04.零基础考点精讲4-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:21:52

行，那么接下来我们就准备开始今天课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了呃，那么今天我们就继续开始我们的零基础提前学的课程。那么，上次过程当中啊，其实我们已经重点把这个等价无穷小带宽以及这个泰勒公式啊，我们重点讲完了，然后在这个下课之前呢，我们有布置了一个题，

我希望同学们下去过程当中啊，完成一下，我不知道同学们做了没有？好了，那么接下来我们就正式开始，首先在上课之前呢，我们先把这个上节课部分的内容啊，做一个重点的回顾，因为上节课的知识点呢，还显得非常的重要一点。那么，首先我们先来看看上节课过程当中啊，讲的四个问题。那么，首先，

第一个事情我们讲了这个高阶无穷小的运算性的法则。那么，在这里面当中啊，你要注意我们所学习的问题的对象，我们学习问题的对象一定是高阶无穷，小之间的运算法则。那么，总共在这里面当中啊，讲了三个运算法则，第一事情加减法去低的，然后第二事情乘法去叠加，然后第三事情系数没有关系。尤其是第三个人，一个高阶无穷小，碰到一个树，

这个树啊，自动就不要了，所以在这里面当中，一个高阶无穷小，如果里面当中乘上一个数是没有任何关系的，当然在这里面当中啊，你得保证那个数不为零。如果在这里面当中，你乘上一个等于零的数，我觉得有点儿，对吧？这种耍赖皮的感觉了啊，好了，这是第一事情，然后接下来过程当中，

我们又讲了第二知识点，叫做等价无穷小的充要条件。那么，在等价无穷小的充要条件当中，我们重点讲了件什么事情？如果这个人和这个js两者之间是互为等价无穷小。那这个时候你发现我其实就等于你加上你的高级。因为在这里面当中，我们重点讲过这个事情，一个无穷小量，后面如果加上了一个高阶无穷小，那这个时候你发现一个事情，这个高阶无穷小，其实自动就不要了。因为等价的人核心重点是前面这个人，

因此我们在上节课过程当中啊，重点讲过，如果我这个人是个无穷小，然后在后面加上一个高阶无穷小，那这个时候呢，你发现等价无穷小于五。对吧，这个东西啊，是非常非常关键的，你比如说在这里面当中，我们经常用啊，比如说这是个三次方，然后再加上个三次方的高阶无穷小，那这人呢，就等价无穷小于三次方。

对吧，这个人加上高姐等价无穷无好，这是第一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个重点，那这个内容是黄金重点内容一定是何取低阶原则？那么，在这里面当中，我希望同学们一定要把这个事情跟无穷大的问题区分开。我们学的是什么问题啊？无穷小问题。有限个无穷小相加减的问题，那么首先第一个事情，你看这两个事情的区别，如果趋向零的时候，

这个人。和s趋向无穷大，这个人这两者之间呢，是不一样的，对吧？一个人是无穷小问题，一个人是无穷大问题，如果他是无穷小问题，何取DJ？取的是最低阶，如果这是无穷大问题，你发现一个事情核心重点是抓大头，所以说把这两个事情的一个方向性把它给我区分开。两个东西一定是不一样的，听懂我的意思吗？

这个东西啊，我都不写这个等价了，我们写什么？我们写取你听得懂我的意思吗？上面叫等价无穷小，下面叫做抓大头。好了，这是这个内容，那么接下来过程当中，我们又讲了泰勒公式，那么在泰勒公式当中啊，我其实觉得就有三个事情，第一事情你要记公式。对吧，这个公式得记住，

把这八个等价无穷小公式啊，一定要记清楚，然后第二事情其实就是展开原则的问题。那在展开原则当中，我们讲了两个原则，第一，事情叫做相消不为零原则。你要斩我，要斩斩到相交不为零的项，然后第二个事情其实就是我们在这里面当中还讲了一个上下同阶原则，对吧？你下面三次方。上面这个东西啊，也得占到三次方好，这是一个重点内容，

然后紧接着这个问题点讲清楚了之后，我又讲了一个事情，由这个泰勒公式推出的五个等价无穷小公式，你还记得吗？我觉得这个事情我得稍微复习一下，因为这个内容啊，显得会更加的重要一点，稍微脑子要转呢好了，那么这里面当中我们来看看第一个人。如果在这种当中趋向0x减去，这个s in等价多少？你发现这个s in的第一项它就没了，然后留下第二项，第二项是多少？第二项刚好是负的六分之一负负得正六分之一x三次方。

然后接下来过程当中就是x减去多少tant，那么tant这个人的第一项被干掉，留下第二项是三分之一，所以说这人呢，其实就是负的三分之一x三次方。然后紧接着继续，我们再来看is减去这个ln ln一加s，那这人的第一项被干掉，留下第二项二分之一s方。那么，同理而言的话，如果你记住这个人，你像什么阿尔克塞？因这个人就简单了，然后什么情况阿尔克碳正体也简单了，

因为这个人只用天赋号就行。负六分之一三次方，然后是三分之一三次方，不要把这个东西啊给记差了，能理解吗？好基本性的内容，一定要把它给我记清楚。这是我们在这里面当中啊，讲的一个非常非常重点的一个东西，所以下去过程当中啊，一定要把相对的问题啊，好好用。好了么？同学们过去了啊，我们再来看看上节课预留的一个题目。

那么，在上节课过程当中啊，我们留了一个这个题。对吧，留了这个题这个题啊，我们当时没有讲，我们来把这个题啊，做一个重点的讲解，讲完之后我们就来开始看。新的部分内容。那么，首先我们来看看这个题的核心考点是什么？他说，这两者之间是等价无穷小。所以说这个题的核心考点其实就是找等价无穷小的问题，

如果碰到一个找等价无穷小的问题，我会怎么想？首先第一个事情先想能不能使用等价无穷小的代换。如果等价无穷，小的代换能用，能用就用，用不了呢，用不了在这里面当中，我们就使用泰勒展开，所以在这里当中啊，首先第一个事情，我们先来分析一下。能不能使用等价无穷小代换。在这里面当中啊，你可能会想什么事情呢？

