排列组合-基础自测题-问题求解（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:13:16

好，那我们来看一下第一题。第一题主要考点是不改变原来顺序来插入新的元素啊，注意考点。就不改变原来的顺序。然后来插入新元素。好，那这跟咱们之前学过的插空法啊，不相邻问题。插空法有着很明显的区别，好，咱们前面讲的插空法在这里面，它每个空位只能插一个元素，比如说这个几个人站好了。再好，

然后在他们空位里面啊，把甲乙丙三个人插空，那么插空的话，咱们前面讲插空法，每个空位只能插一个元素，这是跟插空法的区别。所以在这里面本题，它与插空法的区别。本题与插空法的区别好在于，那么插空法每个空位。它只能。插入一个。好每个空位，它只能插入一个元素，听到没有？

好，这给大家强调的这个特征。好，这是给大家讲的与差公法的区别，好在这里面大家可以发现这道题要增加两个教师节目，这两个教师节目可以相邻。也可以不相邻，明白吧，所以在这里面我们来看一下它的特征好，那这道题呃，一般方法的话就是分为两种情况，一种情况是两个教师节目相邻。还有两个节教师节目，不不相邻好吧，比如说原来五个学生节目abcd，

这五个学生节目排好了，那么两个教师节目。好两个教师节目，如果要相邻的话。如果像的话，把两个教师节目打包打包插入到这个五个节目之间的六个空位好吧，所以在这里面就是两个教师节目打包。然后二的阶乘把它看成一个东西，然后这有六个空位啊，这个它们啊有六个空位好六个空位，然后在这里面它呢，就选一个空位，把这个包放到里面去，这样就行了。好，

如果两个教师节目不相邻不相邻的话，直接用咱们前面讲的插空，这样的就体现体现出了插空它的特征，每个空位只能放入一个元素啊。这就c六二，然后乘以二的阶乘c六二就代表是从六个空位选两个空位，然后二的阶乘就代表是啊两个。教师在查空的时候可以排序好，这样我们就可以算算他的做题方法，加在一起就等于42这个呢，就选择a选项。答案就求解出来了好，这是呃第一个方法，但这个方法大家想想，如果要插入三个教师节目或者四个教师节目的话，

那用这种方法的话就越来越麻烦，为什么呢？如果插入三个教流节目，你要考虑这三个教流节目里面有两个是相邻的，跟另外一个不相邻或者三个呢，都相邻或者三个都不相邻。是吧，如果要插四个教学节目的话，那就更复杂，所以在这里面我们就给大家讲讲另外一个方法，另外一个方法就逐逐一插空法，这个逐一插空法跟咱们之前的插空法呢，有一定的区别啊，好，那么逐一插空法。

什么意思呢？比如说五个学生节目排好了，排好那第一个教授节目先插空那么有六个空，他可以选一个来进行插空是吧啊？比如说甲教教师，他选的是是这个空。啊，就插好了，插好第二个教师节目来进行插，比如乙教授来进行插空的时候，那在这里面它就变成七个空位了，听懂没？看这个就增加了一个空位。它变成七个空位了，所以在这里面就乘以c7。

好，然后就等于42好，如果要三个教师节目查空的话，那第三个教师节目查空的时候就有八个空。可以进行选了，明白吧，所以这个是跟咱们之前的差公法呢，不一样的地方就在于那么它的表达式啊。啊要会写就第一个教师节目时候，它有六个空，随便选一个，第二个教师节目选的时候，它有七个空，可以选一个，因为第二个教师节目跟前面那个教师节目，

它可以进行相邻。听懂没有，所以这样也能得到42它的做题的方法，看这个题是不是学会了啊？用这叫做逐一插空法，就一个人一个人插空这个逐一插空，跟咱们之前讲的插空法的区别什么？这个逐一插空法插到这个元素，有可能相邻也就说这两个教授他可以相邻，也可以不相邻，没有要求的时候可以采用逐一插空法，看这个是不是学会了？好，那么此外还有一个就是在后面咱们学习过程中强调的一个定序问题，也可以用定序问题来来进行解解决是吧？

就定序问题，定义问题，大家回想一下，咱们前面讲的例题就是。几个男生几个女生站成一排，女生要从矮到高站是吧？女生她要从矮到高站的话，这就属于一个定序问题，那这时候大家在思考的时候，我们呢，就要掌握它的方法，因为这道题。它就是原节目的顺序呢，是不变的，也可以用定序问题做定义问题，

