行去把这个东西啊，稍微的总结一下，

你注到笔记上。那我怎么知道在考试过程当中，哪些人是用定义，哪些人是直接算的啊，在这里面当中，我们先来看看第一个经验，一也是定式思维。哎，第一个定时思维。那么，在考研过程当中啊，通常有这样的一个经验。例如说，分段函数在分段点处求导用定义。对吧，

我必须用零。一定得用定义求一个分段函数，在分段点处求导，我一定用定义哎，在这个点处进行求导，我肯定用定义。那这里面当中问题点就来了。我们考察了一个东西，它的名字叫做分段函数，那我想问你个事情，什么样的形式叫分段函数，你这里面当中我们讲细一点。它有显示的分段函数，注意一个事情，分段函数有显示的分段函数，

还有第二种叫做隐式的分段函数。哎，有显示的，有隐示的，有这两种。那么我先来看看显示的谁都会认识，显示太简单了，你在这里面当中，比如说我们看，如果给你一个函数，它是这样。谁都知道是分段函数，那么一看到是分段函数，但是同学们注意，还有一种叫做隐式的。

你比如说看到最大值。是不是分到函数？比如在这里面当中，我们来看一个事情，最大值x和x方，那就是分段函数啊。你x大了，你就是x你x小了，那就是x方。他也是啊。所以说最大值是。最小值也是绝对值也是。对吧，绝对值还有一个什么情况，取整函数取整函数，

我们后面再讲，我们还没有讲到这儿，不要着急，还有一个情况，绝对值。呃，这个绝对值啊，我再来重点说一下。对吧，这个绝对值就是一个分度函数，你比如说我们在最经典的话就是x。那s的话就是s比零大的时候，它是ss比零小的时候是负s=0无所谓。那么，还有一种情况的话，

就是s-s零。对吧，这种你看如果s比s0大，那这个时候的话，它就是正的，就是本身如果s比s0小，它就是相反数哎，就是变成这个人。能听懂吗？所以我们一定要进行去看，这个绝对值啊。它的分段点是什么？它的分段点就是能让这个人等于零的点。让这个人等于零的点就是分段利用。所以将来过程当中，

我看的会非常的准，我拿到这个题，我就会做，首先我看到这个事情，你发现你看这个看到绝对值，我就看到分段函数。里面等于零的点就是零，所以说他这个人求的就是分段函数，在分段点处求导，我立即用导数定义，我就不用想别的。能学清楚吗？所以说这是我们在这里面当中要注意的问题。如果在这里面，将来过程当中，

我们再看，如果将来你发现看x取一，比如说我们再出一个题。例二，如果说已知。我这个大fx。我是多少呢？比如说我们这里面当中是sin x- 1。或者我不出呃，这个sin x- 1，或者我出一个什么东西呢？呃，出一个。让我想想这个，比如说tangent题吧。

tane n tx- 1，然后再乘上一个多少呢？x- 1这个人我让你去求什么东西呢？我让你去求一处的导函数怎么算？你看这个人e是要建立，我一看到绝对值，我就想到分段函数，我一旦看到这个人等于零的点就是一分段函数的分段点就是一。分段函数在分段点处求导，一定有定义，不用想别的。所以说这个时候你发现我的定势思维能力，我就养成了啊，对我们三九六同学这种事情非常的重要。你见一个题，

你就要知道怎么去处理，因为我们的时间啊，是非常啊，要这个注意我们的时间的安排。所以今年过程当中啊，我们这个。我可以稍微的看看。呃，今年的话，我们这个这个800题啊，我觉得应该是呃，让这个数一数二数三同学他们应该是比较。呃，羡慕的也也是我在这个过年期间呢啊，注重点的话都是在给你们啊，

编排的话，这个讲义还有这个最新的这个800题。呃，你们的这个讲义啊，我在前面的过程当中都给你标了一个这个东西啊，见义用实也就说每个题前面的话我都给你有一个时间的这个。啊，就是基本上的一个建议啊，当然也是一个建议，有些同学可能超了，有些同学可能稍微的话两下就把它出来了，还有这里面当中啊，有一些几星级的题。啊，在这里面当中，

