03.零基础考点精讲3-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:21:40

行，那么接下来我们就继续吧呃，在这里面当中啊，我再提一提啊，对吧？我再来聊聊，反正我们这个直播课过程当中啊，我相信呃，每当我看到同学们的一些这个问题啊。我们就会尽快的话，然后给同学们进行一些解答，所以我觉得大家能听这个直播课程的，你就尽可能来听直播课程。我一直跟你讲数学的学习啊，其实核心重点在干些什么事情呢？

学习规则利用规则。呃，我在这里面当中啊，先解决一下第一个问题，刚才一个同学说河曲d阶是要零比零才能用，大家注意啊。零比零是一种极限状态，对吧？就什么意思呢？你看我们在这个求极限，比如这是个极限。唉，这是个极限，然后它是一个上面这个东西，然后比上一个下面东西，

或者是一个东西比上一个东西，上面这根极限是零，下面这个极限是零，这叫零比零。对吧，它是一个极限状态。那么刚才这个东西我们讲的是什么？我们讲的合取第一阶，首先第一个事情加减法都能用，对吧？这里面当中有有同学问呗，我先把这个事情解决。比如说x趋向0x减去平方，减去三次方，减去四次方，

那都行啊，你看一解二解三解四解，那么这里面当中和取第一节取x。对吧，然后在这里面当中，比如说一的x- 1，我再加上多少加上l呃，或者减去多少减去ln 1加根号x。然后在这里面当中，再加上sin x三次方，你再来看这个人是几节，这个人是一节，这个人是几节，这人是二分之一节，这人是三节。

所以说在这里面当中等价多少，等价无穷小于中间这个人哎，把这个系数带上负的洛因这个人。当下付的更好一些。能理解我的意思吗？所以同学们一定要听清楚一个事情，就是你要想清楚一个问题，我们刚才讲的一个什么问题啊，加减法。对吧，有限个无穷小相加减哎，要注意这个问题，这是第一个事情，第二个事情，刚才一个同学问是零比零才能用零比零是几线？

河曲第一阶在干嘛？河曲第一阶就是把这个人等价成这个人，你在做直接找等价的时候可以等价，你在求极限的时候。如果这个人对吧，这个人可以等价，你也可以直接用能理解我的意思吗？所以同学们一定要把这个事情想清楚一点。就是等价无穷，小是辅助做极限的一种方式，一种方法找等价是它具体的一个内容。我可以这样说吧。所以说你看刚才我们过程过程当中在干嘛？我们在找等价无穷小。学会了等价无穷小，

你可以用等价无穷小处理极限问题，哎，这样的一个内容，你就把它梳理清楚了。好了，这是这个知识点，我们就讲到这。呃，还有一个同学问的话是这个昨天的这个手机讲义的吧，因为昨天的话，那个部分内容没讲完啊，所以说我就放到这个今天一块进行上传。而且除了这个第一次课程吧，因为我们全部都是讲初高中知识点，你可能会觉得这个东西多一点，

上课过程当中啊，来不及记，但是我觉得剩下的部分的内容也都还好，对吧？你尽可能过程当中自己能记，能整理自己先整理好吧，同学们好，那么接下来我们就继续开始再来看看第三个内容。呃，这个内容在讲之前呢，你发现讲义当中我就重点用红色先标注了一下。我现在讲之前呢，我先来说一下，对于我们三九六同学的一个情况。其实在往年的过程当中啊，

尤其是这个二零二三年之前，其实你发现包括二零二三年，那么以前过程当中，就算你不会泰勒公式，你只需要记住泰勒公式所推出的一系列东西。那就可以了，你就可以进行去处理，所有的话在三九六当中处理的极限题，但今年过程当中我们是基础班嘛。零基础，所以在这里面当中，我们有大量的时间，我们可以把这个东西啊，学的更加的清楚一点，你将来过程当中背那些东西也不用硬着背，

脑子稍微转一转，它就出来了。所以今天过程当中啊，我来把这个内容重点讲一下，我们来重点讲一下它的公式。那么，今天过程当中讲这个内容啊，我们又需要换一种方式。那比如说举个例子，有些同学你发现你脑子里面还记得泰勒公式是什么吗？就像大学过程当中学完。最后脑子里面只留下什么泰勒拉格朗日牛顿莱布尼斯，只留下那些名儿了，但具体内容是什么呢？发现很多同学不记得了，

所以今天过程当中啊，我们在第一章学习，我们的重点的目标是什么？求极限。所以今天过程当中，你只需要知道一个事情，这就是一系列的公式。你只要会用这些公式求极限，那就可以了，能理解我的意思吗？所以希望同学们一定要把它想清楚，我们今天的重点就是用这些公式。处理极限问题。至于这个东西是为什么是这样呢？我们在这里面当中啊，

讲到这个基础班的第三章，我就会重点讲，那么到时候我们在这个今年的过程当中的基础班呢？像什么这个中式定理部分，什么罗尔啦拉格朗日啦柯西啦和泰勒，我也会讲讲那么在这里面当中，我们会出一些跟我们三九六同学有关的题目。所以我在一开始就跟你讲，我希望今年过程当中，我们三九六同学一定要保证每个部分的知识点，学的更加的凝练一点，你才基础班。其实你发现像这个零基础啊。我不说别的呃，二三年二二年二一年就是之前这些年份，

其实你发现你拥有了这些水平，你能不能处理以前的考研真题当中的那些？曲线体啊。你包括有些同学，二战同学，我觉得差不多。其实你发现以前过程当中这个啊，考研真题啊，基本上而言的话，你发现很多题目就这个难度系数。啊，一点都不夸张，可能去年考的难，去年考的难的话，难也是难到中间了。

所以在这里面当中，你发现你有这个水平，你都能去处理那些考研真题了，所以我相信我们这次才是零基础，我们基础班还没有开始呢。我们还有强化班呢，那么今年过程当中依然还有这个冲刺救命班，所以我相信今年过程当中你的成绩一定会更加的好一点。好，那么接下来继续，我们再来看下一个问题。我们就来重点来讲讲讲泰勒公式，我们今天的使命就是一个学会这用这些公式去处理极限问题。就可以了，好那么接下来我们先来讲第一个公式。

我先说一下，我们讲多少在这里面当中啊，我们总共会讲八个态的公式。一定是趋向于零才能用。注意啊，我要讲八个人，讲八个人趋向于零才能用。两个没有规律性，那么在这种当中，我们先来想来看一下第一个人，其实你都不用学到有没有规律性，都学不到那么难啊，在这里面当中会用它处理一些一般的极限问题就可以了。好，我们先看看第一个人，