你可以把它看成啊，总共是七个人一块排，因为五个学生，两个老师是一块排的，对吧？五个学生，两个老师是七个一块排。一块板除以五个人是。定序的啊，五个学生五个人，它是定序的，所以除以五的阶阶乘，这样就写出来，这样等于42这样一样答案就选出来就选a选项。答案就是42，

看这个题是不是学坏了，是不是掌握它的做题的方法和思路，看是不是弄明白了好这道题给大家强调的做题点，看是不是？听清楚了，所以给大家讲了三种方法好吧，这三种方法大家一定要知道，以后再遇到，比如说几个节目已经排好了，比如原来n个已经排好。n个节目已经排好了，然后再插入m个节目。再插入m个节目。好再超m个节目的话，然后这时候要保证原来这个节目的顺序呢，

不能动啊，不能动，所以你就可以采用咱们的方法来做啊，但是如果这个插入这个节目比较多的时候，第一个方法就不适合了。因为第一个方法有可能两个相邻，有可能三个相邻，有可能都不相邻，所以这个讨论起来比较麻烦，可以用第二个方法，第二个方法逐一插空法，就第一个节目插空有n。有n个n+1个空位，第二个插空时又变成n+2空位，第三个就变成n+3个空位，

所以说在这里面就逐一插空，那也可以用咱们定序问题来来写定序问题的话就是n+m的。阶乘然后除以n的阶乘是吧？就n+m的阶乘除以n的阶乘，这样就可以了啊n+m的阶乘除以n的阶乘，这样就写上答案了，看这个题是不是弄明白，是不是学会了？大家掌握它的方法没有好，下面咱们来看一下第二题这道题，这里考点主要考察就是选人啊，选人然后。派到交通岗中参加交通协管工作，则不同的选排方法到底有多少种好？那通过这道题，

大家要掌握的特征是，首先呢，选人，然后再选交通岗，选完后呢？然后呢，就是再进行排序好吧，所以考点主要考察选取。还有排序。啊，它的这个方法好，那么第一步先从七个人选五个人是吧？七个人呢？选五个人c七五啊？选五个人第二步呢？

从十个岗选五个岗。选完后，然后再进行排序，因为这五个人跟我港他们呢，互相有个轮换，有个排序，所以在这里面就d选项是正确答案好吧，这道题呢，比较简单，看是不是学会了，是不是听懂了？好，下面咱们看一下第三题，第三题注意这四张同样的票啊，所以在这里面啊，

就考察啊，这个分与元素的问题。啊，给你几个球，或者给你几个东西，然后分元素的情况，然后每人至多分一张，每人最多呢分一张，而且票呢必须要分完。不能有剩下则不同的方法，到底是是什么样的好？每人至多分一方，那应该什么情况呢？应该也就说这四张票由分给四个人。啊，

四张票。分给四个人。四张票分给四个人，所以在这里面有c五四，从五个人里面呃取四个人，这样就可以写出他的这个结果好吧，然后就是五，因为这四张票它一样，这四个人在拿的时候啊，拿的时候他没。什么区别啊，所以就选的a选项，看这道题是不是学会了啊？是不是弄明白了？好，

我讲到这注意这道题是考察相同元素，相同元素，大家注意跟咱们前面讲过的这个隔板法。啊，隔板法这个呢？要注意有区别啊，隔板法我要给大家进行分析啊，因为这个呃考试啊，它有的题长得特别像，不要弄混淆了。比如这道题，首先隔板法的话，大家注意它一定要是每人至少要分分一张啊，或者说啊，这个每人在分的时候可以允许空。

之类的啊如果要改成五个人。分。分八张票，八张相同的票。然后每人至少一张。每人至少一张，这时候就可以用隔板法啊，就c八减一五减一就等于c七四就这样写好吧，所以在这如果五人分八张相同的票。每人至少分一张就可以用隔板法来做这道题，不能用隔板法来做的原因就是每人至多一张啊，这个时候是不能用隔板法来来做的。好吧，所以在这里面大家呢，要注意格外法，

