05.零基础考点精讲5-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:22:35

行，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个题啊，做完了没有答案等于多少？你就告诉我是e的多少就行了，你给我回复这个数就行啊。多少？这题哎，非常好，非常好啊，哎，还可以，那么接下来过程当中啊，我们来看看这个题对吧，拿到极限先定型。

一定的时候你发现看趋向于零的时候，这两者是等价的之比的极限是一，你注意一个问题啊，在定型的时候啊，就大致的看看就行。对吧，大致的看一下就行诶，你发现诶两者之比是一。然后在这种当中继续看一的零是一一减一是零零分之一是无穷大，所以说这个题啊是一的无穷大非零是。你既然是一的无穷，大为零时，答案等于多少来走一的这个极限符号照抄，然后是头顶部分照写。然后在这里面当做d减一s分之ln一加s再来减一。

那么，写成这样的之后的话，你发现这个结果就变成了limits趋向零，然后这个结果是多少是一的s- 1×s？然后上面这个部分呢，就是ln 1+s再来减s。好，这题结束了没？那这个题直接等价就行，你发现在这个帽子下，两者之间是除法除法的话，这人等价是多少s×s？然后上面这人呢，等价无穷小于负的二分之s方没有问题吧，当s趋向零的时候is减去ln一加s，

等价无穷小于二分之s方。是这个人，所以说这个结果你发现立即就出来了，等于负的二分之一。好，这题结束了，你看这道十分题啊，两三行就出来了啊，非常非常的简单，你做起来非常快。好，这是我们在这个当中啊，介绍的这个问题，那么接下来过程当中，我们就继续再来看看下面一个点啊，

下面还有几种不定式，零乘无穷大。还有在这种当中啊，最后两种无穷大的零和零的零，那么接下来同学们，我们继续吧，我们看看这种。那么，在零乘无穷大的未定式当中啊，那么这个东西我觉得最重要问题啊。就说这种未定式怎么算都没有，你知道它是未定式来的重要。所以首先第一个问题点，你要克服一个状态，我们说零乘任何数都是零啊，

大家一定要注意一个问题，这是零吗？这不是的，这是在极限当中。一个极限当中。你这个人怎么办呢？这个人的极限是零。这个人的极限是无穷大，他是这种状态。它是一个函数的极限结果实例。它不是说就是我们从小到大学的零，它是一个人的极限，结果是零，要注意这种状态，它是一个变量。

所以接下来过程当中，我们首先看凌晨无穷大，你要注意一个点，它是一种未定式。对吧，它是一种未知式，什么结果都有可能发生。那么，在这种当中，遇到这种问题是怎么操作呢？你先来看零乘无穷大，那么如果在这种当中，你把无穷大的这项除下去。行吧，你看这个无穷大上来就是零乘无穷大，

如果这个东西下去，这个东西不就变成了零比零吗？如果在这里面当中，你同理而言，你可以把零的这一项放下去。零的这项放下去，你看其实就是零乘无穷大，那这个人就变成什么就变成了无穷，大比无穷大。是不是这个问题，因此在这里面当中，它的做题方式就是下方。把一个人下放，把一个人放下去，然后转成零比零，

或者是无穷比无穷来做。那么，接下来过程当中，我们来看一个题，这个题啊，非常的重要，而且经典，你像三点一零这个题，我希望同学们注意啊。做完了之后把它给我记住。有人说，老师，你让我背极限，我让你背的极限没有那么多啊，这个极限非常的重要，

你把它给我记住。那么，在这种当中，我们来看看这个题怎么处理，对吧？趋向零。那么，首先第一个事情拿到极限先定型，你看这人是零。然后后面这个部分是个loun，那我们来看看lou NG这个函数lou NG这个人是什么情况呢？你看这是y这是零这是s lou NG这个函数是这样。当你发现你看你趋向零的时候，这个人是趋向无穷大。所以在这里面当中，

它是个零乘无穷大的未定式，你既然是个零乘无穷大的未定式，这题怎么去处理啊？凌晨无穷大，我们就可以把一个人下放，有同学说等于零，因为凌晨任何时候都等于零，你这个思维方式是有问题的。那么，接下来过程当中，我们就继续你看凌晨无穷大的未定式，就把一个人进行下放，把谁下放啊？你在这里面当中，你只能把s下放录音下放，

太麻烦了，我在这里面当中，首先第一步就来把这里面当中的这个。s，然后放下去。那放下去了之后，这个题就变成什么？立即就变成了无穷大比无穷大的微粒式，那么同学们，你回答我一个事情，这个题怎么做？哎，对，非常好，你抓大头，

别的方法都不行，只能进行落一落的话，这个题就出来了，当趋向零的时候，这个一求导分之一。这个一求导呢，负的x方分之一，这个人总知道吧？s分之一的导函数就等于负的s方分之一啊，这个人然后在这种当中当s趋向零正的时候刚好是负s极限就是零。所以你看这个极限，结果就是零，你看有些同学就来了，说你看老师我刚才说的对着吗？你说错了，

我说的就是零啊，你看做答案都对了。还是那句话，用了错误的方法做出正确答案，你是对的还是错的啊？当然是错的，一定注意啊，你这只是巧合罢了，你这个题恰好巧合等于零。哎，所以下去过程当中啊，请你把这个极限给我背过。说在这里面当中，当x趋向零的时候，然后这是x倍的ln x，

这是零乘无穷大的位理时，这个极限是零。把这个东西啊给我记住，因为这个极限相当的重要，哎，考的非常的多，其实你发现这个极限可以透广的。如果在趋向零的时候，这是s倍的ln x，这个人来个p次方，这个人来个q次方，只要这个p和q都是大于零。这个结果照样等于诶可以推广的啊，这是个重要极限呢，你把它给我记住。

好，这是我们讲的三点一零这个题讲了几种未定式了，讲了五种了，我们最后啊，还剩下最后两种未定式，一种未定式叫做无穷大的零。一种未定式啊，叫做零的菱形未定式。好了，同学们，我们来看看最后两种未定式。那么，最后两种未定式，你首先发现第一事情，它的极限结果。

对吧，它的极限结果，如果它的极限结果要想是无穷大的零或者是零的零。它是不是有一个函数往无穷大跑或者往零跑，有一个函数肯定是往零跑，是不是这个情况？所以你告诉我被求极限函数是什么函数？是幂值函数对吧？被求极限函数是幂值函数。你这人是幂值函数，那如果是幂值函数怎么做呢？首先第一步幂值转换一到到v倍的lo nu。然后这个时候你发现做一单独的极限，只需要做头顶极限，那就是违背的l。

那我想问你个事情，请问它能u- 1吗？它能不能？它绝对不能。为什么刚才可以呢？你刚才这个人是一的无穷大呀。刚才这人的极限，这是一样。所以说罗印一个函数趋向一立即等价无穷小，这个函数减一，但是现在这个底是无穷大或者零罗印零能等价吗？落叶无穷大能等价吗？所以说这个人呐，他不能等价，只能这样，

因此他的做题方法是秘制转换。把这人给我记住啊，直接记到这儿，如果是无穷大的零或者是零的零答案就等于一亿的极限符号照抄。头顶照写罗印底，那就是幂值转换嘛，所以在这里面当中，我们来看一个题。好，先看这个题，你看看这个题怎么做？首先第一个事情拿到极限，先定型定一下位，然后这人是零，这人也是零零的菱形未定式。

先是零的菱形未定式，能不能抵减一不能，所以答案就等于多少一亿的极限符号照抄。头顶照写落印底，这就是秘制转换呐。好这一步，听懂了请给我回复二。如果你这一步的话，过程当中都没有问题，请给我回分儿啊，我们要保证这个部分东西啊，都没有问题，好掌握清楚给我回分儿。哎，还可以啊，

还可以，那么接下来我们就可以做了，那么请同学们注意看帽子，赶紧看帽子，帽子在哪？帽子在这儿，这是x倍的lns，因为可以等价。那么，请同学们告诉我，这个极限刚才做没做过，刚做的这个极限，我让你背过等于几等于零，这是一。你看这个极限，

他这种类型问题的做题方法就跟一一的无穷大不一样。对吧，跟一的无穷，大的未定式是不一样的。所以昨天过程当中，我们讲过一个体系，我们说拿到极限一定要注意是先定型后定法，定法之前先四化，那么接下来过程当中啊，你就可以补了。拿到这个极限的时候，先进行去定型，定型完了之后我们再进行确定方法，确定方法之前先进行化简，如果用非磷因子淡化。