他叫做三。那这个人它的公式是什么呢？它的公式就是s，然后再减去三的阶乘分之一三次方。然后是五的阶乘分之一五次方，然后再减去七的阶乘分之一七次方，同学们有没有发现一个事情？这个公式有没有规律啊？有规律。它就是那个有规律的，你可以继续往下写，你再往下写就是九的阶乘分之一九次方，你再往下写就是11的阶乘分之11次方。它是有规律的，那么在这种当中最后一个要求。

写到哪儿就加上最大次方数的高阶无穷小，一定要注意啊，写到哪个次方数就加最大次方数的高阶无穷小。所以在这里面当中，我来出一下第一个例题，我来教一下这个t的公式啊，怎么去写？比如说在这里面当中，我们出一个x趋向零。你先来看第一个事情，先把这个s in给我写到一次方项，怎么写一次方？写到一次方的话，你发现看写到这儿就结束了。那就结束了之后的话，

你发现加上最大次方数的高阶无穷小，就是这个人。那就结束了好了，那么接下来我们继续，如果让你写到三次方，怎么写写到三次方的话，我们就继续往下写，那这里面当中，我们继续就是x减去多少？三的阶乘是多少？三的阶乘是六六分之s三次方，加上最大次方数的高阶无穷小。那如果在这个题当中，你发现我让你把这个s in写到五次方怎么写？那没有关系，

就是x- 3的阶乘三次方，然后是五的阶乘分之五次方，然后再加上高阶无穷小。那么，对于我们在学习过程当中怎么学呢？非常简单。把这个故宫事故背过。你会记记住这个公式。然后在这里面当中会用它就行。你永远注意一个事情，这就是个公式，这个3a你发现一个事情，它就等于这个人听得懂我的意思吗？s in这个人，他就等于这一些项。

你看，两者之间是什么法？两者之间是等号关系，我就跟你是相等的。两者之间是相等关系。好在这里面当中，我们接下来继续看，那我们就来研究一下呗。有没有发现这里面当中的第一个人？看第一个人来一起来，我等于你加上你的高洁，请同学们告诉我一个事情，立即可以说明什么系统啊我。等价无穷小一。没问题吧，

我加上我的高阶等价无穷小于五。好，你看这是第一个问题，那么在这里面当中，我们继续来看第二个人好，再看第二个事情，我们可不可以做一个移项啊？移项的话就把这个s in移过来，然后把这个六分之一x三次方移过去，然后这个高阶无穷小移过去，你发现。移过去是减去高阶无穷小。我问你个事儿，减高阶无穷小跟加高阶无穷小一样不一样一样，因为高阶无穷小遇到一个不为零的系数。

没有作用，所以在在这里面当中，我们变成加号。好，继续看我，加上我的。高洁立即等价无穷，小谁立即等价无穷小于五。何取低阶原则嘛，我加上比我高阶的高阶是废物，立即等价无效塔，所以在这里面当中我就立即可以得到了一个非常经典的故事。什么公式呢？当x趋向于零的时候x减去s in立即等价无穷，小于六分之x三次方，

当然这里面当中还可以推广。你框去向零框减去三一框，立即等价无穷，小于六分之一框的三次方。那么，这就是一个非常重要的一个等价无穷小公式。那么，在上节课过程当中啊，我们其实都知道一个事情，你像s- 3，它根本不能等价无穷小于s-s。为什么前后之比极限结果是负一？这是不行的，那到底等价多少呢？等价无穷，

小于六分之一x三次方。所以像这个等价无穷小公式啊，也需要把它给我强行的记住啊，这个人。好，这是这个事情，所以有些同学可能在这个学习过程当中啊，觉得这个知识的东西多没有关系啊，你就多重复就行。如果你觉得这个部分的基础不是说特别好，多重复。你举个例子，你看看呃，其实我们学的这个东西啊，不是说最多的你去看看，

有些学西医的。对吧，学医学的。有些的话，这个学什么学法律的考这个法硕的，你看他们记的东西都多啊，这么厚的书好几本。所以有的时候你发现我们这个呃对比吧啊，这个有时候你发现一对比的话，你心里就舒服很多，其实记单词也是这样，对吧？也需要多重复。如果你发现一遍不行，你就来两遍，

两遍不行，来三遍无他，但手熟尔嘛，好这个问题点，我们就说到这，那么接下来过程当中，我们可以用一下这个东西。对吧x趋向零，然后x减去三立即等价无穷，小于六分之一x的三次方。框趋向于零框，减去三一框，立即等价无穷，小于六分之一框的三次方。我们来看看二点一六这个题。

呃，这个题啊，是原来过程当中数一数二数三同学的考题，但没关系，我们做起来也没有问题，这个题啊，当年过程当中是十分。那么，首先第一件事情请告诉我，拿到极限第一步干嘛？拿到极限第一步是不是先定型啊？一定的话，你发现这是个零比零型未定式。既然是零比零型未定式，首先第一个事情，

我可以先把这个人等价一下吧。因为你发现这个人跟前面是乘法，跟下面是除法，所以说这个东西可以先等价无穷，小S因此这个题啊，立即就变成什么情况？就变成了lay mates趋向零，然后这是s三次方，然后这个部分就变成了s in，再减去多少s in倍的sin x。那么这个人就变成了这个情况，对吧？s in-sin sins。那么，接下来怎么办？

它还是个零比零型微粒石啊，我依然是一个什么，依然是一个零比零。你怎么处理啊？有些同学洛必达非常麻烦，我们还没学忘掉洛必达法则是什么呢？没有关系，后面过程当中我们再说。你看这里面当中，这就很恶心啊。那怎么处理呢？我稍微眼神稍微再飘下，而且同学们注意不能直接等价，因为前后之比的极限是负一，不能等价。

那在这里面当中，我稍微瞅一下诶，你发现当x趋向零，它不是零吗？当x趋向零，它不是零吗？哎，你发现一个问题，这不是框吗？而我们刚才过程当中，我们都知道，如果框趋向零。框减去这个三影框，它会立即等价无穷，小六分之一这个框的三次方啊，

