06.零基础考点精讲6-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:22:50

好行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，我们接下来我们就继续开始我们的零基础提前学的课程啊，这应该是我们年后的第一次课程呃，在年前之前呢，我们其实讲完了这个七种未定式的极限计算。那么到了这个后面，我们就继续跟着这个部分的内容，

我们继续开始呃，但是我向在这个正式上课之前呢，还是跟同学们进行去说一下这样的一个复习的问题。呃，可能很多同学在这个年前过程当中啊，这个复习状态不是说特别的好，有些同学估计囤了很多的课，或者有些同学啊，你发现这个课程买了之后啊，他也没怎么听。呃，我相信这样呢，到了这个年后啊，我想着重点进行，在这个事情当中啊，

重点去提一下这个事情，因为这个年前啊，其实你发现很多同学都是这样。呃，如果你把这个节奏啊，控制的太紧，然后紧接着就过一个年。过年过上个这个七八天了之后，有些同学的这个状态又松散了，所以说到了这个今天过程当中啊，我希望同学们已经这个过年已经过完了，而且今年的话。呃，大家其实都理解这个比去年呐，过年要早，

按理说如果是去年的话，我基本上讲数一数二数三那个部分，我应该是能讲到不定积分。但今年过程当中，讲完第一章还没有讲完，然后就过年了，你发现这个年后啊，一直离很多同学这个开学的时间还比较长一点。所以希望同学们在这个寒假过程当中啊，好好进行去调整一下自己的这个复习状态，对吧，然后把这个状态好好调整过来，然后这么长的时间段内啊。呃，寒假的时候你会有充足的时间进行复习，

等你如果开学了，有些同学可能这个三月份。还是几月份呢？我不知道你们开学时间，有些同学是三月份。你一开学了之后，你学校里面就有各种的事情了，就没有寒假这个这么长的时间段内啊，有充足的时间进行去复习，你去学校的里面当中啊，有学校里面的课。二月十八号是吧？啊，那反正的话，这个离这个开学时间呢还早一点对吧？

基本上而言的话，还有这个半个月的时间，所以你到了学校过程当中，你有学校里面的课。因为学校里面的事情，你在学校里面还有各种搜手啊，所以说就会耽误很多同学的这个复习的这种状态，因此啊，利用好这个寒假时间。啊，这个寒假还是对同学们比较重要的，所以今天啊，我们就继续开始了呃，然后跟着这个年前部分的东西啊，我们就要继续，

然后再往下走，稍等会儿，我念本书啊。咳。所以今天过程当中啊，我们就继续开始，还是依然去讲这个零基础，提前学我们零基础提前学的结课时间呢，应该自己去看一下，应该是二月。八号左右的时间，然后中间是空上个四五天的时间，留给同学们进行复习，有一张零基础提前学的通关测试卷。然后希望同学们去做一下，

做完了之后啊，我们应该基础班开课的时间应该是在二月十三号左右。所以在二月十三号前，这个一两天的时间，大家就会收到这个大礼包，所以希望同学们不要着急，这个事情不用进行去催，这个问题这两天过程当中啊，我们还在讲这个零基础提前学。你们不用着急，对吧？你不用进行去看这个数学，一数学，二数学，三同学的这样的一个啊，

就是上课的这个进度。因为他们的东西多，我们基本上呃，这个高等数学。这个部分就会少很多，然后线性代数又少两章，概率论与数理统计又少上，这个基本上是两章到三章的内容。为什么是两张到三张呢？因为你发现那个后面那个两张我们不学，然后中间有一个二维随机变量，我们也不学。所以对我们而言呢，这个课程的压力不是说特别的大，所以你不用特别的着急，

你不要感受到他们的这个进度往上走。你只要保证每节课我们消化的这个东西啊，你能把它吃透就行好了，同学们不多说了，我们接下来就继续开始呃，首先第一个事情我们还是来复习一下年前过程当中，上次课程部分的核心知识点。因为上节课部分的东西啊，非常非常的重要，我们核心重点讲了两个事情，一个事情讲了七种未定式的极限计算。那么，这里面当中啊，有哪七种不一定式呢？稍微的回顾一下第一种零比零。

无穷比无穷，零乘无穷大无穷，大减无穷大，然后是一的无穷大无穷，大的零和零的零。这七种未定式，我们做题的方向性非常的清楚，就是先定性拿到极限了，我们先进行确定一下是哪种未定式？然后在后定法定法之前呢，先来化简一下，你看看有没有非的因子啊，看看有没有根号进行有理化啊？看看有没有幂值函数，幂值转换化呀，

加减法当中有没有这个存在项可拆化呀？所以说像这里面到的东西啊，你都要把它想清楚。那么，尤其是很多同学，其实养成了非常好的一些经验，你比如见到根式，你会想到有理化，哎，这个思维方式非常的重要，好，这是第一个事情。第二事情我们又学了一个东西，叫做左右开工法，那么左右开工法这里面当中啊，

核心重点就是需要进行分左右。对吧，无论是分左右极限还是真无穷负无穷的极限，这里面当中啊，我跟同学们去讲了有几种情况。那这里面当中是不是讲了四种情况？对吧，这四种情况那么第一种情况是一的头顶上往无穷大跑分，所以同学们注意不要光记住一个解释。一定要注重点，要了解清楚它的内涵，对吧？把握住它的内涵，你不要建立一个什么情况，比如说举个例子，

我们看了一个题啊，有e的s分之一分部分。分不分啊？有同学就觉得说有e的s分之一就需要分，哎，这种情况不行，你得看看这个s往哪跑？如果这个s你发现往零跑往零跑的话，这个人就是e的无穷大诶，当然要分。但是同学们想一个事情，如果这个x方无穷大跑，那这个人其实就变成了一的零一的零就是一啊，那就不用分了。所以同学们一定要听清楚这个事情，

