04.零基础考点精讲4-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:22:08

呵呵，放的歌啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看看这个二点二三这个题啊，这题做完了没有？写完了没啊？这两个人第一个第二个人的正确性如何呀？好看一下这个二点二三这个题。好，把你的这个答案给我回复一下。啊错对是吧哎，非常好，那么首先我们先看看第一个事情，你发现两人相加是存在。

则两个人都存在吗？那不一定，因为我们都知道存在加存在可以存在，不存在加不存在是未知的，也有可能是存在的。所以说这两个人呢，有可能都是存在的，也有可能都是不存在的，因此存在性不确定哎，所以将来过程当中啊，一定要听清楚这个事情。两人相加时存在，或者是两人相减时存在，这两人存在性是不知道的，那么再来看看下面的问题。

那么第二人说什么呢？他说如果在这里面当中，他告诉我们，你加上这个人存在。对吧，你加上这个极限存在，而且在这里面当中，这个人的极限也是存在的，请问这个人的极限是什么样子？那么，这里面当中非常简单，你可以进行去试一下呗，如果这个极限是不存在。那不存在加存在一定是不存在，那肯定不行啊。

那只能是存在，存在加存在是存在，因此这个人呢，他必须是存在，所以像这个经验性的结论，你也需要把它记住。好，我们来一遍啊，两人相加式存在。其中有一项存在，另外一项必存在好再说遍，两人相加是存在，有一项是存在，另外一项必存在。把这个经验记住，

那么根据这个经验呢，我们可以整理出来非常重要的第一个大招新的方法，那么大家想一个事情，我先告诉你一个经验啊。我们考研过程当中出的这些极限题啊，它的极限结果一般都是存在的，听得懂我的意思吗？唉，你就说考研当中出的极限一般都是存在的。其实我们考研出题啊，一般都是存在的。那么，在这里面当中，我们来看一个事情，比如说如果s是趋向零，

比如说我们在这里面当中出一个题，你看。我们稍先稍微的眼神漂一下，我就问你一个事情，这个极限等于多少？这个极限是一吧。因为趋向零的时候，你发现这个之比的极限是一这个之比的极限是一存不存在，存在我就问你个事情，能不能从这儿拆开？我先说一下这个事情，这不是零啊，这就是一个东西，一个东西，一个东西。

能不能拆？我能不能从这拆开？我当然敢，为什么根据经验走？因为在这里面当中两项相加是存在其中有一项存在另外一项。必然是存在的。所以我在这拆开没有问题啊，我一定可以存拆开，因此我们在这里面当中总结的经验就比别的同学要稍微的牛逼太多了。因为他们心里永远只是一个事情，他说都存在才能拆，而我们呢？我们来看看第一事情，大招方法一。或者以前过程当中我喜欢呢，

把它叫做五星级重点经验一。对吧诶，经验一。这个经验非常非常的关键，尤其在考试过程当中，有的时候你会用你做题会变得非常非常简单，什么意思呢？它的内容是加减法中，只要看到存在。就拆开诶，这是我的水平。我只要见到这个人存在拆出去，只要见到这个人存在拆出去，我不需要保证两个人都存在。这样的话，

你的水平呢？你就升华了，这是一个经验。为什么是可以这样呢？因为我们都知道考研出的极限题一般都是存在的，只要这样是存在剩下这一坨都是存在的。那我拆了就没有问题，那么在这里面当中啊，稍微的要注意一个事情，我把它改成我喜欢的绿色啊，那这里面当中有两个要求，第一个要求必须是什么法加减法？是加减法当中，只要看到什么项，看到存在项，

对吧？看到存在项，你把它拆出去。所以在这里面当中，我们就可以做一些类型的问题，只要在加减法当中，只要见到存在项，你就可以拆出去好，我们来看个题啊，稍微的进行去品一道题。那么这个题啊呃，每年过程当中我都讲经典中的经典题。比如说在这里面当中，这是我们后面过程当中啊，可能求这个渐近线，

我们会用诶求到一道题啊，先不管。那么，这里面当中它是这样，如果在这里面当中只是一的x分之一。然后再乘上x。我再加上五杯。我给你减个s。好了，看看这个题。那么，请问同学们拿到极限第一步干嘛？只要你在考试过程当中拿到极限，只要你拿到极限当中的第一步，我们立即怎么办？

先定型。我就赶紧定型，我就在这里面当中来定下型，当x趋向无穷大的时候，你发现这是x倍的e的x分之一。这是五倍的e的x分之一，而且在这里面当中再减去x好，先来看看你发现这个e的x分之一往哪儿跑？x往无穷大跑x分之一就往零跑一亿的x分之一就往一跑。没问题吧，这个人就往一跑，那这一项是无穷大，这一项是一，所以说这个结果就是无穷大。然后这个结果就是无穷大，

那么同学们想五倍的一呢五倍的一的这个极限结果是几数？15那么在这里面当中，点睛之笔就在何处啊？我们在这里面当中，加减法当中，见到这个存在，项立即怎么办？把它抛出去。所以我首先做的第一个事情不是干别的事儿，不是来进行去处理它，而是首先第一个事情先把这人给我拆开。五倍的这个人给我拆出去。赶紧拆，没有任何的问题，他说老师你只有保证这项存在，

那别的人存不存不管，因为刚才过程当中我讲过考研出的题一般都是存在的，你这项存在剩下的肯定存在。我赶紧拆出去点睛之笔啊，那么所以说接下来过程当中这个题就出来了，来limits趋向无穷，大S提出来e的s分之一减一加上五倍的limits趋向无穷大。然后这是e的x分之一，那么请问同学们当x趋向无穷大的时候e的框，你看x往无穷大跑x分之一就往零跑，往零跑就是框。那么，请问一的框减一是不是等价无穷框？我来问你个事情，这个人可不可以等价？

能不能等价？有人说啊，那后面有加减法，看帽子要看帽子，在这个帽子下，两个人是乘法关系，当然可以。所以说这个人他就等价多少，等价无穷，小于s分之一，然后这是五倍的limits趋向无穷，大一亿的s分之一。所以在这种当中，这是一然后后面呢是五，所以等于六。

你看这个题，俩人都存在拆对了。你看吧，水平点相当的高，而且做这个题的时候，你自己都可以进行处理，每一步的过程当中是有理有据的。对吧，你每一步都是有理有据的，不是说这个题当中啊，唉，我是上课，因为是听到这个事情而怎么怎么样，不是这样。是因为我看到答案是怎么样？

不是这样，我自己都能想清楚，拿到极限先定型定出来呗，存在的抛出去呗。所以这是一个点睛之笔。能理解我的意思吗？哎，下去好好看看。那么，接下来过程当中，我们再来看。这里面当中，我就要教一些经验了。对吧，尤其是我们在考试过程当中啊，

无穷小的问题，我在这里面当中啊，稍微的注意一下。在无穷小问题中，哪些是存在的？尤其是无穷小之比诶，就这样写吧，无穷小问题当中。哪些人是存在的？那这是一个重点，那比如说举个例子，我们在这里面当中，我们来看一个事情，你看之前过程当中，我们学习过无穷，

小的比肩。如果在这个趋向下。你这个人是无穷小哎，你这个人也是无穷小。所以说这两者之间就是个无穷小之比的情况。请问有几种情况发生？第一种情况是不零。如果是零上面是下面的高级。如果是无穷大，上面是下面的低井。如果是一上下是等价。如果是一个不为零的数，它是同形。那么，请同学们你告诉我个事情，

在这四种当中，哪些人是存在的呀？哪几个人？哪些人存在？哎，你发现你看高比低存在。高的比上低的，它是存在的。然后等价式存在同阶式存在，只有这种情况不存在。所以同学们永远注意一个事情，只有什么情况，只有低的比上高的，它是拆不动的。低的比上高的，

他是拆不动的。高比低都能拆，我举个简单例子，比如说你今天再来看你，看这个题能不能眼神漂出来，这个人不能拆。我不是说让你做这个题啊，做这个题太简单了，上面等价无穷，小于六分之x三次方，这里等于六分之一出来了，我让你做的事情是。你能不能一眼瞅出来不能拆？我就要这种水平。对吧，

一眼瞅过去。丑出不能拆开，能不能做到？如果你能做到，请你给我回复个二。诶，就这个点，你能不能做到这个事情？你眼神稍微的漂一下，你就知道这个东西不能拆。我要这个水平。能不能？应该是可以的吧。因为你发现一个事情，拿到这个无穷小问题，

你看看题。这是个几节一节，这是三节，这是一节。那低阶比高阶是什么？低阶比高阶是无穷大低阶比高阶是无穷大不存在的，两个人都不存在是拆不动的。听得懂我的意思吗？要一眼瞅过去，不能猜。什么时候能拆呢？铜解的。等价的高阶的，那么在这种当中，我们可以出一个题，