所以在这里面当中立即可以写一行。它就等价无穷，小于六分之一，这个框的三次方，然后上面等价无穷小三次方，本题等于六分之一。你看这个题，一道十分的题，你写起来会非常的快，难度系数也不是说特别大，很快就把这个题给灭掉了。所以大家有没有发现一个事情，这个泰勒公式啊，确实很重要。对吧，

相当的重要，因此在这里面当中，我们是不是要进行去把其余七个等价啊？这个态的公式也要进行学习一下。当然是这样，刚才过程当中啊，我们只学习了一个。接下来过程当中啊，还有七个人，我们需要把这七个人呢？我们也需要进行去记一下记忆，没有问题吧？啊，你注意把这个东西啊，要记住好，

我们再来看看第二个人。那就是我们的阿克塞。好，第二。那么，在这里面当中啊，我刚才说过八个里面当中啊，有两个没有规律性哎，两个没有规律，这个人就没有规律。它的开公式是怎么写呢？叫做x加上六分之一x三次方，加上高阶无穷小，它就没有规律。你不能按照这个规律写下去。

下面一个人，他是什么样情况呢？我不知道，所以说你背到这儿完全足以对于我们三九六同学绰绰有余，好了，那么接下来我们再看第三个人。第二个没有规律的出现了，是s加上三分之一s三次方加上三次方的高阶无穷小，你发现这两个没有规律的系数都是正的。哎，这两个没有规律，然后接下来过程当中，我们刚才说过八个人里面当中只有两个没有规律，两个没有规律的出现了，剩下的东西都有规律。

那么，接下来过程当中，我们讲的这个arctangent体，它是有规律的。它是多少呢？x减去三分之一x三次方加上五分之一x五次方减去七分之一的七次方，它是有规律的，你可以按照这个规律写。写下去没有任何问题，它是有规律的。那么，在这里面当中啊，只有中间这两个人没有规定啊，我知道难背啊，这个有些同学可能这个今天进行去把它背过，

稍微的困难一点。啊，稍微的记一记，没有关系啊，你把这个东西贴到你的床头。啊，其实这些公式啊，贴到床头每天看一遍对吧？每天看一遍，你看你记单词，有些单词长一点也不好背，但是你发现记得多了，它自然也记住了。贴到床头，每天晚上脑子一转，

对吧？头一转，然后记一遍，头一转记一遍，天天背，天天背，这个东西自然就记住了。啊，没有关系好了，那么接下来我们再来看第五个人一的x。那这个它的公式怎么写呢？它是一+s，然后是二的阶乘平方。三的阶乘三次方，然后这个东西它就下去了。

然后接下来过程当中，我们再看第六个人，那就是lulu这个态的公式是x减去二分之一x方一正一负一正一负。一正一负，一正一负好了，这个内容它就出来了。然后在这里面当中，我们再来看第七个人。呃，这件事情我来多说一点啊，可能在这里面当中有些同学可能在市面过程当中啊，见过什么泰勒公式的口诀，没有必要。我有背口诀的那个时间，我都把这个泰勒公式记了N多遍了。

我早都把它给我记过了啊，下去过程当中啊，多记一记就行，那么接下来过程当中大家好好瞅一瞅。我想问你个事情，你发现这是s in这个函数吧？那这个东西是我的泰勒公式。哎，这是我的泰勒公式。我就想问你个事情，我和我的公式之间，两者之间是用什么号连接起来的？什么号？两者之间是不等号连接起来的。什么叫等号？

等号的意思就是在趋向于零的过程当中，两者之间是相等的。我这个人就跟你是相等的，我俩是一个人，这两个东西不是两个人，这两个人是一个人，它只是不同的名儿。你比如说在这里面当中啊，你比如说有些同学啊，这个家里有小名儿，然后这个学校里面有大名儿，比如说这个人，这就是你的大名儿。对吧，比如说这就是你的小名，

比如说叫狗蛋啊，比如说这个小名，你看都是你这俩东西是同一个人，大家一定要对这个东西有深刻的理解。那如果你对这个事情有深刻的理解了之后，那我就想问你一个问题，同学们，你琢磨一个点，我就想问你一个事情，当x趋向零的这个极限，这是s in再加上一个人，加上一个人，加上一个人。我问你个问题。请问这个人能等驾吗？

能不能等价无穷，小的代换就是在做极限的时候，能不能把它进行等价了？未必可以，为什么？因为前后之间是加减法，等价无穷，小的替换未必可以。但是同学们想一个事情在这里面当中，我能不能把这个东西进行泰勒展开啊？能不能能不能太着展开？我能不能把这个东西展开呢？当然能，为什么我就把你换成了一个与我相等的东西，你现在用大名儿，

我现在在这里面换一个小名儿。还是你你还是你？所以在这里面当中，我们就会发现，如果在趋向零时候，这个东西就不受约束。没有关系，所以它的要求会更加的怎么办？宽泛一点好，这是我讲的第一个事情，那么所以说第二事情。再来看泰勒公式的优良特性在何处。泰勒公式的优良特性是不在于可以把这个函数变成了一个多项式处理，是不是？可以把函数变成了多项式，

这就是它的优良特性，记到笔记上。泰勒公式最大的优良特性在于可以将函数变成了多项式处理。这就是它的优良特性，我可以把这个函数变成多项式，多项式多简单呀。我喜欢研究多项式。好，这是他的问题。那么，接下来继续我们再来看。那么，请问同学们，你发现这人是相等的，那s in求导是cos那这个展开公式的求导是不是cos的展开？

你倒下是cos in来，你求导是一，你求导是二的阶乘平方，你倒下是四的阶乘是四次方，然后这个东西是不是可以继续写下去啊？没有任何问题，那么接下来过程当中，我们再来记住最后一个态的公式是一+s的阿尔法次方，没有任何关系，我怎么写你怎么记就行。这个人你能背到这儿，完全足矣，没有任何的问题，不要往下背了，背到这儿足矣了。

好了，这就是我们在这里面当中啊，考研过程当中啊，我们需要大家能记住的八个态的公式。记住这八个人，然后会用他们处理极限，那就可以了。好了，这是我们在这里面当中啊的一个非常重要的内容。能学清楚吧，要记住他。那么，在这种当中，我给你30秒的时间，你稍微进行熟悉一下可以吧？