对吧？这两种东西一定要看看它的本质，你还要注重点，这个人到底往哪跑？你不能说记得一点s分之一九分，这不对。好，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再看第二种arctangent题。后面是无穷大，我们要分，然后第三种情况，绝对值绝对值里面往零跑，我们要分，

然后第四个事情，那其实就是有分段函数。那这个分段函数必须是分段函数在分段点两侧不一样的时候分。那么，接下来同学们，我们再来看一个事情，我举个例子，你比如说举个例子，这个极限里面是x趋向无穷大，然后这个绝对值同学们告诉我分不分？我看你学的是通透不通透啊，对吧？分不分？如果这个极限里面当中啊，你发现是趋向无穷，

大有一个人的绝对值，要不要分？分不分？要不要分？哎，要分。哎，一定要分，所以你要注意啊，学东西啊，你一定要把它学透了。那么，之前过程当中，我为什么是讲说什么？为什么说趋向零有绝对值要分呢？

零这个东西啊，你发现有零大于零，有小于零。因为绝对值这个东西是这样子的，就说如果你这个人比零大，我就等于本身，如果你比零小，我就等于你的相反数。所以为什么说里面当中问零跑要分呢？因为零这个东西就取决于它是大于零还是小于零，那接下来你发现一个事情，这个东西要不要分呢？哎，它要分。为什么呢？

如果在这里面当中，你发现是趋向于正无穷，是不突出了它是正的？你如果突出它是正的绝对值，就会等于本身，如果这个人是趋向负无穷，那突出这个人是负的，那这个时候你发现绝对值等于相反数。所以同学们注意啊，分不分一定要注意一个事情，就是两个方向下，它到底一样不一样？对吧，这种情况也分，所以学东西啊，

不要学的太狭隘，你得把这个东西的本质学清楚就行，好了吧，同学们，这个点我就讲到这儿。好，这是我们在这里面当中啊，讲的左右开工法，那上节课的核心重点我们就讲了这两个问题。呃，上次的作业啊，我们没有给同学们进行去发过去，然后今天的话可能作业会稍微的多一点，你把两次作业，然后一块做一下就行。

呃，然后另外一个事情的话就是呃，后天的课程呢，我可能会放到这个下午上课，因为这个当时这个票买不到了，然后的话那天。当天的话，我得回北京，所以说注意一下后天上课的时间，应该是在下午的两点哎，所以说注意一下两点钟到四点钟。好了，那么接下来同学们，我们就继续开始，那么今天我们的核心重点，

我们就来讲下节叫做连续和间断。那么，这个连续和间断呢？它其实是极限的一个应用篇。你说你为什么学极限呢？学极限不就是为了应用吗？所以在这里面当中，这个东西其实是应用一。哎，极限的应用一那么这里面当中首先第一个问题，你要分析清楚，连续和间断是针对于函数还是针对于数列？你想清楚说函数是连续的还是间断的？还是说数列是连续的还是间断的呀？大家注意，

它的对象是什么？它的对象是函数。哎，它的对象一定是函数数列研究什么你数列本来就是一系列的离散的点，它本来就是断的，谈什么连续性间断性啊，所以一定要注意一个事情连续和间断。针对的对象是函数。所以接下来过程当中啊，我们先来看看第一个问题，首先在讲之前呢，你必须要了解清楚一个问题，这是一对反义词。你想你用你的中文能力进行去翻译，连续了就不断。

断了就不连续，所以同学们注意一个事情，这是一对反义词，因此在这里面当中，我们先来学习什么叫做连续。连续是什么？那么，假设同学们你从来没有学习过高等数学，你从来没有学习过微积分，或者你从来没学习过大学数学。比如说有一天我说一个事情，我说同学们，你给我看这是一条什么的线？嗯，同学们，

你告诉我个事情，这是一条什么的线？这是一条连续的线，你看很多同学都知道，或者有一天的话，你发现你找一个小学生，然后你找到他，你说来给我画条连续的线，你看画出来。画条连续的线画出来了，所以同学们注意什么叫连续啊，连续非常简单，连续的中文解释就叫不断。听清楚我的意思吗？哎，

注意一下连续的中文解释就叫不断。所以一会儿无论怎么进行去定义，它都离不开这个事情，就是不断不要断，只要你不断，你就是连续的。所以同学们，你比如说你看现在你就会判断连续性了。比如说在这里面当中，我给你画一个函数。这是x绝对值，这个函数我来问你个事情，请问这个人在x等于零处连不连续？同学们，你告诉我连不连续？

我什么都没有讲，现在你就会判断连续性。连不连续啊？连不连续非常简单，比如说举个例子，这就是你对吧？这个小红人儿，这个小红人儿，你会发现你看你在这走走走，哎，能不能走过去啊？能走过去。能走过去没有断没有断，就是连续。多简单，

所以相信这样的一个问题点，你就想清楚了，那么接下来过程当中啊，我们就来看诶，这些定义微积分。这些定义的历史当中的这些人，他是怎么进行去定义这件事情呢？哎，你发现这个数学非常的巧妙，首先第一件事情我们先来看看它的定义。那这个东西它这样说的，它说什么情况呢？它说如果这个函数啊？你发现如果这个函数，它在什么情况？

在x等于x零处满足一件什么事情呢？它满足这个问题，他说如果你能满足limits趋向s零，你这个人的极限。等于这个点处的函数值，然后就说什么情况，我就说这个函数在这个点处是连续的。大家注意这个人的定义，他这个定义说什么呢？他说你的极限如果能够等于这个点处的函数值。我就说你是连续的。那么，首先在学这个问题之前呢？我先要讲一个事情，那我想问你个事，

一个人的极限跟该点处的函数值有没有关系啊？函数值有没有关系啊？有关还是没有关？对吧，就说一个人的极限跟这个点处的函数值到底有没有关系呢？那么同学们，你来看一个问题啊，这个东西你要空说啊，也没什么意思，我们来看这个图。首先第一个事情，我们来看看这样幅图。在这里面当中啊，我来画一个这个人。哎，