你可以看啊，里面当中啊，增加了不少的题啊，所以我们对我们而言的话，今年的习题的量我觉得是够的啊。好了，继续回来。那么所以说在这里面当中啊，第一个问题点，你看看到绝对值，我想分段函数它里面等于零的点是一分段函数，在分段点处求导，我肯定用定义啊。那既然用第一的话，马上来赶紧走哎，

这是大f。对吧，我们就赶紧用定义写下，这个定义是吧，跟我一起写可以吗？那么这个题当中，你发现我要求的是一处的导函数。那就是limit fs再减去f1，然后比上s- 1s怎么办？趋向于一。我就要求这个极限，求这个极限的话，我们往里面带，那这是I趋向于一，然后这是s- 1 fs是多少？

参正体s- 1，然后是s- 1的绝对值，而你发现这个f在一处等于几呢等于零。那么就做成这样了，那么接下来怎么处理啊？很明显一个事情ix- 1就趋向零，它就是框。那既然是框的话，你发现tan的框就等价无穷小于框，所以说这个时候你发现跟这个人就约掉了，我一约留下来x- 1的绝对值，不要分了啊。为什么不分？因为两位分都一样，你看这是零零的绝对值就是零，

那这题出来了，跟得上我的意思吗？所以一定要把这个思维方式啊，你学清楚。一个分段函数，我在分段点处求导，我肯定想定义对吧？有显示的，也有影视的，那么在这种当中，我们再来出一个题。比如说我们来看看例三。如果这里面当中，我们出一个这个事情，我说已知这个大fs是这个人。

然后这里面当中它是。一减去e得多少呢？负x方比上x只是x不为零，然后x等于零，那这人是零。我让你去求什么东西呢？我让你去求零处的导函数。怎么处理啊？这个题。所以你发现我们对于我们而言的话，这个核心重点方向性非常清楚，你的核心重点就是来学这个定义。那么，现在而言的话，我们先来看，

这是分段函数，在分段点处求导。那分段函数在分段点处求导，肯定用定义，那既然用定义的话，跟着我一起来写一下这个人临出的导数定义，跟我一起写啊。那就是limits趋向零，然后是fs-f零比上s- 0。是不是这个定义fs-fs零比上s-s 0s趋向s0就这个定义这个点处的顺序变化率，那么接下来过程当中我们就来看。烤验过程当中，你就往里面带呗。那这是x- 0，那就没了，

那零我不写了呗。然后这是fs fs是谁？大家一定要注意趋向于零的时候x还不为零呢。那趋向于零还不为零，那不为零的话，你就填不为零的，让x分之一减一的负x方倍，然后f零是谁f零的话就是这个人，那就是零。所以说在这里面当中，我就把这个人稍微整理一下，当x趋向零的时候，这是x方，然后这是一减去一的负x方。那这类目当中，

你可以稍微调一下，当x趋向零的时候，这是负的，然后这是x方，然后是e的负x方减一。行吧，那这个时候你看，当你趋向零的时候，这是零一的框减一等价无效框，然后量一除负一负负得正。出来了，那这题我们立即操作了。所以你看这个例三这个题。我们考研过程当中，我们就喜欢这样考。

你比如说访年过程当中，经常碰到这个事情，我就给你一个分段函数，我让你去求这个点处的导函数，你就给我用一下第一，然后求下极限，把它做出来好可以了。没问题吧，好掌握清楚给我回复一，所以你发现我们的核心重点还是在干嘛？求极限。把极限一定要练好，我们可能在我们的考研题过程当中啊，这个极限有可能就出两分。有可能出四分，

就是出一道题或出两道题，那有的说老师我们就是四分，我需要这样大面积练吗？你极限学不好，你看你连续能学得动吗？你看你间断能学得懂吗？你看你导数定义能学得懂吗？你都学不懂，所以这是一脉相承的好，这个问题点我们就讲到这儿。分段函数在分段点处求导，一定要用定义，那么接下来我们来看看下面一个题，五点二这个题。好操作一下这个题。

那么这个题啊，我觉得虽然说是二零一二年呐呃，这个数一数二数三同学考的题，但是这个题啊，完完全全可以考成我们的考研真题。啊，没有任何的问题，那么接下来我们看看它给了一个函数，然后让我们去求在零处的导函数怎么做？减怎么处理？那这些类目当中，我们可以看这个函数是可以求导的吧？这个函数也可以求导，这个函数也可以求导，每个人都可以求导，