有根式，有理化，加减法中存在项可拆化最后一个事情，幂值函数立即幂值转换化。幂值转换法。嗯，转化法，所以这是最后一个人，对吧？非零因子，我们首先第一个事情氮化，如果是根式游离化，如果加减法存在向可拆化，最后一个事情。密制函数，

密制转换法。把这东西给我补进去啊，只要见到密制函数，立即密制状况化好，这样的话，你发现我的方法体系就彻底的搅乱了。那么讲到现在，你发现我所有的这种未定式，我的基本体系，那就建立了，那么接下来过程当中，你都可以进行大面积的做题了。不说别的，你完完全全可以大面积做题了，那你想一个事情拿到一道极限题，

我怎么做？我先定型。我后定法，定法之前我们先看看有没有非零因子，有没有根式，有没有加减法存在项有幂值函数，对吧？那么这个地方当中化简完了之后，我们再来看。如果是零比零型，怎么做？我们可以等下无穷小代换泰勒公式，洛比达四则运算。如果是无穷比无穷，可以怎么办？

上下同，除洛比达或者抓大头无穷，大减无穷，大怎么办？能通分就通分，通不了分倒带换，零乘无穷，大怎么做转成零比零，转成无穷比无穷，如果是一的无穷，大怎么做？这是我们最重要的一种问题是。答案就等于一的极限符号照抄头顶照写，然后是第减一。如果是无穷大的零和零的零，

怎么做答案只能幂值转换一等极限符号，照抄头顶，照写罗印这个底。是不是这个事情？那你想我只要见到一种不定式，我就可以用对应的方法干掉它，不要把方法用错了。所以下去过程当中，这一套体系你要多进行去翻一翻，多进行去看看，把这个思维方式啊，一定要给我建立起来。好了，同学们，你掌握清楚了吗？

所以下去过程当中，我们就有信心了，拿到的这些问题的方法，你看我们讲这套体系是怎么讲的？是分总的形式讲的，先进行一种方法，一种方法的学，然后再形成一个完整的体系。然后再去讲七种未认识极限计算的方法，那这样的话，你发现函数极限计算不就突破了吗？我不说别的。就我们现在这个能力都可以去做，至少是二零二三年之前的。包括二零二三年之前的所有的函数极限计算题，

你去看看我们考研过程当中就是我们三九六同学考研。我们的考研真题，你去翻一翻理论当中啊，基本上而言都在我们这个范围内，哪怕是考的最难的题，你现在的能力都能去做。所以说这套体系啊，是非常非常关键的，你下去过程当中，你要好好进行，想想好了这个问题点，我们就讲到这儿可以了吧，同学们？呃，刚才下课过程当中，

我刚好把这个题啊呃翻了一番，这个东西是同济七版教材对吧啊？这是同济七版教材。在第一章当中啊，有个总复习题，那么这里面当中我来看了一下，哎，这里面当中有几个题还可以，我们来迅速的来做八个题可以吗？能秒了吗？来把这几个题做了。诶，我们迅速的把这几个题做了，看看这几个题。操作一下呃，

这里面当中啊，你就能不抄题就不抄题可以吗？哎，能不抄题就不抄题，那么首先我们先看看第一个题，你先听吧，这里面当中思维方式跟着我一起进行串。好，先看第一个题。第一题秒了吧，当你趋向于一的时候，你发现这是多少？那这是一对吧？然后这也是一一减一，这是零，

然后这里是一，然后下面是零，所以第一个题是多少？这是无穷大。这题太简单了，对吧？所以你发现一个事情，第一题啊，它就是一个已定式。你很明显会发现，看这是零吗？这两位减没了，这是一这是一定是。好了，那么接下来我们再来看看下面一个题对吧？

第二题当趋向正无穷的时候，这个题很好，对吧？第二题还不错。这这不用不用不用进行去这个打点吧，我觉得这里面当中呃，第二题不错。那么，接下来过程当中，我们来稍微看看你，看这是s吧？其实你发现这两个东西，你把这个人写成根号x方，你就明显就知道这个事情，如果把这个人写成根号x方，

那这两个人的大小基本上是一样，所以趋向零。因此这个人呢，是无穷大陈林的位理师。我怎么操作？我就在这里面当中，首先第一个事情，凌晨无穷大未定时，可以把一个人下放。对吧，把一个人放下去，但是在这种当中，你发现把一个人放下去也不好办。到放下去也不好做，那这题我怎么办呢？

有没有操作性方法？你看这里面当中这个方法非常的好，那么这个题的话，其实就是一道特殊题，你趋向正无穷的时候，这是s。我建议同学们稍微改一下，你把这个部分的东西给我写成根号x方，这题就绝了。只要你改成这样一步，这题就立马可以出来了。所以在这种当中，当x趋向无穷大的时候，你看我上下给它同时乘上x方加一加上根号x方。然后上面这个部分呢，

这是s。立即就是你的平方减你的平方。你的平方减你的平方，然后这个部分的东西啊，立即就是一。所以说这个时候这个东西啊，它就出来了。可以啊，我没有说不行啊，你把乘进去变成无穷减无穷怎么了？然后倒代换也是可以的啊，都可以出来，所以说这个时候你发现看。这个问题点立即变成这样，然后这个题的话，

它就变成了无穷比无穷的未定式。一遍的话，当x趋向正无穷，就可以抓了。上面抓它，然后抓它抓它，然后是正无穷，你发现这是正的直接开，所以等于二分之一。对吧，这是一种很好的方法，那么当然在这种当中，你也可以把这个人产进去，变成无穷大减无穷，大为零时。

那无穷大减，无穷大未定。式能通分就通分，通不了分倒带换。也是可以的，所以这个东西啊，你下去处理一下好了，我们再来看看第三个题，继续来看。那么，拿到极限先定性吧，你定一下，那么当趋向无穷大的时候，你稍微抓一下，一抓里面是一。

无穷大加个，一是无穷大，所以说答案等于多少一亿的极限符号照抄头顶部分是照写。然后这里面当中d减一二x+3，然后这是2 x+1再减一。所以在这种当中，我们先来看看，继续来。那么这个题的话，你发现它就变成了limits趋向正无穷，然后这题继续只是2 s+1。那这个部分的东西，你发现就是你减它一减是二，然后这人的话二就一乘就是2 x+2，然后继续。

你看无穷大比无穷大，那抓大头以抓这人是解乙的一次方。好，这题出来了吧啊，第三题很简单，然后第四题呢，第四题直接秒真是二分之一x三次方直接是二分之一啊，这题非常简单。那么，接下来继续我们再来看看第五个题啊，再来看这个题。那么，这个第五题啊，首先第一个事情拿到极限也先定性，你定一下嘛。

一定的话，你看a的零次方是1b的，零次方是1c的，零是一三个一三个一÷3，这是一零分之一，这是无穷大。那既然这个人是无穷大，你告诉我个事情，这个极限怎么做答案就等于啊这第五题？答案就等于e的极限符号照抄头顶部分照写，然后这是d减一三分之a的s。b的sc的s再来减一。然后这个题它就变成多少呢？它的答案就等于一的极限符号啊，趋向零，

然后这是3s。a的SB的sc的s，然后减去三那你想一个事情，这个题就变成多少就变成了零比零型微粒式？那么，你想要告诉我个事情，那这一题怎么处理啊？零比零型。你说这个把三拆成三个一。a的x- 1b的x- 1c的x- 1没有必要，同学们都没有必要，我就问你一个事情，这个题好不好求导？是不好求导，而且在这里面当中，

你发现a的x导函数等于a的xl na好求导，那既然好求导这个题，你怎么办？我就直接啰一下不就行了吗？一落的话，这人是三，然后这是a的s ln AB的sl NB，然后最后一个事情c的s lnc。那这个时候你发现一定是未定式回答我。一定是还是未定式，你想嘛，这都是三了。a的零这是一，所以说这是lna，然后这里是lnb，

然后这里是lnc，一定是吧？那这个结果又写出来了，但同学们注意啊，我们考题都是选择题，所以你就不要问我说能不能划到最简要，不要划到最简，我们都是选择题。所以在这里面当中，你稍微注意一下，你要化简一下，你看这三个人相乘，其实就是里面相加。然后这个部分的东西就变成了e的ln ABC的三分之一次方把这样的东西约掉，约掉的话就是ABC开三次方。

好，这题结束能听懂吧？所以因此对于我们而言，我们考题都是选择题，你在这里面当中，尽可能把它画的最简单。好，这题听懂了吗？啊，这个题啊，考给我们基本上难度系数啊，刚刚好啊，就是刚刚好的一种难度系数。好了，那么这个题啊，

