02.零基础考点精讲2-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:21:08

接下来我们就继续吧，我们刚才过程当中啊，其实重点讲了两个事情，第一是讲我们讲了这个七种未定式当中的一些未定式的情况，对吧？你要知道哪些情况是未定式，哪些情况是已定式？请注意了，拿到极限的第一步永远是先定型，先定型，后定法，然后在这里面当中，我们讲了一下第一种情况，如果是遇到无穷大比无穷大的未定式啊，我们可以用到什么方法？

无穷大比无穷，大型的抓大头的问题，所以接下来过程当中啊，我们再来练一个题吧，刚才我们训练了一个，这个比较简单的题啊，这个题比较容易一点。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看一道比较经典的题，把这个讲义啊拿出来。把这个讲义往后面翻两页啊，稍等一下，我找一下好把这个讲义翻到这个。我来看看26页，

我们来看看三点五这个题，哎，我们来把这个题做一下，因为这个题啊，其实。非常非常的经典，极其经典的一个题。还是很有操作性的这个人。好，我们来看看三点五这个题。翻到没有？好，我们一起来看看。那么首先第一个事情，请问拿到极限第一步干嘛先定型？

那么首先第一个事情，我们就来定一下型。你发现这项是无穷大吧？然后这个人是有界，顶多是负一到一，所以说这人一家，他其实就是无穷大。然后接下来过程当中，我们再看上面上面这个人的话，你发现前三个人呐，看他。对吧，这三个人看它，然后这是个无穷大加个一先不看那么这个人的话，你发现就是最少都是两倍的。

两倍，这是一倍的抵消不了，抵消不了，还是无穷大。能跟上我的意思吗？所以说这个极限，结果它是一个无穷大比无穷大型的未定式。所以说在这里面当中啊，首先第一个事情请同学们告诉我，我们可以怎么操作？告诉我一个事情，第一种方法能不能进行抓大头？敢不敢抓？敢抓还是不敢抓？啊，

有些同学在这里面当中啊，稍微的话就有点儿啊，不敢来了说，哎呀，这里面当中有根号啊，有怎么样你别管它。你照样抓，所以说在这里面当中，我赶紧进行抓大头，那就是limits趋向于负无穷，然后这里面当中，我们一起来看。你发现看这个平方比这个人远远大吧，因为你发现这个人的话，他是比这个有界变量远远大，

所以说这人不要了。那么，下面这个部分就抓上这个人，然后在这上面过程当中，我们再看这四倍的x方肯定是比x远远大，然后比一远远大，那这个时候你发现这两个人就不要了。而这一项是无穷大加个一也不要了。因此，同学们注意一个问题，这个人就是4x方，我就想问你个事情，这个s是留下来的还是被抓掉了？啊，就这里面当中这个s留下来还是抓掉了，

大家一定要注意一个问题，这个前面这个东西是二次方吗？不是的，它其实是一次方。因为这个二次方还有开方，它是一次方，所以说两个一次之方之间啊，没有远远大关系，一定要把它留下来。所以这个时候一抓就抓成这个样子，那抓成这样了之后啊，那么接下来我们看看它的结果是多少？当x趋向负无穷的时候，等于多少s？这是2 ss。

等于三对不对？同学们告诉我对不对？是不是啊？对不对啊？那这题就废了啊，那这题就错完了啊，对个鬼。绝对不对，那这类题目当中啊，你发现这就是我们在考研过程当中啊，这个题型非常非常重要的一个错误。每年过程当中，都有会有很多同学，你发现这个题目当中啊，出现问题包括很多同学，

到了这个最最后的九月份，十月份，11月份呢，都会还会有问题。那么一开始过程当中啊，一定要把它处理清楚，那么这里面当中最大的问题点在何处呢？其实就是这个知识点。我就来问你个问题，这个人永远会等于x吗？不是的，你初中老师怎么讲的？你初中老师就讲过这个事情，根号s方不是s是s的绝对值。只有在这里面当中，

你发现遇到什么情况大于等于零的时候才是x小于零的时候是负x。而这个题的话，你发现它非常重要的一个问题是x是趋向于负无穷的突出了x是小于零。所以说这里面当中的根号x方应该等于绝对值，应该等于负x。所以说在这里面当中的出错误的点是什么？你把这个东西开过去，你把这个东西开过去，不是x是负x，所以说这两个东西有个负号。能听懂我的意思吗？你看根号x方等于负x。四倍的这个人开方式等于负2x，所以说这个题的最后的正确答案等于多少等于一，一定要注意啊，

这是一个非常重要的一个问题。我们在考研过程当中啊，明显可以出一道这样的题啊，没有问题的，你今年过程当中你像这个题原封不动的摆到这儿出一道两分题，没有问题的。好了，那么接下来我们继续那这个题还有没有别的方法做？我觉得在这里面当中啊，还是有的，那么接下来我们就继续，我们再来看一看这个题。好，继续再看这个题。还有别的方法吗？

那么刚才过程当中，我们已经进行去定型了，定型完了之后的话，你发现这是无穷大比无穷大型未定式。那既然是无穷大比无穷大型未定式，请问同学们还有没有第二种方法呀？我们当然有，我们还可以怎么办？叫做上下同除以最大项。对吧，我们还可以用这种方法上下同，除最大项，那么请同学们告诉我，这里面当中的最大项是x的几次方项啊？你来看看是几次方一次方吧，

不是二次方，是一次方项，其实是s一次方，那么既然是s一次方的话，首先第一个事情，我们来上下同时除以最大项，我们来除一下。移除的话，你发现这是s分之一，然后这是根号下s方加上c。然后这个部分是s分之一，这又是根号下四倍的s方，加上s再减一，然后这个部分你再加上个一。然后再加上一个s分之一就做成这样了。

那做成这样了，之后的话，那么接下来继续把这个s分之一是不是就可以扔进去了？好了，那么接下来我们就继续当s进行趋向于负无穷的时候。把这个人给塞进去，塞进去变成平方分之一，这是一，然后这是平方分之一，这是三，然后这个部分塞进去，马上这人变成四，然后这人变成s分之一，这是平方分之一。然后加上一加上s分之一，

是不是这个情况，所以接下来过程当中，我们再来看你，发现一个问题。这里面当中的这一项结果是几啊？零八这一项结果是几零八？那这一项结果是几零八？这一项是零？这一项是负一到一一乘也是零？所以说在这里面当中，马上就会得到一个结果，上面是根四+1，下面是根一，所以说这个题的最后结果是几？是三对不对？

是不是啊？所以说这个题的最后的答案正确，结果是不是就是三呐？是不是啊？那不胡来吗？那这个事情就错完了。你想一个事情，我们刚才这个题已经做过三，然后做了一次校正，把它校正成一，你不能说一个题，我有两个结果。一页对，三页对，那也不行，

