9-03八大应用技能（3）-数字问题、配对问题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:11:48

接下来我们再看一下数字问题。好数字问题是什么呢？我们来看一下数字问题的话，它可以啊，组成什么数列啊？组成整除啊奇数偶数啊，就这类情况，遇到数字问题。先画的数位图，比如个位，十位，百位，然后再根据题目要求，然后选取数字来填充各个位置就行了。对数的长期要求有什么奇数？

偶数那奇数的话，就看个位奇数，偶数主要看个位。然后再看整除，比如说组成被二整除，被三整除，被五整除，被九整除，这个我们在学第一章的时候讲过，整除的一些特征，要把它掌握住，另外还要构成数列。比如组成几个等差数列，或组成几个等比数列，这样的数列情况大家要知道，

要会分析。好，接着我们来看一下里面的考试方向啊，选一些比较有代表性的题给大家讲讲，首先咱们看一下奇数偶数的问题。它可以排列组的定义啊，然后来进行计算，这样就行了啊，奇数和偶数这样的特征，我们要学会好吧，然后按照这个定义来分析。好，我们来看一下这个题，好由零一二三呢，我可以组成几个没有从数字五位奇数。

注意奇数呢，要简单，如果这个时候改成偶数，要稍微难一点，这个我们在前面给大家介绍过啊，好，那么组成奇。奇数奇数啊，五位奇数是吧？五位奇数。那我们就来画一下好，这是个位个十百千万。好，这样的情况，中间呢就是。

不用写了。好，那我们来看一下，这时候个位大家可以发现只能是一三五，对吧？个位就一三五选一个c三一就放在个位。好个位呢，它有一三五看这个明白没有啊？个位就选一三五。好，各位选好了，选好，然后接着看最高位。最高位最高位的话，那么就是不能取零啊，

不能取零，剩下是不一二三四五五个数五个数，但是。各位选走一个。是否安装了四个，所以外面就四四个。然后剩下这个千位啊，总共呢是六个数对吧？零到五总共是六个数，六个数，各位选走了一个。万位选走一个，这时候还剩下四个数。然后百位还剩下三个数十位还剩下两个数，然后这样乘在一起就可以得到它的结果好吧，

然后这个很好算这个是。16然后呢？再乘以。十六四四十六对吧？16然后呢？再乘以这个值这个值呢？就是六×3啊，就是18或者说或者说12。这个是12，这个十二十二乘以十二十二平方。12平方幺四四幺四四×2就得到二八八是吧？所以这样算也可以。就等于二八八。好，这样就求解出来这个呢，

就选择d选项好看这个题是否明白了，如果这条改成偶数啊。改成偶数有多少个？五位偶数有多少？五位偶数一定要分情况讨论，分零在个位的偶数。和二四在各位的偶数，我就多讲一点啊，如果要改成这个偶数。改成偶数的话，那么就零二四是不是在个位啊？零二四在个位，这时候个位呢？你不能够写一个？c三一有同学说这个个位不有零二四选一个放在个位吗？

选一个放在个位，这样就不行，因为个位有可能选到零。这时候，百位它的选择的方式就多了多了，如果各位没有选中零的时候。这个最高位，它选择的余地就会少一点，所以说它两者互相在干扰我们讲互相干扰的时候就得分类。啊，就得分类，所以就可以分为个位。为零和二四这样的偶数好，如果个位为零的时候，那这时候呢？

零已经放在个位了，对不对？好零它已经放在个位。啊零放在个位，这时候呢，最高位我们就可以从一二三四五随便挑一个，所以它就c五一。然后这个十位百位千位就分别c四一c三一c二一，然后这样就可以写出来，就等于120个。好，120个好，我们再看，如果24要放在个位，24要放在个位c二一，

听懂没有就24选一个放在个位。就c二一啊c二一就放在个位就行了，好24放在个位，以后这时候呢，我们来看一下，最高为万位万位。它不能取零，而且一二三四五这个是个这个。个位选走一个了，所以它只能是c四一是吧？这个是个位，这个是万位，然后的话接着我们来写千位，千位是不是还是c四一？是吧，

千位，然后百位c三一。十位c二一。啊，这样一样可以得到这个结果，好吧，这个得到十六十六，然后呢啊，这个呢，就是六九六九六，然后乘以二。啊，192。然后把它加在一共。然后这个是300。

这个是二啊12是吧？就在这里面312个。好共312个好，这是它的这个特征。好看，这块是不是明白了？是不是学会了啊？所以我再说一下，如果要问偶数的话，一定要分个位为零。和不为零，然后这样两种情况来进行分析，听到没？各为零的时候，这时候呢，

