02.零基础考点精讲2-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:20:55

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天就是我们继续开始，我们三九六精宗数学的零基础提前学的课程，那么今天是我们的第二次课程，那么在第一次课程当中啊，其实我们重点讲的东西啊，难度系数都不是说特别大。

那么，第一个事情，我们其实给做了一下这个全年的一个备考性的一个计划，那么基本上我们讲授了一下这个啊，全年的一个课程的体系的一个安排，我希望同学们稍微的了解一下我们今年过程当中啊，开设的这个二四版的。精宗数学的全程班，我们的课程体系包括我们里面当中所包含哪些东西，我们简单讲一下，然后第二事情我们就正式的开始了，零基础提前学的课程。我们讲了第一次课程，第一次课程当中啊，我们其实重点讲了函数部分，

那么这些部分的东西啊，都是一些初高中的一些知识点，你发现这些知识点呢呃，其实你也不用觉得说，有些同学说我遗忘了。遗忘了，没关系，捡回来就行了，有些同学觉得说哎，这个部分的东西我怎么感觉到有些东西跟没有学过一样，没有关系，因为它都是一些纯知识点的东西，你能把它记一记，背一背，基本上差不多了。

那么，这节课我们基本上把这个函数部分解决完了之后，才真正的进入到考研的备考的复习好了，那么接下来我们就直接开始吧。呃，上次过程当中啊，我们其实捋了几个点呢，第一事情讲了函数的这个定义，那么函数定义当中讲了三个要素，讲了四个性质，那么四个性质当中啊，包括奇偶性的判定。奇偶性是重点，对吧？然后是周期性，

然后是单调性，然后是有界性，那么尤其在这里面当中，我来重点谈一下这个有界性的问题。那么，请同学们注意一个事情有界性，它的定义是怎么说的呀？第一是这样说的，其实你发现只要你的函数在这个区间内被两条线夹住就行了，所以同学们注意有界啊，一定要指的是有上界，而且也要有下界。对吧，你既要有上界，而且还要有下界，

既有上界，也有上啊下界，它才能有界。你光有下界，你有界吗？你没有，你光有上界有界吗？没有，既要有上界，也要有下界，所以说这个东西啊，你发现目前而言，我们还没有学极限。所以说到了目前而言，我的判定性方法就是两种，

第一种情况。那怎么办呢？就是来看看给这个函数怎么办？我加上个绝对值。我看看能不能小于等于一个数哎，就是这样的一个事情，有没有一个数让这个绝对值啊，小于等于它。如果这个数是存在的，那这个时候这个函数在这个区间当中是有界的，然后第二件事情，那就是能不能被两条线给夹住？如果这个人的函数图像在这个区间内能够被两条线夹住，他就是有界的啊，其实你发现将来过程当中学习完了极限呢，

还有更简单的判定方法。所以说现在而言呢，我觉得就是一个事情叫做浅学。不要着急哎，所有知识体系的一个建立啊，都是需要一定的时间的，所以现在而言的话，你发现你判断的方法可能稍微的慢一点点，你将来过程当中学习的一些极限。我怎么去找它的有界区间啊，判断在这个区间内有没有界啊，可能就会变得更加的简单一点，能听懂我的意思吗？好了，那么这就是我们在上节课过程当中讲的第二个信息点。

然后第三个信息点，我们又讲了一些基本初等函数，那么同学们能不能告诉我个事情，基本初等函数有几个呀？有几个应该是有六个人。反对幂三指，反对幂三指，然后再加上一个常值函数。对吧，这些人应该是有六个人，那么在上节课过程当中，我们讲了反三角函数，那反三角函数是重点。那么，将来过程当中，

比如说你举个例子，你见到阿尔克塞因，你会说阿尔克塞因是塞因的反函数吗？这句话不对。是s in这个人在负二分之派到二分之派内的反函数是吧？在这个区间内的反函数。然后第二事情的话，你能说arccosine是cosine的反函数吗？也不能它在零到派内的反函数，它只是我在这个函数当中一个区间内的一个反函数。所以上节课过程当中啊，讲了这个三角函数，讲了反三角函数，哎，这是我们在上节课过程当中啊，

讲的重点，那么这节课继续吧，好，那么接下来我们来看看。下一个问题呃，上次过程当中啊，我让你进行去把这个表填一下，有没有填完呢？好填完同学请给我回复个二。哎，我看看同学们这个才开始啊，我觉得这个学习习惯还是比较重要的啊，先投入进来。哦，还可以，

还可以。呃，没关系啊，我们上课多互动对吧？我们上的都是直播课程对吧？你这个多互动，你不要把一个直播课程上成录播课程了，我觉得这个对你而言的话，我觉得不太好。好了，那么接下来我们先来看看这个第一个问题，你想这个反三角函数阿克塞因，你就继续去想塞因多少等于它？对吧，而且它是有个区间段的，

在负二分之派内到二分之派内s in多少等于它，那么首先我们看看第一个事情很明显s in 0=0。然后s in多少等于一呢？s in 2分之派等于一注意啊，它是有区间段的，我们一定要看负二分之派到二分之派。然后s in多少等于二分之一啊，很明显这是三十度六分之派，然后这个部分是二分之根号二，很明显是四十五度四分之派。然后这个部分呢，是三分之派那阿克塞因负一呢，你想一个事情，我们要看的是什么情况，你就想这一段。

你只想这一段你很明显会发现一个事情，一对应的是二分之派负，一对应的是多少负二分之派，或者而言你都知道一个事情，这个人是个什么函数奇函数。那奇函数arcs in负的它等于负的arcs in它好，这是第一个事情，然后接下来过程当中，我们再来看看arccos ing。arc cosy呢，你就要想这个问题对吧？就是这一段。这是二分之派，这是零，你就要去想cos在这一段内cos多少等于这个人，

那cos多少等于零啊，还没写cos 2分之派等于零。然后接下来过程当中多少等于一啊cosine零等于一，然后是cosine等于多少等于二分之一啊，我们就说一二三三二一还没显示是六十度。然后接下来过程当中，这是45度，所以说是四分之派，然后这是多少六分之派，然后多少等于负一啊，很明显你发现你看这个派对应过来是负一。好，这是这个结果，然后接下来过程当中啊，我们再来看看第三个事情，

阿克tangent那阿克tangent这个人呢？你要去想什么情况，你就要去想这个tangent。大家注意啊，这些东西都很重要，你将来过程当中去学习定几分，我们要带值的啊，都是需要用的，这是基础知识点，就是这个t an ENT在多少呢？在负二分之派到二分之派内。它的反函数你就要去想tan在这个范围内tan多少，等于它那么首先看第一个事情tan多少，等于零很明显一个事情tan 0=0。然后tan多少等于一啊，

我们都知道是四分之派。然后t an ENT多少等于根号三呢？arctan ENT根号三我们讲一二三三二一很明显，这是多少是三分之派？然后三分之根号三呢是六分之派。那么，接下来继续看你看负一，这是个奇函数吧？奇函数这是负的四分之派，然后这是个奇函数吧，就等于负的三分之派。好了吗？同学们哎，这个页面应该没有问题啊，我觉得上节课过程当中啊，

有些同学觉得说哎呀，这波知识点好难想啊，你看这都是高中内容啊，都是初高中知识点。好了吧，掌握清楚给我回复个一那这波知识点呢，我们就讲到这啊，这是这样的一个内容点，那么接下来过程当中啊，我们就继续开始，我们再来看看。下面两种问题，我们来讲讲指数，函数和对数函数呃，这两个信息点那就比较简单了啊，

接下来的函数啊，都比较简单一些了。好，那么接下来我们先看第一个事情指数，函数，指数，函数啊，它长什么样子呢？下面是个常数，上面是个变量a的x次方。那么，在这里面当中啊，它的图形呢？它应该是按照一来分的，对吧？

这个底大于一还是大于零小于一？那么，首先第一个事情如果大于一啊，它是单调递增的，它是这个样子。如果你发现大于零小于一呢，它是这样。它们永远经过多少零一点哎，就是这样的一个图像，所以说注意一个事情a的x次方，那么接下来我们看看定域定域都是多少定域都是r。然后值域呢？值域都是零到正无穷。然后接下来过程当中，我们再来看过定点，

过定点多少零一点，然后接下来再看单调性这个人呢，单调递增这个人呢，单调递减。那么这个里面当中啊，看极限是个非常重要的内容啊，这个极限如果这个底是大于一的，你看底是大于一的。当x趋向于正无穷，你是不是往正无穷跑？当x往负无穷跑的时候，你接近于零。然后再来看看这个大于零，小于一，大于零，

小于一的话，就是你往正无穷跑，我接近于零，你往负无穷跑，我反而接近于正无穷。所以说在这里面当中啊，你要注意你脑子当中有图像，不要背哦。不要背，就是你脑子里面只要有图形走向，什么东西都出来了，你想象一个事情往上跑吧，正无穷呢，正无穷负无穷呢零。然后这人是往下跑吧，