你比如说我们看看一个事情。那么，在这里面当中，大家一定要注意经验啊，你要眼神漂一下，你就知道哎，这个人能拆开你水平点相当的高。做一个高手s趋向于零。然后这里面当中，这是s in。然后这是ln 1+s，然后这人是e的3 s- 1，然后再加上啊这个。减去一，然后再加上一个tangent x的平方。

好，我们来看看这个题。我不是说你看了答案之后，你说能四则运算，这都不叫水平。我就问你个事情，眼睛漂过去能不能知道这个人可拆？能不能做到？我们要这个经验啊，一眼瞅过去，这个人是可以拆的，我先问你个事情，你在做无穷大的问题，还是无穷小问题？回到无穷大问题还是无穷小问题，

你是不是在做无穷小问题？无穷小问题看接。请问这人是一阶，这是一阶，请问两个同阶之比存不存在？存在可以拆，请问这是一阶同阶之比是不是存在？这是个二阶高阶比低阶是不存在，所以说同学们你发现一个事情，我眼神只要我飘那么一眼眼。对吧，嫖他一下我就知道一个事情，你这个人。存在你这个人。存在。

对吧，你这个人存在。我靠，眼神漂呢。我眼神稍微飘一下，这个东西就出来了，那么接下来同学们，我们来看帽子。在这个帽子下，两者是除法吧，不要管这个人，你做极限是看帽子，你在哪个帽子下是乘除法？对吧，那这个人的话就可以等价s，

等价s两者之比是一。在这个帽子下，两者是除法，不要管别人了，你在你家干事儿。你只要在你的家里面，你是乘除法关系就行好了，这个人这人等价无穷s，这人等价无穷3s，两者之除是三。然后这人等价是s方，这人等价是s，两者一除，这是零，所以说结果是四。

能听懂我的意思吗？所以我希望同学们注意这个题，不是说你从这一步做这一步重要，这不重要。这一步你在之前过程当中就会，我觉得这节课的学习是什么？你的眼型眼神稍微的瞅一眼，你知道这个东西能拆。你就是个高手。对吧，你漂了一下哦，这个人能拆啊？可以拆开呀，你就是个高手。好，

这是我们在这里面当中介绍的重点问题，能做到吧？好，我们再来看个题，看看二点二四这个题。来接下来看这个题。那么，在这个题当中啊，首先我们拿到这题先操作一下对吧？就是已知极限，求解其中的待定参数吧。给了一个极限，等于一让我们去求解a。那么，请问同学们拿到极限第一步干嘛？

啊，先干嘛？是不是先定型啊？这是I四分之一减去I四分之一，乘上es加上a倍的es等于一。好先定型，那么在定型的时候，你看零分之一无穷大。零分之一无穷，大一的零以无穷，大乘以无穷大。然后这人是几？这人是ae，因为e的零是一嘛a，请问同学们这个东西拆出去是不点睛之笔？

因为这个东西是存在的加减法当中，只要见到存在就可以拆出去。那这是经验啊。那么所以说这个极限，结果我们就可以做了，往下面拆一拆的话，这人是多少？只是I四分之一减去I四分之一乘上es。你要没有看出来，把这人拆出去，你做这个题还挺恶心的。你看出来把这个人拆出去，这个题贼简单，所以说这就是高手做题，当x趋向零的时候，

这是a倍的es=1。那接下来过程当中，这个极限里面是不是就可以稍微的整理一下，一整理就是一减一s？而这个极限是a，那结果就是一减a。而我们都知道，上面这人等价是负x，所以说这个结果等于负一，因此这个a它就出来了a就等于几等于二答案选c。你看这个题，要想把这个题做的快，做的简单，做不准，就是首先第一个事情，

把这个a抛出去，是你要做题当中的第一步。这一步相当相当的关键，而且非常的重要，能听懂我的意思吗？有些同学没有拆出去，没有拆出去做这个题就很麻烦。拆出去了之后，这个题就相当相当简单好，这是这个问题。嗯，我在这里面当中啊，我再说一下学习意识的问题啊。对吧，我就知道这个每次啊讲一个题永远都是这样啊，

有些同学说哎，我我就不拆，我不也能做出来吗？你明显知道这是一个更好的方式，你为什么不去学习一下你在学习的过程当中啊？对吧，你稽取一下这个东西，你不就这变得更好了吗？每次过程当中，我这样做也行啊，但是你这样做慢呐。哎，所以说平时学习的时候调整一下自己的意识啊，好了，这时候我在这里面当中啊，

二点二四这个题，那我想半天干嘛？我如果在这里面当中，你发现我也知道这个东西直接操作。但是稍微的麻烦一点点嘛，要会进行去学习，这个学习意识啊，我觉得大家多进行去调整，因为我们我们又不是最后一场考试。我们最后一场考试12月25号，我们现在这个时间还非常的长。你在平时的学习过程当中，不就是为了让自己提高吗？当你学会了一种方法的时候，你发现还有一种更好的方法，

哎，在这里面当中学习一下嘛。偏偏说固执己见，就我这样做，我就这样做，那你这样怎么能进行提高呢？所以要会进行学习啊，对吧？也要进行去喜欢。啊，去学习一些把，比如说一些新的东西，去调整一下自己好了，这是二点二四来继续再来看下面一个题，二点二五这个题。

再来看这个题。那这题也一样。你比如说呃，刚才这个事情你不学。那你做这个题的时候，你怎么办？你这个题的时候，你也会把这个人当做成整体，当做成整体，特别的恶心。你可以去尝试，所以一定要进行去多进行去调整，调整自己的啊，对吧？学学习方法，

慢慢调呗，那么接下来我们继续，我们再来看看这个题。来拿到极限第一步干嘛？先定型，我就想问你个事情，你能不能眼神稍微的漂了一下，请问这是无穷大问题还是无穷小问题？无穷大还是无穷小。那这个题你发现一个事情，当然是一个无穷什么无穷大问题。那既然是无穷大问题，我就问你一个事情，眼神稍微漂一下，能不能漂出来这个极限？

结果是无穷大。能不能我希望建立你这个意识，能不能飘出来？肯定可以漂出来呀，因为我看大头。我大头的话，你发现你上面比下面大无穷大，你下面比上面大是零。对吧，能看出来，所以说在这种当中这是无穷大，这也是无穷大，而这是个b，你最重要的问题是不是要把这个人给我拆出去？把这个东西拆出去，

是你做这个题当中最重要的学习方式。最重要的一个操作性步骤。你把这人拆出去，就会变得非常非常简单，你要是不拆，你放到里面，你可能太恶心了。所以在这里面当中，我们首先第一步，我不会干别的事情，我首先的第一件事情，我就来把这个东西给拆出去。拆出去之后，这个b的极限呢？就是b=0。

那么然后的话，你可以把这个b的这个极限结果移过来，好做成这样。你做成这样了，之后的话，那么接下来我们继续当x趋向无穷大的时候继续看，那这是x+1，然后这是x方减去ax方减去ax。然后在这里面当中，我们稍微整理一下，那这就是limit x趋向无穷大，然后这是x加一，这是x，那就一减去a倍的。s平方减去as=b好，

我再来问一遍，请同学们回答我现在做的是无穷大问题还是无穷小问题？无穷大问题，你在抓大头呢？那么，在这种当中，我们就盯着最大次方数走就行。那么，首先第一个事情，我把这个人拉到一边儿去，我给你放大，我希望同学们把所有的这个注意力都给我聚焦到这块儿内容。好，我们来看看这个人。我先来问第一个事情，

请问这个人敢不敢不为例？敢不敢？如果这个人不为零，上面抓的是这个人。下面抓的是这个人，两者一除除掉一个人，那是无穷大，不会是个数的。你想想是不是？如果这项的话，你看如果这项不为零，这个人被抓掉，这个人被抓掉。那除掉一个人，那结果是无穷大，

怎么会是个数啊？不可能，所以在这里面当中，这一项系数一定是零。那一定是零的话a就一定是一，所以说这一项我就不看了。那么然后再抓你抓的是这个人，你抓的是s，所以说两者一除就是负a，负a=b，那a=1 b=- 1。是不出来了a就等于1b就等于负一。所以我们慢慢进行提高，把这里面当中东西啊，也稍微顺清楚，

所以在这里面当中马上可以看出来a就等于1 b=- 1。跟得上吗？因此这个题的正确答案选几啊a=1 b=- 1哎，你发现你看这种题。呃，就。就比如说这个题能不能出成我们的考研题啊？没有问题，绰绰有余。绝对可以的，这个题出成我们的考研真题没有一点问题，好了，这个点我就讲到这儿，那么在这里面当中啊，讲了半天，