诶c这个人喜欢减个一呀。然后这个e什么东西也喜欢减个一啊，所以在这里面当中我们就怎么做呢？你发现看这是cos in，然后再减去e的负的二分之x方。我就给它加个一减个一行不行？你看我减个一，然后在这里面当中再加个一加个一，其实就是一减去一的负的二分之x方。那这个时候同学们，你稍微看看，你看你就来瞅一下这个人和这个人，两者作比的极限到底是不是负一，稍微瞅一下。当x趋向零的时候，

你发现看这是cos x减一，然后这是多少一减去e的负的二分之x方好做一下这个极限？那这个极限的话，你看你调一下呗。那上面这个人的话，可以变成一减cos in，然后下面这个人变成一的负的二分之x方减一没问题吧，然后接下来过程当中，你发现两者之间是什么法？两者之间是除法，除法就可以等价了，所以说这个人等价就是二分之x方一的框减一等价，无穷小于负的二分之x方，两者作比是负一啊。你看两者作比的极限是负一，

所以说这个题啊，等价无穷，小的代换用不了。绝对用不了你这两者做比极限是负一，所以在这里面当中等价无穷，小公式用不了泰勒公式就是首选。因此，在这里面当中啊，我们就直接使用泰勒展开的方式来做，那所以说来看看当x趋向零的时候，然后这个里面当中你发现这是gs。它等于多少cos？那cos in这个人展开没有任何问题，但是关注点一个事情就是e的负的二分之x方怎么展？对吧，

关键点就是这个人，你怎么操作？哎，其实也可以看成框。对吧，你第一个人豪宅，然后在这里面当中的第二个人，第二人不就是es吗？我们是这样写的，当s趋向零的时候。一s这个人展开就是一加上s加上二分之一s平方就二的阶乘嘛，然后在这里面当中我们比如说继续写下去。我也不知道写到多少，然后在这里面当中，你可以推广，

只要这个框去向零一亿的框，这个人其实就是一加上框，加上二的阶乘分之一。框的平方一直加下去。当然，在这里面当中，你再来看，如果s趋向零，这是e的负的二分之s次方，那这个人是不是啊？那就是框就可以泰上去啊，一减二分之x方，然后再加上二分之一负的二分之一x方的平方一直加下去。那么，至于这个东西到底展到哪一阶呢？

我们没有办法使用这个上下统计，我们只能使用什么东西啊？相消不为零的原则。所以在这里面当中，你就给这里面当中的第一个人占，然后在这里面当中，给这里面当中的第二人占，那我们就占呗。你先看第一个人没有斩到一的啊，斩到一肯定不对来继续，然后减去二的阶乘分之一平方，然后这个人呢，你继续写也是一减二分之一平方。所以说这两个东西就约掉了，不行不行，

这个东西我们就继续往下写，再往下写就是四个阶乘。四的阶乘就是四乘三乘二二十四分之一s四次方，然后这个东西呢，你看这一项这一项就是八分之一s四次方。很明显，一个事情，两者之间呢，约不掉那约不掉了之后，这项就可以了，然后再加上高阶项，然后这个人呢，直接加上四次方的高阶项就行。那么，因此，

同学们注意两者之间约一下，你看第一项就约掉了，然后这个人减去八分之一负的十二分之一s四次方。四次方的高阶项减四次方的高阶项还是四次方的高阶项？继续我加我的高阶，立即等价无穷，小多少等价无穷小于我。所以说这个结果啊，其实就是我们上面这个里面当中多少a倍的SB次方，所以在这里面当中a是负的十二分之一b是几b是四？你看这个题，我们立即就出来了，所以像我们三九六同学，我们在考研过程当中啊，其实这个题应该是比我们考试的题的难度系数啊，

要大一点的。但是我希望同学们在这个平时训练过程当中还是这个事情降维打击嘛，把这个部分的知识点学到微，然后再进行去做我们那些题啊，你发现做起来就非常非常的简单了。好像这个题目我们就讲到这儿能掌握清楚吧，就记住这个体系，只要将来过程当中见到等价无穷小的问题。我首先第一个事情先找等价无穷小的带宽，能用就用，如果用不了，我们就太难展开啊，所以说这两板斧啊，足以处理所有的问题。好了，

这个题我们就讲到这可以吗？好继续，我们再来看看我们求极限当中的第三种方法，那第三种方法它的名字叫做洛必达法则。哎呀，这种方法首先第一个事情我先叙述一下，这种方法对我们三九六同学而言相当相当的重要。非常非常的关键，而且这种方法的话，你发现呃，其实我们在这个大学过程当中啊，是很多同学最喜欢学的。啊，也是最喜欢用的方法，洛必达法则，

那么在这里面当中，我们来重点来把这个洛必达法则的方式啊，我们来重点先来看看。呃，如果你想知道这个东西到底是什么样子的，你可以看一下讲义对吧？这个档讲义讲义当中啊，写的是非常这个。其实非常全对吧啊，这个内容你看就这个内容。哦，这就是洛必达法则，但是其实你发现一个事情，大部分的同学在大学过程当中没有学会洛必达法则。啊，

真的是没有学过洛必达啊，学会过洛必达法则，那么在这里面当中，我们来今天过程当中啊，我们是讲课，我不能说把这个东西啊，原模原样的再粘过来啊，不太好。那么，接下来过程当中，你听我来讲，洛必达那么洛必达法则这个东西啊，它其实的第一个事情你发现它。它的形式是这样，就是在一个趋向下，

两者作比的极限。对吧，两者作弊的极限，两个人之间是作弊的。你要注意啊，这个95%以上的同学大学过程当中啊，都没有学会过洛必达法则呃，但是你发现你的期末考试题啊，一定是没有问题的。那到时候原因在何处呢？那都是因为你的期末考试题是设置过的啊，所以说接下来过程当中好好听啊，那么首先第一个事情，第一个要求。它必须是零比零，

或者是无穷比无穷。对吧，要不然是零比零型未定式，要不然是无穷比无穷型未定式，那么在这里面当中我们就可以落下了。如果它是的，我就可以落下它的极限，就会等于什么情况呢？就会等于导函数之比的极限。当然，在这里面当中，还有第二个要求，你发现这俩人当得可倒了。对吧，你发现导函数之比你得可导啊，

