10-03常考古典概率（1）-分房古典概率

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:15:54

接下来咱们看一下分房的古典概率问题。分房古典概率，我们看一下分房问题。分包问题其实就相当于把。球放进箱子里面，这样的内容好吧，然后在这里面我们经常用的方法是什么方法呢？就方方法。所以他又用了两个方法，一个是方秘法，一个是分组法。一个是方秘法。一个分组法。好，这个方名法是无限制要求的时候，

无限制的时候。没有数量限制啊，就无要求啊，随便可以放好吧，它也可以是空的，随便可以放那这时候呢，都是方秘法。它没有任何限制啊，另外分组法。分子化，它有数量限制，有数量要求。好有数量要求就分组法。它有数量要求就分组法这样的特征。好，

那接下来我们来看一下，注意不能使用的是隔板法啊，就别给弄错了好吧，咱们前面讲那个错解的时候给大家强调了啊，也不能说我先选一部分，后面再选一部分放。嗯，在使用先选一部分放房间，后选一部分再放的时候注意不要放到之前选过的那个放的房间里头啊。否则容易出现重复。接下来我们看一下房间，第一个房间可以空，房间可以空，就无限制，无限制就是使用方域法，

这个要简单一点啊，这个要要简单。那这个要容易点。这要难一点。咱先做容易点的题目好吧，先做容易点题目，那么大家如果房间可空，房间可空，就房间中人数呢，没有限制，这个房间是可以空的，它没有什么限制。这个呢，要结合方密法来分析和思考。公式咱们前面讲过啊m个人去n个房间，

它有n个m次方种方法。好，这是方密法，它的这个特征。好，那接下来咱们就看一下题目，这个题。将三个人分到四间房的每间中，若每个人被分到这四间房的每间房中的概读相同。则一二三号房各有一人的概率到底是多少？好，那我们看这个题。这里由于它这个没有任何限制房间啊，人啊，都没有限制，

然后这时候就用分米法分母呢，就是写成。啊四的三次方是吧？分母减四的三次方，我们再看分子。分子分子的话。还有一二三号房，各有一个人啊，一二三号房各有一个人，比如说这是四号四个房间。四个房间，然后他说一二三各有一个人。这一号房，二号房，三号房是吧？

所以一二三它各有一个人。给我一个人，那直接让这三个人在这三个房间里排序好吧，三个人在这三个房间排序排序写三的阶层。这样就可以写出来了，好，那这样就得到三十二分之三。这个答案应该选择的是d选项，三十二分之三就求解出来了好，这是它做题方法，看是不是懂了？好，接下来咱们看一下这个题。某宾馆有六间客房，先安排四位旅游者，

每人可以进入任何一个房间，且进入各房间是等可能的。那试验指定的四个房间，各有一个人试验，恰好四个房间各一个人呢？指定的某房间有两个人。d呢，一号房有一个人，二号房有两个人e呢，就是至少有两个在同一个房间好问下列叙述错误的到底是什么？好这道题，它这个就是没有要求，所以它就产生方秘法好方秘法方秘法有时候要写成啊，这个六的四次方。对吧，

所以因为这个四个人去六个房间啊，就六的四方叫总情况数。接下来，我们一个个看啊a事件，它的概率怎么写啊？a事件，它的概率PA。对于分母呢，就是六的四次方很好写。分子是指定的四个房间，各有一个人，这个指定这个词在咱们考试里面出现了很多次，指定就相当于是不用再选了，它已经确定了东西。就这个四个房间，

就不用再挑了，它各有一个人，各有一个人的话，就写四个阶层就行了。啊，四个阶层就可以了是吧？就四个人来排序就行了。啊，四个人在这四个房间进行排序，就可以得到结果，对不对？然后PB PB呢就代表。分母还是六的四次方，它表示恰有四个房间，各有一个人，

恰有四个房间，各有一个人，这是恰有。恰有四个房间，各一个人，这时候房间它没有指定，所以要需要选对吧？因为房间也不知道是什么，所以要需要选就c六四。然后选一选c六四。然后乘以乘以这四个。人要排序啊，四个人要排序，所以前两个它的区别就在于一个是指定的四个房间，一个是没指定四个房间，

没指定四个房间，要分别去选一下。四个房间选出来就行了。好，然后咱们再看CC是指定的某房间有两个人c是指定的某房间有两个人PC。PC的话，分母还是六的四次方，这又是指定的房间有两个人。好指定方有两人，我们又从四个人里面选两人去指定房间，所以c六二这个就代表去指定房间。c六二就是相当于选两个人去指定的房间。这时候还剩下啊，两个人因为四个人嘛，四个人四个人选两房房间选两人去指定房间c12对吧？