它的要求和特征。好，下面咱们来看第四题好第四这道题就考察，要么要么就是分类好吧，所以就分类，所以考点。就考察一个分类，求解好，那么学某学生要邀请十位同学中的六位要参加一项活动，从十个人选六个人参加一项活动。其中有两个同学，要么都过来，要么都不过来，共有多少种啊方法，所以两位同学都过来。

或都不过来啊，如果都过来的话，那在这里面它两个这两个人就自动就过来了，再从剩下八个人里面随便选四个人就行了。因为十个人，他去掉这两位同学以后还剩下八个人，八个人呢，咱从八个人里面再挑四个，加上这两个人就变成六个人了。好，如果这个这这两位同学都不请都不请的话，那直接从剩下八个人里面选六个人就可可以了，好吧，所以在这里面大家呢，要掌握它的做题的方法。

看这个是不是学会了好，那这个c八四大家就自己可以算算答案好吧，就八七六五。除以四的阶层就24，然后这一块儿就得到是70，然后这样就写出来了，然后c八六就等于就用c八二来算啊c八二。就是二二八，所以加在一起就98啊，所以说就70+28就得到是98，这样答案就求解出来了，好，这是给大家强调做题方法和思路，看是不是学会了，是不是明白了？

所以通过这道题，大家掌握的知识点和方法是什么呢？就是以后遇到都。去或者都不去，比如说还可以赶上几个同学去旅游啊，去旅游那么这两个同学要么都去，要么都不去是吧？跟这个做题的方法是一样的，看大家是不是学会了？好，下面咱们看第五题，第五题这道题考真题跟这个差不多啊，好有两组平行线，一组有m条，另外一组呢有n条这两组平行线呢，

是相交的，比如说这是一组平行线有m条，另外一组平行线。那有n条好吧n条问它们可以组成几个平行四边形，所以这道题也是考考察取样问题。取样问题是考察分别取样，然后从这m条里面取，从这n条里面再进行取是吧？所以在这里面啊，它一定是乘法啊，从m条里面取两条乘以从n条里面取取两条。这样就构成平行四边形了啊，从m条里面取两条。从n条里面啊，也取两条，

这样的话，它就可以构成啊，那么这么多个平行四边形就cm 2×CN二好，这样大家就选择c选项，看这道题是不是就学会了？好注意这道题，不要写加法啊，不要写选一选，不要写加法，因为加法代表分类代表完成了是吧啊，如果要完成了，那么就代表啊。啊，那么就是写加号，所以在这里面大家可以看啊，

同样这道题也不要再乘以二啊，有同学不要再乘以二说说这个两个可以交换，注意大家发现这个换完后它的平行四边形还是？这这个啊，还这因为线跟线是一样的，就不要再排序了好吧，所以这是给大家强调做题方法和思路，看看这个题是不是学会了，是不是明白了？好，这道题考察这个列举法，我们再次强调一下，列举法是考试非常重要的一种方法啊，列举法啊，那在列举法大家容易做错的同学，

就是要么多列，要么少列，那所以列举法的核心点。要找到列举的标准。好找到列举的标准，这样就可以了，找列标准往往固定一个来讨论，另外一个，比如这道题，这道题呢，你就列举x=1的时候，你看y可以取一二三。啊x=2的时候y它可以取一二是吧？x=3的时候y取一，所以在这里面大家呢就可以找到它的做题的方法。

总总共呢是六种，好在这里面就看出它的这个情况，那么考试它可以跟给这个依次表示，也可以给一个圆，听到没有？这是给了一条直线啊。好，那也可以给一个圆，比如说这个xy落在某个圆内，那么它的呃点到底有多少个也是呢？进行列举分析就可以了，所以这列举法列举法只要固定好这个标准，前面这个把它称为标准。好把这标准选好，那么列另外一个就可以得到它的答案，

看是不是学会了，是不是听懂了，好下面咱们看下这个题好，这里主要考察这个取样问题。取样这道题是已知啊，这个选法，然后让大家算有几个元素，这道题那大家可以列一个方程，假设女生有n个好吧，咱也不知道女生有几个。女女女生有个n个好，如果要女生女生是n个，那说明男生男生就是八减n个，看这个是不是学会了女生是n个男生就八减n个好，从男生中选两个人，

从男生选两个就。c8-2从女生中选一个人，然后这时候有三种选法是吧？然后这时候解一下这个n啊，如果要。不想起的话也可以验证选项去进行分析，这样也可以好吧，所以在这里面大家呢，就可以算出这个n=2或者。等等于三。等于二或者为三。啊，如果不会解验证选项，注意它这个n有两种情况啊，一个n=2，