所以说这个题啊，这种方法又出现了问题啊，你看这个题。那这个题当中，你发现出错误的点在哪呢？那我首先问你个事情，这里面当中的这第一行出现问题了吗？没有出现问题。诶，这个第一行没有出现问题，我上下同时除一个x没有任何问题。那这里面当中的问题点在哪呢？其实你发现这又是一个初衷问题。哎，这里面当中啊，

很容易就把这个事情我们能突破过去，大家听一下你，比如说这是二倍的根号五等几啊。这个人是不等于根号20啊。有没有问题？没有问题的话，如果有问题的话，这个有点没法考了啊，这个事情。好了，这个事情它等于根号20，那如果添个负号呢？添个符号，是不是这个人？所以它等于负的根号20。

但是有一名优秀的这个同学，他来了这名优秀的同学，他说什么他说负二这个东西的平方是四，所以说进去就等于根号20。好了，同学们，你听清楚到底错误点在哪了吗？知道错误点在哪了吗？明显就知道什么问题了哦，我终于明白，如果是一个负数扔进去，前面要添负号的。所以我终于明白这个事情了，如果你发现这是二倍的根号，五一个正数扔进去就扔进去，

如果是负二倍的根号，五一个负数扔进去还要加负号的。所以我终于明白这个事情了，就是扔进开方数这个问题，这是一个初中知识点吧。不要小看这个内容啊，所以说初高中知识点非常的重要，因此在这里面当中，我马上就清楚这个问题了，而我们这个题当中，你发现一个事情。我们这里面当中的x分之一x是趋向于负无穷x是小于零x分之一是不是小于零？唉，你发现个事情，你这一项的这个东西是小于零，

你这个东西是小于零，一个小于零的东西扔进去。小于零的东西扔进去，前面东西是不是有个负号啊？所以在这里面当中，马上就清楚这个问题哦，他有一个负号，因此在这里面当中进行去定型的时候，马上就清楚了。上面这人是负的根四，然后这人加上个一，下面这人是负的根一，这是个已定式直接代，所以结果等于一。你看这个题非常精彩的一个题。

这在往年考研过程当中啊，是一道相当相当经典的题。出的最好的点在何处呢？就是趋向于负无穷。啊，你要理解清楚啊，这个题马上就突破过去。但是这个题啊，我们还有一种方法，我再讲讲，我把这个事情啊，我们来讲完善，大家思考一下这个事情。就对于刚才这个题，你而言，

我就想问你个事情，刚才这个题最大的陷阱在何处啊？你想想一个事情，就是刚才这个题，它最大的陷阱在何处？它最大的陷阱。是不是s是趋向于负无穷的？你想想是不是它最大的陷阱，不就是x是往哪跑，往负无穷。正是因为它是趋向负无穷，突出了小于零第一种方法，然后在开方的时候让我做错了。第二件事情，因为它是个负数，

我把它扔进去，我又做错了，都是因为这个事情，那同学们想想一个问题。如果这个题它是趋向于正无穷，还有这件事情吗？那就没有了。如果趋向于正无穷，我是大于零，我开方肯定不会错，我扔进去肯定不会错，所以说同学们，你想一个事情对于这个题而言，你是喜欢负无穷，还是喜欢正无穷啊？

我当然是喜欢正无穷。我绝对的喜欢正无穷，因此在这个题当中啊，我们还有第三种方法。你想我就把这个负无穷变成正无穷，我怎么做呢？我可以使用代换的方式，怎么代换呢？我可以使用。附带换。哎，我可以使用附带换的方式，大家注意一个事情，有同学把这个换元想的非常的麻烦，就非常简单，

什么叫换元呢？就把你的变成我的，我们两个之间有个桥梁。啊，就这么简单，你发现一个问题，那么接下来我们就换一下呗，你这个x趋向负无穷负负得正，我t就趋向于正无穷。然后这个人的话，我们就把他带进去，然后这个部分是t的方，然后这个部分呢s in负t是负的sint。然后这个上面这个部分就是四t方，然后这里面当中就减个t，

然后减个一减去t，然后加个一。不就变成这个样子吗？所以说在这里面当中，接下来我们就继续看，你发现这是个无穷大比无穷大的未定式，敢不敢抓？敢抓抓你。敢不敢抓？敢抓抓你敢不敢抓？敢抓抓你。所以说这个时候你发现一个事情，因为他趋向正无穷，是大于零直接开。直接开，

这是二倍的t，直接开是它，所以等于一。所以你发现这几种方法当中啊，这个方法三巧妙的避开了这个陷阱，虽然你给我设置了个陷阱，但是我通过这种代换性的方式，我让你这个陷阱给填没了，就没有陷阱了，我怎么会错呢？不会出错了，所以说这个方法也非常的优秀。能听懂我的意思吗？你看前面两种方法出错的原因就在于它是趋向于负无穷，我就把这个陷阱给你填没。

那这个时候这个方法论的东西啊，非常的清楚了，所以说这个点呢，我们就讲到这儿。呃，这是一种非常好的一些方式，你下去过程当中好好总结，总结好了，那么接下来我们就继续开始了。那么，在这里面当中啊，讲了半天，我们其实就讲了一个知识点，你发现我们就讲了什么事情，我们就讲了拿到极限，

我们要先定型。如果在这里面当中，如果定出来，它是一个已定式，我们就直接进行代入，进行求解，对吧？如果在这里面当中，定错是未定式呢？未定式无法直接进啊，进行代入那未定式当中，我还稍微的进行讲解了，无穷比无穷，怎么去处理？但同学们，

你注意一个事情，你要不要进行去学习？零比零咋做啊？要不要进行去学习？比如说零乘无穷大怎么做？一的无穷大怎么做？你是不是还要进行学习别的类型问题的方法呀？所以说大家注意接下来过程当中啊，我们的工作都是在干这样一件事情。听好了，我们应该是使用一种叫做分总的方式再来讲。接下来过程当中，我们就来重点进行去讲解一下极限的处理性的方法，极限处理的方法。哎，

所以说接下来过程当中，我们所有的核心事情都是来讲解极限的处理性方法，我不可能说所有的问题都能抓大头处理啊。不是这样子的，接下来的方法可能会显得更加的重要一点，比如说第一种等价无穷小的代换，这第一种比如说第二种泰勒公式的应用。所以在今年过程当中，我们三九六同学，你发现我把这个泰勒公式啊，这种方法给加进来了。你会用的时候，你发现做题会非常非常的简单，所以像这种方法，我们今年过程当中也要重点去学习，

然后在这种当中第三种，还有洛必达的方式，还有第四种，还有四则运算的方式。因此，过程当中啊，我们在接下来过程当中，我们来把这四种方法都来重点进行学习一下，哎，这里面当中啊，每一种方法我都希望同学们需要会。为什么我要讲这个t的公式呢？大家都知道一个事情，比如说这个s-tane n tx-sin x-arctan ENT，你在以前过程当中学习三九六的时候。

