03.零基础考点精讲3-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:21:27

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测试下声音啊，能听到声音，而画面没有问题啊，请我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的零基础提前学的课程，那么今天啊，应该是我们的第三次课程，那么在昨天过程当中啊，其实我们重点已经把这个函数部分呢全部讲完了。

我们讲了函数的定义，我们讲了函数的性质，我们讲了基本初等函数，我们又讲了这个基本初等啊，这个初等函数还有在后面过程当中啊，我们又讲了复合函数的问题。所以这是我们在上节课过过程当中啊，讲的这个第一个事情，然后紧接着我们又学了这个第二个问题，学习到这个什么求极限的问题。那么，在这个求极限过程当中啊，首先第一个问题，如果将来过程当中啊，我们碰到的极限会有几种趋向状态啊？

好，稍等一下啊。有几种趋向状态，是不是总共有六种趋向状态，它可以趋向于一个点，趋向于一个点的正，趋向于一个点的负，趋向无穷，大趋向于正，无穷，趋向于负无穷。包括的话，你发现这个无穷大，包括这个正无穷和负无穷两种情况，所以在这里面当中啊，

总共有六种趋向状态。那么，接下来过程当中啊，我们来把这个上节课过程当中的知识点做一个重点的复习函数部分呢？我们就不复习了，我们来重点来看看上节课过程当中的核心内容。那么，首先第一个事情啊，我们学习了这个极限的定型问题，拿到极限先定型，先定型后定法。那么，首先在这里面当中啊，你要注意一个事情。怎么定型呢？

就把那个人带进去就行，那么在这里面当中会有两种情况，一种情况叫做未定式机械，一种情况叫做已定式机械。那么，请问同学们注意，未定式极限有几种状态啊？有几种未定式，是不总共有七种啊？那么在这里面当中，你发现跟着我一起来复习一下，零比零无穷比无穷，零乘上无穷大，然后是无穷大减无穷，大一的无穷大。

无穷大的零和零的零总共只有这七种未定式，那么这七种未定式之外啊，你可以把它认为成已定式情况。那其实你发现在这里面当中啊，我们考研基本上都是这样，那么在这里面当中啊，可能会有一些其他的情况，一会儿过程当中啊，我可以给你举个例子。但是同学们注意一个事情，在这个做题过程当中啊，基本上都是这样，那如果在这里面当中，你发现是一定是怎么办？一定是这个部分问题，

我就直接。代入求极限。代入求极限，所以说这个时候啊，你发现一个事情，你就非常的清楚的搞清楚一个问题，那什么样的极限我可以带进去啊？什么样的极限我不能带进去啊，像这种类型问题啊，你就掌握清楚了好，这是我们在这里面当中啊介绍的第一个事情，而且上节课过程当中啊，我们还讲了这个无穷大比无穷大的未定式的处理性的方法吧。哎，这种类型问题那么在这里面当中，

你可以怎么办？上下同处于最大项，当然在这里面当中，你还可以进行抓大头处理，哎，都是一种非常好的方式，好了，那么接下来过程当中啊，我们又讲了一种情况。那么，在这七种未定式当中啊，你必须要学习会一系列的问题的处理性方法，那么在上节课过程当中，我们讲了第一种操作性的方法叫什么？叫无穷小的方式。

那么所以说在这里面当中啊，首先第一个事情你就要必须要搞清楚一个问题，什么叫做无穷小量那无穷小这个东西啊，你一定要注意一个事情。它是一个注重结果，不注重过程的一个东西，我就只看这个结果是不是零，如果这个人的极限结果是零，我就说什么情况，我就说这个人。在这个什么这个趋向下，为什么情况为无穷小量？所以同学们一定要注意这个事情，必须是极限，结果是零，

它在这个趋向下为无穷小量。好了，那么接下来我们就继续，你发现你的极限结果是零，我的极限结果也是零，那么谁往零跑的快一点呢？谁往零跑的慢一点呢？谁跟谁跑的一样快呢？还是差不多快，所以说在这里面当中比接的问题又非常的重要，那在这里面当中怎么操作？如果想比截，就把这两个无穷小放在同一个极限下作比。如果在这作比啊，它会有几种情况发生啊，

是不是总共有四种情况，如果这个结果是零上面这个人是下面的高阶无穷小。如果这个结果是无穷大，上面是下面的低阶无穷小，如果这个结果是一哎，上下是等价无穷小，如果这个结果你发现是一个不为零的数。它就是同阶无穷小，那等价无穷小算不算同阶无穷小？当然也算等价无穷小算，一种最特殊的同阶无穷小。好了，这就是我们在上节课过程当中啊，讲的几个知识点，我们上次过程当中我们说过一个事情，

我说同学们注意你从这个知识点开始。那么，从这个知识点开始啊，我们就相当于正式的进入到考研的备考内容了，那么这个等价无穷小，非常非常的重要。那么，作为首先第一个事情，你必须要掌握清楚八个等价无穷小公式的内容，哎，对吧？你必须要把它记清楚，我们一起来背一遍可以吗？好，一起来一遍啊，

那么在这里面当中x趋向零，你要注意这个内容，在我们考研过程当中啊，对于我们三九六同学可能是重中之重的内容。哎，你要注意一下这个问题，那么首先第一个事情s in这个人呢，等价无穷小于x，然后第二个事情阿克塞因这个人呢，等价无穷x，然后是tan这个人呢，等价无穷x。然后是r tangent x啊，等价无穷s好这几个人，然后就是e的s- 1等价无穷s，

然后就是ln 1+s等价无穷s。然后在这里面当中还有个一减cosine等价无穷小二分之一x方，还有最后一个人是一加s的阿尔法次方减一等价无穷小阿尔法s。你看这里面当中啊，总共有八个等价无穷小公式，那么在上节课过程当中，我们又讲了一个重点内容，那这个等价无穷小的代换。到底应该怎么代换呢？在这里面当中怎么进行处理的？首先第一个事情你要注意，一定是乘除法可用。对吧，如果是乘除法，一定可以用。

你们两人之间是乘除法关系，我一定可以把它进行去等价代换啊，这个没有任何问题，那么接下来过程当中我们再看第二事情，那最重要问题其实就是加减法。那加减法这个人怎么办哎？你得慎用对吧？谨慎使用，那么在这里面当中谨慎使用的话，你要注意一个问题，两者之间中间是加法。前后之比的极限不能是负一。你前后之比的这个极限是负一，你就用不了，如果你不是负一，

你就能用哎，这是我们在这里面当中啊的一个重中之重的内容，那么当然在这里面当中啊，第三个知识点就是。就会显得更加重要了，哎，当然在这里面当中啊，你发现上节课也学过一些例题，对吧？你把这个人住到这儿。你比如说s趋向零，那么请问同学们注意这个tan减去这个s in等价多少？有没有把它记住？那这个人是怎么做的？提出一个摊正题吧，

提出一个摊正题就是一减cos in，所以说这人等价无穷，小于二分之一x三次方，你看自动就记住了。而这种手法是最快的好，这是这个内容，那么接下来我们再来看看第三个事情，这个东西可以怎么办？它可以进行推广使用。哎，注意它可以推广使用，那么这个推广使用显得相当的重要。就说每一个部分的问题，不仅仅要看s你可以把它当做成个框。对吧，

比如说在这里面当中，你发现一个事情，如果这个框是趋向于零，我s in这个人，我就立即可以等价无穷小于这个人。所以在这里面当中啊，你不在乎是不是x趋向零，我不在乎，我在乎的是什么情况，我在乎的是这一坨到底趋不趋向零。是不这个问题，所以这是个重点，你比如说在这里面当中啊，我们来出一个题，看看大家的水平好看看例一。