正无穷呢，是零负无穷呢，正无穷，所以说这个时候你发现脑子里面有这个图像就非常简单。那么，接下来过程当中，我们都知道，在所有的指数函数当中，这个人是最重要的一的x。一亿约等于多少？就这个人呐，约等于二点七一八吧。所以说这个人呢，他是大于零的，因此他的图形走向是这样。

啊，这是es那么在这里面当中，它也过定点零一点，而且在这里面当中，你发现正无穷的极限，是正无穷负无穷极限呢？是零，所以在这里面当中，我们来写一下。limit is趋向正无穷，你的极限是多少？是正无穷limits趋向多少？趋向于负无穷，你的极限是零。所以同学们注意发现一个事情，

这种类型问题的极限，它在无穷大方向上具有两项性。所以说考研的过程当中，喜欢考这个人es是贼喜欢考的好了，这个指数函数就讲到这儿可以了吧？哎，就这么多东西啊，稍微捋一捋就行，其实你记住图像所有东西都出来了。那么，接下来过程当中，我们继续我们再来看看对数函数。那么，对数函数这个人呢？其实是log以a为底s的对数。

那么，这个东西的话，其实我们在这个考研过程当中啊，其实你后面发现很少见到这个人什么log啊，我们先讲吧log以a为底s的对数。那么，这个人的话，你发现他的图形走向呢？也是按照这个底来分的，如果这个底是大于一哎，你发现他的图形走向是这样。如果这个底是大于零小于一，它的图形走向是这样，因此你发现一个问题啊，它的图形走向还是按照这个底来分的？

那么，接下来我们看看定域，这个定域啊，都是s大于零，你写这个人也行，或者你写零到正无穷也行，然后这人值域呢？这人值域是r。然后再来看看过定点，定点是多少一零点，然后再看单调性，这人单调递增，这人单调递减好，这么简单的一个问题啊，应该没啥问题。

但是在这所有的问题当中，他最喜欢考谁呢？他最喜欢考的是这个人叫做louie这个人。我把loring这个人呢？我们来重点讲一下loring是什么呢？loring其实是这个人叫做l or g多少以e为底的这个人。对吧，以一为底的这个人，我们就把他叫做loin。所以说ling这个函数啊，是非常非常重要的，那既然是以e为底，那这个e是大于一，它的图形走向就是这个样子。所以在这里面当中啊，

你必须要对这个人非常非常的熟悉，好，我们一起来填定域呢，大于零值域呢，是r过定点呢，一零点，然后在这里面单调性呢，哎，这是大于零。而且同学们注意一个事情，你要来看看这个人的极限，当x趋向于零，正注意啊，往零跑只能沿着正方向往零跑。当你往正方向往零跑的时候，

它往下面跑，所以说这个罗音这个人，结果他是负无穷，然后另外一个事情当x趋向于正无穷的时候，你看看这条线。s趋向正无穷的时候，这条线往哪跑？正无穷跑好注意下这个事情，就是你脑子里面只要有图像。哎，这个东西都出来了，所以说心中有图像，所有的信息点都在这个图像当中能有所反应，好了，这是这个问题点。

那么，接下来我们就继续，我们再来看看对数函数的三个运算法则啊，这个内容我们在上节课过程当中复习了来。首先，第一个事情对数这个人。它能把两个对数的加和变成里面的乘法，然后第二事情它能够把什么情况把这人的减法变成这个人的除法。然后第三个事情，然后这是阿尔法次方，阿尔法这个人呢，可以一切所以说这个人的话，你发现这有三个性质。把这个三个性质啊，你要掌握清楚，

你看这个里面当中的第一个人可以把加法变成乘法，把这个减法变成除法。四方术呢，可以理解好了这三个性质啊，我们在考试过程当中用的非常非常多，你要有这种意识对吧？你见到这两个加法，哎，变成乘法。你见到这个减法变成除法好了，这个点呢，我就讲到这儿，这是个重点啊，哎，你不要小看这个人好了，

这是这个问题点，我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们再来看下面一个问题。我们再来讲讲幂函数。其实你发现啊，这个所有的函数当中啊，这个人考的是最难的。哎，这个人考的是最难的。而你有没有发现一个事情这个东西啊，是你学习时间最长的。什么叫幂函数呢？下面这个人是x，上面是个常数。

诶，下面是个x，上面是个常数，那我想问你个事情，幂函数的所有图像你会画吗？你会不会啊？啊，这个图像就非常的多了，对吧？这个人图形走向非常非常多，那么在这里面当中，我们来重点来把这个事情我来重点说一下，先来说一下性质。我们怎么去学这个人？你可能在一些这个书籍当中，

或者在高中当中的书籍当中，你可以看得出来，他把所有东西画在一幅图里面，密密麻麻的好多线。让很多同学你发现一个事情，根本察觉不了这些性质，而接下来过程当中，我讲我都是按照考研思维在讲的。所以接下来过程当中，我怎么去讲你怎么去理解，怎么去记忆就行好了，那么接下来首先第一个事情，我们先说第一个性质。这个人的函数啊，他的图像只会位于第一象限，

第二象限和第三象限。永远不会跑到第四象限，所以说同学们注意这个人的图形走向，永远不会跑到第四象限。只要你发现一个事情x是大于零。那它的图像，它都会在上面。对吧，它图像都会在上面，所以说只要x是大于零的这个人，他一定会大于零。就is大于零，它只会在第一象限记住这个性质，对吧？只要is大于零，

这个人的幂函数永远都会大于零。因此，图形走向在第一象限，第二象限，第三象限的时候，我们学习起来就非常的简单，我怎么去写呢？我只学第一象限。大家注意，我只用去学第一象限。我只要把第一象限抓住了之后，第二象限和第三象限就非常简单，你想吧，如果它是个奇函数诶过来。如果它是个偶函数哎过来，

如果是飞机非偶函数就在这儿，所以说我们只用进行去学习第一象限。剩下的东西都看奇偶性和对称性的好了，那么接下来我们就来看这个人的图形走向到底什么样子？这个人呢？我把他分成了三幅图，这三幅图啊，都是按照这个次方数来分的，一个次方数是阿尔法小于零。如果小于零，比如说举个例子，比如说负一对吧x的负一次方就是x分之一，这个人曲线是不这样画的。哎，你发现这个曲线是这样画的。

好，这是第一种情况，然后在这里面当中，你发现如果这个阿尔法，你发现等于零注意啊，只要这个次方数小于零，曲线都是这样子。对吧，只不过大致的样子都是这个样子，听得懂我的意思吗？啊，样子都是这个样子，然后在这里面当中，我们再看等于零的。等于零的话，

你发现它就是一。对吧，就是一，但是你要注意零的零次方是没有定义的，这是个初中知识点，所以把这个点给挖掉。那么，接下来我们再来看第三个事情，你发现如果这个人大于零了。哎，大于零那大于零的时候，这里面当中，比如说举个几个例子，你看最经典的是一次方，一次方就是这条曲线。

对吧，这是阿尔法等于一，然后在这里面当中，如果你发现，比如说平方平方这个人的话，曲线是这样子。对吧，这是大雨。还有一种情况的话，比如说这是根号s，根号s这条曲线就是这样子。所以这是阿尔法大于零，小于一好了，那么这所有的这些线呢，它们都会经过什么情况呢？

都会经过一一。点好了，大家注意啊，这是一一点，因此他们所有的这个人呢，都会经过一一点。这是一定的，好同学们，你有没有发现一个事情，我为什么要这样讲啊？我为什么要分成零来分呢？有没有发现一个事情，只要小于零，这条曲线就是单调递减的。只要等于零，

这条线就是平行线。只要大于零，无论是等于一大于一大于零小于一，都是往上跑的，都是单调递增的，所以说按照零来分。你就能清晰的可以看出来，这三幅图当中的单调性的一个区别。所以说小于零单调递减等于零平行线大于零都往上跑，别管你是大于一=1大于零小于一。所以说这个思维方式它就出来了，那么接下来过程当中啊，我看看您学清楚了没来再来瞅一下这三幅图。再来看看这三幅图来，再瞅一瞅，

那么接下来过程当中，我们就来出一个题了。我看看你水平到底怎么样？如果在这里面当中啊，我出的是s趋向于正无穷，请问同学们这个极限是多少？啊，这个幂函数的极限。下面是s，上面是个常数。它的极限是多少？往真无穷跑。它将会往哪跑？那这个时候你发现很明显，按照零来分吧，

首先第一个事情，如果这个阿尔法是小于零。这条线会无限的接近于零，所以等于零。如果这个阿尔法是等于零，你发现那条线是平的，你要去想啊，你不要上课，就在那记笔记，最后的话，你发现啥东西都不过脑啊，这可不行你看。等于零的时候就是条平行线，所以说这个时候是解这个时候是一。然后在这里面当中，

如果阿尔法大于零，别管是等于一大于一大于零小于一，别管是这三条线当中的哪条线，有没有发现个事情？哎，在这里面当中，你发现别管这三条线在哪条线对吧？大于零大于一，这个人这个人他们在正无穷呢，他都会往正无穷跑。能听懂我的意思吗？好了，这是在无穷大，那当然在零这个方向也是这样，好了，

