01.零基础考点精讲1-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:20:42

同学们，行！那么接下来我们就继续回来，我们再来看看这个今天的正式课程内容。我们先来看看这个第一个部分啊，叫做考研当中啊，必备的这个初高中知识点的一个衔接。呃，这些部分的东西啊呃，之前有些同学可能会问我一个事情，说这个老师啊，我这个初高中的这个基础不是说特别好。需不需要把这个高中当中啊？这些什么必修一必修二必修三这些东西，然后再来进行做一个统筹的复习呢？

没有必要。啊，这是一个非常低效的一个过程，那么在这里面当中啊，我们通过一节课程呃，今天可能会剩下的这个半节课，我先看看吧，一会过程当中啊，说不定会要拖堂，我们通过一节课程过程当中啊。我们就能把这些初高中知识点呢，我们全部讲完，所以这个部分的东西啊，我觉得今天过程当中有些同学未必全部都能把它背过。都能把它记住，

比如说有些三角函数，你像有些同学，比如说我提到一个事情，什么诱导公式，你看有些同学估计就记得那个名儿，对吧？比如说你看什么奇变偶不变符号看象限，你看这些都是我们的青春呐。很多同学的话，这个最后学习都是这样，留下了那个词儿，但是你发现这个具体内容是什么？所以今天过程当中这个部分的东西就这个第一节部分的东西啊。它将来过程当中应该变把它变成一个什么东西呢？变成了你的一个工具书。

你能听懂我的意思吗？哎，变成工具书，将来过程当中，比如说我们学到三角函数a2倍角公式，忘了拉回来进行去看一看。比如说在这里面当中，你发现这个，比如说三角函数的，有一些这个两角和公式两角差公式诶，给忘掉了诶，拉回来进行看看。能听懂我的意思吗？所以说这个部分东西啊，可以进行去通过这个将来的查阅，

一点一点的把它给我记清楚好了，那么接下来我们就正式的开始，我们先来看看第。第一个部分的内容，我们看看函数的概念的问题呃，这个内容啊，在考试过程当中绝对不会考。对吧，他不会给你去考察什么叫做函数，那这里面当中啊，你发现说的也非常的啰嗦函数的这个定义啊，是通过这个什么东西呢，叫做映射，然后进行去定义的。后来过程当中，

你发现里面当中啊，说了很多东西，不用看这个内容，那么接下来我们简单总结一下什么叫函数呢？它这样说。它说，对于任意的一个x，我属于一个区。对吧，在一个区域内的一个x，然后你发现一个事情总有一个什么样的y与之对应呢，总有一个唯一的y与之对应。对吧，一个s永远有唯一的y与之对应，唯一的y与之对应，

怎么过去的呢？通过f过去的我就因此确定了一个y=fx的函数。哎，这个事情是非常简单的，那么在这里面当中，我们首先看第一个事情。那这个y是什么呢？y叫做因变量x叫什么呢？叫自变量f叫什么呢？叫对应法则，大家听就行了，这个东西啊，绝对不会考。那么，在这里面当中，

我们只是回顾一下就行，那在这里面当中，首先第一个事情，你发现这个x叫做自变量。那在这个自变量，你发现它的范围叫什么？它的范围叫做定义域。哎，注意这个事情啊，自变量的范围叫做定语，然后这个y叫什么呢？y叫做因变量。那因变量的话，你发现它的范围呢？它的范围叫做值域。

好了，这是第二事情，然后这个f叫什么呢？f叫做对应法则，或者叫做对应关系。哎，对应法则。好，其实这就是我们在这里面当中啊，讲的三个要素定义域值域对应法则，那么在这里面当中，我们接下来看一个重点问题。哎，我们讨论一个事儿，那什么叫做同一个函数呢？

大家听好了，我们的这个定义是什么？同一个函数。两个函数是同一个函数，那我们在这里面当中需要保证几个要素是相等的呀。有的说得保证什么定义域值域对应法则都相同啊，不用，我们只需要保证什么，我们只需要保证定义域和对应法则就行，唉，或者叫做对应关系就行。对应法则相等。我们只要保证这两个东西相等，它们两个人之间就是同一个函数。那为什么是这样子呢？

其实非常简单。你想你的定义域确定你的对应法则，确定你的这个值域不就确定吗？所以在这里面当中啊，定义域和对应法则是我们在这里面当中啊，只要它们相同，它们就是同一个函数。那么，在这里面当中，我们比如说举个几个例子，你先来看看这里面当中的第一个人。我写一个人，比如说这是y=x。和这个y等于根号x方，你告诉我个事情，

这两人是不同一个函数。是不是啊？那么首先要看呗，那么先看定域，那这个定域是多少呢r？然后第二人呢？第二人得保证x方是大于等于零，我本来就是大于等于零，那我x就属于r啊。好了，这两个人的话，你发现定义域是一样，但是这两个对应法则一样吗？什么叫对应法则？自变量是怎么到达因变量的？

那这个人的话，你发现根号这个人其实不等于他，是等于他的绝对值啊。所以在这里面当中，你发现这两者之间的对应法则不一样，它就不是同一个函数能跟上我的意思吗？哎，要注意怎么判断同一个函数？好了，我们再来看看第二事情，如果在这里面当中，我们写一个fx，然后我再来写个ft，你告诉我个事情，这两者之间是不是同一个函数啊？

你再看这个。是还是不是？你先来看这个人的自变量是x。这个人的自变量是tx范围跟t的范围是一样，所以说定义域肯定一样，对应法则也一样。所以说这两者呢，当然是同一个函数，所以说y=f sy=ft这两个东西啊，当然是同一个函数，因此在这里面当中，我们先注意一条重点。什么样的一个重点呢？我们就得到了一个非常重要的一个内容，一个函数与自变量字母。

选取是无关的，对吧？我这个函数的话，你发现一个事情，我跟你这个自变量用什么字母进行去表示，没有任何关系。我想用什么字母就用什么字母，我爱用什么字母就用什么字母。你在这里面当中，我不知道同学们是否还记得这个曾经高中当中啊，做过这种题，你比如说举个例子，这里面当中我写了一个什么，这个fx方。等于x四次方e的x方加上一，

我让你在这里面当中，你发现我让你去求fx怎么求啊？怎么去求那么在这里面当中，我们是不是可以进行一个变量代换呢？首先第一个事情，你就直接令这个I次方等于t吧。然后一定的话，你发现这是ft，然后就等于t方，然后这是e的t，加上一是不是这个事情，然后在这里面当中啊，你发现一个事情，你看。从这一步我就直接说fx就等于x方，

加上e的x+1那有些同学就有问题了，说哎，老师不对呀。你刚才过程当中不是说t=x^2吗？你在这里面当中t怎么又变成x啊？同学们注意此s非彼s。那这一步的话，你发现你用到的原理是什么？一个函数的结果跟自变量用什么字母表示没有任何关系，我不光可以用t表示，我用u表示，我用v表示，我用h表示，我用w表示。都行，

这就是函数，函数结果跟自变量用什么字母表示没有任何关系，本题就结束了。能听懂我的意思吗？所以说这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，一个函数，结果与自变量字母选取没有关系。好了，函数就掌到这儿的掌握到这儿就行啊，这时就是我们在这一年过程当中啊，你发现你要学习的函数部分内容。好了，那么接下来我们就来看看第二事情函数的性质。那么，

在函数当中啊，它其实核心重点有四个性质，第一个事情叫什么呢？第一个性质叫奇偶性。第二，性质叫周期性。第三个，性质叫单调性。最后一个事情叫做有界性。哎，有这四个性质，你发现没问题啊，你在高中的过程当中，你最重要的问题，学习了几个性质？

你高中当中，你发现奇偶性，周期性，单调性都是重点研究过的吧？但是你在高中的过程当中，你也就简简单单的学习了，有界性。但是有界性，不是高中的重点。那为什么呢？你想想一个事情，那理论上高中也能讲。那为什么高中没有重点讲？那这里面当中就是高等数学和初等数学的最大区别。高等数学和初等数学最大的区别是什么？

你想高中以前学的都是初等数学，然后现在的话，你发现你学的这个东西都是高等数学最大的区别是什么？年龄变大了，不不是这样啊，最大区别是什么？最大的区别就是你会极限了。诶，你会极限，极限是微积分学的开篇，是跨入高等数学的开篇内容。所以你发现一个事情，为什么在这个初高中当中不重点讲，那是因为有界限的重点研究是通过极限的手段，然后进行去研究。

所以在这里面当中啊，你发现高中当中啊，没办法进行去重点进行去突出进行讲这个点，所以你会发现考研的过程当中考有界限，只要考都是跟极限有关的题。所以这个部分的内容我会放到后面，有一个具体的专题来重点讲好了，那么接下来我们先看第一个事情，奇偶性。怎么判断奇偶性啊？呃，我先说一个问题啊，这个东西还挺重要，就这个人。这对于我们而言，

考研是必考的。它不会在这儿考，它在哪儿考？它在定积分那块儿考。对称区间下定积分的结果是零，对吧？这个呃不不对称区间下这个定积分呐？奇函数等于零。偶函数等于二倍，所以说你发现在那个部分当中，我们就会重点来进行去讲这个奇偶性，所以每年的过程当中，我们都会有一道这个奇偶性的这种考题。啊定积分的计算，所以首先第一个事情，

我们先来判断一下，你发现如果一个f负s=fs这人是偶函数吗？如果一个f负s等于负的fs，这人就是奇函数对不对？同学们告诉我对不对？哎，不是这样，那么在这里面当中啊，你发现首先的第一个事情不是这样子的，我们首先拿到这个点呢，你发现我们应该要干嘛？我要先看。定义域是否关于原点对称呐？这才是你进行去判断奇偶性的第一个事情，对吧？

你要先看看这个定域是否关于原点对称。你要是你的定义域是负一到到二，这都不可能的，为什么呢？因为奇函数你发现如果你是个奇函数。你是关于原点对称。对吧，如果你是一个偶函数。你是关于y轴对称。你想一个事情，你关于y轴对称，你两边要对称的呀，你关于原点对称，你两边也要对称的，所以首先第一个事情先看定义域是否对称。

如果在这里面当中啊，你发现对称的还行，如果在这里面当中不对称不对称，它一定是一个非奇非偶函数。诶，这是你要注意的，非奇非偶函数。好，这是这个问题，如果这个人的话，你发现他确实是关于这个定义域对称，那么在这里面当中怎么办？我再来看看这个f负x。如果这个人等于fs，我就立即可以说明这个函数是个偶函数。

这是偶函数，不是偶数啊，这个大家稍微小心一点，然后这是fs等于负的fs，我就立即可以说明什么，你就是个奇函数。如果这个f负s，你发现我既不等于fx，我也不等于什么东西呢？我且不等于负的fx，那这个人就落到了非奇非偶函数这个部分。所以在这里面当中啊，你发现你的核心重点的判断第一件事情，你当然要看看是不是关于原点对称？所以这就是我们在这里面当中的判断性的思路，

你学会了吗？同学们非常简单啊，非常非常简单好，这是我们讲的这个第一个问题。那么，接下来我们来做几个题吧，稍微的感受一下呃，大家注意哦，我写到这个讲义上的这几个题。都非常的牛逼。都非常的重要，所以你稍微的进行注意一下这个事情好，我们先来看看第一个人，哎，我现在做两个，