就四个人。选了两人去指定房间，这时候还剩下两人，剩下两人在任意放的时候不要再放到那个指定房间里头去了。啊，就是避免重复吧，咱们前面讲错误方法就是，比如有同学先选几个人在房间放，剩下几个人再放。剩下人如果要能放入先前选过的那个人的房间，那这时候。它就会产重复，这时候我们就避免掉，不要再放这个房间了，所以说剩下两人只能在其余五个房间里放，

应该是五的平方。是吧，五的平方，因为剩下还有两个人，还有五间房可以放，就是五的平方，然后再看pd。pd比如说有一号房间，有一个人二号房间有两个人啊，一号房间有一个人，二号房间有两个人，那一号房间给他选一个人就是c四一一号房间，二号房间有两个人c三二。是吧，一号房间有一个人，

二号房间有两个人，这个写好了。行，那接下来我们再来看。它这个式子啊，一号房间一个人，二号房间两个人。然后剩下呢，还有一个人，还有一个人不能再放到这个一号和二号房了啊，就不能放在里头了，所以剩下还有一个人，还有四间房可以放。对吧，还有四间房可以放，

再乘以一个c4 ec 4e就代表剩下那个人，他的弦法有四种啊，这个分母还是六的四次方。咱们再看PE。pp它至少有两人在同一间房间，至少有两人在同一间房，至少有两人在同一间房，我们可以从反面做好吧，可以从反面做就一减去它的反面。理解它反面反面的话，就相当于是PB就是。每个人各一间房，大家都坐着单间是吧？就减掉PB就行了，直接可以写一减PB。

因为正面做不好做，因为至少有两个人在同间房，有可能是两个人在同间房，有可能三个人在同间房，有可能四个人在同一间房是吧，所以就一减PB就行了。点PB PB。好，这样写出来了好吧，有一减PB好，这个写好了好，那接下来那么叙述错误的就是选择c选项答案就求出来了。好，这是它做题方法，看这个题是不是懂了？

好吧，这里就考察它方密法，它的一个使用情况，看是否明白？那接下来我们看一下这个题。啊将两个红球与一个白球放到甲丙三个盒中。啊两红一个白放入甲丙三个盒子，则乙盒中至少有一个红球的概率是多少啊？乙盒中至少有个红球，它的概率。我们看它的这个方法。好，那遇到至少有一个这道题，可以从正面做，但是遇到至少有一个千万不能不能这样做，

不能说我先给这个乙盒放一个红球，剩下那红球随便放。还可以放乙盒，这样会产重复啊，刚才反复强调过。你不能那样做，这道题可以从正面做，也可以从反反面做啊，好，那我们来看一下这个甲乙丙。假品那么正面情况是什么？如果从这面做。这面就相当于一盒放一个红。和放两个宏分为两种情况，分母呢就是三的三次方。

分母就相当于三个球放三个核对吧？分母就是三个球放三个核嘛？好分子分子的话，那在这里面大家可以看到分子。分子就分为两类，一类是乙盒，有一个红球，所以c二一啊乙盒放一个红球。对吧，这是礼盒里面一个红的。剩下另外一个红球，另外红球只能放在甲丙里头。好，另外一个红球只能在甲片里头放，另外一个红球不能再放乙了，

再放乙就会产生重复了。知道吧，所以另外剩下那个红红球只能放在甲柄。然后这时候再看白球，白球的话c三一。白酒c3白酒呢？可以在甲乙丙都可以放啊，白酒就c三一就写好了。白求恩c三一最后写出来了。好看，这懂了吗？白球就c3e写好了。加上加上它这个。它这个红球，两个红球都放在乙盒就c2两封红球都放在乙盒。

然后这还有一个白酒，白酒可以在甲乙丙里面放。百约可以在甲乙丙里面放，这样就可以得到结果，这算就等于九分之五。好在正面我们再看反面。反面话就用一减去。嗯，乙没有红球的情况是吧？一减乙没有红红球。好一减去乙没有红牛分母还是三的三三次方。啊，一元一盒没有红球放，没有红球，两红球只能放在甲丙里头，

甲丙里头就二的平方。那加密点就二的平方嘛，对吧？啊乙只呃乙不能放红酒。两红球放在甲丙里头，甲丙里头就二的平方，然后再乘以。所以这个这个白球白球的话，它有三种方法。白棋的话，它可以放在甲，也可以放在乙，可以放在丙，这样的情况好吧，这样就写出来，