所以说呃，这个零基础阶段呢，我们就不重点这样讲了，到了基础班的时候，我会讲的更加的全面一点，你不要管这个事情了。所以说它的意思就是什么意思呢？就说这个极限如果是零比零或者是无穷比无穷。根据洛必达法则，它就会等于导函数之比的极限。那为什么洛必达法则简单呢？你发现不用动脑？你的极限就等于上下同时求导的极限，倒倒倒下去，最后做完了。

是不是这个事情哎，最后做完了，但是今天过程当中啊，我们需要把这个东西啊，来龙去脉，所有的事情学清楚。那么，首先在讲这个问题之前，我们先来介绍一个重点的内容。那么，这个东西啊，叫做极限的存在性。极限的存在性。哎，我来讲讲这个事情，

因为不说别的，这个基础性的东西啊，还挺重要。那么，我们经常讲极限是存在的，极限是不存在的，那么我们经常讲极限的存在性有两种，一种极限是存在的，极限一种极限是不存在的极限。那重点的一个问题就是什么样的极限是存在的呀？你什么样的极限是不存在的，你说有两种，一种是存在的，一种是不存在的，到底什么样的情况是存在什么样的情况是不存在的？

你在这里面当中，我们必须要清楚这两个事情，首先面临第一个问题，什么叫不存在？不存在有几种？对吧，第一个事情就在这儿，不存在有几种。不存在有两种，第一种情况你要注意，如果这个极限结果是无穷大。别管是正无穷，负无穷，你数不清楚的，这就叫做一种不存在，

记住无穷大就是一种不存在。但是其实同学们，我们还有一种不存在。比如说你在大学过程当中学过这种极限，说左极限是一。右极限是二。左右极限都存在，但不相等也不存在。是不是这种情况哎？你发现这种极限也是不存在啊，不存在的。但这种极限是无穷大吗？它不是的呀。所以说这是另外一种不存在很多书籍当中是这样写的，不存在，

但不是无穷大，这种不存在。但是这种不存在，我给它起了个名儿，叫做什么呢？违背了极限唯一性原则的不存在。叫做不唯一性的不存在，听得懂我的意思吗？哎，所以说同学们注意一定要把这个事情想清楚。不唯一的不存在好，记住这个问题。所以将来过程当中，你要注意无存在无穷大是种，不存在不唯一是种，

不存在但是不存在是有两种的。比如一个题，说这个极限是不存在，你就说它是无穷大，那就做错了，还有可能是不唯一。好，这是第一个问题，第二事情那什么叫存在呢？抛开不存在都是存在。比如说200是存在不存在，200是无穷大吗？不是200是不唯一吗？不是存在。300是存在存不存在存在的一呢？

一是无穷大吗？不是，一是不唯一吗？不是。零是无穷大吗？不是零是不唯一吗？不是都是存在，所以同学们记住一个事情，只要这个极限结果求出来的是一个数。都是存在的，哪怕这个数是一个亿，两个亿，三个亿都行哎，所以这个事情我们就讲清楚了。不存在有两种无穷大和不唯一只要求出来极限，

结果是数都是存在的。能学清楚吧，好这个问题点我们就讲到这，那么接下来我们就继续回到洛必达法则。呃，这个情况其实就是我们那些年很多同学脑子里面的洛必达就说这个极限落下就等于导函数之比的极限。但其实同学们这里面当中还有严格的要求。大家想一个事情，莫比达法则，不就说这个极限等于这个极限吗？它是有要求的，那这个极限有几种情况，有两种，一种情况是个数叫做存在。如果这个极限结果是存在两者之间相不相等。

当然相等，没有问题就说落完了之后的这个极限是个数，哎，洛必达法则是可以的。如果洛必达完了之后的这个极限是无穷大，那么请同学们告诉我，两者之间还相等吗？这个问题点就在这儿，如果导函数之比的极限结果是无穷大，两者之间还相等吗？相不相等？相等还是不相等？哎，相等的，大家注意啊，

仍然是相等的，但是这里面当中有一个bug点，如果洛比达法则完了之后的这个极限，结果是不唯一。还相等吗？这种情况就不相等了，这种情况下，洛必达法则它就失效了。注意，这是洛必达法则的一个bug点。能听懂我的意思吗？唉，这是他的bug，所以大家一定要听清楚一个事情，就是洛必达法则完了之后的这个极限。

要不然是个数，要不然是无穷大，千万不能是不唯一，如果是不唯一，洛必达法则是失效的。比如说在这里面当中啊，我们来看一个习题啊，先看看这样的一个例题，那么这里面当中我们说limits是趋向无穷大的。然后这里面当中是s，加上这个三。然后这里面当中比上个s。来，同学们，你先给我秒一下这个极限等于多少？

啊，这极限等于多少？等于几你不要做不出来啊，这个机器。等于几哎呀，怎么能等于二呢啊？等于几？这么多同学都等于二。哎，得反思一下了，这个事情得好好反思了，大家一定要注意，我写的是x趋向无穷大呀。等几因为这个题啊，我刚才啊呃，

就是上课前呃，应该是五点还是六点多钟，我看到那个第九个啊，就是我们微博群的第九个群里面当中有个同学问了一个这样的题。啊，很多同学啊，还是不会学习啊，说明还是不会学习，你发现一个事情学到这个，今天呃，你买一本这个参考书。他有答案。还是对着答案进行拒绝，然后做题的时候都是怎么做呢？然后做完了之后，

唉，然后对着答案做唉呀，这一步答案我能看得懂，好过去了。这一步答案我能看得懂，过去了哦，这一步的答案我看不懂，你看都还是这种学习方法，你放心吧，你这种学习方法很难提高的。你这个水平点很难提高的，如果是一个会学习的同学，绝对不是这样学习的。你拿到这个题，你要自己做。

做完了之后再看答案，你盯着答案的每一步去做干嘛？考试是考独立自主的思考，把它做完。不是说让你去研究答案的考验过程当中，给你一份答案，说来你会的给我打，对你不会的给我打叉。不是这样子的。所以像这个题，你直接秒了，你看那个题的答案干嘛？你看这个题那很明显，一个事情当s趋向无穷大的时候，这是无穷大吧？