然后你再做下面的可以吧？好，先看第一个人。那么，首先看这个函数啊，指数函数。指数函数这个人的话，你发现它的图像的话，其实就是这个样子。所以说它的定义域是多少？它的定义域是r。当然，关于原点对称，既然是关于原点对称，你发现一个事情，

我们就可以怎么办？直接来把负x代进去，然后这就是二分之一的负x。然后这是es，然后你发现跟这个人是不是相等，大家注意这人就是个偶函数。哎，这个人是个偶函数啊，这个东西啊，你发现后面过程当中我们会学这条线的，这个函数叫什么呢？这个函数的曲线呢，叫做弦链线。啊，什么叫悬链线呢？

就比如说那个那个索桥，你知你知道这个事儿吧，或者呃晾衣杆儿。晾衣不不是晾衣杆，晾晾衣绳儿，你看这里面当中这这两边儿有个杆儿对吧？然后这块儿有个绳子。绳子的话，你发现就有自重啊，你这个自重下来的话，你发现你看这条线就叫悬链线。啊，这个非常喜欢考的啊，这几个人悬念线啊，就是它好注意一下，

这个人是个偶函数啊，非常简单。好了，那么接下来我们再来看看下面事情第二。那么，第二人的话，你发现我们首先判断这个定域，这个定域的话，你发现我们是不是只需要保证什么情况？这个一减s一加s这个人是不是大于零？对吧，这个部分是大于零，这个部分大于零的话，你发现其实跟乘法大于零是一样。这个大于零，

其实你发现一个事儿，不就是我两个，要不是同号，对吧？我们两个要不然怎么办？我们两个要不然的话，就是必须是要不然两个都是正的，要不然两个都负的。所以这个人的话的核心重点跟一减s乘上一加s大于零，它是一样。那这个人的曲线呢？你发现他这个曲线的范围也非常的简单，我们来看看这个人对吧？这是y这是零这是x，然后这是负一这是一。

对吧，这个抛物线的话，你发现开口朝哪开口朝下，所以说这个人的范围是多少？这个人的定义域范围就是负一到一。那负一到一的话，它当然是这个什么对称的呀，那既然是对称的，那么接下来我们就可以看了，直接来f负x。然后就等于多少来往里面带一代的话，只是一加s，然后这是一减s。那么，接下来过程当中啊，

同学们注意，我们写一个东西啊，我不知道同学们能看懂吗？你看这个东西不就是一减s一加s的负一次方吗？有没有问题？没问题吧，翻一下嘛，我翻一下就是你的这个没问题吧，然后对于对数函数有三个优良特性。第一事情，如果这块有个系数是抛出去了。好，这是第一个人，然后第二事情的话就是我们如果是lna乘上lnb，是不是就等于lna+b啊？

然后把乘法变成了这个加法，是不是？是不是啊？对不对？对个鬼啊，别别别瞎来，大家注意一个事情，人家是外面的，这个加法变成里面这个人的乘法。人家使外面的这个减法变成里面的这个除法，这才是正确的，所以同学们注意啊，不要胡来啊。啊，千万不要胡来，

这个对数函数在考研的过程当中考的非常非常的多，非常喜欢考，所以有些同学你发现他知道这个乘法变加法，这个除法变减法。你知道，但是你发现一个事儿，你把这个东西啊，不要用错了好，所以说这个点呢，立即回来，因此这个人的负一他就可以抛出去了。负一，然后一减s，一加s等于负的多少f？这个s因此你发现这个人是什么奇函数？

好了，这是我们在这里面当中啊，介绍的第二个人，那么接下来我们再来看看这个第三个人啊，第三个人呢，考研更加的重要。呃，这个东西啊，我到基础班再重点讲吧啊，今天过程当中啊，我们简单先把这个人的基性判断出来就行。那么，首先第一个事情，我们先来判断这个人的定义域。对吧，

先看这个人定义域，这个人的定义域是不是应该保证什么情况？保证这个部分大于零啊？因为对数这个里面部分必须要大于零，那么接下来同学们，我们来重点看我说两个事情。第一个事情，我说这个人永远是正的。没问题吧？诶，这个人永远是朕的。我再说第二事情，我这个人永远比前面大，为什么？因为我里面加了个一啊。

我永远比前面大。诶，那你想一个事情，你永远是正的，你永远比前面大，也就代表着什么情况呢？你无论x为多少？你爱围多少围多少，你想围多少围多少，我俩一加肯定大于零。所以说这个里面当中啊，定义域就是r。那既然定义域是r，我们接下来就可以看到来f负s扔进去。那这里面当中就刚好是负x，

然后再加上x方加上一是不这个部分，那么接下来我们就继续看。你要干嘛呀？我要进行去找这个人和这个人之间的关系。对吧，我们要找两者之间的关系，我们两个是相等的，还是我们两者之间呈相反数关系，我们要找这两者关系。我们要找两者之间的关系，你发现看这是根号，一个东西加它，这是根号，一个东西减它，我是不就想出现这个人呐？

所以在这里面当中啊，你发现一个事情，我们就可以重点来看哎，我想构建这两个关系，根号加它，根号减它，你立即会想到什么，我会想到一个东西叫做有理化的操作，对不对？啊，是不是啊？有理化，所以在这里面当中，我可以怎么办呢？唉，

你不是要它吗？我就给你上下同时乘上x方加一，我再加上x。然后这个部分就是根号下x方加一减去s，然后再乘上根号下x方加一加上s。是不是就可以，所以在这里面当中啊，你发现一个事情，马上这个东西出来了，那么这里面当中就是根号下x方加一+x。然后这个部分呢，就变成第一个平方减第二平方，那这就是一啊，如果这个东西是一的话，你发现一个事儿，

它不就是根号下x方加上一。加上s的负一次方，它不就是负的ln x，加上根号下x方加上一，这不就是负的fs，它不就是个经典的解。奇函数。哎，所以说这个函数啊，非常非常的经典，请你把它记住，它是一个经典的奇函数，我在这里面当中啊，写的这三个函数都具有操作性。啊，

非常的重要，你把它记住，你将来过程当中，你会发现我们这个讲义上的例题不是随便放的。哎，说实话，不是随便放的，精挑细选出来的这个题啊，你将来过程当中，你会经常遇到它，好了，这个第一点我们就讲到这儿。所以说这就是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，奇偶性的一个判断性问题，

那么接下来过程当中啊，我们再来看看第二事情。诶，再来看第二个问题呃，这里面当中啊，还有一些呃，基本上的内容。就是一些什么东西呢？哎，不好意思啊，这个前段时间阳了之后，我已经嗯阳亢了，这个俩周了，但是我还是有点咳嗽。啊，

所以说这个上课大家这个见谅啊，好了，那么接下来我们再来看看下面的事情，还有一些点就是关于肌肉型的一些。性质啊，那么接下来我们继续，我们再来看看关于奇偶性的几个重点性质。那么，在这里面当中啊，我们来看看第一个问题。你比如说在这里面当中啊，我们说奇函数乘奇函数什么函数对吧？这个奇函数乘偶函数什么函数？对吧，比如说这个偶函数乘上偶函数，

这是什么？对吧，这三个人那么接下来我们一起来看看这个事情，这个东西你发现一个事儿，将来的过程当中我们还会重点来看这个事儿。诶奇乘奇奇乘偶，偶乘偶怎么处理啊？啊，其实非常简单，我不希望同学们背，然后这个有些同学可能在高中过程当中啊，你们老师总结过什么叫同偶异奇？不要背，请注意一个事情，要用大学生的思维进行去学这个事情。

你要注意把你当做是一个大学生，不要再进行去背这个东西了，要理解非常的简单，你发现一个事情，判断一个人是奇函数。还是偶函数，不就是送进去一个负s出来看这个人是动是多了一个负号还是不动？如果你发现一个负s送进去多了一个负号奇函数，如果不动，它就是偶函数，你就这么简单啊。那么，接下来我们来看看这个事儿，你比如说你看这是奇函数，这是奇函数，

我扔一个负进去，这多了一个负号，这多了一个负号，这两个东西都多了一个负号，负负得什么？夫复德真呐。那既然负负得正，就不动不动，不就是偶函数吗？就这么简单，不要背那么接下来我们再来看第二个事情，如果这人是偶函数呢？扔进去负号不动，那多了一个负号不就是奇函数吗？然后在这里面当中扔一个负s不动不动那都不动呗，

不动不就是偶函数吗？所以同学们注意这个脑子一转就出来，要多动脑对吧？我觉得这一年过程当中啊，不光是进行去学习一些数学的知识点，另外是想把这些数学思维方式啊，也学一学。好了，这是这个事，不过如果这个东西你会了之后，你比如说我随便出这个积乘积乘积乘积乘偶再乘积。那么，同学们告诉我什么函数？你看这个人扔一个负s进去来，负号负号不动，

负号负号不动不动，然后这人呢，多一个负号，所以说同学们注意这个人是不是奇函数啊？所以就这么简单，不要去背，要理解它，那么我再说一遍啊，这个今天的课程不要飘啊，这个才刚刚开始，对吧啊，这个第一个部分内容。所以这个点的话，你发现难度系数不是说特别大，好了，

那么接下来我看看你，如果学会了之后我看看你水平怎么样，如果这是个奇函数，我们再加上一个奇函数，什么函数？好，再看这个人，如果这人是个偶函数，我们再加上一个偶函数，这什么函数？如果是个奇函数，我们加上偶函数，这什么函数好，先看第一个人，那你想一个事情，

这是奇。加上几多个符号，多个符号负号提出去是不多了一个符号，所以同学们注意第一个人是几，第二呢，不动不动哎，你发现一个事情就是不动，那所以说这个人呢就？就是偶函数。那么，接下来同学们告诉我，我们来看看第三个人是什么函数？诶，第三个人。你就来给我重点来看看第三个人到底是什么函数，

你想扔进去了，它有一个负号，它不动。那这个东西你发现一个事情，我们是不是就不知道，所以说它就是未知的诶，我就不知道。我哪知道你什么情况，所以不一定。不确定，不知道啊，我写了个未知，跟得上我的意思吗？好了，这是我们讲的一个重点内容，

那么接下来我们再来看看第三个事情。那么这个里面当中啊，我们再来看一个重点的函数，我先不说啊，这个函数已经保证了定义域对称行不行？所以下去过程当中不要跟我来泛轴啊，好了，这里面当中啊，我们先来看看第一个函数，那么请问fx这个人？加上f负s什么函数？好，先看这个人，然后另外一个事情，一个fx- 1个f负x什么函数？

啊，这个非常重要，你看这个人两个相加，这两个相减，所以就是我加上一个什么我负s，我减去一个负s。什么函数啊，这非常简单，你想一个事情，你看第一个人，如果你送进去一个负号了之后，你发现这个。这个人其实就是f负s，然后就是fs这个人是不偶函数啊？所以说一个fs和f负s两个相加是个偶函数，

但是你发现下面这个人，那这个人的话，你发现带进去f负s-f负sfs呢？是不是多了一个负号，所以这个人是个奇函数。记住这两个东西相加是偶函数，这两个东西相减，这个人是什么？这是奇函数。所以如果你掌握清楚了这个事情，你将来过程当中啊，你看这个题，你也可以进行去演着漂啊，你比如说这个里面当中啊，我们刚才做的第一个题。

