立体几何-综合提高题-条件充分性判断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:08:52

接下来咱们看条件，重新判断题条件，重新判断题，这呃容易错，大家呢？做的时候要小心点儿，这个题就考察这个挖割。切割。挖，然后它表面积的变化。好一个棱长为四的正方体木块，切割出棱长为一的正方体后表面积不会发生变化。好一个棱长为四的正方体木块，七个数棱长为一的正方体。它表面不会变，

这个我们来讲，只不过在它的角在顶点上切的时候，表面才不发生变化是吧？这个我们总结过就选a啊，这个咱们在前面做题讲过，只要只要在它的角上切。啊，如果在它角角上切。好，这个时候它的表面积呢？是不会发生任何变化的，看这块儿是不是学坏了，是不是掌握住了？好，下面咱们看第二题，

这这道题主要考察圆柱的侧面积，还有底面积之间的公式啊，主要考察。圆柱好，那侧面与下底面积之比是四派比一，那就把这个题干先掌握等价条件，它侧面积是不是等于二派r×h啊这侧面积？然后下底面积就是一个圆了派r方，这就等于一个2h比上r，它要等等于一个四派比一。看它是不等于四派比一是吧？好，下面咱们看条文一条文一，它说侧面积与下底面积之比。是四比一，

所以在这里面侧面积与下底面积之比四比一，所以这个显然是不不充分的，对吧？显然是。不充分，所以这道题大家可以发现，它只告诉我们这个面积之比是四比一，在这里面它不满足题目的这个条件啊，所以在这里面啊，它呢？是不不充分的，所以条案一条案一啊，条案一这个啊，这个印错了啊，这个印错了把它。

改一下，不过它这个也是不充分的条件，一咱们书上应该改成圆柱的轴，截面为正方形。啊轴截面为正方形的，这样的呃圆柱也把称为一个等边圆柱是吧？等边等边圆柱的话就那么h=2 r是吧？就aah=2 ra=2 r带到里面去，那么显然不满足。这个题，所以它不充分。条件二，圆柱的展开图是正方形，大家想想帮助大家画一个图，展开图是个正方形，

展开图，大家知道这个边长是二派r。这个ih应该等于二派r是吧？所以h呢，正好等于二派r所以这样，它展开的图，这是一个正方形。正方形，然后带到上面这个比值里面，它是充分的好吧，所以它这个是充分的，这个答案就选择b选项，看这道题是不是学会了，是不是听懂了啊？它的这个。

轴截面的图形还有展开图形特征，要掌握清楚好，那么第三题这个题。这里它的考点主要考察考察这个。正三棱柱的都在同一个球面考察外接球，这个我们刚才在讲上个题讲了啊，这个正三棱柱。它的外接球。正三柱的外接球，刚才咱们这个已经画过了，好，那我们来看条件，一看这个行不行？条件一它的它的这个棱长是为四是吧？其实刚才咱们画过，

我们再重新给大家画个图吧。好，这是一个正三棱柱。好，那我刚才说了它的球心。球心就在中间这个点啊，这个球的半径，这时候怎么办？这时候呢，就连接中间一个截面儿，知道吧，中间这个。截面给它做出来，在它做中心，然后的话再做一个辅助线。

把这个蓝色线做出来，然后这样就用勾股定理，就把这个红色的红色就代表是球的半径，把它算出来，我们来看条案一好吧，看一下。条形一条形一，它底面边长为三，底面边长为三的话，那这个外接圆半径就是这个蓝色的啊，蓝色这样等于三根根号三倍的a，这样等于根号三是吧，因为条条件一啊，我们先由条件一来推。然后这时候它的这段儿高是二是吧？

高高整个高是四这段儿一半儿就是二啊，一半儿二，所以这样的话，我们可以算作求的半径r方就等于四+3就等于七。所以那它的表面s就等于四派r方，正好等于28派，所以条件一呢，充分条件二，我就不再同样的做了，跟它方法是一样的好吧，所以这道题正确答案。啊，就选择a选项，大家就求解出来了，所以这道题大家关键要点要把这个三角形它勾股定理，

三角形各边的长度要会求解出来，求解出来，然后答案就写出来了，好吧？这第三题给大家强调做题方法，看是不是学会了好，下面咱们看第四题，第四题这里主要考察正方体都在半球，这咱们考过的二零一九年的考题就出现了，那正方体它都在半球。好吧，所以这道题主要考察它的外接半球啊。好外接半球，我们画一下它的图好吧，看一下它的它的这个图。

好，这样，这是一个半球，然后里面呢是一个这个。是一个正方体。好，这个就球心是吧？这是球。球心，然后这样一连这是球的半径r，这样一连啊，这个球的半径r。是吧，这个求的半径r好，然后它让求这个半球体是不是等于二分之根号六派啊半球体？