我们其实就学习了一个内容。什么内容呢？在这里面当中一定要注意一个问题，就是我们加减法当中啊，或者乘除法当中都存在才能拆。但是在加减法当中，我们有个经验。只要在加减法当中见到存在的东西，抛出去不要管后面的。因为我们根据经验，我们都知道这项存在结果存在，它一定存在。没问题吧？好把这个思维方式啊，好好顺清楚，

那么这是我们在这里面当中介绍的第一个五星级重点经验。但这里面当中还没有结束，那么接下来下面还有一个问题，这个问题啊，可能会显得更加重要一点，来再来看看下面一个问题，五星级重点经验二。它的名字叫什么东西呢？它的名字叫做非零因子。哎，非零，因此。那么，这里面当中，我们来重点来看看什么叫做非零因子。

首先我们来看看他的名字，哎，名字起的非常的好啊，我一直跟你讲这个中文之华美啊，这个英文之土鳖对吧啊？这个名字起的非常好，你看菲林因子。非零因此两个要求不是一个要求，第一个要求是非零。第二个要求是因子，那同学们告诉我个事情，什么叫做因子啊？你什么时候学过因字啊？你高中初中都学过因子，什么叫因子乘除法？

是吧，所以在这里面当中，它的内容是这样子的，就是如果在这里面当中，我们这是limit一个趋向下。这是一个fs×1个js。哎，这是一个两项相乘的一个极限或相除也一样，我乍一眼瞅过去，发现哎，你的极限是不为零的。存在而且不为零好，我们一起来读一下它的名字啊，第一个要求是非零，你看它是不是非零的？

第二，事情是因此，你看这个人跟这个人是不是乘除法，所以说在这里面当中，在这个帽子下，这个帽子下是乘除法，那就叫非零因子。那非零因子，我就可以把这个什么把这人给先带入计算，所以说这个极限的话就立即变成趋向项，然后这是fs，我直接把你先算成a。哈哈哈。这种情况下可以先算。不要管别人，

就把这个东西先算，直接把这个人算成零，所以在这里面当中啊，我们讲的是什么呢？叫做乘除法中中。非零项哎，非零项可以先算哎呀，你看这个内容。咳。可以先算出极限吧哎，你看这个人对吧？一定要有要求，第一个要求是乘除法。乘除法保证的一个事情，保证你是因此第二事情非零项非零项，

保证你是非零。所以如果你是非零不是因子，那也不行，你是因子不非零也不行，人家有两个要求，人家的名字就决定了这个事情。人家名字决定非零因子，对吧？人家要干两个事情。既要非零也，要是因子。好了，那么接下来我们来看看这个事情，这个东西太重要了。他相当的关键。

非常非常关键，比如说在这里面当中，我们来出几个人先来看第一个事情。limits趋向零。如果在这里面当中，我们写了一个是es，你看乘以了一个东西，乘了一个东西，乘了一个东西，乘了一个东西，乘了一个东西，乘了一个东西。我来问你个事情，能不能把这个es先算成e呀？可不可以？

能不能把这人先算？你看看是不是非零因子？是不是首先第一个事情我们都知道，这个人的极限结果是几？真是一对吧，这个人的极限结果是一。而且你发现是乘除法，乘除法上的非零项非零因子，你把它先算，所以在极限过程当中直接把它变成一就行。对吧，直接变成一，那么接下来我们再来看第二事情。继续来看，这是limit x趋向零，

如果这是cos是吧？这个是这还有好多项。那么，我们来看看这个人，请问同学们，他是非零因子吗？首先第一个事情cosine等于几cosine=1。对吧，这是非零第二事情，是不是因此呢？是因子非零因此可以先算把这些先算成一。啊，这个先算这个事件非常的重要，好，我们再来看看第三个事情，

你比如说我再出一个题，这是limits趋向零，比如说这是es-1-s，然后比上s方。好，我们来看看这个事情，其实这种事情你发现原来大学过程当中见了很多，有些同学是这样做的。他说哎e的零是一啊。e的零是一，那就把它算成一呗，一减一，然后减s比上它那，所以说在这里面当中就变成了s趋向零，然后负s比上s方低阶，

比高阶是无穷大。对不对？同学们告诉我，这种做题方式对不对？啊，对不对？绝对不对？大家注意，这个人不对，你来看看这个人。这个人虽然是菲林，但他却不是因子。对吧，你虽然是非零，但是你不是因子，

所以在这里面当中啊，你要记住一个事情，我们住在这儿。极限中只有非零因子才可以先算。对吧，先算出极限，一定要注意这个事情，极限当中要想先算，你必须保证它是非零因子。你不是非零因子，你不能先算，比如说我给你出一个非常简单的题，你给我瞅一下啊，你比如说看这个题。这是limits趋向零。

然后这是一减cos比上平方，谁都知道这个题等于二分之一，你大学过程当中你有没有见过这种同学？他说，哎。cosine 0是几？cosine 0是一啊，所以上面是零，因此你发现看上面就是零，下面是平方，那这个人一比是零啊。见没见过这种同学？你不要笑对吧？你在屏幕前，你发现你现在而言笑，

你发现你想想原来大一过程当中学习。才开始学极限的时候，好多同学都会犯这种问题。好些同学都会学呃犯这种问题，总感觉自己哇，我极限算的非常牛逼，我算的好厉害啊，其实你发现算的是个鬼啊。那胡乱来，大家注意，这绝对不行。那么，这个地方当中啊，你就发现就胡做题了，这个人虽然是一。

对吧，这个人是一你虽然是非零，但是你不是因子啊。你就不是非零因子，你敢把这个人先算吗？一算这个题就错了，所以像这个先算的问题是很多同学在算极限过程当中最大的一个障碍。非常大的一个问题，所以希望同学们下去过程当中啊，好好把这个事情要严格的扣着规则走。我之前就给你讲，我说数学学习多简单的一个事情。学规则用规则，然后把这个规则变成自己非常熟练的东西。那其实就是学习规则，

利用规则刻意练习这三步啊，我相信你一定会把数学学的非常好的。能不能这样做，扣着要求走人家是什么要求我扣着这个要求走就行，人家明显说的是非零因子才可以相算，你又不是非零因子，你在这先算个鬼呀。所以在这里面当中，一定要严格扣着这个要求，走好我们再来看看这个题。对吧，看看这个题。不是这个意思。不不不，就是因子是什么意思？

就是你要先算的这一项，跟别人是乘除法，你就叫做我的因子。你能理解我的意思吗？啊这这这个这个东西不是跟不是跟s这跟s没有关系，你比如说在这里面当中，我们来出一个题。这是limits趋向零。对吧，这是es。你比如说乘上一个tangent，你看我一个s都不写啊，然后再乘上个s in，然后这是cos再乘上个ln。然后再乘上个多少？

比如说一的s- 1。你看看这个人。那么，首先这里面当中啊，我们先看第一个事情。先看这个人一亿的零是一吧。e的零是一，cos 0是一。首先，这两人已经非邻。非零，而且跟旁边的是乘除法，所以说既是非零，也是因此。我就问你个事情，

这两个人可不可以先算？可以先算成一倍，然后这是tangent，然后这是s in，然后先算成一倍ln 1+s，然后这是es- 1。那么所以说在这里面当中，我们就立即可以看当s趋向零的时候，这个人等价s等价s等价s等价s，所以说这个人结果一。听明白我意思吗？就是先看过去诶，非零而且跟剩下的人是乘除法，大家注意我们学东西啊，我们要看帽子在哪儿？

在这个帽子下，他们是乘除法，他就可以了。只要盯着这个帽子走，帽子在这儿呢，帽子很重要，帽子下面的趋向影响着这个定型。帽子这个东西在哪？它指引了你，会发现你去看乘除法，你怎么看乘除法，你就要看帽子在哪？对吧，就就像刚才那个题一样，你这是个极限，

你这又加了个极限很多说，那你虽然这个a和BC和d这是乘除法，但后面还有不看。我只看帽子在哪？这个帽子就管这个人。是不是这个事情要想清楚这个问题？好了，那么接下来我们来看看能不能把刚才所学习的所有的水平呢？我们用出来。我通过一个例题，我希望同学们把这个思维方式的逻辑知识学习的这个架构建立起来。好，先来看看这个题，把这两天的内容我们梳理一遍，请问拿到极限的第一步先干嘛？

先定型。你来发现一个事情，这一项是零。一加这个人一，这是二。然后这人是零无穷小陈有限无穷小，这人极限也是零，所以在这里面当中，它就是个零比零型的未定式。其实你在定型的过程当中，你就能看出这个人哪项是非零的，既然是零比零型未定式，而且我在定型的过程当中，我就看到了这一项。这一项极限结果是几？