你看这个题，这个fx不就是二分之一es加上二分之一e的负s吗？是不是这个事情？你看这是fx。比如说这是hs。这是h负s，所以这是什么函数偶函数吧，好了，那么接下来我们再看这个人lna÷b。lna÷b不就是lna-lnb吗？如果这人是hx，这人不就是h负s吗？两者相减，什么函数？两者相减，

这是奇函数。能理解我的意思吗？你看这个判断方法也很快，对吧？这个操作形式也很强，所以往年过程当中啊，它是重点进行去考过这个问题的。所以像这里面当中的这个第一个点呢，你必须把它梳理清楚，而且同学们你发现一个事情有一件非常神奇的事。什么神奇事情呢？你看在这里面当中。任何一个函数。对吧，无论你是什么函数？

任何一个函数，我永远都可以把你写成这样。fx加上f负x，然后再怎么办？加上二分之fx减去f负x。有没有发现那么你想一个是你看你这两个一加这个第二个部分不是约掉了吗？所以说这个第一个部分的话，两个一加的话，除以个二刚好它。而同学们，我们都知道一个事情，这个部分是偶函数，这个部分是个奇函数。所以你记住一个事情，任何一个函数永远都可以写成一个偶函数，

加上一个奇函数的样子。永远都可以，对吧？随便一个函数啊，任何一个函数都行，你比如说举个例子，我们在这里面当中，我出一个题。我说请你把这个es进行一个奇偶分解，你怎么分解？那就立即把它变成二分之一的s，加上e的负s，你看这是偶函数。来继续二分之一的x减去一的负x，你看奇函数，

所以说任何一个函数都能把它写成一个偶函数，加上奇函数的样子。而且你发现这个水平点就够了，那么将来过程当中呃，我多讲一点可以吧，有些同学可能定积分没有学，他听不懂，你听不懂，没关系啊，你将来过程当中学了，你再回过头来。啊，当然不用，当然学了之后的话，我还会提，

如果这是个对称区间，那对称区间的话，你发现这个奇函数是不是没有了？那这个偶函数是不二倍的。啊，是不是这个事情，所以非常容易啊，你想一个事儿，如果在这里面当中饥寒之苦，这个部分就没有了。那偶函数就是二倍啊。所以说一下就出来了啊，有一个非常重要的一个经验性故事，到时候我们再讲吧，但是我希望同学们我到时候讲这个事情的时候，

你能想到这个问题好。好了，这个点我们就讲到这。好了，这就是我们在这里面当中啊，这个奇偶性的问题，我们就说到这，你看这个奇偶性的，这个判断性的问题，这是个基础。啊，将来过程当中会用到好第一个性质，我们就学到这儿，今年一年过程当中学到这儿就可以了，完全没有问题了。

学到这个程度就可以了。好了，那么接下来我们再来看看第二事情，我们再来谈谈周期性诶周期性。那什么叫周期性呢？在这里面当中啊，它的判断其实非常容易。啊，其实它的核心重点都是在这里面当中的定义，你比如说在这里面当中，我们来画一个这个，比如说周期函数。对吧，这个周期函数。你比如说在这里面当中，

我们来画一下这个人啊，比如说是这个人，比如说这个人，这个人。对吧，它周期函数那么同学们想一个事，这个东西就叫周期，两个周期，三个周期。四个周期，这就叫周期函数，那么周期函数的特性是什么呢？你如果在这里面当中，你看我在这里面当中找了一个x。那你想一个事情，

这个点所对应的就是多少？这个人对应的就是x+t了。没问题吧，而你发现这两个点处的函数值怎么办？相等诶，这两个点函数值相等，所以我们讲的一个事情就是这样，它的核心判断方法就是。你x这个人呐，你加上一个数。你带进去之后跟我相等。对吧，你带进去相等，如果把s+t带进去，跟我相等，

我就是个周期函数。而且我们在这里面当中啊，你发现周期为t的周期函数。那同学们再来想，如果这个t是周期2t是不是啊？3t是不是啊？nt是不是啊？都是周期那，所以说这个t叫什么t叫最小正周期唉，最小正周期，但没有关系啊呃，周期性这个东西啊，我们在考研过程当中啊。考的核心重点核心重点还是在那个啊，定积分那块考，

所以说你的核心重点今天学习的目标是什么呢？一个事儿。就是你知道怎么判断周期？如果它是以t为周期x+t带进去，跟我相等。对吧，怎么判断呢？就是x+1个东西代进去跟它相等，那个人就是它的周期，所以周期性的判断呢，非常的容易。记住这个重点就行，然后在这个下面过程当中啊，我给大家罗列了一些重点的一些周期函数，这个东西啊，

等会再看。为什么呢？因为一会儿我会去讲什么基本初等函数的图像，所以那个时候我们再来看好吧，同学们。行吧，我们先了解到这就是x+t代进去跟我相等，我就是以t为周期的周期函数啊，具体而言，这些东西啊，等会回过头来再看。好，那么接下来我们再来看看第三个点单调性。诶，单调性。

好，我们来看看这个内容。呃，今天我们学习的这个单调性都叫单调性的定义，你看在这里面当中啊，它是怎么说的？我们先来看看第一幅图。哎，先看第一个人。那么，这人是y种，然后这人是零，然后这人是x，他怎么说呢？他说我在这个区间当中任意取了两个点。

如果不要不要不要写啊，不要记这块，不要记啊，能听懂我的意思吗？不要写这块东西啊，不配出现在你的这个讲义上。好了，好好听一下就行，如果我比它小，我的函数值也比它小，我就说严格的单调递增。那非常简单，你看这个图像就是这样。对吧，你在这里面当中，

你发现如果你在这里面当中，随便取你这是x1，然后这是x2。我比你小，我的函数值比你小，我就一直往上跑，这叫严格的单调递增。注意啊，严格的单调递增，那么接下来我们再来看看第二事情，它说这里面当中还有一个问题。对吧，还有一个问题，这是y，然后这是零，

然后这是x。他说如果这个x1比x2小。对吧，我比你大，这人叫严格单调递减，我们看看第二个人，如果x1比x2小。但是你发现我的函数值是小于等。什么问题啊，同学们，你看这是x1，这是x2啊，就是这两个点函数值诶，这两个点的函数值是不也有可能是什么？有可能是相等的吧。

为什么？因为我这个人是小于等于你。所以说中间这个部分呢，就有可能会有平缓端，对吧？你看我这两个相等。哎，无量相等的话，你发现一个事情，这个东西就有个平缓端，那是你发现这幅图怎么说？你说单调递增呢，你这段没怎。你说不是单调递增呢，你确实往上增，

所以说怎么办？我们给它起了一个名叫做单调不减。听得懂我的意思吗？哎，注意一下这个事情，所以说如果见到这种图严格的往上跑，单调递增，如果你发现一个事情，这个中间是有平缓段的。对吧，这个中间有平缓端，我们就把它叫做单调不减。相反而言，往下跑叫做单调递减，如果有平缓段，

这叫单调不增。诶，单调不增好同学们，我先问你个事情，请问这个页面重要吗？重不重要？就这个页面重要还是不重要？你觉得重要吗？啊，就这个页面。不重要，大家注意不重要。你想想一个事情，你在高中当中，它都不是重点。

我举个例子吧，你在高中的过程当中，我想让你进行去求解这个人的单调区间，你怎么求的？求导啊。对吧，导函数大于零，单调递增，导函数小于零，单调递减。哎，你想想一个事情，不就是这个内容吗？所以同学们注意一个事情，这个部分的东西定义法判断了解就行。

你的核心重点是用导数进行判断，单调性，你想想高中不是吗？你高考的时候，你用过定义法进行去判断单调性吗？很少吧，基本上都不怎么用好，这是我们在这里面当中讲的第三个问题，单调性。那么，接下来我们再来看看第四个事情有界限。呃，这里面当中啊，我先说第一个事情，今天过程当中啊，

我去讲有界性，我们只会讲一个稍微的一个浅层次的定义。它具体而言，怎么进行去判断？还有一些核心重点内容，我们将来过程当中啊，我们呃，强化班有一个专门的专题，就是有界性的判定。非常非常的重要，所以今天过程当中啊，你可能学的东西啊，稍微的会是在定义层次，不要着急，我们是零基础提前学同学。

好了，那么接下来我们先来看看有界性，那么首先第一个事情，我们来重点来看看这个人的定义啊，这个定义他怎么说的呢？你看这样说的，人家说对于任意的x。属于一个区间。对吧，然后在这里面当中，我会存在一个数大于零。然后使得什么情况呢？你可以大于等于零啊都行，对吧？基本上而言，

到零的话就没有意思了，所以说我们经常说大于零，你就写大于零就行。永远会存在一个大于零，使得什么情况，这个区间内的函数小于等于这个数。如果这件事情成立，我就说这个函数是什么？这个函数是有解的。哎，我就说fx这个人，我在什么情况在这个区间内右键。好同学们啊，就这种东西，你喜欢看这个电影吗？

武器很多同学见到这种符号都疯掉，对吗？啊，非常讨厌这种符号什么这个任意了什么这种存在了。好同学们，注意大家好好听，我理解非常非常的简单，大家注意一个事情，这里面当中我非常重要的说，就说你区间里面的这些函数。永远都会有一个数的存在，使得什么情况呢？使得这个成立。就说我永远都会存在一个数，使得这个人比这个数小，

反而比这个负的这个数要大。那么，在这里面当中，你发现图像是什么意思呢？它就是这个意思，那么在这里面当中，我们来看看这个事儿，这是y这是零这是x。它的意思就是说你在这个区间当中。对吧，你在这个区间，比如说就这么长的区间，你在这个区间当中啊，我会存在一个数。我会存在一个数，

什么情况呢？你这个函数被我这两条线夹住。对吧，你这个函数被我这两条线夹住。就是你在这个区间段当中啊，你发现一个事情，你能被我两条线夹住，这是m线，这是负m线。如果你这个函数你发现你看在这个这个区间内的函数，我永远会有个数，我把你这两个人进行加注。对吧，你这个人在我这两条线中间，我把你进行加注，

我就说你这个函数在这个区间当中是有界的。所以说这里面当中啊，评判有界性，理解起来就是这样的一个事情，你有没有记啊？就是你能不能被两条线夹住？你能够被两条线夹住，你就有解，你能找到一个数，让你这个人加上绝对值小于等于我。你就有钱。只要你能找到一个树。只要你能找到一个人，把我夹住，我就有劫好了。

同学们，那么接下来我们来重点的看看，我想问你个事情，三个。s in有没有减？啊，同学们告诉我s in是有界还是没有界？你看这个人。有没有界啊？右键。对吧，它有些啊，你可以找到一个什么情况？你会发现个事情，我会有一个一这条线。

对吧，我会有一这条线是负一，这是一。也就说我会被两条线把你夹住。当然，同学们注意，我一定找一和负一吗？我找二行不行？你也可以被负二和二这两条线夹住。你也可以被负三和三这两条线夹住啊，同学们告诉我个事情，我在乎它是一吗？我不在乎。我在乎的就是你有没有两条线把你夹住？对吧，

有没有两条线法的价值，这个东西这条线和这条线是最接近的，在数学分析当中，但我们不学的这么这个考的这么难，这个东西叫。上阙井。这个东西叫下阙碱啊，但同学们注意啊，我们不考的这么深，我们只考上界和下界。能听懂我的意思吗？哎，注意一下这个事情，这条线叫下界，这条线叫上界，