如果在这里面当中当x趋向无穷大，你注意了，你看看这个趋向，这个趋向是x趋向多少无穷大。然后这是x我再乘上一个多少呢？我再乘上一个x方，加上一分之x。你来看看这个极限，结果它怎么处理啊？你就像这个题，完完整整的可以出成一道我们的考研真题，没有任何问题哦。好了，或者你把这个人改成二也行，对吧？

我们稍微的改一下好了，那么接下来我们首先看第一个问题。你稍微漂一下，你发现这两者之间是乘法吧？两者之间是乘法，你来给我看看这个部分。对吧，就这个部分，这个部分的话，当x进行趋向无穷大的时候，这是s这是2x方加上一。你可以单独看看，那这个时候的话，它的极限是什么？它的极限是无穷大比无穷大，

那这个东西是不是可以抓大头啊？一抓的话，你发现这是s这是2x方约掉一下，这个人是零。因为下面这个人比上面这个人大得多，所以说这个结果是零，你听懂我的意思吗？或者你眼神稍微的瞅一下这个东西也出来了。下面这人比上面这人大的多，那所以说这个事情就出来了，你发现一个问题，当x趋向无穷大的时候，这个整体是零。它是不是框啊？所以说这个框如果趋向零的时候s in这个框，

它就立即等价无效框，所以说这个人呢？就是x比上2x方加上一。因此，在这里面当中，马上就变成了s趋向无穷大只是二x方，加上一分之x方这个人。那么，做成这个结果了之后啊，马上这个东西就出来了，抓个大头二分之一。是不是这个问题，所以大家一定要注意一个问题啊，你在做题的时候一定要稍微小心一点，你做的是无穷大的问题，

还是做的是无穷小的问题？把这个事情一定要想清楚好了吗？同学们可以了吧？好，这是第一个问题啊，难度系数不是说特别大，就这个页面是我们每个同学都需要把它记住的。那么，接下来过程当中，我们来做一些题吧啊，上节课过程当中啊，我说你们下去过程把这些例题啊，再做一做，有没有做完呢？好做完的同学就是二点七二点八二点九二点一零一一做完的同学给我回复个一来。

我看同学们这个完成的情况。写完了没有哎？还可以啊，还可以好了，那么接下来我们来在这里面当中啊，我们先来看看第一个题。好，继续开始那么请问同学们拿到极限先干嘛？拿到极限先定型，那么先定型的时候你发现一的零是一一减一是零。那下面这个人也是零，上面也是零零比零型的未定式。那既然是零比零型未定式，我们稍微瞅一下。你发现在这个极限里面，

首先看第一个事情。你发现当x趋向零，那这个2x就是零啊。那这就是框啊，而且这个部分和这个部分是乘法一的框减一，立即等价无穷小于框。然后这个一减cosine立即等价无穷，小于二分之s方，所以说这两项之间是乘法跟上面是除法，当然可以等价。没有任何问题，然后再看上面这是个x，这是乘法，那你想平方嘛，平方其实就是什么平方，

其实就是两个这个人相乘。两人相乘，每个人都能等价无穷小于x，那就是x方啊，所以说这个题的结果是几是一好，你看这个题，那这个题完完全全可以出成一道我们的考题。没有任何问题，好了再来看看这个里面当中的第二事情，继续。那么，这里面当中，它说s是趋向于一好，继续定型一的话，这就是零零+1是1 ln 1是零。

所以说这个结果是零好，继续看你发现这也是零阿克塞因零呢也是零零比零型的未定式。那既然是零比零型的未定式，我们继续来看，当x趋向于一的时候，继续来看。那这里面当中当x趋向于一的时候，这个部分它其实就是零。对吧，这个部分是零，那这个部分是零，它是不是框啊？如果这个框是趋向于零，那么这里面当中l引一加框，它就立即会等价无穷小框。

所以说上面这个部分不就等价无穷，小于x- 1开三次方吗？好，我们继续再来看。当x趋向零的时候，你发现这个整体不就是零吗？那这个整体是零，它就是框，如果框趋向零了之后，这个阿克塞因框。不就立即等价无穷小于框吗？所以说下面这人就等价多少二，这是x- 1，这是平方，然后这是开三次方。

好，这个题啊，我就做成这样了，那做成这样了之后的话，你可以稍微的约一下，你看上面这是s- 1，这是平方减一。平方减一不就是多少平方减一，这个人就是s- 1s再加一。你立即可以把这个人约一下，一约的话，这个结果就出来了，当x趋向于一的时候，这个人立即变成多少x，加上一开上三次方分之一。

没问题吧诶，把那个减一就约掉了，约掉了之后我们接下来继续看，你再来定型上面是一。下面这个结果呢？下面这个结果是二，然后开三次方，那么请问同学们这个人是已定式还是未定式啊？当然是已定式，既然是已定式，那这个人的极限结果他就是他唉，你发现因为这人是已定式啊。所以说这一题的正确结果就是它哎，就做完了，不用化简啊，

就这样就行好，这是我们在这里面当中啊，讲的二点七这个题。对吧，你看你在做题的过程当中，严格着扣着我们昨天讲的这个内容，你再走其实最重要的问题都是考什么都是考这个人的推广使用的问题。哎，推广使用的问题。呃，这里面当中啊，我简单啊讲一个细节对吧，我简单讲一个细节，因为这个其实对我们三九六同学它不会影响你最后的成绩。但是在这个学习过程当中，

我希望同学们稍微的注意一下，因为我们考题都是选择题，他也不会在乎你的过程写的怎么样。那么，在这里面当中，同学们注意一个问题，你比如说举个例子，这一类目当中我写的是x再乘上tangent x方啊，或者tangent，然后再是x，或者是什么？或者是s in我乘上个ln。如果在这里面当中，如果写的是x趋向零，然后这里面当中是s in，

再乘上一个ln 1+s，再比上t an ENT。同学们，注意一个事情，你发现看这是一个函数，我应该是等价于一个人吧？所以说等价于这是s乘上s，这是s是s，所以这个符号用的是等价于。一个函数等价无穷小于多少？哎，这是它的考法，但是同学们注意上面这个东西是极限诶。极限的话，你发现一个事情，

这个中间用的是什么符号？用的是等号，我等于你在这个极限里面，你们两者之间可以进行去等价。能听懂我的意思吗？所以说极限这个东西啊，用的是等号，而等价两个函数之间用的是等价符号。这是大家一定要注意的问题，你写的时候你要稍微小心一点啊，稍微注意一下，有些同学我看到写极限也是这样写啊，没有这样写法啊，极限这个东西啊，是相等的。

就是在做极限的过程当中，可以利用等价无穷小的替换性方法而言，好了么？同学们，这是我们讲的第一个事情。好，二点七这个题啊，我们就讲到这那么继续，我们再来看看二点八。好，再来看看这个题呃，这个题啊，其实就是基本上考了这个等价无穷小替换了，那么首先第一个事情拿到极限先干嘛先定型？你发现把零带进去这里面当中的每一项都是零，

所以说它是一个零比零型的未定式机械。那么，在这里面当中稍微看看吧，那么首先第一个事情，你看这个人这个人跟剩下的所有人都是乘除法，当然可以等价。这个人跟所有人是乘除法，当然可以等价，这个人也可以，这个人也可以，这个人也可以，所以说这个题你发现一个事情核心重点就考了什么？就考了等价无穷小的替换性方法，那么来吧，在一个极限当中，