好，你们可以先熟悉一下，如果你稍微的熟悉了，请给我回复个一。好，开始吧，看一遍，因为一会儿过程当中，我要用它。你得用这个泰勒公式把这个东西啊，你先记住。啊，在这里面当中啊呃成对的背好背对吧？你这个s in和cosine tangent rtangente的这个人，每个人都有阶乘对吧？

l是一正一负一正一负的。把这个你先记住。好了吗？同学们。可以了吗？好呃，那这个部分我们就说到这那么，所以说下去过程当中啊，一定要把它给我记熟一点。今天上课呀，你可以没有记住，一会我讲一个查一个讲一个查一个就行，听懂我的意思吗？你可以一会儿过程当中啊，你在学习过程当中进行去查阅，

没有任何问题，行不行呃，你就把这个表啊，你就放到旁边，一会儿我讲一个，你对一个就行。好，那么接下来我们就继续，我们再来看。大家有没有发现一个问题，你看刚才这个s in呀，你可以等于这个一项这个人。你可以等于这个两项，这个人你也可以等于这个三项，这个人。

那所以说同学们这个s in到底展到哪一项？你是不是要进行去学习一下？你肯定得知道我们在做考研真题的时候，我们在这里面当中的s in，我到底要展到哪一项呢？我当然得知道。所以说学习态的公式啊，这里面当中啊，比较关键的一个问题点在何处？比较关键点的一个问题就在于展开原则的问题。所以说在这里面当中，对于态度公式而言，展开原则的问题是非常重要的，那么在这里面当中，我们讲两个原则。

第一个原则叫做相消不为零的原则。啊相消不为零原则，这是我们在这里面当中啊介绍的第一大原则。相消不为零。好，我们先看第一个原则，相消不为定原则。那什么叫做相消不为零原则呢？在这里面当中，我们通过一个例题的形式，我们来重点精讲一下好，我们在这里面当中，我们来看看例一这个题。我在这里面当中啊，我就想问你一个事情，

当x趋向零的时候。这个tangents减去这个s in到底等价无穷小于多少？那么，上节课过程当中，我们讲了一个方法，一吧，那么这节课我们再来看看方法，二，我们用泰勒公式的方式，我们再来找这个人。怎么进去去找这个人等驾呢？那么，首先第一个事情，大家有没有发现一个问题？这个人的tangent x减去这个三，

如果等价的话，就是x-x这个前后之比的极限是负一。所以说等价无穷小公式，它就失效了，没问题吧？等价无穷小公式失效。所以大家记住，找等价的时候对吧？就找等价无穷，小的时候等价无穷，小公式失效，泰勒公式永远是首选。所以在这里面当中，泰勒公式是首选，我就把这个人进行去展开。

什么叫展开呢？就把这个东西啊换成了一个跟他相等的人，我就把这个人展开，我也把这个人展开。好两个人展开。那么，首先我们先看第一个事情，你发现这个人展的第一项是多少呢？这人展的第一项是x。而这个人展的第一项是谁呢？也是s，你发现这个第一项其实就是他的等价项，对吧？这个等价是不行的。而且前后之比是负一，

应该就消掉了。但是同学们发现我要求的原则是什么？相交不为零原则，这两个东西一减为零呢，它就不行。他不行，我们就继续往下写，继续往下写，就是三分之一s三次方，你继续往下写，就是六分之s三次方，大家可以对着刚才的公式往下写。那这个时候你发现两者之间为不为零，不为零哎，不为零就够了，

那我就想问你个事情，这个高阶项写不写？当然得写，不写这个东西就不会跟s in啊，这里相等，所以说这个高阶项必须写。听得懂我的意思吗？高阶项必须写上。写上了之后，你才能知道这两者之间是相等的，那么接下来过程当中，我们就继续那就约一下呗，一约的话，这个人就是二分之一x三次方。好继续高阶无穷，

小减高阶无穷小是几是零吗？有些同学又写零不是的，两个高阶无穷小相加减取小的，那就是这个人。然后继续我加上我的高阶，立即等价无穷小于我，所以说这个人立即等价无穷小于二分之一s三次方。你看这人就出来了，这就叫做相消不为零原则，大家有没有发现一个事情，这不就是我们在这节课过程当中学习的一系列内容吗？首先在这里面当中，你学习的第一个知识点是不学习了，高阶无穷小的运算法则。哎，

这是我们刚才学的，然后这里面当中我们又学了一个事情，等价无穷小的充要条件。充要条件，我加上我的高阶，立即等价无穷无，而且在这里面当中，第三个事情，泰勒公式是不是也是我们刚才学的？第三个事情，你发现不就是我们刚才这节课一开始学的这三个内容，然后进行找等价吗？当你把一个知识点所有的部分一步一步的学的非常清楚，数学的学习也不会变得非常难。我一直讲我说数学的学习啊，

你就要保证一个事情，就是你做题的每一步都要有理有据的。你为啥这样？你为什么这样做？你凭啥这样想？你这步做的原理是什么？因为我都能说清楚第一事情，为什么要展开？因为等价无穷，小公式失效了。泰勒公式是首选长到哪？为什么长到三阶相消不为零？原则怎么进行去约呢？高阶无穷小的运算法则。凭什么等价我加上我的高阶，

立即等价我效果，所以你看所有的内容都是我们刚才学的知识点，我们都是有底气下这一笔的。所以将来过程当中学数学都要这样来好了么？同学们，这第一个事情。好了，那么接下来我们就继续，我们再来这里面当中啊，演练几个题吧，你们来做一下二点一四这个题和二点一五这个题。行吧，你们来做一下这两个题，动一下手吧。呃，

在这里面呢，你不会做，你就模仿着刚才做。对吧，学着刚才做套着，刚才做都行好，这里面当中我给你一分钟的时间可以吧？我只能给你一分钟啊，我们上课时间比较珍贵，对吧？好动手。做一下这个题。呃，做完了给我回复一啊。做完了给我回复一。

慢慢做，不要着急。嗯，很快了哦，你要是做完的话，这个速度就非常快了。当然，我建议同学们注意，一定把这个公式啊，记熟练一点，如果你记得不熟练，你就摆在旁边就行，好，我们一起来把刚才这个东西啊选。学透行不行？

我们今年过程当中啊，这个基础班呢？我先说一下我们这个课程的安排啊。你先听一下，我们今年过程当中，我现在这个阶段叫做零基础的过程，零基础阶段，零基础阶段就是为基础啊，做一个铺垫。把这几个东西熟练了之后，我们上基础课会非常的啊，这个轻松一点。所以在今年过程当中，我们的基础班的课程，我们就能把大纲要求的所有核心知识点全部讲一遍。