你肯定是学习过，但是这个东西的来龙去脉呢，有些老师可能只是让你进行把它记住，但是到了今天过程当中，我们有充足的时间，我们可能把这个事情的来龙去脉。都能学的非常的清楚，而且在处理别的这种类型问题的极限的时候，你也能处理的非常的好，所以这四种方法我希望同学们都要把它掌握清楚。那么，接下来过程当中啊，我们就来重点学习第一种方法，无穷小量的问题，无穷小是我们在考研过程当中啊的重中之重的内容。

好，先来看第一种问题，无穷小量。那么，在学习无穷小，首先第一个问题啊，你就必须要知道什么叫做无穷小哎这个内容啊，必考。你放心啊，在这里面当中啊，这是必考点，我们考研过程当中啊，就这个无穷小问题当中啊，一定会单独的出一道题。哎，

无论是哪年，所以希望同学们这个无穷小量，一定要好好学，其实有没有发现一个事情这个？咳咳。我们讲的这个零基础的这个部分的内容，有的时候你发现它上面的题都可以直接出给我们的考研题。所以我们三九六的同学一定要注意这个每个阶段的课程呢，都要把它学习清楚，对吧？我们上课讲的这些题都有可能完完整整的出成原题。都没有任何问题，好了，那么接下来我们先看第一种事情，无穷小量的定义。

大家一定要区分开一个事情，我们在这个学习极限当中啊，有两件事情，一种事情叫无穷小的问题。还有一种事情叫做无穷大的问题。哎，就这两种，有一种问题叫无穷小，有一种问题叫无穷大，所以说当你在做一个事情的时候，一定要进行区分开，你到底是做无穷小的问题，还是在做无穷大问题？好了，那么首先第一个事情，

那我们得知道什么叫无穷小，什么叫无穷大呀？好，我们先来看第一个事情，无穷小量的定义的问题。那什么叫无穷小？你比如说有些同学学的稍微的狭隘一点，那么同学们告诉我，见到这个样子是不是就叫无穷小啊？是不是啊？见到这个样子，是不是就叫无穷大呀？是不是上面这人就叫无穷小，下面这人就叫无穷大吗？不是这样的，

那么同学们告诉我个事情，如果都来个s分之一，你来告诉我个事情是。谁是无穷小，谁是无穷大呀。谁是无穷小？很明显，一个事情零分之一这个部分它是无穷大无穷大分之一，这个人是零。所以同学们发现一个事情，这个东西是个无穷大量。而这个东西，它是个什么？这个东西是一个无穷小量。所以同学们一定要区分开一个事情，

看一个人是无穷小，你到底是看哪儿呢？你是看这个趋向过程，还是看这个结果？看谁是不看，结果我就来看看这个结果是不是零我注重这个过程吗？我不注重。所以说无穷小让是一个什么问题呢？是一个注重结果，不注重过程的人。跟我们考研一样，考研很注重这个过程，对吧？我相信你今天过来来学习，你肯定是注重这个过程的。

呃，注重这个结果的，你不会说我注重这个过程，我不相信啊，你肯定是注重这个结果，所以说在这里面当中啊，我们来看看无穷小量是怎么定义的？他这样说，他说无论你怎么跑，你看我这样写的。大家注意啊，你看我这样写，我管你什么去向呢？我不管，我就看看你这个人的极限，

结果到底是不是零？如果你这个人的极限结果是零，我就说什么情况，我就说这个函数是无穷小吗？同学们，你能告诉我个事情，你能说一个函数是无穷小吗？你看这个函数，这个函数一会儿是无穷小，一会儿是无穷大，它咋那么善变呢？所以同学们注意说，一个人是无穷小，一定要带上趋向，一定要说什么情况，

你在这个趋向下。为无穷小，你在那个趋向下，为无穷大，所以一定要说趋向，在这个趋向下，为无穷小量。能听懂我的意思吗？所以说检验一个人是不是无穷小，就看他的极限，结果到底是不是零？那么，请同学们告诉我个事情，零是不是无穷小啊？咳。

请告诉我个事情，零是无穷小吗？你看判断一个东西非常的容易，零是不是？是还是不是？啊，其实非常简单，学东西要灵活一点，你发现我一直给你讲数学学习就是学习一个规则，对吧？学习个规则，你是不是无穷小，我就看看你在这个趋向下，你的结果到底是不是零嘛，你告诉我零的极限，

结果是不是零？零的极限，结果就是零啊。零的极限，结果就是零，你发现一个事情，它在任何趋向下，它都是无穷小。对吧，所以同学们一定要听清楚一个事情，你是不是无穷小，我就看看你在这个趋向下，结果是不是零？求极限就行了，非常简单，

好，我们再来看一个事情，请问同学们s趋向于一的时候。那么，这里面当中的x- 1是无穷小吗？是不是sins- 1是无穷小吗？如果在这里面当中x- 1比上x+1是无穷小吗？好，先看第一个人是不是无穷小，就看看在这个趋向下的极限是不是零一减一，当然是零。看看它是不是无穷小，就看在这个趋向下，结果极限是不是零你带进去是不是零是零吧，你再来看看第三个人，

你趋向于一的时候，你发现这是x方减1 x+1。我们上面这个东西可以平方差一下，减一+1，减一+1，约掉个加一就是减一是零，只要你的极限结果是零，你就是在这个趋向下的无穷小。知道怎么判断了吧，所以非常的容易啊，所以学东西啊，一定要把它学清楚好了，那么接下来我们就继续，我们再来看一个问题。哎，

我发现一个问题无穷小，它的极限结果是不是都是零啊？对吧，你的极限结果是零，你是无穷小，你的极限结果是零，你是无穷小，那我说明一个事情。无穷小的极限，结果都是几都是零，你的极限结果是零，你是无穷小，你的极限结果是零，你是无穷小哦，你们的极限结果都是零。

你们都往哪跑？你们都往零跑，那大家想一个问题都往零跑，中间会出现什么问题啊？咳咳。出现什么问题啊？当然会出现速度问题。比如说举个例子，我们的终点都是150分，但是你发现最后会有快慢问题，我们的数学的终点都是70分。但是你发现会有快慢的问题，是不是这个事件，所以你包括的话，你会说赛跑100米，

你的终点是这个人都往这跑，但是他有速度的问题啊。所以接下来过程当中，我们就来重点来看看第二事情，无穷小量的比接，比接是比什么呢？比速度比快慢。那么，首先我们先看看第一个问题点。什么叫无穷小比节呢？他这样说的。说如果在这个趋向下。你看在这个趋向下，这个趋向下，你的极限结果是零，