有下界，有上界，你就能被夹住，你就有界。所以同学们注意说一个人有界，你不能说他只有下界，没有上界不行，有上界没有下界也不行，你注意一个问题，如果在这里面当中说有界。我必须怎么办？被两条线夹住，我既有什么情况我有上解，而且我怎么办？还要有下界。

注意啊，这两件事情缺一不可，对吧？你有顶峰没有？下面那不行。你有下面没有？上面也不行，既要有上面也有下面。被两条线夹住，他才叫有界，所以同学们一定要进行想清楚，有界是既有上界也有下界。好了，这个问题点我们就说清楚了，能听懂我的意思吗？

好，这是这个问题哎，在这里面当中，我们再来看一个事儿。诶，再来看一个问题。好，请同学们告诉我个事情y等于x分之一。有借吗？有没有键？有借还是没有借？y等于s分之一。有没有有接还是没有？大家注意这句话是有问题的。那这句话是有问题的。

你发现一个事情，我如果这样说，我说如果是一到正无穷呢？你看一在哪一在这一到正无穷是这段。对吧，那么同学们想想一到正无穷是这段有没有两条线夹住，有这条线和这条线。哎，你看我两条线就把你夹住了。有没有解有解对吧？这个时候你发现我能被两条线夹住，我有解，所以说这是在这里面的，那么第二事情你发现我如果说零到一有没有解？零到一是这块。

零到一是这块儿的话，你发现你有下面，但你没有上面，所以同学们注意这块儿就没有减。包括我说林道正无穷。他也没有解对吧？你有下面，但是你没有上面，所以同学们一定要听清楚一个事情，一定要进行想清楚。有界性是跟什么东西啊？跟这个区间挂钩的。你必须要说清楚，你在哪个区间有界，这也就是我在这里面当中啊，

重点说的，你看看这里面当中，我们说有界一定要跟区间挂钩。对吧，你得说清楚，你在哪有界？你不要说有界没界啊，你在得说清楚，你在哪个区间有界？你在哪个区间？没有解，那有些同学说那我就曾经见过一些题，比如说我说s in。右键你看我也没说区间啊，没说区间就是定义域。

听懂我的意思吗？只要你没有说区间就是定义域，你在定义域内有界。要跟上这个意思啊，想清楚我的意思吗？诶，要听清楚好了，这就是我们在这里面当中有没有进？所以核心重点就是有没有界，就是有没有两条线把你夹住。对吧，只要有两条线把你夹住。或者是什么情况？第一种方法就是只要存在一个大于零的数，让你这个人的绝对值小于等于这个人。

可以或者而言，同学们注意有没有借是什么？你可以再看能不能被夹住？哎，都是可以好，这是这个问题呃，不要胡来这同学不要乱来啊这个。有界是被两条线夹住，你看我y小于my大于负m都是横线，哪有竖线呢？你别乱来啊，那能不能被两条横线夹住，是你的函数值，能不能被两个人夹住？你不能这样对吧？

你这这不是学几何呢？你在学这个什么？你在学代数呢？你不能说这个这个人的话，被这边儿夹住，被这边儿夹住，你不别别别乱来，能不能被两条横线夹住啊？好了，这是这个问题点，我们就讲到这儿过去了，可以吗？好，这个第一个问题点，我们就说到这儿，

然后这个题啊，一点二这个题等会我们再讲。哎，这个题稍微的等会儿，我把下面的这些函数的图像啊，图像的一些性质啊，我都讲完了之后我们再回来看这个题啊，这个题啊，稍微的对很多同学而言。有挑战性一点，但是选择这个题的正确答案，我觉得难度系数不大。好，等会再说啊，这个一点二这个题。

那么，接下来我们来看看第三个事情。好了，同学们，接下来过程当中啊，就是一波嗯，叫什么东西呢？叫做一波青春的回忆啊。啊，真的叫做一波青春的回忆，那么接下来过程当中，我们的重点就是来复习一下初高中的一些知识点。呃，这些部分的东西啊，如果你不会，

你放心吧，后面的东西啊，都不用学了，没法学，这是你最基础的内容。所以在这里面当中啊，我们一开始进行备战这个考研，首先第一个点，你得把这些东西啊，你得复习一下，那么在这里面当中，我们首先看第一个事情。我们先来讲讲基本初等函数，那么在基本初等函数当中，我们讲哪些人呢？

我们讲以下几个人。叫做反。对幂。三指。好同学们，我们一起来看什么叫反呐？不是反函数，反三角函数。这个反的意思就是反三角函数，注意啊，这个第一个人反三角函数，然后是对数函数。幂函数三角函数指数函数，然后再加上一个常值函数，这就是我们所有的这个基本初等函数。

什么叫常值函数呢？比如说y=c。c你都知道了，对吧？这是个常数的意思嘛，比如我们学不定积分，不定积分加CC什么意思啊？c这个英文的翻译应该是叫做constant啊，是这个吧啊，这个constant那里面当中的话就是个常数的意思，选了首字母。然后你比如说举个例子y=1横线y=2横线啊，就这个意思，常值函数，所以在这里面当中啊反。

对幂三值，然后常值函数，这就是我们所有的基本初等函数，好了，在这种当中啊，我们先学第一个人啊，这个第一个太多了。把这个第一个东西啊，讲完了，我们就基本上把这五个函数啊，就差不多讲完了。所以说这个东西是最多的好，我们先看看第一个人，你就跟着我进行去填表就行呗，那么三一函数当中，

我们学三对。正余弦，正余切，正余割好，我们先看看第一个事情。正余弦s in和cos呃这两个东西啊，非常的简单，我相信这是很多同学最熟悉的一个问题。那么，它的图像的话，就基本上这样。对吧，这个正弦波。好，这个图像，

然后这人是派对吧？这是二派，然后这人是负派，这是负二派，然后这个巅峰值是一，这是负一。对吧，这个图像非常的简单，然后这个点的话只是二分之派哎，所以说这个图形呢，你得把它记清楚，那么然后这是个cosine cosine图像呢？cosine图像是这样。余显波。对吧，

余弦部分。啊余弦波好了，就是这张图形，所以说在这里面当中，你就发现这是二分之派，然后这个点呢，这是派。然后这是呢，二分之三派，然后这呢二派，这是零呢，这是负二分之派。好，这个巅峰值是一，这个低谷是负一。

好，这是这两个图像，那么接下来我们先看第一个事情定义域，那定义域都是谁定义域不都是r吗？定义域不都是r吗？然后值域呢？值域不就是负一到一嘛，然后值域不是负一到一嘛，好，这是值域。然后周期性呢？是不周期是的，它的最小正周期是多少？二拍它的最小正周期是多少？二拍。

对吧，它具有周期性，所以说你要注意这两个函数啊，它都是具有周期的啊，它的最小正周期是多少？最小正周期是二拍。那当然，四派也是啊，六派也是啊，八派也是啊，好了，那么接下来看奇偶性这个人很明显，关于原点对称。关于原点对称奇函数，然后第二人呢？

你很明显会发现关于y轴对称，然后这个人是什么偶函数？然后再来看第三个事情，有界没有，有能被负一和一加注，有界能被负一和一加注，有界是在定义域内研究有界性的问题。好了，这是我们讲的这个第一步，正余弦是你最熟悉的吧啊，熟悉的不能再熟悉了，好了，那么接下来我们再看第二步叫做正余切。那这一类目当中啊，就有些同学的话，

你发现有自己不熟悉的部分了。三角函数的话，你发现你喜欢的是什么？sine cosine tangent，而你不喜欢的是谁？quantity。second题。call second，是不是啊？你非常不喜欢吧，很多同学你发现一个事情，不喜欢的就是这三个人，但是同学们要想考好研，你不能这样。虽然这三个内容的话就是什么样的内容呢？

就是啊，这个高中当中啊，不讲认为大学老师讲。大学老师第一节课就直接用了大学老师认为说高中老师肯定已经讲过了，唉，这个东西这么简单，肯定跟s in和cost an一起讲了。实际上呢，高中没有讲，所以有些同学你发现上大学过程当中第一节课。就懵掉了，这这什么玩意儿，对吧？这啥东西你要注意一个问题，你在今天过程当中，

你要想考研。还想考好这几个东西，就要像sine和cosine tangent一样，非常的熟悉，非常非常的熟悉。好了，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一步，我们先来讲讲t an ENT和t an ENT这个人呢？你发现他的图像是什么？哎，这个人的话，他是这样子。诶，它的图像是这个样。这个样子对吧？

这是它的图形。然后这是它的图像哎，你发现这就是它的图像，然后它的图像的话，你发现你看这个点这一点是二分之派。然后这个点是拍，然后这是负二分之派，然后这人是多少负派啊？就这样的，这个图形，然后往上跑。那很明显一个事情，你发现这个人呢？这很明显是个奇函数，对吧？

它关于原点对称，那括号题的图像呢？quantity图像是这样，就是我把这个tangent啊，向左或者向右都行，移动二分之派，再翻译一下。所以说最后他的图形应该是这样。哎，它最后的图形是这样。也就说，最后我们的话，你发现向左或者向右移动这个二分之派啊，然后这个点就是二分之派。向左或者向右移，

然后这个东西啊，你发现你再把它一翻就行，所以最后的图形就是这样。那么，大家想一个事情，这个人是奇函数还是偶函数啊？啊，其实你非常简单，首先第一个问题，你要知道tan是s in比上cos吧。对吧，然后cosin t呢，就是cos in比上个s in吧。然后在这里面当中，你要注意一个事情，

你看你扔一个负号进去，这人不动，上面是奇函数，多个负号奇函数。扔一个负号进去，第一上面不动，下面多个负号奇函数，所以这两个都是奇函数。好了，这是图形的问题，那么接下来我们再看第二事情定域，这个人的定域是x，不会等于二分之派，加上k派。它的周期是派，

然后这个人的话，他不会等于多少，你发现这人是负二分之派，这人是负派，这s不会等于k派。然后这里面当中的k啊，它属于整数，然后这里面当中的k啊，它属于整数哎，这是这个问题，那么接下来我们再看值域，值域就是r了。值域就是r了，然后周期呢，都是有周期性的，

然后这两个周期都是派那么旧性呢，你是奇函数，我也是奇函数，注意啊，这quantum是奇函数。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的第二部内容啊，不难吧，好基本内容来，那么接下来我们再看看第三个事情，正余歌哎，这两个东西啊，是很多同学可能最不喜欢学的。好，

我们来讲讲正余格。那么，首先第一个事情，我们先来看看这两个人，哎，我先来介绍这两个人。这个人叫做正哥哎，哥就是这个哥正哥函数，这叫余哥函数。这个人读作second，这个人读作call second，有些同学你发现学了一年，连这个人读都不知道怎么读的你这个。学习态度是不是有点问题，我以前过程当中啊，

我这个我要上线下课的时候。提问过一个同学，那个同学的话，你发现有点紧张了。紧张的时候的话，他知道他反映这是这个second题。但他不知道怎么读了，他就说SEC不要这样，千万不要这样，你不要学到最后的话。SEC CSC说什么玩意？读一下，他叫出人家的名字，对人家尊重一点点，对吧？

