9-03八大应用技能（1）-排座位技能

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:11:23

下面我们来看一下。八大应用技能。这个应用技能我们前面讲了，它要综合用各种复杂的方法来解决一些难的一些题目。好，我们来看一下这些技能。好，第一个就是排座位技能。排座位技能就排队。排队的话，它可以分为单排，就几个人站成一排。啊，站在一排里面又会出现什么相邻呀？不相邻呀？

啊，站在中间啊两端，那还会出现排多排，比如站成两排或者三排。还会出现一些环牌，比如站成一圈这种环牌。下面我们来看一下排座位，它的方法，一个是位置分析法，一个元素分析法，好这个位置分析法是什么，就从每个位置。来看那比如说咱们有五个座位啊，有五个座位，然后把它画出五个方格，

从位置看。比如说如果左边这个位置来选的时候可以看选谁，比如说他说第一个位置不能占男生，假如啊，第一个位置不能占男生，那这个位置只能选女生，那就从位置来进行分析。是吧，然后第二个就是元素来分析，元素来分析什么意思呢？比如说呃，甲乙丙这几个人。甲乙丙呢？他不想站在两端，不想站在两端的话，

我们只能从中间来给他选位置是吧？比如甲，他说他不站在两端。那这个甲从中间来选啊，这叫做元素分析法，所以它是解决问题最常用，也是最基本的两个方法，当然在。做一个题的时候，这两个方法可以同时用，因为有时候位置有要求，你要从位置来分析，比如说位置说这地方不能放男生，那这个位置分析有时候呢，他说这个甲这个人他不想站在哪要从。

人的角度从元素的角度来进行分析，好吧，这是它的这个特征。好，第二个我们来看一下排座位，它的难点什么难点啊，如果要以元素分析为主，就以人。啊，以人为本，以人为中心的话，需要先安排特殊元素，比如说甲甲，他说不站在两端，那这甲比较特殊。

把特殊元素安排好以后，那么其他没有要求的元素呢？再随便排，所以在处理其他元素好，若以位置分析为主。比如说我们看从座位的角度。作为角度，需要排特殊位置要求，比如说这个座位呢，他说他不能够坐男生，那只能给他选女生先处理特殊位置要求，然后再处理其他位置。如果多个约束条件啊，有时候多个约束条件，多个约束条件尤其难一点的话，

位置又有要求，然后人又有要求。往往是考了一个约束条件，同时还要兼顾其他条件，就相当这个呃多个约束条件要分为主次。分为主次，听到没？它肯定有主有次啊，谁是主条件先考主条件主条件，然后再兼顾其他次要条件，这样就行了啊。好，接下来我们就来看具体考方向，考方向我们先从简单的入手单排问题，单排就多人排成。

一排啊，往往涉及到排头排尾两端啊，中间有时候还涉及到相邻和不相邻，因为相邻和不相邻，咱们在前面学的时候给大家已经介绍过，所以这里面就不再着重强调了啊。如果出现他站队的是谁跟谁相邻，谁跟谁不相邻，大家用前面讲的方法做好这道题，我们看例一这个题，五个人排成一排。请甲不再排头，乙不再排尾。那不同的排法到底是多少种？好在这里面我们看一下这个。

人有要求对吧？位置也有要求，头跟尾位置也有要求，那么你就呃把一边看成头，一边看成尾，这样就可以了，好，我们画一下它的这个图啊。图，这是五个人。它排成一排。五个人排一排，假如这边是头，然后这边是尾。啊，

这是头，这个是尾。然后在这里面甲不能够在这个位置，乙不能在这个位置好，我们来看一下啊，有同学呢，他这样写的，为什么错，他说甲不在头，那甲从这四个位置选一个。c四一是吧？这个是没问题的啊，甲不能再投，那就从人的角角度。甲只能从四个位置选一个，

四选一就c四一，然后乙它不在尾，乙不在尾的话，那么乙也从这四个位置选一个，这四个位置挑一个。挑一个，然后四个位挑一个，然后他再说其他三个人呢啊，没有要求，因为五个人排好了，甲乙还有三个人没有要求，就乘以三的阶乘。然后在这里面大家发现错音在哪没有甲乙，它互相干扰。甲与它互相干扰，