一会儿我会有题的啊。一会儿我会出一个题，我看看同学们的理解情况好了，这个幂函数啊，说实话，在考研过程当中能出一些非常非常难的一些题。呃，但是对我们三九六同学，你达到这个水准呢？基本上而言，处理起来难度系数不大，你放心吧，这个在这个零基础啊，我们阶段讲的这个初高中知识点，不要觉得没有用。

那么讲到后面过程当中，你发现好多难题啊，很多同学为什么做不出来呢？都是因为初高中知识点有所缺陷啊，不要这样。好了，这个部分知识点呢，我们就讲到这儿，那么接下来我们来把这个东西啊，来迅速的填一下，看你水平怎么样来看这个人。那么，请问如果说这个幂函数在大于零的时候单调递减第几幅图？回答我第几幅图单调递减第一幅图吧，第一幅图就是小于零。

好，这个人你看四方数马上定出来，然后第二个事情我们再来看，如果是趋向于零阵往零跑。正方向放领跑它这个幂函数的极限是零第几幅图？告诉我，如果林阵往方向往林跑，最后能聚集于林第几幅图。要想啊，看看你们的水平。呃，不是第一幅图，你看你这是这个学东西要灵活一点，第几幅图对第三幅图，第三幅图的话，

往零跑是零，所以说这个阿尔法什么点？大于零，你看吧，考试有的时候就喜欢这样考，我出一个非常复杂的式子，我说这个极限，结果等于零，你告诉我这个什么范围？啊，这是一种水准，好了，这个点我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个问题，

我们再来讲讲幂函数的运算法则，像这个内容啊啊，都是我们的基础，来一起看。同底数幂相乘，指数相加。同底数幂相减啊，这个相除指数相减，然后这个a的次方在b次方就是AB次方。大家一定要进行去区分开，就这两个人对吧？这个a括号外再平级来个b，还有这是a，然后这个a的b。这不一样吧，

这是给a进行打了b次方再x次方，这是不一样的，要注意一下这个事情，好了再看第三个人。第三个人呢？你发现这个人负号负号就是m比上n啊，应该是n比上m。分之一，然后这个结果我们再来看看这个东西，我们继续写，首先第一个事情，如果是m分之一次方，其实就是给这个人。开上m次方，然后再给这个人呢？

打上N次方。所以说这个结果立即就写出来了，你看看这个幂函数的运算性质啊，立即出来了。所以像这个基本知识点呢，我希望同学们都要把它掌握清楚好了，同学们讲到现在啊，我们所有的这个初高中的。基本知识点全部讲完了。啊，就全部讲到这儿就结束了，那么接下来过程当中，我们再来看看几个重点内容呃，接下来的问题点呢，你就要好好听了，

认真的听。啊，慢慢的就要进入到这个考研的状态了，好了，那么接下来我们再来看看下面一个问题，初等函数。那么，在这里面当中啊，什么叫做初等函数呢？那么刚才过程当中啊，我们讲了一个东西，叫做基本初等函数。基本初等函数，初等函数是我们在考研过程当中啊，最重要的对象。

求导积分对谁求导，对谁积分基本上都是初等函数，包括求极限，所以在这里面当中我们来看看什么叫做初等函数呢？那么，这个初等函数它是这样说的，它说由基本初等函数经过有限次的四则运算，不就是加减乘除。乘除或者是什么，或者是复合而来的函数。那么，所以在这里面当中啊，你就去想一个事情，就说由它们进行加减乘除复合而来的函数，就叫初等函数，

但是你发现这样去学习啊，非常的麻烦。你每当拿了一个东西的时候，你都要去想，哎呀，这个东西是不是由这些人进行加减乘除复合而来，比如说举个例子啊，我们来写一个人。如果在这里面当中，我们写个这个人，比如说这是sin ee的x，然后再加上一个多少cosine方，然后再加上ln x。是不初等函数。当然是你发现，

就是用es去复合了s in，用平方去复合了cos。然后再跟l之间进行相加。不就是这些人之间复合加减乘除而来吗？当然是初等函数，但是你发现这样去学习啊，非常的麻烦。所以每次过程当中我都要去看看，其实你发现判断一个人是不是初等函数，我只需要瓢一眼。只用漂一眼，所以在这里面当中啊，它的核心重点应该是这句话。最重要问题是一个式子。啊，

就是基本上我们在考研过程当中遇到的是一个式子，你想吧，由这个基本初等函数有限次的加减乘除复合而来一个式子，它们。肯定是一个式子，你看这就是一个式子，这不是三个式子啊，这是一个式子，一个式子而来的函数就叫初等函数。你比如说在这里面当中，我们再写一个。好，我们继续那么这里面当中我们比如说写一个这个什么，这个是sin x这个什么e的x四次方？然后在这里面当中，

我们再乘上一个lns平方，你告诉我这人是不是？我一看诶，就是由这些人组成的，然后是一个式子诶就是了。你就看看是不是它们组成，是不是用一个式子表达的？那就行了，好了，那么接下来我们再来看看下面的问题，比如说我们再来看。那么，请问绝对值是不是啊？绝对值其实也是。其实你发现一般情况下，

我们都是这样讲，叫做什么分段函数一般不是初等函数。注意一下这件事情，我们来把这个东西啊，我们注到这儿诶，注意一下这个事情，分段函数一般不是初等函数，大家注意这件事情。就说分段函数一般不是，其实你发现绝对值函数就是一个分段函数，因为你发现这个绝对值函数它怎么写？这个绝对值函数一般是这样写。如果s大于零=0，它是这样，如果s小于零，

它是多少负s？所以说它是一个绝对值函数啊，这个人的图像也非常简单，它其实就是一个v对吧？这个人的图形走向是这样子。如果你进行去画图的话，这是y这是零这是x，然后在这里面当中是这个情况。因此，在这里面当中，你发现他这个人的图形走向就是一个v。对吧，就是个v，所以说分段函数一般不是初等函数，但是你也看看这个事情，

绝对值函数是不是一个分段函数啊？是一个分段函数，但这个人是初等函数。为什么呢？引发这样一个事情，这个人不好写，你可以这样写。出来了吧？那这个时候你发现它不就是x方的二分之一次方吗？就是这个人的二分之一次方。就是用x方去复合了x的二分之一次方里面的x，那不就是了吗？所以我们经常讲一般不是初等函数。所以你基本上见到的分段函数都不是，但是这个绝对值啊，

它是的对吧，所以说学东西啊，一定要注意有一些特殊情况。好了，这个点我们就讲到这呃初等函数这个东西啊，不是说特别的难哎，基本上把这个核心思想稍微了解一下就行。好了，这个知识点四啊，我们就讲到这，那么接下来我们就正式进入到考研备考部分的东西了。那么，如果说在这个昨天呢？应该是上节课，从上节课一直讲到今天，

讲到现在。如果说这个前面的所有的知识点有哪个知识点可以单独进行出题呢？也就只有这个人。只有他有资格就是这个复合函数。只有这个人单独有资格可以进行出题，别人呢都没有什么资格，那么首先我们来看看这个复合函数。那这个复合函数啊，在这里面当中啊，讲了一堆，但是希望我们在这里面当中啊，不用这样学。怎么进行去学习呢？你只需要掌握清楚一个事情，就是这个东西是什么意思就行。

你只需要掌握清楚一个问题，就是这个样子的东西到底是什么意思啊？它的意思非常简单，它的意思就是我利用y=js这个人。对吧，其实就是利用js这个人，然后进行去复合了，什么情况你看我就把这个东西作为一个整体。把这个人作为一个整体，然后用它来进行去替换这个fs里面的所有的s得到的。哎，我就来替换，把这个人作为整体替换，这里面当中的所有的s我将会得到一个函数。这个函数叫做fg x if gs，

所以同学们一定要定进行去清楚，这样的一个问题。就是用这个人作为整体替换了这里面的所有的s得到的函数。好了，这个信息点我们就介绍到这儿没问题吧啊，这是个基础内容，你只要掌握到这儿就行，那么接下来在这里面当中啊，有一种非常重要的考题。这种考题形式啊，在我们考研过程当中是一大重点呃，另外一个事情，有些人说老师我在这个选择题怎么有五个选项啊，我先说一下这个事情，我们三九六精综数学。

呃，我们三九六数学啊，所有的这个选择题啊，都是五个选项。啊，所以说你要适应这种情况，那么接下来我们来看看第一种考题啊，这里面当中啊，有一种考题叫做什么情况叫做分段函数？复合分段函数哎，复合分段函数。那么，这种类型问题在考研过程当中啊呃，可能算一个有些同学一开始学习的一个盲点啊，也是对很多同学而言的一个难点。