这一项极限结果是二好，我们一起来看这一项跟这个人是乘法。上面的整体是除法乘除法中的非零项，非零因子，请告诉我个事情，可不可以先算啊？是不是非零因子啊？有的说啊，这块儿有加法不不不是这样，这个人跟这个人乘法，上面这个整体是除法。对吧，可以先算，因此把这个人淡化成二。然后这个人。

可以等价乘s，然后这个部分是三倍的s in，然后这是s方再乘上coss分之一。那么，接下来我们继续，我们再来看，请问同学们，我们是不是在做无穷小的题啊？无穷小的题你来瞅一下，这个人是一阶，这个人是一阶，这一阶比一阶存在还是不存在？存在的那把这个东西就可以拆了，那说后面呢？不管加减法当中，

只要见到存在就可以拆开，因此这个人就变成多少？变成三倍的sin x比上2x。然后下面这个人呢，就变成limits趋向零除一下二分之一，然后这是s乘上cos分之一。那么所以说在这里面当中，你现在看这个事情，现在在这个帽子下，这个帽子下，两者是除法，那就可以等价，等价成这个人。然后这个后面这个部分立即就变成二分之s coss分之一，继续来看第一个极限二分之三。

无穷小乘有界，无穷小无穷小极限。是零，你看都存在拆对了吧？等于二分之三。你看这个题，通过这个题的训练，我在做题的过程当中，我就梳理清楚了，拿到极限先定型定型出来，这种非零项稍微的注意一点点。对吧，这种非零向有可能就是非零因子，我说有可能稍微的注意一点点，如果是乘除法中的非零向非零因子淡化了。

然后再来看看无穷小的问题，稍微瞅瞅及加减法当中，只要见到存在拆出来，那这样的话，我们所有的这个方法体系就学完了呀。好，这个题啊，掌握清楚给我回复一。你的每一步都是有理有据的，对吧？你不是胡乱做的，每一步都是有这个基本的知识点的支撑的。每一步都是这样。好了，那么这个题目我们就讲到这儿啊，

基本问题点呢，我希望同学们能够梳理清楚，那么接下来我们就来看看下面一个专题的问题了。我们已经上了这个两三次课程了，那么在这几次课程当中啊，我们都在干一个事情，都在学习极限问题的处理性的方法。对吧，我们学习了，等价无穷小的方法，我们学习了泰勒公式的方法，我们这节课学了洛必达法则的方式。我们学习了四则运算，我们学这些东西在干嘛呢？我们其实都是在为了七种未定式基建专题计算做服务的。

我们所有的事情都是为了这个专题的计算，所以接下来过程当中啊，我们之前过程当中都是分着讲。就一个方法，一个方法的讲讲，这个方法讲那个方法讲这个方法，那今天过程当中干嘛呢？我们就需要把这些方法形成一个非常完整的体系。将来过程当中啊，我们来进行去处理考研当中的未定式的题型，因为考研过程当中如果出题啊，基本上都是未定式。来一起来，把未定式来背一遍，第一种情况零比零无穷比无穷。

零乘无穷大无穷，大减无穷大一的无穷，大无穷大的零和零的零。大家注意，考研的过程当中啊，总共只有这七种规定是极限。对吧，有这七种，那在这七种当中啊，对于我们三九六同学而言，考的比较多的仍然是这几种，零比零呐一的无穷大了。无穷大减无穷大，这几种是考的最多的。哎，

这几种那么接下来我们一种一种看吧，首先第一个事情先建立一个方法体系，先来看第一个问题点。那么，在这里面当中啊，我们都知道拿到一个极限，请问同学们第一步干嘛？拿到极限第一步，当然是来先定型啊。对吧，当你拿到一个极限题的时候，首先做题的第一步就是来定型，我们建立了好长时间的这个体系呢。先定型把型先定出来，如果这个型的话，

你发现它是一个什么极限，它是一个已定式极限。一定是极限的话，我们就可以怎么办？代入求极限。直接把人带进去，带入进去极限，结果就出来了，所以这是我们在这里面当中处理，一定是极限当中的重点方法代入法。但是我们都知道，通常而言，我们考的都是什么试，通常考的都是未定式。因为极其喜欢考未定式，

所以在这种当中定完型了之后，基本上都是未定式。那未定式就着急着选方法吗？不要着急，比如说在这里面当中，我们来看一个题。我来写一个题目，你来看看这个题怎么做？s趋向零三次方，然后是s-s in乘上cos。啊，看这个题。看这个题怎么做？咳咳。呃，

这里面当中，我们先来看看一种同学的做法。拿到极限，当然是先定型，对吧？你定一下。你定型完了之后的话，有些同学是这样做，说当趋向零的时候，这是三次方cosine 0，这个结果不是一吗？所以说在这里面当中，你发现当x趋向零的时候，这是三次方x减三，以六分之一x三次方，

所以说这个极限结果等于六分之一。同学们告诉我对不对？你看当他做完的时候，他觉得哎呀，我好优秀，我好牛逼啊，对不对？废完了。那这个题啊，你发现就错完了，原因在何处呢？他是不是把这个人给先算了呀？对吧，你把这人先算了。你虽然这个东西是非零，

但是你是因子吗？有同学说啊，你看这人是乘法，前面还有减法呢。我要的是这个人跟所有人之间构建成乘除法关系，那么怎么去判断呢？你把这人抽出来跟剩下人是乘法就行。或者处罚。它不是非零因子啊，你只是非零不是因子，不能先算。哎，绝对不能那么接，所以说接下来过程当中我们怎么处理呀？第一件事情等价无穷，

小带换做不了。那如果泰勒公式给这个s减，你展我也展，太麻烦。他的公式太麻烦。洛必达法则呢，也太麻烦。所以在这里面当中，你发现我用别的方法非常的麻烦，那我怎么处理呢？我们再来看看这个事情。大家想诶，这是一个sin cosine，你碰到有什么感觉啊？一个s in和cos碰到一起，

你什么感觉？你如果是高中同学，你立即就有感觉二倍角公式。那么反而你发现上了这个，到了考研过程当中，有同学这个定时思维能力弱化了些，立即变成多少二分之一s in二x嘛。所以首先第一个事情，这个题的做题方法不要着急着洛必达，不要着急着等价，不要着急泰勒，你先把这人进行一个二倍角。处理，然后在这里面当中，你就会发现一个事情，

你上下怎么办？你就可以同乘了，同乘一下的话，这边就是2 s-s in 2s。来这个时候你就可以看，请问当s趋向零，这是不框。当x趋向零，这是个框来一遍框减去s in框六分之一，这个框的几次方三次方。所以在这里面当中，立即就可以做了这个部分的东西，就变成了六分之一，这是多少？这是三分之四倍的x三次方。

二倍的x三次方三分之二。是不是这个问题，所以在这种当中，在具体的确定方法之前，不要着急着先做。我们应该先干嘛呢？应该先进行去化简一下。对吧，用一下我们的这个学习的一些方式，继续去化解一下，不要着急着先把这个极限算出来。你先进行化简一下，等你化简完了之后，然后我们再来进行怎么办？具体的确定这个人的极限。

所以最后一个事情，我们再来怎么办？确定这个极限的方法。对吧，到了最后再化啊，这个确定方法，所以说首先在具体的确定方法之前先来进行去化解。根据这这么多年的考研真题啊，哎，对吧？这么多年的真题包括数一数二数三的。就根据这么多年的真题，我们进行去化解，无外乎最后高频的重点的，无外乎只有四种化简型方法。

当然，我我们说总结出来的比较高频的化简方法，我给你总结一下，因为化简方法太多了，但是在这里面当中，你发现一个事情常考的。对吧，比较重点的总结出来的，其实你发现只有四画。四种化简方法。我们核心重点而言的话，我们总结出来的四种化简方法。根据这么多年的考题。因为它非常高频，哪四种呢？

首先第一个事情先来看看有没有非零因子可以淡化。对吧，你看这是第一件事情。我先看看有没有非零因子啊，因为这个考的多，如果有先把它淡化第二事情，那么这些当中还有根式游离化，对吧？遇到根式，你可以进行游离化，第三个事情，如果是加减法中。存在性可拆换。这种也考的多，我们在加减法过程当中，

我见到存在我把它拆出去，我加减法当中只要见到存在，我就拆出去，你看刚才做了好多题，都是有这个人。那么最后还有一种情况，你把这个东西先给我放到这儿，所以说总结起来，其实而言学了这么多，我们最后而言就是这四大种化简性方法。烤的比较多。当然，除此之外的话，还有好多化简方法，我们只不过说这四种方法用得多，

考得多。能听懂我的意思吗？好，先定型后定法，定法之前先四化啊，就是先定型后定法，定法之前先四化，先定型后定法。定法之前先思款啊，这个念念不忘，必有回响啊，这个多来几遍，你会发现这个东西啊，你会顺的非常非常的清楚的。所以接下来过程当中，