诶，这是这个人好了，那么接下来我们来看看这个人。second，那么这个人的话，你发现这里面当中有两组重点公式。那么，首先第一个事情的话就是这个s这个人。哎，这两玩意儿其实特别好记。你看这个人。这个人特点就是你看你是s，我就是c就是cos分之一。你是c我就是s我就是s in分之一。好把这两个人记住啊second题是cos三分之一cos三分之一呃，

当然在这里面当中还有第二组重点公式。这个second这个方啊，它等于一加上这个tangent方，注意这个人将来做不定积分的时候特别的重要，要注意他，然后是cos的方等于一加上。宽体的房。诶，注意下这个人好了，这两组公式啊，都要把它给我记清楚。能记清楚吧，应该没有问题，好了，那么接下来我们来先讲第一个图形second啊，

我们先讲第一个图形呃，我把这个人。呃，改一下可以吧？因为我们都知道这个事情是cos分之一，我想给你对照着给你看一看。啊，行不行？我现在画一下cos图像啊。好注意了，看好我在右边画cos。图像，然后这半边啊是second图像，我们来看看这个人怎么画的？那么，

这个cosine图像的话，你发现它是这样？对吧哎，然后你看是这样。那然后的话，你看这边是这样。这人是负二分之派，这人是二分之派，同学们有没有发现一个事情，你翻一下，而这个人的制高点是一。这个制高点是一的话，而你发现一个问题，你这俩点是零。你这两个点是零，

你翻一下是不是应该趋向于无穷大，我越趋向于零，翻一下不就是无穷大，所以说在这里面当中啊，你发现一个事情。我们就在这里面当中，其实就是往上翻了。对吧，就是往上翻了，那么在这里面当中，你看第一个事情，你这个点是一，你翻一下还是一？而你发现这一段你是比一小比一小，翻一下就比一大，

所以说同学们注意它的图像就是这个样子。但是这两个点不取啊。能跟上我的意思吗？然后你看这一段呢，对吧？这个这是负一这个负一的话，图像的话，它就这样，所以说最后的图形就是这个样子。能跟上我的意思吧，所以说你发现这是负啊，这是二分之派，然后的话这是负二分之派，然后它也具有周期性。它的周期是多少？

它周期二百哎，这是这个人你会画了吧？所以非常简单，你翻上去就行，那么同理而言的话，你看看这个人图像怎么画？这个人是s in分之一。诶s in分之一，而s in的图像是什么情况呢？s in图像是这个样子。所以说它就是这条线在翻，那么因此的话，你发现看这个人是拍。然后这人是复拍。对吧，

这人是副派，然后这人是派，那么因此它的图像的话就是这个样子，对吧？这个人翻一下。然后是这半边翻一下，然后这人是一，然后这人是负一哎，翻一下就行了，跟得上我的意思吗？所以这两个图形呢，你很快就把它学清楚了。啊，但是这两个图形不重要哎，没有说那么的重要，

好了，这就是我们在这里面当中记住的第一个点，能学会吧。翻就行好了，这是第一个事情，然后我们再来看看这个周期性，那周期性的话，这个点的话怎么操作呢？是不周期函数？你其实看的是cosine，cosine就是周期函数啊，所以说这里面的周期函数是多少周期是二派？为什么是二派呢？你想我扔一个x加二派进去，这人不动不就不动吗？

我判断周期的这个指标就是x，加上这个人带进去带进去不动不就不动了，所以这个人呢？也是二百。哎，周期最小，正周期是这个人那奇偶性呢，这个人很明显是偶函数，这个人很明显是奇函数。所以说这个人的。这个人的奇偶性呢，他看的是这个s in和cos，你扔了一个负号进去，这个人多一个负号，哎，

那这人多一个负号奇函数。你扔了一个负号进去，这个人不动那就不动，那就偶函数。所以说这个人的奇偶性，他就出来了，能学清楚吧？好了，我们把这个比较恶心的这两个人，我们把他学过去了啊，一个是second题。一个是call second，不光是你要很喜欢他，有些情况下，尤其是不定积分的时候。

你要喜欢这两个人多过于摊正题和阔摊题。这两个东西有可能考的会更加的重要一点，所以希望同学们注意啊。好了，这是我们讲的这个第三个条内容来继续吧，再看下面一个问题。我们来讲讲诱导公式啊，这个青春的东西要来了好，先看第一个问题。那么，诱导公式的话，首先第一个事情你跟着我填空就行了，我们填快一点，那么先关于周期性，你看sine和cosine的周期都是二派啊，

二派所以说你加上个二k派，那么这个东西它不动，那就是sin x。然后接下来过程当中，我们再来看一看这个人的周期，也是二派，所以说这人是cos。然后这个人的周期是派哎，你发现这个人不变，然后你发现这个周期是派你加个k派还是不动，这是quantity x。好跟得上我的意思吧，好第一个事情来继续，我们再来看看奇偶性，那么奇偶性的话，

首先看是奇函数s in负塔负的s in塔。偶函数cosine本身奇函数负的tangent x，然后这是奇函数负的tangents，注意它是奇函数刚才讲过吧。它不是偶函数啊，它是奇函数，所以这里面当中啊，只有这个cos是一个偶函数，剩下的奇函数。好了，这一波内容没问题吧？脑子转一转啊，来接下来我们继续，我们再来看看我们的青春来了，好青春。

这真的是青春哎，我们的青春呐。咳咳。呃，这个这句话呀，我觉得非常有意思，对吧？这个。我记得有一次的话，这个有有有一个访谈节目，对吧？访谈那个高中呃，这个大学生。然后说证明你经历过数学的这个什么学过这个数学一句话，证明你学过数学就是奇变偶不变符号看象限，

你看这人都会。那到底啥意思啊？什么叫做奇变偶不变，什么叫做符号看象限好了，那么接下来在这里面当中，我们先来重点来说一下。什么叫做这个符号？看向线在这里面当中，我们先来看第一个事情。我们这里面当中啊，有四个象限，这四个象限的话，首先我们先看塞，因注意啊，我先定塞因的正负性。

我用红色表示，这个s in正负心s in看什么呢？s in看y轴。所以说，第一象限和第二象限的y轴都是正的s in都是正的，那第三象限和第四象限的y轴都是负的，所以s in都是负的。然后第二个事情，我们再用绿色哎，我喜欢的绿色表示这个cos。cos要看x轴，所以说在第一象限和第四象限都是正的。它的s是正的，然后在这个第二象限和这个第三象限，这人是负的好了，

同学们听清楚吧，我们确定出来这个人的正负性了。那么，接下来我们就来看看这个事情，先看第一个人。那么，这一面当中啊，你发现看我把像这种东西。对吧，这是整式，而这种东西是分式，没有除尽什么二分之派对吧？像什么二分之派？什么二分之三派，什么二分之五派，

把这种东西啊视作什么东西呢？这就是我们的鸡，像什么派什么二派什么？什么三派这种整的东西就是我们所说的偶能听懂吧，这里面当中的奇偶一定要注意好了回答我，这是奇还是偶？这叫偶来一遍奇变，偶不变，偶不变，不变把s in照抄过来，然后第二事情符号看象限。把这个人当做成锐角。锐角加上这个人跑到第几象限，跑到第三象限，第三象象限当中的三，

它是负的，所以前面有个负号。结束了，能学会吧，你看你填一个什么都清都清楚了，好我们再来填一个啊来继续。那这人是偶还是鸡偶偶不变？cos in赵写，然后第二事情把这人当做是锐角，跑到第三象限，第三象限的cos in是负的负的它。你学会了吗？好了，我们再来看看这个人，你发现这是鸡还是藕？

这是藕，藕不变。然后在这里面当中把它当做是锐角，然后派一减在第二象限，第二象限的y是正的，所以前面是正号。好了，那么接下来我们再来看看第三个人，第三个人的话，你发现偶不变，就是这个人。然后这人当做是锐角派减，它是第二象限cosine是负的，来多了一个负号。会写了吧？

好了，这是这个人，那么接下来我们再来看看这个部分，那这个人是奇还是偶？这是奇那奇就要变变成了一个cos。那么然后的话，你发现把二分之派加上个锐角跑到第二象限，第二象限的s in是正的还是负的s in是正的？所以说这前面是个正号。好了，那么接下来我们再看第二事情，你发现这人是偶偶叫啊，这个什么鸡叫变变成它，然后加上这个人跑到第二象限，第二象限的cosine是什么是负的？

不要告诉我学不会啊，我不信。我从来不信你学不会，有可能就是你曾经的学习方法上出现了问题，我不相信你没学会。所以同学们注意，只有可能是有点学习方法的问题，好了，我们再来看这是什么，这是积积就要变，然后当做是锐角，第一象限是正的。然后这个是奇奇就要变变成这个人，然后第一象限呢，第一象限是正的。

学会了吧？好，我们再来看这个人。那么，这些类目当中啊，你发现t an ENT呢？t an ENT这个正负性呢？其实就是塞再除以它对吧？c除comma，所以这个人是正的。你看这个象限，我再换个颜色，这是正的吧，然后这两个一除是负的，这两个一除是正的，

这两个一除是负的。是不这个情况好了，那么接下来我们在这里面当中再看，你看这个人是什么？那这个人的话，这个部分你很明显把它要当做成什么？这个是偶，那这个人是偶，偶就不变t an ENT阿尔法。tan阿尔法的话，你发现跑到这个第几象限第三象限第三象限是正的，它是正的好了，我们再来看看这个部分。那这是偶偶变不变？不变tan阿尔法，

然后把这个人当做是锐角，跑到第二象限，那就是负的，然后再来看看这个人，你发现这人就变变成quantum team。quantity阿尔法，然后这个部分的话，你发现一加第二象限，第二象限是负的，然后这个人也要变变成quantity，然后这是第一象限，第一象限是正的，学会了同学们。啊，这就是我们所说的奇变偶不变符号看象限，

所以有些同学学数学就是这样，脑子里面只留下了那个名儿。具体的内容是什么呢？又不知道。这是大忌啊。就跟有的时候我们经常学拉格朗日中值定理，有些同学脑子里面只有拉格朗日中值定理到什么情况都拉一下。到什么情况都拉一下，你要知道拉克朗日中值定理到底讲什么，他怎么用，你得把这些点才是重点。好了，这是第三个信息来继续，我们再来看看下面的问题好，这是第三条，

我们再来看看一些重点的特殊函数值。呃，这个页面也很重要。它是为了我们将来定积分，打基础，对吧？我们积定积分的过程当中啊，经常会要带值，所以接下来过程当中我们的核心重点。还是这几个人？把这几个人学好了之后啊，然后剩下的东西啊，都很简单了，所以说后面三个人呐，都可以推一下就行。

对吧，后面三个人都可以推一下，所以首先第一个事情，我们先来把这三个人背过就行，那么这里面当中啊，有个顺口溜，对吧啊，这个特殊值嘛？这是三十度，四十五度，六十度有一个叫什么叫做一？二然后这是三，你看这是一。然后这是二，然后这是三，

然后这里面当中啊，还有一个叫什么叫三，然后这是二，然后这是一啊，这是一二三。然后这是三二一好，这是这个部分，然后另外一个事情呢，你看这个部分是多少三分之根号三，然后这是多少一，然后这是根号三。一可以写成三分之根号九，这个人可以写成三分之根号二十七，所以说就是一二三四。三二一三九二十七好了，