对吧，这是负一到一吧，那所以说这还是无穷大，这还是无穷大无穷，大比无穷，大型未定式，你像这个题，首先第一个事情，我们可以秒了。因为这个题的话，你发现无穷大比无穷大，我直接把它灭了呀，那这题怎么做装大头啊？我一抓，你看我x远远的大于有界变量。

ys远远的大于有界变量，前面这个人抓他抓他这个人不就等于一吗？这题直接出来了，好，那么接下来我来说一下，我今天下午过程当中啊，看到那个群里面那个答案怎么写的那个答案是这样写的，你也能想到。上下同时，除一个最大项，同时除一个最大项是x，然后这是x分之一s in，然后这是x分之一，这是s in。好了，

同学们，我们一起来看看这个事情，你发现无穷大分之一是无穷小无穷，小乘有界是无穷小无穷，小极限是零，所以同学们，你告诉我个事情。请问这上面极限是一，下面是极限是一，是不是已定式啊？那一定式就带进去吧，不就是一加零一减零，那就等于一呗，听得懂我的意思吗？为什么敢带？

因为它是一定式。所以我就觉得这个学习过程当中啊，一定要注意你上课的思维方式呃，很多同学太着急了，真的太着急了。尤其是我们三九六的同学，你们是最不应该那么的着急的。对吧，这这实在是太着急了，你发现一个事情，这个上课的这个知识点也讲过上课的例题也学会过。下去过程当中就是不消化上课的过程当中，跟着我听一遍，以为自己会的，那是我讲会的。

不代表说你自己独立自主的都能会做，你下去过程当中得整理一下，当然听会是第一步。听会了之后，然后下去要整理，整理完了之后再去做别的题，太着急了啊，恨不得的话，这个现在这个网络也比较发达一点。对吧，别人说什么你就是什么，别人干什么你也要干什么，永远被别人牵着鼻子走，你就是这样的一个复习状态，这太不行了。

你可以找一个你的这个二战的学长学姐们，可以去了解一下这个情况，对吧？这个我记得今年过程当中，我们有个年度大课，对吧？有些同学可能听到。呃，今年的年度大课，我可能去年那个年度大课啊，讲的我觉得吧，这个今年的话好好进行去，想把它整理了下去年过程当中，我讲的是这个微积分当中啊，这个一些意义，

但是我觉得这个太。太空了，所以今年过程当中我讲的东西是非常落地的，我讲了一个事情，叫做如何进行深度思考。对吧，怎么进行深度思考？我在那里面当中就罗列了一下，在去年过程当中，你的很多学长学姐们，他一年过程当中所走的这些弯路。所踩过的一些坑。那么，这里面当中，我居然发现有的人太着急了。

你想象一个事情，像这种题，你就算找到别人的话，你把这个事情想通了，其实你发现这个做题能力啊，还是挺重。你说明在这个学习当中啊，还是不太会学习。你数学当中啊，你跟着答案去做题，这不是能力，这丝毫不叫能力，包括我一直讲讲一个事情。比如说有些同学买了一本参考书，这个参考书一般参考书都是这种编排的呗，

上面是例题吧？下面是解析吧？啊，都是这种嘛啊，这是例题，这是解析，我不说别的。就是你拿到这种题目的时候，等你漂到一眼，比如说我举个例子。漂到一眼，这个解析里面当中，你只要看到一个落字，这个题已经丧失了它的水平。你想想是不是？

等你漂到落子的时候，你就会发现一个事情，这个题它指引着你，你往洛必达法则上想，但是同学们，这个事情拿到这个题，你为什么往洛必达法则上想？你凭什么用这种方法重不重要，它很重要，所以我就觉得一个事情在这里面当中啊，一定注意这个事情。所以你在学习过程当中啊，一定要好好进行去提炼提炼啊，这个太着急啊，这个太着急。

好了，那么接下来我们不多说了，我们就继续吧，来看这个题能不能把这个题秒了？请告诉我一下这个题的正确答案等于几这个题的正确答案是不等于一。好注意一下这个题的正确答案等于一，那么在这里面当中啊，我们来分析一下这个事情。那么，首先第一个事情，我们来拿到这个极限来看看。定一下型。那么一定的话，你发现一个事情无穷大，加上个有界变量无穷大无穷大。

所以说这个题是一个无穷大比无穷大的未定式。那有些同同学怎么做呢？他说我洛必达。那能不能洛比达呢？无穷大比无穷大，当然能洛比达，那洛比达了之后的话，同学们，我们来看看，当s趋向无穷大的时候，你发现这个求导是一上。上面求导是一+cos in。好，我们来看看这个人的图像，你发现cos这个人是什么情况？

cos这个人的曲线是这样子的。它的曲线是这个样子。哎，你发现一个事情，当x趋向无穷大，它在干嘛？停的下来吗？大家都知道一个事情，如果趋向无穷大，哎，这个人逼近于一极限是一。BG 2极限是2 BG 0极限是零，但是它是什么情况？剩下的来回的摆动。是吧，

这种情况叫震荡，其实也叫不唯一，你上下来回的摆动停不下来，你在负一和一之间来回的摆动。你在负一到一当中来回的摆动，也就是不唯一你不唯一加个一呢，你当然也是不唯一，所以说同学们注意一个问题，你看。那你洛必达法则完了之后的极限结果是不唯一，这个极限结果也是不唯一吗？它不是的，我这个题的正确答案是一不是不唯一，说明什么情况？说明洛必达法则出错了。

说明洛必达法则怎么办？失效了。听懂我的意思吗？所以说一定要学清楚一个事情，洛必达法则也不是万能的。它不是万能的，你落完了之后的这个极限一定要保证是个数以及是无穷大，对吧？你要么是个数，要不然是无穷大，千万不能是不唯一。如果是不唯一一定要注意一个事情，你洛必达法则出错了。你做错了，听得懂我的意思吗？

好，这个点我们就讲到这儿，所以今天过程当中啊，一定要学习会洛必达法则的这个bug点。但是每当我讲完这一波知识点了之后啊，有些同学做题啊，就心有余悸了。对吧，这个学习方式啊，我觉得学学习的这个意识啊，非常不好啊，心有余悸，每次都用完洛必达法则的时候都能想到我刚才讲的这个题。总感觉说什么情况是不会出错，会不会出错？

不要这样。我把这个知识点讲的完整，是帮着你学的更好。不是帮着你做题，过程当中啊，你发现老师这个啊，这个觉得这样又觉得那样。不是这样子的，我们希望大家学的更好，你应该是一个什么样的逻辑呢？是这样逻辑拿到零比零无穷比无穷落它就行。如果落完了之后是个数做对的，如果落完是无穷大做对的，如果落完是不唯一心里知道我做错了，我得回过头来重新做题。