这是x零这是a，我想问你个事情，请问limit x趋向s零这个极限？存不存在？存在还是不存在？大家一定要听清楚我们之前讲过，趋向于这个点，到这个点了吗？没有到到这个点，你要注意，我在这里面当中是趋向于这个点。本来就突出了，我是不等于这个点。对吧，我就没有到这个点，

所以你可以看出来，我从左边往这个点跑的时候，我顺着这条线跑到了a。左极限就是a，我从右边往这个点跑的时候，我顺着这条线跑到a，我的右极限也是a，所以你发现这幅图的极限就是谁？哎，这幅图的极限就是a，那么接下来同学们，我们继续改一下，我把这幅图啊，你发现我改成这个样子。我在这里面当中点出函数值。

好，现在啊，你发现这个点处的函数值在这儿，那我想问你个事情，请问这幅图的极限存不存在？还不是存在吗？还是a如果在这里面当中，你发现我再画一幅，如果把这个点点到这儿。那你告诉我一个事情，这幅图的极限存不存在也是存在也等于。所以同学们一定要记清楚一个事情，极限跟这个点处的函数值没有关系。你这个点有没有跟我极限存在性没有关系，你这个点到底是多少对我的存在性没有关系，

所以同学们一定要记清楚这个事情，哎，这当年我们的考题啊。三九六同学的考题，有一道考研真题就是这样，考极限与该点的函数值有没有关系？没有关系，把它给我记住，我给你标成红色。所以希望同学们一定要了解清楚极限与该点处的函数值没有关系，那么接下来同学们我们就来理解一下。那凭什么说极限等于了函数值，你就说在这个点处是连续的呢？凭什么？大家注意啊，

这个东西非常的重要，我把它标出来，你给我记到笔记上。凭什么说极限等于函数值的，我就说连续了。那么，接下来这里面当中啊，马上来看第二个问题，我们来理解一下。哎，理解，那么在这里面当中，我们还是来看这幅图，对吧？就这幅图。

那么，请问同学们，现在这幅图的极限是多少？现在这幅图的极限刚好就是a，没问题吧？好，现在这幅图的极限就是a，那么现在我们再来看，如果它想连续。如果连续了的话，你发现极限要等于函数值，那如果连续了的话，你发现函数值不就也要等于a吗？所以说这个时候你发现一个问题，如果想连续。

你这个点处的函数值必须在哪？你必须等于a，你是不是把这个洞给补住了？所以你会发现，你看我从左边往这跑，我从右边往这跑，函数值补助这个洞，我就想问你个事情，它在这个点处到底是断了还是没断？是不是就没有断，你既然在这个点处没有断，是不是就可以说明连续多漂亮？你看这些历史当中，它定义这些东西的人多么牛逼，对吧？

这么复杂的一个问题，他用这样的一个数学语言就把它说清楚了。所以它就没有断，没有断就说明什么事情，就说明在这个点处是连续的。所以将来过程当中啊，你发现考题怎么处理啊？这就是考点。如何进行去判断连续呢？你就记清楚，把这句话给我记死，只要将来过程当中看到，连续立即从脑子里面蹦出一件事情，连续极限就等于函数值。只要是连续极限，

就等于函数值能听清楚吧，哎，只要是连续极限，就等于函数值，脑子里面蹦出一幅图。左边往这跑，右边往这跑，函数值捕捉这个洞能学会吗？哎，非常的清楚啊，好，这是我们在这里面当中介绍的第一个问题。那么，接下来同学们，我们来深层次理解一下，

如果一个题目当中啊，他说这样事情说一个函数在这个点处是连续的。那我想问你个事情，能说明几个事情，第一事情请问同学们极限存不存在？想刚才的图形啊。极限存不存在？当然存在极限必须存在第二事情函数值，存不存在？必须存在函数值要补住那个洞。然后第三件事情，这两个东西得怎么办？这两个东西得相等。所以将来过程当中啊，只要你在题目当中见到连续。

一个函数在这个点处连续就说明了，已经告诉你它在这个点处的极限是存在的。如果它告诉你在这个点处连续，它其实就告诉你在这个点处的函数值也是存在的，而且极限是等于函数值的。能听清楚吗？哎，所以说将来过程当中不要乱想，人家已经说了，在这个点处连续了，你不要再想哎，万一这个点处没有定义怎么办？不要乱想。好，这是我们在这里面当中啊，

接触到下一个问题，那么接下来过程当中啊，我们再来看看第四个点。那同学们想。那连续是用什么定义的？连续不就是用极限定义的吗？极限等于函数值了，就说明这个函数在这个点处连续，所以说极限就是用来定义了啊，这个极限第一个用处。定义了连续性，连续就是用极限定义的，那你想一个问题，极限是不是分为左极限和右极限？那我想问你个事儿，

连续分不分左？连续和右连续啊？当然，在这里面当中也是分的，所以这里面当中有两个词，一个东西叫左连续，一个东西叫右连续。那么，将来过程当中，我们会学概率论，那概率论当中啊，里面当中有一个叫分布函数的东西。分布函数就具有突出的特性，就叫什么？它具有又连续的特性，

所以接下来过程当中，别人提到什么叫又连续啊？你得想清楚，但同学们，我们是零基础课程。一定要把它给我理解到骨髓里面，我都说了，我们三九六同学啊，我们的考点不是说那么的多，所以每一个考点必须要理解的非常透彻，一分都不要丢。那么，在这里面当中，我们先来看看第一个事情来。我们来看幅图，

那什么叫做左连续呢？那这是一个二维的迪卡坐标系，那同学们想什么叫做连续啊？左极限等于函数值，就叫左连续。什么意思呢？你看我从左边往这跑。现在你告诉我一个事情，左极限是谁？现在左极限是不是a啊？没问题吧？为什么呢？因为你看我从左边往这儿跑的时候，我跑到了a，所以说在这里面当中啊，