如果是乘除法，当然可以等价。那么，首先第一事情，这个人等价无穷小于x。这个东西是两个三音相乘。每一个s in都能等价无穷，小S那就是s方，然后在这里面当中再看当s趋向零的时候，2s就是零，它就是框。如果一个框趋向零，那么这个时候你发现一亿的框减一，当然等价无穷，小于框等价无穷，

小于2x。然后在这里面当中再看这个人，这个部分它就等价无穷，小于二分之一x方，其实你发现这个题目当中最难的应该是在这一块儿。呃，但这一块儿也不难，你稍微调整一下，你把这人怎么去写呢？你应该写成一加上，然后这个部分是负的x三次方，它的二分之一次方减一。然后在x趋向零的时候，你就会发现一个事情，你趋向零，

那这个整体就是零，它就是框。那这个部分的话，它就是一加上框的二分之一次方减一等价，无穷小于阿尔法框，那就等价无穷小于二分之一负的，然后x三次方。所以这个部分呢，立即可以写了二分之一，然后是负的a三次方是不是这个结果，因此这个提交的结果就出来了。你看这个东西上去四，然后这个东西约一下啊，这是四，然后上去就是负八好这个结果。

好了，这个题目啊，做对了，请给我回复个二啊，我看看同学们的这个学习效果怎么样，就像这种类型问题啊，我们三九六同学其实在这个极限部分呢，他考的不是说特别的难。哎，不会特别的难，但是等价无穷，小的代换一定要学的非常的熟练，这是在考研过程当中啊，考的非常非常熟练的内容。好了，

这是这个部分过去了，可以吗？来继续嗯。哪啊，怎么了？哦，这是五次方是吧？哦，这是四次方。呃，我改一下吧啊，我稍微调整一下，把这个调一下，改成平方啊，改成平方。

好了，不管了啊，不管了，这是题目的问题，行，把它调一下，改成平方。二改成平方。好不好同学们啊？这是题目设置的问题啊。好改成平方，然后负八。能听懂我的意思吗？好，这是这个点，

你把这里面当中的事情了解清楚就行好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个题啊，你你不要给我来一句说什么呢？这个动不动改题我没有改题，这题都是我出的，你想。啊，好了，这是这个事情，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个问题。那么再来看看这个二点九这个题啊，我们继续。呃，

这个题啊，你发现拿到这个极限，首先第一个事情还是先定性，那么在这里面当中，我们来定一下，一定的话，你发现这人是零。然后在这里面当中，我们就继续嗯。什么e的2s是这个里面的。呀，不是的，别别别瞎来。如果是里面的话，我会括一个括号。

这是s in这个整体乘上它，你别别别这样好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续，我们再来定，你发现这是零。一的零是一，两项一乘是零，零+1是一，罗引一是零。阿尔克坦顿零呢？阿尔克坦顿零是零。所以说这个题啊，是一个零比零型的未定式极限，那既然是零比零型未定式极限，

首先第一个事情，我们可以先操作一下。那么，当x趋向零的时候，你发现这里面当中这个内容啊，你发现上面这个东西我可以先不动，对吧？哎，这个东西我可以先放到这儿。你先不动，然后在这里面当中，下面这个东西呢，你可以稍微进行去等价一下，因为下面这个人可以等价，立即等价无穷多少x。

所以说这个极限部分的内容立即就变成这样了。那么，接下来再看零比零型怎么做？可能有些同学你发现脑子里面当中啊，是有这个洛必达法则的。如果这个题的话，你发现上下同时求导的话，这个题当场就废了。做起来就非常非常麻烦。那这题怎么办呢？我一点点的看大家有没有发现一个事情，如果当x趋向零的时候。对吧，我们趋向零趋向于零的时候，你稍稍微的看看这个部分。

你就来瞅一下这个人，那这个人的话，你发现这个部分是零零×1是零零+1是1 ln 1是零。所以说在这里面当中，我马上就可以看出来一个问题，这个部分是零同学们一定要注意啊，人家代换呢，都要严格着符合这个代换的方法。都是从往外里往里来，是框趋向于零。阿尔克贪这里框等价无效框，你不要从里面往外来啊，你不胡来了。所以接下来过程当中，我们用到的规则是什么框？

去向0 arctan的框立即等价无穷小的框，所以说这就是一+x倍的es。然后接下来过程当中继续，你再来看当x趋向零，这是0e的零是一，这又是框，所以说在这里面当中继续用。框去向零一加框，立即等价无穷小于框，而且你发现一个事情，这两者之间是除法关系，所以说他是这个人，他是这个人。两者一除是多少？两者一除刚好是ese的，

零是一本题结束。好，你看这样的一个题啊，也完完全全可以出成我们的一道考题，没有任何问题，所以同学们注意这个零基础提前学的课程呢，对我们三九六同学非常非常重要。我们最后考的这个题目的形式啊，有可能就跟这个题啊是类似的好，这是第一个点继续可以吗？来再来看下面一题。那么再来看看这个二点一零这个题，你看这个题怎么做？好，继续操作。

那么，这个题首先拿到极限，第一步还是先定型0x，是趋向于零的零加这个人根号五。根号五减根号五，这人是零，然后下面这个部分呢？也是零零比零型的未定式极限。那这个零比零型未定式极限，我怎么处理呢？那么，首先我们来观察一下，你看这个分母很好看，你稍微眼神瞅一下，你看这个人等价的话是平方。

这个人等价的话也是平方前后之比呢，是一不是负一，所以在这里面当中，我们首先第一个事情我们就来看了。当x趋向零的时候，这个e的x方减一，你加上这个s in方。那这里面当中，我们就可以直接处理了，这个人就可以直接等价，为什么可以直接等价呢？因为在这里面当中，你可以严格的进行去检验，当x趋向零的时候，这是1e的x方减一。

然后这是sin x方，现在两者之间是除法吧，除法可以等价，等价平方，等价平方是一不是负一。两者之比的极限结果不是负一，那这个人呢？他就可以等价，等价成这个人，那么所以说这个题啊，立即就变成这个样子。这里面当中啊，你发现最难的东西啊，其实就变成了这个分子了，根号下x方加上五，

然后再减去根号五。那么，这个题当中啊，我们来看看这个题到底怎么做呢？我们稍微进行去看一下。而我们都知道，在学无穷小的时候啊，我们其实非常喜欢什么形式呢？我非常喜欢的是一加上框的阿尔法次方减一的形式。对不对？你喜欢这个形式，你喜欢减的是一，所以在这里面当中，我们先来介绍一下第一种方法。第一种方法，

你可以怎么办呢？你把这个根号五给我提出来。你把这个根号五提出来之后，你后面这个部分就变成简易了。然后前面这个部分变成多少呢？变成了根号下五分之五，加上x方是变成这个样子啊。所以说这个题就立即变成什么情况，这是limit x趋向零，然后这是二x方，然后这个部分呢，就写成一加上五分之一x方，它的二分之一次方减一。是不是就写成这样了，然后这里面当中马上就可以看出来这里面这个部分，

它不就是框吗？我去向零，你就去向零啊，所以说这个人就可以等价，立即就可以来了，这是二倍的x方来一起来一加框的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法这个框。所以说在这里面当中，立即就出来了，你发现这个人是五，然后这是十，对吧？这是20，然后这是20分之根号五。哎，你发现这个题立即出来了，

这是第一种方法。那么，在这里面当中，你还有没有别的方法可以处理呢？在这里面当中，我们还有。那么，请问同学们注意，一定要记住一个非常重要的经验，这在考研过程当中啊，考的是非常非常重要的。就是你要养成一个定时思维，只要见到两根号做差，立即想到什么方式啊，立即想到游离化的操作。

