9-02六大基本方法（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:10:58

接下来我们再来学一下对号和不对号情况，对号和不对号，对号不对号，那么就主要是考察它的对应关系。这个考试考了好几次。好，第一个就元素不同，第二个对象不同，第三个元素与对象有一个对应关系。对应关系，这个对应关系体现在哪？就像咱们呃，每个同学买火车票一样，就这个车票上的号，跟上火车的座位号，

是不是对应的？而且这个对应关系一定要是一一对应一对一的好吧，一对一的。不能说我这个车票哎，可以坐火车上两个座位。是不是或者说啊，那么有两张票呢？正好都是火车上同一个座位啊，那这也不可能是不是？所以在这里它都是一对一的。或者咱们看电影票等等的是吧啊？有点类似一个萝卜一个坑啊，这样的一个情况，而且呢，要求元素不同对象呢，

也是不同的。好，那我们接下来看方法介绍，无论几个元素，只要对号安排，对号安排就自己做自己的号就都只有一种方法是吧？你做自己的号。都只有一种方法。啊，这叫做对号安排，比如说大家坐火车，以坐火车为例，这个大家好理解是吧？以坐火车为例，每个人都按照自己车票做啊，

不管这个火车是100个人还是1000个人。是吧，那大家都是只有一种方法，整个大家做好以后只有一种方法。好，那么如果不对号就记答案，比如说两个人不对号，只有一种方法，三个不对号，有两种方法，四个不对号，有九种方法，五个不对号，有44种方法。好吧，

所以在这里面好，这是它的呃特征，我们来看一下这个不对号啊，简单给大家推一下好吧，推一下，然后两个不对号，我给大家画一下车票和火车。好，假设这个就是车票，然后这个就是火车上的座位。火车座位好有两个人，他拿了两两张票，这两个人呢，不按照自己票面的座位坐就叫做不对号，那为什么只有一种大家可以发现，

只有是一座二号，二座，一号这样才行。是不是这样的，只能是这样吧，没有其他的情况了是吧？就一座二号，二座一号这样话，它才是可以的是吧？所以它就是一种方法。好，那如果三个不对号，简单写一下一。二三三个标题号是一二三。啊一二三好，

那删不掉它有几种方法呢？我们来画画那么一可以去二号二可以去三号三可以去一号。是不是这样？这个你看自己都没做到，自己的号一没做到，自己的号一号二没做到，自己二号三没做到三号，所以这叫不对号，这是一种方法，还有一种方法是什么情况呢？我换一种颜色比。好有可能一做三二做一三做二，所以说就有两种颜色，一个蓝色，一个红色，

就有两种情况，所以这个地方就两种方法。好以此类推，我就省略了，后面我就不再画了，大家背背答案就行了，四个不对号就九种好吧，一二三四和四个不对号九种，然后五个不对号就44种，咱们就不用。掌握太多了，掌握到这就足够了，好，这是给大家介绍一下方法，接下来我们就通过题目来训练它的考点。

好，这类的题目在一四年一八年这都考了，所以考的平台蛮高的，所以大家要把它弄好好，接下来我们来看一下对号不对号啊，刚才咱们说了，然后元素对号，如果只有一种排法不对号的话，你反正记住答案，这个答案刚才都。讲了，咱们做一下这个题目好吧，看一下里面题假设有编号一二三四五的五个小球和编号为一二三四五的五个盒子。啊，现将这五个小球放到五个盒子，

每个盒子里放一个球。啊，这个这个不能用方蜜法，看到没？为什么不能用方蜜法？要用每个盒子只能放一个球。是吧，它有要求，如果说这五个球，这五个盒子可以随便放，那你就可以用方蜜法了啊，所以大家一定要注意这几个方法区别，它要每个盒子放一个球。且恰好有一个球的编号与盒子编号相同啊，有一个相同，

有一个相同，意味着什么？意味着其他四个不同。好意味着其他四个呢，它是不相同的，问这样的投放方法到底有多少种好吧，其他四个不一样，我给大家画一个示意图，假如这个是盒子编号为一二三四五。这个方框就代表是盒子。然后这圆圈就代表是球。好圆圈最后代表这个是球啊，圆圈啊，代表这个球，然后在这里面好问它投放的总数到底是？