听懂我的意思吗？这样的话，你发现你的水平点一下子就上来了。听得懂我的意思吗？所以说在这里面当中一定注意这个事情好了，那么接下来我们就继续开始，但是你发现有些题啊洛必达法则不是说特别好做。所以我经常讲一个事情，对洛必达法则这个东西啊，不要过于的偏爱，也不要过于的有偏见。对吧，你不要过于的有偏见，也不要过于的显你，比如说举个例子，

我们在这两天过程当中啊，上了好多课程。比如说我们在这里面当中啊，之前部分当中有好多题，我举个例子，你看你比如说这个题，洛必达法则好做吗？不好做吧，很明显非常难求导，比如说这个题洛必达法则好做吗？不好做吧，非常难求导。你比如说这个题，洛必达法则好做吗？更难做这个东西非常难求导。

你再比如说这个题，你用诺贝达法则好做吗？也不好做，非常难求导，那为什么过程当中你发现上了考研了之后？在考研的初期，你发现非常不喜欢用洛必达法则呢，因为你做的很多题，它不适合于求导。对吧，这就是我想说的，不要过于的什么东西呢？过于的喜爱，不要说每个题都落笔打法则，你这个人都不好求导你，

落完了之后也不是特别的简单。但是另外一个事情也不要过于的有偏见。有的时候你发现一个题目非常好，求导的时候为什么不落下呢？所以说在这里面当中，我来注意一点。如果函数好求导，不妨落一下，对吧？那落一下多简单呀，所以在这里面当中，我们来看看这个事情，比如说举个例子，我们来出一个题，对吧？

我们来看一个题。那么，这里面当中，我们来看看这个，我来随便出一个题，比如说这里面当中的梨。啊，我们来看看这个题，它是limits趋向零，然后这是e的s-1-s。然后这里面当中比上x方好，我们先看看这个题。那么这个题的话，你发现请问一的x- 1能不能使用等价无穷小代换呢？当然不行，

因为这个人跟这个人之间，两者之间作比的极限是负一不能等价，不能等价。泰勒展开式首选吧。但是你发现一个事情，这个题泰勒展开好做，还是你发现一个事情在这里面当中，洛必达好做。我定型了之后的话，你发现看这是零。我定型完了之后，这人是零。我发现你发现好很好，求导在这里面当中那么好，求导为啥不落呀？

不好求导，就不落呗。好求导，为啥不落下你一落的话，你发现你看这里是二s一落的话，这里是一的x减一，然后这个人等价无穷s，这个题就等于等于二分之一。你看这个题，洛必达法则多简单呀。所以说学一个东西一定要稍微的灵活一点点。他不就是要求导吗？好求导就用呗。对吧，不好求导就不用呗，

所以就在这里面当中，这个简单的事情好，这是我们讲的这个第一个问题，过去了可以吗来？来继续再来看看下面一题二点二零这个题。那么这个题啊，首先我们拿到极限第一步干嘛先定型拿到极限先定型，首先我们先看第一个问题点。你看在这里面当中，这是多少呢？这是es。啊，这个es es这个曲线是什么？es曲线是这样。当你趋向于正无穷的时候，

是多少是正无穷，所以说这个极限呢，它是无穷大比无穷，大型的未定式极限。那既然是无穷大比无穷大显的未定式极限，那这题我怎么做？这是limits趋向正无穷，然后这是es分之s方。抓大头吗？头都在这呢，怎么抓？上下同出最大项，那最大项也不用除啊，那只有这两项怎么除啊？所以说你发现一个事情像这个题，

而且还好求导我，只能怎么办？洛必达了。那就落一下呗，一落的话，你发现当x趋向正无穷，然后这是一x分之二x好再来定下型。上面是无穷大一亿，到正无穷是无穷大。那么，继续在这个题当中继续来落下非常好求导，这是e的s分之二，好继续看。下面这人是无穷大，上面是二，

所以说这人就变成了已定式一定式，这个结果就是零啊。而且这个落完了之后的极限，结果是零是一个数，说明我做对了本题结束答案等于几等于零。听明白我的意思吗？好，这是第一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个题来继续操作，再来看这个题。啊，我相信这个这么简单的一个求导，你应该得是会的啊，好再看这个题当s趋向正无穷的时候，

你发现这条线是ln。好，我们再来看看，那这是y=lns这是零，然后这是sln的曲线，是这样。当s趋向正无穷的时候是多少，它当然是无穷大，然后这也是无穷大无穷，大比无穷，大型的位定式。那既然这个人是无穷大比无穷大型的未定式，请同学们告诉我这个人怎么操作啊？抓到头头都在这呢，不用抓对吧？

这就是头。然后上下同处呢，你发现一个事情也不用同处。所以对于这个题而言，而且它非常的好求导，那我就落一下呗，我就在这里面当中，你发现落笔答一下。一落制是s分之一，一落制是三s方，然后把这个题稍微的整理一下，不要再落了啊，整理一下，一整理是三倍的s三次方分之一。你想下面是无穷大，

上面是一，因此这个人是已定式，就等于零落完了之后的结果是个数，说明落落对了本题，结果等于零。你看这题是不出来了，所以像这个方法，大家注意啊，对我们三九六同学洛必达法则显得无比的重要。你一定要把它学好了，好，这是我们在这里面当中讲的问题，但是我觉得如果这个题啊，仅仅是做到这儿，我觉得还不够。

因为这里面当中啊，还有一些非常非常重要的经验，需要我们进行去总结，大家好好看，认真听啊，你们先回答我一下。这个题做的是无穷大的题，还是无穷小的题？是很大的问题，还是很小的问题？很大的问题，不是很小的问题，是无穷大的问题，那么在这里面当中，我们来看看第一个事情，

大家想想。当x趋向正无穷的时候，你发现你很大。而且你也很大。大家琢磨一下。上面很大，下面也很大，最后是零什么情况发生了？哎，你想清楚，上面很大，下面也很大，那么请同学们告诉我个事情，谁更大？下面说明下面比上面更加的大一点，