你在这个趋向下是无穷小，你在这个趋向下，结果是零，你在这个趋向下也是无穷小。当然，同学们注意，而且这个做分母的这个人呢，他得不为零，那么接下来同学们注意我怎么进行比截呢？非常简单，我就把这两个人放在同一个极限下做比。哎，注意放在同一个极限下，做个比大家想一个事情，如果放在同一个极限下做比你上面的极限是几？

上面是零，下面也是零，所以说这种东西叫什么？这是一种零比零型的什么式？v定式。那大家想一个问题，既然是个零比零型未定式，我就想问你个事儿，是不是所有情况都有可能发生？当然是啊，所有情况都有可能发生，有没有可能结果是零？有没有可能结果是无穷大？那当然，有没有可能结果是一？

那有没有可能结果是二三四那些东西波为零波为一啊？当然有可能。所以说这种东西都是有可能性的好，我们先看看第一个事情。如果这个结果是零呢，你发现上面这个人的极限结果是零，你叫无穷小，下面这个人极限结果是零，你叫无穷小。大家想一个事情，什么情况发生它的结果是零啊？非常简单，那就是上面到了下面还没有。对吧，上面快到了，

下面还没有我上面快到零了，下面还没有，我就是零，所以同学们想谁跑的快点。上面这个人，所以说上面这个人为下面这个人的高阶无穷小。哎，这个人的高级无穷小。所以在这里面当中啊，我们通常而言是怎么写的呢？你发现啊，你跑得更快一点。趋向于零更快一点，你就是个高阶无穷小，所以高阶无穷小通常怎么写呢？

我是你的高阶无穷小，我就这样写。对吧，我在这里面当中打了一个o。哎，这个o这个o是什么意思呢？有两层意思，一种叫over对吧？越过超过我是你的高姐，我超过了你。还有一种定义啊，就是我们现在的话，那个什么叫奥米克隆？你可以去搜一下那个奥米克龙啊，他在这个数学里面的解释啊，

就叫高阶无穷小啊，这个高阶无穷小。然后奥米克溶啊，它的意思就是高级无穷，小就是后面过程当中为什么这个定义的名字叫奥米克溶呢？就说到的话，它这个致病性呢，其实是非常非常低的了，就用高接无穷小这个方式啊，然后来进行去定义的，你可以去查阅一下啊，奥米克绒。咳咳。好了，这是我们在这里面当中啊，

介绍的第一个问题，那么接下来过程当中啊，我们再来看第二事情，那什么情况下它是无穷大呢？你发现这个人的极限结果是零，你就是无穷小，这个人的极限结果是零，你就是无穷小，怎么样才是无穷大？那说明下面快到了，上面还没有，所以说在这里面当中，马上可以说明你这个人比他跑的怎么慢一点，你就是这个人的。低阶无穷小哎，

低阶无穷小好这个人，那么接下来我们再来看看，如果是一呢？你想想一是什么？两者之比是一。如果没有极限符号，它就是相等。如果有极限符号，应该是近似相等。所以在这里面当中啊，我们就说这两者之间是什么？这两者是等价无穷小。哎，大家注意，互为等价无穷小。

那么，互为等价无穷小怎么写呢？我们就这样写，我等价于你听懂我的意思吗？哎，注意啊，两者之间是等价的。那么，在这里面当中，如果是不为零不为一呢？如果是二三四这些东西呢？你发现我们就说它是同阶无穷小。哎，同阶无穷小在这里面当中啊，大家注意一个事情，

等价无穷小算不算同阶无穷小？也算等价无穷，小算最特殊的同阶无穷小，所以在这种当中啊，你也算同阶无穷小的一种。因此，我们经常讲同阶无穷小只要求不为零就行，哎，不为不为零就行，一这个东西啊，不用管。等价无穷小算最特殊的同阶无穷小好了，这个内容我们就介绍到这，所以说非常非常容易吧。比如说在这里面当中，

我们来看看一个事情。比如说零大家来看一个问题，比如说在这里面当中啊，当x趋向于零的时候。你发现这个四次方比上三次方的这个结果是多少？你会发现一个问题，你看上面这人四次方，他的极限是零吗？你也是零最后一笔是零。我马上就可以说明什么事情，四次方是这个三次方的什么无穷小高阶无穷小，就这样写啊，非常非常容易啊，我是你的高阶无穷小。好了，

那么接下来我们继续来看重点，那么大家想一个问题，你发现我们学习了高阶无穷小。我们学习了低阶无穷小，我们学习了等价无穷小，我们学习了同阶无穷小，我就想问一个事情，这四种无穷小当中哪一种无穷小是最重要的？你想想我们在处理问题的时候，你找一个比你快的，找一个比你慢的，还是找一个跟你跑的一样快的重要呢？当然是一样快，所以在这里面当中啊，所有问题当中，

它最重要的一种问题就是等价无穷小。为什么跟它一起趋向于零的速度是一样快的，所以说这个时候我们就必须要进行去重点学习一下，等价无穷小的问题。那么这个页面呢？是非常非常重要，所以说我们经常爱演讲。从这个点开始啊，就是从这个知识点开始，我们基本上逼近于考研的知识点了。呃，对于三九六同学，你明确要注意一个问题，等价无穷，小必出题，

哎，一定会出题，每年过程当中啊，都会在这里面当中啊，出一些题目。所以说三九六同学一定要注意这个事情，等价无穷，小必出题，那么接下来我们来看看这里面当中的内容。首先我们先看看等价无穷小，那么在这里面当中啊，我们就必须要就进行去注意一下，要记住八个等价无穷小公式。这里面当中啊，你必须要进行去熟记八个等价无穷小公式，

那么在这里面当中，我就直接给你，我们先看第一个人。s in这个人等价无穷小于s。好，这是第一个人，请同学们告诉我，我写的对不对？那么大家注意，我这样写对不对？对不对？不对。大家注意，这就错完了。一定要注意一个事情，

它是有要求的。只有当x趋向于零的时候，你们两者才等价，一定要注意这个事情，必须有这个趋向的这个条件。为什么呢？因为在趋向零的时候你是零，你是无穷小趋向零的时候你是零，你是无穷小，你想嘛，等价无穷小。是两个无穷小之间的等价，你都不是无穷小，谁等你啊？我等的是无穷小，

我不是等任何人，所以在这里面当中一定是趋向于零的时候。sin x等价无穷，小S好了，那么接下来我们再看第二事件，那一定是阿克sin EX等价无穷，小S角一上都有啊。然后第三个事情就是我们的tangents等价无穷，小S，然后是第四个人就是我们的arc tangents等价无穷，小S。那么，这些东西到底是为什么呢？怎么出来的呢？那么这节课我们就不给你证明了，

如果你有兴趣啊，等我讲完了，洛必达法则我再来给你讲。你想不想听一个？呃，比如说这里面当中，大家会洛必达法则吗？洛必达法则的意思就是这个意思，我浅讲可以吗？注意啊，我前讲洛必达，我还没有重点讲啊。我前讲一下，洛必达那么在。这里面当中啊，