是不是等于二分之根号六派好？那么条件一它说半球的半径为二倍根号二啊，半球半径为二倍根号二。好半球半径为二倍根号二，这时候嗯，直接求它的半球体就行了，好吧，所以条件一直接求它半球体条件一，这个v半球啊v半球大家知道完整求得体公式是不是等于34派r的立方呀？所以它有三分之二派r的立方，好在这里面大家可以发现是三分之二派乘以一个。这个二倍根号二。的三次方，那显然不会出现二分之根号六派嘛，这个它怎么立方不会出现根号六，

所以这个条件呢，是不充分的。条件二，如果正方体的棱长为一，正方体棱长为一，大家一定要做一个关键的线，然后找到。啊，做一个这个蓝色的线。好在这个直角三角形里面用勾股定理做这个蓝色线，正好是呃，这个正方形对角线的一半儿，所以说就是二分之根号二是吧，因为它的棱长不就为一嘛。然后它高是一是吧？

这样的话，根据条件，我们就可以把它的棱长啊，还有高，还有这些求半径给它求出来，所以r方应该等于一的平方，加上二分之根号二的平方。是吧，然后这样r就可以算成等于二分之根号六。好r等于二分之根号六算出来了，然后这个v半球的体积就等于三分之二派乘以一个二分之根号六的立方。好，然后这样大家算出来正好等于二分之根号六派。好，所以条件二是充分的正确答案，

就选择b选项好看这道题。是不是学会了好吧，是不是掌握它的做题的方法啊，所以大家要知道这个半球它的体积，要会思考好，通过这道题，大家要知道啊，那么球心的位置，还有做辅助线，构造一个直角三角形来进行求。求解就可以了。好，下面咱们看一下第五题，这个题这个主要考察圆柱的外接球，内接球它的呃，

这个体积比啊，如如果要存在圆柱要存在内切球，它必然为。等边于圆柱是吧？所以在这里面大家看一下它的考点，考点主要考察圆柱。它的外接球。还有内切球。看这个是不是学会了好那么条文一，如果他要是等边圆柱。好，这是一个等边与圆柱等边圆柱就升高等于2r是吧？好，然后它的。外接球，

外接球的直径啊，我们来看一下外接球的直径就是它轴截面的对对角线啊，所以我们来看一下外接球。啊，声音调完一，我们算成ry。ry就等于二分之根号下h方，加上2r方。看这个是不是学会了，也就说这个红色的红色就是外接球的直径啊，红色就是外接球的直径就是它轴截面对角线，这个红色就等于它的平方加它平方。好吧，开根号啊，所以就h方h正好等于2r，

所以在这里面大家呢，把h带到里面去就得到是根号2r好吧，最后算算啊，它外接球的半径就等于根号2r这个小r。它是圆柱的半径啊，然后咱们再看内切球，它的半径内切球半径跟圆柱的半径一样是吧？里面画一个球，它量的半径一样。好，它的体积比大家知道这个v外接球比上内切球体积比是不是等于半径之比的立方呀？所以就等于ry比上r内括号的立方。然后在在这里面把它带到里面有根号二比一的立方就等于二倍根号二比上一，这样就写出来了，好吧，

把这两个数带到里面去，所以条件一呢是充分的。看这个是不是学会了啊，就把这个数还有这个数带到里面去，然后条件圆柱的侧面积为下底面积的4倍啊，侧面s侧侧画是不是等于二派r乘以高啊，侧面下底面积。是不是等于派r方啊？下列下面派r方，所以在这里面正好得到是呃2h比上r，它正好等于四倍，这样的4倍也能推出h=2 r，是不是这样的？所以在这里大家可以看。也能推出h=2 r，

所以它跟条件一是等价的，所以说条件一这个h=2 r那条件跟它是一样的，所以说也充分这一答案选d好，那通过这道题，大家要知道等边圆柱的特征。要知道另外一个圆柱的外接球，它的直径还有内内接球，它的这个半径的情况要掌握它的做题的方法。好，那么这两个条件单独都充分正确答案，选d好那本小节我们就讲完了，大家尤其比较难的，就空间想象能力，要知道尤其它几个图形的拼接啊，切割呀，

这类题反复的要。考，而且大家可以把几个图七的地方好好去总结归纳一下好吧，它有几面有漆，它的漆的这个颜色的情况是什么样的要知道。下面我们来看条件，重新判断题好那么长方，形体对角线长是五倍，根号二第一个条件全面是五十九十四，第二个所有棱长和是48。显然单独呢，是不充分，我们要联合分析对吧？因为单独它给它全面积算不了这个体力要限。啊，

单独条件下给到所有棱长和也算不了体对角线联合在这里面联合，我们要看看这个体对角线全面积和棱长和它们之间的关系，是我们前面学过一个重要的公式a+b加。c的平方就等于a方加b方加c方加二倍的AB+BC+AC。好吧，就可以得到，这样是a方a+b+c^2，就等于a方加b方加二倍的AB+BC+AC。啊，得到这样的一个表达式，在这里面大家知道a+b+c就是因为这个棱长和就等于一个四倍的a+b加加c是吧？所以这个呢，就代表是棱长和的四分之。一好这个a+b+c，大家知道这个体对角线体对角线d呢，