不是大，是远远的大。大家注意啊，不是大，是远远的大大一个量级，对吧？这是这个事情，然后在这里面当中，我们再看下面的问题。当x趋向正无穷的时候，你发现你很大，当x趋向正无穷的时候，你也很大，你很大，我也很大，

最后知彼的极限，结果是零。说明谁更大。说明下面更大。对吧，不是大，是远远的大，所以在这里面当中啊，我们就必须有一个非常非常重要的一个经验总结。把这个内容一定要学会它。有一个大招的经验，而且这个经验如果你会的，你做一些题啊，你基本上是眼睛瞅着做的。但是同学们一定要注意一个问题，

我们现在做的是无穷大问题，大家一定要注意啊，是无穷大问题。那么，在这里面当中，我们总结一个重点的经验，其实这个经验你在高中的过程当中就学过啊，就是在趋向于正无穷的时候。那么，指数函数很大。幂函数也很大，对数函数也很大。那想一个问题，如果指数函数在正无穷方向是正无穷，请同学们告诉我那个。

a有什么要求啊？你不要想不清楚啊，指数函数要不是这样子的，要不是这样子的，所以说这个a呀，它的要求是大于一。对吧，你大于一才能往上跑嘛。好，这是指数函数，所以说如果a大于一，在正无穷方向是正无穷。再来看第二事情，幂函数在正无穷方向是正无穷是哪幅图啊？小于零是减下来的，

等于零是横线，大于零是三条线往上跑。所以说这个阿尔法只要大于零就行。哎，只要大于零就行，所以在这里面当中马上就看出。趋向于正无穷的时候，指数函数非常大，幂函数非常大，对数函数也非常大，但是一定要注意一个事情。指数函数远远大于幂函数，远远大于对数函数。记住这个问题，指数函数远远大于幂函数，

远远大于对数函数。那么，在这里面当中，其实我们在高中过程当中啊，就学过这个事情，你比如说你来看看这个三幅图形吧。那么，首先第一是副图，你看这指数函数啊，指数函数我们来画一下啊，指数函数，比如说这是s这条线。比如说这是对数函数。大家会发现一个特点，你看这个人是ln ln的导函数是x分之一x越大，

这个倾斜斜率是越小的。而不像这个人这个，比如说是es es导函数es你s越大es越大，斜率会越来越大。所以等你x怎么办呢？x趋向正无穷的时候，指数函数远远大于幂函数远远大于对数函数。对吧，指数函数远远大于幂函数远远大于对数函数。高中学过吧，高中把这个事情叫做什么？高中把这个事情叫做指数爆炸。哎，叫做指数爆炸。呃，

相信你看过那个趣味性故事吧啊，里面当中啊，有时候一个人跟一个国王打赌，在这个国际围棋盘当中说，如果你输了。第一课啊，第一格只给我两粒种子。跑到第二人来个次方数第三格，来个次方数等你发现一个事情，跑到最后一格呢，哎，整个国家都没有这么多粮食。其实就是这个东西，它的名字就叫指数爆炸，对吧？

当s趋向正无穷的时候，你发现指数函数远远大于幂函数。远远大于对数函数。就是这个问题，所以在这里面当中要用到这个经验，比如说这里面当中我们来速算一下。好同学们，我们来速算几个题啊，首先第一题当s趋向正无穷的时候，你看这是s分之ln，请告诉我等于几啊？好继续当s，趋向正无穷的时候，你发现这比如说是一的s分之多少呢？s一百次方等于几？

好，这是第二人，然后再来看第三个人，当s趋向正无穷的时候，你发现这是e的s，然后这是100 lns的九次方，你看这个结果等于几？好，我们先看看第一个事情，你发现当s趋向正无穷的时候，你很大，你也很大。对吧，但是下面这个人比上面远远的大，所以说这结果等于零好，

继续看当s趋向正无穷的时候，指数函数很大。幂函数也很大，但是指数函数比幂函数远远大，所以说这个结果等于零，再来看下面这个事情。当x趋向正无穷的时候，你发现指数函数很大，然后对数函数很大，但是指数函数比这个对数函数远远的大。所以说仍然等于。但是你发现有些同学可能在第三个当中啊，有点儿这个怎么讲呢？就是不敢下手了，说老师不对啊，

你看人家这个人来了个九次方。人家这个人来了个100的系数，是不是人家这个人就变得更大一点，跟他就一样了，不不行，我一直讲这个事情，这叫什么呢？对，你看有些人听过课啊，这叫命。你注意，这叫mean什么意思呢？就说你在这里面当中像这个什么对数函数这一级幂函数这一级指数函数这一级，这叫阶级的跨越。哎，

阶级的跨越，不要说什么情况呢，你来一个100次方1000次方一万次方一亿次方打个100亿个系数都没有用。你注意的事情都没有用，你任意乘多少系数，任意打多少次方数，你这个阶级永远都跨越不了这个阶级。我仍然比你牛逼啊，这个句话叫做什么啊？叫做瘦死的骆驼比马大啊，这件事情你听得懂我的意思吗？所以说你发现这是个阶级上的跨越。也就说什么情况呢？你别管你打多少系数，不要说这是九九亿都没有用。

900亿都没有用。9000亿都没有用，对吧？无论你打，但是你打无穷大，你就耍赖皮了，对吧啊？所以在这里面当中，只要它是个数，这都没有用。下面这人比上面圆圆的大。好了，这就是我们在这里面当中讲的这个事情，能听懂我的意思吗？哎，

有会操作这个问题，那么接下来同学们，你来把这个题啊给我秒了。诶，把这题给我灭了，二点二二这个题来吧，灭掉这个题。那么，首先我们先看看这个题目吧，呃，大致的进行瞅瞅，你看这个题等于几？操作一下等于几啊？啊，有些同学做的很快啊。

有些同学可能还在这个稍微的瞅一瞅，没关系啊，这个基本上一两分钟内把它做完都行。哎，东西。可以啊，我觉得今年我们班的话，这个同学的这个基础水平都还可以啊，对吧？好，我们来看看来解。说明这个下去过程当中啊，消化内容还消化的比较好一点，那么在这里面当中啊，我们先不说别的，

我先只看前面这个部分行不行？对吧，我用眼神稍微的漂一漂。我先只看前面，我先不看后面。用眼神稍微漂一下吧，可能你看到很多参考书在这里面当中，洛必达了，没有必要没有必要先来看看，拿到极限先定型无穷大。无穷大无穷，大比无穷大的未定式，能不能装大头当然可以。你这个三次方比这个二次方和一远远大不要了。指数函数远远比幂函数大，