我们就讲到这儿，那么接下来继续再来看看下面一个问题。后面还有警惕来继续。那么下面这个题啊，它说现在注意一个事情s是往哪跑，往二分之派跑。你往二分之派跑的话，你看s in 2分之派，这是一。看正题，二分之派是多少？看正题图像是这样，你往二分之派跑，这人是无穷大。所以说这个极限是多少一的无穷大v底是要注重那个limit下面的跑法。

所以说在这里面当中的第六个人，他答案等于多少e的极限符号照抄，你看趋向于二分之派，它不是趋向零啊，这是趋向二分之派。然后这里面当中头顶部分照写，然后这是敌减一。还做成这样了，那么做成这样了之后的话，同学们，我们继续看，你发现这是e的limits趋向多少二分之派？然后这是多少塞笔扣吧。对吧，上面这个人的话，

你发现是sin EX，然后再乘上sin ex- 1比上cosine。能不能看懂好告诉我个事情，接下来过程当中这题怎么办？怎么处理？稍微去漂一下，一定要注意一个事情，现在s是往无穷，往哪跑往二分之派跑。那你想s in 2分之派不就是一吗？那这一项是一，而且在这个帽子下的话，你发现是乘除法，因此这个人是不是被淡化了？你淡化一下这个人，

就立即变成多少变成limits，趋向于二分之派，然后这是多少cos？sins再减一。然后这个题你就稍微进行看看，那这题你继续操作。那这个题的话，你看s in二分之派是一一减一是零cos二分之派也是零零比零型未定式，你回答我一个事情，这个题怎么做？怎么处理对非常好，都必答好求导嘛，一求导的话，你看这是cos 1求导的话，这是负的这个s in。

然后这个题就变成多少cosine，这个人是零，然后这人呢？这人是负一，因此是一定是一的零一的零就是一。你看这个题，所以对于我们而言，我觉得这种题对于我们考试啊，就是相当的契合。尤其有些同学二战的同学，你发现像这种题考给我们是不是刚刚好啊？完完全全可以就考个这样的题。第六题，第六题直接出成一道题，没有任何问题，

等你做到这个最最后一个阶段的模考阶段，你去看看吧。很多部分题啊，还是这个难度的。啊，刚刚好。所以对于我们而言的话，这个洛必达法则的方式啊，好求导的时候真的还是不错的，来再来看看第七题来继续。那么，这个第七题你继续看，现在x是趋向解x是趋向于a的，你a的话，你看lna-lna，

这是零。然后这人的话，你看这a-a，这人又是零，所以说这个题是个零比零型微粒式，告诉我怎么做好求导，赶紧落下，不要给我整别的。对吧，整的花里胡哨的，我早就做完了，我一落这人没了，一落这是s分之一，那就是a分之一本题结束。你看这个题。

好了，那么接下来我们再来看看第八题，继续看，这是limits趋向解趋向零，然后上面这个部分是s乘上tangent。下面这个人呢？是一加上负的x方，然后它的二分之一次方减一。那么，接下来我们来看看这个事情，你发现你看零比零型未定式吧，它可以等价项阿尔法。框所以说这个结果等于多少等于负二？你看这个题对吧？它的操作性不是说特别难，

那基本上而言的话，我们在这里面当中用到我们这七种不定式的处理啊，它非常好，这个题当中啊，我可能觉得很多同学觉得难啊，可能是第二题。对吧，这个第二题稍微的难一点，你把这个题啊，你下去过程当中，你再看看好了，这个题我们就讲到这儿。能学会吗？你应该在很快的过程当中，我们能刷到这个七八个题，

你只要做题的思维方式出来了，先定型后定法，定法之前先四化。然后在这里面当中遇到每种未定式做，每种未定式的处理，那这个事情就非常简单了，好像这个事情我们就讲到这儿。但同学们注意，在这里面当中啊，还有最后一个知识点，我们还没有讲那么把这个知识点讲完，函数极限计算全部讲完了，叫做左右开工法。那么，在这里面当中，

我们想要介绍一下什么叫做左右开弓法？那左右开弓法像这个事情，我相信你在大学过程当中啊，应该是记忆的最熟练的。说什么情况？如果这个极限的结果是a。那这个人呢？他比他大，这叫右极限，右极限和左极限都存在，都等于a。对吧，极限结果等于a左右极限存在都等于零，如果趋向无穷，大等于a正无穷和负无穷，

极限结果都存在都等于零。对吧，这个结果你发现都等于。但是你发现一个问题，我来问你个事儿，这个知识点我能不能一开始讲？能不能我其实能。啊，我其实能开始讲我原来过程当中二零一七年和二零一八年，包括二零一六年当时讲课的时候。我都放到一开始讲。为什么呢？你看我一讲你都能听得懂，为什么呢？我说如果极限等于a左右极限都存在，

都等于a，你看你一听都听得懂。为什么呢？往这个点跑极限存在左边往这跑，右边往这跑极限，结果都要存在切相等。都能听懂，我一开始就讲没有问题，都能听得明白，都能接受到，但是你发现过了一会儿啊，就会出现非常大的问题。因为有些同学一旦学了这个知识点，他马上做题的时候都是。极限等于a左极限和右极限都存在，

都等于a极限等于对a，然后左右极限都做，比如说举个例子。他做到这个题的时候，他就要分一正和一负，他做到这个题的时候都要分成正无穷负无穷，他做这个题的时候都是零正和零负。做这个题都是a正a负。但同学们，你发现一个事情，我们从第一节课到现在而言，我们做的题啊，不下60多道题了吧？做的肯定有这么多了，但是你发现一个事情，

我们有哪个题需要分成左右极限的吗？有没有有没有哪个题左极限做一下，右极限做一下没有？我们做了这么多道题的，不是说每个题都需要分成左右极限的。都没有，所以因此你要注意一个事情，不是每个题都需要分成左右极限。你不要在这里面当中，只要拿到极限，就是左极限，右极限，不要这样，不是每个题都需要分，因此在这里面当中，

我们在考研过程当中，一定要注意。我们就要去看看哪些人是需要分成左右极限的呢，所以在这种当中我们必须要去讲一下常见的分类形式。我们在考研过程当中啊，他都迈不开过这么多点啊，基本上而言就这四点。常见的需要分成左右极限的形式，对吧？这些人的话，你发现他是需要分成左右极限。那么，接下来过程当中，我们就一种一种的看好我们，先来看看第一种e的头顶是无穷大型。

这第一种。e的头顶是无穷大，大家注意啊，我再强调一遍，有些同学学习就是这样，要学到问题的本质，你听懂我的意思吧。哎，学一个东西要学到本质，不要仅是一是学到一个形。那么，在这种当中，我们再来看看它的本质是什么e的头顶是无穷大，那么在这种当中，我们看看图形。

我来看看这个es的图形。那么这人是零，这人是x，他的这个人的曲线的图形呢？他是这样子。有没有发现一个问题e的正无穷是多少？正无穷e的负无穷是几是零，所以在这种当中，我们先来看看第一种。如果s趋向无穷大，请你告诉我e的s趋向分。当然，分e的头顶就是无穷大，那这时候你分的时候你来看，如果趋向于正无穷e的正无穷就是正无穷。

如果趋向于负无穷一的负无穷，就趋向零。大家有没有发现一个事情，左右两边是不是不一样？那这里面当中，我们稍微改一下，如果这里面当中改成s趋向零。零的时候，然后这个e的s分之一要不要分？你看这个人。好好看啊，要不要分？你判断的本质不是别人，你判断的本质是e的头顶是不是无穷大？只要这个e的头顶是无穷大，

它就要分，你还没写零分之一就是无穷大，当然要分，那我们来分呗，那就要分成零阵。和零负。先来看第一个事情，如果趋向于零正。零正比零大一点，点比零大一点点的话，分之一的话就是正无穷一亿的，正无穷是多少正无穷？你再来看，如果是零负。比零小一点点。

比零小一点点，分之一的话，这是负无穷一亿的，负无穷是几是零？你看这人就烦。那么，在这种当中，我们再来改一下，如果这个题是趋向无穷大。你来告诉我个事情，这个人要不要分？啊，有些同学的话，学习就是这样，就背着这样的一个形式，

就背着这个形式，你不要这样，你要理解它的本质。就是我们经常讲，比如我们前面等价的时候，我们要看框框是什么呢？框是不是厘米？你来告诉我这个人要不要分？不要分这个人呢，他就不分。为什么呢？你发现无穷大分之一是0e的零，永远是一，你分它干嘛？它本来就是一，