一个n=3，都可以满足它的要求，看是不是学会了，是不是掌握了方法，所以这道题大家要会列表达式来进行求解。好，下面咱们看一下第八题，这个题第八题的话，主要考察它的一个选派问题，包含谁不包含谁啊，它的选选取或者分组问题考点。考点就选取或者分组，某性小组有四名男生啊，五名女女生。啊，

四名男生，五名女生。好，然后呢？从中选派五呃，从中选五个人，总共是九个人，从中选五个人参加活动，要求必须有两名男生，三名女女生，而且女生甲必须要包含在内。女生甲包含在内，好注意，如果某个指名道姓的人包含在内，这个人就不用再选了，

所以在这里面好，我们来看m它的这个方法，数m方法数啊，这个女生已经在内了，然后两男。男生要选是吧？所以在这两个男生就从四个男生里面挑两个男生看这个是不是学会了？总共是四名男生，四名男生从四名男生里面挑两名男生就c12看这个是不是写好了c12？然后乘以乘以，然后再选三名女生，三名女生的话，女生甲已经包括了，最后还剩下四名女生，四名女生再选两个女生就行了。

是吧，这时候五个人就够了，所以得到36种，看这个是不是学会了，是不是弄明白了？好吧好，这是第一个。好，第二个从中选派五个人参加一次活动，唉，要求有女生，且人数必须少于男生，那么问有多少种方法，这时候就要分类啊，就女生必须得有，

而且呢，女生呢，必须少于男生。好，那它的分类分类的话就有可能是一个女生，四个男生是不是这样的？就一个女生，四个男生。可以吧，所以这个就一个女生，有四个男生，因为总共是要选五个人嘛，好或者说什么呢，就是有两个女生。三个男生这样也行是吧？

就选两个女生，三个男生，这时候女生也比男生要少，对吧啊？所以在这里面我们就可以写出这个五，加上这个40就得到45。看这个是否学会了好，那这是给大家强调的这个特征好，下面咱们看一下第三个分成三组，每组有三人，咱们咱们讲过等数量分组等数量分组要除以这个。阶乘是吧？就c九三c六三c三三÷3的阶阶乘，这样算就等于280好，这是给大家强调的做题方法好，

那通过这个我们看一下d选项是正确的。啊，其他选项a选项m=32，这个错了b选项n=48也错了c选项k=180，这个也错了d选项m+n=81。这个是对的好吧e选项也错了好，这道题主要考点就考察在选元素的时候包含谁不包含谁要弄清楚，此外在出现分组的时候，如果出现等数量分组一定要除以阶乘消序这个支点。如果前面没听过同学，一定要把前面的课补一补，补完知识点再听这个习题的讲解啊。好，第九题这个题用零一二三四这五个数的组成，没有重复数的四位数，

那么在这些四位数中偶数共有多少个？偶数好在这里面，我们来看一下它的考点，主要考察数字问题。考察数字问题，用一二三四零一二三这五个数字没有从数数字的四位数好，我们画一下它的这个情况好个十百千好，那么偶。偶数的话，大家注意，偶数的话，个位是零二四对吧？偶数就个位呢是零二四啊，那有同学说个位呢，就从零二四三个里面挑一个，

有同学就写c三一就放在个位。如果c三一放在个位的话，那在这里面注意十位百位和千位千位，这个就不好选了，所以。遇到偶数的话，它一定要分为分，为什么分为个位？个位为零和不为零两类是吧？分的个位为零和不为零，这两类好，如果个位要为零的话，那么剩下十位百位千位都可以随便选从剩下。四个数里面选三个数，再排序，

我再次给大家强调一下，在写数字问题的时候，有两种思路啊，都可以，第一种思路呢，把所有的数字选好，你需要十位百位千位需要三个数字，先把三个数字选好。选好后，这三个数再排序，或者说你一个数一个数去写也行，那么千位是c四一十位c三一百位c二一，那这样也可以这样写好吧，就千位百位十位那么这样写，这两个写法都行啊。

就看个人的喜好好吧，然后如果个位要不为零，各位只能是24去选一个，听懂没有，各位就是24选一个好，24选一个放在个位，这时候千位紧接着看千位，千位它不能为零。对不对？既然它不能为零的话，它只能从啊去掉个位选的，比如说个位如果选的是二啊，选的是2000位，只能是一三四来挑一个是吧？千位是c三一，