洛必达法则，其实这样子就说你发现看这两者之间啊，是之比的，你是零比零或者是无穷比无穷。当然的话，它的要求比这个高很多，那么在这里面当中啊，这个极限就等于落一下之后的极限，落一下之后是什么呢？就等于导函数之比的极限。啊，注意一下这个事情，这就是我们那些年过程当中所学习的这个洛必达法则，包括什么情况，有可能很多同学的大学。

都是由他把他给我度过的。对吧，极限题都是由它度过的。你所有的极限题都是他处理的，没有他呢，很多同学估计大学期末考试啊，有些同学这个部分的问题都处理不了。基本上都是洛必达，所以接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，那么请同学们告诉我个事情，怎么证明两者之间是等价呀？为什么洛必达简单？因为不用想，不用动脑。

不好意思啊，这个这两天我发现嗯，还是有点咳嗽啊，稍微这个上课过程当中稍微影响一下大家这个复习啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再看怎么证明两者之间是等价？我们刚才讲了，如果两者作比的极限，结果是一，它就是互为等价，所以在这里面当中啊，你发现比如说我已经证第一个人。非常的简单，你看当x趋向零的时候，

这是s in比上s好来看一下，这人是零吧，这人是零吧。所以说接下来过程当中，我们可不可以落下好来求个导？一求导的话，你发现一个事情，这个求导是一，这个求导是cos in，所以说你发现cos in 0是解一。哎，你看两者作比的极限，结果是一不就是等价吗？那这个东西我立即讲完了，是不是这个问题，

比如说在这里面当中，我再证一个你，比如我证这个人，我怎么处理，那就是当x趋向零的时候，你把这个arctangent x和这个做比。那这个人是零，这人也是零呃，这里面当中啊，有一个知识点，你得知道arctan ENT的导函数是一+x^2分之一。啊，这个东西啊，你把讲义往后面翻一翻啊，上面都有这个内容，

我们在后面过程当中导数计算，我们再讲那这个时候你发现我们就落下。一落的话，当s趋向零的时候，这一落没了，然后是一+x^2分之一。那么然后再看上面是一，下面是一，一定是未定式，一定式它就是一。两者作比的极限结果是一，它当然是等价，我这没完了吧？哎，你简单看看就行，

把它记住，会用才是这节课的重点。好了，那么接下来我们继续，我们再来看第五个人。那第五个人是多少呢？是一的s- 1等价无穷小S，然后第六个人ln 1+s等价无穷小S。然后第七个人一减cosine等价无穷小于二分之一x方，然后第八个人一加s的阿尔法次方减一。等价无穷，阿尔法s。好了，这八个等价无穷小公式啊，是我们每个同学都必须要会处理的，

一定要把它给我记忆清楚啊s in等价rs in等价r tangent。对吧，这个tangent前四个人是比较简单的，对吧？s in rs int ang entr tangent都是等价无穷小于s，然后是一的s- 1等价无穷小S。罗隐一加s等价无穷s一减cos二分之一x方一加s的阿尔法次方减一等价无穷阿尔法s。咳咳。那么，在去年的考研真题当中啊，你发现是不考了这个人呐？对吧，考的这个人能不能记住啊？没有任何商量余地啊，一定要把它给我记住。

必须要记。啊，稍等会儿。咳咳。呃，这八个等价无穷小公式啊，没有任何商量的余地，一定要把这个东西啊，给我记忆清楚啊，就是这几个东西，那么接下来过程当中啊，我们再来看。但是你发现你仅仅背过，只是会用到这个叫什么必要条件，它不是充分条件呃，

这几个东西还是比较好记的。那么，接下来过程当中，我们再来看看等价无穷小的替换规则呃，这个内容是非常非常重要的。你光会记，但是你不会用也不行，你拥有了一把非常好的武器，但是你不会用，它也不说呃，也不是说特别好。所以接下来过程当中啊，我就来重点来讲讲，等价无穷小的替换规则，这个替换规则相当的重点。

所以我希望同学们注意啊，这个到了后期过程当中，很多同学都意识到了。很多同学经常容易出错误的点都在等价无穷这块胡乱用，所以接下来过程当中啊，我们一起来看要严格着亏啊，这个跟着这个规则走。好，我们先看第一个事情乘除法的因式可用，等价无穷小。乘除法的因式。替换部分极限为零。你在说什么呀？好了，那么接下来我们就继续，

我们再来看等价无穷小的替换规则乘除法的因式可用，等价无穷小。什么叫做因式呢？在这里面当中啊，其实非常简单，你比如说举个例子，我们说如果这个f它是等价无穷小于a。它这个j啊，是等价无穷小于b，然后这里面当中，比如说h是等价无穷小c，然后在这里面当中，比如说我们再写一个吧，这个再换一个字母。h这个还有什么东西呢？

这个。这个t这个t不好。呃，给我想一个字母，比如说w对吧w等价无效d，那么这个时候你发现一个问题，我们一起来看看这个事，所以在这里面当中，首先第一个问题，你发现这个f乘上g1，然后这里面当中，你发现再来。这个h乘上w那么请同学们告诉我个事情，先看第一个问题，请问这个人能不能替换它？

f.你都等价无穷小了，都是无穷小的等价，它极限肯定是零，这还用说吗？对吧？你说这个东西都没有任何意思，无穷小等价无穷小，什么叫无穷小极限为零？所以你都不用说那个事啊，好了，那么接下来我们继续那么这个人的话，你发现这个f能不能等价当然可以。为什么呢？你看这两项之间是乘除法对吧？

这是乘法下面之间是除法，所以说这个f之间它是可以等价的。那这个j能不能等价呢？也可以等价无穷小于b，所以同学们注意一个问题，能不能等价是这样看的？就是把这个人抽出来。跟剩下人之间是否构建成乘法关系，乘除法关系，所以说在这里面当中啊，你发现你也可以，然后这个h呢h也是可以的。然后这个w呢也是可以的。你发现一个事情，你看你把这人抽出来，

跟这些剩下人是不乘除法，所以没有任何问题好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，如果这是f乘上这一。然后在这里面当中，这是h+w，那么接下来我们就继续看你发现这第一个人f这个人是乘法，下面是除法可以等价。g这个人是乘法，下面是除法可以等价，但是我想问你个事情，这个h能等价吗？h就这个人。你发现一个事情，

你不可能说把这个人抽出来，跟这个人惩罚，那不是的，对吧？所以说在这里面当中h和w。他就不行了，因此注意第一个问题，乘除法的因式一定是可以使用等价无穷小替换的。所以接下来过程当中啊，比如说我们来出一个题。当什么情况呢？x趋向零的时候。那么现在来我们看看第一个问题，对吧？在这里面当中看第一个题，