不要分了。所以分不分的本质是看头顶这个结果到底是不是无穷大好，这是我们讲的这个第一种类型，你再来看第二种类型。那就是阿克坦阵体后面是无穷大型。它的后面结果是无穷大，那么在这种当中为什么是这样呢？我们再来看看这个人的图形。我来画一个二维的迪卡坐标系，这里是y=arctangent x，然后这里是s，这里是零。你发现上面这条线是多少？上面这条线是二分之派。然后下面这条线呢，

是负的二分之派。那么，在这种当中，它的函数曲线是这样。哎，这是函数曲线，那么这里面当中很明显一个事情，如果是正无穷，我正无穷，我是二分之派，我负无穷呢，是负二分之派。因此，在这种当中，比如说如果s是趋向无穷大的。

那么请告诉我事情有arctangent无穷，大S要不要分呢？要分怎么分呢？如果这s是趋向正无穷。你来看arctangent x，它就趋向于二分之派，如果s是趋向负无穷，我arctangent x我就趋向于负的二分之派。那这人就要啊，我看这个问题的本质是什么？这个本质就是arctan的后面到底是不是无穷大？只要你是无穷大，我就分，只要你不是无穷大，我就不分。

听明白我的意思吗？好，这个信息点一定要掌握清楚，跟得上吗？你下去好好想想，好在这里面当中，我们再来看看第三种。那绝对值。啊，有绝对值，有绝对值，而且这里面当中啊，你发现我们要打个星儿吧，这个绝对值里面往哪跑往零跑？它就要分对吧？

必须是往零跑，比如说这里面当中，我们先看第一个事情，如果x趋向零的时候。有绝对值，要不要分？我为什么要趋向点呢？比零大大于零的时候，绝对值等于本身小于零的时候，绝对值等于相反数。所以在这里面当中，我们来看看这个事情，你看它叫分，如果趋向零正，它是比零大的。

比零大绝对值等于本身如果趋向零负，它是比零小的绝对值，就会等于相反数。是不这个人，然后比如说举个例子，我们再改一下，你看如果s是趋向于一的。请你告诉我绝对值里面当中有个减一，要不要分？他要分，因为绝对值里面是往零跑的，我们来看看，如果这个人比一大大一点点。大一点点减个一呢就比零大一点点，比零大一点点的话，

这个人其实就是大于零。大于零的时候，你发现这个绝对值就要等于本身。跟得上吗？如果趋向一负比零小小一点点，比一小一点点小一点点，减个一呢零小一点点。那这人就小于零小于零的时候，你发现绝对值呢，就等于相反数。是不是这个问题，所以大家注意一个问题啊，要不要分？不是看有没有绝对值，是要看这个绝对值里面当中到底往不往零跑？

往临袍才要分。好，这是我们在这里当中介绍的第一个事情，能听懂吗？好，这是我们讲的这个第三点，再来看第四点。那第四点的话，什么情况？是一个分段函数。你看我们写个奋斗函数。这个分段函数什么情况？这是fs它的分段点的话，刚好是s0分段点，刚好是s0。

我要求的是什么呢？我要求的是分段函数，在分段点处的极限。哎，注意啊，分段函数在分段点处的极限，大家拉条数轴线，你可以稍微看看你在这种当中拉条数轴线，比如说这是s0。比它大的时候就是小fs，比它小的时候就是gs。那如果你发现比它大一点，就对这个人求比它小一点，就对这个人求。两边求的对象一样，

不一样不一样。你这个人的话，你对他求这个人对他求两边求的对象不一样，所以在这种当中，我们来看看这个事情，他就需要分。如果你趋向于s0帧。s0正比它大大的话，就对fs求。如果趋向于s0负小的时候就比它小。因此，注意一个问题，这种类型问题啊，叫做分段函数在分段点。两侧不一样的是药分。

对吧，不光是什么情况呢？不光是有些同学学了一个形说分段函数，在分段点处求极限就要分不是的。分段函数在分段点处的极限两边不一样的是要分。我举个例子啊，我在这里面当中看一个题。比如说这里面当中，我们出一个这样的题例。诶，我直接出我写个这样的人。s方再乘上sins分之一s，不为零s等于零的时候等于零。我来问你个事情，我现在而言的话，

我还是写limits趋向零分段函数，在分段点处的极限。那我想问你个事情，这个题需不需要分呢？分还是不分？需不需要分成左右？要不要不用为什么呢？你稍微的进行去看看，你在这里面当中的分段点是多少？你的分段点是零，你左半边是这个人。你右半边还是这个人，你分他干嘛？我为什么需要分呢？因为两边求出来的结果不一样，

两边求出来形式不一样，我才要分，所以这个人呢？你不用分，因此在这种当中，我们只用看。趋向于零，告诉我趋向于零到零了吗？没有到零。没有到零，就只需要对这个人求极限。回答我极限结构等级。等几几？无穷小乘，有阶无穷。

小乘有阶，是无穷小无穷。小极限是零。对吧，因为你都知道一个事情，只要是s in一个东西都会大于等于负一小于等于一。这有界无穷小乘，有界无穷小，你看这个题，它就没有分，它不像这个人。所以我们对于我们三九六同学，你发现考研基本上都是这四种。如果在这里面当中增加，基本上还有一种叫做取整，

等到基础班我再讲讲，但那个东西考的几率不大，如果考研的几率大，就是这四种。好，我们一起来复习一下吧，脑子给我转一下吧，第一种在屏幕前给我喊出来，那么第一种一亿的头顶是无穷大要分。第二种，阿克摊这里后面是无穷大跑，要分绝对值，里面往零跑，要分分段函数，在分段点必须要保证两侧不一样的时候要分。

请同学们告诉我这四种记住了没？好记住了给我回复个一啊。好，这四种情况都记清楚了，请给我回复一。装到脑子里面啊，什么情况需要分，你要想清楚。你不要在这里面当中啊啊，就记个行，那接下来同学们，我问你个事情，如果将来见到这个人，是不是要分？是吧，

我们只要见到什么这个人就要分。是不是啊？我们只要见到这个人就要分，是不是啊？啊，我们只要见到分段函数就要分，对不对？不对，这就胡来了，大家注意，这都不对，这仅仅是一个形式，你要学会到这个问题的本质在哪儿？你这个东西要想是无穷大，你趋向零才能分。

你这个要分的话，你这个趋向无穷大才分，你这里面当中必须要趋向零，你分段函数两边一定不一样的时候才分。所以同学们，你看长进了啊。真的是长进了，在做题的时候不要仅仅备注一个形式，对透过现象看本质，不要仅仅备注一个形式，你要看到那个东西到底核心重点在哪？要看到那个东西的内涵，你听懂我的意思吗？好，那么接下来同学们，

我们来看看第一个题，三点一二。那么这个题他说给了一个分段函数，他说分段函数在分段点处的极限。哎，这个人的极限，他是存在的，告诉我个事情，这题要不要分？当然要分分段函数，在分段点处的极限两边不一样，本题一定需要分。所以说这个极限存在的充要条件是什么？那其实就是它的左极限和右极限都是存在。切相等的。

对吧，在这种当中，你发现左右极限存在且相等的，那在这种当中，你首先看一帧一帧的话，这是阿克探针体x减一分之一。然后这里面当中当x趋向多少一负，这是as求这两个极限，先来告诉我个事情，上面这个极限等于多少？可能这个极限呢，对很多同学就是一个难点了啊。你只要耐心一点，我相信你一定能学得好。你不要着急对吧？

你先耐心的学会，然后随着你做的多了，然后这个东西当然是熟练的。怎么做？慢慢来，你看首先第一个事情当什么情况呢？如果这个s是趋向一起来啊。我趋向于一正，我比一大一点点，我减一就比零大一点点，比零大一点点，翻一下就是正无穷。阿可，它这里正无穷，是多少？

阿可，它这里正无穷，那这个结果是二分之派，慢慢来嘛，你着啥急呀？好，这第一个人那么告诉我，这个极限是多少？一定是吧？就等于a，所以说在这种当中立即可以推出来a=2分之派本题结束。好了，这是我们在这里面当中介绍的这个三点一二这个题过去了，可以吗？来继续再来看看三点一三这个题。

好看看这个题。好，三点一三。那么这个题怎么处理呢？好，我们继续看，首先第一个事情趋向零本题，告诉我个事情需不需要分呢？要不要分？当然要分，你看零分之一一的头顶是无穷大啊，阿尔克探针的后面是无穷大本题，当然要分呐。那既然要分的话，你发现首先第一事情我们先来分析一下。

啊，跟着我分析一下，你看趋向于零正的时候和趋向零负的时候是不一样的。零正分之一的话，这人是正无穷，然后e的正无穷是多少？脑子转啊转，快点想图像e的正无穷是正无穷。阿克潘正体，这个正无穷，这个人是二分之派，然后再来零负的话，这个分之一是负无穷一的负无穷，这个结果是零。阿克坦真体这个人负无穷呢，