算出来也等于九分之五。好，这些答案都是选择d选项。啊，这是他做题的方法和思路，看是不是懂了好，这是呃，要正面就得分类分成两类做，然后反面啊，那么就减去。遇到至少有一个可以从反面来分析和思考。啊，这是他做题的方法。和思路看是不是懂了？如果这里要改一改，

大家都练习啊，改一改。改成比如说乙乙盒红白球都有啊，乙盒红白都有。一盒红球白球都有的概率。好乙盒中红球白球都有的概率到底是多少？是吧？红球白球它都要有都要有，那这是甲乙丙。那我们可以从正面分类反面不好做啊，反面反面特别不好做，反面呃，它的情况很复杂，反面是这样的，反面要么乙盒中只有红球，

没有白球。要么礼盒中。啊，然后有白球没红球或者乙和中红白都没有。因为乙盒是空的啊，这是反面好吧，所以反面这块不好做，然后这个我们从正面做。正面正面做，以正面要分类啊，要分类必须得分类，那有可能乙和是一红一白，这是一类有可能乙和是两红一白。这样的情况，大家都思考一下。

几何一红一白或者两红一白，这样的情况。好看懂了没有？然后接下来我们再来看一下它的表达式p。看表达式p啊，它p的值。p2值那分母还是三的三次方分子，如果乙和是一红一白，这个红球是不是要选一个放在乙是吧c二一？然后c1讲到这要给大家强调一下，咱们在求概率的时候默认这个球都是不同的球啊，在求概率时候要给大家进行强调一下，默认都是不同的球，比如说这两个红球，默认也是不一样的啊。

在这里，大家要注意它的方法好吧，然后默认是不同的球，所以大家呢，在这里面要注意一下它的这个特征和分析方法。方法，然后在这里面大家看一下它的这个表达式。好，那么我们来看一下，再加上。啊，这个还有一个红红球没没写完是吧？这是一红一白的情况，一红一白的情况。好，

一红一白。然后这时候呢，还有一个红球可以放在甲柄里头。加上。加上那么乙和是两红一白两红一白的话，就相当三个球都在乙里头了，三个球都要在乙里头。三个球都要在一里面，都要在一里面就一种方法是吧？所以就等于。二十七分之五，看你算的答案是不是这样的？看一下算的答案是不是这样的啊？大家看看这个结果。好，

接下来咱们看一下房间不可空的情况啊，房间不可空。房间不可控，房间不可控，然后在这里面啊，那么我们看看。啊，那需要先分堆，然后再排序啊，先分堆再排序。然后这此时呢，不能用防密法好吧，这时候注意它防线人数有限制就不可空，或者有限制。比如限制至少几个人呀，

或者至多几个人呀，他一般有限制，比如说至少。或者至多。这样情况至少或者至多，这时候它是有限制的，现在我们需要先分堆，然后再排序就行了，给它分好堆，然后再排序。这时候呢，注意不能千万不能用方蜜法做啊。好，那接下来我们来看一下这里面题目。好，

这个题它有四间房，安排六个人。试验房安排六个人，每人可以进入任何一间房。然后有个重要的要求，给大家画上重要要求，就是每个房间至少要住一个人。每个房间至少住一个人。每个房间至少住一个人，这样的特征。好，那接下来我们来看一下。好，然后这一块。abcde这五个事件，

那么它叙述错误的到底是哪个？是吧？大家思考一下好，这时候啊，如果每个房间至少住一个人，首先呢，我们要进行什么？进行分组是吧？先先无名分组再排序，这里跟咱们前面讲过，就六个志愿者去西部四所学校支教。那个题是类似的是吧？就类似的这种情况。好，那接下来我们先把六个人给大家进行分组。

啊，六个人给大家分组。先无名分组啊，我无名分组可以分成三一一一，或者说二二一一是吧？可以把它分组。分子如果要分成三一一的话，可以用简写法直接写c六三就等于20，如果分成二一的话，这两个一就可以省略。可以写c六二c四二÷2的阶乘。它可以省略，就不用再写了，如果要写c二一c1的话，再除以二的阶乘。

好吧，这样写出来就可以得到。它的这个结果等于45种。15种，然后把加在一起就是65，加在一起应该是六六六十五好，那么总共65种分类方法。啊65种，那么它的所有的排法就65×4的阶乘好吧，所以分母就是65。乘以四的阶乘，这样就写好了好吧，这个数在求概率的时候，不要先把它算出来，你算算等于一五六六零也可以是吧？