是什么情况？好，那在这里面，我们来看一下它的这个特征。好，那他说恰有一个球的编号相同，恰有一个球的编号相同，我们也不知道哪个球的编号相同。我们首先要选一个是吧？选一个就c五一这个，假如三号求编号一样好吧，就随便呃，写一种展现形式，在我们讲牌组。第一次给大家讲概念时候讲过，

我们在做题的时候可以先写其中一种展现形式，这种展现形式我就以三为例，作为一个展现形式，当然有可能是二。是盒盒子号跟球号一样，是不是但没事都在我这c五一里面？然后接下来就其他四个和不能一样，就一二四五跟一二四五不能一样，刚刚大家背的就四个不对号，就九种方法，所以再乘一个九。就等于45，这难就选择c选项，看这块是不是明白了，是不是学会了啊？

这是给大家强调的要点。接下来我们来看一下这个题，六个老师分别教六个班，期末考试监考的时候，你看这是不是有个对应关系，比如张老师教一班，李老师教二班。是吧，所以在这里面好，恰好两个老师监考自己教的班啊，跟刚刚到的一样，比如说这有六位老师有六个班啊，这个一二三四五六。啊，这有六个班。

啊，六个班，这有六个老师abcdef啊，六个老师，然后期末监考前有两个老师监考自己教的班。好在这里面是不是不知道哪里让老师监考，自己教班是不是写c六二呀啊？写c六二是不是从六个里面选两个啊去监考，自己教教教的班？好，这样写好了，写好我们再来看一下它的这个特征。再来看一下，再来看一下，然后呢？

在这里面啊，其他四个老师不监考，自己教的班，其他四个老师不监考，自己教的班是不是九种啊？所以就等于15×9就等于135，这个答案就选择c选项啊，这样就可以写出来了好。好吧，这是给大家强调做做的一点，跟上个题呢，是类似的是吧，上个题只不过是五个，这道题改成六个。啊，

到大家都可以去写，所以在这里面前面就代表是对号选两个去对号，后面就代表是不对号，用乘法原理，这样去做就行了。所以在一个题里面有部分元素是对号座，有其他元素没有对号座，这时候大家在分析和处理的时候呢，我们呢就？选对号的元素，然后让它排好，剩下的不对号就背答案就可以了。好，下面咱们看一下这个题，有六位老师分别教六个班，

期末监考时至少有两个老师监考，自己教的班，这样监考方法到底有多少种？好，至少有两个老师监考自己教吗？这样监考方法我们来看一下，这个至少是一个关键点，至少至少我们可以从正面做，至少我们前面好像给大家讲过，遇到至少可以把它换大于等于。大于等于至少有两个就代表大于等于二就这六个老师里面，他监考自己班的人数呢，就大于等于二。大于等于二，大于等于二，

那正面。正面有可能是两个监考自己交的班，有可能三个，有可能四个，有可能五个监考自己交的班，有可能六个。监考自己教的班是不是所以这样的情况好，那么两个监考自己教的班的话就c六二乘以个剩下。剩下四个不监考，自己教班是不是九种啊？这样三个老师监考自己教班，三个老师监考自己教班叫c六三c六三，然后乘以剩下三个不监考自己教班。不监考，自己交班就是两种情况，

加上四个四个老师监考，自己交班，剩下两个不监考，自己交班不监考，自己交班就是只有一种情况。然后接下来就是大家容易错的点了。好有同学呢，就说这个五个五个监考自己教的班，五个监考自己教的班的话，然后在这里面有同学说啊，那我就是从六个里面选五个班，让他监考自己教的班，剩下那个不监考自己教的班。那这个呢？它是不可能的，

你想想都有五个人监考，自己教的班了是吧？有五个人都监考，自己教的班，那剩下那个人他肯定也监考，自己教的班。所以五个监考助教班跟六个监考助教班都是一样，这叫做全对号，只有一种好吧，只有一种这个别给写错了啊。只有一种好，这是给大家强调的做题的这个方法啊方法，然后在这里面就等于191种。好，191种要给大家强调的就是n- 1个对号，

就n个元素。如果出现。n- 1个对号。则表示，所有都对号。则表示全对号。好n个元素出现n- 1个对号，则表示全对号表全对号就只有一种方法好吧，另外咱们还可以从反面做。好从反面做，反面做，这样也可以反面做什么呢？就是大于等于二的反面就小于二，小于二的话，有可能是零个。