这是负的二分之派。跟得上吗？哎，我写的快了一点，但是我相信你能跟上这两波操作，把它想清楚，那么接下来我们就可以处理题了。那么，首先第一个事情，我们先来看看右极限和左极限零正和这里面当中的零负。那么，首先我们先看第一个事情，先看零帧，零帧的时候你告诉我个事情，这个极限是多少？

你回答我，如果我求临阵的时候。这个部分是多少？二分之派吧。这个二分之派，它是什么东西啊？不为零，又是乘除法，它什么东西非零因子，所以首先第一个事情，你把它给我淡化了。先把它给我淡化出去，淡化出去了之后，这个人只剩下这个人。好，

这是这个部分能理解吗？哎，你先不要干别的，你先把它给我淡化了，然后再看下面的事情，虚像零负。那零负的时候你告诉我这个极限等于多少？那这个零负的时候等于负二分之派不在这吗？它还是什么乘法非零？那还是非零因子，你继续把它给我淡化了。那这两项一下淡化，那这个东西就非常好办了，然后剩下多少一亿的x分之一加一一亿的x分之一再减一。好，

先看上面这个人。那么上面这个人的话，你看这人是无穷大无穷大加一无穷大无穷大减一无穷大，我怎么办？我抓大头。我一抓的话，你看这人没了，这人没了，所以说这是一结果，等于二分之派。那么再来看看下面这个人。你趋向这个人的话，你看这人是零零加一，这是一零减一，这是负一，

所以说这人是什么？这人是一定是一定是的话，这是负二分之派，再乘上负一，所以结果等于二分之派。嗯，左右结果都是二分之派，本题结果是多少二分之派，因此本题答案是二分之派。能学会吧，所以做每个题啊，一定要把这个思维方式想清楚。好，三点一三。继续可以吗？

再来看下面一个题，三点一四这个题把这题灭了。好，再看这个题。那么这个题啊，首先我们先看第一个事情对吧，它说趋向于一，求解这个极限。那么，求解这个极限的话，你在这里面当中，首先第一个事情怎么办？我们先把这个极限你先操作一下，这个极限的话是limits趋向于。那这个部分可以先化简一下，

你先不要管，你先化简一下，那这个人的话，你看平方差可以是这样。然后这是s减一，这是e的s减一分之一。我来问你个事情，那请同学们告诉我一事儿，这个趋向一呀。就是我们在这个趋向于一的过程当中，它到底唯不唯一？你趋向于一，这突出了s是不等于一的，你不等于一，这两个东西就可以约掉。

而同学们告诉我个事，这一项是多少？那这项结果是二啊。那这项是不为零的，又是乘法，所以说这个人是非零因子，那因此在这里面当中就是二倍的limits，趋向于一的s减一分之一。那么，接下来告诉我个事情，这一题需不需要分呐？要不要分？需不需要分成左右极限？这是这个题比较重要的，需要分还是不要分？

你看这是零零分之一，是无穷大e的头顶，是无穷大当然要分呐。所以在这里面当中，我们需要分成左右极限，既然需要分成左右极限，我们就来看。一定是二倍的limits，趋向于一正一的s减一分之一，然后这是二倍的limits，趋向于一负。e的x减一分之一。好，先看第一个事情，如果是趋向于真。

比一大点点减个一就比零大一点点。比零大一点点的话，你发现这个东西就是正无穷。对吧，这就正无穷，那请告诉我一的正无穷正无穷二倍的正无穷还是正无穷？好，继续看，如果趋向一负，然后在这里面当中减个一呢，就比零小比零小的话，你发现分之一呢，这是负九。那回答我e的负穷是几e的负穷是零二倍的零还不是零。那最后一个事情，

你给我选答案，那这题答案选多少？你看这个abcd这e这几个选项，你选谁呀？有些同学非常疯狂。他选多少呢？他选bcd。那这题不对，极限存在b为一只有一个结果，反正不会选二。对吧，不会选它，你要注意一个问题，如果这个极限是零左右极限都会是零，这不对呀。

如果是正无穷，左右极限都得是正无穷，这不对，那没有负无穷，所以说这个题的话，你发现它的结果是什么？答案就选一。它是一种什么不存在，但不是无穷大，你回答我一个事情，这是什么类型的不存在？不存在有两种，一种不存在是无穷大，还有一种不存在叫什么，这就叫做不唯一的不存在，

非常非常好。对吧，存在的东西是个数，不存在有两种，一种是无穷大，是不存在，还有一种情况呢，哎，你要注意一个问题，就是如果在这里面当中抛过无穷大，还有一个不唯一的不存在。说的就是他。所以在这个题啊，正确答案选一。好了呃，

我们讲到这儿，我们刚好在这个年前过程当中啊，就能把这个七种未定式极限全部讲完，然后到了这个年后过程当中，我们就可以去讲这个什么连续和间断。导数的定义和导数计算等，我们把这个部分的东西讲完了之后啊，我们其实就把这个零基础提前学的所有内容，我们就讲完了。然后下一个阶段，我们就开始基础班了呃，上次过程当中，我们说过这个事情，我们说把这个上次几次作业啊，我们稍微里面当中啊，

有几个题？我稍微给同学们进行去讲解一下啊，然后这个有问题的题啊，你可以说一下，我们应该是发了几次作业。两次作业吧。两次作业啊，然后我们把这两次作业啊，我们稍微的过程当中，里面个别的题啊，我给你快速讲讲。啊，快速的说一下，然后这里面当中，我希望同学们这个你有问题，

你可以打出来啊。好，先看第一次作业。你注意啊，我给你讲作业的，这个时间不是说特别多啊，然后你珍惜一下。好，先看这个人。嗯，上次作业有点多啊，然后有些同学可能没有做完。先看第一次作业。第一次作业的话，这里面当中我说一下这个事情啊，

可能有些同学你发现这个第二题啊，有些同学有问题。我先说一个问题，你想想一个函数这个人。请问一个函数的定义域指的是什么呀？啊，同学们，你告诉我个事情，一个函数的定义域指的是什么东西啊？定义域。谁的范围叫定义域啊？函数次边不不不要说s不要说s不要说s，你看这个这这这样这样学可不好。对吧，谁的范围是定域啊，

你要注意一个问题，应该是自变量。对吧，一个函数自变量的范围。它叫做定语。你能听懂我的意思吗？哎，必须是自变量范围。一个人自变量范围叫定域，那我想问你个事情，如果在这种当中，我们写fs它的自变量是谁？自变量肯定是x。那如果在这里面当中，我写的是x+4，

你告诉我自变量是谁？我就看你这个同学，这个高中基础到底咋样？自变量谁。你要注意一个问题，这个函数是先到x+4，然后再到x的。这个东西叫做中间变量，这个东西才叫自变量。你写x+4是自变量的都错了啊，都错了，你看这个这个学习的这个内容啊。x是自变量，不要乱来啊。那么，

自变量指的是x范围啊，你要听懂我的意思，你比如说举个例子，我们再看，如果是fx方自变量谁，你这个f先到平方平方再到s。这种树形图，它的末点是自变量，这叫中间变量，同学们。这个是中间变量，所以接下来我们来看看这个题，那么他说什么事情，他说这个函数的定义域是零到一。那么请告诉我个事情，

对于这个fx而言，是不这个x的范围是零到一啊？没问题吧？那么请同学们告诉我，他说这个人的定义域，请你告诉我个事情，这个定义域指的是谁的范围？我先看你水平怎么样？这个函数的自变量是x，这个函数的自变量是xx+as-a，都叫中间变量。谁的范围s范围，所以大家注意一个事情，我们要求出这里面当中的x范围就是定域，那么接下来过程当中我们再来看。

你来发现一个事情，这个fx这个fx+a这个fx-a。请你回答我这三个人的地位是不等同。啊，是不是啊？地位等同没问题吧？哎，他们地位等同那么既然是地位等同的话，你发现我既然是零到一。那就说明你x+a这个人不就是零到一吗？那x-a这个人不就是零到一吗？然后在这种当中，你发现解出x的范围它就行了，好，我不讲了啊，

你下去过程当中自己去看吧。好，下面的答案应该都能看懂了，我觉得很多同学这个题做不出来的原因在何处？是脑脑子里面非常混，你自己都不知道你自己在解什么？你看有些同学做这个题啊，做这种类型题，一会儿能做出来，一会儿又做不出来，突然间有一天又能做出来，然后有一天又做不出来。时灵时不灵的。就跟这个呃，就是看的一些那个，