这也是一种非常重要的方式，那你想一个问题，你在这里面当中，我们来看看这个极限，这是limits趋向零。那这下面这个部分是二倍的x方，你可以怎么办？我可以有理化一下怎么进行有理化呢？有理化就上下同乘个两根号做和。所以说上下同乘个根号下x方，加上五。加上个根号五，那这个时候的话，你发现这个分子就变成了这个平方减这个平方，那这两个平方一减，

它最后结果是多少x方？所以说这个题立即就变成什么情况，就变成了li mates趋向零，然后这是二倍的根号下x方加上五，然后再加上根号五，然后分之一。好，继续看上面这个结果是一下面这个结果呢，你发现这是根号五，这也是根号五，所以说这里面当中你发现就是四倍的根号五。那上面是一，下面是它，一定是未定式，当然是已定式，

那既然是已定式，本题结果就出来了，所以在这里面当中马上得到结果，20分之根号五。你看这两种方法，它都可以对吧？遇到两根号做差，我可以想刘丽花。当然，在这里面当中，我们也可以进行去创造一下这个等价，无效代换两种方式都行，你不是喜欢一吗？喜欢就给你。对吧，

喜欢什么就给你什么，我就在这里面当中提一个根号五，那么这两种方法都是非常好的方式，你能够把这个题啊处理出来，那就非常好。但是这个题啊，我觉得最重要的问题就是你能看出来这个分母是能等价的，嗨，这也是个公理。不然的话，这个题啊，显得非常的麻烦，一点了好了，这是我们讲的这个二点一零这个题继续可以吗？来再来看看下面一个题。

好，来看看，二点一一。呃，这个题啊，大家可以给我回复一下，你们选的这个正确答案是多少？你们选的答案是多少？好，这个题。选答案的。a是吧哎，这个题啊，正确答案选a啊哎，非常好非常好哎，

我看来这个大家的话，这个上节课部分内容啊，消化的还是非常好的。好了，那么接下来我们来一起来看看这个题，一个一个的看，先来看看这里面当中的第一个人，那么请问同学们当x趋向无穷大的时候，有些同学说那这一个人等价无穷s啊，那就废了。请同学们注意s，现在是趋向无穷大，不是趋向于零，所以说这个东西啊，未必等价无穷小S。

对吧，所以在这里面当中，我们先看看第一个人到底等于多少呢？先看第一个人，那第一个人的话就是limits趋向无穷大。其实这个结果的话，你发现你可以这样写。好，我们先来看第一个问题，你发现这个前面这个人极限呢？就是这个第一个部分limits趋向无穷，大S分之一的极限是零，你既然是零，那这个人就在这个趋向下，为什么？

这个人就是个无穷小。而很明显一个事情，这个人是个有界变量。在这里面当中，我们先来看看第一个重点的事情。其实这里面当中有个经验叫做无穷小。糖衣有界变量，它还是无穷小。把这个东西啊，你先记住，无穷小乘以有界，变量仍然是无穷小，你可以把讲义往下面稍微看看，里面当中是有的。所以说在这里面当中无穷小乘有界是无穷小，

那这个无穷小的极限是几是零，所以第一个人不对。好，再看第二个人当s趋向于零的时候，你发现这个s in就可以等价了，等价无穷s，两者一除是一，它也不对。好，这个第二页不对，那么接下来我们再来看看第三个人，第三个人说s趋向无穷大。s倍的sins分之一。那么，这里面当中很明显，

当趋向无穷大的时候，这个x分之一就是零。既然这个s分之一就是零，那这个东西就是框啊。那既然这个东西是框，我们都知道，如果框趋向0s in，这个框立即等价无穷小框。所以这个极限就变成了当x趋向无穷，大x乘上x分之一，这是一呀。没问题吧？好，这是我们讲的第三个人，再来看看第四个人limits趋向无穷大，

然后这是s分之一，再乘上s分之一，继续看。马上眼神稍微瞅一下，你就会发现这个人极限，结果是零。无穷大分之一就是零，那就是框s in框立即等价。无穷小于框，所以说这是s分之一s in框立即等价。无穷小于框。它就变成了x趋向无穷，大平方分之一无穷大分之一，这个结果是零。那所以说这个人也不对，

正确答案是几是第三个人，所以说本题的正确结果是几a选项。你看这个题，它的这个操作形式啊，你必须要想清楚它其实核心重点还是在考察一个事情，等价无穷小的替换问题。就是推广使用的问题啊，在这里面当中，你要注意它的能够使用的条件，必须要保证它是框什么叫框呢？趋向零才叫框好，这是我们在这里面当中啊介绍的二点一这个题。呃，但是这个题啊，我觉得如果就这样讲完了，

我觉得比较奢侈啊，我觉得是实在是比较奢侈，那么接下来过程当中啊，我们再来讲一讲啊，里面当中啊，还有一些比较有意思的东西。这里面当中，我们再来看。之前过程当中，我们讲过这样的一个问题，无穷小乘以有界变量，它是无穷小。哎，这个没有问题。但是同学们注意，

你在大学过程当中啊。对吧，你在大学过程当中，请问同学们，你学过无穷大乘有界是无穷大吗？你学过吗？没有吧，哎，大学过程当中老师肯定不会讲无穷大成有界是无穷大的，那么在这里面当中第三个人呢，其实就是一个经典的例子。大家来给我看看这个人。你发现这里面当中啊，刚才讲的这个题的第三个人就是个经典例子。好x现在是趋向无穷大，

你趋向无穷大的话，你发现这个xx这个人呢？现在就是个无穷大。然后它乘上的多少乘上sin x分之一，这个人就是个有界变量，为什么他是有界变量呢？你给这个人加个绝对值，你看看。s in一个东西永远都是大于负一，小于一，所以这个人呢，是一个有界变量。那如果无穷大乘以有界变量是无穷大的话，那这个题答案应该等于多少？应该等于无穷大对吧？

你无穷大乘有界是无穷大，那你这个题肯定是无穷大，但是我这个题的正确答案是多少？我刚才讲过这个题的正确答案是等于一。你想想这是不是给经典的反例啊？对吧，它就是个反例，我现在就举出了一个无穷大乘上有界，我不是无穷大，所以说无穷大乘有界不一定是无穷大。那无穷大乘有界是多少呢？它其实也是一种未定式啊，这个东西啊，也是一种未定式。所以在之前过程当中，

我就讲过这个事情，我们说我们通常在考研过程当中碰到题都是七种未定式。我说一般你还记得昨天那句话吗？你看在这里面当中，我就能给你补充一个无穷大成有界，它其实也是一种微粒式。但是同学们注意啊，不要因为这个东西的学习，你就在这里面当中啊，胡思乱想不用。基本上我们在考研过程当中遇到的极限题都是七种未定式啊，所以说你学起来你要稍微的轻松一点。好了，这个点我就讲到这儿能听懂吧，你看这个知识点呢，

我们也把它讲过去了，好了，那么接下来过程当中啊，我们再来看看例二点一二这个题。呃，这个题啊，对我们而言呢，就显得更加的重要了，因为在我们的考研过程当中啊，经常年份当中会出现一种题。出现什么东西呢？这个无穷小比界的体。对吧，无论是二一年，二二年，