其实这一遍讲完了之后，你基本上处理问题都具有体系了。然后我们今年的强化在这里面当中，对于三九六同学，我们上的这个课程呢，是题型课。我们进行刻意练习，我们经常讲这个三九六同学，我们需要速度题目，不会说特别特别的难。但是一定要把这个核心题型给我刷透，所以我讲究刻意练习，所以在这里面当中，我讲这个题型的时候，我会把这个方法给你总结。

然后狂刷个三四道题。然后在这里面当中下去做作业，你再训练个三四道题，我相信这个速度也上来了，题目也会了。你看去年过程当中，比如说。考的那个中间的话，过程当中有一道那个考那个方程根那个题，虽然长得恶心，其实那个题不是说特别难。对吧，其实就是把一些东西给吓到了，所以在今年过程当中，我们上课这个体系对三九六同学，

我们最后不光是要求这个会。而且是速度，而且你发现碰到一些问题啊，你得敢做，所以今年的强化过程当中，我相信你这个水平会提升的更加快一点。到了冲刺班，我们再把这个所有部分内容核心知识点，我们再来梳理一遍核心题型，再来梳理一遍。到了最后过程当中，我们再做模拟卷啊，今年过程当中啊，这个三九六同学，我们有四套卷，

到时候我们看吧，如果这个时间来得及，我们这个三九六同学的这个卷子啊。可能可以做的更多一点，因为你发现你们现在开始啊，其实这个时间我们已经开始卷起来了啊，所以你们不要着急。三九的同学，我们学的东西啊，不是说特别特别的多，我希望今年过程当中啊，能出一些非常非常好的成绩。好了，那么接下来继续，我们再来看看二点一四这个题。

首先第一个事情找等价呗，对吧？两者之间找等价，我先问你个事情，这个东西能不能等价无穷小S啊？不行，前后之比是负一等价无穷小公式，失效了之后泰勒公式是首选。那泰勒公式首选，我就把这个s in进行一个泰勒公式的展开。展到哪一阶呢？展到相交不为零的阶好，同学们，我们看啊，第一个s约掉不行，

继续写负的六分之s三次方可以了，高阶项写上。然后在这里面当中，我们就继续这个人就完了，来把它算一下，就是六分之s三次方减，高阶无穷。小同学们告诉我，减跟加一样不要。一样的，我加上我的高阶，我们说了一个无穷小，后面加上一个高阶，高阶就是废物，立即等价无穷小于五。

没问题吧？好，这个事情立即却清楚了。你看每一步的处理啊，都是有理有据的来继续再来看下面这个人也是这个问题。那这里面当中是x-tangent。对吧，这个人首先第一个事情，这个人能等价吗？不行，前后之比是负一，不能等价就泰勒展开展到哪啊？相交不为定向，第一项约掉了不行。再往后面写三分之s，

三次方可以了，再加上高阶项。然后把这个人写开就是负的三分之I三次方减高接无穷，小就写成加上。一样的高阶无穷小，遇到一个数不变，我加上我的高阶高阶是废物，立即等价无穷无。好这个人他就出来了，再来看最后一个人x-ln。那么，这里面当中你发现这个东西能不能直接等价一等价前后之比是负一不行？所以在这种当中，只能泰勒展开展呗，第一项是s约掉了，

留下第二项负的二分之x方。那就是这个人可以了吗？可以了，再加上高阶项。我知道你学会了，你这反应慢，你反应慢的原因在何处呢？公式记得不熟，所以下去把公式记熟一点，然后这个东西就通关过去了。哎，所以说要有信心一点好了，我们继续再来看二分之x方，然后减去高阶无穷小跟加上是一样。然后继续我加上我高阶高阶是废物，

立即等价无穷，所以你看这个部分的内容，它就出来了。咳，我知道有些同学就会想说，老师，我们考研又不考证明题，你讲这个题干嘛？我要这个结论。这个结论呢，相当的重要，所以在这里面当中，我们继续再来看这里面当中考点的内容。我们还有BG的几个重点，等价无穷小公式。

这几个等价无穷小公式啊，也是我们需要必须要把它记住的，那这里面当中啊，其实我们重点讲的是五个。把这五个等价无穷小公式，我希望同学们也要熟记于心，必须要把它记住，那么这五个人是谁呢？好，我们把它把它写一下。在这里面当中，有第一个人x- 3。然后第二是s-tangent t。然后在这里面当中是s-ln一+s。然后继续使s-arcs in。

然后是s-arctan整体。好了，这五个人，但是这五个人呐，有会背。以前过程当中这个有些同学可能考三九六考三九六的同学的话，不学这个泰勒公式，也学过这几个等价无穷小吧。怎么记得呢？强行背锅。但今天过程当中啊，我们不要强行背锅，脑子要转，大家有没有发现一个事情？你看刚才我们坐了三个人。

x-sin x-tangent x-ln有没有发现一个事情？这个人这个人这个人。这仨人他的第一项泰勒公式的第一项都是s，然后一减就没了，就是第二项啊。有没有发现好，我们来看看这泰勒公式，我把这个人我们来重点看看。这就是我们在刚才过程当中啊，所学习的这个态的公式，哎，这是我们学习的八个态的公式。那么，接下来过程当中，我们来把这八个态度公式啊，

我们来重点看看，你看我拉到旁边去，大家细心的瞅一下。这就是我们刚才所学的这八个人。这八个人的话，我们刚才做的是哪几个人呢？我们做了sine阿尔法sine tangent r，阿尔法tangent题，然后这里面当中我们又做了一个ln这个人。我们刚才过程当中是不是学习了这几个人？好，大家发现没这几个泰勒公式的特点是它的第一项都是谁？它的第一项都是x。是吧，它的第一项都是x当，

你被x减的时候，这个第一项都没了，然后留下的等价项是不是都是第二项？你告诉我是不是？都是第二项，所以在你的脑子里面，只要你能记住泰勒公式被那几个等价无穷小公式是不是脑子一转就出来了？你脑子一转，这个东西就出来，你不用去强行的背它，所以接下来过程当中，我们一起来看看来走一遍啊，脑子动起来啊。好，先看第一个人。

这个人的第一项是x被干掉，留下第二项是负六分之一，负负得正六分之一三次方。这个人的第一项是s被干掉，留下第二项三分之一负正得负负三分之x三次方。那这个人的话，你发现两者之间错负号呗，你是六分之一，我是负的，你是正的，我是负的。你是负的，我就是正的，然后再看这个人，第一项是s被干掉，