比如说你看的一些武侠小说里面当中有有有个人练一个武功。对吧，这个武功一会能用出来，一会用不出来。所以在这里面当中一定要注意一个事情，你要学习的这个对象是什么？一定要记清楚这个人的定义域是零到一。自变量的范围才是定义域这个人的自变量是谁在这儿啊？注意一下这个事情。好了呃，这个题啊，我就讲到这，那么接下来我们继续吧，我们再来看下面来继续走。你要注意你的方向性，

一定要清楚什么叫做定义域自变量的范围，自变量是谁？谁是自变量？找到那个人呐，什么东西都出来了，抓住一个主角。呃，第三题不讲了吧？第三题的话，你发现这上课我们讲的原模原样内容你没做出来的话，你上课得看知识点好，这里面当中我来说一下第四题。呃，第四题啊，可能对很多同学是一个短板啊，

这个题啊是一个精英，大家注意你高中学过这个函数吧？学过没？这个函数学过吧，这个函数叫做对勾函数。或者这个有些同学把它称之为叫做什么啊？这个我不想说这个，这个牌子对吧啊，然后的话，或者有些这个。说这个东西叫做那个函数啊。对吧，对勾函数，所以在这里面当中，我们来看看这个事情，

因此你发现看这是y，然后这是零，然后这是s这人图像什么情况呢？它是这样子。啊，对吧啊，就这个人啊，这个对勾函数。对勾函数，然后这人是奇函数，它是这样啊，对勾函数。能听懂我的意思吗？啊，就这个函数，

你要记住它啊，这高中学过的，然后在这里面当中，你再来看这个人呢，你发现还有一个同父异母的兄弟。啊，还有个这个人啊，同父异母的兄弟，然后这里面当中大家好好瞅一下这两个人呢，非常牛逼，考研贼喜欢考，你注意这两个人啊，你看你打开平方的话，这是x方加上平方分之一。加个二，

你打个平方了之后的话，你看x方加上x方分之一，你再减个二，你有没有发现一个事情？这两个东西的主要部分都是一样的，它们其实就是个加二和加啊减二，两者之间刚好相差个四。所以在这种当中，我们看到这个题的时候，你看这是一个复合函数吧。这个复合函数要想求出原来函数，你肯定要把这个人换成t。你换成t的话，你就要把后面这些东西都写成s，加上s分之一。

那这两么当中我怎么做呢？我想进行去创造s加s分之一，你看这是s对吧？这是三次方。然后这里面当中的话，你看这是四次方加上一，那上面这个部分我刚好怎么办？你看我除一个平方，我除个平方了之后，这人是s，这人是s分之一。我为什么要除平方？我要这个人呐，我要这个人，所以我除个平方，

我除个平方的话，你看这人出来了，然后这人的话，这是x方，然后再加上x平方分之一。但不行啊，我要这个x加s分之一，所以说你看上面这个x加s分之一出来了，那下面这个人呢？下面这个人的话，你发现看不是这个部分吗？所以在这种当中，它不就是加上分之一的平方，再把那个二减过来吗？对吧，

你把这个二减回去不就是嘛，因此在这种当中你就可以换了来零x加x分之一等于t这ft等于多少t比上t方减二？然后再来看下面事情，一个函数，结果跟次数。变量字母的选取没有关系，立即换回来。出来了吗？所以这个函数出来了。哎，这题了结束了。好像这个题啊，我觉得大家进行处理的时候，你方向性你有你有这个方向的，你有没有在那做题过程当中胡想？

天马行空的，想恨不得都想到想到自己的小学中学高中了啊，是吧？从小想到大。两分钟早就过去了。好，这个题啊，我们就讲到这呃，继续看看下面一题吧。下面题我觉得应该都还好吧，比如说这个第五题啊。第六题啊，应该都还好啊，你们看看有哪一题需要讲的？来，

再来吧。哪个题需要讲？好，来看看第一次作业。没有的话，我们就继续了。没有了是吧？好，我们来看第二次。呃，第二次作业的话，有哪个题啊？第三题的第二个。啊，第三题第二个。

那么，首先我们先解决啊，这个第三，第三题，第二个什么？第三题第二个的话，你看你趋向于零的时候x减去t an ENT，加上sin EX的平方。你很明显会发现一个事情，这个东西你看一阶一阶十二阶同阶要一起看。这两个东西是几节？这俩东西是三级吧？那既然是三阶的话，你发现我加上我的高阶，立即等价无穷小于五。

然后这个人等价无穷s方，你就填平方就行，有没有问题？没问题啊，你看一阶一阶二阶同阶一起看。好，这是这个题，还有哪个题吗？好，第二题第二次作业还有哪个题？有的话赶紧说啊。第二大题的第二小问。啊，第二小问我讲讲来把这题讲讲。那这个点呢，

我觉得是个非常重要的考点。注意这个内容啊，你看在这个当中有个这样的知识点。如果fs和gs等价。那么这个时候你发现fs的阿尔法次方和gs的阿尔法次方，只要这个阿尔法大于零都等价。对吧，只要这个人大于零，他都会等价。那么所以说在这种当中，比如说我们举个例子，你看一些经验，我举个例子啊，你看你这是sin x的平方，你等价多少？

我们都知道一个事情，因为sin x它是等价无穷小x的。sines等价无穷，小S那它的平方呢？次方数里面可以先等价，那平方的话，你发现那这个sines的平方，它不就等价无穷，小S的平方吗？是不这个事情同理而言的话，你继续哦，注意哦，这个有个趋向对吧？这个是x趋向零的时候。你比如说在这种当中，

我们再来看下位事情，如果s趋向零帧。我想问什么情况？我想问根号sin x等价多少？我们都知道一个事情，四方数里面可以先等价，对吧？这是二分之一次方。二分之一次放里面，可以先等价。那这个时候你看这个s in是等价无穷x。那你的大于零的次方数里面可以先等价，因此就等价无穷根号s。能学会我的意思吗？所以像这个知识点呢，

你下去过程当中好好想想，就是大于零的次方数里面都可以先等价。你只要是大于零，你哪怕改成三分之一，四分之一，五分之一一，百分之一都行，但必须是大于零四方数。有人说，老师为什么是大于零次方数，小于零行不行？你想嘛，如果这个部分是零，趋向于零。小于零的话，

一翻是不是无穷大了？你听得懂我的意思吗？哎，这人就不行。好了，这是这个知识点啊，所以记住这个事情大于零的次方数里面都可以先等价好，那么接下来我们来看看第二题。那么，这个第二题的话，你看很明显一个问题，因为什么情况呢？这个x加上根号s。一解二分之，一解何取第。

一解因为你发现看这两人先等价，那所以说这个次方数里面是不是可以先等价？给这人开二分之一次方，他就可以等价了，你看这个人加这个人里面可以等价成这个人，所以说s的四分之一次方。注意这个人呐，四方数里面可以先等下。那么我把这个次方数里面，我可以先等价。好，这个题听明白了，给我回复二把这个经验记住啊，这个题啊，我觉得这个第二问还是需要讲一讲的。

好了，还有哪个题吗？第二题的第六个对吧啊？第二题的第六个我可以讲讲。好了是吧？好了，那么接下来我们继续，我们再来看第六个题。那么，第六个题的话，你看这个人。这个人是什么法呢？除法除法可以写成什么法？除法可以写成减法。那么所以说同学们，

你发现一个问题啊，你告诉我第一个人是几级啊？因为我们都知道，如果当x趋向零的时候，你注意啊，我可以大致的看看，真等价无穷x这人是几啊，真是一姐。然后在这里面当中，你再看这是ln一加负的根号s等价的是多少负的根号s，这是二分之一减。那所以说和取第一阶，那和取第一阶的话，这个人就等价负的ln一减根号s，所以负负得正根号s。

好，这个点你用什么没做出来呀？呃，我说的这个学习这个思维方式不是这样子嘛啊，你要用别的用什么方法没做出来？对吧，好了，那么接下来我们来看看这个题啊，都能做啊，都能做。那么这个题的话，那么接下来我们来看看这个事，它是多少ln一加sln一减s，然后这是s趋向几趋向零。好，

我们来看看这个题嗯，得说一下你的方法可以做那么大家去看一个事情，你去向零。你一去相邻的话，这人是几真是一。对吧哎，这是一比一啊，这是一如果一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数再减一。这个人减一的话，你发现看这就是一减根号s，然后是上面减下面，你上面减下面的话就是x加根号s。是不是做成这样了？