而且是连乘的形式。这个人特点就是连乘的形式。我让你去求邻处的导函数，你高中做没做过？高中肯定做过，那么在这里面当中，我们先介绍一下第一种方法就是我们的高中方法。高中老师怎么讲的？说非常简单，要求零除导函数来把零往里面塞。谁为零把零往里面塞，零往里面塞哦，这一项会为零。那这一项为零的话，这个人就自成一派。

哎，你一个人是一家人，你要能等于零，你一个人是一家人，而我们剩下这些人呢？我们是一家人。所以说这个时候啊，就把这个函数啊p成两半了，然后这个时候你发现你把这个函数可以计算成gx。那所以在这种当中，我们就怎么办？我就利用这个函数为多少呢？哎，这个fx他这个人就等于e的x- 1，然后再乘上一个gx。

那么，我们就设成这样，设成这样了之后的话，这个函数就可以求导了，一求是多少呢？我们来算。你发现前倒前倒就是es后面不倒。对吧，然后这个时候你发现前面不导，后面来导。其实这里面当中最难求导的是谁呢？最难求导的就是这个部分，但没有关系，为什么刚才我们都说了，我这一派人的一个特点是什么？

我在零处会等于零。所以将来过程当中，你把零带进去了之后呢？你发现看这e的零，然后这是g0，虽然我不会求，但是你发现看这。这个e的零减一没了。这就是我这个人的优良特性。我为什么我要自成一派呢？我自成一派了之后的话，一会儿我这个人的特点就是什么？我这个人这话就变成零。对吧，一会一带就是零，

你再难求，我俩一碰都是零。所以这个时候你发现它就出来了。呃，这里面当中啊，我解决一个问题，我解决一个问题，有些同学可能呃心里。这个有点。就是有点不顺畅的一个点是什么呢？他在想这个事情，他说老师这项虽然是零。但万一这一项是无穷大的话，它不也是一个数吗？有没有同学这样想？

有没有有没有同学这样想？哎，肯定有有没有？他说你这项是零，但是这项是无穷大的话量一乘，它也可能是个数啊。或者而言的话，我把这个零带进去了之后的话，就跟刚才带值一样。我带进去了之后的话，哎，万一你是零，但是你是无穷。大同学们注意哦，你一定给我区分开一个事情。

对吧，你要区分场景，一定要区分开场景，你是在干嘛呢？你是在求极限注意一个问题，凌晨无穷大出现在什么时候？求极限。求极限才会有凌晨无穷大。什么叫零乘无穷大？零乘无穷，大叫未定式，什么意思呢？在一个极限下一个人。往零跑，一个人往无穷，

大跑才会有零乘无穷大。什么叫零乘无穷，大未定式？它是一种极限，所以说求极限的时候才会出现零乘无穷大。这个零真的是零吗？不是的，这个零叫趋向零的函数。这个零这个无穷大叫，趋向无穷大的函数。听得懂我的意思吗？不要上了这个微积分，学了之后的话，你反而你还不如你高中呢，你高中带职的时候，

你从来不会有混淆。所以同学们注意一个事情，求极限的时候才会出现零乘无穷大。你现在干嘛？你现在在带值。你代值的时候，你要注意一个问题，零就是零。就是你从小到大学的那个零零乘任何数都是零的那个零，同学们告诉我个事情，这个零是零乘无穷大那个零吗？不是的，零乘无穷大那个零是一个函数的极限是零。而这个零呢，就是我们从小到大学的那个零零乘任何数都是零的那个零。

所以在这里面当中啊，你就不会管了，听得懂我的意思吧，学会了给我回复一。听明白了没？所以将来还纠结吗？带值的时候就带你就行了，一个人是零，所有都是零。对吧，我再带值，你看我把零往里面带，你是零，你是零，所有人都是零。

这是代指。啊，听得懂我的意思吗？把这个事情要讲清楚呃，包括还有一个问题点，我看了一下，有些同学的话这个。写东西就胡乱写，我举个例子。你比如说第一种场景。x趋向零。x-s in。六分之s三次方好，同学们，你告诉我那个中间填什么好？