左极限就是a。对吧，这里面当中左极限是a，那你想要想左连续是不是左边往这跑，跑到函数值啊，函数值补住这个东。因此，在这里面当中的定义是，这样定义它其实就是limits趋向s零左极限等于函数值。啊，记住了，从左边跑的函数值就叫左连续，那你想一个事情同理可得，那如果从右边往这跑呢？你看我从右边跑，

跑到这里面当中，你看现在的右极限是a那函数值是不是也要等于a啊？所以在这里面当中，如果是从右边往这跑。对吧，右边放着跑右极限，如果等于函数值，它就叫右连续。所以我们终于理解了什么叫左连续，什么叫做右连续，那你想一个事情，如果说连续的充要条件是什么？连续充要条件什么连续的充要条件是左边跑到函数值，而且右边跑到函数值，左边跑的函数值叫左连续右边跑的函数值叫右连续是不既要左连续也要右连续啊？

所以在这里面当中，马上可得，那如果你发现一个事情要想连续呢，既做连续也用连续。两个事情要同时满足，能想清楚吧，哎，脑子一转就出来了，你看我左边跑的函数值，我右边跑的函数值，那么就左右都同时跑的函数值，那么就左右。几千都等于函数值，那不就连续吗？能听懂我的意思吗？

好了，同学们，我们现在停上个三秒钟的时间，你在屏幕前啊，你好好跟我思考一下。如果将来题目当中出现了连续二字，立即反映什么？反映什么？反映极限等于函数值极限是存在的，函数值是存在的，它们是相等的。我再说一遍，只要见到连续二次立即反应极限等于函数值，听懂我的意思吗？好，

如果想清楚了，请给我回复个一啊。你把这个事情啊，拿下来了之后啊啊，这个部分的分呢，基本上就拿到了，所以接下来过程当中，我们来看看如何求解？哎，如何求解这个问题？考点判定连续性。那么，在这里面当中，如何判定连续性呢？非常简单，

我只要看到连续二次二，我立即想到什么事情。只要看到连续性的判定，立即想极限等于函数值，那这里面当中啊，就要体现出两个事情了，一种情况不需要分。对吧，我不需要分，还有一种情况需要分。哎，就这两种情况，一种情况有可能我们不需要分，哎，还有一种情况需要分左右。

那么，在这里面当中啊，其实非常简单，如果一个题它需要分成左右极限。如果它需要分成左右极限，那这个时候其实就是左极限。左极限。等于什么情况呢？等于右极限。都等于函数值。听得懂我的意思吗？如果一提你发现一个事情，它不需要分，不需要分，你就立即反映一个事情就是极限等于函数值啊，

这几啊部分呢，非常的简单啊，很好学。呃，在这里面当中啊，你可能看到一些参考书啊，它里面当中是这样写的，我来讲一下这个符号。那么，大家注意一个问题，就说有的时候你发现当limits趋向s零正，这叫什么极限？这叫右极限吧？所以有的时候你发现它也可以这样写啊，就这样写，

叫x零加个零。注意这种写法，这是一种剪辑的方式，就这样写，就s零后面加个零，其实这个东西就叫右极限。如果这里面当中你发现我减个零呢，减个零就叫左极限，所以有些书上里面当中啊是这样写的，你要看得懂就行啊，非常简单的一个问题。好，这就是我们在这里面当中怎么判断连续性？怎么判断极限等于函数值？极限存在函数值存在，

它们相等需要分左右极限都等于函数值，不需要分极限等于函数值。那这一类目当中，问题点就来了。那我怎么知道要不要分呢？对吧，我怎么知道要不要分呢？那上节课不要白学了，对吧？你发现一个事情，这节课的核心重点都是干嘛？核心重点都是在秋季线，要不要分就是我们上节课讲的左右开弓法的那几种形式。不就是这样吗？所以你可以看出来这个课程呢，

是非常有联系的啊，每个部分环环相扣，所以在这里面当中你就要去想清楚哎，什么是要分呢？什么时候不要分呢？好，那么接下来我们先看看第一个题来一起看啊，这种题啊，有可能我们在考研过程当中啊，就可以直接考了。来那么接下来我们先看看第一个问题。他说什么？他说这个函数在x等于零处是连续的。诶，他说这个人在这个点处是连续的，

那么请同学们告诉我，立即蹦出什么，立即蹦出极限，等于函数值。图形是不断的，那么请同学们告诉我这个题需不需要分呢？你要求零处的极限大于零和小于零不一样，分段函数在分段点两边不一样，所以说这个题啊，当然要分。那既然要分的话，这个题的核心重点不就是以下几个事情吗？第一事情我要求什么？我要求出临处的右极限。而且在这里面当中要求出零处的左极限，

而且还要求出零处的函数值，让这三个人相等不就行。所以做题啊，非常的简单，先看右极限，右极限的话，你发现趋向于这个点真。哎比这个点大，比这个点大的话，你发现很明显就是对这个人进行求极限e的t整体，然后下面部分呢，就是rcos。然后是二分之x这个极限会求吗？好，我们先来看看下面这个人，

很明显当x趋向零的时候，二分之x趋向零阿克塞因框立即等价无穷小框。好，再看上面，上面这个东西啊，你可以写成什么？你可以写成一的框减一。因为s趋向零，它这里就是零，那这个时候你发现一的框减一呢，立即等价无穷小框，所以上面这个部分是负的它这题。因此，这两者东西啊，一比你看上面又等价乘x，

所以两者一比呢，等于负二。能听懂我的意思吗？所以像这种问题啊，你把它想清楚好了，这是我们在这里面当中求的什么极限右极限好，我们再来看看左极限。左极限其实就是趋向于零负。那趋向零负就比零小，比零小就是a倍的e的二s好，再来看那这个时候你看e的零是一。这个人刚好是a。好，我们再来求f零f零怎么办？把零往这里面带往这里面带，

刚好就是a，所以说这三个人就相等。左极限，右极限函数值，所以说这人等于多少？就非常简单，你看把思维方式啊，要梳理清楚什么时候要分，什么时候不要分。好学会了没？好掌握清楚给我回复一啊，这是四点一这个题，那么接下来继续吧，我们再来看看四点二这个题。好，