那么，接下来同学们，你再给我看，你给我看看这一项。回答我这个人是什么？当趋向于零的时候，刚才过程当中，我说了非零因子可以在等价过程当中用。等价过程当中，遇到非离子也可以淡化，没有问题，你看这个人是一，而且是乘除法。所以说这个人是不是非零因子，既然是非零因子，

在这个等价过程当中也可以用好了，过程当中我们刚才用的第一项。非磷因子的淡化。好，这是这个事情，然后你看二分之一减一减和取第一节取这个人出来了。能学会了吧，好这种方法也行。所以我觉得这个两种方法都行。但是，注意增加经验啊，你比如说像刚才那个题，你就知道哦，原来大于零的次方数里面可以先等价啊。对吧，

比如说第二题的经验的话，比如说定义域指的是自变量的范围啊，比如说第三个事情非零因子也可以在等价当中用啊，你看随着做题的经验变多，然后逐渐的进行去增加自己的这个知识性的水平。听懂我的意思吗？要下去总结啊，要总结的。好了，这个题我们继续。还有哪个题需要讲吗？好再看啊。还有没有？嗯。第九题。

是第九题吗？好，我们现在从上面往下看吧，好，我们先看第七题啊。看完第七题，我们再看下面。那么这个题的话，你看。首先第一个事情，你有没有看出来上面能等价？没有看出来就很尴尬了，你在去相邻的时候，这人是零比零型，那这人是多少一加上？

负的x方的二分之一次方。那么，这个人的话，你发现看他就等于负的。你可以提一个负号出去。那么，这个题首先第一个事情，你在趋向零的时候，你可以把它这样改提一个负号出去，然后把它写成多少一加上负的x方的二分之一次方减一。然后这是e的s减cos。然后在这里面当中，你发现当s趋向零的时候，多少阿尔法框，阿尔法框是这个人。

e的x减cos，所以说这个题啊，你发现当x趋向零的时候，这就是二分之x方，然后这是e的x减cos。好，做成这样，那么同学们各位注意一个事情，我们继续进行，你看零比零怎么处理啊？怎么做那么这个题的话，其实非常简单。那么这个题的话，零比零的话，而且非常求导的话，

你发现你洛必达不就行。一落这是s，这是es，再减三负，负得正。对吧，这个人的话，你发现直接落就行了，你管他干嘛？那这人好求导，我为什么不懂啊？而且有些同学问为说能不能凑加一减一，我不喜欢这个么，我也不喜欢这个问号。你下去过程当中有没有进行去检验它呢？

那等号过程当中，我再来讲那这个题的话，你发现你看，然后继续来操作，当x趋向零的时候，你看上面是零。e的零是一，这是零，那这人是一，所以说这个结果是几，这人是零。一定是。对吧，一定是那这个人就出来了。所以说这个题的结果就出来了。

那么，有些同学问说下面这个人能不能泰勒？你为啥泰勒我都不知道怎么回事？能想到泰勒想泰勒应该是先试一下，等价能不能用吧？那么，有些同学是这样做。这样做可以。只是二分之s方只是一s，它减个一加个一。可以，然后一看的话，你发现看这是一姐，然后这人是二姐，我先说一个事情啊，

我们三九六的同学。你的重点方法是等价，你的重点方法是洛必达，你的重点方法是四则运算。对于泰勒公式而言。那么，在一般情况下，我们的题除非遇到了稍微会困难一点，我们再先想。这是我们的思维，你要注意一下这事儿，你看这里面当中内容，马上出来，这是二分之s方一阶二阶何取，第一阶是你等价无穷，

小S一约，这是零。那这题是不是出来了？所以你可以看出来，这种方法我们是不是能用？你加一减一也行。所以我希望同学们注意啊，这个。不要太受到答案的约束。答案是一种参考答案，我发现很多同学这个做题还是不自信，或者而言，做题都是怎么做的呢？呃，我昨天过程当中啊，

看到那个第九个群里面，我应该是昨天晚上上这个数一数二数三同学的全程班，我讲过这个事情。我发现很多同学的学习啊，特别的不自信。跟着答案走，不是不自信，他怎么做题呢？比如说当他做一道题的时候。他的答案一定在身边。然后做这个题的时候怎么办？这是这个题的第一步，然后就看到这个答案哦，第一步好，我看会了对是这样。

然后再看第二答案，第二步诶是这样，再看答案，第三步是这样，然后研读答案，研读到答案的话之后的话，过程当中诶，这这一步是怎么回事儿诶？为什么这样做？这步是怎么做？然后的话，你看自己也不思考，然后把这个东西就发到群里面了，然后去问啊，亲爱的友友们。

对吧，这种题我们应该怎么做？对吧，这个处理类型问题，我们怎么去处理？好多同学不是这样吗？是不是啊呃，我记得这个。我在这个今年呢。今年的话，这个结束，我在这里面当中给呃，这个去年的同学，我讲了一次，这个开年第一课。

那么，今年过程当中，我讲的东西叫做什么？叫做深度思考。我讲这个东西为什么是讲这个内容呢？因为在这种当中，我讲了很多同学在这个去年的复习过程当中。你发现他在复习过程当中出现的问题，你比如说你看对吧？思考主动性，喜欢不假思索的就提问问题。都不思考，脑子也不动，反正就喜欢问问题，有问题更希望别人来解答，

反正无论出现什么问题他。他不会去想我这个通过这个知识点，哎，他为什么是这样？我去抠着这个知识点走，他不会的，霍大爷怎么获取这个信息点？更希望别人来总结。别人总结的东西都是相等等，你看到小红书的过程当中，别人总结，哪怕是一个公式呢，明显我上课过程当中总结的已经都给了你，然后接下来过程当中看到小红书里面当中。人家总结的公式就觉得啊，

好厉害，好牛逼。然后在这种当中，你发现遇到难点，立即想看答案，脑子都不会进行去动的，想都不会想。你看这都是很多同学学习的问题，到了最后一模考什么问题都出现了。像这种同学，你发现都是考不了高分的。我明确讲考不了。为什么丢掉这个答案？你会发现你会很惶恐的。大家一定注意这个事情，

研读答案不是能考高分的学生。把答案看懂了，都不是会做题的。你以为你把答案看懂了，就会做题啊？我们的考研的过程当中，是希望同学们能独立自主的做题，不是说给你一份答案好，今年出了这个三十五个题，给你一份答案来，你读啊读读读哎对了。会做嘟嘟嘟，会做嘟嘟嘟，会做哎，好了，

我考了七十分。这不是七十分的选手。所以对于我们同学，一定要注意这个事情，这不是我们的高分选手。它不是考你看答案，你丢掉这个答案的话，你发现你做题很很紧张。很惶恐。做到第三题的时候不确定，然后呢？问号。心里慌张了，慌张的时候第四题都不敢做了，我记得昨天晚上过程当中第九个题。

那么，第九个群里面当中有个同学问了这样的题来，同学们，你们把它给我秒了。那我都不知道一个事情，如果你太依赖那个答案，那你为什么要进行去学习，听这个课程呢？我讲那么多方法，你上课不知道学它干嘛呢？来这个题统计。等于几非常简单等于一。因为你发现一个事情，这是无穷大比无穷大，不一定是你怎么做题，

你抓大头不就行了吗？你一抓的话，在这里面当中趋向无穷大，这一抓是s这一抓s不是一吗？那么，在这里面当中，那个答案写的方法是什么呢？就是上下同时除以最大项那么一除呗，你看一除是这个人。衣橱是这个人行不行也行啊？但是随后那个同学就然后来看这个答案，说那为什么是这样，我早都把这个题做了。那另外一个事情的话，你再来看，

请问一个事情，这是零这是有界无穷，小乘有界是无穷小无穷，小极限是零，那这个东西能不能直接带？然后那个同学就要问了，说为什么可以带亲爱的友友们啊？为什么可以带？你告诉我个事情，你看不懂吗？很明显一个事情，这个同学他没有自己独立自主的做。他肯定没有做。一个事情的话，你发现他肯定没有做，

或者而言的话，上课的知识点不消化下去，过程当中又问的东西，其实都是我们上课讲的。所以这个东西的学习啊，最后你发现这个成绩很难上来。好了吧，这个点我不说了，来继续。好了，同学们继续回来，我们再来看看下面一个题，那这个题我们就讲到这。对吧，你发现一个事情，

自己要多进行去尝试。能不能用你自己先试试呗，你看这个东西，如果是加减法，你看看前后之比是不是负一呗，然后合取对接能不能用呗试一下啊？再来看第九题。啊，第九个题。那么，第九个题的话，你看首先第一个事情在趋向于零的时候，上面这个人一减cos框等价无穷小于二分之一，这个框的平方，那就是tan减去s in。