第二种场景x-s in，然后这是三次方，那这个时候变成了x趋向零。六分之I三次方，那么同学们告诉我，第一个人填什么for？这叫等价。在趋向零的时候，这两个函数是等价无穷，小互为这个关系。第二人呢？第二人是极限下是相等的关系。第二用的是什么准则？用的是在求极限的时候可以给极限里面的部分使用等价无穷小的代换。所以多少同学都是做题是这个填等号或者这个东西填等价，

你说胡来？不要乱来哦，千万不要乱来，虽然我们都考选择题，他不在乎你的过程，但是我们学东西是不是要把东西学好啊？哎，这是这个问题。好了，那么这个问题点我们就讲到这，所以说接下来过程当中你就把它带值就行，来跟我一起带一的零是一，这是g0。好，现在第一个人。

那么g0是多少呢？你先带这个零。e的零都是一。对吧，一的零都是一一减二一减二是负一。然后后面是e的三se的零是一一减三呢，这是负二。然后最后一个人，它是e的零是一一减n呢，一减n是负的n减一。所以是这样的关系，那么同学们想这里面当中有多少个符号，很明显有n- 1个符号，然后从n- 1乘下去就是n- 1的阶乘。因此，

这个题的正确答案选几选一。能掌握清楚吧，好五点二这个题。所以下去过程当中一定要思考清楚这个事情，对吧？我们这种方法也非常好。对吧，连乘的情况，我先把这个连送进去，谁能为零谁为零，谁是一个人？剩下的人是一家人，我立一就行了好，这是第一种方法，但同学们注意啊，

这种方法比较默契。你高中过程当中可以这样做，但是你发现一个事情，现在我已经学了微积分了。我已经知道了该点导函数是什么？该点导函数是用什么定义？用极限定义。我最喜欢求极限了，所以在这种当中我可以用什么东西啊？我可以用导数定义来做呀。导数定义去求一个点处，导函数多简单，我求个极限不就行，所以在这里面当中我可以怎么办？我来求极限，

跟我一起写哦。s趋向0 fs-f零比上s- 0。好了，没那么接下来同学们，你告诉我个事情f0等于多少？第一个人是零吧，那就是零，不要再想后面是无穷大没有求极限，没有求趋向零的极限，这人就是代入。把零带进去，零带进去，零那就是零，这叫代入，所以在这里面当中，

马上来看一个事情，当x趋向零的时候，你发现看这是x。那fs是多少一的s减一一的2 s- 2，然后是一的3s减三一的ns减？f0是零。那么所以说在这里面当中求极限就行，告诉我这极限等于多少眼睛稍微的瞅一下，你发现看这个人是乘除法等价无穷s。两项一约这个结果就变成这样，那所以说当x趋向零的时候，你看第一个人是多少，第一人很明显是一到2 x- 2。然后这是e的3 x- 3，然后一直乘到多少e的nx减？

那么这个东西就变成这样。然后接下来去求极限，我们先来看看这里面当中的第一项，你看这个人。一的零是一一减二乘除法中的非零向非零因子抛出去。一的零是一一减三负二，非零因子抛出去，然后一直乘到最后，这是一减n负的n减一都存在就可以拆嘛？每个人都存在，我就可以拆开了，所以在这里面当中有多少个负号，有n- 1个负号，然后是n- 1的阶乘。那这个时候正确答案也选一啊，

都行，两种方法都是可以把这个问题处理的，所以说这题的正确答案选一。跟得上我的意思吗？哎，下去过程当中啊，处理这个问题啊，应该变得很简单，好五点二这个题。好了吗？同学们哎，这题啊，就过去了，来继续吧，再看下面一个题，

五点三。看这个题，那么这个题啊，他给了一个函数，然后这个函数的话，他说这个js在a处是连续的，我问你个事情，这句话什么意思啊？什么叫连续？js在这个点处是连续什么意思？什么叫连续？哦，回答我，赶紧回答我。嗯哦，

咱们班同学非常的好啊，非常好，非常好。但是有些同学不理我，对吧啊？这个上课也懒，懒得互动啊啊。没有说可导的吧，有些同学非常离谱哎，每年过程当中都能见到这种同学，我说这个连续什么意思啊，他就说可导。那你想我们刚才才学的什么叫连续，连续就是极限等于函数值，不要再说可导了，