我们再来看看下面一个确定方法的问题。那么，这个确定方法最后有几种方法可供选择呢？第一种方法等价无穷，小代换。第一种，第二种泰勒公式的展开。第三种洛必达法则。还有最后一个事情，四则运算法则。那么，所以在这种当中啊，我们现在而言有这四大种确定性的方法，你可以等价，你也可以泰勒。

你可以洛必达，你可以四则运算，这对于我们三九六同学绰绰有余。对吧，臭处语第四种方法，我让你先放到那儿，不要着急，等会儿再讲啊。所以在这里面当中，你要注意一个问题，这四种方法我们在这里面当中啊，具体进行去确定啊，上课好好听讲，我在这里面当中，我刚才都说了，

我说一会儿再讲。这个上课注意力一定要集中一点。好了，所以说我们的确定方法就重点有这四大种等价。泰勒洛必达四则运算，这对我们考这个三九六经济类联考同学，我相信啊，没有任何问题。绰绰有余的好了，这个问题点呢，我们就说到这儿，那么接下来我们就可以正式的开始了，我们一种未定式，一种未定式来讲。对吧，

一种一种的来讲，把每一种未定式的确定性的方法，做题的方法，我们都来进行去重点的来讲一下，好，我们先来看看第一种。啊，这节课有可能只能讲一种。啊，我们这节课先讲一下零比零，那么首先我们先来看看第一种微粒式零比零型微粒式，那么请问同学们，你看到零。这个零是你初高中所学的那个零吗？它不是的，

它是在一个极限当中有两个函数，这个函数是零，这个函数极限是零。所以说它是零比零。对吧，所以说它是零比零，它不是说你这个一个零比上那个零是从小到大学那个零不是的。它是两个函数，这个函数的极限是零。那这个方法有哪些呢？首先第一件事情你是不可以用，等价无穷小代换。能不能用？当然可以用，因为是无穷小问题，

零嘛，极限是零无穷小问题，当然可以用第二事情，你还可以使用态度。用不了你就抬灯，第三件事情当然可以，洛必达第四件事情可以，四则运算，不是说我把那四种方法抄一遍，那确确实实因为这种题啊，每种方法都能用。对吧，它确实是每一种方法都可以，所以接下来过程当中啊，我们来看几个题，

我们先看看三点一这个题。你看这个题啊，完完全全就考给我们的题，没有任何问题。你比如说我们今年考研真题的第一个题，就考这个题。没有问题的。来看这个题怎么做，请告诉我个事情，拿到极限第一步干嘛？先定型来定呗，那下面这个结果是几下面是零？cos 0是几一罗音一是零，所以说这个题是个零比零型未定式，你先去看看有没有非零因子啊？

没有的。它没有非电因子。cos in 0是一，但是ln ln 1是零，它是为零因子。没有非零因子加减法当中，也没有存在项，也没有根式，就先别管了，没什么可化简的，那就确定方法呗。那确定方法怎么做？那么在这里面当中，我们先看看第一种方法。那当然可以，

洛必达呀。对吧，你可以。我落一下就出来了，但是洛必达这里面当中有一个问题点啊。那么，这是lncoss比上平方，这里面当中有个问题点，上面这些人你会求导吧？啊啊，这是个高中知识点啊，来我们求导一下，这一求导是2s。然后这个上面求导，上面不好求，

上面贼好求啊。这是一个初高中，初中这个高中那种对吧？你高中考的非常简单，来先对中间变量求导分之一。中间变量求导负三会求吗？啊，这会啊啊正题。嗯，行吧，行行行啊。呃，这就如果不会求啊，这就太零基础了，那没关系啊，

反正我们后面过程当中，我们也会讲求导的。起码后面我们会讲求导，所以说今天过程当中这个听懂了就听懂了，没有听懂我们就到后面再说，然后在这里面当中当x趋向零的时候继续，那就2x。s倍的coss，然后这是负三。是不是这个问题，那么接下来你看这个人就可以等价无穷小S，然后请问同学们这一项是什么？括在零是一。cos 0是一，而且是乘除法，

非零因子可以淡化。所以说这个极限结果立即出来了，就等于负二分之一。对吧，就等于负二分之一好，这是我们在这里面当中介绍的第一种方法，那你根据这种方法也可以处理啊，没有任何问题，只要到了最后你能把这个题做出来是比什么东西都有用。好，这是我们讲的第一种方法来继续看。还有没有别的方法？那有那这其实是我们在考研过程当中啊，考的非常重点的一种题型。第一种题型什么题型呢？

就是ling一个函数的题型。哎ling一个函数的型的题。另一个函数，而且得保证这个函数是趋向于一的。大家想l一个函数里面是一这个结果才是零吧。所以ln一个函数趋向于1 ln，这个结果就是零，那我想问你个事情，它是不是无穷小？这人既然是零，就是无穷小，我想问一个事情，罗音的无穷小，你最喜欢哪个罗音的无穷小？喜欢的是一加上什么？

所以在这里面当中，我们就怎么办？我就在这里面当中，一+1个人，我再减一。然后这个部分的东西，你发现它是不就是零呢？零就是框，所以在这里面当中立即等价无穷，小于框。那么，这个内容就出来了，请记住一个事情，如果罗印一个函数是无穷小，里面肯定是一满足等价的时候，

罗印这个函数立即等价无穷小于这个函数再减一。当你能满足这个等价的时候，所以接下来过程当中，我们就来看看。你发现这个人是零比零吧，这个函数是无穷小，里面绝对是一，请问同学们这个东西符不符合等价的要求？符合以为两项式除法符合等价的要求，一起来看撸印一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数减一。然后是这个人，所以说这个人呢，你发现立即出来了，

他就可以等价无穷小于负二分之s方，然后这个结果出来等于负二分之一，这才是最快的。因此，同学们，我不希望每个同学都去背里面加个一减个一，太慢了，直接从第一步一步到最后。听懂我的意思吗？直接从第一步一下下来，一步到位login一个函数，如果是无穷小，里面肯定是一。如果满足等价罗印一个函数趋向于一，立即等价无穷小于这个函数再减一。

记住这个问题诶，只要这个人是无穷小，里面肯定是一。只要满足等价螺纹，一个函数取向一立即等价无穷小，这个函数再减一，这才是最快的。而且像这种考点啊，我们在最近几年的考题，我们也考过。虽然考的稍微容易一点，都是这种题型，那么接下来我们再来看一个题，你来做一下三点二这个题吧。看一下这个题。

能不能把这个题给秒了？我相信绝对可以秒了哎，这个题啊，你是绝对可以秒的。首先第一个事情拿到极限先定型，你发现下面这人极限是零。对吧，这是零，然后这个部分的极限是一能看得懂吧？你像趋向于零的时候s in比s极限是一，这没有任何问题，那这个是一的话，ln 1是零往上一放，那就是零比零。对吧，

你把录音这个东西往上面一放零比零。来，我们一起来看解第一个事情，请问录音一个人是零，里面是一跟着我来走啊。罗印一个函数趋向于一，立即等价无穷，小于这个函数再减一。没问题吧，直接做直接写这个函数再减一，然后在这里面当中，我们继续看，这是三次方，然后这是s in-s。那么，

这些人等价无穷，小多少负六分之一，还是三次方本题结束负六分之一？你知道这个题在往年的真题当中考的是多少分儿吗？啊，这是道十分的大题啊，这些考的真够水的。所以你看这种题啊，真的就叫会者不难，难者不会。所以学习这个东西都是这样啊，就是会者不难，难者不会。你要真是会呀，哎，

你发现真不难。你要是觉得这个要不会呀，怎么出你都觉得难哎，会者不难，所以这个题做起来非常非常的简单。那么，我们在这里面当中，我还好我们看到这个今天的话，这个屏幕呃，这个弹幕区当中还没有同学来问，说老师我们在考试过程当中，能不能直接用？啊，还好没有同学问啊，首先第一个事情你说明一个事情，

你知道你是个三九六的考生了。你是个三九六的同学，全部都是选择题，又不管过程，你写了怎么办好？这是第一个事情，第二个事情。就算是数一数二数三同学用了，也都是满分。没有任何的问题的，所以很多同学都在纠结我能不能用啊，我用了会不会扣分啊，你放心吧。等到你将来过程当中，把这个极限学的非常好的时候，

你再回过头来看看这些极限题的时候，就像你曾经学了六年级的时候，再去看二年级的题。改卷老师就是这样，改卷老师进行去看你们做的这个题啊，就像一个六年级的学生去看二年级的学生做题。就这就发现你就直接写就行了嘛，你比如说原来一一年级的时候学一+2，还要写成一+1再加一这事儿，这等于几等于三？没有必要直接都出来了。说你在那纠结什么，你直接写不就行了，还有这里面当中什么一+2+1。你纠结什么，