这个内容就记清楚了，能听懂我意思吗？非常好记啊，很好记。好别的象限呢，你基本上而言，稍微的话，脑子转一下诱导公式就出来了。好了，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来再来看看这个三想图像，还记得那个图像吧，图像在零处是零二分之派是一cos，在这个是一真是零。tangent呢，

在零是零，那这里呢，这个部分的话，它是没有定义的，它只有极限，它没有函数值，它没有定义。然后接下来我们再看quantum题，quantum题可以怎么想呢？quantum题你看这是塞比扣，这是call比塞翻一下零翻一下没有意义，所以这个部分呢，变成了根号三。然后这个部分翻一下是一这个部分呢，翻成三分之根号三，

然后这个部分呢，你发现它没有一呃这个部分呃，它其实无穷大翻下来的话，这个部分又变成零了。啊好，这是这个事情，然后接下来我们看你发现这个部分的话，它其实就是cos分之一。那cos三分之一的话，我们就可以看这条横线，那这条横线的话，首先第一条内容来我们去写一分之一呢，是一这个人分之一呢，其实就是根三分之二，不要把它算出来。

然后这个部分呢，是根二啊，这个十。这是根三分之二，然后这是根二分之二，然后这个部分呢？这个部分就是二，然后这个部分是零呢，它没有意义。然后再看最后一个部分，那这就是三又分之一脑子去转一转，那其实第一条线，那这个部分它没有意义，然后第一个部分二，然后这是多少这是？

根号二分之二，然后是根号三分之二，然后这部分是一。能听懂我的意思吗？诶，所以说这张表我觉得比较重要的是哪几个人呢？我把它标成我喜欢的绿色，就这几个人。只要把这几个人打通了之后，剩下的东西啊，都非常简单啊，其实核心重点还是打通这几个人，就把这个什么一二三三二一三九二十七记住，然后剩下的东西都非常简单，脑子一转就出来了。

好了，这个函数值啊，我们就介绍到这过去了，可以吗？好，这是这节课的第一个部分问题，来吧，继续再来看看下面一个问题，二倍角。呃，我们再来把这个二倍角公式，还有这个降幂公式，我们再复习一下好看看这个部分，那么首先第一个事情s in的二倍角，那就是两倍的这个s in。

再乘上cosine，然后这个部分呢？它有三个，一个是cosine方，再减去s in方好，这第一个人，然后第二个是二倍的cosine方，再减一，还有一个是一减二倍的s in方。对吧，有这三个人，所以这二倍角公式，然后接下来过程当中，我们再来看看降幂公式，哎，

这个东西很重要，因为将来过程当中，我们在做不定积分的时候要用。降幂公式其实就是这个二倍角公式，你转一下就行，你看你把一加过去除个二就是它，所以这是二分之。一加cos二x。然后把那个部分减过来，把这个移过去，所以它就等于二分之一减cos二x，好注意啊，这两个降幂公式。然后接下来过程当中啊，是两角和公式，

那就是塞。cos cos.对吧，如果是s in就是sin cos加就是加，然后这是sin cos减就是减。哎cos然后减就是减，然后这个cos就是cos塞塞。QQ赛赛。然后这里面当中加变成减，然后这人就是QQ赛赛减就变成加好了，这是这个部分问题。那么，接下来我们再来看看下面一个东西啊，叫做万能公式啊，这个东西啊，

我们将来在不定积分那块可能要用一下好了，那么接下来我们来看看这个问题，你把这个万能公式的代换呢，你学清楚就行。所以说你的重点，你记下面这个一大家有没有发现一个事情，你看你这个s in这个东西啊。你是不可以写成什么情况s in除一？这个s in可以写成二倍的s in二分之x cos，二分之x没问题吧？一可以怎么写？一就写成s in方。加上cos方有没有问题？没问题吧，然后我给它上下同除一个cos in方，

同除cos in方，它就是一，这就是tan二分之x的方。同除一个cos，你除一个，然后用s in再除一个是二倍的tan二分之x。所以这个就是万能公式，然后再来看看这个cos。cosine这个部分可以怎么写？就是cosine二分之x方减去sine，二分之x方用一下二倍角公式。然后再除以个一一就是s in二分之x方cos二分之x方，然后接下来。给它上下同除以cos，这人就变成一对吧？

变成一所以说一加上这个tan二分之x方。然后就是一减去tan二分之x方。那么，所以同学们，你想一个问题，如果在这里面当中啊，我们拎。令这里面当中的tan二分之s等于t。那这个时候你发现这个结果就是多少，它就是t方加一分之二t。这个人就是谁？这人就是一加TT方，一减t方是不是这个事件？对，就是啊，

这个不定积分那块万能代换。那么，所以想一个事情，你看这个人出来之后谈真题不就出来了吗？摊定的就是梁衣橱，衣橱就是二t比上一减t方。所以同学们注意，它这个万能代换公式，就是令它对吧？令这个人等于t sin就变成了这个人cos，就变成这个人tan变成这个人，你今天学一下吧。你放心吧，到了中间好长一段时间，我们都用不到什么时候会用呢，

你记住不定积分那块会用。你标到哪？到时候我们讲不定积分的时候，你得想得起来哎，不定积分那块儿，我会重点用的，所以不定积分的一些刷题训练里面当中的一些题啊，我们得用到它。好了，这就是我们在这里面当中啊，讲的第一波事情啊，这个东西太多了。呃，就是这个三角函数，三角函数的内容是最多的，

所以说你发现这个知识的体量比较大啊，这个有些同学可能在这个试面的过程当中啊。看过这个东西的讲法，画了一个什么东西呢？这个呃平行的话，这个六六边形对吧啊？画了一个这样的一个六边形。啊，没有必要对吧啊，这个什么到原点啦，怎么怎么样，没有必要你没有必要整的那么花里胡哨的。你有那个功夫啊，把那几个公式好好看看就过去了。所以我在强调一个事情，

就是我刚才所写的这些东西，就是我们在经验过程当中的一个工具。比如说举个例子，将来过程当a二倍角，忘了哦，今天朱老师讲了二倍角查一下。今天过程当中，你发现量角和公式忘了哦，周老师讲过了，把这个查一下，如果你发现上课过程当中有些哎呀，函数值怎么不记得了，来查一下。把这个东西当做你的，你的一个查阅工具好了，

这是今天第一节课，不要飘，听懂吗？我强调了好多遍，今天第一节课不要飘啊，我相信你在屏幕前听的应该挺爽的，你就反正跟着写呗，跟着回顾，跟着回忆呗。好了，这是我们讲的这个第一个事情，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个问题，反三角函数。呃，

我强调一个事情，我上课写的这个东西不能作为你自己整理的一种替代。能听懂吧，如果你自己你发现。如果你自己啊，你在这个上课的过程当中啊，你发现这个下去过程当中有这个PDF了，你自己也不整理了。对吧，你也不整理了，我觉得不行，另外一个事情啊，我觉得这个今天过程当中，无论这节课啊，有些同学可能给忘了，

忘了是最好的。你把它捡回来了。你注意一个事情，有些同学真的这个学习，我觉得意识这个很不好，你像有些同学的话，你发现啊，这个今天过程当中，我们回顾了好多知识点。有些同学特别的兴奋，就感觉到说我把这个曾经这不是初高中知识点嘛，我也不是第一节课这个过程当中，我去学极限，我捡回了好多知识点，很兴奋。

我就把这个东西你发现补充起来了。就补完了。对吧，你发现一个事情，你不记得的话，你把它记得，你要是如果这个东西，你今天你发现诶都不记得了之后。你把它找到之后，你反而说啊，我怎么那么菜我，我就觉得你这个学习思维，学习意志简直是不太行。啊，简直不行，

你想一个事情的话，你在学一个东西的时候，反正就是一些记的东西，你说这节课干嘛？这节课又不用动脑，你就记就行了。不就是一些公式，你把它给我记住就行了，不就是遗忘了吗？那就是因为我曾经过程当中好几年没有，有可能好多同学没有学这个数学了。你把它这个捡回来不就行了。所以我觉得这些事情大家要抱着一个积极的一个态度啊，这个非常重要，好了，

那么接下来我们来看看第二个问题。反三角函数。呃，这个回放一会儿就有了。啊，回放一会儿就有了呃，我先说一个事情，不要把整理对吧？下去整理当做成第二遍听课啊，那那就没有意义了。一会儿我重点说吧，我拖会儿堂啊，行不行？可以拖一会儿吧，这个我把反三角讲完。

把反三角讲完了之后啊，一会儿过程当中我们再看下面好吧，好，那么接下来我们再来看看下面一个问题，反三角函数。呃反三角函数比较难一点。诶，比较难一点，而且同学们注意，有些同学你发现我问你个问题吧？我看你对反三角函数到底理解的深刻不深刻。我就问你这句话。你看到这个函数，它叫做阿克塞因法，请问同学们注意，

它是这个人的反函数。你回答我这句话对不对？好同学们，你告诉我一些事情，这句话对还是不对？它是我的反函数，对不对？大家注意这句话就错完了，如果你的大脑里面的过程当中啊，留下了这样的一个痕迹。那我就觉得你根本其实就不了解这个反三角函数。所以接下来过程当中啊，首先第一个arcs in我要重点重的重点去学，那么这一类目当中，首先我们先去讲arcs in。

你要想讲阿尔克塞因，首先第一个问题，你就必须要进行去讲塞因。所以说这两个人呢，我们就需要把它进行去对照着进行讲，你这个人我们去讲arcs in。然后这个东西我们进行去讲s in，我把这两者东西啊，我们进行对照着讲。那么，首先我们先看看第一个问题诶，大家注意三。你是反函数吧？我不是说它是它的反，我说反函数吧。

什么样的函数具有反函数？如果你不知道，你就记住单调。单调的函数具有反函数。那单调的函数具有反函数的话，同学们，你想一个问题，这个函数单调，那这段单不单调？哎，我单调，我绝对单调，你想一个事情，我在这一段肯定单调，我单调递增啊，

什么叫单调一直往上跑呗？但同学们注意，我再长一点还单调吗？不了，你跑上去啪一下跑下来了，不单调了，所以同学们注意这段是单调的，然后你发现看我这段也是单调的。对吧，然后你发现看我这一段也是单调的好，这每一段都单调。但是如果把这两段合起来就不单调了。而在这里面当中，你发现如果你单调，你有反函数，

你单调诶，你这一段有反函数，你单调，你这一段有反函数。但是同学们，我把这一段的反函数叫做了阿克塞，因同学们听懂了吗？所以你发现一个事情，阿尔克塞因我把它切成了很多段，而你发现我唯独钟爱这个人。我唯独钟爱这一段，我把这一段的反函数叫做了阿克塞。所以你发现我们上面写的非常清楚是什么情况呢？你在这个区间段内的反函数才能叫做阿克塞。你在别的段内也有反函数，

但你叫啥呢？我爱叫啥叫啥，你想叫啥叫啥，反正你不叫xa能听懂我的意思吗？xa是这个人的反函数。注意啊，它很牛逼。是你的吗？不是的，是你的吗？不是的，是这一段的。那么，接下来我们看看arcs in图像怎么画，我们都知道，

反函数跟原来函数关于原点啊，这个什么关于y等于s对称。关于y等于x对称的话，你发现一个事儿，那么它的定义域和值域要做切换，你看这是负一，然后到一那这个人的话，这个定义域就是负一到一。那么，值域就是负二分之派到二分之派。那么这个时候你发现一个事情，它的图像呢？它的图像就是这样跑的。好注意下它的图像，这就是阿克塞因的图像。