那么这里面当中是三，然后再乘上一个ln 1+s，请同学们告诉我等价多少？好，这是第一个题，然后这里面当中，我们再来看，如果这是sins，我们再乘上一个e的s- 1。然后再比上一个什么情况呢？再比上一个，这个是ln 1+s。你看等价多少好，这是这个人，然后第三个事情那么就是多少呢？

这是一加上。s再开个方减一，我们再乘上个x等价多少呢？好，先看第一个人，那么请同学们告诉我个事情，你看这两者之间是乘法，我们就可以等价，第一个人等价成s，第二个人等价s，这人就是s方。好，我们再来看看第二人，第二人的话，你发现两者之间是乘法，

下面是除法，所以说就可以上面的人等价是s，然后这个人等价是多少？s真是s，所以说这个结果是s好，我们再来看看第三个人，第三个人可以怎么写这人的写法就是一加s的二分之一次方减一。两者之间是乘法，当然可以等价。前面这人等价多少？阿尔法x所以说就是二分之一s，再乘上s就二分之一s方。能听清楚我的意思吗？所以一定要注意一个事情，乘除法可用，

等价无穷，小的替换好，这是我们在这里面当中啊，讲的第一个事情。能学会吧啊，非常简单，你发现啊，有可能我们三九六这个考题啊，它考的这个难度，所以因此你这个零基础课程啊。对这个有些的话，可能考这个数一数二数三同学可能稍微的简单一点，但对于我们而言呢，你发现这个档次啊，有可能就能匹配我们最后的这个考研题啊，

注意一下这个事情。好了，那么接下来继续再来看第20题，我们说乘除法可用。那加减法呢？加减法到底能不能用？你在大学过程当中啊，你可能是这样想的，你老师说加减法一定不能用。但是你发现一个事情，又看到有些参考书的时候加减法用了又很简单，所以在这里面当中，我们一定讲的是什么事情？加减法慎用，等价无穷小，

不是说不能用，它是有严格的要求的。所以在这里面当中，他是有要求的。要想用严格着抠着要求走，那么在这里面当中到底是一个什么样的内容呢？我们在这里面当中啊，我们来叙述一下。说什么问题呢？如果这个fs我们发现是等价无穷，小于as。然后这个js我们是等价无穷，小于BS。那么，接下来我们看下面一个事情，

如果这是fs，两者之间是相加的，你看好。两者之间是相加。两者之间相加的话，你发现它一定可以等价无穷，小于as+BS吗？一定吗？你看这两者之间相加，一定可以等价无穷，小as+BS吗？如果可以，这就不叫慎用了。你哪谨慎了，你一点都没有谨慎。

你毫不慎用，所以在这种当中啊，他是有严格的要求的，这个要求是什么呢？就是在这个趋向下。你这个f你看好这个人和这个人，中间是不是加法好，两者之间是加法，两者之间是加法，你这两者之间做比。我来问你个事情，这两者做比的极限等不等于这个as比上BS极限？等于吗？你看这两者作比，现在是除法呀，

除法就可以等价了，除法就可以等价成这个人。这个没问题吧，你现在是除法嘛，可以等价。所以同学们注意，这两者作比也就是这两者作比作比的极限不是负一。一定要注意啊，是极限不为负一。只要作弊的极限不是负一，它就能用。因此，将来过程当中啊，要想用严格着抠着这个要求走就行。稍微的眼神漂一下就行。

你比如说举个例子，我们来看看这个事，我们来出一个例题。当x趋向零的时候。我来问你一个事情，比如说这是个三音，然后在这里面当中，我加上一个tangent，请同学们告诉我能不能等价？好，先看第一个题。行不行？你看这两者之间是加法呀。能不能哎，当然可以，

你发现一个问题，我这个人可以等价乘s，这是s为什么可以呢？你发现这两者作比的极限，它不是负一，这是2x。哎，今天这个北京能放炮吗？好现好，那么接下来我们继续啊，我们再来看。好了，这是第一个事情，你发现两者作比的极限，它不是负一，

它是一呀，那所以说这个人就可以。那这第一个人就对了，那么接下来过程当中，我们再来看第二事情，如果x趋向零的时候，你继续发现。那如果这是tane n tx，我再减去个s in，那么请同学们告诉我能不能等价？可以吗？你发现看这个人等价是多少x？这人等价是多少x？你明显会发现一个事情，这两者作比的极限是多少？

这两者作比，你可以试一下，你无论是前面还是后面，你当趋向于零的时候，这个tan比上这个负三，那这个时候是两者之间是除法。除法可以等价，可以等价，这就是负一啊，两者作比的极限是负一，那这个人他就不行。绝对不就不行了，那么在这里面当中，我可以把这个东西讲一下，因为这个东西考的还挺多呢，

那么在这里面当中，我们来注意一下。那这个人到底等价多少呢？就是I趋向于零的时候，这个tangents-s in，我给你看看到底等价多少？因为这个的部分的东西啊，考的非常多，那么在这里面当中，我们马上来看看这个事情怎么处理，这是一个摊正题。然后这是个三我们的操作性方法非常简单，我们可以这样处理，我来把这个tangent题提出来。当然，

这个人的求解性方法太多了，我们下节课过程当中会讲泰勒公式，有些同学问为什么不是负一就能用，你先不用问。我讲了之后，你也不会下节课过程当中，我不讲你都会，所以你等到泰勒公式学完了之后，你什么东西都出来了，不要着急啊。好了，那么在这里面当中啊，你发现我把这个人提出来。提出来之后的话，这个人是一。

然后在这个部分的话，你发现这是三。诶s in的话，这个部分的话不就是个cos吗？这个没问题吧，你这个tan是塞比call嘛，这没有任何问题，两者之间是乘法吧，你等价无穷，小S我等价无穷，小二分之s方。所以说这人等价无穷，二分之x三次方，所以同学们，你把这个人给我记住，

考的还挺多，就这样。所以在这里面当中啊，你可以把这个人提出来一提，这个东西就出来了，所以说tan减去这个s in是等价无穷，小于二分之一s三次方的。好，这个内容我们就讲到这，所以说这里面当中的这个第二条是非常非常关键的，一定注意加减法是。慎用等价无穷大带坏。它的要求是什么呢？两者中间用加法前后之比的极限，千万不能是负一，

如果你是负一，这个东西就用不了了。跟得上我的意思吗？好了，大家不要着急啊，我再讲一个知识点，我们今天的课程呢，我们就讲到这儿，然后今天的部分的东西还没有讲完，所以说今天还没有作业。明天晚上还有一节课，所以这两节课是连着的，哎，你们明天过程当中啊，讲完了之后啊，