直接写就行了，不就是四吗？还什么括号的东西。就像这种感觉，所以一定把自己的水平段位啊拉上来，还是那个事情，会者不难。哎！会者不难。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看三点三这个题来继续看这个题。继续操作，那么请问同学们拿到极限第一步干嘛？请问达到极限第一步。

先干嘛？先定型吧，一的零是一，一的零是一，一减一是零，下面是零。所以说首先第一个事情，你发现拿到这个极限的话，这是limits趋向零，然后这是e的tante的s，然后下面等价无穷小于二分之s，三次方能看懂吗？我相信没有任何问题，那么这个题怎么做呢？我们这里面当中看看这个事情。

有个同学是这样处理的。说当x趋向零的时候，这是二分之一x三次方，然后这是e的tangent t，它说e的零是一呀。然后在这里面当中，我们就可以操作了，他说这是二分之一s三次方。那么，碳正体零是零那零，所以说一的框减一等价无效框，这个等价无效s。他说这人是一姐，这人是三姐，一除最后的结果是多少无穷大。

对不对啊啊？对不对？胡乱做题。哎，瞎做，你做成这样，你还不如把它做成一减一呢，照你那样做的话，你就直接写一减，一一减一，上面是零，上面是零一，除以最后结果是零算了。你做这么辛苦干嘛？大家注意，

不能这样做。因为这个东西虽然是非零，但是它不是因子。所以说这个东西不是非零因子，不能先算这不对的。那么所以说在这里面当中，我们怎么办？我们接下来继续看。一亿个东西。那一亿个东西在无穷小当中，你特别喜欢干嘛？喜欢的是不是减一呀？喜欢减一的话，那么在这里面当中，我们就可以看有个同学，

他是这样做。那你既然喜欢减一非常简单，我减个一再加个一不就行。然后进行等价，那么请同学们告诉我能不能啊？你可以试一下，你把这个人。和这个人前后做个比，求个极限看看。那这里面当中是e的tangent减一，然后是一减es，所以在这里面当中，我们来看看这个事情，当x趋向零e的框减一等价无穷小框，然后这是负s，

你看这是负一啊。你前后之比的极限是负一，所以说同学们注意你做到这一步还是做不了。你根本做不了，所以说这一步也有问题。你如果这样做，你自己就穷途末路了，那因此这个题我们到底应该怎么办呢？那么接下来我们继续，我们再来看看这个事情。对吧，再回到这个题，那究竟应该怎么做呢？那么这些是是我们在考试过程当中啊，非常非常重点的第二种题型，

你放心啊，今年过程当中我们依然是重点。绝对的黄金重点叫做200000000做差体系。对吧，两个异组做个差。那两翼做差梯形怎么做呢？刚才过程当中啊，我们都知道诶，这个人喜欢减一没有问题。对吧，喜欢减一，没有任何问题，所以在这种当中我们可以怎么办呢？怎么样才能创造一呢？加一个一减个一肯定不行，

我们不喜欢加减法啊，拉格朗日等会儿别别别着急，还没学到那儿就不要不要这样。那怎么操作呢？你喜欢移，那我怎么办？把这个人给提出来。提出来行不行？我一提的话，这个人就变成什么同底数幂相除指数相减。变成了这个人。诶，这不就行了吗？一什么简易漂亮，而且这是乘除法。

所以像这个类型问题，它就非常简单了，因此两翼做差的题对于我们而言，首先想到什么提出后者。把这个后面这个东西提一下，然后同底数幂相除指数相减，你减它，然后再减一二分之一I三次方。然后在这里面当中，我们先看第一个事情，你看看这个人。那这个人是一，而且跟后面这人是乘法非零因子，那现在是非零因子可以淡化成一把，它先算成一没问题。

然后再来看这一项是零，这一项是零的话，你发现一亿的框减一等价无穷小于框。所以在这种当中，前面这个人淡化完了，后面这个人等价成这样，然后这是二分之三次方等价无效，三分之一三次方，因此就是三分之二本题结束。你看这一题就可以，所以在这里面当中啊，一定注意两翼作差可以怎么办？提后者。我希望你要养成定时思维啊。这不是别的养成定势思维，

就只要将来过程当中啊，我们只要在考研过程当中见到这种题。对吧，你只要见到这种200000000做差的题，你都不要去想。不要给我有反应，我见到两亿做差什么加一减一什么干这干那什么，这样操作那样操作，不用想两亿做差提后者。只要提出后者本题解除。对吧，你的方向性是非常准的定时思维。不要别的想，我在这里面当中啊，我再配上我喜欢的绿色，

显得它极其的重要啊，红配绿对吧啊？啊，所以说在这里面当中要养成定势思维，只要见到两个因素差提后者提后者，这是你的方向性。好了，这是这个问题，点听得懂我的意思吗？比如说在这里面当中，我们再来看个题。那么，这里面当中，我们出一个这个，比如说这是零。

这是limits趋向零，然后这是多少一亿的cos- 1比上多少呢？比上一个sins方。来你看看这个题啊，这个题啊，完全可以作为我们的考研真题，一道两分题没有任何问题来，同学们注意我们来操作一下。来解拿到极限先定型e的零是一啊，对吧？什么这是cos 0是一，然后ee- 1，这是零零比零型未理式，赶紧告诉我怎么处理？先把下面挡下了。

那这也是200000000做差呀，这是一的一次方嘛，200000000做差提，后者提一下，然后是cosine再减一再减一。是不是这个问题，然后这里面当中你就继续当x趋向零，这是平方，然后这是一那这个时候你发现看你这个人不就是零吗？一减一是零，所以说它等价无穷，小于cosine减一，那因此在这里面当中就是limit x趋向零，然后这是平方，这是e，

这是负二分之一s平方，因此等于负二分之一。那这就出来了，你的方向性是非常准的，不要跟我去想别的了。对吧，不要去想别两翼作差就提后者。另外，事情我来说一下，多说两句。呃，我们才开始有些同学过于的这个着急，你比如说这个今天过程当中，包括刚才课间休息，我然后看了一下微博，

然后看了一下那个群里面。有个同学问的题啊，当然你们现在做不了，那是数一数二数三同学的题。我在强化班的过程当中，我是讲啊，这个是我在基础班的过程当中，就是前两天的课程，比如说他今天问的问题，应该是我在前天晚上讲的。我讲了一个内容，原模原样的题，一模一样的题，到了今天过程当中又发到群里面说啊，这个题怎么做？

哎，你没发现这就是学习上的误区吗？对吧，学习上的误区嘛。那么，首先第一个事情你都不知道，我们曾经讲的这个题，这是无限大的悲哀呀。第二，事情前两天才做的题，今天过程当中就不记得了，这也是一种悲哀呀。所以我一直给你讲一个事情，我们不在乎，要求同学们做多少题，

我们在乎的是你做一个题稳一道题，就算做错了，只要保证下一次见到能做出来就行。能不能保证这件事情？所以有些同学一直在做大面积的题，你看在这里面当中很多，这个基本知识点他都掌握不清楚。你这就是学习上的问题，所以将来过程当中，我为什么在这件事情当中想到这个事情呢？因为。前两天过程当中，我在上数一数二数三同学的这个基础班的时候，我们又一次在基础班的课程当中讲到两易错差。呃，

我来说一下这个事情，我应该是前两天的这个课程，我讲的这个题。这是数一数二数三同学，他们的这个极限题当时过程当中我讲的这个题。我讲到这个题的时候，当时在这里面当中，我们说看到这个东西不用多想，提后者，你看我写的这个方法，跟我们写的都一模一样，写到旁边。当时上课的过程当中，有些同学就问了，哎，

老师为什么不能加一减一？你看吧。不信我们等到这个基础班的时候，我估计有些同学又会问这个事情了。所以我希望同学们一定注意一个问题，学一个题要稳一道题。好，不多说了，这是我们讲的第二种题型，再来看下面一个事情，三点四这个题把这题讲完，我们今天课程呢，我们就下课。好看看这题。那么这个题啊，

我相信我们在上节课过程当中啊，已经建立了经验了，你们还记不记得一个题？说是五+x^2开方再减去根号五的那个题。200000000做差还啊，两根号做差还记得吗？当时那个题我们是讲过的来，我们继续我们再来看看这个题。拿到极限先定性一定，这是零比零。对吧，零比零型未定式。那这里面当中啊，有些同学非常的秀啊，他怎么做呢？

他说当x趋向零的时候。那这是x三次方，然后在这里面当中，这是多少一+tangents？然后这里面当中，这是二分之一次方，它说后面这个东西，你发现它不就是一吗？所以说这个结果等于一。因此，在这里面当中，他就说，当x趋向零的时候，一加框的阿尔法次方减一等价无穷，小于阿尔法框一阶比高阶，