这个没问题吧？然后接下来过程当中，我们再来看看下面这个人，那这个人的话，你看这是一加上x三次方，然后是三分之一次方。然后这里面当中，你看是一减x三次方，然后只是三分之一次方。那么，同学们注意一个问题啊，你看我做这个题做的多快？那么，这个人的话，上面这人直接等价无穷，

二分之s三次方。你看我的经验，我做这个题的话，会速战速决，而且方向性极准。那么，请问同学们，这个题上面是三阶，请你告诉我，你会还是不会？会不会上面是三阶没有问题吧？我相信每个同学都没问题，那你同学们，你猜一下，请你告诉我，

你猜一下下面是几节？你猜考研的题一般都是存在的，考研的题一般都是上下同阶的，所以我猜都不用猜，下面肯定是三阶。而你发现这个人就跟三阶有关。这个人跟三阶有关，我就创造一个三阶本题结束，你赞同吗？你肯定赞同，那这个时候你发现我就会想到什么情况，这是一加I三次方三分之一次方减一。然后这里面当中是一减去一减I三次方三分之一次方，然后这个时候你去试一下吧，这个之比的极限绝对不是负一直接出来。

直接出来，我是有方向的。所以有些同学你发现你看又出现这个问题，对吧？题目好难呐，这个题应该不会考吧？或者而言，看到一个题的时候，这怎么有人能想得出来？你看看，等你会做的时候，你发现也没有那么难。你知道我的方向了吧，因为我眼睛一瞅，你发现上面三节，

我敢保证下面肯定三节，我一看这个人跟三节有关，我减个一必能出题。一定是能做到。绝对能做题好，这题结束了，听懂了吧？好听明白给我回复一啊。我经验告诉我的。所以像这个题啊，在我们三九六同学当中啊，都算一个难题啊啊，这都算难题。这绝对的难题。好了，

还有哪个题需要讲吗？来再来看还有哪个题目？还有哪一题需要讲吗？同学们。好，再看作业三啊。好作业三。作业三哪个题需要讲？第八题也需要讲吗？哦。第八题就不用了吧啊。这个东西和这个东西之比的极限是负一对吧？那你告诉我，你还能用什么方法？那么，

这里面当中你发现你你是特别讨厌泰勒还是怎么了？我发现有些同学不是这样，有的同学说你发现能出这一个题，遇见泰勒的话，贼开心啊。那你发现首先第一个事情，这个东西和这个东西前后之比是负一。你前后之比是负一在这里面当中，既然前后之比是负一等价，用不了等价，用不了泰勒公式首选，你把它一背，这题不就出来了吗？那如果洛必达不选，我绝对不会洛必达的一洛必达，

这个题非常麻烦，我不建议洛必达。当然，这个题还有一个方法。我再讲讲。首先第一个事情。方法一，泰勒是我非常赞成同学们要用的，我非常鼓励同学们用的第二种方法。洛必达我非常不鼓励同学们用的。这里面当中还有一种方法，你在这里面当中还能怎么办？哎，你看看我遇到根式了吧，我是不是还可以怎么办？

我还可以有理化呀，你看这是二分之一x方加上一，然后这个东西怎么办？减去一减根号一加x方。然后这是等价四次方，我还可以怎么办？我给它上下同乘同乘多少呢？二分之x方加上个一。然后这个人呢，你看我上下同乘一下，然后再加上什么情况，再加上个根号下一加x方。我游离化一下，我游离化一下就变成了你的平方，然后再减去你的平方，

然后这里面当中我们就继续看。当x趋向零的时候，然后这是四次方来看看这个人，这是零，这是一，这是一，所以说这是二非零因子可以淡化。然后再看上面这个人，那这个是四分之一x四次方，然后再加上x方加上一减去一减去x方，所以这个东西就没了。那这个东西没了话，最后结果等于八分之一本题结束。听懂我的意思吗？诶，

这是这个东西。所以说这里面当中的第三种方法，你还可以怎么办？游离化的操作。也非常好，因为我们都知道四化里面当中啊，只要见到根式有理。对吧，见到根式想游离化好，学会了吗？听明白了给我回复一。好了吧，这个是这个题啊，所以有些同学觉得说啊，这个题我讲完了之后也不难了，

对吗啊？很喜欢啊，我来进行去讲这个题啊，但也这个这也不行，下去过程当中啊，增加一下自己的独立思考能力。好座位三。作业三的第八题吗？啊，这个第八题简直跟虐菜一样的题啊。好，我们来看看这个题。首先第一个事情，你发现当x趋向零的时候。我们都知道这个人可以等价无穷s，

这人可以等价无穷s，然后是s加上平方一阶和二阶合取，第一阶取你，然后也可以等价。然后这个时候你发现变成了两亿做差，你告诉我怎么做，如果这个题你没做出来，你很明显一个事情，你上节课也没有听啊。然后这是三次方提后者嘛，把这人提出来一提的话，这是x减去个多少x减去这个s in？然后这人减个一这个前位进行曲e的零是一淡化这人等价一下出来。然后是第五题啊。第五题我觉得更简单。

那么，这里面当中你要有接的感觉，我上节课给你讲了好多遍，你看。这个人是二阶，这人是二阶，同阶之比是存在，所以说看到存在就拆开，我立即就可以把它拆下去。对吧，我立即就把这个人拆出去，因为我一眼瞅过去，这个人是二级，只要加减法当中见到存在就拆开。然后这个题呢，

其实你可以快一点，或者在这个帽子下，你看在这个帽子下是除法零比零，那就可以落一落，这是二s一落，这是es减一。然后这个人呢？这是limits趋向零，这是s方，这是s方，这个帽子下是除法。我们看看它是不是乘除法，看一个帽子下，不要管这个前面的加减号听懂了吗？所以这个结果呢？

那这二分之一这是一等于二分之三。当然，在这里面当中，你也可以把这个东西给记住。哎，你也可以记。趋向零的时候e的s减一减s等价多少？你看把他态度展开，第一项干掉，第二项干掉，留下第三项是你，所以说他等价的是这个人。你也可以把这个记住，你看二阶比二阶存在，二阶比二阶存在，

两个都存在，一拆就出来了，然后在这一步一等价本题结束。也可以。怎么处理都行，所以像这里面当中，我觉得同学们注意啊，你做题的过程当中，你的经验是越来越强。水平是越来越高。好了，像这个题啊，我们就讲到这儿还有没有？还有第几题？没有的话，

我们就下课了啊，这个题。还有没有？没有了是吧？那行吧。那好吧，那么今天课程呢？我们就重点讲到这儿啊，所以下去过程当中啊，好好进行去处理，今天还有作业啊，然后接下来的话，我们就这个呃，年前过程当中我们的课程呢，我们就正式结束了。

然后在这里面当中啊，也祝同学们新年快乐啊，然后的话这个后天的话就刚好是大年三十儿，然后的话再过一天的话就是。正月初一了啊，所以说这个下次见面呢，我们就是年后了，所以我希望同学们这段时间呢啊，如果。你觉得这个前面部分的东西啊，你消化起来没有消化的很好，我建议同学们这个这两天的话，如果有时间，你可以把这个数学部分的东西啊，你再来复盘复盘。

然后再来复习复习，然后该看的东西啊，然后再看看该记的东西啊，把它记到脑子里面，我觉得如果你觉得这个。另外一个事情啊，就是意识的问题，谁都会忘，不要觉得自己笨，对吧？你没有学好的话，不要觉得我画了一个标签说啊，我好笨，我不喜欢这样。其实你发现都是方法的问题，

所以如果在这里面当中，你觉得这个知识点经常会忘，对吧？经常会遗忘，那么同学们你就多复盘，多重复，多来几遍。如果一遍不行，来两遍，两遍不行，来三遍，我相信这个部分的知识点不会说特别难的。好了，同学们，那么今天课程呢，

我们就正式讲到这，然后下次课程呢，我们就是年后了。年后过程当中，我们就继续，然后再往后面讲去讲连续和间断的问题，讲完了之后我们再去讲导数第一和有最最后一节叫做导数的计算。那么讲完之后，我们的零基础提前学的课程呢？就正式的结束了，然后就迈入到我们的基础班的课程好，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后在这提前。

啊，这个祝同学们新年快乐，然后在这个新年过程当中啊，大家啊，吃好喝好，然后的话在这种当中，如果自己有问题的东西啊，你再把它进行去学习，然后明年过程当中啊，能学好。然后恭祝同学们能都能取得一个非常不错的考研成绩，好了，同学们好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿好。

年后见吧啊。

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