有可能是一个。啊小于二，这个就相当于有可能是零个，有可能是一个啊，这样的情况，所以就有可能零个的话，零个就相当于这个六个老师。都没有监考，自己教的班啊，六个老师都没有监考，自己教都没自己监考自己的班，这时候你就得背六个部队号，六个部队号就是256种，那太多了。好吧，

所以在这里面咱咱们呢，就不用再写了，然后呢，还有再减去一个老师。然后呢啊，监考自己交班，剩下五个没有监考，自己交班，剩下五个没有监考，自己交班就44种是吧，然后呢，大家呢，就用那个方法呢啊去进行。写就行了啊，所以这个就减六的间减去减去都不交，

自己交班就六个不对号。再减去有五个不对号，五个不对号，有一个是对号乘以五个不对，五个不对号就44种好吧，然后在这里面大家呢，就用这个720去减这一块呢，我们就不再去介绍了。好吧，这个书上这个数值比较大，我们就不再写了好，这是给大家强调的这个特征，看是不是掌握住了？接下来我们介绍一下穷举和列举法好，那么穷举列举法这个是非常非常重要的一个基本性的方法，

也是我们。在排列组合这门学科没有发明之前，然后呢？人们呢？就是。用求与列举法来解决排除的问题，只不过后面我们发明了这个公式，然后这时候呢，我们就可以啊，用这个新的这个学科来进行解。好重新定义法，不要有同学，不要看不起这个方案，觉得这个这个不是就是扳着手指头数吗？有什么样技术含量啊？

很多同学觉得呢，瞧不起他。这个反而大家错了，这几年考试都在用，求你列举法。由于遇到一些数字问题的时候，那都要列举法。在咱们这几次考试里面，大家最容易出问题，反而就是列列举法。我们来看一下立法什么时候用，当元素出现互相干扰或者无法直接用选取的时候，比如说你选甲的时候会影响乙，选乙的时候会影响丙。是吧，

然后选甲乙的时候又会影响丁，这时候呢，他互相干扰啊，干扰的很厉害，这时候呢，就没法直接用组合去选了，这时候呢，你就得按要求呢。逐个去列举，尤其在出现一些尤其。啊，出现一些。数字表达式。的时候，比如说要求两个数之和等于五，

这时候AB你是不是就这就得列啊？比如h1的时候b取四啊h2的时候b取三等等的是吧？就数字也表，尤其呢，再出现一些大于号，比如说。啊a+b大于5 a+b大于五的时候多种情况，那这时候也得列是吧？所以呢，数字表达式就得列，然后在列举时要拟好参照标准。否则容易出现多列举或者少列举的错误。啊多列举或者少列举的错误啊，有时候同学列多了，有同学列少了怎么办？

就需要参照标准，参照标准什么？比如说我以a作为参照标准，以a作为参照标准的话。然后在这里面，我们列一下它的表达式到底是什么情况是吧？比如h1的时候b有多少种情况？h2的时候b有多少种情况？然后呃选其中一个作为参考标准，一会儿如果你要一会儿讨论a一会儿讨论b，那很容易就列出来。重复明白吧，所以在这里面大家要掌握立与法，它的根本的特征。好，

接下来我们呢就来呃，给大家举例题，然后演示一下好，那么例一法当遇到对元素约束条件无法采用组合直接选取的时候。那这个干扰比较厉害，我们就按照它约束的条件，它的要求呢进行列举，而且有时候正面列举比较多，可以从反面列举，像咱们考试有时候正面列的话，发现越列越多，越列越多，这时候呢，从反面解就行了啊。接着我们来看一下这道题，

有九张卡片，上面分别写着自然数一到九，从中取三张，要使这三张卡片的数字之和为九。啊，这个三张，而且这三张不用排序啊，大家呢？不要给写错了，这个蛮简单的，如果要说要组成一个三位数取三张组成一个三位数。那在这里面大家呢啊，就是还要注意三位数个位，十位百位的一个排序，而且这道题呢，

它这个九张卡片。啊，数字不能重复明白吧？不能重复你，比如说一到九一二三四五六七八到到九那个二卡片取完了二这个。数就不能再用了，是不是就没有二二了，它不能重复，所以看清楚，然后接下来我们看这三张卡片，三张卡片就是a+b+c。它要等于九是吧？三张卡片分别用ABC来表示好吧，分别用ABC来表示，这时候大家可以发现，