我们就有一些作业需要做了。好，那么接下来我们再来看看第三个点。那么，这里面当中啊，第三条内容对于我们三九六同学相当的重要黄金重点，大家注意啊，你在这里面当打心儿。你使劲的打下去都行，你想怎么打怎么打，这对于我们三九六同学这个部分的黄金考点东西太重要了。我们基本上考研题当中啊，都会出现这个人，所以这个部分的东西到底是什么意思呢？我在这里面当中啊，

讲一个例子，大家来看看。那么，请问同学们，如果x趋向于零，我们都知道是s in等价无穷小于x没问题吧？那么，请问同学们，如果x趋向零，请问同学们s in方等价多少？哎，那这个人怎么加多少？有没有发现一个事情，那平方不就也趋向零吗？你x趋向零平方就趋向零，

那这个时候你发现不就是用这个平方？替换上面的x嘛，所以说这人是不是也等价无穷x方？那如果是三次方呢？三次方趋向零的话s in三次方等价多少？那是不是用三次方完全的替换这里面的x啊？没任何问题吧，所以说它等价的是多少三次方，那如果是es趋向零呢，那请问同学们s in 1s等价多少？那就用es完全的替换这里面的s不就等价无穷小于es吗？所以说最后我就得到了黄金重点。只要你能保证这个人是趋向于零的，那么s in这个框就立即可以等价无穷，小于括号。

大家注意啊，这一点当中啊，这是要求。对吧，这是要求，只要你能保证这个人是趋向于零的s in，这个人一定会等价无效这个人。所以在这里面当中一定注意这个问题，只要这个框趋向零塞一框，就立即等价无穷小的框。只要这个人趋向于0s in，这个人就一定会等价无穷小这个人，所以在这里面当中啊，我们要学会着把这个等价无穷小公式要会推广使用。你不光在这里面当中记x趋向0s in这个人等价无穷，

小x你可以把它推广。只要这个人去向0s in，这个人都会等价无穷小，这个人那么同理而言，我们刚才过程当中讲的这八个等价无穷小公式，我希望同学们注意每一个人。你都需要会怎么办？你都需要会推广使用，那么在这里面当中，我们再背一遍可以吗？好，一起来背一遍啊，我带着你背一遍，如果什么情况当这个框趋向于零的时候。那么，

首先第一个事情马上来塞应这个框，立即等价无效框，然后第二事情那么在这里面当中，阿克塞应框立即等价无效框。第三个人。贪政体框立即等价无效框第四个人。阿克贪政体框立即等价无效框，所以同学们注意什么叫框？趋向于零才叫狂。判断它到底为不为零才叫框，然后这是第五个人，第五个人就是一的框减一等价无穷小框，第六个人。那就是一加框，立即等价无穷小于框，

然后这是第七个人一减框，立即等价无穷小二分之一框的平方。然后是第八个人。第八个人最重要，大家注意，这是一加上框的阿尔法次方减，一是加，二不是减。已加上框的阿尔法次方减一等价，无穷小于阿尔法框，所以说这八个推广型的东西啊，你必须要掌握清楚。只要能保证那个东西趋向于零，它就可以进行等价。能听懂吧？

那么，接下来我们来出一些题，我们一起来看看好吧，稍微瞅瞅。礼仪先看第一个人。如果在这里面当中x是趋向于一的。请问同学们告诉我sin x- 1增加多少？好，一起来。你想s是往一跑s- 1就往零跑，往零跑就是框，那这个时候你发现。s in框立即挡下五小框，这块就填减一。没问题吧？

好了，那么接下来我们再看第二事情，如果这个s是趋向于一。继续来看，那么这里面当中是一的x-1-1呢？等价多少？如果x趋向于x- 1就是零，那这就是框e的框减一，立即等价无穷，小的框注意啊，趋向于零才叫框，这是x- 1。没问题吧？好，这是我们在这里面当中讲，

再来看第三个事情，好，我们继续看，如果在这里面当中s趋向无穷大。那么，请同学们告诉我sins分之一，然后再乘上tans分之一增加多少？好，一起看，首先第一个事情，你要注意一个问题，如果x趋向无穷，大x分之一就是零。这就是框，那这个时候你发现s in框就立即等价无穷框。

你注意一个问题，你不要管它是不是x你在乎的是什么，你在乎的是这个人整体结果是不是零，然后再看tan x分之一呢，这人也是框。所以贪这个框等价无效框，而且是乘法可以等价，你乘以就是平方分之一。跟得上我的意思吗？所以同学们注意一个问题，将来过程当中，我不仅仅看它是零，它可以使任何人只要能保证这个整体是零。它就可以了好，这是我们在这里面当中啊，

介绍的第一波问题，我们来做个题吧，好先来看看二点五这个题。一起来看可以吧？好，先看第一个题。那么，第一个题的话，你发现当x趋向零的时候很明显，这个部分就趋向零。这是框吧，所以在这里面当中一减cos in框，立即等价无穷，小多少一减cos in框，立即等价无穷，

小于二分之一，这个人的平方。所以说就是二分之一s。好，这是第一个人，没问题啊，好了，那么接下来我们再看第二人。第二任的话，你继续看。这个人和这个人之间，两者之间是乘法。两者之间是乘法的话，你发现这个东西可以先等价。所以在这里面当中，

我就直接写你看前面这个人可以等价。然后另外一个事情的话，当x趋向零开三次方，是不是也是零？零开三次方，当然也是零啊，那这里面当然你就背了呗，一加框立即等价无效框，所以说这是s的开三次方。那这个结果是多少？你可以算一下是x再乘上三分之一次方同底数，幂相乘指数相加三分之四次方。好，这个人是不是出来了？那么再来看看第三个人。

第三个人的话，你要进行去检验一下，你发现当x进行去趋向于零的时候，你发现这个s in呢？和这个阿克塞呢？这两者现在之间是除法，两者是除法的话，它就是可以等价，那这人之间是一样。那既然两者之比的极限是一不是负一就可以等价，等价无穷s+s，它就是多少？这是2s。好了，那么接下来我们再来看看最后一个人，

最后一个人是最重要的，最后一个人是多少？你看最后一个人，这个东西肯定是套第八个等价无穷公式是一。加上一个人。注意啊，然后是三分之一次方减一。而你发现导x趋向零的时候，这人就是零。对吧，这个人就是零，因此在这里面当中，我们一起来背，那就是一加上框的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法框。所以说就是三分之一，

然后是负的x次方注意是负的，你要填成正的这个题就废了，好这个结果你有没有发现一个事情？这个东西特别像我们去年的考研真题啊，我们在去年过程当中三九六同学，我们考的那道真题不就是这个样子吗？你去年过程当中就是这样考的呀。好了，那么接下来我来给你看几个题，我们再来灭一个题吧，把这题做了。好，再来做一个题。好了，继续，