为什么互相干扰呢？我给你举个事例，我们就写其中一种展现形式啊，我们在学排组的第一次课给大家讲过。做排组合题，它有无数多种，你要一定要写其中一种的展现形式，比如说。甲要排在尾部，这时候乙是有四种方法，你可以写一个c四一，这个没问题。但是如果甲要排在不在尾部，排在中间的任何一个位置，比如说甲在这。

甲在这时候，大家可以发现，这个乙就不是c四一了，发现没有乙，他只能是在这几个位置里面来来进行挑了啊，所以在这里面他呢，就不能随随便写。乙只能在这在这在这是吧？乙只能变成c三一了，那什么叫做互相干扰我们？进一步的来强调就是前面人，他的选法会影响后面这个选法的调整。调整啊，什么时候叫不影响，比如说无论甲站在哪，

乙都是雷打不动的四种方法，这叫做你可以写这样表达式，没任何问题。但是大家可以发现，如果甲他要站在不同的位置，甲站在不同位置的话，那这个乙一会是四种方法，一会是三种方法，那它发生了变化，那这时候。就这样写就会出错好吧，这是给大家强调的，这为什么不能这样写这样写呢？就会出现错误。好，

接下来我们来看一下这个题，正确需要正确需要就要分类，我们讲了互相干扰，或者说你拿不定主意的时候无法确定的时候就分类，一定要想到分类啊。就在你走投无路的时候，一定要想到分类这样一个锦囊，可以在关键时候啊来救你。所以这个分类不会做，就分类明白吧，所以排列组合呃，很多同学他问问题的时候，他说这道题不会做，我就说你就你就坐在那分类吧。啊，

分好了一类的给我写，哎，发现就会了是吧？所以对于排除比较薄弱的同学啊，你就按照老师讲的这个建议啊，不会做题就分类一直分到。你会为止好吧，这个总是能写出来的，好接着我们看甲，这时候分类，你就选一个标准你甲或者乙乙其中一个做分类标准就够了啊。好甲。剪了位置，要么就在尾部。甲在尾部，

甲在尾部时候，那甲的位置就固定了，就不用动了好吧，那甲这个人也不用选了，位置也定了，甲就在尾部。然后这个时候我们再看一下乙乙的话，是有c4一种选法，这是乙乘以三的阶层，三的阶层就代表是其他人的选法啊，三的阶层就其他人。随便排，剩下还有三个位置，还有三个人随便排序，那么三个排序就写三个阶层，

如果要不在位。甲如果不在位，甲不在位，是不是甲在中间呀？甲在中间，甲在中间的话，那么这三个位置选选一个。夹在这中间，中间的话，那这三个位置挑一个，这样就可以了。夹在中间好这三个位置，挑挑一个。这个这时候我们再看乙，这是甲的选法啊，

再看乙乙的话。甲挑好了，乙又不能在尾部，所以乙呢也是c3e啊，乙选好了也是c3e。然后这时候还剩下三个人，还剩下三个位置，随便排啊，随便排，然后这样我们就可以得到它的这个结果好吧，然后在这里面答案呢，就可以写出来。这样呢，这个等于一个，这个是三三得九九乘以六五十四五十四把它加在一起就可以得到它的这个答案。

啊，共两加一起就78种。选择c选项。啊，选择c选项，那这道题还有一类大家容易犯的错误，也有同学问啊，也有同学问我把那个同学问的问题给大家进行说一说，他说老师啊，我想从反面做。那我就问他呀，我说你的反面是什么呀？咱们来听课，同学是不是也有同学想从反面做啊？他的那我问他反面是什么？

他就说。它的反面是甲在排头，且乙在排尾。甲在排头，且乙在排尾，那这个错了，那错了，大家发现原来这个题问的什么甲不在排头，这个逗号就代表且啊。就相当于是p且q它的反面应该变成非p。或者非q是不是这样的？它的反面就非p或者非q，所以这个且它应该变成或呀，是不是它怎么？嗯，

你这个所以说这道题的反面各位同学明白，它的反面应该是甲在排头或者乙在排尾。甲在排头或者乙在排尾，所以这道题它反面应该是这样的是吧？所以大家呢，不要给理解错了。好，这是给大家强调的这个特征。好，围绕这道题的话，我就可以给大家把这个方法给大家再扩展和总结一下，大家呢，好好记记笔记，再扩展一下。啊，

