概率初步-综合提高题-条件充分性判断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:17:17

好，下面咱们来看一下条件，重新判断题好，那么条件重新判断题，大家做题的时候容易错，大家在思考的时候要掌握它的做题方法啊。好，那么像第一个题目，第一个题目主这道题主要考察古典概率，而且古典概率的话要分类讨论。第一题的考点主要考察。它的取样。而且这道题。考察分类讨论。好，

因为它这个损坏。在运输过程中损坏，你不知道损坏是正品还是次品，所以要进行讨论，损坏有可能是正品，有可能次品。好，我们先给大家讲一般方法，讲一般方法，然后再给大家讲简单的方法啊。好，我们来看一下这道题，两批货物各十件，在运输过程中每批呢会损坏k件。假设第一批货物中有一件次品，

第二批货物中有两件次品全部到达后。从未损坏的货物中任取一件，则该产品是正品的，概率是零点八五。好，那下面咱们来看一下条件，一先看第一个方法k的等于1 k=1就是第一批。先把第一批看清楚。第一批它损坏的有可能是正品，有可能是次品，假如第一批啊，有十个好吧，第一批一二三四。五六七八九十第一批呢，十个加十个呢，

这个是次品。其他呢，都是正品。好，如果第一批它万一这个损坏的这一件，因为k=1啊，损坏的这一件要次品看怎么办？因为它这个十件商品在运输过程中。每一件损坏的几率都相等的，就像咱们十个瓶子放在那啊，在路上去运运它这个每一个损坏的几率都相等。所以说每一个损坏的概率都是十分之一啊，就第一件损坏是十分之一，第二件损坏也十分之一，第三件，

第四件都是十分之一。好，如果第一次损坏的次品损坏次品就是第十件，我刚才说了，那么假如前九件都是正品，这一件是次品。第十件次品就前九件都正品。好，那么如果第一批损坏的是第十第呃十件次品的话，如果要次品的话，它损的概率是不是十分？之一啊好，这个次品就损坏了。它坏了，坏了，

咱们就把它扔掉，人家说了全部到达的，从未损坏的货物取件这种，比如这个商品的运输过程中。比如这个东西碰坏了，碰坏就把它扔掉，不要了，从剩下九件里面，然后看看有几件是正品，人家说是正品概率，那九件里面九件都是正品，对吧？好，还有一种情况，因为分类啊，

还有一种情况，如果损坏的正品损坏正品有可能是第一件正品，有可能第二件正品啊，所以如果是第一件损坏的正品，如果损坏了它，它的概率是十分。质一对吧？损坏是它损害它，然后这个时候还剩下二到十这九件产品，这九件产品里面任取一件，它是正品的概率就是九分之。八对吧？所以在这里面，大家呢，就可以看出来总共是九分之八，

因为有八件是正品嘛。但是呢，有可能损坏第二件对吧？跟它表达式是不是一样的？有可能损坏第三件有可能损坏第四件有可能损坏第七件第八件第九件，所以说它概率跟它是一样，就乘以个九。好，我再说一下，这表达式的含义好，那么因为它这个运输损坏，有可能损坏的次品，有可能损坏正品好，如果损坏的是次品的话，那么就是第十件，

咱们假如是次品好，它损坏的概率就十分之一，因为每件损坏的概率。相等十分之一好，它损坏后就把它扔掉，我们要这时候还剩下九件，这九件里面产生正品的概率就是九分之九，加上第二种可能性。第二种情况就是如果损坏的是正品，因为这正品那么多，你也不知道损坏是哪个正品呀，所以假如损坏是第一件正品，第一件正品的话，它损坏的概率呢，也是十分之一，

因为每一件损坏的概率都是一样的十分之一。好，那么损坏他以后就把它扔掉，不要了，这时候呢，你手里面还剩下二到十这十件产品，这十件产品以后那么要从这。二到十，这还有九件产品啊，你去掉一件二到十，这九件产品里面，然后取正品的概率就是八件，八件是正品。然后有可能损害了第二件，刚刚咱们算的是第一件，

有可能损害第二件正品，有可能损害第三件，有可能损害第九件，所以要乘以九啊。啊，这是给大家强调的做题方法好，那在这里面大家呢，就可以看出来它呢，就等于零零点九。是吧，就是零点九这样就写写出来了，看这个学会没有好，那第二批损坏的情况。好，第二批这个呃十件产品，