那么，接下来过程当中啊，我们把这种问题啊，重点来讲讲啊，其实非常的简单，你看我们来怎么做？我通过一个题的讲解，然后再来总结一下这种类型问题的处理性方法。好，我们先来看看一点一三这个题，你看这个题怎么做？那么这里面当中啊，首先第一个事情给的一个分段函数。然后又给了一个分段函数，然后在这里面当中啊，

说用这个人进行去附和他，那么在这里面当中，首先第一个事情你要了解清楚，这个人什么意思啊？这个人的意思就是用fs作为整体替换了这里面的所有的s吧，所以在这里面当中，我们看看第一步。第一步就替换进去，所以说就得到了一个gfx。来替换进去呗，来逢s都要替换一下，来替换一替换是fs，然后再来替换fs小于等于零，然后再替换fs+2。然后再替换fs大于零，

所以说这就是我们在这里面当中啊，你发现做题的第一步，那第一步就是替换。那就替换进去，把这个人作为整体替换进去，然后接下来过程当中，我们再来看下面一个事情。那接下来过程当中，就要把这个人进行具体化呀。而我们都知道一个事情，我不喜欢说这个后面写的什么fs怎么样fs怎么样，我们都喜欢s怎么样，所以接下来就是第二步。第二步干嘛呢？我就要进去去看看诶，

什么时候fs小于等于零啊？什么时候fx大于零啊？所以在这种当中，接下来过程当中，我们就核心重点就来进行去讨论，讨论谁呢？讨论这个fs。我就来看看你什么时候小于等于零，什么时候大于零，因此过程当中我怎么办？我就来画个图。我来把这里面当中的fs的图像，我们来进行画出来。那么，接下来我们来看看这个fs fs说小于零的时候是平方，

所以说它的图像是这个样子。然后接下来过程当中，继续大于等于零的时候是负s，所以说它的曲线是这个样子。好了，这个fs曲线我们就出来了，那么所以接下来过程当中我们就来操作了，首先第一个事情我们来看看。什么时候小于等于零。那小于等于零太简单了，小于等于零不就是这一段吗？对吧，我在这一段小于等于零，这一段的时候fx小于等于零，而这一段的时候x是大于等于零。

而且fs等于多少呢？等于负s。所以说首先第一个事情什么时候小于等于零啊x大于等于零的时候小于等于零，而且这个时候的函数等于多少，这个函数等于负x。你看这个人那么接下来过程当中，我们再看什么时候大于零呢？大于零的时候不是这一段吗？哎，这一段的时候大于零，所以说x小于零的时候。fs会大于零，而且fs等于多少呢？fs=s^2，所以接下来过程当中就写为小于零的时候大于零，

而且这个时候是x方。加上二那这个题就结束了，因此就是二+s大于等于0s方加二小于零。x方加二小于零二+x大于等于零，所以说这个题的正确答案选d啊，就这么简单，所以说这个有些这个部分的题啊啊，你可能看到一些市面当中一些答案。写的非常的麻烦啊，其实核心思想就是两个事情替进去，然后再讨论就行，对吧？第一件事情来把它给我替进去。然后再来讨论什么时候小于等于零啊。什么时候大于零啊，

把这个东西讨论清楚，什么东西都出来了，好，这是我们讲的第一个问题，掌握清楚了没？行吧，听明白了给我回复一啊。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的一点三这个题，那么接下来过程当中啊，我们继续，我们再来看看一点四这个题啊，再来看看这个题。呃，

这个题啊，有点意思，这个题目啊，这个历史比较悠久一点，我把这个题啊稍微的改了一下，改成了五个选项。呃，这个题啊，可以出给我们，你发现这里面当中给了一个分段函数，然后这个题考的是什么说什么fff？有的看这个东西都疯掉了，对吗？啊，什么叫fff那么这个东西的意思就是这个意思，

那么在这里面当中啊，首先我们要看里面这个人。对吧，看里面这个人里面这个人是ff x，我们用这个人呐，你发现一个事情。替换了什么情况呢？替换了这个fs里面的x。对吧，用这个人替换了这个s就得到这个人，所以首先第一个事情我们先做里面，你把这个函数求出来之后就是一个分段函数。复合一个分段函数。所以先做里面那先做里面的话，首先第一件事情我们先来看第一步怎么办？

我们要进行去求谁呢？我要进行求ffs。几步走啊，两步那么请同学们告诉我第一步干嘛？第一步一一替换哎，回答我第一步一一替换，把这人替换这个s。那就是逢s替换下一，然后这个东西替换下fs，这个人小于等于一。然后再来零替换，不替换都一样，然后是fs大于一。好，这就是我们在这里面当中做题的第一步，

一一替换。那替换完了之后，第二步干嘛二讨论讨论什么呢？讨论这个函数什么时候小于等于一这个函数什么时候绝对值大于一。那么，所以说第二件事情就来讨论讨论谁呢？讨论这个fx，所以接下来过程当中，我们就来把这个函数图像画一下。fs这个图像。那这个图像的话，你发现看绝对值小于等于一哎，就是负一到一绝对值小于等于一的时候，它是一。所以说这个人的函数图像，

他现在是这样子。这一段是一，然后接下来过程当中绝对值大于一，就是两边儿两边儿的时候是零，两边儿的时候是零。然后这个时候你发现等号挂在这，然后这块不取这块不取，然后这块是一那么接下来我们来看看这个函数啊是。什么时候绝对值小于等于一，大家发现没？你看这条线是等于一。这条线是等于负一。所以说我们接下来看看这个事情，这一段小于一对吧？没有问题，

绝对值小于一，这一段绝对值小于一，这一段绝对值等于一。所以同学们告诉我个事情，是不是任何情况都是这样，因此我们就得到一个情况，无论x是多少，它永远都是这样。我永远都是小于等于一，而你发现一个事情，你会不会大于一，我不会，所以你属于空集，什么叫属于空集啊？不可能。

那不可能的话，说明什么情况？这个函数永远等于一。我永远都是这个情况，不可能是你这种情况，所以我接下来我就知道了哦，原来这个函数啊，永远只能等于一，你既然只能等于一，说明这里面等于一就是f1。那f1是多少？一看一在这儿呢，然后把一代进去就是一本题结束答案选b。哎呦，贼简单，

所以你看看这种类型问题的做题方式啊，你掌握清楚就行，就是一个分段函数复合一个分段函数。你就掌握清楚第一步，干嘛替换第二步怎么办哎？再回代啊，这个什么再讨论两件事情，什么东西都出来了。啊，就这么简单好了，这是我们讲的这个一点四这个题没问题吧？呃，这个上课我们多互动对吧啊？我们这个班级不应该啊，我觉得这个。

有些同学的话还是比较活跃的，对吧？然后的话，这个那个班级就太活跃，然后我们这个班级的话呃，这个大家估计都在记笔记对吧啊？好了，那么接下来这个点呢，我们就说到这儿，那么接下来我们再来看看下面还有一个题，还有一个刻意练习这个题，我们来把这个题啊，我们再来讲讲。来看看这个事情。那么，

这里面当中，我们再来看。好继续啊，好再来看看这个题，那这个题啊，你发现给了一个分段函数。给了一个es，然后这里面当中让我求这个人和这个人好，我们来操作一下这个事情，首先第一个事情我们先求谁啊？先求这个fjs可不可以？可以吧，好第一步干嘛？第一步就是把这个js把这个js作为整体t。替代这个人。

一替换，所以说首先第一个事情，我们先替进去好了，替进去了之后的话，你发现这是一，然后这是js这个人。然后它小于一，然后这是零，那就是gs这个人，他等于一，然后第三个事情，这是负一，那就是gs这个人，他怎么办大于一？好了，

这是第一个事情，我先替进去，替进去了之后啊，我们再来讨论讨论谁呢？讨论这个js。jas这个人的绝对值，那同学们想一个事情jas这个人的绝对值还不是jas吗？对吧，你还不是es嘛，所以说我们在这里面当中啊，只用进行去画gs图像就行，所以接下来过程当中马上出来这人的图像是这个样子。好，这是一。那么，

接下来过程当中啊，我们就来看什么时候绝对值小于一呀。绝对值小于一，非常的简单，你发现一个问题，这一段的时候绝对值是小于一。所以说这一段的时候x是小于0x，小于零的时候绝对值小于一，它是一。什么时候绝对值等于一啊，等于一的话就是这个点，所以说s=0的时候它是这样。然后第三个事情什么时候你大于一啊，大于一的时候就是这一条线就s大于零的时候，你发现你大于一。

你大于一的时候，你发现你就大于零，那这是负一好这个函数就出来了，好这第一个人能学会吧啊，这个基本点啊，把它掌握清楚。好了，那么接下来我们再来看，这是第一个事情，那么再来看看第二个事情。好，继续可以吗？好过去了啊，再来看第二事情，那第二事情的话，

我们再来进行求解，谁啊？我们再来求解第二人。gfs那这个人什么意思啊？这个人就是把fs作为整体替换，这里面的s。所以说它的结果就是e的fx，对吧？e的fx，那么接下来我们就讨论呗，这其实没啥讨论的。你想想一个事情，如果x绝对值小于一。它这个函数就是一函数就是一就是e的一次方，如果这个绝对值等于一，