还是二三年，出现这种无穷小比阶的题啊，还是非常重要的，所以接下来过程当中，我们来看看这种类型问题啊，是怎么处理的？他说，下列无穷小当中，哪一个人是其他三个人的高阶无穷小，所以同学们注意一个问题，这个题的核心考点是什么？这个题的核心考点就是笔节。对吧，就比阶比谁是最高阶，那么既然是比阶这个问题，

那么首先第一种方法，我们先来看看怎么操作？你当然可以用定义法呀。对吧，你可以用定义法怎么用定义法呢？其实就是在这样，你就把它放在这个同一个极限下进行做比。如果做比的极限，结果是一，它就是等价，如果这个结果是无穷大，它其实就是低解，如果是零。它就是高阶，如果是不为零的数，

它就是同阶，你这样进行比阶行不行？可以啊，两两作品。但同学们想一个事情，这里面当中有四个人。如果四个人两两作比得比几次？比几次你得进行去比c四二次c四二等于多少呢？是四乘三二×1是六次。一个题你就要比较六次，这是非常麻烦的，而同学们想一个事情，我们在考研过程当中，我们都是五个选项。对吧，

我们都是五个选项，五个选项就是c五二，那显得更加麻烦，一个题你做这么多极限题，那多恶心啊。所以说在这里面当中，如果遇到多个人，我通常都不会用这种方法。你记住，如果遇到多个人，我都不会用这种方法，那么在这里面当中，我们通常用什么方法呢？就是第二种，我直接来找节。

那么直接找接它的原理是什么呢？它的原理其实就是这个内容，把这个东西要记到这儿，如果在这里面当中。你发现如果在s趋向零的时候，你的fs你如果能等价无穷小于a倍的sk次方在这里面当中，注意a是不为零的。大家注意啊，这个a不为零，那这个时候我就说什么情况，我就说fs为什么情况为这个k阶无穷小？哎，在这里面当中也就说当x趋向零的时候。fx为x的k解无穷小。哎k减无穷小，

也就说在这里面当中非常简单，一个事情我就找等价。把等价无穷小找到，然后进行去看s的k次方。如果这个次方数是多少，它的阶数就是多少？能听懂我的意思吗？所以说这种东西啊，就叫定阶法啊，这个东西啊，非常的重要呃，其实在这里面当中啊，还有一个这个比比较的极限形式，往往都不用它。所以我们在这个过程当中，

直接用这个东西啊，代替就行，记住这个问题，如果在趋向零的时候，我等价无穷，小于a倍的sk次方，你看的是k次方。它就是在这个趋向零的时候，这个人就是s的k减无穷小。好了，同学们，那么在这里面当中啊，我们来看几个问题好，我写几个人啊，我看看你水平怎么样，

如果在趋向零的时候。请同学们回答我一个事情，平方是个几节？好，第二十题四次方是几减，然后继续tan三次方是几减，然后是一减cos是几减，然后继续是一，然后再加上一个x方。它的二分之一次方减一是几？好了，那么接下来我们一起来看，首先第一个事情你很明显会发现你等价的就是平方，看次方数二级。看次方数四解，

然后这个人等价多少？等价无效三次方，所以说它是几解三解，然后这人是几解等价无效二分之s方，这人是几解二解这人等价呢？二分之s方它是几解？二级能听懂我的意思吗？所以同学们注意看这个人的接触，其实就是看什么东西啊，等价过来。对吧，你等价过来，你这个x的次方数就是你的阶数，所以说我经常讲无穷小，要有阶的感觉。

对吧，你是个几阶无穷小。你在哪个阶层？你看这个阶这个东西阶这个东西就是阶层这个东西，你比如说你看这是一阶的。对吧，这是活到二阶的，这活到三阶的，这活到四阶的。你比如说在这里面当中，你想这个sine它一阶的吧tangent，这是一阶的吧，你像这个一减cosine是二阶的吧？你像这个sin x方是2g的吧？同学们注意不要管系数。

系数不会决定你活在哪个阶层，它的次方数才会决定你活在哪个阶层。这就跟我们昨天讲的那个无穷大很像。对吧，只有次方数上的差异才会产生远远大系数，不会管它，所以在这里面当中，你看这个人等价的是二分之x方真等价x方，你们都是一个二阶无穷小。跟系数没关系，跟次方数有关。所以在这里面当中啊，我们接下来过程当中，你不就要比接吗？你不就要比阶层吗？

你看谁的阶层是最高的，那么接下来过程当中我们就一个一个看，先来看a选项。好，一起来，请问同学们注意这个人是ln 1加上负的x方这个人。那么继续看呀，当x趋向零的时候，你就会发现一个事情，这个整体这个部分就是零。对吧，这个人整体就是零，这就是框啊，罗隐一加框，立即等价无穷，

小框回答我一个事情，这是几阶，这是二阶无穷小。然后再来再来看看这个b选项，b选项就是一减cosine等价多少二分之一x方，请问这是个几阶二阶无穷小？然后在这里面当中，我们再来看c选项，同学们注意啊，这个时候AB选项就不选了。为什么？你要学会一点逻辑感，而且你们都是学逻辑的，对吧？你想一个事情，

我们做题都是单选题。对吧，我们所有的题都是单选题。单选题的话，它有一个特点，你如果这个人选a了，你二阶其实就是最高阶。那b也是二级啊。那你得把AB同时选啊。但是这两个人不能共存，所以AB都不选了。你听得懂我的意思吗？好了，那么接下来我们再看第三个人，第三人就要写成一加上负的x方的二分之一次方减一。

来背一遍一加框的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法框，这是几节，这也是二节，所以说这个c也不选选。选d对吧？这个东西就会选d，因为你发现这三个人都是同解。你选了b证明二阶是最高阶，那这个AC也是二阶啊，你得把AC也选了。你选c了，证明二阶是最高阶，你得把AB也选了，但我们考的都是单选题，所以说这个题啊，

正确答案只能选d。那d选项到底等价多少呢？曾经见过一个同学，非常的荒谬，他是这样做的。它说，趋向于零的时候，这个s-tangent t等价无穷，小于s-s是零。老师，你看它这个a选项b选项c选项都是往零跑，我d选项就在零，那我当然最高级啊。我最快呀，所以说答案选d呀，

你太秀了，你别胡来了。这种做题方法当然不对，你只是蒙对了罢了，那这里面当中啊，你发现这前后之比的极限是几是负一？当然不行，所以在这里面当中啊，这种做题方法它是不对的，但是这个人的话，你发现他到底等价多少？他到底是多少阶呢？这件事情你先在这打个问号。一会儿过程当中，我们就会讲泰勒公式，

一会儿在那个部分当中啊，我就会重点来讲这个知识点好吧，同学们好，把这个东西啊带上一个问题，一会儿我们来看看下一个问题。下面一个部分内容。好了，像这个无穷小找接的问题啊，我们在这里面当中，我们就讲到这，这是一种非常重要的考题。所以下去过程当中，你要好好进行想想，这种考题很重要。好了，

同学们过去了，所以你发现一个问题啊，这个讲了半天呐，它的核心知识点都在哪儿都，其实在我们昨天讲的这个等价无穷小替换这块儿。只要你能找到等价无穷小。那么，在这里面当中，确定它的接触处理极限问题都会变得很简单，所以这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题。过去了，可以吗？好，我们就讲到这。

那么，接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个问题啊，这个无穷小量的性质啊，我们刚才过程当中已经讲过了，我们再来看看。下面一个问题，第五个知识点啊，叫做高阶无穷小的问题。高级无穷小。那么，在这里面当中，首先我们学习一个东西的时候，希望同学们认认真真的，要知道你在学习一个什么样的对象，