留下第二项负二分之一负负得正二分之s方。我知道你学会了，你就是反应慢，我猜对了吧，你肯定就是反应慢，但是不是说没学会下去，过程当中只需要做一个事情。把这个公式背熟，把这个公式练熟，然后进行刻意练习，无他淡数数二，你将来过程当中，你会非常熟练的。好了，这五个人呢？

我希望每个同学也需要把它记住，第一个人，第二人，第三个人，第四个人。第五个人。那这几个人呢？我希望你们在这里面当中都把它给我，记得非常非常的熟练啊，这是很重要的。而且在这里面当中，我们接下来过程当中，我们再回到刚才那个题，你发现你就学的非常清楚了，你看二点一二这个题。

那么，将来过程当中，做这个题不就虐菜吗？很明显，我就知道这个人等价多少，等价负的三分之一x三次方。所以说这人是几阶？这人是三阶，对吧？这个人就是三阶，你们都是二阶，我是三阶，我当然是最高阶，我直接选d。我还折腾那么多干嘛？

我也不用进行排除法，我照样把它做出来了。而且在这个题当中啊，往年的一些真题啊，考过一些非常离谱的一些东西，我给你看看啊，虽然是数一数二数三的。里面当中啊，我会挑一些啊，这个对于我们而言能做的一些题啊，这块东西啊，我都会做筛选的，那么这里面当中我给你看一下。尤其在二零这个二一年。你看看这个，

这是二一年的题啊。应该是一九年。我给你找一个题啊，你来看看这个题目考的有多么的离谱啊，你看看这个第一题。呃，这是当年的话，这个全国硕士研究生入学考试的这个二零一九年的考题，你告诉我这个一这特别像我们三九六的同学的题。这反而不像这个数学一数学二数学三同学能出出来的题，你告诉选几啊？你做不出来，我就疯了啊，选几啊？这太简单了吧，

你这个人的话，你发现等价无效负的三分之x三次方，这人是三阶同阶的话是三阶k就等于三答案选c，你看这题。这其实你发现有很多三九六同学考这个味道，你说出给我们怎么样？他还可以啊。没有问题啊，它就出了一个这样的破题，你说这个难度系数，而且在这里面当中，我们再来看。还有一些这个考研真题啊。好在这里面当中，我们再来看看这个里面当中，

我再给你找一个题，你把它给我进行去处理一下。比如说大家我们来可以看看这个考题。对吧，你这个题这个题我们讲义上有对吧，我们就直接刷一下来，把这个题操作一下，把这个讲义我们继续来看看，二点一哎，没有这个题没有这个题，我们来看看这个题。你比如说这个题，这题能灭了吗？简直就秒了这个题。这题出给我们三九六同学没有任何问题。

当然，有些同学可能落笔打了，而我们只需要一步。你在这里面当中，一定行拿到极限，先定型定完型是零比零。然后在这里面当中，眼神稍微的漂他们一下，然后这个人就见到我们非常喜欢的这个人，然后他立即等价无穷，小于三分之s三次方。两者之比，像是一个常数，那这个k也得是三，那这个时候两者之比的话就是三分之一，

所以说这题正确答案选四d。你看这题是不是出来了，所以说大家发现一个事情，你看这个题对吧？考给我们也行，不是说不行，可以的。初成我们卷子当中的第一个题或者第二题，他就这个难度。所以有些部分的类型问题啊，你要学会去进行处理，能掌握清楚吗？好，这是我们讲的第一个事情。那么，

接下来我们就继续，我再讲一个题，我讲完这个题啊，我们就可以下课了，然后这个二点一八这个题我建议同学们留作作业进行去做。二点一九这个题我们还有一个原则没有讲，我下节课过程当中会重点讲的好了，那么接下来我们再来看看二点一七这个题。怎么了？没有拖堂不习惯呢？好了，那么接下来我们继续，我们再来看下面一个问题，等价无穷小的问题。考点确定等价无穷小问题。

那么，像这种类型问题的考点呢？我们通常而言都是怎么进行处理的呢？那么，首先第一个事情，我们先来看看，确定一个人的等价无穷小。那么，如果在一个考题过程当中啊，他说这两者之间是等价无穷小。对吧，互为等价无穷小，那互为等价无穷小，你去找等价的时候，你在这里面当中，

首先第一件事情，你会想到什么？我会心想等价无穷，小公式能不能用？你是不是这样想？我当然这样想，我首先第一个问题，我就要先看看你这个等价无穷小公式到底能不能用？等价无穷小公式，无穷小公式我先用。如果你发现一个事情，这个人的等价无穷小公式，他就能用，那有能用我就用了呀，我就直接用等价无穷小公式。

那关键点一个问题点就是，如果这个人的等价无穷小公式，他不能用怎么办？那在这里面当中，我们的核心重点就是用泰勒公式，这是我们在这里面当中啊，处理的两种手段。当然，我们在考研过程当中，我们考的不会特别难啊，像这种题啊，你都会做了，考研肯定没问题。那么，接下来过程当中，

我们先来看看第一个点。那就去检验呗，首先第一个事情，这个题它能不能使用等价无穷小公式啊？那你就要看看了，那在这里面当中，中间用加法。前后之比的极限到底是不是负一呢？你检验一下你在这里面当中，这个前面这个人是三倍的，这个s in后面这个人是负的s in 3x。那么，在这里面当中啊，两者之间是除法，除法就可以等价了。

s in框立即等价框，然后s in等价，它两者之比是负一。那中间用加法，两者之比是负一等价无穷小公式就用不了。那等价无穷，小公式用不了，还要找等价怎么办？我就可以用泰勒公式。对吧，我在这里面当中就可以用泰勒公式进行去找等价，那么在这里面当中泰勒公式怎么办？当s趋向零的时候，你就要进行去展呐，你给谁展呐？

我在这里面当中有个sins。然后这里面当中有个si nine。那给谁斩呢？你肯定可以给家斩。你要展都展对吧？都把它展成什么东西啊？都展成多项式，这个人展开没问题，那关注点是这个人展开怎么办呢？对吧，我们都知道一个事情s in这个人，你都知道你看x趋向零你s in这个人泰勒展开没有任何问题x减去六分之s三次方点点点下去。没有问题，那这个人怎么办？哎，