它其实多少它是零，那就是e的零次方。如果绝对值，你发现大于它是负1e的，负一次方是不是这个情况？所以说在这里面当中啊，你发现这是一，然后这是它好这题就出来了。所以我相信同学们注意这个经验过程当中啊，如果考上一个道这样的题，你应该得答下来好了，这就是我们在这个学习啊，这个第一节部分。如果能单独出题，这个东西可以出。

没问题吧？好，这个点我们就讲到这，然后在这个零基础第一个部分当中啊，还有一个题。我们还没有讲，我们来把这个题我们再来说一下，把这个题一说啊，所有的东西都结束了，好，那么接下来我们再来看看一点二这个题。呃，前面过程当中啊，还有一个题一点二，这个题我们来把这个题啊，

我们先来操作一下。其实你发现这个题啊嗯，可能里面当中啊，有几个选项是很多同学的痛点。但是这个题啊，选正确答案却贼简单，有没有提前做一下这题选多少？选正确答案贼简单，你发现这里面当中让我们判断奇偶性，判断奇偶性，首先第一件事情，我们先来把这个什么定义域是r。把这个负s扔进去。扔进去了之后的话，你发现这是负s，

然后这是s in多少负s，然后这是ln ln这里面当中只是一加上多少？cos负s跟coss一样不一样。一样的cos负s就是coss，然后这里面当中你发现真是个奇函数。s in负s等于负的sins，所以这两个负号就是负负得正，然后就得到这个结果，一+coss的绝对值，然后这个结果。所以说这个题的话，你发现这个函数就等于本身，因此这个题的正确答案选几选a。好了，这是我们在这里面当中啊，

介绍的第一种方法呃，除此之外，同学们，你要注意一个问题，就考研过程当中啊，你要稍微进行去会判断一下。你比如说举个例子，这是个奇函数，偶函数，当然这个题还有可能说是非奇非偶函数啊，所以说在这里面当中啊，有同学说哎，有奇函数，有偶函数，那所以说答案肯定在AD当中选。

那不对。如果这个题的话，你发现它只能是奇或者是偶，不是你就是你，不是你就是你，那这个答案肯定只能在这两个选。就不用看别的了。但是还有第三种情况，还有非奇非偶的。对吧，我们还有非奇非偶函数呢，因此在这里面当中，你就注意一个事情，你不能这样注意问题哎，它不是只有两种情况。

所以在这里面当中，我们再来看看别的情况，那这个题啊，正确答案就选出来了a选项d不对，那么在这里面当中，我们再来看看b选项，还有c选项和d选项。那么，首先第一个事情，我们先来看看b选项。呃b选项这个题啊，我们接下来过程当中，我给你介绍两种事情哎，两种问题的方法，第一件事情我先给你推演一下。

这个人是不是有界函数呢？我们上节课讲过这个事情，刚才也复习了一下，是不是有界函数就是来看看给这个函数加上绝对值。它加上绝对值，其实就是s绝对值，乘上s in的绝对值，然后再乘上多少，这是l这个人的绝对值。啊，就是ln，然后这是一+cosines的绝对值，然后这里的绝对值我们就来看看一个事情。有没有小于有没有一个数让它小于等于？有没有能不能找到一个数，

让它小于等于？这是这里面当中的重点，我们都知道一个问题，这个人肯定绝对值小于等于一。没问题吧，这个人肯定小于等于一，因为他是介于负一到一之间，而我们都知道一个事情，这个人是负一到一。负一到一的话，这个人其实就是零到一。零到一的话，其实就是这个部分就是一到二，这个人也是有节的。但是同学们注意一个问题，

最重要的问题点就是这个人。你想一个事情，这个人是有一个范围，这个人是处于一个范围，但是关注点是这个人呐。你s越大，你找到一个数，我能找到一个比你还大的数。对吧，你找到一个数，我找到一个比你还大的数。所以在这里面当中，你就会发现一个事情，这个人的话就什么情况呢？就无论你娶多大，

我都能找到一个比你还大。所以在这里面当中啊，有界限肯定是不行，你找不到，而且在这里面当中啊，我们介绍一个非常重要的一个经验，你把这两条经验呢，你记住一下。啊，其实非常容易啊，就是如果一个函数表达式当中啊，含有xn次方的因式。就是我们在这里面当中啊，你要知道什么叫因子啊，因子是乘除法。

就含有这个因子，一般都不是周期函数。如果一个表达式当中含有绝对值啊，一般都不是单调函数啊，一般都是这样，所以在这里面当中你就会发现一个事儿，只要在这里面当中含有这个s因子啊。一般都不是有机函数，所以你掌握住这种经验，做这个题非常容易，那周期函数呢？那周期函数在这里面当中，我们继续看。那你就要看看一个事情，你能不能找到一个x+1个人，

最后您能等于这个本事？而且在这里面当中还有一种情况。一般情况下而言的话，你发现我们含有这个人因子啊，我们刚才说了，都不是周期函数，那不是单调函数，所以说这个c选项和这个e选项它都不对。那就要进行去判断一下就行。对吧，就重点进行去判断，那么重点去判断的话，你就要看看诶，我能不能找到一个fx+1个t等于这个本身呢？你就会发现有这个人，

他就不行。不信你试一下，你扔一个x+t进去，这个部分就算等于本身了，这个部分就算等于本身了，这个人也不太会。所以说周期函数也不行，大家能理解我的意思吧，慢慢判断呢，然后最后一个事情我们再来看看e选项。e选项的单调性。单调性的话，我们刚才有个经验，有绝对值的，一般不是单调函数，

因为你发现它会是一个v字形啊，但是在这里面当中，我们再来看。单调函数怎么去研究？你来告诉我个事情，什么叫做单调函数？单调函数，比如说我一直增上去，对吧？一直往上增，或者我一直往下减，那我就找几个点来看看。你比如说举个例子，你看这里面当中这是有三音，我们首先找零这个点。

我把零这个点带进去，你发现就等于零，而且我把派这个点带进去，它也会等于零。然后接下来过程当中，你还可以再找一个点，你在这里面当中看，还有这个cos in，你还可以找个二分之派。那cosine 2分之派是多少？是零。零+1是一，罗尼是零。哎，你发现这有三个点都是零了。

除非它就是一条平行线，听得懂我的意思吗？你想象一个事情，你找到三个点，它都是零了，你这个人要想是单调函数，除非你就是一条平行线。对吧，你就是个平行线，那么在这里面当中，不信你随便找一个点，你试一下你，比如说你看我们在这里面当中，再找一个点，如果这个点它不是零，

那这个人肯定不是单调函数，你比如说随便找你找一个四分之派。你看这个人是四分之派，然后这人是二分之根号二，然后这人是然后是一加上多少，这是二分之根号二，反正同学们你都知道一个事情，这人不为零。对吧，不等于零，那既然不为零的话，你就想一个事情，这一点当中我都找到三个等于零的点，你等于零。你等于零，

然后在这里面到这二分之派，这派都等于零，这仨人都等于零，然后在这找了一个不为零，你觉得单调吗？你想你这个人要想跑到这儿，你肯定上去，这个人要跑到这儿肯定下来，绝对不会单调的，我说大致啊，他未必是这样，就说你要从这个点走到这个点，不管怎么样，中间肯定会上来一下。这个人跑到这儿，

中间肯定会下来一下，他不会单调，什么叫单调一条路走到黑？要上去，所有都上去，要下来，所有都下来，所以说这个函数它不会是个单调函数，因此这个题啊，我们就把它解决了。呃，因此对于这个题啊，可能是我们在这个判断单调性，有界性，然后这个周期性当中比较难的题了。

呃，这是这么多年考研真题，当中还算比较难的题，把它掌握清楚就行，但是这个题选答案一点难度都没有。选答案根本不难，你在这里面选答案的话，你发现这个奇偶性是最好判断的，好了，这个题我们就讲到这。呃，如果是一条平行线，可以认为它是个单调函数。对吧，可以认为是个单调函数，

你比如说说它是单调不增，单调不减，那都可以没有问题。好了，这是这个事情，我们就讲到这儿，那么在这里面当中啊，我们就说到这儿吧啊，这是一个基本问题。下去总结一下。好了，这个第一节部分问题，我们就全部讲完了，零基础提前学的第一个部分，初高中知识点的衔接，

我们就彻底结束了。那么，从下节课部分当中啊，我们就可以正式的进入到极限部分内容的学习了，所以接下来过程当中啊，我们就正式来看第二节函数极限的计算。那么，这个部分的内容啊，我们先首先第一个事情，我先来说一下，我在这个零基础提前学课程的一个设置理念。好不好同学们？我先来介绍一下这个事情。那么，在函数极限这个部分内容当中啊，