不要了。所以说这个时候一抓就变成了这个极限。下面是指数函数，上面是幂函数。下面比上面远远大，所以说这人极限结果是零，如果你的极限结果是零，你就是个无穷小量。你是无穷小，而后面这个人是个什么变量？有界变量。对吧，无穷小陈有界，这个整体是无穷小无穷小极限是几无穷小极限是零。所以说这个内容点我们一下就讲完了，

你看这个事情因此下去，过程当中把这个内容好好进行消化下，这个非常重要。但是我希望同学们时时刻刻进行去思考一个问题，你是做一个无穷大问题，还是在做一个无穷小问题？拿到极限先定型对吧？拿到极限先定型好，这是我们讲的这个第一个问题，过去了可以吗？哎，注意下这个事。好，这是我们在这里面当中啊，讲的这个第一个问题啊，

我们继续啊，我们再来看看下一波问题，再来看第二事情，继续来走。那么，再来看看最后一种方法叫做极限的四则运算。那么，这个四则运算法则也是非常嗯。在啊。哎呀，这这种东西你怎么能看出来？你你如果你觉得是什么呢？你觉得是这是一个极限乘上这个人，那其实就等于零×1个函数了。对吧，

你这个零×1个函数，那当然在里面不不要这样啊。你求这个函数的极限嘛，你不能说我求这个人极限，我再乘一个函数不是这样吗？来那么接下来我们继续，我们再来看看下面的问题，极限的四则运算法则好，再来看下面。那么，在极限四层不不那不要不要说不在里面也是零，我不要这个结果，我要的就是它本来就是零，这不是一个问题啊，不要把它当做成问题，

问题进行解决。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看最后一种方法，极限的四则运算法则。对于这个内容，它可能会显得更加重要一点。很多同学在这里面当中啊，学了一个皮毛。对吧，你看参考书的时候，有些同学就学了个皮毛，但是这里面当中的东西啊，大有乾坤，那么接下来过程当中，

我们先来看看第一个事情。四则运算法则的内容。同学们，想什么叫做四则运算啊？不就是加减乘除吗？加减乘除就叫四则运算，那么首先我们先看看第一个人。先来看加减法，那么这有一个极限。哎，这有个极限，如果在这里面当中，两者相加减的极限。看好了，同学们注意啊，

做极限的时候要盯着帽子走，现在这个帽子是扣给这两个人所有的。对吧，这两个是公有的，两个人共同去求极限。那么，请问两项加减法的极限，加减法的极限一定会等于什么情况？你的极限加减上我的极限吗？同学们，一定吗？就说加减法的极限一定等于第一个极限加减上第二极限吗？一定不一定好，这里面当中我来给你个例题，大家来看看。

那么，在这里面当中，我们来出一个例题，先来看看例一。首先第一事情我来给你个这个问题，当s趋向零的时候。比如说这是s减去多少，比如说s减去这个ln 1+s。可以吧，然后再比上x方，请你回答我一个事情，这个题的正确答案等于多少？这个题正确答案等于多少？就这边啊，就这个题的正确答案等于几？

上面这些人等价无穷，小于二分之s方，这是无穷小问题啊，所以它等于二分之一吧。诶，这个极限结果等于二分之一。但是你发现一个事情，我们来分析一下，有个同学是这样做的。它怎么处理呢？它说那你上面这个极限，它不就等于什么情况，不就等于这个x除上平方。s除上平方不就是平s分之一，然后再减去平方分之ln一加s吗？

不就是这个机械吗？有人说，那两项减法的极限不就等于极限的减法吗？不就等于极限的减法吗？然后这个人就变成了这个人好了，同学们看帽子哦。一定要看帽子，请问同学们在这个帽子里面，两者之间是除法上面，这人能不能等价？可以还是不可以？我再来问一遍，在这个帽子下，两者是除法，能不能等价？

可以吧哎，可以等价了，在一个帽子下，两者是除法可以等价，那可以等价了之后的话，你看这人是无穷大。然后约掉一个变成s分之一，也是无穷大。那么，请同学们告诉我这个结果等于几？那有的同学说啊，这人等于零。好，我想问你个事情，请问同学们？

他这里面当中啊，他犯了多少个错误呀？比如说在这里面当中，我们来看看这是一式，这是二式，这是三式，这是四式，请你告诉我个事情，这里面当中啊，有几个错误点。啊，可以这样出题啊，比如说我们写一个式子，然后说下面当中有几个错误的啊，这都是很好的题。

那么，首先我觉得在这里面当中啊，你首先如果说无穷大减无穷大是零，证明着你根本就没有学习。大家注意，你根本就没有开始学习。因为我一直跟你讲无穷大减无穷大是未定式无穷大减无穷大，什么结果都有可能发生，一定是零吗？那不一定。谁给你讲的无穷大减无穷大就一定是零，所以在这里面当中这个问题点是非常重要的。也是个非常基础，如果你得了道理，我证明这你就没有学。

那么，接下来我们来看看第一个对不对？第一个人当然对对吧，第一条当然对，如果第一条出错了，证明我从小到大学的数学都有问题。然后在这里面当中，第三条有问题吗？这个极限是零，这个极限是零，哎，这也没有问题。那么，如果这个极限结果你发现我极限结果是二分之一啊？不是个未定式啊，

说明你出错了呀，那如果出错误的点在哪？出错误的点只能在二。大家注意，这个二肯定不对，因为按照这种方法做出的结果是未定式，我的极限结果应该是几是二分之一呀。所以说在这里面当中，二是出错了。如果二出错了，不就说明一个问题，两项做差的极限就不一定是你的极限，再减去我的极限。是不是这个问题？所以同学们就要想清楚这个事情，

两项做差的极限不一定等于你的极限减去我的极限。因此，在这里面当中，我们把这件事情叫什么？你看帽子原来是两个人，所有现在变成你的加减上你的，我把这个事情叫做拆开。听懂吧，把这个帽子拆开。哎，变成你的加减上我的，如果你想拆开，必须要要求什么情况，你存在我也得存在。记住第一件事情都存在，