能听懂我的意思吗？好了，那么接下来过程当中啊，我们来看一个例题，唉，我在这里面当中啊，我重点来讲一个例题，我看你水平怎么样？那么，如果在这里面当中啊，你把我这个例题的水平掌握清楚就行啊，掌握到我这个例题的水平就行，对我们三九六同学完全足矣。那么，这里面当中啊，

你发现看这个人。好，这是三。那么，接下来同学们注意，我在这里面当中啊，拉条横线。我这条横横线的话，它是y等于大a，我就来问你两个事情，第一个事情。这个点坐标是多少？就是x零这个坐标是多少？x一这个坐标是多少？好，

我们先来看看这个题啊，这个题往年的话，这个真题当中啊，是出现过这种题的。好来看第一个事情，那么请告诉我个事，第一个点坐标是多少？那这个题不就是在做一个事儿，做一个什么事儿，不就是让a等于s in，然后进行去解吗？那你告诉我第一个点是什么？第一个点的话，你有没有发现它的落点是不是在负二分之派到二分之派？他在因为你发现一个事情，

第一个点的落点确实在负二分之派到二分之派，那这个时候你发现一个事情，你的反三角啊，这个反函数是多少？反函数就是arcs in，所以说在这种当中第一个人，他就是arcs in。没问题，但是同学们注意一个事情，这个x一它还是这个人吗？它就不是了。你想一个事情，你说这个人也是阿克塞因，那你多牛逼啊，你说这个点是这个人，

这个点是这个人说这两个点是一样的。你胡乱胡乱说话，你指鹿为马。你在这里面当中说什么情况？我说这是一你说哎，这也是一这不胡来吗？那么这两个东西怎么可能会相等？它不可能的，所以这两个东西绝对不相等。但是同学们注意，我可以怎么办？我可以用负二分之派到二分之派段内的继续去推呀，你想一个事情。你在这一段当中啊，你看这个长度是多少？

因为这个坐标是正的，所以说这个点的坐标就是这段的长度，这个长度就是arcs in a。那这个长度也是arcs in a总长度是派，那这个长度是多少？那这个长度不就是派减去arcs in a吗？那你这个长度是派减阿塞因a，你坐标不就是派减去阿克塞因a吗？你看这个点。所以我们一定要注意一个事情，就是哪一段是arcs in呢？你要注意这一段的人才是arcs in。那所以怎么办呢？我都用这一段的东西去表示别人。因此，

你发现像这个什么s in这个反函数，你想这一段的反函数是什么，你就可以用前面那段往后推。它就非常简单了，好了，这个事情我就讲到这反三角函数，你能达到这个水平，完全足矣。这就是我们在这年过程当中，你需要达到的水平。好了，那么接下来我们先来看看第一个事情，那就它图像啊，刚才这个图像我们已经画过了，哎，

它是负一。然后到一，然后这是负二分之派，然后到二分之派，那这个人的图形走向就是这个人。哎，往上跑。好了，这是arcs in那么接下来我们再看arccos in那你猜一下arccos in是cos in在哪段的反函数？你猜一下。扩散有好多段，它是这段。林盗拍。这一段的反函数叫做arc cosy，所以说这个时候你发现一个事儿，

你看你的这个定义域是零到派我的值域就是零到派。你的这个值域是负一到一，我定域就是负一到一，然后它关于y轴对称，它就是这个样子。好了，这是这个问题，能听得懂我的意思吗？哎，要想清楚这个事儿了，过去了好了，那么接下来我们再来看定域这个人定域呢？定域都是负一到一。哎，这人定域呢，

都是负一到一，然后这人值域呢，这人值域是负二分之派到二分之派，然后这人值域呢，这人是零到派。然后单调性呢，是单调递增，然后这个单调性呢，是单调递减，然后这人的奇偶性呢，这个人是奇函数。对吧，这人不具有技术性。所以arcsine它是个奇函数，要记住这个点，

那另外一个事情呢，还有一个东西就是这两者之间呢，它是有个关系式的。诶，就是这个东西，我在这里面当中，我讲一下这个事情，就是我们的arcs in。然后和这什么东西呢？arccos ing，这两者相加是一个常数。那同学们想一个问题，我怎么继续去证明这个事情？我怎么继续去证明这个函数是一个常数啊？你看我可以把这个函数定一下。

另乘多少呢？另乘arcs in，然后再加上arccos。对吧，练成这个人，那怎么证明这个函数是常数呢？那很简单，你常数的导函数是零啊呃，在这里面当中我敢讲吗？我讲一点点可以吧，因为有些同学都不记得这两个人的导函数了，我简单讲一点点，我们将来还会学的，对吧？你或者把零基础提前学讲义，

往后面翻一翻也都能翻到。然后这人是多少一减x方的开方分之一？哎，可以吧，然后这个部分呢，是根号下一减x方分之负一好，这俩一加这刚好是零。所以它的导函数是零，那既然导函数是零的话，你明显的话，发现一个事情，这个函数一定是个常值函数。那同学们想一个事情，你是一个常值函数，我怎么进行求出那个常数啊？

我怎么求出来，同学们？你想一个事情，你这个人是个什么函数？你这个人是个常值函数。对，非常好，我带一个特殊值，因为你发现一个事情，你这个点是它，你这个点是它，你这个点是它，你这个点是它，你每个点都是这个c呀。所以在这里面当中随便带一个特殊值，

你带谁呢？你当然带零比较简单啊。对吧，阿尔克sine零是多少你就去想sine多少等于零。si nine零等于零阿尔克cosine零等于多少？你就想cosine多少等于零cosine刚好是二分之派等于零。所以同学们注意，零处是二分之派，因此这个结果不就是二分之派吗？这个函数永远等于二分之派好了，这是这个点跟得上我的意思吗？好，这就是我们最后的一个恒等式。两人相加等于二分之派。好，

过去了可以吗？哎，这是我们讲的这个事情，那么在这里面当中啊，我们再来把这个反正弦函数反余弦函数，哎，我们在这个呃，反正切和余切，我们再讲一下。arctangent ity arc quantity.那么这个里面当中啊，首先我们先看这个arctangent题。这个人的图像是什么呢？你猜一下这个事情，它是这个tan在哪段的反函数？

它是汤正体在这一段的反函数。就是负二分之派到二分之派内的反函数。所以同学们注意把这个东西一调，你看这个值域是从负无穷到正无穷定义域就是负无穷到正无穷。你这个定义域是负二分之派到二分之派，我的值域就是负二分之派到二分之派。所以说你会发现一个事情，我这个人的图形走向，你记住图像，什么东西都出来了好了，这是二分之派，然后这人是负二分之派。那么，最后它的图像什么样子啊？它就这样。

能听懂我的意思吧？好，这是这个人，然后接下来过程当中啊，我们再看这个人，这个人是谁呢？这是这个人在灵道派灵道派，他是这个样子。所以说它的这个值域就是零到派。对吧，然后这个人的话，单调性保持不变，还是往下减，它的图像是这样，你注意啊，

这两个图像要记住。好，这是这个事情，所以说这两个图像显得更加的重要点，尤其是谁呢这个？考的太多了，哎，我太喜欢考它了，那么在这里面当中，我们先看看这个定域都是r，然后这个值域呢，这个值域是负二分之派。然后到二分之派这两个端点不取，然后这人是零到派那么单调性呢，这人单调递增，

这人单调性呢，正单调递减。那么再来看看奇偶性这个人是个奇函数，而这个人呢？不知道。对吧，这个人没有什么奇偶性好，这是这个问题，那么接下来我们再来看看极限啊，这个极限很重要，好好听一下啊，就这两个人特别的重要，就这两个人。好先看趋向，于负无穷。

同学们想你，看你这条线趋向，于负无穷。你逼近于多少？你这个人是不是逼近于负二分之派啊？当你这条线逼近于正无穷的时候，你稍微的话接近多少，你接近于二分之派，所以这是求极限。对吧x接近于多少？然后这个人呢？趋向负无穷的时候，你看你这条线刚好是接近于派当，趋向正无穷的时候，你接近于多少？

你刚好接近于零。所以说这两个极限呢，你要把它给我记清楚。好了，这个反三角函数我们已经讲完了啊，这个里面当中啊，这个知识点的东西啊，还是比较多一点，所以下去过程当中啊，你们是这样啊，今天我们就不重点往下讲了。那么，下节课我们继续吧呃，所以说这节课还没有进入到最重要的内容，所以每次这个我们讲这个第一个部分的东西啊。

我每次一直讲一直讲，每次我都说我们只有讲到哪个点呢？讲到这个点，才算真正的进入到考研的备考。就是讲到这个题，讲到知识点五，我们才真正的开始进入到考研的备考呃，所以说今天过程当中。这就麻了，我都不知道你这是一个什么样的一个复习心态的吧。你说这个稍微的话，其实这节课它都没有一些什么思维方式的一些东西，它都没有一些什么这个知识点的东西，我们都是一直在给你进行，怎么办？

把这个知识点去减去减去减。有些同学的话，所以说这个复习的意识，还有这个复习的这个状态，这还没有开始复习备考呢。这这这个这个我无法理解啊。这还没有开始呢，同学们。啊，这还没有开始呢。这还没有开始进行考考研的备考呢。你去看看这个主标题叫什么，这叫初高中知识点的备考啊，这个叫复习。所以这都是我们原来这个初高中时候学的内容，

所以接下来过程当中啊，我先说一个事情呃，留一个作业。下去过程当中，把这个东西给我填一下。对吧，把这个东西填一下呃，大家注意这个反三角的值怎么去算呢？你就去想。赛应这个人。多少等于一？但是这个区间段，它肯定是在负二分之派到二分之派内嘛，对吧？s in多少等于它诶？

cos多少等于它？下去过程当中，把它讲讲，而且这节课是没有作业啊，这节课没有作业呃，我再强调一遍，我们就真正的到了这个知识点五。才叫真正的进入到考研的复习，刚才这些东西啊，我一直给你讲一个事情，我都说我们都是在干嘛呢？再减一些初高中知识点，我还讲呢。人家有些不讲呢。那你就尴尬了。

你发现上来就进行曲讲极先。我从来没有说上来就给你讲极限，能不能上来讲极限呢？也能讲。但是讲着讲着的话，你发现我出现了一个arctangent题，我说x趋向正无穷arctangent极限是二分之y啊，啥arctangent是什么？那还怎么学啊？所以说一开始不要浮躁。啊，你这个这个很明显的话，没有投入到这个考研备考，或者你还没有理解的话，这个考研的这个复习备考内容。

那么，这节课我们就不往下讲了，然后大家下去过程当中好好进行去梳理，它能理解吧？好，这是这节课。呃，我先强调一下，第一节课。和后面的那几节课都不一样，因为第一节课都是在复习知识点，等你听到第二节课，第三节课我相信你上课记笔记啊，就会好一点了。所以接下来过程当中啊，

我来强调一个事情，哎，我来说一下这个呃，下去过程当中的这个复习整理的问题。你听好了，这里面当中啊几个点，因为今天第一次课程理论上。第一次课程呃，应该是要讲一个规划性的课程，一般设置课程都是这样设置，就是我第一天我先讲一个一个小时的这个。复习备考对吧？这是第一个第一节课，然后到了这个第二节课的话，我们才真正的开始讲这个知识点的内容。