对吧？人家这个内容啊，说的非常的清楚，人家说的是叫做高阶无穷小的运算法则吧。所以在这种当中，我们学习的对象。我们学习的对象对象这个人是高阶无穷小这个人。哎，我们学习这个人，它的运算法则不是无穷小，是高阶无穷小。那么，在这种当中，有几个运算法则呢？我们一个一个看，

我们先看，第一个人叫做加减的低阶吸收原则。什么意思呢？它的这个意思非常简单，它说如果你这个人是个m阶的，高阶无穷小。如果你这个人是一个N次方的高阶无穷，小n阶的高阶无穷小。对吧，你是比n阶高阶那么在这里面当中，它最后的结果是多少？它最后的结果就是l阶。这个l是什么意思呢？这个l是m和n之间的最小值。你看起来这个式子啊，

非常麻烦，其实这个事情非常简单。就是说什么意思呢？你是一个m阶的。对吧，你这个人是个m阶的，然后我这个人是个什么情况，我这个人是个n阶的，我们的结果是什么？我们的结果就是要取m和n的最小值。我举个例子啊，比如说在这里面当中，你写一个，如果这是二次方。我们加上个三次方一起来看。

这是个二解，这是个三解加减取什么加减取小的，所以就是二解。跟得上这个问题吧，来继续，如果这个人是个三减减去个四减，这个结果是多少？那么，这里面当中看的是什么呢？你看m阶的n阶的高阶，然后取得它是最小值，那就是三和四的最小值，那就是三。然后在这里面当中，我们再来看第三个人，

如果是三次方的高级，三阶的高级，两个意见是多少？你看这个题。两个人都是三阶的高阶，两个一减等于多少？请问同学们，是不是等于零啊？是零吗？不是零，你可以举个例子，比如说四次方是三次方的高级。五次方也是三次方高级，但是这两个一减它不是零啊。所以同学们注意，

他玩的这个规则不是你定的规则，人家玩的规则是加减的，低阶吸收的规则。所以两个高阶无穷，小的加减永远符合这个规则，你是三减，你是三减，两个人的加减一定是取这个人的最小值就是三减。那这个人就出来了好，这是我们讲的这个第一个问题，听懂我的意思吗？好，这是第一个事儿，过去了可以吗？来继续，

我们再来看第二事情乘法的叠加。那么，乘法的叠加什么意思呢？就说如果在这里面当中是m解，然后在这里面当中是n解，它就像同底数幂相乘指数相加减一样。等于这个人。当然，在这里面当中，如果是一个m的次方数，再乘上这个高阶呢也一样，它的结果也是同底数幂相乘指数相加减的样子。也就说一个次方数乘上一个高阶，或者是两个高阶相乘，它们都是一个叠加原则，

你比如说在这里面当中，我们写一个人，比如说这是。四次方这个人乘上一个二次方这个人，它等于多少？它就等于六次方。对吧，这个人如果在这里面当中，这是五次方，然后在这里面当中，我们乘上一个什么，比如说乘上一个四次方，那这人是几？这人是九次方。对吧，

就是乘法的叠加原则啊，记住这个人啊，加减取小的乘法去叠加，然后再看第三个事情。树成的无关原则。那什么叫数乘的无关原则呢啊，这个事情更简单。就在这里面当中啊。也就说什么意思呢？就说这里面当中有一个高阶无穷小。对吧，在这里面当中，你给这个高阶无穷小前面乘个数影不影响不影响你在这个高阶无穷小里面乘个数影不影响也不影响，但是你不能耍赖皮，对吧？

这个k呀。你得不为零啊。乘一个不为零，也就说一个不为零的数，遇到高阶无穷小自动没有，想有就有，想没有就没有。所以在这里面当中，比如说我举个例子，你这是个三次方，高阶无穷小，我就算在前面乘个六没有关系。对吧，其实这个人是一个三次方高阶无穷小，你就在里面乘个六也没有关系，

无所谓的。也就说高阶无穷小，你在这里面当中，外面里面乘个数，没有任何关系。能理解吗？好叫做速成的无关原则。好，那么这里面当中啊，我们在这里面当中看一个题啊，处理一下诶，我们讲义上有那个题吗？我记得这个部分应该是有个题好，我们来看看这个题吧，你们来做一下二点一三这个题，

你看这个题选几啊？好动手啊，做一下这个题。说下列式子当中啊，错误的是。好，赶紧看，把你的正确答案回复给我。选d嗯。哦，可不能选d啊。这刚讲的。哦，错误的是吧？哦，

那就选d诶，你做的对着呢，不好意思啊。哎呀，这个眼神不太好了啊，这个题的话，你发现好了好了啊，这个题啊，说的非常的好，做的非常好，这个题选什么选错误的是？那这个题应该选的是d1。啊，这个题我没有出好，我没有出好，

不好意思啊，这个题应该选d，但是你要注意啊，我们考研都是单选题。能听懂我的意思吗？哎呀，这个没关系，学到知识点就行，好不好？学到知识点就行，那么在这里面当中，我们先看第一个人。然后你发现一个事情，一阶乘上二阶是三阶，对不对？

对着呢？然后是一阶乘上二阶乘法的叠加原则是三阶对不对？对着呢，然后再来看二阶加二阶取小的没有问题。然后三阶减三阶是零吗？不对。然后在这里面当中一阶加上二阶是谁呀？是一阶这人也不对，他的结果应该是一阶，所以这个题的答案你写个第一。啊，没有关系啊，你学会了知识点就行，反正最后而言的话，我们的考题都是单选题啊，

这是二点一三这个题。所以我就觉得这个考研的过程当中啊，它也可以考一个这样的题，对吧？直接出一个这样的题说下列当中啊，你发现啊，正确的是或者错误的是完全考了，高阶无穷小的运算法则。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的第一波问题来，继续吧，我们再来看看最后一个问题，叫做等价无穷，小的充分必要条件。

哎，等价无穷，小的充分必要条件。说什么情况呢？两个人之间互为等价无穷，小的充分必要条件是什么？那么，同学们想一个问题，如果在这种当中啊，我说在一个趋向下，两者之间是等价无穷小。你告诉我一个事情，充要条件是什么？啊，这个事情非常好理解。

你想两个人是等价。不就是说两个人之间非常的接近吗？对吧，就说我两个人之间是非常的接近的，就在这个趋向状态下，我两个人非常接近。那我两个人之间非常接近，你能说相等吗？能不能接近你？能说相等吗？当然不行。接近跟相等怎么可能一样啊？一个人是近似，一个人是相等，当然不行，

那我在这里面当中，我得换一种表达方式。两个人非常接近我，能不能这样说，你加上一个很小的人，等于我，我们两人是不是接近？这样没问题吧，你加上一个很小的人，等于我我们两人之间就非常接近啊，所以说在这里面当中，我们应该怎么去写这个非常小的人呢？就说我这个人就会等于你加上一个很小的人。怎么写？你已经很小了，

因为你已经是无穷小了，你已经非常非常小了，那在这里面当中怎么样才能更小呢？哎，我们在这里面当中加上一个高阶无穷小。那么，这件事情我们其实就是这两个人之间互为等价无穷，小的充分必要条件。那么，在这里面当中，我可以给你做一个严格的证明。啊，也非常简单。你想一个问题，如果我等于什么情况，

你加上你的高阶无穷小，就说明两者之间是等价。我怎么证明两者之间是等价？证明两者之间是等价，我就只需要怎么办？两者之间作比的极限结果是一不就行。那么，在这里面当中，我们来试一下这个东西到底行不行？你看。那这个部分的话，其实就是jsf s，是js加上高阶无穷小。然后再比上gs好了，那么接下来我们看看这个问题，