假如呢？就是九和十这两个产品是次品，因为第二批它有两两件次品是吧？然后其他八件都正品好，如果它要损坏次品，它损坏次品也。不让损坏第九件，第十件次品啊，所以在这里面假如损坏是第九件次品的话，它损坏概十分之一好，它损坏了，损坏就把它扔掉，不要了啊。这个假如第九件这个次品损坏了，损坏就不要了，

不要扔掉，扔掉再告诉我还剩下几件产品呀，是不是剩下九件产品，九件产品里面大家看看有几件是正品啊，是不是八件正品啊？加上啊，乘以二知道为什么乘以二吧，因为这是这算的是。这个次品损坏了，有可能是这个次品损坏了，因为它表达式跟它一样，所以乘以二倍加上。如果损坏是正品，损坏正品，假如损坏是一号正品，

就十分之一乘以一个好，如果损坏一号正品，这时候大家看还剩下几件产品呀，是不是还剩下九件产品呀，大家告诉我九件产品有几件是正品呀？是不是期限是是正品啊？再乘乘以乘以什么呢？乘以因为这个有刚才咱们算的是损坏第一件正品，有可能损坏第二件啊，跟它表达是一样的。是吧，损坏第三件，第四件到第九件呃，第到第八件跟它是一样的，再乘以八。

好，那这样就写出来了，好这个大家算出来就等于零点八。就等零点八好，每一批算完后，然后他把两批混在一起，那么取到正品的概率，因为这两批产品是一模一样啊，产品是一模一样好，那取到正品概率。就是二分之一乘以个零点八零点九，加上二分之一乘以零点八啊，我来解我，我为什么把两个二分之一要分开写，我要给大家解释一下，

有同学看不懂这这一块儿啊。好，为什么要分开写好分开写原因，因为假假如这是这第一批有九九件，因为它损坏件就扔掉了，还剩下九件。第二批这个损坏件扔掉了，也剩下九件好，你把这18件都混在一起嘛，这不是从未损坏的货物中，未损坏货物是不是就是18件18件，从这18件里面挑？它是正品的概率，那就相当于是你这正品有可能是来源第一批，有可能来源第二批，

因为这两批它的数量一样，所以说它每批的几率都相等，就像咱们两班同学一样，比如说我们一班的同学跟二班同学人数一样。一样把一班二二班混在一起，任取一个同学来自一班的概率和来自二班的概率，它都是一样，都是二分之一，明白吧，如果他的产品如果一班的人数多，一班产品数量多，二班产品数量少。如果把它混在一起，混在一起的话，那么来源一般的概率就高，

就不能写二分之一了啊，明白吧，我再给你举个例子，比如说咱们呃，世界上中国人口最多，中国人口如果最多的话，那么在全世界混合完以后。那么，取到任何一个人是中国人的几率就高对吧？然后日本人比如人人口少，那么取到日本人口，它就小小一点，如果假如好，每个国家人数都相等。啊，

每个国家人数相等，把它混在一起，随便取一个人，那么这个人来自于中国也好，来自于各国也好，它的概率是不是都相等啊？就这样的情况，看是不是学会了。就等于零点八五，所以条件一是充分的好，那么k=2我就不再一写了好吧k=2就不再一写，跟这个表表达式运算起来也是一样，如果k要等于二损坏两件的话，在这里面也是写出这几种。情况那么第一批也是零点九，

第二批也零点八，加起也是零点八五，好吧，这是条件呃，做法跟它是一样的，我就不再一一写大家呢，也是讨论，只不过损坏两件的时候，它情况稍微复杂一点，损坏两件。有可能是一件正品，一件次品，有可能损坏两件都是正品好吧，所以在这里面大家呢啊，多分类多分类，

把它加在一起，加在一起得到概率是一样的。好，这是一般法给大家进行推导的，当然你也可以把这个。这公式里面唉，也可以把它变成k好吧，把它变成k啊一样的表达式啊，如果把它写成k一样表达式，为了让大家看清楚这个符号，说我们把这个k换成一个具体值来进行求解的。好，那么如果这道题换另外一个技巧来做的话，也就说它损坏的有可能正品，有可能次品，

各种情况都有可能存在，它就说明它是不影响最后的一个结果的，所以这就是像抽签原理一样。所以在这里面，大家呢，也可以用促销原理就直接把这两批货物混在一起，管它损坏的制品还还是次品呢，所以在这里面啊，另外一个小技巧就直接混合，因为它这个都是等可能的损坏啊。都等可能。省块。所以它不影响。概率的，不然概率的话就相当于k=1也好，

k=2也好，k=3也好。甚至k=0也好，这时候都不影响概率，所以现在你就把它看成k=0也好，k=0就相当于是你就别管它中间损坏没损坏，总共呢就是二件产品对不对？总共就是二件产品啊，因为第一批有十件，第二批有十件，然后那么第一批它总共有九件正品，第二批有有八件正品就等于二十分之十七就等于零点八五好这样。就写上答案了是吧？所以这样你能算出来正确答案就选d，所以采用抽签原理来做啊，