才可以拆，就说你的极限是存在的，我的极限也是存在的。都存在才可以拆开计算。对吧，都存在才可以拆开计算，所以在这个时候啊，你发现我们来出一个第二题。limits趋向零，然后是s+s in比上s。看到这个题了吗？呃，这个题啊，我相信就是跟刚才那个题就是刚好相反，我已经可以把它放在一起进行对比的啊，

来做这些东西。等于几？啊，告诉我等于几？嗯，还可以哦，还可以。还行啊，你不要等于二就行，对吧？这个题不要等于二，那么在这里面当中啊，它是一个无穷小问题。对吧，它是无穷小问题，

那么在这个无穷小问题当中，你看这个极限是存在的吧？这个极限也是存在的吧，所以说在这里面当中，我们两项都存在，我就可以变成你的极限，然后再加上你的极限。这里面当中，你发现你的极限是一。你发现你的极限帽子下两下是除法，那这人也是一，所以说这个结果是几是二？你看这样做就可以了，因为两个人都存在，都存在就可以拆。

唉，这是我们在这里面当中讲解的一个第一个问题，点记清楚，如果是四则运算，想把它拆开来算，必须要保证什么都存在才可以拆开算。好，这是我们讲的这个第一个事情，那么接下来我们再来看第二个事情，同理而言，那乘法一样不一样。对吧，这是fs×gs的极限，如果你想把它变成什么，变成第一个极限。

乘以什么情况？乘以第二极限。那么，在这里面当中，也是相当于拆开的，你的要求是什么？你的要求是你存在，我也存在。两个都存在才可以拆开算。是不是这个问题哎，两个人都存在才可以拆开算好了，那么接下来我们再看第三个事情，同理而言，除法也一样。在这个帽子下，

两个人是除法。现在想变成什么情况呢？现在想变成上面的极限，然后再除以下面的极限。是不是把它拆开算了？在这种当中要求什么情况，你是存在的，是a1，你是存在的，是b，当然这个做分母的，这个b啊，得不为零。所以在这里面当中，我们学了半天，

其实你发现归根结底总结起来就是一句话。什么一句话都存在才可以拆开计算，哎，注意下这个问题才可以拆开算。只有你们这两者之间都是存在的，你存在我也存在，我们两者之间都是存在的，我们才按可以按照四则运算的方法拆开来计算。是不是这个事情哎，要记清楚四则运算哎，你存在我也存在，那我的极限结果就等于你的极限，然后加减或者乘除我的极限。好，这是这个问题，

点听得懂我的意思吗？好，要记清楚这里面当中的第一个事情就过去了。但是同学们注意，学到这儿，我觉得没有学完哎，没有学完。在这里面当中，我们核心重点不光光是要学习这个内容，而且这里面当中啊，一个性质也是非常非常的重要的。那么，接下来过程当中啊，我们再来看第二事情，四则运算法则的性质。

哎，这个性质啊，有可能会更加的重要一点，那么在这里面当中，我们来看一张表。我在这里面当中啊，构建一张表，那么这里面当中有以下几个人。那么，分别是谁呢？一个是limit。fs极限。还有一个是谁呢？是limit js极限。那还有一个事情呢。

是lev it。fs加减js极限。好，这几个人那么在这里面当中，我们来看看这三个人之间的关系。那么，首先我们先看第一条。如果第一个人极限存在。第二人极限也存在，请你告诉我个事情，两者加减法的极限存不存在？当然存在，为什么呢？你看你存在我也存在就可以拆开了。那拆开了之后就变成你的极限加减成我的极限数加数当然是数啊，

是存在。所以这是我们讲的第一个问题，你存在我也存在相加减的极限，一定是存在。但是如果在这里面当中，我们改一下，如果你存在你的极限不存在，请同学们告诉我这个极限结果是什么？你看这个人存在的极限，然后这是不存在的极限，请问同学们它的加减法的极限是什么？大家注意，这个极限结果一定是不存在的。哎，是绝对的，

不存在一定不存在，为什么呢？啊，这里面当中啊，我来给同学们进行做一个证明啊。哦，简单跟同学们去证明一下呃，其实非常简单，你看你下的结论是不存在的。对吧，你下的结论是不存在，但是在这里面当中，我们证明存在好证，我就可以用反证法来证明。怎么用反证法呢？

你就假设。我现在不做加减，我就做加法行不行？可以啊，假设。limit.这里面当中的fs+js。这个极限是存在的。好，我假设它是存在。那你想一个问题，假设这个人是存在，我就可以看这个js极限。那这里面当中的js这个极限已知条件是不存在吧？好，

我们来看看js js这个极限，它不就是fs+js极限？再来减去fs极限嘛。是不是这个问题，而我们刚才都知道你假设这个人是存在的。而这个人的已知条件本来就是存在的，根据第一条内容存在减存在是什么？是存在。哎，不对啊，你存在减存在是存在，而我已知条件当中的js是什么？是不存在说明什么事情，说明矛盾了。对吧哎，

说明你说错了，矛盾了，因此在这里面当中，我们马上就可以说明清楚，那说明你这两者之间的什么加法的极限是不存在的。哎，你只能是不存在，所以在这里面当中啊，立即可以把这个结论得到哎加和减，没有什么区别，你乘个负一不会影响存在性的。好，这是我们在这里面当中讲的，这个人那么再来看看最后一个事情，如果你这个人是不存在，

你这个人也是不存在。请同学们告诉我这个极限，结果呢？这个极限结果是未知的。举个例子，无穷大是不存在的。无穷大也是不存在吧，无穷大减无穷大，它就是个未定式，任何结果都有可能发生，有可能结果是存在，也有可能结果是不存在。所以说不存在加减，不存在是未知的，我也不知道这个极限结果到底是多少，

它的极限结果有可能是存在。它的极限结果也有可能是不存在，所以说我们写了一个词儿，叫做未知哎，就是不确定，不一定不知道。好，这是这个问题，点能掌握清楚吗？好，我们就说到这行吧呃，这个知识点呢，听明白了给我回复个一。啊，听清楚了给我回复一，

然后我们下课稍微的休息会儿吧，然后我们休息过程当中啊，你们再来把这个二点二三这个题你们来动手做一下。可以吧好，我们在休息过程当中啊，你来把这个二点二三这个题啊，你完成一下好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。做一下二点二三讲义当中。

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