百位。啊呃，万位它可以c五一是吧c五一，然后呢？就从这一二三四五随便取一个，然后这个就c四一这个c三一这个c二一。看这块是不是学会了？好，那这个大家呢？就可以掌握它的这个特特征。好吧，看看这一块大家呢？要掌握它的这个方法啊，好那么通过这些题，我们呢要给大家讲了一个注意的问题是什么问题呢？

大家在做的时候不要认为奇数和偶数呢？它是一样多，有同学说奇数偶数一样多，然后呢啊，就两个呢，算出总的这个五位数除以二就行了，那这个是错的。啊，这个错了，大家可以发现这个呃奇数偶数它不一样多，前面好像也给大家介绍过为什么奇数偶数它不一样多呢？什么时候它一样呢？有同学说奇数偶数，它不是呃激励对等的嘛，它不是激励对等的啊，

不是激励对等的，就像咱们这个全世界这个男男生和女生，她的数量也不是绝对对等，它只不过。接近一半是吧？男生女生接近一半，那其实大家可以发现男生呢？要多一点是不是？所以在这里面，它就都接近于一半，但是它不是完全相等的啊。原因是什么？给大家强调原因的话，因为这个个为零和个为其他值对这个万位，它的影响程度呢，

是不一样的。啊，不一样的，所以在这里面大家呢，就会看出这个偶偶数比奇数要多一点，什么时候？什么时候一样多呢？就它数字是连续的，比如说啊，比如说这个啊，一到100啊，这个100个数。啊100中间呢啊，数字可以重复用，你明白吧，

比如说33，66这两个数都可以重复用，重复用它的数字连连续的那一到100。这100个整数里面有50个奇数，有50个偶数，它是呃，这个是一样的，正好奇偶奇偶它正好呃，一个挨一个一个挨一个。但在咱们这个组成没有重复数字数的时候，它这个几率就会发生变化，好吧，这是给大家进行解释它的原理。下面咱们来看一下这个题，这个题大家就会了好吧，

其中偶数共有多少个？除了按照刚咱们讲过的这个分类讨论之外，那么还有一个方法，还有一个方法，还有一个方法，我们再训练一下减法，刚才有同学在说做这个题的时候，有同学说了能不能用，刚才老师讲的所有的数减掉零在最。最高位的可以的可以的，所以说这道题我就不用刚才讲的方法去演示，因为这个方法已经给大家讲讲过好吧，然后在这里面我们呢，就重新给大家进行说一下它的这个特征。啊，

重新给大家进行进行写写写一写啊好，那在这里面我们来看一下它，它用另外一个方法，就所有的三位偶数。所有的偶数减去甲的。三位偶数。就等于真的三位偶数。啊真三位偶数。好，真的三位偶数，所有三位偶数，所有三位偶数，这时候呢，最高位为不为零无所谓，这时候呢，

我们就可以看出这个个位，你就可以怎么写呢？个位就零二四，你就可以写一个c三一。对吧，这是选择零也好选择，其他也好，这个没事，然后这个总共是零二三四五这五个数，我是各位选走一个，是不是还剩下四个？还剩下四个，四个再选两个，管它选中零没选中零呢，然后呢就放在呃这个百位。

十位是吧c四二×2的阶乘好，这是所有的三位数，当然c四二×2的阶乘有同学问能不能写成c四一×c三一行一样的？啊一样的，然后减去甲的偶数甲的偶数是什么意思呢？甲偶数最高位为零的偶数有多少个？最高位为零的偶数有多少个？那个位只能是二跟四是吧？c二一这是个位啊？这前面也给大家写一下这个笔记，写一下c3就是个位，后面这个就代表十位和百位。十位和百位，这个个位就c二一好吧，因为它百位为零了好，

那个位就是二跟四二跟四的话就c二一，然后乘以什么呢？我们再看一下乘以一个。啊乘一个这个就剩中间这个数了，对不对？中间这个数那中间这个数呃，因为这个五个数五个数零用过了，在百位用过了。个位选了一个数，用过了那么这个十位还剩下c三一。好，那在这里面，我们就可以写出它的这个结果了，好吧，这是36。

减到六就等于30个好看，这一块是不是学会了啊？这样呢，就选择b选项好，这是给大家强调。强调的做题点啊，可以用所有的这样的数减掉假的，这样的数就等于真的这样的数。接下来我们来看一下这个整除的问题，整整除问题好，那整除问题主要是啊，按照它的特征来进行分析就可以了。好吧，按它数字的特征，然后呢，