请问拿到极限先干嘛？拿到极限先定型呗。拿到极限先定型的话，你发现这是零零+1是一一是零，然后这也是零零比零型的未定式吧？那既然是零比零型的未定式，我就想问你一个事情，第一个事儿，这下面这个东西能不能进行等价？可以吧，因为这个东西跟这个人是乘法，上面是除法，所以说这人等价无穷，二分之一x方。然后接下来过程当中，

我们继续看你发现当x趋向零的时候，这人也是零。对吧，这是0l引一加框，立即等价无穷小于框，所以说这个结果等于几等于二。你看这个题。其实你发现这个往年过程当中啊，出的有些这个真题啊，你发现它考的更加的简单一点，你比如说在这里面当中啊。呃，这个青年。今年这个真题我不知道放哪去了。你比如说像这个二一年。

你看这种破题。你说像你先看这种题。你这种题眼睛瞅着都能做啊，这是当时我们考的题，你看这个题上面这人等价呢，一的框减一等价无效框。一的框减一等价无穷框，然后是二选c啊，你就考这种破题，然后接下来过程当中，我们再来看。二二年，然后二二年的话，过程当中我们再来看看这里面当中的第一个题，你看这个题。

那么，在这里面当中啊，当x趋向无穷大的时候，你趋向无穷大的话，这是框，所以说在这里面当中立即等价无效框，所以趋向负无穷的话x乘上x分之二，这人等于二。啊，所以说这个题的话，又选了一包括去年的考题当中的第一个题，也不是说特别难，我那个卷子啊，不知道放哪了。对吧，

在这里面当中，我稍微给你找一下。稍微等我一下啊，等我一下，我找一下。我找一下去年那个题，我给你写一下。去年那个题的话，你发现这个第一个题哦，但是这个题的话，你发现。呃，我们现在也能做，可以做对吧？这种题型也能做，

那么这个题的话，它是这样出的，它说limits趋向零。然后这个下面这个部分的话是e的，这个阿尔法s- 1，然后上面这个部分是e- 2s再减一，然后这个人等于贝塔。然后让我们去求什么东西呢？让我们去求阿尔法乘贝塔等于多少？好，来看看这个题，所以你发现看这个去年考的这个题啊，它也非常的简单，你发现在这里面当中，你首先操作一下，

这个可以秒的，对吧？你看上面这个人，上面这个人可以写成一加上负二s，然后它的二分之一次方减一。而你都知道，当x趋向零的时候x趋向零，那这个部分不就是零吗？这是不是框啊？所以在这里面当中，一加框的阿尔法次方减一等价无穷，小于阿尔法框，所以这个部分是负s。那么，在这里面当中，

我们再来看上面这个人，这是阿尔法x- 1来继续，那这个部分是不是框啊e的框减一立即等价无穷，小的框是这个人。而且两者之间是除法，既然是除法的话，你当然可以等价，上面等价是它下面等价是它，所以说等于贝塔，因此在这里面当中啊，结果是。负的阿尔法分r分之一等于贝塔，所以阿尔法贝塔等于负一。呃，所以这个题啊，

考的不难呃，去年过程当中啊，这个三九六的题啊，其实做前几个题也不难，它那个恶心一点的题啊，它是。去年的考题的风格，我跟你说一下，这个事情就去年那个三九六的。出题的风格就是数学部分的出题风格是这样，你发现那前几个题也不难啊，也非常简单，你做起来了而言的话也非常的顺。但是你发现一个事情就中间呢，它出现了四到五个题，

这四到五个题当中，其中还有一个题。对吧，其中还有一两个题的话，它也比较简单，它就说这个四五个题当中，它是这样，就是这块呀，出了两到三个很难。有点难，然后中间呢，来了几个简单的，然后又来了几个难的，然后后面的一票都还还挺简单。就是那个高数去年的话，

我觉得这个现代啦，什么概率啦都不难。所以他在给你打心理战呢，就前几个题哎，你发现做的还挺顺，突然间做到第七个题还是第八个题，你发现难度系数一下就上来了。对吧，一下上来之后的话，有些同学不想做了，对吧？我前面做那么顺，我做平时的模拟题做那么顺，我怎么可能在中间过程当中有一两个题做不出来？你发现因为我们一直以来做模拟题。

我们都很少碰到这个情况，这就是去年的考试。去年的考试，你发现我们平时做模拟题，做真题从来都不会遇到这种情况，有些同学你发现复习的非常非常的好。平时过程做题，中间都不不带断的这35个题，中间都不带断的。你想想突然间出现一次，而且这次考试，而且还是我们最后一场考试，中间过程当中诶，第七个题不会啊，算了，

我先跳一下诶，第八题也不会。好了，再跳一下，第九题也不好做，心态美了。然后中间做了几个简单的话，你发现又来搞心态了，所以去年过程当中很多同学，你发现后面的过程当中简单也没有心思做了。然后后面的逻辑和写作，然后最后没有时间做了，所以去年的三九六考的不是说特别好，因为去年过程当中这个出题啊。他的这个风格。

说实话，有点。呃，有点狠了，对吧？这是去年的过程，所以你看看去年过程当中这个第一题啊，也不是说特别难。好了，这个点呢，我们就讲到这儿，然后在这里面当中，我布置几个作业，然后你们自己下去做一做可以吧？把这个里面当中的这个二点七，

二点八，二点九，二点一零呃，然后把这个什么二点一零之前的这几个题做了，行不行？呃，什么时候做呢？我建议你明天的话，这个明天晚上不是七点钟的课吗？哎，明天七点的课，你就可以下午过程当中啊，挑一个时间把它做了，你不然上午过程当中做完了之后没有答案，你心里还挺难受，

到了晚上讲的时候你都不记得了。你可以在这个考前就是这个上课前呢，然后把它再做一下就行，我说考前什么考前好了，这是这个部分内容行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这。咦，我怎么又拖了半个小时？行吧呃，那就这样吧，好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿啊，今天的话，

这个我们应该要讲到这儿，不然的话，有些同学就感觉是说这个部分的东西啊。呃，有些部分的东西没有什么感觉，下去过程当中啊，要做的第一个事情就是把该记的东西要装到脑子里面。首先，第一个问题，初高中的知识点，该背的要背，该记的要记，然后第二事情把这八个等价无穷小公式啊，一定要熟记于心。那么，

下节课过程当中，只要提到这个东西，你就得反应提到这个东西就反应，那就可以了。其实以前过程当中，大家都知道我们学习这个三九六的数学，基本上也不怎么讲泰勒公式，就在这里面当中就讲了这个等价无穷小公式。把这个等价无穷小公式讲完了之后啊，然后再讲洛必达法则，再讲四则运算就能处理以前的考题，但是今年过程当中我们时间是够的，所以在这里面当中泰勒公式啊，我们再加强一下。好了，

同学们行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，明晚继续吧啊，明天见啊。

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