那么在这里面当中，我们要去求a点处的导函数。怎么去求啊？我可以用导数定义啊。对吧，求一个点处的导函数，我可以用导数定义啊，跟我一起写fs，再减去fs 0。比上s-s 0s趋向s0。是吧，求解这个人那么接下来过程当中，我们再来看当s趋向a的时候，我来问你个事情fa等于多少？等于几那很明显一个事情，

你发现这个人是零吧？还会去想，后面是无穷大吗？不要去想，这叫代值。代值这个零就是你从小到大学的那个零，它就是零。不要再去想凌晨无穷大未定时了。对吧，这叫代值，代进去就代进去了，好在这里面当中，你发现这就是x-a，然后这是gs，然后这是x-a，

我们都知道x趋向a。突出的是s不等于a，既然不等于a两。两者就可以约掉，约掉了之后就变成了这个人趋向a求这个极限。然后这个极限等于多少？马上可以看连续连续告诉我们一个事情，极限等于函数值本题结束。而我们都知道，连续突出三件事情，第一事情它的极限是存在的。它的函数值是存在的，它们是相等的，所以说这个人是存在的。没问题吧，

你就填ja就行好，这是一种方法。没问题吧？哎，这是第一种方法，那么接下来我们再来看还有没有别的方法呢？我们再来注。那有的同学说老师我不想用这种方法。我一看这两项是乘法，我受到了刚才东西的影响，你让我们继续求该点导函数，我可以这样做，那前导是一后面不导。然后是前面不倒，后面来倒。

虽然后面不好导，但是你发现一个事情，一会儿把a带进去的时候，你发现这是ga把这个东西带进去是零，那也出来了呀。运气好。考三九六的同学，他就考上了。为什么？因为我们所有的题都是选择题，没有一道解答题，那对于我们三九六同学的话，你发现他上了。但注意一个事情，这个方法不对。

绝对不对，就用了错误的方法，做出了正确答案，大家注意一个事情，我在这一节过程当中，我会一直进行说这句话。用错误的方法做正确的答案。就这一节导数定义，这节有特别特别多的啊，这种能翻船的东西，但是你发现用了错误的方法诶，最后答案还能对。都是在这一节，那么接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，

它为什么不行？为什么大家想你在这里面干嘛了？你是不是干这件事情了？你是不是在这里面求导了？我们在大学过程当中都学过一句话，叫什么可倒闭连续，但是你发现一个事情。这个题只告诉了连续。我只告诉你在a处是连续的，我告诉你可导了吗？我没有告诉你可导，连续却不一定可导，我下节课会讲。你去想那个绝对值那个函数，那个绝对值函数是不是在零处连续，

但不可导吧，连续不一定可导。你想想刚才讲的这个函数，这个函数的话，你发现它在零处就是连续，但它在零处不可导。所以同学们这样写就不对。那我改一下。那如果把这两个字改成可导，同学们对不对？哎，我们零基础啊，我们增加这些水平，当然做题是次要的，我觉得后面过程当中我有非常多的这种机会去做题。

那我现在改成我改成在a处是可导的，对不对？同学们，注意照样不对。还是不对哎，你要注意一个问题，它现在只告诉什么情况，你只告诉了在a处可导。你在这里面当中用的是导数诶，同学们。用的是导数，你应该是知道的，是在这附近都可导，然后最后把a带进去。你这是个任意点，

你a点处可导，你能说附近可导吗？不行。这推不出来的所有同学们，注意一个事情，这都不对，我们现在还没学到这个层次，你现在把这个经验先给我记住。你先记住，你现在的话，这个部分我现在没法给你证明，等到了这个基础班的时候，我们再来唠，你记住两个问题。如果知道a点处连续邻域内连不连续，

不知道a点处可导，邻域内可不可导，不知道。就这一点处，连续附近连续吗？不一定。这点可导，附近可导吗？不一定，这都是非常经典的微积分当中啊，一些非常经典的一些啊，这个结论。所以希望同学们把它记住，所以这个人呢，改成可导也不行，

除非改成什么就直接改可导。这个函数在任意点处可导诶嘿，我就可以了。所以同学们把这个事情要想清楚。听懂我的意思吗？哎，注意啊，这样做不对，但对我们三九六同学呢，你发现如果考三九六的，你就考上了。因为我们全部选择题，这是一种好处，对吧？说实话，