结合公式来进行求解好，这就整除好，我们来看一下，用零二三四五五个数字组成，没有重数的三位数。请能被五整除有多少个好被五整除的话，大家知道个位就是为零或者五。好个位就零或者五，那如果从正面的话就分类好吧，分类分类的话，第一种情况分类个位呢就是零和个位为五。好个位，如果放零的话，那么二三四五直接再从四个取两个放在十位和百位，这样就写出来了。

好吧，这就写好了，如果个要为五的时候个要为五的时候，这个最高位就得单独写了个要为五最高位只能从二三四选一个就百位只能从二三四选选一个。啊，百位就从二三四选一个作为百位。啊，百位就写好了，百位写好了，接下来我们再看十位还是c三一是吧？十位，然后这样话得到九。所以加在一起就可以得到，就是21种，所以共21个，

所以答案选a选项。好，那当然有同学说我能不能用另外一个方法用所有的呃，能被五整除的三位数减去甲的一样好吧，一样，那我们说一下。所有的能被无整除数就c二一就各位这时候不用讨论是零还是五了啊，跟刚才咱们上一个方法一样，我们再写一遍，让大家再练习一遍啊。就零跟五它选一个放在个位，选一个放在个位的话，在这里面我们呢就可以看出c二一这个位就写好了c二一。然后我们再看一下这个最高位啊，这个个位咱们写好以后那最高位的话，

这时候呢，我们看这五个数五个数选掉一个，选掉一个还是四个是吧？四个字的最高位和百位和十位，这样可以一块选，然后再排好，这是所有的。然后减去减去最高位为零的甲的，这个五位数呃能被五整除数啊，最高为零。它能被五整除数最高位为零，而且能被五整除数就是零放在最高位，五放在个位，而且中间这个数的话。五个数，

五个数，它去掉两个数零跟五去掉，还剩下三个数。啊十位还剩下三个数好，那这个我们算算它的这个结果好吧，然后这个得到24-3也等于21个正确答案，也是选择a一样的好吧，另外一个解法也是可以的。好看这些数字问题是否学会了，是否明白了？下面我们再看一下这个题，好这个题，它用零二三四五五个数字组成，没有重数的三位数。它组成没有重复数的三位数，

请问能被三整除的好，被三整除的这个特征的话，它相当于是什么情况要数以和是三的倍数？是吧，就素未合。啊数与和，正好为三的倍数，这样就写好了数与和是三的倍数。好，那接下来我们来看一下，这时候这道题的话，我们看三个数之和为三的倍数，先看有几种情况好吧，就零二三。四五零二三四五好，

那么在这里我们看它三个数加在一起。是三的倍数。加在一起三的倍数可以零二四是吧？零二四。啊零二四。然后呢？呃呃，零二四加在一起，它正好六嘛，就能被三整除嘛，是不还有二三四是不是也行啊？好，二二三四这样也可以，是不这样的好，还有三四五是不也行？

啊三四五是不是这样的情况？三四五还有一个零四五是吧？啊一个零四五。啊零四五这样也是可以的。好，这是它的这个列举出来的，它的特征啊，就零二四啊，零四五这是含零的。然后呢？就二三四二三四，然后呢？还有三四五。是吧，这是得到它的这个一些数，

把这数呢就给写出来了，写出来我们看一下零二四能组成多少个三位数？零二四的话，那这个零肯定不能放在最高位是吧？所以百位呢？只能是c二一对吧？就是百位百位c二一。十一点一就是百位了，好剩下两个数就放在个位和十位，这里得到四个，得到四个，然后二三四的话，它的组成三位数的话，就三的阶乘组。是吧，

就三件就六个好，接下来这两个跟上面就一样了，好吧一样了啊，所以在这里面得到的这个跟他得到的结果呢，就是一模一样的啊，一模一样好，这个三四五。也是三的阶层，也为六零四五跟零二四一样，它也是四个也是，所以总共呢是20个。那总共呢是20个，这样写好了，好这样答就选择a选项好看，这个题是不明白了，

是不学会了？下面我们来学习配对问题好，我们来看什么是配对问题？好配对问题，它题目特征是什么？我们来看一下。它题目特征配套本呢，主要以鞋子或手套作为命题对象，核心主要在于成双和不成双。啊，这是它的考试的核心点，比如说取几双鞋或者呃几双手套啊，里面到底成双的情况和不成双的情况。大家呢，看它的思路好，

对于成双问题很容易思考，直接选取整双就可以了啊，直接选取整双，看看它有两双还是三双，那么直接选双。如果对不成双问题，一定要分两步，不要一步完成，一步完成的话都会出问题啊，一定要分两步。好，那第一步呢？大家呢？要先取双。先取小双，