同学们想这个部分呢？知彼的极限是几啊？一吧，那么再来看一个高阶比上一个，它就是高比低极限，结果是多少？高阶无穷小比上它的极限，结果是几是零吧，你高阶更快的趋向于零吧，移除是零，所以说这个人极限结果就是几一。两者之比的极限结果是一，两者之间不就互为等价无穷小吗？所以在这里面当中啊，立即这个问题点就出来了，

能学会吗？哎，非常非常简单啊，两者之间是等价，那就说明什么情况，它的充要条件就是我等于你。加上你的高级注意这件事情啊，容易进行去出什么东西呢？这种判断性的题对吧？我给你五个选项，说下列当中啊，正确的个数有几个？都有可能。好了，在这里面当中，

我们可以写几个人，比如说第一个人。x趋向零的时候s in这个人等价无穷小于x，我们怎么写？那这个人两者之间等价，那就说明我就等于你加上你的高级是不是这个问题？好，这是第一个事情，再来看，如果在这里面当中，比如说我们看一的x- 1等价无穷，小S怎么减？我就等于你加上什么情况，加上你的高阶。哎，

注意啊，你加上你的高阶等价无穷，小于谁等价无穷，小于你。所以在这里面当中，我们就得到了一个非常重要的问题，就是如果一个我加上了一个我的高阶。请问同学们等价多少？那这个事情非常简单，你看我加上了我的高阶，很明显一个事情等价无穷，小的是谁？等价无穷小用过。哎，记住这个问题啊，

我加上了一个比我高阶的人，等价无穷，小的是我。所以我在我的后面跟上一个高阶，它是没有任何作用的。一个无穷小的，后面跟上高阶无穷小，它是没有任何作用。因此，在这里面当中啊，你就可以进行去看一些问题了，你比如说在这里面当中，我们看一个事情。在x趋向零的时候，这是x加上平方，

你告诉我个事情，等价多少呃，当然我们到基础班的时候还会继续升华的，我会讲何取第一阶原则，不要着急啊。那么，请问同学们，你发现这个人就比我高级吧？我加上比我高阶的人，等价无穷小于我。对吧，我加上比我高阶的人，等价无穷小于我。有些同学就混了啊，你这里面当中可不能混了啊，

那么有些同学就说哎呀，老师不对啊，我昨天记得一个事情，你说这肯定不是取。s.方嘛，你今天过程当中怎么又说这个人等价无穷x呢？好了，在这里面当中，我觉得呃，不用等到基础班了，我把这个事情讲完讲完整，然后到了这个基础班呢，我们就可以用它了。这里面当中啊，

是一个五星级的黄金，重点请同学们注意，一定要把它好好记到，记到笔记上。哎，这是一个五星级的重点，那么在这里面当中，我们来重点讲一下。呃，注到笔记上啊，你会用了之后啊，你会觉得这个东西啊，非常非常的简单，你要不会用啊，这个东西你就会觉得非常的痛苦。

那么，在这里面当中，我们来看一个重点内容，叫做何取取低阶原则好这个内容？叫做和取低阶原则，那么首先在这里面当中啊，我们先叙述一下这个东西的背景，它的背景是有限个无穷小。相加减问题，注意啊，把它写在这儿有限个什么东西啊？有限个无穷小量相加减的问题。我再强调一遍，你在屏幕前跟着我读一遍，请问同学们，

我现在在做无穷大的问题，还是无穷小的问题？啊，你把这个东西给我打到公屏上，无穷大的问题还是无穷小的问题？一定要注意啊，你做的是无穷大还是无穷小，我们做的是无穷小的问题，一定要把它区分开。好了，那么在这里面当中，我们就来写这个事情，他是这样说的，如果在这个里面当中啊，你发现我在一个趋向下，

我这个人的极限结果是零。你的极限结果是零，你就是个无穷小，而且在这里面当中，我们这个贝塔ix。他这个人都是这个人的高阶无穷小。那么这个时候我们就可以说一个事情了，什么意思呢？就说北大的人都是你的高洁，马上说我这个人加上第一个高洁。加上第二个高阶，然后一直加加到第n个高阶。你就会发现一个事情，我后面加上的都是一系列比我什么样的无穷小高阶的无穷小。我加上了一系列比我高阶的无穷小，

请同学们告诉我等价无穷多少。好，这个人非常重要。你就会发现都是无穷小，都是无穷小，都是无穷小，我加上了一系列比我高阶的无穷小，同学们注意等价无穷小就是我。一定会等价无穷小于五。我加上了一系列比我高阶的人，等价无穷，小幽默，为什么呢？在这里面当中啊，我可以给你做一个证明。

把这个事情我们来证明清楚。那么，请问同学们想这个人和这个人两者之间是等价的，怎么证明两者之间是等价的？你要证明两者之间是等价的，只需要证明什么情况，两者之比的极限结果是几是一就行，所以在这里面当中啊，马上来看我就在这里面当中。把这两者之间啊，做个比。哎，我们两者之间做一个比。作品我们就来看看。那么，

首先第一个事情，你发现这两者作比的极限结果是几是一？然后同学们告诉我个事情，一个高阶比上低阶的极限，结果是几？我们都说高比低是多少，你更快的趋向于零嘛，我比你的极限结果是零，我才是你的高级啊，是零吧？然后这个人的极限结果是几零吧，所以说在这里面当中，他其实就是一+0+0，一直都加上零。然后这个结果就是一。

诶，你发现两者之比的极限结果是一，两者之间是不是等价？当然是等价，所以在这里面当中，我们就介绍了一个原则。叫做河曲低阶原则。我加上了一系列比我高阶的无穷小取的是什么？取的是低阶的问题。同学们，一定要把这个东西想清楚啊，有些同学我估计思维方式这个又想差了。他就说老师，我们刚才不讲了吗？那是高阶无穷小的问题啊，

所以把知识点呢，一定要记忆清楚，所以接下来过程当中啊，我们就来用一下这个人。这个东西啊，可是大招新方法哎，黄金重点你会用了，你发现你比别的同学你会发现处理问题的时候强百倍。抢了好几个档次，那么在这里面当中，我们先来处理几个题吧，比如说这里面当中，我们先来看第一个题。如果在趋向于零的时候。马上来看看，

这是x加上平方，加上三次方，加上四次方，请同学们告诉我等价多少？好，先看这个人。刚才讲没讲过无穷小的计样。讲过吧，来给我定一下，这是一阶无穷小。这是二阶无穷小，这是三阶无穷小，这是四阶无穷小无穷，小之间何取低阶取一阶？好，

这人出来了，那么接下来过程当中，我们再来写一个人，比如说s趋向零，然后这是s in。的平方，然后这里面当中加上ln 1+s。然后最后一个人，我们再写一个tan正ts的三次方。好，等价多少？继续看啊，那么请问同学们这个人是几级啊？看接的时候可以先等价，你别管是加减法了还是怎么？

对吧？看接的时候就可以等价一下，大致的看一看。那么，这个人的话，你就发现明显他是个二姐。这个人等下的东西明显是一姐。这个人明显是三姐。看一个人的接受的时候，可以先等价，你就不要管加减法的怎么对吧？直接看一看，那这个时候我们都知道你是一阶二阶三阶何取，第一阶取的是一阶。那这个人可以再等价下增加s。