其实你发现核心重点有两个，哎，函数极限那么首先第一个事情我先说一下，这个体系，不然有些同学那个不了解这个事情，那么在函数极限这个部分当中啊。它的核心考点其实有两个事情，一个事情叫定义与性质，然后第二事情它叫做什么东西呢？第二事情叫做计算。但是在这里面当中啊，你发现这两大事情当中哪个东西会显得更加的重要一点呢？应该是计算。计算这个东西啊，会显得更加的重要一点。

那么，在我们考试过程当中啊，我们的计算当中啊，基本上出题出的是非常多的，但是这个定义和性质啊，出的很少。不代表我不讲，我会在基础班当中讲，对吧？基础班讲，但是我零基础我不讲。为什么是这样的事情呢？那这是一个学习兴趣的问题。因为你发现很多同学啊，你发现这个考考研数学都会干嘛呢？

都会去买一本这个同济七版的这个教材对不对？啊，很多同学都会买一本这个同济七版的高等数学教材，这是这个大纲所匹配的，这个教材或者有些同学可能用的是你们的这个经济学的一种教材啊，都没有关系。反正这个是大纲所匹配教材啊，就这本。然后一开始复习的过程当中啊，你发现这个第一节部分当中我们已经讲过了，对吧？这个函数部分已经讲过了，然后在这里面当中，我们接下来继续，我们就到了这个第二节。

很多同学兴致勃勃的开始复习啊。兴致勃勃开始复习了之后，你发现这个第二节讲什么呢？讲数列极限，但是你发现一个知识点，就把很多同学给劝退了。什么知识点就是这个定义，有些同学在这里面当中啊，你发现读读读对吧啊？看看看半天对吧啊，然后这个什么破玩意儿直接来看定义吧，来直接来看定义，定义在这儿。然后他怎么说呢？他说这个人是个数列，

然后存在一个什么什么那个数，然后怎怎么怎么样，然后使得什么什么怎么样，你发现读了半天都不知道这个东西到底在讲什么？所以很多同学很崩溃，那我做一道例题吧，结果你发现尤其是这个例题做的更加的崩溃一点，让我们用定义继续去证明这个极限是多少？但同学们注意，我们只有选择题，我们绝对不会出这种题的。所以有些同学你发现就没有兴趣了，就不想学了。其实你发现你已经离考研这个方向相差甚远了。然后接下来过程当中，

有些同学又来说，那我接下来我看看那函数部分呢？那函数部分会不会简单一点？结果发现一个事情函数极限定义更恶心。你看这个电影。那么，在这个定义当中，他说什么在这个区形领域当中有定义，怎么怎么样，怎么怎么样，怎么怎么样，说了半天，然后接下来过程当中，他还想让你证明，比如说看这个题。

那么这个题啊，说趋向于一这个极限定义呃，结果是多少？你发现你把这个一带进去，你发现它不就是一吗？结果它让你证明。而且这里面当中啊，证明都非常的离谱，对吧？而且在这里面当中说明什么可取，怎么样有点崩溃了啊，不想考了。所以在这里面当中啊，它这个。其实很简单，

画个图像。咳咳。好吧啊啊好吧，所以说在这里面当中啊，你发现一个事情，那这个东西啊，很多同学这个方向线，它就偏远了。所以在这里面当中啊，其实有些部分当中的这个定义啊，其实你发现出的还稍微的会难一点点，对吧？尤其在这里面当中的定义的证明这个事情。因此，在这里面当中啊，

我们今天切换一种思维方式，对吧？我们把这个思维方式啊，稍微的切换一下，我们先干嘛呢？我们先把计算这个大头，我们给突破过去。把这个东西啊，进行突破过去了之后啊，等到我们基础班的时候我再来重点进行去讲这个定义和性质，所以你会发现我们这个零基础提前学的课程呢，和这个基础班的课程。是无缝衔接的，那么今天过程当中，我们重点来把这个大头的这个计算，

我们攻克过去，那么所有的函数极限计算基本上抓到90%了。基础班的第一次课程，我们就基本上把这个定义和性质第一节课就来重点讲，所以这个内容啊，基本上就过去了。好了，那么接下来我们就不多说了，我们就直入主题，我们来讲讲函数极限的计算。呃，这个部分问题啊，是我们考研过程当中必考的知识点。一定会出题的，而且往往过程当中啊，

有的时候是一道题，有的时候是两道题，更有甚者可以出到三道题。而且它是你微积分学习的一个基础，也是个开篇，所以像这个函数极限计算呢，是我们每个同学必须要突破过去的。好了，那么接下来我来看看这个大家这个学习的这个基础怎么样啊？我来出个题看看。呃，比如说在这里面当中，我们来出一个题当x趋向零的时候，你发现这是3 x+4，然后这是5 x+7，

同学们告诉我这个极限，结果等于多少？看这极限啊，等于多少？这个极限那么请同学们告诉我是五分之三还是七分之四啊？哎，这个人到底是哪个人？五分之三还是七分之四啊，你看看有同学五分之三啊，有同学五分之三，有同学七分之四。这个题的正确答案是多少？是七分之四？那么，怎么做出来的呢？

哎，有些同学说是五分之三，说我落个必答，我先说一个事情，有些同学在这里面当中落必答了就不对了。说我上面向面求导的话，这个结果是五分之三，有些同学不知道什么叫洛必达也没有关系，先不管了，这个题的正确答案是多少？这个题的正确答案是？七分之四。怎么做出来的呢？就是把这个零带进去就行。把这个零直接带进去，

带进去，下面是七，上面是四，所以说做题方法就是带入。你回想下一个事情，这个大学。一年级的时候。然后才开始学习这个函数极限计算，你们老师怎么讲说函数极限很简单呀，带进去不就行了吗？只要带进去就行了。但是你发现一个事情又突然间跑到一节课程。对吧，我中间我也不知道哪节课哪节课出现了之后的话，你发现你说函数极限怎么做？

你老师问你就说带进去，然后你老师怎么说？极限怎么能带进去呢？一带不就做错了吗？所以说在这里面当中啊，最大的一个问题点就是什么情况，那其实就是我们在原来大学过程当中根本就没有讲清楚一个事情。到底什么样的极限能带进去？什么样的极限不能带进去？这就是我们在这里面当中啊，考研必须要把它把握清楚的。所以在这里面当中，我们第一件事情必须要把它搞清楚，拿到极限当中的永恒的第一步，一定是定型，

这是我们做极限题啊，永恒的第一步。一定要进行去先定性，我们的极限当中啊，包括有两种极限，一种极限叫做未定式极限。一种极限叫做已定式极限哎，包括有两种，一种是未定式，一种是已定式。那么，什么叫未定式极限呢？我一直讲我说中文之华美，对吧？你读一下，

没有确定的式子，就叫未定式。那比如说我们举个例子，最经典的位零式是谁零比零？那么，同学们告诉我个事情，你觉得零比零等于多少？对吧，比如说你觉得零比零等于多少注意啊，这个零是一个函数趋向于零，一个函数趋向于零，你觉得等于多少？你比如说在这里面当中，我来出题了。首先第一个事情，

我出一个s趋向零的时候，这是2s比s。来同学们，我们来看看这个事情，你发现上面是零八。下面也是零吧，结果你发现这个结果等于二。然后在这里面当中，我们再来出题x趋向零，这是平方，这是x上面是零八，下面是零八。除一下，最后还是零呢，如果在这里面当中，

我们再改一下，如果这是平方，这是s上面是零八。下面是零八，那么所以说同学们注意你约掉一个还剩s分之一。下面是零，上面是一，那么最后这个结果是不是无穷大？如果你把这个人改成三，这个结果是三。如果你改成四，这个结果是四，如果你改成五，结果是五，所以我没有发现一个事情，

如果一个极限，我仅仅知道是零比零，你知道这个极限结果到底是多少吗？你知道吗？你不知道，但是同学们，你发现一个事情，如果一个极限知道是零比三，我完完全全知道一个事情，这个极限结果永远是零。你发现一个问题，这个东西它就出来了，我明显就知道诶，如果一个题是零比零。我根本无法确定这个极限结果，

但是如果它是零比三呢，它就能确定，所以说上面这个东西叫未定式下面。下面这个东西叫已定式。那么，在考研过程当中，有几种未定式呢？我们总共有七种未定式，那么在这里面当中，我们来把这七兄弟啊，我来给你写出来。总共有七种被定式零比零无穷比无穷零乘无穷大无穷大减无穷大一的无穷大无穷大的零。零的零，大家注意一个事情，这七种啊，

叫做未定式。对吧，这七种叫未定式，那么什么叫已定式呢？通常情况下，除了这七种都叫已定式。所以在这里面当中啊，如果是乙定时，我们经常而言的话，所碰到的都是除了上列七种以外。当然，在这里面当中，我们还会见到一些啊，一些更加特殊的，那我们这些情况在考研过程当中啊，

基本上很少遇到，你就不要管了。那么，通常情况下，除了这七种以外，我们把它叫做什么一定式？那一定式怎么办呢？一定是我就可以进行代入求极限了。那么我就可以进行带入了，我把这个东西给带进去，然后进行求极限，所以在这里面当中啊，我们的考研过程当中啊，拿到极限当中的第一件事情。拿到极限先定性。