我们继续了再来看看这个题。那么四点二这个题啊，我们继续看，他说这个人在零处是连续的回答我一个事情，只要看到连续立即蹦出件什么事情。立即反应极限等于函数值。对吧，只要见到连续极限等于函数值，那么就要求零处的极限，找零处的函数值，让它们相等。所以你可以看得出来，就是这节课之前，我们就是在求极限。这节课呢，

我们再找函数值，所以说这个题而言要不要分？需不需要分呢？你看在这个零两边都是一样的，那两边都是一样的，我就不需要分了，因为零的左边对这个人求零的右边也是对它求这个题就不需要分了，因此在这里面当中只。直接操作，那就是极限等于函数值趋向零求极限。那么，趋向零求极限的话，对谁求呢？对这个人求。那这根球是多少呢？

是cosines，然后它的什么负二次方那负二次方其实就是平方分之一。那么，首先第一个事情拿到极限呢？拿到极限先定型cosine零是几？cosine零是一零分之一是无穷大。一的无穷大倍的是赶紧来啊，答案就等于一的极限符号照抄头顶部分照写，然后这个部分是抵减一。能看懂啊，你不要看不懂啊，你如果看不懂的话，你前面去补课去了，不要在这里面当中又问我说啊，为什么要减一啊，

不要这样啊，这一年过的话，把这个所有东西都给忘了啊，那可不行。好了，那么接下来我们继续，你发现这两者之间是乘法，那乘法之间的话就可以等价，等价无穷小负的二分之s次方就等于一的负二分之一。而这个题的话，你发现f零是多少f零刚好是a那，所以说在这里面当中a等于多少a就等于e的负二分之一。能听清楚吗？好了，这个题啊，

我们就解决了。所以你可以看出来这个题的操作性难度系数，不是说特别的大。好，这是我们讲的这个四点二这个题，那么接下来过程当中啊，我们再来看一个题啊，我再来补个题。好，我们继续看，如果在这里面当中，我们先看第一个人。那这个部分是e的x分之一。然后这个部分是小于零。然后这个部分的话，

我们再来看一下这个是啊，这是小于零，然后我们再来写一个，如果这是一减cos in。然后这是x减去三，然后这个部分是x大于零。那么，请问同学们注意呃，这里面当中。好，我们再写一个。x等于零，然后这个部分。是零那么请同学们给我判断一下。这个题叫我想想。

那么，这个部分我们再变成一个。我出一个吧。然后这个部分是tangent x，再减去sine。好，我们出成这样的题，那么所以说在这里面当中，我们就来看则这个fx在x等于零处嗯，这个不错。它会什么情况？那么首先a选项。连续b选项仅右连续。然后这个是c选项，仅左右连续。

然后d选项g。不左连续啊，不左连续也不右连续好了，这样吧，我们就来看看这三个选项，你看这个题怎么做？那么，首先在这个题当中啊，你发现我只要看到连续二字，我立即从脑子里面反映两个事情，对吧？只要看到连续极限等于函数值。第一个事情就要求极限，第二个事情要找函数值，很明显一个事情这个点处的函数值就是零。

所以在这里面当中，核心重点我们就要进行求极限，那求极限的话，首先第一个事情你来看看需不需要分呢？当然要分，因为求零处的极限大于零和小于零不一样，就需要分，所以在这里面当中，我们首先来看第一个事情，那叫趋向零正。还有在这里面当中趋向零负。那么，首先看零正，零正就比零大，比零大就是这个人ix减去s in，

然后这是tant减去s in。好了，同学们告诉我个事情，这题怎么处理啊？怎么做那这个题的话，你发现直接等价就行啊，不要说太乐的对吧？我们用那个太乐的结论就行，直接进行等价你看。这个等价无穷，六分之x三次方。对吧，不用太多，不用太多，直接等价，

然后第二人呢？这个人直接等价比态度要简单，我直接提一个人就行，所以说这人的话就是二分之一s三次方能看懂吗？它是三分之一。好，这是这个部分，所以说这个时候你看这个右极限等于三分之一，而这个点处的函数值呢，它根本不会等于该点函数值。所以在这里面当中啊，不用连续啊。好，这个人那么接下来我们再来看看下面这个人，那就是去向零负零负比零小，

对它求极限。那这个数是什么情况呢？我们再来看，如果x趋向零负比零小比零小分之一，这个人就是负无穷。然后这个人是一亿的父穷，一亿的父穷就屈孝林。所以说这个人的极限就是零，他刚好等于这个点，除了函数值，所以在这里面当中啊，你发现它是什么？它是左连续。那因此这个题的正确答案选几选c，你看这个题就非常好的一个题，

我要出五个选项的话，第一个是连续，第二是既又连续啊，这个什么仅又连续c选项是紧锁连续。然后d选项是既不左连续也不右连续，然后这个d选项呢啊，最后最后一个选项呢，无法判断。你看我就出这五个选项，这就是一个非常好的考题了，它的核心重点，你发现是不是求极限？所以这节课非常好学，只要你前期过程当中求极限学的好，那这节课你发现把知识点一学习很快就突破过去了。

好，这就是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，过去了可以吗？好，这是第一个事情，来吧，继续，我们再来看看第二个问题间断。那么，在刚才过程当中啊，我们就介绍过连续啊和间断就是一对反义词。对吧，这两个东西就是一对反义词，连续了就不间断，

间断了就不连续，所以在这里面当中第二事情，我们重点来学习间断点。那怎么去定义间断点呢？间断点非常简单，就是不连续的点。可以这样定义吧，你在这个点处不连续。对吧，不连续的点那么在这里面当中，我们怎么进行去确定一下怎么去判断它呢？那也非常简单，你去想想什么时候会连续。连续的时候就是极限存在，函数值存在，