也是这个东西也能推广嘛？如果是框趋向零的话s in框，它这人的展开就是这个人。对吧，它也可以，所以在这里面当中当x趋向零的时候，你发现三x是不是也是零那三x减去六分之一？3x的三次方，然后下去是不是这个问题啊？所以接下来过程当中，我们就可以写了来给这个人展。然后给这个人占。那么这个前面这个部分展的第一项是x这个人展的第一项是3x，请同学们告诉我3x。3 x- 3x呢？

两者一减是零。不够那就不行，继续写，然后这人是六分之一x三次方，然后这个人呢是六分之多少呢？六分之二十七。六分之二十七可以约下。那这个率约个三，那就是二分之几二分之九，那二分之九I三次方，那么同学们告诉我这两个东西能约掉吗？你看。这个人乘个三。是负二分之一，二分之一，

二分之一跟二分之一肯定约不掉，约不掉的话，同学们，我们就站在这儿。那在这里面当中，我们就站在这儿。对吧，我们就写到这，写到三次方的高级项，写到这个框的三次方的高级项，那我想问你个事情。这一里面当中，其实是27倍的，我们都知道这个27没有任何作用啊，一个系数没有关系，

你直接写就行。好，这里面当中的问题，我们就可以整理一下了，这三s减去二分之a的三次方三倍的高精角三不要了，减去三s。然后这里面当中减去二分之九倍的I三次方，加上高阶项来整理一下三x约掉，然后这是四倍的I三次方。高阶捡高阶，然后娶妻晓得我家我的高阶高阶是废物，立即等价无效果，所以说这个人。其实就是我们想说的c倍的xk次方，你告诉我个事情c等于几4k等于几三？

一个是四，一个是3 c=4 k=3，大于等于c。好了，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个第一个问题，对吧？原则一原则一就叫相销不为零原则。对吧，我把它讲完吧，我把这个还有第二个原则讲完，然后可以留一个例题，然后大家注意啊，二点一八这个例题留作作业。大家下去过程当中做注意一个问题啊，

我们今天是有作业的啊，这个今天是有作业的，所以说一会儿过程当中你可以去APP里面。然后去下载一下好了，那么接下来过程当中，我把第二个原则讲完好不好？不然的话，这个下去过程倒笔记都不好倒。那么，接下来继续我们再来看一个原则，原则二。还有一个原则对吧？一个原则是原则一，还有一个原则原则二，原则二是一个经验性原则，

哎，经验原则。什么样的经验原则呢？大家都知道考研如果出一道极限题。它肯定都是存在的。你想想是不是？我们考研当中出一道极限题，一般都是最好，你不知道我告诉你是的。考研出一道极限题，一般都是存在的，很少见的不存在。那这个时候大家想一个问题，如果一个题的话，它是除法的形式。

对吧，你上面一个人，下面一个人，除法的形式。大家想上面如果是三阶，下面一般都是三阶。下面是四阶，上面一般都是四阶，所以说上下同阶原则对吧？上下一般都是同解的。我下面是多少节？我上面一般多少节？我上面多少节？我下面一般多少节？所以叫做上下同阶原则。

但是主要原则是这，这是主要原则，下面这个东西啊，是一个经验性原则。哎，一定要注意啊，这是个经验学原则，主要原则还是一个相消不为零原则，这是经验呗，经验告诉我们考题出题学习，他的经验告诉我们的。那么，在这里面当中，我们来看一个事情，你比如说二点一九这个题。

你看这个题目。那对于这个题而言，拿到极限先定型，定完型就是零比零，首先第一个事情我可以把下面这个人先等价了。立即就等价多少回答我二分之一x三次方有没有问题？这这个你要等价不出来也不行，这人一下就醒了，我讲了两种方法，这个东西要记住。好了，那么接下来别的东西没有让你记的，你就别记了，好再看上面那么请问同学们这两个东西能等价吗？不行的，

前后之比的极限是负一等价无穷小公式，用不了泰勒公式是首选给你斩给我斩，而同学们注意，我看到下面是三次方，上面肯定三次方，管他呢，直接写。is减去三分之一三次方都不用去看相消不为零原则了，直接写上面这人是is加上六分之一s三次方，然后直接加到高级无穷小。就直接写。所以在这里面当中，你发现等价无效公式用不了泰勒公式首选，而我们的原则下面三阶，上面三阶，

因此在这里面当中，问题点就出来了，当x趋向零的时候。这人就是二分之一s三次方。那上面这个人呢？约一下你一减你这个人减这个人是负二分之一x三次方。高阶减高阶，然后你发现还是他，我加上我的高阶高阶是废物，所以说两者一除是负一。能听懂我的意思吗？这就是我们经常讲的上下同级原则，因为我看到下面是三阶，我不管了，我管它三七二十一呢，

我要刚它了。我就把他斩到三阶，直接出来了。这就是这个问题，这就叫我们讲的什么问题呢？叫做相销不为零原则，然后第二事情经验性原则叫做上下同接原则。好了，这个问题点我就讲到这二点一八这个题啊，下去做可以吧诶下去做。好了，那么今天这个部分内容我们就讲到这儿，今天东西啊，可能会显得更加的重要一点，你可能看得出来，

你看第一节课真的叫做前参的问题吧。就第一节课，第一节课真的是叫做前参问题，包括第二节课有些人觉得很简单，你发现上了这节课。你才真正的进入到这个考研的这个问题的复习了，所以慢慢来，不要着急，我也知道一个事情，每次过程当中你发现一个事情，我讲的这个什么？讲函数。对吧，讲函数总会遇到一些不理解的同学。总会遇到一些不了解的同学，

总会觉得哎呀，好简单。那我也想一下子讲这个东西，有同学觉得诶有水平，但我觉得不是这样。它不是一个良性的一个循环。你想想一个事情，我第一节课不讲这个arctangent题，你后面见到arctangent题你都特别难受。你都非常的难受，所以第一节课必须要进行学函数。你没有那些函数图像，我问你个事情，我在这里面当中，我说阿尔克泰这零是零，

你还想半天阿阿尔克塔这零是什么鬼？所以在这里面当中，首先第一个事情先把函数给刚过去，然后再接下来过程当中再去学那个，不要着急，学习是一个循序渐进的过程。慢慢来吧。好了，这个问题点我们就讲到这儿下去，过程当中好好整理吧，可以吧，好好整理一下这个问题，把这个部分东西啊，好好整理一下，那么下节课过程当中啊，