好取小双，然后再从每双中取左右单支就可以了啊。好，那这个表达什么含义？我们通过题目给大家进行讲解，然后再总结公式就可以了。接着我们来看一下这个题目。好，那对于乘双问题很容易思考啊，直接取整双，这样就达到要求了，比如说n双，如果选出k双。直接写CN k就可以了，它一步就完成了啊，

比如说我现在有五双，那么从里面取三双，直接写c五三。就完成了对于不成双问题，一定要分为两步，分为两步好，那第一步我们先要取双，然后呢，再从每双中取左右单支就可以了啊。再从每双，然后取左右单支。好，它是分两步来完成好，比如说啊n双如果选出k值不成双的，那么第一步要先选出k双。

选出k双，选出k双，然后每双呢各取一支，比如说先选k双就CN k。啊选出k双sink好，然后每双呢各取一支，比如说现在有k双嘛k双，然后。第一双取一支，第二双取一支，第三双取一支，每双都取一支，所以等于CN k×1个二的。k次方啊，这样的情况。

好，那接下来我们来给大家进行。通过这个题目来讲解。好十双不同的鞋，从中任意取四只。任意取出四只，好则那么这三问我们来看一下第一问啊，四只鞋恰为两双。啊，正好能配成两双，那么这是最简单的，一问好要配成两双的话，那么直接，我们从这个里头给取就行了啊。啊，

直接取，比如说从十双里面。直接取两双就可以得到它的结果。好，这是配双问题，直接从十双里面取两双好，十双里面取两双在这里面，我们可以看出它就得到45。这个呢，就选择。d选项好，这是得到这个特征直接呢，从里面选双。好，这是选好了。

剩下的就完，完事就不用再挑了啊。好，第二问，市直企业没有成双，市直企业如果没有成双，意味着什么？所以说我要把这个公式给大家解释一下。47页没有成双，它必须。要分两步完成好，比如说那么这有十双鞋啊a这双鞋有左脚右脚al。AR是吧？这是a然后b这双鞋啊，有BL br。

好c这双鞋啊，有cl cr点点点。好，那接下来我们看四只鞋没有成双。四只鞋要没有成双的话，在这里面必须四只鞋要来源于四双，比如再写一个d。d ldr好，比如说视线没有成双，我给大家进行写一种表达式，大家明白了，比如说有可能a这双鞋左脚b这双鞋左脚c这双鞋右脚d这双鞋右脚。这是其中一种情况，市直企业没有成双的特征。这是其中一种情况，

好在这里面大家可以看出。我们这四只鞋是不是来源于四双，所以第一步要写出c14啊，这叫来源于四双。z14好又写好了来源四双以后，然后每一双呢，要取左脚右脚，因为a这一双鞋可以用左脚跟其他。鞋来搭配也可以用右脚来搭搭配，所以它有两种情况。然后b这双鞋可以用左脚，也可以用右脚来搭配c这双鞋，也可以用左脚，右脚搭配d这双鞋，也可以用左脚，

右脚来搭配。所以这样就可以写出啊，就得到三三六零好，这是给大家讲的这个公式，把这个公式给大家记住就行了。然后第三问40鞋恰有一双啊，第三问就相当于前两问。合在一起，合在一起就相当于四只鞋，有两只成双，另外两只呢不成双，这是它的特征好吧，就四只鞋，有两只成双，有两只呢不成双。

好在这里面我们来看一下它的情况，有两只成双，直接选一双就行了好吧，所以在这里面直接就成双的。直接选一双，然后如果没有成双的，没有成双，剩下两只没成双，剩下两只没成双，我们怎么思考呢？好，然后从剩下九双里面选两双。然后每双有左脚，右脚，左右脚c二一c二一，

然后这样我们就可以写出来的，结果就等于幺四四零。然后这个呢，就选择a选项。好，这是给大家强调的特征和方法，看这一块是不是学会了？好在这里面大家呢，要掌握的思路就是很简单，不管是鞋子还是手套，如果直接配双，那么就直接选双就行了。如果它里面没有成双成单只的，没有配成双，这时候你先选双，

然后从左脚右脚分别再挑一个就行了，所以它取样要分为两个。两次完成啊，一次很难取出你想要的，这个没有成双的情况好，这是做的这个方法啊，其他同学可能还有其他方法，其他方法啊。啊，你可以算啊，答案是不对的，你算的可能多了，因为重复了，所以有同学说我，我把这个十双鞋看成20只，

20只呢，我先选一只。然后剩下去掉跟它配对的那一只，还有18只，再选一个是吧，这样的话就会出现重复，因为前后呃多次取样就会产生顺向重复这里。错误，我们反复强调了很多次，大家不要犯这样的错误，直接记这样的思路就可以了。

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