它的数就等于一五六零。啊，一五六零，然后这样这样子求概率要约分嘛，约分你就别给它算出来好吧好，这分母求出来了。然后咱们看看分子。分子a事件PA。分母就是65×4的阶乘，这样好约分知道吧？分子甲乙在同一个房间。既然在同一个房房间，那么先分组好吧，先分组分完组以后我们再排序啊。不要编写编排知道吧，

先分组。有同学说给甲乙选一个房间，选一房间，那剩下还有那么这个是四个人四个人，然后再分。啊，再分。或者说你干脆先把甲乙一块分组算了好吧，甲乙在同一个房间，甲乙同一个房间，甲乙有可能在三人间，有可能两人都在。二人间是吧？所以它分组的图，我们先画，

一定要先画图啊，甲乙如果在三人间，这还有一个人。这还有一个人，这还有一个人是吧？甲如果要在两呃两人间。这是一个。啊，这两个人一个人一个人是吧？所以在这里面我们可以看一下。好，那么甲乙如果在。三层间的话，这有c四一，这一一就写好了，

知道吧？一一就就一一，后面它分法就有一种方法啊，所以就直接写c四一就行了。加上啊，如果加。赐予一组，那这就是c四二后面这个一一就不用再写了，直接c四二。c四二所以它的分组方法就是c四一，这是c四二，我们都学会用简写法，简写法也就说这个一都不用再写了，因为要写c三一c二一c1的时候，你再除以三的阶乘也可以。

那这个要写c四二c二一c1的时候再除以二的阶乘，这也可以好吧，这样的情况。然后括号，我们再乘以。括号乘以啊，乘以那么这个值。乘以乘以的话，就相当于是c四一c四二。ccc四二乘完后，然后再排序嘛，再乘以四的阶乘。是吧，所以所以先无名分组，然后再排序，

这样的话上下好约，知道吧，这样上下这个约的时候不就方便吗？直接就可以约掉了是不是？这个约的时候就很容易约，然后答案就可以写出来啊。好，这是PA，然后再看PB PB的话，甲乙丙在同一个房间PB。并且他的图应该什么样呢？甲丙在同一个房间。甲乙丙在同一个房间，那只能是分为三人间了，然后剩下一个人，

一个人一个人。所以这样可以把它看成分成四组就甲丙一组，然后这一个人一个人一个人，这一个人一个人分组就省略了，所以它总共分为。四组只有一种方法啊，分为四组，只有一种方法，然后只有一种方法，然后它再排序。好，这样就PB就写好了，就等于六十五分之一。然后再看PC PC的话，指定的某房间有两个人，

既然这个房间指定了，就不用再选了，对吧？不用再选就PC就指定了。就不用再再选了，所以分母还是65×4的阶乘好这个房间，它指定了就不用再选了嘛。对吧，但那两人得选吧，两人选就c六二。谁掉？啊c6那么就是去那个指定的房间。这时候大家想想还剩下四间房啊，还剩下四个人，还剩下三间房。

四个人去三间房，不能写方秘法，因为他房间都不能空的，所以最后还剩下四个人，四人只能分成二一一分法，二一分法就是c三二。这个分法对吧？c三二分组的方法，所以分组方法就是c三二轴。分成方法是c12种，然后再往三个房间里放就行了，所以乘以三的阶乘。乘以三的阶乘就可以得到结果，好吧，这个得到结果就可以了，

好，这是PC它的值，我们再看pd。那pd pd 1号房间有一个人，二号房间有两个人pd就一号房间有一个人，二号房间有两个人，这样的特征。啊，一号房间有一个人，二号房间有两个人啊，这样的情况。一号房间是一个人，二号房间有两个人。那接下来我们看一下它的这个式子。好，

一号房间一个人，二号房间有两个人。那接下来我们看一下它的表达式好吧，一号房间一个人，二号房间两个人，那相当于是一号房间给他选一个人分母还是65×4的阶乘？分子呢，就是一号房间有一个人对吧？选一个人。然后二号房间有两个人c五二。好，那么这时候还剩下几个人，想想还剩下三个人吧，是不是还剩下三个人？还剩下三个人。

是不还剩下两间房呀？是吧，所以三个人给他分组分成二一，这样情况，三个人分成二二一，这样情况，三个人分成二一，就是c三二这种分法。然后再乘以二的阶乘是吧乘以啊啊这样的。从二技能就行了，好看这个懂了没有？是不是它的表表达式就求解出来了啊？所以大家要注意它的做题方法。然后接着咱们来看一下呃，下一个p至多有两个在同一个房间。