就等于根号下a方加b方加c方。所以说在这里面a方加b方c方就等于体对角线的平方，加上这个呢，就代表全面积s是吧？这个就代表s全面积好，那我们把这个数值调上去，一个条件下联合起来带到里面去算一下d。啊，得了就四分之四十八的平方。咳咳。咳咳。好，那么当一个d方加上ss是九十四s九九十四，然后这样我们就可以把d求出来，因为四分之四十八等于十二十二的平方等于一百四十四。

好，所以d平方就等于50，50d就等于个五倍的根号二啊，所以两天联合充分，所以呢，就选择c选项啊，联合就可以推导出来。所以通过这些学会的收获，就体对角线全面积还有棱长和它们三者的关系，要知道好吧，就体对角线全面积棱长和它们三者的啊一个。关系一个等式，就通过a+b+c^2=a^2加b方，这样加上二倍的AB+b+AC，通过这些关系式来进行分析和思考。

下面来看一下，主要是考察这个切割对表面的影响啊，这个切割对表面影响圆柱的高，它的实过底面圆心垂直切割。啊，垂直切割，把切成相等的两半儿啊，就是相当于一个圆柱。啊从正中中间给它切成两半儿啊，切成两个相同的，切成两半儿这样一样的，从正中间。给它这个劈开劈开，然后表面增加，大家可以发现表面增加的地方正好是这个截面切面的呃两倍。

好吧，表面增压最好是切面的两倍。切面儿两倍，所以这个表面增加的正好就是什么呢？正好是这个截面儿的这个正方形的啊，矩形面积的两倍啊。好，那这个截面这个是高，然后这个是2r啊，这个直径，所以说它增加是两个这个矩形的面积就等于4r乘以高。所以说它周边的面积是是r乘以高好，那么题干这个高是知道了，我们只要把r求出来就行了，所以在这里面根据条件，

一有条件一所以呢，体积vv呢，就等于派r方再乘以高。好，就等于一个派r方再乘以十就等于40派好，这个就推出r呢是等于二的。r为二好r为二带到这个表面增加的公式，4 rh里面好吧r是为二，然后h呢是为十，所以就可以得到增加的面积呢，确实是80，所以条件一呢是充分的。然后条件儿如果它的体积为200派，然后这个算出来就等于一个派乘以r方。然后再乘以十等于个200派，

然后这个r算出来就等于一个根号20。啊根号20就等于二倍根号五，这个带到里面，它是不充分的啊，这个带到里面去，这个表面积增加值呢，是不不充分的，所以这道题就选择a选项啊。这个答案呢，就不充分，这个答案就选择a这样就写好了，答案是a选项好，这是给大家强调的做题的方法和思路，看是不是弄明白了？下面我们来看第这个题，

这个题的知识点，它的考察把一个容器跟水倒入另外一个容器问题好，那么它的考点主要考察倒水问题。倒水的话，大家注意水的体积。它是不变的，相等的，根据这个来列方程，好一个盛满水的圆柱形容器，底面直径为八高为。h.好，那这个知道了，把容器的水全倒入一个长方体的玻璃缸，求水深是多少？

我们先根据题干，把题干化解完，然后再看条件。好，那我们由题干，我们可以得到。好，它的底面直径为四，说明它半径直径为八，说明半径为4h，就等于15。好，那我们就看出它的v，因为它是装满水的，它的体就等于圆柱，

形体就等于派r方。再乘以15就等于240派。好，接下来他要把这里面的装满水的东西倒到这个长方体玻璃缸里面，好这讲这是一个长方体的一个玻璃缸。厂里不锈钢，然后倒完水以后，他要求水深，我们可以画一下大概的情况啊，倒完水。以后那么这里面这个下面装的都是水。啊，所以它告诉我们的已知数据是什么呢啊？就长为m宽为n高呢是h。是吧，

假如水深就是h那这个水的体跟原来这个水体应该相等就可以得到m×n×h。应该等于200。40派，然后由于题目告诉我h水深应该等于一个五派是吧？h水深它等于五派，然后把它带到里面去就可以得到这个数值关系。看一下mn的结果好，那这个五派240÷5就可以得到48。啊，然后算出它的数值等于48=48，然后我们来看题问一题，问1 m=10。n=8，这个不满足是吧？两个相乘不等于48，

所以它不充分条件m=12。n=6这个呢，也是不满足的，也不满足两个相乘等于48，而且这两个条件它也无法联合。两条件是矛盾的，无法联合，所以单独不成文，没法联合，所以这道题这个答案就选择e选项。好看，这个题是不是明白了？是不是学会了？好，那本小节我们就讲解完毕，

大家把呃里面的题呢好好再做一做，把不会做的或做错的题，然后再好好消化一下，大家有任何疑问可以扫描屏幕上的二维码关注新浪微博来进行答疑。好，最后祝大家金榜题名！

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