是一种好处，因为做选择题一个特点，有些同学的话呃。把一个选择题做的就像做一个大题一样，你做选择题有两个事情，一个事情是它的选项，选项可以帮着你提示。选项可以提示你，这是什么知识点？选项可以提示你正确答案上往哪想？这第一个事情，第二个事情选择题啊，在这里面当中我不管用什么方法，最后我把它做对都行。那么有的时候你发现我可以进行赋值法啊，

这都是非常好的方式好，这是五点三这个题。行吧，那那么今天过程当中啊，我们的核心知识点，我们就讲到这，然后下节课过程当中啊，我们再继续。然后下节课，大家注意啊，就是后天的课程，后天课程呢，我会把它调到下午的两点钟上课。所以同学们注意一下那个时间，然后后天下午的过程当中，

我们再继续开始，我们下节课的核心重点就是来把导数这个部分的东西啊，我们全部讲完。所以说这个今天作业比较多一点啊，所以说今天过程当中我就不再往下讲了，你下去过程当中啊，把这个这节课的东西啊，好好消化一下。这节课轻松吧，我相信这几节课程当中最轻松的一节课应该就是这节课。你发现这节课在干嘛？我这节课就学了三个概念，我学了什么叫连续，我学了什么叫间断，我学了什么叫导数。

然后都是用什么定义的，都是用极限定义的，你会不会求极限都是之前学的，我把之前学求极限的这个功力拿到现在东西发挥一下，然后就出来了。好吧，同学们下去过程当中啊，一定要好好进行，把这个部分的东西啊整理整理。然后另外一个事情我来重点说一下这个问题，因为到了这个节后了，年前过程当中啊呃，我在这里面当中从来不跟同学们进行去约束这个事情。因为呃，带了每一届都是这样一个情况，

所以说我挺害怕这种过这种非常长的这种假期。对吧，比如过年啦呃，比如说后面后面就没有了什么五一五一，我们也有课，对吧？十一十一我们也会排课的。所以我就特别害怕过这种长的假期，而按照往年的一些情况，比如说我带这个数一数二数三就是那个呃，每年过年前我会讲到不定积分。就不定积分，刚讲完了之后的话，你发现就是一个年过了。啥东西都不记得了啊，

这个这都过节的话还是很可怕的一个事情，简直是这个考研道路当中啊，比较具有。这个影响具有影响的话，这种障碍。呃，所以说在这里面当中，我想跟同学们讲，因为到了年后了，希望同学们好好进行去调整一下自己的复习状态。第一事情不要同课对吧？你可以去找一个你的学长学姐们去聊一下这个问题，同课多可怕。不要囤课啊，千万不要囤课，

对吧？一定要跟上直播。我一直跟你讲的话，我们这个很多同学的话，一直跟我讲一个什么问题呢，说啊，我们有些课程的话，这个盗版上也有。啊，但是我觉得呃，其实我们这个课程影响的话，稍微会小一点。因为对你们而言的话，我们都是有直播课程的，你每节课的话都跟直播跟这个看回放的这个效果还是不一样，

感觉也不一样。所以在这里面当中啊，能听直播听直播，所以一定要不要腾课把这个直播课都跟上，每节课你跟直播的话，两个点儿就两个点儿。你不会跳。我一直给你讲一个事情，很多同学的话不是课多了就好了。有些同学的话，一个手上的话，一个这个盘网盘里面当中啊的东西啊，有N多颗。我每年的过程当中都聊这个事情，很多同学到了后续过程当中啊，

觉得啊，确实是这个问题。里面有好多课，这个人的这个人的对吧？听了一个人的话，就觉得哎呀哎，我怎么作业做的不好，哎呀，换一个再换一个换一个。你发现一个事情，你这一年过程当中都在重复性听课，而且重复性的换老师。所以这是考研复习的大忌，所以在这里面当中，而且另外一个事情，

有些东西听回放的时候容易进行去跳。听的第一分钟。对吧，第一分钟的话，你发现题哦，好简单咔的一下，十分钟完了，这九分钟你有可能就考不上了，这九分钟里面的知识点有可能就是你考不上的原因。所以同学们不要跳直播课程的好处就是这样一个事情的话，你发现两个小时就两个小时，我多长时间你多长时间认认真真听课，把这个东西啊，就当成一个完整的一节课程进行听。另外一个事情对你有约束。