不管它前面损坏的是什么？啊，只要是它有可能损坏的证明，可能损坏次品各种情况，它都存在的话，是不影响这样概率的。好，这是给大家进行证明了和总结的一个结论，大家要掌握住。啊，下面咱们看第二题，第二题很多同学呢啊也呃不太会做，在这里面看一下它的考点，考点有数字的个位。数的个位情况好，

那么所有整数的个位总共就有十种情况，就零到九是吧？就是不管什么样的整数，它个位就零到九有十种情况，总情况数就十。十种情况条件n=4 n等式就某个数的平方，它个位呢呃，前面不知道是多少，反正个位就四。前面这个有若干位，不知道多少个位是四个位是四的话，那就可以推出推出这个平方数的个位就就原来这个a，假如这是a啊。加a好，原来这个平方数的。

原来这个平方数的个位。好，如果要为四的话，大家知道它平方数的个位有可能是二，有可能是八。是吧，有可能二有可能是八，比如说12的平方，这个不有二的平方就是四嘛幺四四，你看个位是不是有四？是吧四，然后还有这个18的平方，那在这里面啊，34它个位也是四是吧，因为八八六十四嘛。

所以说在这里面，它总共呢有两种情况，那所有的数呢？有十种情况，所以概率呢？知道这十是怎么来的吧？就任何一个数的个位。啊，任何一个数的个位。啊，任何一个数的个位就零到90种情况啊，那么如果它平方以后它的个位为四，就说明原来这个数。啊，原来数。

好，原来数的个位就为二或者八是吧？原来这个数就这个a，原来数个位有二或八有两种情况跟着零点二。好，下面咱们看下条件，二看看是不是充分条件，2n要等于5n要等于五，就说明它一个数的平方，以后就为五一个数平方，以后就为五，那这个数的个位只能为五。只能是比如说十五的平方呀，或者二十五的平方呀啊，只能是五好，

那它概率p就等于十分之一，它只有一种情况就等于零点一，所以条件一充分条件二不充分正确答案选择a选项，看这道题是不是听懂了是不是？学会了，是不是啊？它的方法好，这道题这道题大家听懂的同学还可以改成立方啊，比如说一个数啊，任取一个质数，它立方的末位多少？立方末位多少？到时候立方比如说四啊或者几，到时候大家。按照立方的特征来分析，

原来数它的个位到底是几，这样就可以求出来概率，看是不是学会了。好，下面咱们看第三题这道题，这里主要考点是考察一个有放回的取样，一个无放回取样考点，主要考察取样问题。好取样就一个有放回的取，一个是无放回的取好，它说有放回的取这个旗子，其实有三种颜色，即五种红，五个红，四个黄三。

颗白色每次都取到同一种颜色，概率为p就，每次呢都取到同同一种颜色。然后条件二条件二的话，不放回的曲奇其实有三种颜色，即五种呃红，四颗黄，三颗白，两次都取到同一种颜色概率。VP好，那我们来看一下条件，一条件一它两次都取到同一种颜色，我们就要分情况是吧？分情况好，那么第一次比如说有可能因为有放回去啊，

有可能都是红色。有可能都是黄色，有可能都是白色，除以分母就是12×12，因为分母的话它。总共有十二颗球，十二颗棋，十二颗棋的话，那么第一次取完又放回去，它还是十二个，所以在这里面来算就等于七十二分之二十五，所以条件一充分，条件二话，它是不放回来取不放。后来取的话，

原来是12个第二次取的时候，总共就变成11个了，所以分母变成12×11，如果两个都取到红的就是五×4。如果呃黄的就四乘以三，如果要白的就三乘以二，好，这个算号就等于六十六分之十九，所以它这个呢是不充分的，最简答案就选择a选项，看这道题是不是学会了？这道题比较简单，就两次相同的颜色，它的考法要知道。另外，

大家回想我们讲取样方式，里面有三种取样方式是吧？取样方式里面再给大家讲有有三种啊，一个是逐次。有放回。还有逐次无放回。还有一次取是吧？所以在这里面啊，它有三种情况，而且我们讲了逐次无范围取样跟一次性取样概率是一样的，所以我想讲什么呀，就条件二它的概率p还可以这样写，您改成什么改成？一次性抓两个旗旗帜，一次性取两颗，