在列的时候那三个数大家别列错了。好，我们就选好这个，刚才讲参照标准，比如a取一的时候把BC全都给列完，不要一会列a一会以b为参照标准，一会以c为参照标，这个很容易出错啊。好h1的时候，我们把b都列完好吧h1的时候b+c=8 b+c=8呃，可以写成二跟六。是吧，还可以写成三跟五，还可以写成四跟四，当然它没有四跟四啊，

所以它有一二六一三五，然后h2的时候。h2的时候b+c就为七对吧？b+c为7 b+c为七的话就是三跟四了。只有三跟四是不是这样的啊？就没有其他情况了，它只有三三跟四。好好像就这三种情况是吧？因为a为三的时候b+c为6 b+c为六的话，你看a为三的时候b+c要为六为六的话，你看一跟五它这这不能再用了，为什么一跟五不能再用了？因为一跟五这个三一五跟一三五，它是一样的，因为它它这个不用排序嘛，

它又没说组成一个。三位数，他只要问和为九就行了，这个三个卡片取完以后就不用再排序，这是咱们讲过的组合，所以有同学坐到这就问什么时候需要排什么，不需要排你看。人家取完样以后有没有归属地上的要求？明白吧，你看这个三个卡片取完后让往那一扔就行了，他又没有说我在桌上给他摆成一排，他没有取完以后位置上的区分。啊，就是你看取后是否位置有区分，决定是否排序好吧，

因为有同学总是说他说老师我做完题我就不知道该不该成绩呢，该不该排序，他判断标怎么写呀？取后是否。有位置区分。取后，它是否有位置区分，看它用不用区分好，如果区分的话，那这时候给它排个序，不区分呢，那这个就没事啊，这道题就。就选b好这道题列举呢，比较简单，

让大家先热热身，下面咱们看一下这个题。好一台天平啊，和重一克三克九克的阀码各一个，不用不能用。其他物品当法码了，好当法码只能放在同一个牌的时候好，大家知道这是一个。天平，然后这是一个托盘，对吧？好，这下面。放一个托盘，然后这下面它也放一个托托盘好，

这样的托盘好，它只能放一个托盘，我们不能说这个阀码放到这另外一个阀码放到这那那不行。啊问可以从重量到底有几种好，现在咱们看怎么讨论，因为咱不知道放几个阀码，这时候呢，我们呢就来。呃，演示一下，到底放几个蛤码啊？有可能放一个发码，一个发码的话就是有三种是吧？一三九它总共有三种。对吧，

可以称测量三种情况好，如果放两个阀码，放两个阀码就是一+3，可以称四克。然后呢？一+90克，三+92克也可以分三种情况，三种情况，当然这道题还好，这里没出现重复的啊，因为比如说再多给你几个方码，有的时候两个方码加在一起是一样，比如说。啊，一+5，

一一+5，然后呢？等于二+4是吧？一+5=2+4，那这个这个就一样，就重复了，你就给给它剔除掉。好，那么我们看三个全放上三个全放就一+3+9就等于13。啊，把这个三个驸码全放就13，这是一一种情况，所以在这里面大家可以看到就选d选项。又选d是吧？总共呢有这七种三+3，

再加有七种，看这个学会列了没有？比如说这个情况，它都是比较复杂，没法用组合句选的时候，我们呢就给它列一列。好，接下来我们来看一下这个题。小明带了一张五块钱的，四张两块钱的，看有四个二和八枚一块钱的硬币。啊，一块钱硬币像他买一本八元的小说，他有几种付钱方式？几种付钱方式，

好在这里面我们也不知道用几张，首先我们不知道是几个数加在一起啊。不知道几个数加在一起等于八，它不知道是几个数加在一起的，是不是这样呢？它既然不知道这几个数加在一起的，这接下来我们呢？就要去讨论讨论讨论，我们可以按照这个五元呃两元，那么这些分类去讨论讨论的时候，别别给讨论错了好吧，所以在这里面我们可以看。如果用一张五五元的，一张五元的跟三枚一元的。啊，

这个是等于八的是吧？还可以一张五元的啊，一张两元的，一张一元的等于八好，这个五元的是不是就组合完了啊？五元的已经用完了，所以一定要找好。标准要不掌握标准的话，这个大家呢，就容易出现错误啊，容易列多了或列少了，不好检查好，接下来我们再看两两元的。两元的，如果用一张两元的，