它们相等，我去破坏这个条件不就行了吗？我去破坏，我如有可能说极限不存在，对吧？有可能函数值不存在，对吧？有可能它们不相等，我去破坏这个条件，然后就进行去定义了间断点。所以在这里面当中啊，我们根据这个间断点的分类情况，我们把它核心重点分成两类，第一类叫做第一类间断点。哎，

第一个叫做第一类间断点，注意一个事情啊，有的时候考试啊，它考的更细一点。有的时候他考试啊，他考的稍微糙一点，让你去回答是第几类间断点，他也有可能让你去回答是第几类间断点当中的哪一个？所以在这种当中，我们先看大体上分，大体上分成两个，一个叫做第一类间断点，一个叫做第二类间断点。那首先我们先看看第一类间断点。第一类间断点，

我们包括两个人，第一人叫做可去间断点。然后这里面当中的第二人叫做跳跃间断点好，注意一下，第一个人叫做可去，第二人叫做跳跃。然后在第二类间断点当中呢，我们又包括两个人，第一人叫做无穷间断点，哎，无穷间断点，然后第二人的话叫做震荡间断点。哎，大家要记笔记啊，这个光看这个讲义上的东西啊，

你发现写的稍微的会啊，笼统一点。在这里面当中，你要上课过程当中，把这个笔记记一下。所以在这里面当中，核心重点包括两个事情，第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，然后第二类间断点包括这个无穷间断点和震荡间断点。那么，首先我们先看看第一个事情可去间断点，什么叫可去？你看人家这个名字啊呃，一定要进行去理解它，我经常跟你讲中文之华美。

对吧，它能起这个名字，它一定会有这样的一个含义，那么首先第一个事情，我们先看看可去间断点的定义，它这样定义的。它说什么情况呢？我在这里面当中趋向于这个点。哎，我这个极限，我这个极限是存在的。但是你发现我绝对不能等于你这个点处的函数值。就说我极限是存在，但我不会等于你这个点处函数值，你这个点处函数值有可能有有可能没有不管，

反正在这里面当中，我跟你不会相等。那么，这个地方当中，我们来看看图形，图形上是什么表述呢？那么，这里面当中这是y，然后这是零，这是x，那么首先第一个事情，我们看s零。你先发现，你看这个时候它的极限存不存在？它极限就是存在啊，

我现在这幅图极限就会等于a。然后你函数值能不能等于你函数值绝对不能补助这个东，你有可能函数值在这儿，有可能函数值在这儿，有可能函数值压根儿就没有。所以说就这样一幅图，这幅图的这个点就叫可去间断点，你发现是不是啊？就像一条线，把一个点给挖掉了。说明这个点怎么办？这个点可以去掉，所以叫可去间断点。中文之华美啊。好了，

这里面当中第一个事情理解了吧，图形表述就这样那么接着我们再来看看，第二个事情再来看跳跃跳跃间断点怎么定义呢？他说。我趋向于这个点的左极限，哎，我存在，然后我趋向于这个点处的右极限，哎，我也存在。左右极限都存在，但不相等，对吧？我左极限存在，我右极限也存在，

但是你千万不能相等。那么，接下来过程当中，我们来看一幅图。哎，看一幅图。那么，这里面当中，我们先画这条线。那么，请同学们告诉我，右极限存不存在？存在的啊，这是左极限，从左边往这跑，

跑到a左极限是a。然后从右极限，你看右边往这跑，跑到了b。左右都存在。对吧，左边往这跑，跑到a右边往这跑，跑到b左右都存在，但是呢，你发现a和b不相等。所以就满足了这个事情，左极限存在右极限存在，但是两者之间不相等，大家有没有发现一个事情在这个点处啊，

有一个台阶的升降吧。有个台阶的升降，我们把这种情况叫什么？哎，这种情况叫跳跃间断点，这个人咔的一下跳下来了跳。跳跃键的点。能学清楚吧，你看这个东西的名字的取啊，都是根据着这个东西来的。它不能随便取，你说这个跳跃的，你说它叫可取。如果可缺的，你叫跳跃，

那不行，人家这个人的定义啊，确实中文之华美啊，好这里面当中，我们来看看第一个问题啊，我们就讲到这。那么再来看看第二种情况，叫做第二类间断点。那么，第二类间断点当中，我们首先看第一个事情叫做无穷间断点。什么叫无穷间断点呢？它是这样定义，它说我在趋向于这个点，我的极限结果等于无穷大。

对吧哎，我的极限结果等于无穷大，我就叫无穷间断点，那么在这里面当中，我们来画一幅图，我们来看看。那么，请同学们给我看一下这幅图哎，这是x oy的d卡坐标系，然后这里面当中有个x零。那么，这里面当中，我来画条线啊。你来看看这条线。然后在这半边，

我又画了条这条线。好，这叫a我来问你个事情。请问x零这个点是不是无穷间断点？是不是是不是无穷间断点？如果根据这个定义，它肯定不是。对吧，你根据这个定义，它就不是为什么呢？从这个右边往它跑，跑到无穷大去了。从左边往这跑的时候跑到a。那很明显一个事情，你的右极限呢？

等于无穷大，你的左极限呢？等于a。如果根据这个定义，它就不是。但是同学们注意，人家这个人是的啊，人家这个人是的，所以说你会发现一个问题，说明这个问题啊，它就不是这样定义的。人家怎么定义的呢？人家是这样说，其实你发现只需要趋向于点正或者趋向于点负就行。它看的是什么问题呢？

它看的是单侧。哎，单侧只要有一侧是无穷大，它就叫做无穷间断点。大家听清楚我的意思吧，我只看一侧，如果你照原来这个定义啊，它肯定就不是因为我们都知道一边是存在的，一边是无穷大，这种东西叫什么？这种东西啊，是不存在，但不是无穷大的，这种不存在。是不是这种情况？

吵不吵啊？稍等我算了吧，我等会儿下课去关一下窗户啊。所以说这里面当中啊，你发现这就是第一个问题点。能听清楚吧哎，所以说根据原来的定义，它就不是我们现在人家实际上的定义，我只看单侧。只要有一侧是无穷大它就行好，这是我们在这里面当中介绍的第一个问题，那么接下来我们再来看看第二次情况，什么叫做震荡间断点？啊，这个震荡间断点，