这是无穷大，对不对？咳。对还是不对？那么，请同学们告诉我，这样做对不对？哎，绝对不对，大家注意啊，这绝对不对，你看又犯问题了。虽然你非零，但是你不是因子，你不是非零因子。

好，这是第一种做法，然后在这种当中啊，你发现还有算了，我这个题啊，我就不写不写别的了，我就来写写这个一些同学的做题方法，还有同学。他说老师，你看那我这样做。这不是一加上t an ENT的二分之一次方，我给它减个一，我减个一，我再给它加个一，然后这是一加上sin x的二分之一次方。

然后在这种当中，他说什么情况，我把这个前面这个部分。和这个后面这个部分进行去等价了，请同学们告诉我对不对，你可以尝试一下，在这个极限里面。你把这两项做比。一加tan二分之一次方减一，然后这是一减去一，加上sins的二分之一次方。那这个时候你发现一个问题，在x趋向零的时候。上面等价无穷，阿尔法框下面等价无穷负的阿尔法框，

两者作比极限是多少负一？哎，你看看这个时候你发现你的加减法就不能怎么办？加减法就不能等价了，你这样一做这题又废了。所以说这种方法肯定也不行。很多同学又来了，他说老师，我记得我们有最后一个泰勒公式，一+x的阿尔法次方啊。所以说在这里面当中有一加上s的二分之一次方可以态量展开呀。对吧，我可以泰勒展开啊，那这个时候你发现看这里面当中有个一加上tan二分之一，一加上s in的二分之一。

我来把这两个人展开，行不行？等价用不了，我就把这两个人进行展开。同学们告诉我行不行？行，可以，你如果进行去展开，那是没有问题的，但是同学们注意展开，稍微的会麻烦一点点。大家其实都知道上下如果是同阶，你就得把这个人斩到三阶，太麻烦。所以说在这种方法当中啊，

你发现是可以。但太麻烦。对吧，太麻烦，那么在这里面当中啊，我们就不选，所以像这种类型问题的方式啊，非常的多，尤其对于我们而言，我们要快准狠。所以你如果这样做，那就简直就废了，因此同学们不要这样处理，那这个题到底应该怎么去做呢？哎，

非常的简单。我们怎么处理两根号做差嘛？两根号所差。只要见到两根号做差，我脑子转都不转，立即游离化。所以像这里面当中的问题啊，它其实就又是一个定式思维的问题了。啊，只要两根号做差做差。立即游离化。只要你在考试过程当中啊，你见到什么情况，你只要见到两根号做差的问题，不要去想，

立即怎么办？有理化。所以在这里面当中，这又是我们的一大非常重要的定势思维，极其的重要，只要见到两根号做差，立即有理化。而且同学们这个题进行有理化，你能看出非常非常多的优秀的一些做题特征，你来看看这个事情，我们来解。首先第一个事情，我们来进行去有理化一下。这是三次方，那这个人就是根号下一+tan加上个根号下一+3。

同学们，你想想一个问题。一减一是零。请问一+1还是零吗？那当然就不是琳了。你一减一是零，一加一再是零的话，那就是废了，对吧？你一加一就不是零了。那一+1这是几？这是二。o，那这项的东西跟这个人是乘法，上面是除法，

它是个非零因子。所以你想一个事情，油粒化进来了，一个进来了，一个废物。游离化进来的一个费用，而且同学们游离化了之后就变成你的平方，减你的平方，而且还能把根号给开掉。所以两全其美啊，两大好处，一大好处是根号没了，一大好处是进来这个东西并没有把这个题变得非常的麻烦。而它是个非零因子，直接淡化了，

所以说这个题我就立即变成什么情况，就变成了美塔s趋向零，然后这是二倍的s三次方。然后上面这个人呢？那么你都知道抛一个这个tangent，这是等价二分之x三次方这个题我不讲了吧？你要问我为什么，我还想问你呢。你像这个东西，我们上节课讲吧，把人提出来，等一下我说让你记住，稍微的话在这里面当中学的东西啊，一定要会。你看多少同学都是这样啊，

这个有些同学上课过程当中啊，真的是听课效率不是说特别好，你下去一定要整理啊。等价之后，在泰勒展开。哪个？啥意思啊？我没有听懂。什么叫等价之后在泰勒展开，结果又是一样的。哪哪个题啊？你说的是哪个部分呢？呃，你说的是这个三点三错误的点还是怎么样？诶，

把你的问题问清楚啊，这个。加一个。捡一个。不不不，是不是。你就算这个题当中啊，你发现答案对的也是错的。你注意这个事情，你答案对的也是错的。你说这个人吗？他不能等价，你为啥等价呢？不是这样的一个问题，就说你在这种当中等价，

它不能等价。它不是等价的问题，它就不能等价。你等下无穷小了之后的话，这个结果是。这这个下面这个部分是三次方，上面是二分之一，这个这个人你其实就做到这一步，他就不能等价。那这种方法的话，东西就是你用了错误的方法，你做出了正确的答案，你照样是错的，你这思维方式就有问题。它不能等价，

不是说等价了之后怎么样？你能理解我的意思吗？他就没有那一步，不是说我等下了之后我做对了诶，那是什么情况？他就不能到这一步，你首先第一个事情他就没有办法到那一步。跟得上我的意思吗？哎，注意一下这个事儿，因为我们验清楚了前后之比的极限是负一哎，这个点。好了，那么今天课程呢？我们的核心内容，

我们就重点讲到这，然后到了下节课。大家注意下节课，那么下节课的话，我们其实就它是这个意思啊，就是这个人等价一下就是二分之一tan。这个人等价下是负的，这个什么负的二分之一s in，然后这个二分之一抛下去就是二分之一tangent减s in。所以说做出来的结果跟四分之一是一样的。是这个意思哎，注意一个问题啊，它的核心重点不是那个事情，它的核心重点是你就不能把它等价成二分之一探针题，不能等价成二分之一s in。

好，这是一个部分问题呃，这个作业啊，我基本上不太会讲，然后的话这个。零基础提前学啊，作业我可以稍微的解析一下，然后到了这个基础班之后啊的作业我都不会讲的，如果大家有任何的问题啊，你们可以进行去。然后的话去私信一下这个助教，然后在APP当中啊，然后进行去问助教，本来我们这个课程的这个体系啊，这个课程的内容已经很多了。

所以说我们这个正课里面当中啊，是不包含这个作业，这个部分的讲解的能听懂我的意思吗？呃，只不过是什么情况呢？如果你们在做作业的过程当中，我在这个有的时候你们自己可以进去去打一下卡，对吧？如果我看到了大家啊，有一些共同的问题，我在上课过程当中，我就可以提示一下。啊，这个问题。二点二六。

分子可以等价成三倍的s in啊，尽量不要。呃，尽量不要，除非一个事情。哎，除非一个事情。你零基础都没有学完，你着急啥基础啊？我才发现。那我基础我就我就说那个时间开始了之后，你还不是在上零基础上，完了之后我们才上这个基础课程。零基础之后四到五天对吧？留上一个时间，

然后让你去把零基础的课程消化一下，然后我们就开始了。零基础课程的结束之后的四到五天，我们就开始了啊，不要着急，这个事儿好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下面一个问题呃，这个点呢？这个同学就是橙子八四二c，这个同学我先说一下。呃，你做成三倍的这个s in就看看你有没有做这样的一个操作，你有没有看出来这个人是前面的高阶无穷小？如果你看出来了，

你那样做就做的非常非常的好，而且你是个做题的高手。如果你没有看出来这个人是比他高级的，那就不行，这个人的话，你发现非常的简单，他是这样处理。这是x方的这个coss分之一，然后这是三倍的s in。然后在这个做极限的过程当中，就是x趋向零，然后这个部分是x，你看这个人等价无穷小于x。所以约一下的话就变成了三分之一s cosines分之一，那这是无穷小，

这是有些。无穷小乘有界是，无穷小所以这个时候我就明白一个事情，这个后面这个人呐，其实是前面这个人的高阶无穷小。对吧，我这个人是前面的高阶无穷小，我加上我的高阶无穷小，何取低阶原则等价这个人。如果你水平点相当的高，就是你能瞅出来这个事情，你瞅出来这个人是比他高级的，对吧？这人是一姐，然后咔的约掉一下，

然后这个人是比他高级的。对吧，如果你认清楚了这个事情，我觉得你做的很好。但是没有认出来这个事情，我觉得这样做，你下次过程当中就要稍微的注意一点点好不好啊？这是这个问题。第十。嗯，这后面可以修改的，对吧？你可以提前呃，你自己去看看那个时间，我忘了这个零基础。