比如这道题，刚才咱们做的是甲不在排头，且乙不在排尾。如果把它改成扩展第一问甲不再排头。或者已不再排尾。好，这类情况大家看怎么思考啊？刚才咱们这道题原来这个题是且啊，原来这道题是且现在要改成或。看是什么情况？然后第二个甲在排头。且已在排尾。第三个就是它甲在排头。或者已在排位。好，

第三个就是甲在排头或者乙在排尾好，那我们一个个看看啊，第一个甲不在排头或者乙不在排尾，那么它应该怎么写？甲不再排头，或者乙不再排尾，这时候呢，我们就可以从反面做了好吧，所以这个我就给大家已经写了，用反面法做。好用反面法，求解就行了，好那么反面法的话，它的思路是什么样子呢？我们来看，

给大家介绍一下它的反面法。好，它的反面法就是或就会变成且而且甲不在排头的反面就是甲在排头，且乙在排尾，它的反面其实就是第二句话。明白没有，所以反面就用总情况数来减就行了，五的阶层减去，其实甲在排头，且乙在排尾，什么情况呢？我给大家画五个位置，一二三。四五甲在排头，企业在尾就甲在头，

企业乙在尾，好甲不能动了，甲又在投乙呢，也不能动由在尾。李在伟，然后他中间这三个人随便排好吧，随便排就等于120减掉一个六就等于114。好，这个写好了，这是它的反面第二句话，甲在头且乙在尾，甲在头且乙在尾的话就相当于是直接就删了，就让其他三个人排就六种情况。第三，问甲在头或者乙在尾应该怎么写？

甲在头或者乙乙在尾，它的反面其实就我们刚才这道题的原题。它的反面。好遇到A货币，我们就可以写成A货币。写成A货币好A货币就等于a+b-a交b啊，用这个集合的情况来写是吧？我们画个圈。画画个圈就可以理解了，好这个圈就代表是甲在头，这个圈就代表乙在尾，它或的关系就并集是吧并集？好，并且我们来看一下甲在排头的所有情况数，就这个圈有多少种情况，

甲在排头这时候就不用管乙了啊，不用管乙在不在？排尾啊，不用关系的，就甲在排头那这时候呢，所有情况数我们看有多少种甲在排头，是不是甲就站在头不用动了，剩下是不是还有四个人一块排呀？就四个阶层，加上就这个圈，这个圈就相当于乙在尾，乙在尾的话，其他四个人随便排，其他四个人没有要求，不管甲在哪了减去。

减中间的交集，这个交集是什么？交集有甲既在头，乙又在尾啊，减掉三的阶乘，这样就行了。所以就可以写成二×4的阶乘减三的阶乘，然后这个四的阶乘等于24。加上是48，48减掉六就得到42好，这样就写好了好，这是给大家强调这个特征和方法。好，当然，咱们刚才讲的这个题，

这个题甲不在排头，且乙不在排尾，也可以用总情况数减掉它的反面，它的反面其实就第三问啊，所以说这道题也可以用五的阶乘减掉42也等于78。啊，一样道理好，这个答案也选c好老师把这道题给大家讲那么详细的原因是什么原因为这道题它可以延伸到后面的作业题或者其他考题，比如说。组成一个五位数。他不是五个人排成一排了，组成一个五位数五位数，比如说数字二不在个位，数字五不在。千位等等的是吧？

数字二不在个位，数字五不在千位，那跟这个方法是不一样呀，那就一样的是不是？所以大家呢，要学会用，也就说这个是排队里面。如果某一个元素不在某什么位置，另一个元素不在什么位置，这时候呢，大家呢？要会来分析好吧，然后在这里面大家呢，就给大家讲了，如果前后都是否定词不在什么且不在什么，

这是且。那么，可以从正面法也可以用反面法做，如果前后都是否定词不在不在，我把这个给大家用红笔画上，这个是不在，这个是不在。然后中间是或这时候呢，就直接用反面做，如果前后都是肯定词，中间是且前后都是肯定词在在。中间是且这时候呢，得用正面做就行了，好如果甲在排头或乙在排尾前后都是肯定词，然后这时候呢，

你就用。并集的方法，集合的方法来做，这样就可以好，这是给大家强调单排的问题，看是是不是学会了？接下来我们再看一下多排多排呢，一般呢，我们就研究两排好吧，一般考试考两排往往涉及到。前排后排同排不不同排问题，比如说都站在前排，都站在后排，或者都站在同一排，或者都站在不同排。