那这个震荡间断点到底怎么定义呢？我们来看看怎么为什么要分成第一类？为什么要分成第二类啊？那第一类当中包括两个，一个人叫做可去，一个人叫做跳跃，然后第二类一个人叫做无穷，一个人叫做震荡。我们来看看为什么会分第一类和第二类，那么这类当中这个人叫右极限。这个人叫做左极限好，左右极限，我们先来看看第一个人。如果是可去间断点。它的左极限和右极限是不是都存在？

如果是跳跃间断点，它的左右极限是不是也都存在？你看这两个极限，它都会存在的。那么也就说什么意思呢？什么叫做低位？单侧都存在，就叫第一列。我管你相不相等，我不在乎，只要你单侧均存在，就叫d零。对吧，你左也存在，右也存在，

就叫d类。如果你质量相等哎，你就可取，如果你质量不相等，你就要跳跃，听懂我的意思了，单侧都存在叫第一类。那所以说什么叫第二类啊，它应该是单侧。至少有一个不存在。你单侧至少有一个不存在，就叫第二零。如果这个不存在是无穷大，这个不存在。你就叫无穷，

也就说单侧只要有一个人是无穷大，这种不存在就叫无穷，那么请同学们告诉我震荡怎么定义？怎么定义？你看单侧都存在，就叫第一类单侧至少有一个不存在，叫第二类至少有一个是无穷大，这种不存在叫做无穷。哎，非常好，至少有一个是不唯一这种不存在哎，不唯一这种不存在就叫正能量。哎，非常好，你看这个时候我们就把这个东西学满了，

为什么要分第一类？对吧？为什么要分第二类？什么叫第一类？什么叫第二类？能想清楚吧，所以说接下来过程当中，我们来看看振荡。震荡间断点的意思就是趋向于这个点正。你是不为意的。或者是什么情况呢？或者是趋向于这个点的负。对吧，单侧至少有一个人是不唯一，那这个人就叫什么叫正当注意啊，

我看的是单侧，你这一侧不唯一。你就要震荡你这一侧，不唯一叫做震荡好了，那么这里面当中啊呃，没法画图，我们只能讲一个非常经典的例子。这里面当中，我们先来看看梨。哎，这个例子啊，非常的重要，希望同学们一定要记住这个人的图形，那么在这里面当中，我们重点来讲这个函数。

哎，这个人。这个人在领土。它就是一个经典的震荡间断点，那么在这里面当中，首先第一个事情，我们先来看看这个函数。这个函数图像会画吗？就是y等于多少呢？sin x分之一这个人图像会画吗？这个图像必须要绘画啊，这是我们最基本的一个素养sins分之一，好这个。那么，首先我们先来看看第一个事情，

这个人肯定是有界的。为什么呢？因为这个人是大于负一小于一的，所以说这个人的图像应该是介于负一和一之间。对吧，我是比这个负一大，然后在这里面当中，我又比这个一小，我是介于负一和一之间，所以首先第一个事情你要注意，他是一个有界的人。好，这是第一个问题，然后第二个事情我们再来看你发现，如果这个x越接近于零。

x分之一是不是就越接近于无穷大？那么，请同学们告诉我s in在无穷大上干嘛？如果你画的是三音的图像的话，它在无穷大的话上下摆动吧。你越靠近于零，它就越靠近无穷大。你越靠近无穷大，它就上下摆。对吧，那个红色曲线的话就上下摆。所以在这里面当中，它图像到底长什么样子呢？它就这个样子，你看这里面当中，

我来画一下，这个点肯定不取。对吧，这个点没有意义，因为它在零处没有意义，但是我越靠近于零，你就越靠近无穷，大你就越摆的越快。对吧，所以说在这里面当中，它的图形是什么样子，它就越靠近零哎，你看就从负一到一上下的摆动。对吧，负一到一上下的摆动。

来回的摆。对吧，上下的摆，来回的摆，哎，来回摆就是负一到一上下来回摆动，来回摆动出去了呢，哎，就还好了。所以在这里面当中，你发现这个曲线什么情况？就是你越靠近零，你越上下摆，你停不下来的。其实我们都知道，

如果这条线停到一。对吧，趋向于一，它的极限就是一，你趋向负一就是负一，但是你发现你看你跟着这条线的，对吧？这个意思你顺着来，你顺着来，你看它一直都在上下走，上下走，上下走。所以说这个人的极限，它是不存在的。对吧，

所以说这里面当中我们来看看这个极限，我们就来看看这个单侧极限limit x趋向零正。我们来看看sins分之一的极限是多少？你看，越靠近于零。你就上下来回的摆动，你停到了负一你极限是负一停到了一极限是一，但是你是上下一直在走。对吧，你再走，你停不下来，你如果走到哪，你走到二分之一，你极限是二分之一，你走到零极限是零，

但是你发现你上下来回的走。那么你停不下来，你停不下来的话，你发现这个极限就是不唯一的，或者这个极限叫做正当的。对吧，我们经常讲这个极限就叫震荡的极限，震荡的不存在，所以说你发现单侧极限不唯一它这个点呢，就是一个经典的震荡间断点，就这个点。能学清楚吧，哎，大家稍微等一会儿，一会儿我课间休息的过程当中啊，

我给你稍微的画一下这个图形啊，我用这个电脑软件给你画一下。然后一会过程当中，你看一看啊，这个曲线的话，你就看得非常非常的清楚好，这里面当中啊，马上就讲完了。所以说在这里面当中啊，间断点的事情，它的核心重点，你要注意它的分类，它分成第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点当中包括两个，一个人叫做可去间断点，