一张两元就得用六个。一元的是不是六六个一元的，这等于八好，我可以用两个两两元的，两个两两元的，这是四再用四个一元的。也等于八是吧？还可以用三个两元的，用两个一元的也等于八还可以用什么用四个？两元的。然后这个其他就不用用了，就等于八。是吧，还有可能呢，用八个亿元的就一+1+1点点，

再加一是吧，都等于八。八个亿元了，这样也行，好在这里我们就可以写出这个情况，一二三四五六七这样呢，就选d。好看，这个是否明白了，列出来就有七种。啊，这是它的这个列举法，看掌握的怎么样？啊，接下来我们来看一下这个题，

跟上个题差不多啊，用一毛的两毛五毛的三种人民币，然后每种的张数呢，没有限制，比如说一毛呢，可以有很多张。两毛有很多张，然后五毛有很多张，它组成一块钱。总共是一块钱，一块钱不就等于十角嘛。好问有几种方法也是一样的。啊，都用一毛的。我给他取十十十张就等于一元是吧？

然后呢？都用两毛的，都用两毛的话，然后呢？取五张也等于一元是吧？是吧，都用五五角的，五角的话，那么取两张也等于一元，是不是这样的？好，这就列好了，接下来我们再看。啊，接下来再接着看，

再接着看的话，那么我们再看取这个一毛的跟两毛的答案。搭配起来好吧，一毛的跟两毛搭配起来好，一毛跟跟两毛的一张呃，就是。八张一毛的八张一毛加两张。那加一张两毛的，这个是等于一元的，是不是啊？它等于一一块钱好，那有可能是呃两张。啊，就是呃，其可能是这个六章。

对吧，就是六张一毛的，加上两张两毛的啊，这个也等于一块钱，还有可能四张一毛的。四张一毛的，然后再加上三张两毛的，也等于一一块钱是吧啊？也等于一块钱。好，然后呢？这个还有可能是两张一毛的。两两张一毛的，加上这个两毛的，是不是在这里面好？

加上两两毛两毛的话，我们就取四张也等于一元钱。还有可能两呃呃呃，五张两毛的五张两毛刚才已经讲过了是吧？这块就不再说，这是用两种币值就一毛和两毛的来进行搭配。那两种币币值的话，还可以用什么呢？用一毛跟五毛的搭配是吧？一毛跟五毛搭配一毛跟五毛搭配有五张一毛的加上。一张五毛的，这也是等于一块钱好，这两个搭配用两毛跟五毛，这两个没法搭配。是吧，

没法搭配好我我分类的标准给大家写，这是用其中只用一种币值，比如只用一毛，只用两毛，只用五毛，只用其中一种币值来来搭配一块钱。这个呢，是用其中的两种币值，比如就用一毛和五两两毛的来搭配，然后还可能是用一毛和五毛的搭配。然后两毛跟五毛的话，这个没法搭配成一块钱，这样就算了，然后接下来啊，两种币值用完了，

我们看三种都用上。三张都用这，三个都用，三个都用的话，就是三张一毛的。加上两张呃，加上一张两毛的，加上五张一毛的，然后这个也等于一块钱是吧？一块钱。好在这里面我们呢，就可以看出它的这个特征是吧？还有可能是还还还有可能是什么呢？是一张一毛的。两张两毛的，

加上五张呃，加上一张五毛的也等于一块钱，是不是就是呃一张一毛钱的，然后两张两毛的？和一张五毛的加在一起也等于一块钱，好在这里面大家把它加在一起，共十种情况。共十种情况，然后这个呢，就选择e选项好，那这些题呢，咱们用的呢，都是等式，看到没？都组成一块钱等式。

比如说如果组成呃小于一块钱的啊，不等式呢，更难一点，到下阶段或者说等到后面做题时候得让他再好好。加强一下啊，不等式，另外，如果遇到这个数值比较多的时候，大家可以画一个表格法是吧？画一个表格法，比如说一毛的。两毛的。啊，五五五毛的，你画一个表格，

然后组成一块钱，比如说啊他几张他几张，然后他几张他几张画一个表，这样也可以。啊，一样的道理好，这是给大家强调列举法，列举法我再强调一下重要性啊，列举法非常非常重要，在咱们考试做题中，那么我们在一些复杂场合都要用到列举法，而且有时候例正面不好列，还要出现反面列，比如说。遇到大于号，

小于号，发现大于号比较多，就转换成反面做，或者遇到至少至多也要转成反面做，这是例一法，给大家强调的考点。考试的核心点。

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