好，那这时候我们要画图，八个人排成前后两排，每排四个人。好排成前后两排。然后每排四个人。好，假如这个是前排。这个是后排好前后两排好，请甲乙在前排，丙丁在后排啊，甲乙在前排，丙丁在后排，共有多少种方法？好，

那甲乙在前排，我们就从人的角度来分析好吧，以人为本，从人的角度好，那么甲乙在前排，我从前排四个位置里面选两个位置。然后乘以二的阶乘，这是甲乙给它排好了。是吧，因为这个前排四个，我可以选两个嘛，选两个选两个，然后甲乙在做的时候，它可以走交换。然后比例在后排，

比例在后排，后排的话，那从后排这四个位置里面随便选两个位置坐就行了。是不是随便选两个未？位置，坐。好，这是丙丁。随便选两个位置坐啊，丙丁做好了，这时候甲乙也做好，丙丁也做好，那八个人就排了四个人，剩下还有四个人呢，进行全排，

这个四个人就是其他人。啊，其他人进行安排啊，就甲乙做好了，丙丁也做好了，然后这时候呢，其他还有四个人，四个人一块排，这样就可以得到他的结果。这个答案就选择a选项啊，大家自己算一下答案就可以得到选择a选项好，这是给大家讲的这个多排问题好吧，就是谁在前面谁在后排，或者说有时候考成。呃，

改成了它不同排，比如说甲乙不同排啊，等等的，那么画出图，因为多排咱们考试的几率要少一点，我们就不再往下扩展和延伸了。下面我们来看一下环牌问题。啊，环牌好环牌的话就相当于是环牌，它相当于是无首尾，它也没有方位区分明白吧，所以说在这里面画一个圈。没有放下去，所以首先首先需要就先找一个人定位，然后对n个人做一圈的话，

有n- 1的阶乘这种方法。啊啊，或者说这n- 1阶乘，你怎么理解呢？可以写成n的阶乘除以n也等于n- 1的阶乘。好比如说八个人坐一圈，不要写八的阶层啊，八个人坐一圈，不要选八的阶层。他因为这个八个人坐一圈跟八个人站成一排，站成一条直线，一排不太一样。它是不一样的。好，那在这里面我就是为了讲这个原理。

就以人少为例，以四个人为例，好吧，四个人为例，公式给大家推明白了八个人，大家也会了。好以四个人为例来给大家进行推啊，好四个人。好，四个人的话，那我们就以甲乙丙丁啊甲甲乙丙丁甲乙丙丁，那么他如果四个人全排是不是四的阶层呀？它为什么要n的间要除以n呢？看看四的间在排的时候，它是随便排的，

对不对？随便排的有可能排成这样的。甲乙丙丁。这样一种情况。还有可能，这是甲乙丙丁。对吧，还有可能是这样的。啊啊，这样的。啊甲在这甲。乙丙。d还有可能是这样的甲。乙，丙，

丁。啊，因为咱们这个做成环牌，它没有方位区分，没有东南西北啊，没有上下左右，没有这个方位区分。所以在这里面大家呢？要掌握的特征，不管甲坐在哪，只要甲乙丙，它都是顺针排序，看到没？甲乙丙丁这样顺针，这也是甲乙丙丁这样顺针，

这也是甲乙丙丁顺针，甲乙丙丁顺针。这四种来说的话是一样的，看好我手，这样可以转是吧？这个甲乙丙丁，不管是怎么样，转完以后我们可以看他们的方位呢，是一样的，没有区分。所以四个人让四的阶层的话，然后他多算了四倍，因为这种重复不能靠减法啊，它是倍数重复多算了四倍，四个图一样的。

然后另外再一排，比如说甲丁丙乙甲丁丙乙甲丁丙乙甲丁丙乙，那么又是四种，所以每一个画出来，它都会重复四倍。所以除以四就等于三的阶，乘就等于六好，如果这个明白，以后我们再讲八个人，因为一开始我要给大家画八个人，太复杂啊，这个不好画，所以我们把四个人。给大家讲明白了，八个人也会八个人的话，

那么就八的间除以八就是七的阶乘好吧，所以建议大家选c选项。啊，这时候直接呢就写成七的阶乘就行了，好吧，这就给大家推导的，有n个人做一圈，有n- 1的阶乘考试呢，不要给选错了，要知道这个排序。要多出来的倍数，要给它除掉，看这一块是不是明白了，是不是掌握住了？

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