它的颜色是相同的，可以写成c五二是吧？一次性取两个红的，一次性取两个黄的，一次性取两个白的，除以一个c。十一二对吧？除以c十一二，然后这样就可以写出来，结果好吧，这个呃，跟这个第二问这种形式写一样的，所以记住无范围取样概率就等于一次性抓取一样的概率。好吧，这是给大家强调特征，

看是不是学会了？好，下面咱们看第四题这道题，这道题要考察列举法啊，考察取样里面的列举法。取样它的列举法。好a集合是一三六七八，这是a集合它的情况b集合是一二三四五各取一个数sy，这s加y大于m的概率为九分之二十五，条件一m是等等于十的好，那这是我们。我们要列举一下，看看它的这个情况啊啊，列列举列举的话，那看有几种情况啊嗯一就是x+y要大于等于十。

好，我们来看一下xx这个取一的时候，那么这个加上这个y它没法x取三也不行，好x要取六的时候。y可以取四和五是吧啊？可以取四和5 x=7的时候y可以三四五。x=8的时候x=8的时候y可以等于二三四五。好，那看这个是不是学会了？好吧，就得到二三四五看是不是学会了？好，那在这里面大家看一下，加在一起加在一起的话，总共是。

这是五个，四个总共是九种情况是吧？好分子呢？是九种情况啊，分母呢a集合随便取一个是c五一b集合随便取一个c五一就等于二十五分之九。好看条件，一是充分的条件m等等于12 m=12，它的情况肯定少，这时候就不用管它了。m=2的话啊，你简单列列s=7。I=7，然后y=5，这样行I=8 y=4跟五，它总共只有三种情况是吧？

总共只有三种情况，所以它这个是不不充分的啊，所以条件一成分条件二不充分，这也难。选a选项好看，这道题是不是学会了？所以在这里面就采用列举法，求它答案就可以了啊。好，下面咱们看第15题，这个题呃，第五题这个题，第五这道题主要又考察区间，它取样的概率是吧？考点又考察区间。

它对应的概率情况。好一筐苹果中任取一个质量在200到350区间内的概率是零点五三条件一，他说是质量小于200克，这个概率是零点二五，那单独条件一肯定不行，因为没法确定。啊，这个。200到350啊，这个区间，所以条件一不行，条件二不小于350克，不小于350克，大于等于350克，这个概率是零点二。

好，零点二好，那显然这个两条单独呢，都不不充分，所以我们要联合起来。啊，李阳企业李阳企业，大家知道条件二的反面啊，有先由条件条件，因为它说大于等于350克是零点二，我们就有条件可以得到什么？啊，得到。小于三百五十克，这是一减零点二对吧？

就等于零点七八。啊，就一减零点二。小于350克好，那么再由条件一条件一的话，条件一的话就是由小于350的减掉，小于200的就得到200到。350的好吧，所以我讲的这个是x吧x在200到350。就是这个，我们可以把它写成什么呢？写成x。小于350-x，小于200如果这块儿有同学听不懂的话，画个数轴吧。

比如说这个200到350这个区间，这个区间我们可以看成什么呢？可以看成是？小于350的减掉，小于200的就得到200到350的了是吧啊？减掉它的区域去，去掉它的区域，这样就行了，这个听懂没有？好那么小于350的，刚才说了就零点七八，小于200的基因条件依旧得到零点二五，所以就等于零点五三。所以这样就求解出来了啊，好，

这样就可以算算条件，联合起来充分的这个答案，选c看这道题是不是学会了，是不是听明白了啊？好，这道题也是掌握它的区间。啊，根据它所求的区间，然后来进行表示，它这两部分概率，然后来进行求解好，下面咱们看第六题这道题，这里考点呢啊，就考察。独立实践问题。

好有个篮球运动员投篮n次命中概率均为五分之三，则这个篮球运动员投篮至少有一次投中的概率，至少有一次肯定要用反面做。好，那我们看条文一n为三n为三，至少有一次投中就一减去三次都不中就行了，听到没有就用一减去三次都没有中。就是五分之二的三次方，这样就行了，好这个给大家强调它的做题的方法就等于零点九三六。这个大家简单算算好，那么条件n要等于四n要等于四，说明四十都不投中，就一减去五分之二的四次方，我们这是因为五分之二的三次方等于零点九三六，