啊，但是没有关系，今天我们就把这个复习备考和这个知识内容的讲解放到一起来讲了，所以接下来过程当中啊，我先来说几个事情。对于三九六数学的复习啊呃，今年过程当中，尤其是二零二四年。我明显讲这个问题，就是你对这个数学的这个复习啊，你至少而言的话，应该是冲这个满分的一个要求。你不要受到这个二零二三年的影响。二零二三年的话，这个复习其实等到你今年过程当中啊，

你再回过头来进行去看那些题的时候，等你把这个基础和强化班进行去复习，完了之后你再回过头来看。其实里面当中啊，只有三道特别偏的难的题啊，只有三道，然后剩下的过程当中啊，你觉得难的题啊，其实就是主要是什么呢啊？去年这个老头子啊，实在是什么？实在是打了我们一个措手不及。真的让人措手不及，就是你发现模拟卷理论上是比考研真题卷要难，结果发现一个事情，

我们所做的所有的模拟卷都没有真题卷难。这个时候打到我们一个措手不及，所以说在这里面当中一定注意一个事情，这个三九六数学的这个复习啊。呃的第一个信息点就是经验过程当中，你还是要这样，你得有满分的要求，你看看这个第一节课。复习意识的不同，往往把人最后分成了不同的样子啊，确实是这样。你看这就是意识，我们这节课呃，有些同学的话，你发现这个有些二战的同学的话，

可能梳理起来的话比较舒服一些。有没有可能一战的同学，有些同学的话就觉得啊好爽，很舒服，对吧？这节课的话，你发现我复习了大量的这个初高中知我就像捡知识点一样，有些同学哇，好累啊。怎么能这样？你发现一个事，这个时候你发现每个人的话，这个复习的状态，它就不一样了。对吧，

这一类目当中的这个内容，所以说希望同学们下去好好进行去助力一下好了，这是第一个事儿。那么，接下来我们再来看看这个第二个问题啊，这个三角路数学复习，我觉得这个要求啊，一定要高。就是你对自己的这个要求要高呃，我先说一下这个事情对我们，我们都是考这个经济类的。我们得面对现实，但是我们在这个面对现实的过程当中啊，可以给自己梳理清楚的这个目标情况，我们的这个。

三九六的话，这个尤其是这个经济类的同学，我们的国家线是稍微的会比较高一点的啊，我相信大家都了解清楚过这个情况，对吧？我们国家线是高一点的。如果你发现你从第一节课过程当中，你都是这种状态呃，其实的话，这个你复习到后面的话，这个还挺麻烦啊，所以我希望同学们注意一开始的这个复习意识啊。还是比较重要，所以大家其实都理解这个，尤其是你们的这个国家线，

所以这个数学啊，你的要求一定要高。我们七十分顶多错两三个。就是最起码得拿到什么东西呢？这个六十六分对吧？六十四分最起码都是六十分以上的成绩，就是这七十分。所以你一开始我们今天我为什么开设这个全程班呢？原因也在这啊，其实我这个工作量有些同学可能一战同学不了解。啊，这个好了，不要再说这个打卡了啊。呃，可能是我这个是有些同学，

可能是一战同学，对吧？有些二战同学都了解呃，其实数一数二数三同学的那边的课程工作量已经非常大啊，今年的话我还单独的又开了一个全程班，今年的话这个。课程量的话其实非常大，所以我希望同学们注意，也不枉我们啊，这个完完整整的去设置这个课程，然后在这里面当中，我们一年过程当中一起共同努力。所以今天过程当中，一定把它要求高一点，我们的基础班，

我们的强化班，然后到了最后的话，那个冲刺就明白，我想这样补下去，最后的成绩一定不会差的。至少是个七十分，所以今年过程当中一开始要求要高一点好了，这是我讲的这个第一个事情，第二个事情我来说一下，这个复盘的问题啊。啊，之后。整理笔记的问题，那么这个面当中啊，我觉得谈两个事情啊，

就是这个笔记的整理。笔记的整理不要是抄了一遍。对吧，我上课的过程当中，我一直跟你讲，今天体现不出来，今天都是知识点的，这个堆积都是知识点，所以说你发现到了这个。呃，下节课就还好了，因为今天的话都是在回顾知识点嘛，所以说下去过程当中啊，整理笔记，我觉得是这样。

不要再刷一遍课，听得懂我的意思吗？有些同学什么叫复盘呢？复盘就是再听一遍课，不不不，要这样，不要这样，把自己独立自主思考的时间要放出来。你上一遍就可以了，对吧？然后下去过程当中回放是辅助是辅助作用哎，比如说举个例子，我刚刚听那个部分哎，我感觉上课过程当中我听的。没有说那么的清楚哎，

可以去看看回放，把它听一下。然后你发现这个部分的东西，我发现诶有点问题，去看看回放，回放是辅助，它不是主要有的时候我复习，我再听一遍课，不要这样。下去过程当上课的时候，我刚才说过了，记痛点，记重点，然后把自己呃，至于这个笔记记到哪了？

我建议同学们记到讲义上就行。啊，你就记到讲义上就行，所以说有些同学可能本儿太多了，对吧？笔记本儿错题本儿，然后这个什么东西呢？这个。啊，这个作业本儿等于本儿太多了。不用那么多本对吧呃，一个主要的东西就是复习的目标就是一个事情，就是把那个知识点剪透就行。吃透就行了，所以你记到哪儿这都是数的问题，

它不是道的问题，对吧？你用什么电子本电子笔记记笔记？对吧，你在这个什么东西呢？这个用这个纸质版的东西记笔记或者是什么？你记到这个笔记本上记到这个书。我不要求，我不要求算了，我刚才说的，我收回我不要求，我不要求说一定要记到这个讲义上怎么样都行，只要你整理了，但是同学们注意。不要做能陀的工具。

对吧，多去想，多去思考，你的笔记可以有，但是上面的通过过程当中啊，一定是你的错误的点，对吧，重点对吧，还有一些什么东西呢，整理的一些。方法我觉得记到上面是比较好的。对吧，这个你的笔记上面就应该记这些东西，另外事情同学们可以整理一个错题本，对吧？

呃，错题本是必须的，当然的话，后续过程当中，我们一效课也有那个啊，那个错题本，但是不卖的啊，不是卖的后面过程当中啊，你可以积极的打卡。啊，你可以继续打卡我，我一直觉得是这样。我就觉得如果我通过这个东西能促进你学习。然后最后还能给你点奖励呃，我我觉得对你而言是个帮助，

我觉得我很喜欢干这个事儿，反正我最后我的目标导向就是一个事情，你能考一个高分儿。啊，这是我们需要做的事情，所以下去过程当中啊，你可以进行去啊，整理一个错题本，因为到了这个最后你发现。刷错题才能提高，改错才能提高。刷题不是目的，做一千两千道题，你发现回过头来，你发现还有五六百道题不会做。

那你发现一个事情效率极其的低下，改错才能提高好了，这是我们在这里面的事情，好了，这是第二点，那么接下来我们再看第三点。啊，我多说一点啊，这个今天啰嗦的太啰嗦了，然后这个下课争这个整理笔记，还有第三个点整理笔记完了之后。再做作业对吧？再做作业好下去，过程当中啊，我觉得这个是你自己可以进行去做的事情。

然后另外一个问题的话，呃，这两天有一个活动是我们公司，他们出的活动，你可以自己去参加，对吧？这个我我不强求啊，不强求这个事，因为一直以来的话，这就是一个。啊，其实是一是一个活动，然后的话，你自己叫做什么？这个听课打卡突飞猛进啊，

然后这样这样的一个活动，你可以去参加。然后是在那个小红书，然后去这个听课的截图，然后有课程的笔记。啊，然后的话，这个你发布笔记，然后打满十次了之后，你就可以私信微博的一笑而过，然后的话啊，这个你自己去啊。然后的话，这个最后抽十个人评分六百六十六啊。行吧，

这个就是这样的一个活动呃，另外一个事情的话，我觉得我一直说的这个打卡你们自己自愿参加啊，这个另外一个事情的话就是我觉得。这个东西啊嗯，大家都是成人，你不是个高中同学，我我所做的动作只是为了促进去学习。我没办法的话，说什么东西呢？这个呃，一定要要求你打，有的说我就不喜欢打卡，我也不喜欢用这个也我也不喜欢用这些什么社交媒体可以没有任何问题。只要你下去过程当中整理了笔记，

做了作业，作业错的东西把它改正过来好就可以了。好不好？同学们行吧，那么这个点我们就说到这行吧，那么今天是第一节课程啊，但是我们的第一节部分的东西啊，没有讲完，理论上这个部分东西啊，我们得讲两个点，所以。所以说下节课啊，才算真正的进入到考研的复习，这节课不要飘啊，然后下去过程当中说我这个部分学的贼牛逼贼牛逼。

也没什么啊，也行，对吧？但是你发现一个事情跟我们最后的这个成绩啊，挂钩的话，这个不是说特别大，这是你必备的一个基础。有人说啊，这个里面当中的知识点很多哎，但是好多东西我没有记清楚，那你下去过程当中就要自驱一点了。然后这个PDF这个笔记啊呃，一般情况下得半个多点吧啊，半个多点。呃，

上课这个笔记我们都会发给你，都会发啊，都会发啊，这是一直以来我的传统，但是我想强调一个问题。如果我发了这个笔记，你不做笔记了？但是我又看不到。你要是不做笔记。你对不起我好吧啊，就这个点。又不像线下课，我线下课的话，我以前上线下课就是我看到很多人不做笔记了，哎，

我就不发了啊，这个这个现在我我没没没办法约束啊，没办法约束，那行吧，我也看不到。你说你说你，你这不做笔记嗯，你得自己整理对吧？至少得记到自己的讲义上，听懂我的意思吗？你至少得记到讲义上，你不能说这个笔记本，你想做的话，但是笔记本不要把讲义上东西又全部弄过去。那花费时间太多啊，

有点浪费时间好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿啊，第一次课程，我们今天就算正式的开班了，然后呃，后续的课程呢，我们的零基础课程的结束了之后，我们就基本上。就直接开始这个大纲基础精讲课程了，所以同学们你们大可放心呃，有些同学会觉得说我比这个数三同学慢，因为他东西比你多太多了。你放心，我们基本上上到这个五月份，

五月份左右的话，基本上我们的这个基础班就能上完了。然后的话，从这个暑假开始，基本上。六月多吧，我们就开始上这个强化班了，所以对于我们而言的话，这个数学的压力不是说特别大，你就跟紧这个课程，对于你们而言，我就只想说这个事情跟。跟上课程消化内容，好好做作业，认真复盘就可以了。

好了，那么今天课程呢？我们就正式开呃，这个就讲到这儿，然后我们的所有的课程就算正式开班了，我今天。拖了四十分钟堂，然后呃，我不喜欢拖堂啊，我不是一个特别喜欢拖堂的人，所以你后面的过程当中啊，你不要觉得我每次拖堂啊，有同学。呵，有些同学笑了，

对吧啊？好了，今天是第一次课程，我们就讲到这儿，然后下去过程当中啊，我们下节课，我们就继续吧，好吧，同学们呃，今天课程没有作业。以后的每次课程我们都有作业好，那么今天课程呢，我们就讲到这好，同学们好，下节课见啊。

啊。

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