呃，无穷大的零不是一样啊，你不用不用管，你先把这个东西你要是如果理解不清楚啊，你先把它记住，后面过程当中我们会出这种题的。能听懂我的意思吧，哎，不是一不是一，你不要觉得说任何次方数都是一，那你咋不觉得说一的任何次方数也是一呢？不是这样啊，不要用这个常规的思维方式进行去看好了，这是我们在这里面当中啊，所判断的这个第一个人。

那么，接下来过程当中，我们来操作几个题吧，先来看看这里面当中的例二点一这个题。那么，接下来我们先来看看这个题目。先来操作吧，那么请问同学们拿到极限的第一步是干嘛？先定型怎么定型呢？定型这个东西你发现一个事情就把这个东西啊。哎，塞进去啊，我来说一下，这个同学说到这个事儿，我想把它说一下，

你要注意一个问题啊。这个零啊，不是我们从小到大学的那个零听得懂吧？因为很多同学你发现一个事情，学了这个大学数学了之后啊，尤其学了这个考研知识点了之后说哎，老师你发现分母可以为零了，不不不，是这样子的。他这个人的意思是什么意思呢？他这个人的意思就是这一块有一个极限，这个人的极限结果是零。然后这个人的极限结果是零，听得懂我的意思吗？他是趋向于零啊，

趋向于零好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看例二点一这个题。拿到极限先定型，那定型的话，你发现一个事情怎么定呢？就把这个人塞进去，好，我们一起来看啊，把这个塞三三塞进去是多少是零？对吧，这个极限结果是零，然后这个极限结果呢？是十那我们都知道零比零叫未定式，零比十叫什么式，

零比十叫已定式。所以说这个结果直接是零。跟得上我的意思吗？直接写零就行好了，那么接下来我们再来看下面一个事情，你把这个事情代进去，先定型一代进去的话，你发现这人是零一的零是一，所以说这人是三。好，我们再来看这个东西是七七×0是零，然后cosine 0是一，我们都知道零比零无穷比无穷叫未定式三比一呢，叫一定式一定式直接写结果。好，

这个内容它就立即出来了，那么接下来过程当中啊，我们再来看第三个人。继续看一下这个题。二点三这个题。好，再来操作，这个人拿到极限先干嘛？先定型，把这个一先带进去，带进去了之后的话，你发现这人是负一。然后接下来继续带，这是一一八一减五，加上四是多少一减五，

加上四，这人刚好是零，所以同学们告诉我个事情，我们都知道零比零叫未定式。无穷比无穷叫啊，这个未定式，你发现这种情况叫什么式？这种情况叫已定式，那既然是已定式，请告诉我个事情，这个极限结果多少？是多少就写无穷大就行。大家注意啊，就写无穷大就行，不要写正无穷，

也不要写负无穷，这个东西无法判断的。为什么呢？你发现看你这个李娜。你这个零有可能比零大一点点，也有可能比零小一点点，如果这个人比零小一点点。负负就得正了，那就正无穷。如果这个人比零大一点点，负正就得负了，真是负无穷，所以这个时候你发现你说不清楚，所以因此过程当中啊，大家呃，

这里面当中的点呢，我先说一下。一我们所有的题都是选择题，不用管这个事情，另外一个事情在考研过程当中啊，只要是无穷大，你判不出来，你就写无穷大就行。听得懂我的意思吗？你就写无穷大就行哎，没有关系的啊，在这里面当中啊，你判断不出来，你就写无穷大好了，这是我们在这里面当中啊，

介绍的第三个人。行不行？同学们好了，这是我们讲的第一个事情，那么接下来过程当中，我们再来看看二点四这个题。诶，再来看看这个人，那么首先第一个事情拿到极限呢，我们先来定型s进行趋向无穷大的时候，你发现无穷大吧？无穷大吧，加上二呢，那这个人的话，你发现很大，

加上很大，哎，这人还是很大，然后这个人的话，你发现很大很大，再减个三呢，减个三啊，这个九牛一毛，不管他。所以说这个时候啊，是无穷大比无穷大的，什么式未定式。这是我们在考研过程当中啊，你发现我们现在遇到的第一个未定式的题，你可能这是我们全程班的，

今年一年的过程当中遇到的第一个人。未定式那么如果是这个未定式怎么操作？我们都说已定式可以直接代进去，但是未定式怎么操作呢？那么，首先在这里面当中啊，我们先来介绍一下第一种操作性的方法，无穷大比无穷大。当然，在这里面当中，可以洛必达，我们先不管洛必达，我们还没学那个事情，我们先不管，如果遇到无穷大比无穷大的未定式第一件事情，

我们可以这样做，我们可以上下。同除以最大项。哎，这是一种非常好的方式。上下同除以最大项，所以在这里面当中啊。啊，我来说一下吧，因为这个里面当中啊，有些同学这个基础可能不是说特别的好，那么接下来过程当中啊，我来把这个极限的问题啊，我稍微说一点点，我再来讲这个题。

啊，那么同学们注意极限有多少种趋向方式呢？那么大家想一个问题，你是不是见过这种趋向？见过这种极限吧。那么，在这里面当中，同学们注意，我们是不是还见过这种极限啊？那么，在这里面当中，你发现我们是不还见过这种极限啊？我们在这里面当中，你发现一个事情，我们是不是还见过这种极限？

我们是不是还见过x趋向于正无穷这种极限？我们是不是还见过x趋向于负无穷这种极限？是不是啊？见过吧？我们见过趋向于一个点，我们见过趋向于一个点的正，我们趋向一个点的负趋向无穷，大正无穷负。负无穷，所以说在这里面当中，你发现一个事情，我们其实通常而言，我们见过的极限的话，你发现就是只有这六种。对吧，

有这六种，第一种往一个点跑，往一个点跑，在这里面当中啊，我们基本上把它讲讲。首先第一个事情你发现，如果在这里面当中啊，你发现你是往这个点跑，请同学们告诉我个事情，跑到这个点了吗？有没有跑道唉，有些同学你发现你问的问题啊，你先不要问那么多了，等一会儿我们都会讲的，你这些问题我一会儿都会说好吧，

不然的话这个老师打断这个中间的这个部分的内容。那么，在这里面当中，你发现一个事情，我往这个点跑，往这个点跑，其实你发现一个事情，我没有跑到这个点。对吧，没有跑到这个点，所以说在这个点的附近，因此要注意一个事情，趋向于这个点，其实没有到这个点。那这件事情的话，

你就可以很好解释一个问题，你大学过程当中学过这个极限吗？那么，在这里面当中，你发现x是趋向于零的x，其实是不为零的，所以说同学们注意这个分母是为不为零不为零的。因此，你上了大学，分母还是不为零的。他不是说我上了大学分母就能为零呢？你上了大学分母为零呢？你小学过程当中学那些东西不就胡学了吗？所以在这里面当中啊，它仍然是不为零的。

好了，第二件事情你还可以从正什么正方向趋向于这个点。正方向趋向于这个点，就是这个人。那就是比这个点大，比这个点大，这叫什么极限？在它的左边还是右边？右边这个人叫做右极限。听懂我的意思吗？好了，那么接下来我们再看第三种，第三种情况的话，你看还可以从负方向往这跑，比它小一点。

比它小一点的话，你发现那这人叫什么极限？这叫左极限。好，这个问题那么接下来过程当中啊，还有第四种，第五种，第五种叫什么呢？正无穷正无穷，就是很大。然后第六种那就是很小一种是很大一种是很小，那无穷大这种情况呢？无穷大这种情况既包括了很大，也包括了很小，所以说一般情况下，

我们说如果是趋向无穷大，这里面当中既包括了趋向正无穷。也包括了趋向于负无穷。所以同学们能理解我是事情吗？因此将来过程当中，别人问你说一个极限有几种趋向状态啊？你立即回答它有六种趋向状态。可以趋向于一个点，可以趋向于一个点的正叫右极限，一个点的负叫左极限，无穷大正无穷。富无穷，大家不要着急啊，这个基础班的第一次课程我就会给你讲这些定义性的东西，所以你们不要太着急，

这个问题定义性的东西我就会给你讲，每一个东西啊，到底保护什么样的一个意思？好了吧，这是这个点那么，所以说将来过程当中啊，我们就不做进行去区别。当我将来过程当中，你发现我可不可以这样写啊？可以吗？叫做x趋向于一个框fs，我也不知道是哪种趋向，我就这样写，那这个框呢？这个框就包括了趋向于这个点。

有可能是趋向这个点，正有可能趋向这个点，负无穷大，有可能是正无穷，有可能是负无穷，行不行？可以吧，好了，我们一起做了一个这个呃，共同的话，这样的一个确定那么将来过程当中，只要我写这个东西啊。我们就能知道诶，它应该是包括这六种趋向状态，行不行？