那么十位百位c三一。十位的c。二一是吧，这样就写出来了，好把它加在一起上面，这算的就24加上，然后这个就是三三十六得到就60个，这个呢，就选择c选项，看这个题是不是学会了，是不是弄明白了啊？这个呢，就选择c选项，看这个题是不是听懂了啊，所以通过这道题，

大家要掌握的做题方法和思路是什么呢？它要分为个位为零和个位不为零，那么这两种情况来进行思考，看这个是不是学会了，是不是弄清楚了？好，这是给大家强调的做题的方法和思路，看是不是听懂了？好，那大家就分为这两种情况啊，有偶数就分类，如果要奇数的话，就不用分类啊，如果改成奇数奇数的话。就是一三。

听懂了没？放在个位，为什么基数不用分类呢？因为基数它不涉及到个位放不放零的问题好吧，所以在这里面基数呢？记住就不用分类，偶数的话比较难，一定要分为个位为零和个位不为零来进行讨论。分析啊好，下面咱们看第十题，这个题目这个题目就五种不同的商品在货架上摆成一排，请AB必须要连在一起CD不能连连在一起。这里考点主要考察相邻和不相邻问题。啊，相邻和不相邻好AB两种必须要排在一起，

就是AB呢，它打个包是吧？打个包，然后这时候除了CD之外，还有个e是吧，就把它看成abcde，假如五种商品。无商品化，那么我们讲了，如果遇到相邻和不相邻同时出现的时候，一定要先打包，先考虑相对问题，最后再将不相邻的两个元素插空，好吧？所以说在这里面二的阶层就代表AB打包，

这就代表AB。打包，然后再乘以二的阶乘代表什么意思呢？就这个包跟这个e两个可以进行排序是吧？好，就这个包。跟着e可以左右两个进行排序，排完后那这地方它有三个空，大家可以看出来是吧？只有三空一个空，两空三空好，这有三空，所以在这里面这三空从这三空里面挑两空。啊，从三个空挑两个空好三个空挑两个空，

然后呢，把CD往里面放，这样就行了，乘以二的阶乘。好吧，这样就写出来了，看这个是不是学会了啊？是不是掌握它的做题的方法，所以这道题正确答案就选择a选项，答案就求解出来了，好通过这道题，大家要掌握到知识点，如果遇到相邻和不相邻同时出现的时候。一定要注意先后顺序，总之就是不相邻元素一定是最后的收尾啊，

最后收尾，最后再放，这是给大家强调的考试要点。和方法好，下面咱们看下第11题这个题。好，这个题呢，主要考点是考察排队问题啊，排队问题，而且它要排在一起就考察相邻。所以考察这个排队排队的话，又考察相邻它的这个情况好，六个人站成一排正好，其中甲乙丙三人要站在一起，要挨在一块儿，

要求要求乙丙分别站甲的两边。好吧，甲两边好也相当于甲要站中间啊，就甲要站中间乙丙呢，要站它两边，因为三个人要挨在一起，所以三个人打个包打包，这时候还剩下另外三个人，因为总共不是六个人吗？六个人去掉甲丙之外还剩下ABC。啊啊，去掉甲乙丙之外，还剩下ABC这样的情况好，那在这里面就是乙甲丙在这里面注意甲呢，必须要在中间甲，

在中间的话，乙丙可以交换，就二者阶层是不是这样的？所以说乙丙这两个它可以交换乙丙，它交换就是二的阶乘这个写好了写好，然后这个包就打好了，把这个包打好以后，然后呢，把这个包看成一个跟ABC三个加在一起就是四的。阶乘好吧，所以在这里面就二×24就得到48，然后这样就写好了，看这个是不是学会了好吧，所以这个二×24得到48。这道题啊，

这些呢，就选择e选项答案就求解出来了，好，这是给大家强调的做题方法和思路，在这里面大家看是不是听懂了啊，所以说谁挨在一起谁不挨，挨在一起相邻和不相邻。那这一块儿大家呢？要掌握它的特征和内容，看这一块儿是不是学会了？是不是掌握它的方法了？好吧，这是第11题，给大家强调的做题的方法和思路，看是否明白了？

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