字数优点呢，在同一房间，它分组。PE大家一定要画图分母还是65×4的阶乘自由，两个在同一房间先无名分组，无名分组有六个人只能分成二二一一。这样的情况。所以说它这个就得到c六二c四二。除以二的阶乘，这是它的分组，然后再乘以四的阶乘，这就能往四个房间里放就行了是吧？往四个房间放。好，这样它错误的就选择c选项，

这个错了。啊c选项是错的好吧，所以这是他的做题的思路和方法，看这块是不是听懂了，所以这道题其实不是很难，难的点就在于大家把分组问题弄清楚。氛围问题，弄清楚以后，那这个就好做了，好吧，所以在这里面大家呢，要注意它的考试的这个要求和内容。好，那接下来咱们把这个题可以再对照一下，如果把每个房间至少住一个人，

给他去掉去掉的话，这时候相当于他房间可以空的，对吧？房间允许空。同样语与空的话，那这时候应该再用一下方幂法，所以大家对照一下方幂法好吧，所以这道题。改一改。这里如果改成。允许空。然后大家再做一下这几问好吧，如果敢敢允许空再做一下这几问都思考一下。改允许空的话，这又变成四的六次方了是吧？

四的六次方，我们一个个来看看第一个。这分母有四的六次方。对吧，好那么第一问我们看第一问它和甲乙在同一个房间，甲乙在同一个房间可以把它打个包。甲乙在同一个房间，这还有四个人。四个人，然后这时候你可以把他看成五个就加一把，他看成一个人就行了，加一把他看成一个，而且这内部不不用再排序，因为他都在一个房间。在一个房间里面，

不用再排序，然后再看它一个，再看它四个，所以总共就是五个啊，五个人去。四个房间就四的五次方就得到四分之一是吧？这个要简单是不是啊？然后咱看PB。啊PB PB是什么？PB是甲乙丙。PB，它给的是甲乙丙在同一房间。甲乙丙在同一房间，你把甲乙丙给他打包，所以画个图，

甲乙丙给他打个包，这还剩下三个人。好，甲丙给他打包，最后还剩下三个人。好，甲乙丙打包还剩下三个人。好，甲乙丙打包剩下三个人，这时候我们看他的这个方法和思路是什么啊？甲丙打包剩下三个人。好，这样的情况啊，甲丙打包甲乙丙包，这时候甲丙吧，

看到一个人，这这四个人四个人四个人去四个房间，有四的四次方。就等于十六分之一。是吧，将近15分之这样写好。好，那接下来咱们再看下一问。现在指定的房间有两个人，指定的房间有两个人，我们看指定的房间。分母还是四的六次方指定房间有两个c六二去指定的房间，对吧？指指定房间那剩下还有。几个房间呀？

是不是还有三个房间呀？那还有几个人？还有四个人对吧？就四个人可以任意去三个房间，就三的四次方。对吧，这样就写好了啊，三到四方好，这是给大家强调这个指定房间d呢，一二房有一个人，二房有两个人，我们来看d。一号房有一个人，二号房有两个人。分母还是六次方好，

一二方选一个人就c六一选一个人，二号方有两个人。好，这时候咱们看还剩下几个人，是不是还剩下三个人，还剩下三次，是不是还剩下两间房是吧？三个人两间房就可以写二的三次方。啊，这个就写好了，对吧？然后再看e至多有两个在同一个房间啊，至多有两个在同一房间，它的式子我们看e。分母还是四的六次，

方总情况数分子至多有两个在同一个房间，六个人六个人可以把它分成二二一一。二二二零这样的分法对吧啊？就是把它先无名分组嘛，分组分组以后，然后再排序，然后二一二一分就可以把它写成c六二c四二，后面一省略。然后再加上按照二二分c六二c四二c2÷3的阶乘。然后外面再往四个房间里放。乘以四的阶乘就可以了好吧，往房间放乘以四的阶乘好就可以写出来结果了好，这是它的。表达式都给大家已经写完了，好看这块啊，

这几个能不能对照出来是吧？一个是房间不能空的时候。他呢？得用这个分组方法，另外把这个房间改成允许空的时候，这几问大家呢，要会分析和思考好吧，允许空。啊，一定要会分组好吧，我们有六个人，每组至多两人可以有两种分法。分完组以后，然后再给它排个序。好，

这是分房问题，看大家是不是听懂了做题方法，看是不是明白了？

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