一个人叫做跳跃间断点。第二类间当中啊，包括两个，一个人叫无穷，一个人叫振荡。所以说这个人的分类一定要把它想清楚，那么接下来过程当中我们来看看第二事情如何判断间断点呢？来我们看第二个问题。考点如何判定间断点。那么，所以说首先第一个事情，我们先来看看，一般情况下，我们考研考的都是初等函数。初等函数的线呢，

一般都不会断，所以在这里面当中啊，首先第一个事情你要知道，拿到一个间断点的判定的问题，一般它都在无定义点出去。所以首先第一个事情找无定义点。拿到第一个事情，拿到一个函数就来找这个函数的无定义点，所以通常的话，你发现可疑点。对吧，可疑点就是有两种，一种点就是无定义点，还有一种点呢，就是分段点，

但是分段点的话，你会发现只有分段函数有。所以首先第一个事情拿到这个函数，先看看有没有无定义点啊？有没有这个分段点呢？对吧？把这些点找到这些点是可疑点，然后第二事情呢，你就求极限并判定极限。哎，并判定哎，赶紧求极限，比如我找到一个无定义点是零，赶紧求零处的极限，我找到一个这个什么呃，

这个无定义点是一，我赶紧求一处的极限。所以你发现一个事情，这个东西的核心重点在何处啊？还不是求极限吗？所以学了半天的话，你发现到了最后这个核心重点还是一个事情求极限。所以你想想一个事情，我们上节课，我们上上节课，我们上上上节课，一直在学习的这个极限的求解重不重要？太重要了，你不会求极限，你在这里面当中，

你根本无从下手。你极限都不会求你怎么去判断呢？所以首先第一个事情一定要会进行去求极限，那么接下来我们来看一个题啊，稍微的来操作一下。先来看看啊，这个四点三这个题先看看这个题。那么这个题啊，它说让我们进行去判断一下，在这个零处的间断点的类型。对吧，求一下这个人那么首先第一个事情，我们先来看看第一个人，我来做两个啊，我做两个的话，

你做两个。先看第一个事情，这个函数很明显在零处没有定义，无定义点无定义点，找到了之后赶紧求极限，那就求limits趋向零。然后用sins比上绝对值求极限。那么，同学们告诉我个事情，这个东西啊，要不要分呐？要不要分赶紧看呢？你看有绝对值里面往零跑，这个东西当然要分。所以说在这里面当中啊，

我们需要进行去分左右。所以大家有没有发现一个事情像这种类型的考题，它一定会设置分左右的题。为什么呢？你想这可去间断点是两边对吧？存在且相等，但不等于函数值跳跃，间断点是两边都存在，但不相等。你要想进行区分，你肯定要进行求左求右啊，你是一个出题人，你怎么出一定会去出一下分左右的题？这就是出题人去想的一个问题，所以你要想清楚，

所以因此在这里面当中，我们就要分成两个，一个人叫做右极限。一个人是左极限。好，这个人继续看，如果这里面当中是右极限，我就比这个点大，比这个零大，比这个零大的话，绝对值等于本身它是这个人。它就等于一，如果在这里面当中，你发现我们是趋向这个点负。对吧，

比这个点小，比这个点小的话，你发现绝对值等于相反数，相反数的话，这个人刚好等于负一。那因此两边都存在，但不相等，这两个东西很明显不相等，那这个东西是什么？很明显是个跳跃间断点。也可以说，它是第一类间断点好，这是第一个人跳跃间断点，那么接下来过程当中，我们再来看第二事件，

你继续。你发现这个函数在零处呢，就它它在零处肯定还没有定义，没有定义的话，接下来第二事情我们就来求极限。那就要求一下趋向零，然后这人的极限，那么请同学们告诉我这个人要不要分呢？当然要分，为什么呢？因为一亿的头顶往无穷大跑。所以说在这个题当中，它还是要进行分右极限，还有分左极限。那么，

先来看看这个右极限，那右极限如果趋向零正，你s分之一就趋向于正无穷，如果你趋向正无穷e的正无穷，当然是正无穷。所以说这个人就是正无穷，而这个时候啊，其实已经结束了，只要有一侧是无穷大，那这个人呢？很明显就是无穷间断点。对吧，无穷间断点，我们顺便把这个人做了吧，零负的话，

这人是负无穷，然后这里面当中一的负无穷，这个结果刚好是零。所以说这个结果马上出来。对吧，这个第一个问题点就出来了，好了吧？那然后在这里面当中，我们预留两个题，你下课过程当中啊，把这个第三题还有这个第四题啊，你把它做一下。然后如果你把这个题做完了，你再来把例四点四这个题你把它做清楚好。同学们好，

我们稍微休息会，一会我们继续，然后下半节课我再来给你看看这个人的图形到底长什么样子？就这个人啊，其实你发现这两个题其实只有一个题，这个人呢，在临处是经典的什么震荡间断点啊。好，我们稍微休息会吧，一会我们继续啊，这个时间过得还挺快的啊，所以说这个呃，年后了，我们的课程呢，可能会密集一点，

所以我希望同学们这个状态一定要上来。千万不要落课，你这个课你可能只有一两节的时候，你没什么感觉，然后这里面当中啊，如果有啊，这个三四节课四五节课的时候，你发现一个事情，有的时候就觉得稍微的多了。而且每节课还有作业，有些东西到了后期过程当中，一直在赶课，赶课的过程当中，下去又不做作业，你发现上课好像是听懂了。

没有练习，没有落地，所以说这个东西啊，就很麻烦。什么跟函数值没有关系。我记得我在那里面当中讲那个内容，我停了半天呢啊。我在讲这个知识点的时候停了那么半天，你这个上课啊，听课的时候一定要啊，多注意一下。你你要如果问说什么跟函数值没有关系，那说明这个东西你就没有听进去啊啊，不要不要不要别别这样啊。啊，

所以说上课的过程当中啊，这个注意力集中理解为主。不要在上课过程当中跟我抢笔记，我写个什么你写个什么，我想个什么你写个什么，到到下课过程当中，你发现这个东西根本没有理解，这可不行。好吧，同学们好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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