对吧，明显一看诶，今天有课，我就不会给自己找什么这个别的一些借口说我今天要干什么事情，明天要干什么事情？今天有课，你就会发现想方设法的过来听课。等我讲到什么程度，你就什么程度，第三个事情，它是有节奏的，它是有计划的，我讲到五月份，哎，我把高等数学线性代数讲了一半。

这就是我要复习的计划，我到了暑假过程当中，我讲的什么位置，这就是我的复盘计划，这就是我的学习计划。所以在这里面当中啊，希望同学们下去啊呃，好好跟上这个直播对吧？不要进行乘客，另外第三个事情，你能打卡的就打卡。啊，你能打卡，因为这个之前我不做约束。前两年过程当中，

我都是跟同学们进行约束的，现在的话，有些同学都是自己组了一个啊，小的一个群。然后互帮互助，互相鼓励，对吧？今天的话，你问一下有没有做作业？没有做作业的话，你得督促一下你的战友，对吧？呃，我相信很多同学组了一些小的话，这个群还有一些同学的话，

这个呃，你去看一下那个微博有一个叫什么呢？这个。啊，叫哥们要战斗啊，也有同学非常的有意思，你也不一定说在那个小红书上打，因为微博的话，我们有一个那个。就是那是我们呃，应该是我们一笑而过，学习数学同学们的一个非常好的一个平台，这应该都是我们所有在这个一笑而过，我们数学班级学习的。就是那个超话叫做一笑而过，

考研数学重要性应该有些同学在那里面打过啊，那是我们自己建的一个平台。啊，所以说基本上都是我们学习的班级上的同学，所以在这个后续过程当中啊，我希望同学们注意这个下去啊，你自己对自己有约束。你可以在你的群里面，比如说你三四个人建了一个群，你在群里面，你要打卡。对吧，督促自己的学习，这个群是你的小群，你不要不用去那个微博群里面进行打，

能听懂我的意思吗？你或者而言的话，你几个同学的话啊，这个有一个微信群。你在微信群里面打卡，一定要有监督机制，把一些东西放到这个表面上进行呈现，你不要说啊，我复盘了，没放啊，我复盘了。啊，对吧？我们要看的话，这个实在的一些结果，

等你时间长了之后的话，你就发现第一次作业你打了，第二次作业你打了，第三次作业你没打，你心里非常难受。这也是一种非常好的一种监督性情况，所以说这个打卡呃，我的意思说你不一定说去那个超话里面打。对吧，不一定说你，也不一定说去微博上打，就是你自己有一个小的平台，能对自己进行去约束就是很好了。能听懂我的意思吗？你像借助什么平台，

这都是书，这不是道道的东西啊，都是对自己有约束，把这个东西啊学清楚。能听懂我的意思吗？就是你当天的内容监督着自己，把它消化到位，那就可以了。好同学们，行吧？那么今天课程呢？我们就不多说了，这是年后的第一次课程。我希望同学们从这节课开始啊，稍微的调整一下这个状态，

年也过完了，对吧？不要还这个沉溺于自己的话，这个过年当中，今年的这一年，我相信对大家还是比较重要。对吧，这个在这一年过程当中，考研毕竟是你这一年过程当中最重要的一个啊，做准备的一个东西，所以希望同学们下去还是要付出时间啊。好了，同学们行吧，那么今天课程呢？我可能在这些事情上聊的多一点啊，

也希望同学们把这个状态往回拉一下好，那么今天课程呢，我们就讲到这吧，然后后天呢，是我们的下午的课程，大家注意一下这个时间。好不好？同学们，一会儿我会把这个上一次的笔记和这次笔记，还有这两次课程的作业，然后传到这个APP当中，大家可以进行去啊。啊，下载一下，然后另外一个事情的话就是基础班啊，

开课前我们会发这个大礼包，所以同学们这两天啊，你不用进行去催这个事情。呃，我们基础班后面的话，这个基础和强化的讲义都是纸质版啊，都会有这个呃，就是会给大家印好的，像书籍一样的。啊，这个纸质版的讲义，所以同学们后面的过程当中啊，你也不用需要用这个电子版的讲义了，好同学们行吧，那么今天课程呢，

我们就讲到这好，后天见吧啊。

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