因为我没有看这个课表，那个时间啊，就是零基础提前学，我们结束是多少号？好像是二月。二多少号？你自己去看看啊，那个。你看看那个结束的时间，然后往后面推四到五天，因为这四五天呢，我需要你们进行去复习一下。2月7号是吧？2月7号那就往后面推上个四到五天。啊四到五天的样子，

我们就开始基础班的课程。啊，能听懂吧啊，这是这个因为零基础提前学的结束啊，我希望同学们下去过程当中啊，要把这个部分的东西啊，稍微的进行去整理复习一下。啊，因为这个部分都不要着急啊，对吧？你等到后面过程当中呃，我们其实我们的预计我们的课程呢？我们的课程的话，应该是在五月份到六月份基础班就结束了。因为我们的部分的东西啊，

不是说特别的多，所以在这里面当中呃，也不是说每天上课啊呃，就是一个周啊，就是两到三次课程。两到三次。呃，你们在开课前呃，肯定是可以收到这个资料的，这个是没有问题的。因为之前过程当中，我们跟那个沟通了一下，因为我们的这个资料都是内部印刷的，也不用近期去啊，这个管这个高等教育出版社那边他们呃，

那个印章的问题。因为其实你们这个资料的话，它需要排版，然后这个排版的话，我们也找了一个这个呃，有因为有些这个排版公司是什么？人家有些是七号上班，有些是11号上班，有些是过了正月十五号上班，那人家非常弹性，对吧？所以当时我们又找了一个这个呃，找了一个这个排版公司，他是这个呃，好像是七号上班吧。

七号上班的话，他排个这个一两天，然后印刷的话，然后我们就寄过去啊。呃，我们三九六同学的话，这个是这样，就是我们有一本通的话，这个一本通是讲义啊。这是讲义，然后的话，我们用到的是这个必刷的800题，这个800题的话，其实就是替代了那个。呃，

替代的那个基础的就是替代那个考点全刷啊，我们不用做考点全刷，因为那个对我们而言呢，稍微的难度偏大一点。嗯，我我的感觉是不用。就这个资料啊，我们的资料的东西啊，是够的，如果你觉得这个东西不够，你再买一本，听懂我的意思吗？就是你觉得不够，你再买一本，你如果觉得够了的话啊，

这个这个你就做就行了，所以我我的感觉是这样就是。这个别的资料需不需要做他占领的一个东西，你一定注意一个事情，就是我怎么我怎么讲的话，有些同学这个思维方式我都永远都拉不回来。因为你发现我讲完这个事情了之后的话，他下去过程当中看了一个经验题，然后我讲了一个东西的话，他下去过程当中看了一个别人说的话。他永远都是被这个世面当中一些人牵着，这个人在走，所以我就觉得一个问题点，大家一定听清楚这个事情就是。你们要做的这个事情是这样。

你先有一个基本盘的东西，你的基本盘就是我们上课讲义上的题，有没有掌握清楚？我上课讲的这个部分的内容有没有消化到位？然后我们布置的这个作业部分的东西有没有做清楚，如果这些东西做清楚了之后，你觉得自己学有余力，你再去买一本书。而至于买这本书啊，不要找我推荐，我不想推荐啊，这个不要找我推荐啊，你这个找我去推荐别人，这个也不太好，对吧？

然后的话，我的感觉是。对吧，至少而言的话，就这么多年的话呃，我在这个教授考研的话过程当中啊，我的理解是这样，你听清楚。你自己可以买几本，你去看看。对吧，无论你是买了这本人的书，还是买了这个人的书，还是买了这个人的书，这个人的书，

你注意一个问题你。你把这一本做完就行。这是你的使命，就是你无论买谁的都行，不要把自己的时间全部花费在我应该买谁的书啊。我应该做谁的题呀？你永远的话，把时间浪费在这儿，结果你发现你一本儿都没做。你最后的话，你发现你又不是干嘛的，你就这个最后变成了一个经验专家啊，不是这样，所以这个东西啊，它是什么情况？

只要你买了，你把这本儿做完才是重点，不是说你把所有的时间，今天我在想我买谁的书啊，做谁的题啊？到了最后的话，我做谁的模拟卷？我做这个人的模拟卷，那个人的模，你发现把这个什么所有的时间都花费在这上面。你应该把时间花费在，只要你买了这本书，你就把它上面的所有的题认认真真的做完，而且保证第二个指标就是下次碰到。这上面即便是曾经做错的题，

一定要会做达到这个水平就行。所以这个学习这个东西不是说比谁比这个做的这个资料书多，它不是这样子的。你要有一个基本盘，掌握清楚了之后，你觉得比如说举个例子，你这买了一本，当然有这种同学买了一本做完了，而且能吃的非常的透。觉得还不够，那你再买一本儿行吧，如果这一本儿你做完了之后，你发现吃透了，你还不够，你再买一本儿。

我们所有的事情都是基于第一个部分做好了，你再去做第二个，第二个做好了，你再做第三个，第三个做好了，你再做第四个。所以同学们注意，如果第一个都没做好，第一个就足够了，后面就不要了，可以？因为这是我们的基本盘啊，能听懂我的意思吗？好，这个内容我们就说到这，

今天是有作业的，一会儿过程当中啊，你们去APP里面进行去下载就行。好同学们好了，那么今天课程呢？不多说了，你看这个又掉了，唠到这个九点半了，然后另外一个事情，我先说一个事情，这个零基础的作业啊，我会讲一下的。零基础。所以说下节课的任务是这样对吧？就是这个下节课，

下节课我的任务有两个人，第一个事情我来把七种未定式的极限计算讲完。我把左右开工法讲完，然后我去把前几次的作业我来给同学们进行去讲评一下。啊，然后的话我也不是会把所有题每个题都过你去看答案的时候，答案写的应该很详细了吧？我就至少比你所看的那些有些参考书的答案写的详细，因为我只要害怕你看不懂的，我都在后面打了一个括号，写了一些汉字儿。你比如说这里面当中，我用到了河曲DJ原则，我就害怕你看不懂，我就写河曲DJ原则，

你们难道就没看到吗？我都专门给你敲出来了，我就害怕有些同学看不明白。所以那个那个答案我觉得应该是写的很详细了，所以下节课过程当中这个七种未定式极限计算，还有这个左右开工法讲完。讲完了之后啊呃，然后的后面的时间我把前几次的作业我给你讲一下，里面当中啊，自己有问题的题讲一下，零基础的作业我是可以讲的。但是到了基础班，因为我们的课时量稍微的会大一点点，所以说这个时候啊，我们的作业我可能就没有那么多的时间把每个题给你讲了。

如果遇到不会的，大家可以积极的去APP当中啊，然后问这个助教，这都是我们的服务，对吧？呃，然后另外一个事情的话，就是你可以进行去打卡，对吧？在那个超话里面进行打卡，因为我每天都看啊，每天都翻。然后在那里面当中啊，我看到大家，比如说呃，

这就是直播课程的好处，对吧？我今天布置的作业，你自己把它做了，做了之后的话，我去看看。去哪都行，对吧？你在超话里面进行打卡就行，我的超话叫做啊，一笑而过，考研数学重要性里面都是我们班级的同学。对吧，如果不是三九六同学就是数一数二数三的同学啊，都是我们班的同学，

那是我们的一个小的一个班级。我们自己班级的一个共享平台吧，我可以这样说。所以你可以在那里面当中进行去分享一下，因为所有的话都是都是我们全部班级同学啊QQ群，我不怎么用啊。所以你可以去这个打卡，因为我每天都看，我看到的话，很多同学都出错误的点，我在下节课过程当中啊，我上课有可能就会把那些题啊给你进行去点拨一下。好了，这是这个问题行吧，同学们好了，

那么今天课程呢，我们就讲到这儿下去，过程当中好好梳理吧啊，这个慢慢的步入正轨了。可能上第一次课程的时候，你发现有些同学有点飘，对吧啊？这个学习这个函数部分有点飘，我上课说了无数多遍，不要飘，千万不要飘。上到第二节课程呢，有些同学仍然还比较飘，因为前半节课程还是在讲函数，后面部分讲一些比较简单的无穷小，

还有定型问题。你看上到第三节课，第四节课慢慢的就步入正轨了，所以我希望同学们好好来，对吧？平稳的心，然后认认真真的把每个部分的知识点消化到位。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，不多说了，然后今天是周几啊？今天是周二，我们周四还有一节课，周四那节课我们刚好把七种未定式的极限计算讲完，

然后把前几次课程的作业我们给同学们进行点评一下。然后我们的这个年前的这个部分的零基础课程呢，我们就结束了，然后大家就可以啊，这个过个年对吧，然后大家就会周六就过年了。然后这个年后过程当中啊，我们就继续开始了好了，那么今天课程呢，我们就不多说了，好下节课见吧，后天见。

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