同学们好，这个问题点我们就讲到这，那么因此过程当中啊，我们就来看看上面这个题。那么，接下来再来看，那所以说你发现你看这个无穷大，既可以是很大，也可以是很小，所以你就不要管了。所以说这个人就是无穷大比无穷大的未定式，我怎么进行去处理这个题呢？那么首先在这里面当中啊，我们先来看看第一种方法。那第一种方法在这里面当中，

我可以怎么办？上下同时，除以最大项，那么请同学们告诉我，这里面当中的最大项是几次方向？这很简单吧，你是100的时候，我已经是这个什么平方下100的平方，你是100的平方，我已经是100的四次方。所以在这里面当中，你发现最大的是谁三次方，所以我们就上下同时除以三次方，那就是x分之四，然后这里面当中是x三次方分之二。

然后这是七，然后这是x分之五，然后这是x三次方分之三，那么请同学们告诉我个事情，你发现这一项的极限结果是多少？你下面是非常非常的大，你上面只是个四，那这个结果是趋向于零啊，然后这个结果呢？也是趋向于零吧？这个结果呢，趋向于零，这个结果呢，趋向于零，所以说这个时候你发现一个问题，

下面就趋向于三啊，这个。七上面就趋向于三那七分之三是已定式还是未定式？当然是已定式，所以说这个时候你发现我就可以直接写结果。跟得上我的意思吗？它是个已定式，它就写结果。所以像这种未定式啊，我可以通过上下同时除以一个最大项，把它变成一个已定式得到答案。好不好？同学们好，这是我们在这里面当中介绍的第一个事情呃，但是在这里面当中啊，

要注意一个问题。这种问题啊，它就太慢了。如果你在大学过程当中啊，去处理期末考试这种方法就可以了，但是如果在考研过程当中啊，你进行去处理这种问题啊，那就不行，这就太慢了。我们基本上我们要求什么情况，同学们看到这个极限，立即反映出来，结果所以接下来过程当中，我就必须要进行去讲述一种重点的做题方法。它的名字叫做抓大头哎，

抓大头。那么，接下来首先第一个事情，我先来说明一个这个学习方法上的问题。当你进行去学习一个定理的时候，你要学两个事情，一个事情是这个定理的内容。另外一个事情是这个垫底的适用条件吧。什么时候能用啊？怎么用啊？把这两件事情想清楚了之后，这个定理啊，就算完全掌握了，那么所以说首先第一个事情我们就必须要知道一个事情这个东西的适用条件，对吧？

适用条件是什么？第二事情我们还要知道这个人的具体内容是什么，把这两件事情掌握清楚，我相信这个抓大头这个定理啊，就掌握清楚了。所以接下来过程当中啊，我们就来重点来讲讲抓大头的这种方法论，那么首先第一个事情我们先来讲清楚什么时候才能用。啊，记清楚，一定是适用于无穷大比无穷大的型的微粒式。适用于无穷，大比无穷。大型的微定式。那么，

所以说将来过程当中，如果是零比零，你能用吗？你当然不能用。对吧，一的无穷大能用吗？用不了，所以它运用的这个条件非常的清楚，就是无穷大比无穷大行为历史。如果你碰到是无穷大比无穷大，它就能用。至于这个无穷大比无穷大，可以是正无穷比正无穷正无穷比负无穷负无穷比正无穷都行，无所谓啊，这个东西无穷比无穷。

它的内容是怎么说的呢？它这样说的。他说，如果在一个趋向下。诶，在一个趋向下，在这个趋向下的话，你发现这个人很大。对吧，在这里面当中，而且的话，当x一个趋向下，这个BS也很大。就说你很大，我也很大，

而且什么情况呢？而且这里面当中这个as这个人呐，是远远的比BBS大。对吧，你很大，我也很大，但是我远远的比你大，那么请同学们告诉我个事情，在这里面当中啊，马上就可以说清楚这个as，如果再加上个BS，请你告诉我个事情。娶谁呀？你注意啊，这是远远的。

你比如说举个例子，你有两个e。啊，然后你还在乎两毛钱吗？你就不太在乎了，你有2000个亿，你还在乎100块钱吗？你就不太在乎了。所以说这个时候你发现我娶的是谁呢？我娶的是这个人。因为你带领着。你带领着我们两个人何去何从是吧？我比你是远远的大，那我加上你那这个人的话，基本上就不要减法也一样。

那么，在这里面当中，我就重点要讲一个问题，什么这个东西啊？你发现是远远的大，对吧？什么叫远远大？远远大这个事情，我来问你个问题，如果这是一个亿。注意啊，什么叫做圆圆的？如果这是一个亿，这是一请同学们告诉我个事情，这叫大还是远远大呀？

一个一比一。对吧，一个人是一个e，这是个一，这是大还是圆越大？你想清楚。大还是远远大？大家注意，这叫大，这不叫圆圆大。那么你发现一个事情，这个人比这个人大多少呢？大了99999999。你发现了一个事情，你这个a比这个b大多少呢？

你能说的出来，你能说的出来就叫大就不叫远远大。什么叫远远大，我要比你大的，让你说不清楚。对吧，我要比你大的，让你数不清楚是无穷大。那这个时候你发现它就叫做什么情况，它就叫做远远大，所以在这里面当中一定要听清楚一个事情，我要比你大的，让你数不清楚。那我怎么进行去判断呢？你做减法不好判断，

那么同学们注意，我这里面当中有个评判方法，听就行了，这个东西不要记，一会记结论就行。我的评判方法是这样。你不是很大吗？你不是很大吗？如果我比你是无穷大，我能不能说我比你远远大呀？你注意一个事情啊，你这个人是很大，你这个人也很大，你很大，我也很大，

但是我咔的一除。结果是无穷大能，不能说明我比你远远大当然可以。绝对的没有问题。所以同学们注意一个事情，这件事情一定可以说清楚。所以接下来过程当中啊，我们就来把这个东西啊，稍微进行去梳理一下好，那么接下来我们来写几个例题离。那么，请问同学们注意，在趋向无穷大的时候。你看趋向无穷大的时候，请问同学们注意三倍的x方比平方，

这叫大还是远远大呀？你看三倍的，你是一倍的，这叫大还是远远大？我们接下来检验一下，你发现这个人很大。这个人也很大，这是三他不是无穷大，所以说这个人只能说是大他不叫圆圆大。但是同学们注意一个事情，我们再来看，如果这是x三次方，这是平方呢？那这时候我们再来看当x趋向无穷大的时候，这是三次方很大。

你也很大，我两者一除是无穷大，这叫什么？这就叫做远远大。所以因此同学们注意把这个内容记上，笔记上，考点内容。当什么情况呢？当x趋向于无穷大的时候。一定是高次幂比低次幂远远的大。大家注意一个事情，高次幂比低次幂远远的大，一定是要有什么东西呢？要有这个次方数上的差异。有次方数上的差异，

它才叫远远大。听得懂我的意思吗？所以说接下来过程当中啊，你要理解清楚这个事情。高次幂比低次幂远远的大。对吧，我高次幂比低次幂是远远大，当然同学们注意你想象一个事情，你肯定大于等于什么，你大于等于一个数。当然，也大于等于一个有界变量。没问题吧，你想一个事情我都是无穷大的，我非常大，

你是个数，我肯定比你远远大啊。你是个有界的，有界是在一个范围内啊，别管你是什么范围，我都到无穷大了，我肯定比你远远大啊，所以同学们注意。高次幂比低次幂远远大同一种次方幂是不会产生远远大关系的，必须是要有次方数上的差异。所以接下来过程当中啊，我们就来看看这个题，你发现这个抓大头啊，非常的好用啊，来首先我们先看看第一个事情。

拿到极限先干嘛？先定型先定型，完了之后你发现一个事情，这是无穷大比无穷大，请同学们告诉我敢不敢抓大头？敢不敢？你不敢我白讲了啊，敢不敢抓？当然敢抓，所以说你发现一个事情这个东西啊，我立即就可以抓大头了。所以接下来我们来首先第一个事情，你发现如果s趋向无穷大的时候，你发现这个三倍的s三次方是远远的大于这个人，而你发现我是远远的大于一个常数。

而这个七倍的s三次方，我是远远的大于多少五倍的s次方，我是远远的大于三，所以在这里面当中，首先第一个事情你发现。这三个人最后娶了谁啊？我们当往无穷大跑的时候，真正有效的是谁？真正有效的是第一个人，我抓了你。第二个真正有效的是谁？是你，我抓了你，所以说第二种方法方法二我们就可以秒了，本题的答案就等于七分之三就这么修，

你就怎么写？显然，七分之三，但是我们考试过程当中啊，都是什么题啊？选择题你放心啊，这种题目我们也有可能会考。不要小看这种题啊，对吧？有的时候你发现我们出成一道选择题啊，也都是可以的，七分之三，所以像这种题目的操作性，你必须要把它想清楚。好了吗？

同学们行吧，我们稍微的休息会儿，一会儿我们再继续可以吗？啊，这种点呢，你必须要想清楚，高次幂比低次幂远远大同一种次方幂不产生远远大的关系。好，稍微休息会，一会我们继续吧啊。咳。

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