我们就进行去重点进行学习。你们学习的喜欢的洛必达法则，还有这个四则运算法则好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，一会儿过程当中啊，你可以进行去下载这个。笔记了啊，一会儿可以下载这个笔记，另外一个事情，今天过程当中啊，我们是有作业的啊，我们是有这个作业，然后的话，这个可能第一节课和第二节课讲的东西，

你看上节课才讲的这个无穷小的中间。讲到中间，所以说我们没办法进行去给大家这个作业，但是今天过程当中就可以了啊，今天是有作业的，然后跟着这个作业，然后进行去完成。呃，今天呢？我也收到这个大礼包。呃，还是挺好看的啊，这个今年过程当中，我觉得用的颜色我还是比较比较。我但是我最喜欢的当然还是绿色啊，

我最最喜欢的这个颜色是绿色，然后这个年后的过程当中啊。我们的零基础提前学，我先说一下，我们今天过程当中，我们的大礼包。不要着急啊，零基础提前学都是PDF的，所以我们的大礼包年后就会发。啊，年后就会发，然后在这个基础班。基础班的这个之前的话，我们就能收到哎，所以说我们这个哎，

到时候我可以跟他们说一下，能不能把我们这个设计成？偏点儿绿色的啊，我觉得我还比较喜欢这个绿色啊。好了，这是这个，所以说我们的这个大礼包，今年的话，这个里面当中啊呃，第一个部分有基础的讲义。你可以看得出来，这个基础讲义还是非常厚的啊，这个基础讲义，然后第二事情有我们的800题。基础通关的800题，

然后第三个事情的话就是一些这个呃基础的一些周边啊，然后在这里面当中还有我写的。写的一封信啊，然后的话，这个每年每年的话，这里面当中我都会写一封信，然后这个我看看这里面还有一些。还有些什么这个这个这个东西，这是什么每天的计划表啊？这是每天的一些计划啊，这个计划表。行吧，好了，这个今天课程呢，我们就重点讲到这儿，

然后下去过程当中，我们的大礼包会在这个基础班之前呢，我们就会给同学们进行去啊，寄送到。所以说这个。呃，反正我们零基础提前学阶段呢，我们的重点而言，你就把这个东西啊，先用到就行，好同学们行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿下去，过程当中好好进行复习吧。然后另外一个事情。

三九六核心笔记。800题那是什么？哦，行吧，那个呃，我先说一个事情，我们已有的东西是很足够的，如果你觉得。不够做，你再做他的啊，好吧，你觉得不够做再做，然后你觉得够做的话，你不用着急这个题啊。你题不够的话，

你尽可能来找我都行啊，然后在这个去年过程当中，我们这个考点全刷里面。这去年版本的啊，当然今年的话会好看一些，这是但是我们今年的话，三九六同学来不及这个在这个高等教育出版社出版了。呃，所以说我们今年用的都是内部资料，那么去年过程当中这个很多学生说这个题目不够，我今年一下子在里面当中啊。去年总共1000道题，对吧？这个总共去年是1000道题，我今年在这里面当中啊，

我把基础部分我直接增加到800道题。然后到了这个强化部分呢，我又这个部分当中是500道题，1300道题啊，所以我觉得这个题量还是够啊。好了吧，那么今天部分内容我们就讲到这，然后下去过程当中啊呃，好好进行去训练吧，然后把这个相对的各部分问题啊，好好进行处理一下。好，那么今天课程呢？我们就讲到这下去过程当中好好进行处理一下，另外事情我再来强调一遍呃，

今年过程当中这个800道题啊。里面当中的题目的难度系数。它会完全的衔接我们上课的部分的内容，你可能有些同学是二战同学，你明显感觉到，如果你去年过程当中，你也上了别的这个呃三九六的这个基础课程。嗯，也不是说别的，你可能去听到别的话，你发现我们的零基础课程都有可能比他们的这个基础班的课程要稍微的难一点。啊，毫不夸张啊，确实是这样，所以在这种当中呃，

今年过程当中啊，我们应该是匹配的最新的难度要求。我一直给你抢了好多遍了，我们今年过程当中，我为什么开设这个二四的全程班，那么去年过程当中，我其实时间是没有那么充分，你可能看出来。我这两天过程当中，每天都有课。啊，就是如果晚上不是你们的课，晚上肯定是别的课，而且这两天过程当中我还有个督学班的课，所以说这两天过程当中啊，

这个课。课程量还是挺大的呃，你不用现在做三九呃数三的真题，你不用不用做这个真题呃，现在的话你做那个有些部分的知识体系还没架起来啊。所以今年过程当中，我们这个800题啊，里面当中的要求肯定会更高一点，对吧？更加符合我们的这个今年的考研难度，所以我一直给你讲这个事情。我一直跟你说这个问题，今年如果说你这个课程你去听呐，你就听我们今年二四版的三九六的金棕数学的全程班。因为这是我开设的第一届的三九六的精宗数学全真班，

所以我觉得今年过程当中去年过程当中有的人说这个不用再去听三九六课，三九六的课程的话难度系数跟不上来。我今年过程当中为什么开设这个呢？我就是因为去年的话，这个部分的一些部分的一些题目的难度系数的上升，所以今年过程当中我们就有所增加，你就好好跟着这个课程走就行。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这，然后下去过程当中，我再强调一遍，光听不练都不行。你光听不练，肯定都不行，

所以下去过程当中啊，一定要听了之后先整理，然后再来进行训练。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿呃，如果已经听完了数三那个零基础可以做些什么题呃，你可以进行去看看试面当中，如果你觉得题量不够，你可以看看。市面当中三九六的这个习题呃，我我我就觉得一个事情。做哪一把都行，你你听懂我的什么意思吗？做哪一把都行，

但是做一把做透才是最重要的。不要把时间都放在什么，我做这个书做那个书，做这个书，我买什么书，我买这个人买那个人，你注意一个问题，我先说一下，你听课，我们的这个书籍是配套的作业，所以说必须做。至于你买别的书无所谓，买哪一本都行，买什么东西都行。只要你把它认认真做完了，

不要的话，这个中间做了之后觉得难说什么？哎呀，这个题太难，肯定不是我们考的，是这个出题，不要有这种想法就行。买一本把它做透就行好了，那么今天课程呢，我们就重点讲到这呃，今天作业一会儿过程当中，你去那个APP里面进行去下载就行好了，那么今天课程我们就讲到这好吗同学们？好，行吧，

好下节课见了。

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