这个肯定不等于零点九三六，所以等于什么呢？咱们不用管它。因为考试呢，咱们是重新判断题好吧，这个具体数量就不用再求了，好，所以这道题就选择条件一充分啊，就是n次里面至少有一次成功的概率，大家会分析和求解。好，下面咱们看第七题这道题考点，这题考点就两人下棋甲步输的概率为90%，反正是甲步输跟甲输甲步输呢，就就相当于是。

因为它这个有和棋的情况是吧，所以甲不输就代表是甲乙胜，或者说和棋所以甲所以这道题考点是考察这个丙。比赛问题。好，那么我们看一下甲部书。它表示什么表示？甲没有输，甲没有输，有可能甲胜了。对吧，假设呢甲没有输嘛，或者说合起。表这两种情况，反正甲不说概率是零点九好，

这甲两人下沉和起的概率是50%条件一，他说乙胜的概率是40%。已剩40%。条件好，假设呢，概率是40%好，那在这里面显然条件假设的概率是零点四，这个和和起的概率就可以推算和起概就零点九。零点儿九减去一个零点儿四就等于零点儿五是吧？这块儿就零点儿五，有时候这个零点儿四加零点儿五得到这个零点儿九，所以根据条件儿知道这个零点儿四就可以算出这个零点儿五，所以条件儿成分条件一的话，这个。是求出来的条一乙获胜好，

那么乙获胜，我们只知道乙不获胜的是60%，但是呢，那么甲胜的概率是多少你就不不知道了。好吧，所以条件一呢，其实不充分的好，这个答案选b选项看这道题是不是学会了？好，下面咱们看第八题第八这道题考点又考的取样问题。好有n名男同学m1女同学任取三名参加体能测试，则选到三名男同学既有。三名同学中，既有男同学，又有女同学，

概率是43好，那显然这两个条件要联合起来啊，因为题号一，它只给了男生有五个。不知道女生，所以条件一单独不充分，条件二只知道女生，不知道男生肯定也不充分，所以显然要联合起来分析。连写就相当于五男两女，然后要选出三人，要求男女都有，男女都有，大家可以从正面做，也可以从反面做，

如果从正面做的话，它概率p应该这样写啊。分母呢，总共是七个人，七个人选，三个人分子的话啊，那么男女都有，男女都有，有可能是一个男两个女。有可能两个男，一个女。是吧，好，如果要从反面写，应该怎么写呢？

反面写，而且有一减去。我们前面讲男女都有的，反面全都是男生。或者全都是女生这道题，它不可能全都是女生，因为总共就两个女生，她不可能选出三个女女生来，所以这样做要简单点好，最后大家化简完以后。可以得到是七分之五。所以说联合也不充分啊，联合不充分就选择e选项好，这道题主要考察取样问题取样，比如说男女都有啊，

或者说两类东西都有啊，这类的方法要知道可以从正面也可以从反面来做啊。所以大家会写它的做题的方法好，下面咱们来看一下第九题，这道题好，这道题主要考察的相邻问题。相邻十本书任意的放在书架上，其中指定啊，这有个指定指定就不要选了，只有n本书彼此相邻的概率。是十五分之一啊，这个书摆在一边，它下面盖的是十五分之一好，那么条件一我们来写写概率p。概率p就分母呢，

就是十的阶乘就十本书呢啊，你就全给它排个序就行了。好，它指定的三本儿书要相邻就ABC打个包是吧？然后给剩下其他还有七本儿书一块儿排序，好注意这个包内部的顺序啊，包内部顺序就是三的阶乘。好把这打包以后看成一个东西，听到没？把它打包以后看成一个东西，好这一个东西啊，跟七个就是把它看成八个东西一块儿排。八分之二派大概就十五分之一，所以条件一是充分的条件，如果要四个东西，

四个东西把四个东西打包，比如abcd四个东西打包，剩下还有六本儿书是吧？所以在这里面就十的阶乘好分子分子呢，就相当于是四的阶乘就四个数要打包。四的阶乘乘以乘以什么乘以这个这个打包，把它看成一个跟六本儿书呢，这两个合合在一起就七的阶阶乘。好这个呢，是不等于十五分之一的，所以条件儿呢不充分，这个答案选择a选项好看，这个题是不是学会了，是不是掌握它的做题方法，大家看是不是弄明白了，

好这个题主要考点是考的相邻相邻，打包打包以后。要注意包内部的顺序，以及把打包看成一个整体，跟其他元素一块来进行排序，这样就行了。好，那本章我们就讲解完毕，大家把做错的或者不会做的一些题啊，然后再归纳和总结一下做题的方法。好本小节我们就讲解完毕，欢迎大家继续关注我们后续的课程。

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