没问题吧？好，这个内容立即就出来了，所以在这里面当中啊，你就要进行去区分一下这个事情。你想一个问题，如果s是趋向无穷大的时候。好，这个人这个人是什么情况？还有is趋向于零的时候，这个人是什么？这两者东西啊，是不一样的。对吧，因为一个东西的话，

你发现它是个无穷大的问题，一个东西是一个无穷小的问题。那么，在这里面当中啊，我们一定要注意一个事情，一个是无穷大量问题。还有一个东西啊，是无穷小量问题。这两者之间呢，是不一样的，对吧？一个人是无穷大问题，一个东西是无穷小量问题。这两者东西啊，他们有天壤之别。

那么，在无穷大的东西当中啊，我们东西都说的是抓大头对不对？然后在无穷小当中啊，我们说的是河曲DJ。一个人叫做抓大头，一个人叫做河曲DJ，所以说在无穷大的过程当中，你看。四次方比你们远远的大，所以在这里面当中我们抓了个大头，抓了个四次方，哎，这叫抓大头。其实我们写的是什么？

写的是曲，其实数学分析当中啊，可以这样写，这叫等价无穷大。但考研过程当中，我不要求你就写取就行。听懂我的意思吗？哎，你就写取啊，不用进行写这个什么等价这个符号啊，避免这里面当中的混淆，所以我一直在这里面当中，害怕很多同学混淆，你就在这里面当中写。写个曲。

好，下面这个东西啊，就叫等价无效代换了一阶，二阶，三阶，四阶合取，第一阶等价x。好了么？好同学们哎，这是这个知识点，其实你发现一个问题啊，这两个东西啊，其实都叫抓大头。哎，但是我不喜欢这样讲，

我来问你个事情，大家听一下。你就告诉我个事情。越高级。是越大。还是月小。越高级。越高阶就越接近于解，越接近于零。越接近于零是越什么对非常好，越小对吧？越高级。这个东西啊，它应该是越小的。哎，

越高阶，它应该是越小的。所以在这里面当中，你就会发现一个事情，你看你这个人是低级，这是高的，高的高的，他其实是最大的。所以说他还是抓大头，但是我不喜欢这样讲，这样一讲，有些同学就混了，对吧？所有的问题都是抓大头。然后在这里面当中，

一会儿是抓大头，一会儿抓小头啊，其实你发现你这个小头其实是大头，你看有同学混了。所以不要这样学啊，不要这样学，学的分的非常的清楚，你就记住一个东西是无穷大量的问题。无穷大的问题，你就抓大头无穷小的问题，你就何去理解，把两个东西啊分的清清楚楚的。你将来再也不会混了。能理解我的意思吗？哎，

所以说将来过程当中拿到一个题的时候，一定要注重进行去区分，你是无穷大的问题，你还是无穷小问题啊？这两个东西不一样，把它分清楚好了吗？好同学们行吧，掌握清楚给我回复一啊。能理解吧。好了，这个东西啊，你要掌握清楚了，我在这里面当中可以可以给你出一个非常牛的一个题。哎，非常牛的一个题，

我看你水平怎么样呃，这个题啊，是我们在考研真题的一道改编题，而这道考研真题啊，是数一数二数三同学的题。在很多参考书当中，你都应该会见到看起来极其的复杂，在这里面当中，我而且还给你进行去加强一下。比如在这里面当中，我们说当x趋向零的时候，好好听啊，我们这里面当中有一个a被等。然后这是sin x。然后再加上b倍的，

然后这是tangent x的平方。然后这是c倍的，这里面当中是ln 1加上啊，这是2x，然后最后一个事情，再加上d倍的呃，这里面当中写一个arctangent。x的平方好了，这个极限结果等于一，所以说在这里面当中则什么情况？那么这里面当中我们选a选项，我们说a等于多少呢？呃，这个a=2 c好b选项a=- 2c，然后c选项，

然后这个是b=d。然后这个d选项，然后b=-d，然后最后e选项未知无法知道或者什么情况呢，说这个a+b等于什么东西呢，等于2 c+d。你看这个题，我们就其实就非常符合我们三九六同学的考法，对吧？这样出一个题非常好啊。难也不难，速战速决。在很快的时间段内，你就能把它处理掉，怎么处理啊？

非常简单，眼神盯着走。你先回答我一个事情，同学们，你在做无穷大的问题，还是无穷小问题，我很在乎这个人。哎，朱瑶，我很在乎这个事情。因为有些同学就是因为我在讲这个知识点才会的无穷大问题，还是小问题。非常好，是无穷小问题，不是无穷大问题，

那么既然是无穷小问题，我们盯着接。好同学们，注意眼神飘着街，请问这是不是一姐？请问这是不是二节根据一个事情何取第一节，那么这里面当中你发现这个人等价的是多少？等价的是这个人。而且上面跟下面是除法好，继续再来瞅louie这个人应该是一姐。然后这人等价的是平方，这人是二阶何取？第一阶是c倍的ln 1+2s，所以在这里面当中就是limits趋向零，这是as，

然后这是2 CS。所以说就是a比2 c=1，因此在这里当中马上出来了a=2 c答案选a。你看这题是不是出来了，所以因此在这里面当中啊，操作的过程当中，别管它长得多恶心。稍微的眼神漂下，这东西出来了，你看这题长得其实很恶心了。我其实可以让这个题更加恶心。对吧，我们可以让这个题变得更加的恶心，你在这里面当中，你可以随便的出，

你想怎么出怎么出。那在这里面当中，我们来看看你怎么做一个出题人来吧，试一下你可以在这后面的过程当中，你无限的讲。你再加一个什么东西呢？你再加个e。对吧，一倍的一+s三次方，你再加个ff什么情况呢？这是一+s四次方。对吧，你随便讲，你发现这是一阶二阶三阶一阶二阶四阶，同学们一定要注意一个事情。

一个无穷小，后面跟的高阶其实都叫废物。我可以这样说吗？大家发现一个事情，你跟的这个东西根本就没有用，就没有什么用，你再怎么加你加的更多，你发现这都是废物，这都是废物，它都没有什么用。真正有用的东西都在这儿呢。这才是真正有用的东西，你加的更多，你加的越多，你只是让这个题变得恶心一点了。

对吧，你根本没有让这个题变难，你后面加的东西全都是费用，他说不要了，没有任何的用。刚才我听懂我的意思吗？好，这是这个点。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，所以说无穷小这个东西，它的皆是非常重要。会确定接的吧？好了，

我们稍微的进行去捋一下第一个事情，同学们一定要注意清楚，就是无穷小怎么去确定接啊？就看它等价。有些同学说，哎，老师，你看这是加减法，不是不能等价，没有关系，看接的时候可以稍微等价一下。对吧，看街的时候稍微等价一下，眼神稍微漂一下诶，这人是几街，

这人是几街，这人是几街，这人几街。呃，需要定型呐，你这一看不是零比零嘛，我就是做的稍微的快了一点啊。好了，这是我们在这里面当中啊，处理新的方式能学清楚吧，对吧？第一个事情看接就是看看它等价多少，等价多少之后的话，这个人接受就确定了。接受确定了之后，

这里面当中讲了一个重要的原则，叫做何取低阶原则。在不同阶的无穷小相加减的过程当中，等价的人是最低的解。一定要注意啊，在不同阶当中的加减相加减，你看这是一阶加二阶，一阶加二阶，不同阶的相加减。去的是最低节。好了，这个问题点我们就介绍到这儿，你下去过程当中啊，把这个相对应的问题啊，好好处理一下行吧？

同学们好了，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧。好休息个五分钟，然后我们再继续，我们再来看看下面一个重点内容，它的公式好，稍微休息会吧啊。

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