8-04综合题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:06:12

下面我们学习第三节难点考项，我们来看一下第四个模块，它的综合题综合题需要大家对图形呢？呃，有空间想象能力要掌握图形的变换方法。好，那么考点呢和公式呢？都前面我们学过，接下来我们看一下本部分图形变换要求，大家掌握的内容，第一个要会分析。空间图形的面儿距离培养这个想象能力，空间想象能力尤其一些截面儿情况，像咱们考试里面截面儿，大家会掌握分析。

第二个利用水的一些等量关系来进行求解。水作为它的等价的桥梁来分析。第三个对图形的切割。切开还有拼接，还有展开折叠等变换，能够灵活分析。比如它展开图是什么样的，或者把平面图给它折成一个空间图，到底什么样的，这块大家会分析和思考。考评率呢，是中。接下来我们来看一下呃，第一个考项就是折叠和展开折叠，展开对图形折叠或者展开问题，

关键要找到全等确定边长和角度。其本质，通过图形变换来传递一些等量关系。好，那接下来我们来看一下例一这个题，一只蜘蛛在正方体的顶点a在a这个地方这个蜘蛛。好一只文字，正好在顶点b这块儿。点点b好，如图所示。现在蜘蛛想尽快的要抓到这只蚊子，那么它说走的最短路线到底有几条？好，它这个蜘蛛不能够在内部有同学说，直接连AB两点不行，

它必须沿着这个正方体表面。然后爬过来，爬过来，爬过来，大家想想，如果这样。先走竖着，然后再走这个对对角线，这样走就比较长是吧？这样走呢比较长，所以应该怎么办呢？应该把它展开，展开后连线就可以了，比如说那么其他面儿不动，把前面这个面儿。

来展开前面这个面呢，可以向左。这个展开如如果展开展到b点是吧？所以把这个b前面这个面儿这样这样展过来展过来b点在这变热，然后接下来我们来看一下这个AB。AB这样一连线AB 1连线，那这个呢？是比比较短的是吧？因为假设这个正方体的棱长为一可以比较一下正方体，如果棱长为一，这是一。那这个这个总的边长就是变成二了二，然后这个就是根号五是吧？这样的话就是短短一点。然后这是根号五。

好，这样求出就根号五啊，如果先上来，然后再走对角线，这个就比较长一点是吧？所以这个稍微长一点，稍微大一点啊。所以在这里面，大家呢，就可以发现，首先要确定最短路线是什么样子的是吧，接下来咱们看有几条有几条这个面儿向左边展。或者说上面这个面儿呢，往上展啊，往上展。

往上展那b点呢，就展到这来了是吧？然后这样连接AB，这样也可以是吧？好，然后或者说后面这个面儿。来进行展后后后面这个面儿是吧？这上面这个面儿展展完了，展完了我们看一下后面这个面儿，后面这个面儿呢呃，把它往这边展。那往这个往这个点a点就长到这来了是吧？这把这后面这面长长到这，这样再一点是吧啊？这这样一点。

好，这样的还有可能是把前面这个面儿呢啊，往往往底下翻翻到这样的一个情况是吧，所以b点呢？啊，翻到这来，翻到这来，然后这时候一连这样也可以。啊，这时候一连这样也行是吧？所以这是它的这个展的这个方法，还有后面这个面儿，后面这个面儿可以往上翻，往往上翻是什么情况呢？往上翻把后面这个面儿。

然后讲到这块来。咱咱这块儿呢，然后这个a点呢，跑这来了是吧？a点跑这，然后这样一连就可以了，所以这样大家可以发现一二三。然后四然后还有还有可能这个面儿呢，往右边展是吧啊，往右边展往右边展就这样展。这样，然后b点呢，就跑到这来这，然后这样一连AB，这样就可以了，

所以这样一二三四五六有六种情况。然后在这里面，大家也可以这样想嘛啊，然后呢，它有六个面儿，六个面儿的话，你这个这个每每种展的方式呢，都可以往上。往左往右往这往前往右往后啊，这个是呃，往后翻是吧？所以这样你看它的翻的方式可以也找到是有六种情况啊，所以这个。这道题大家在数的时候别给数漏了好吧，所以这呃六种情况，

它的路线都等于根号五，它的长都等于根号五，所以最短的长度就是根号五。这是给大家讲的这个做题的方法和思路，看是不是懂了？接下来咱们看一下例二这个题例二这个题啊，如图所示，正方体的边长为二啊，正方体边长为2 ef，分别是它的中点。好，位于e点的一个小虫要爬到从e点开始，要爬到f点，那爬行的最短距离到底多少？爬行最短距离最短距离的话，

要把两者攒在一起。啊，攒在一起，攒在一起，那么第一种攒法就是把上面这个面往前翻。往前翻，然后这f点呢，就跑到这来了。啊，这f点又跑这个位置，然后大家知道棱长为二，棱长为二的话，那这段长度就为一，然后这段长度就为三。所以这样算出来ef就等于根号十。

但你要选根号十的话，这个答案就会出错好吧，这就不是最短的，所以要比较一下这种方式呢，它不是最短的，所以还有一种展的方式，还有一种展的方式呢，就把。呃，这个。面儿往右边往右边往右边f点呢就。往左边展是吧？把上面面往左边展。好往左边转f点就跑到这来了f点跑到这来，所以这样一连就可以了是吧？

这样一连，然后这时候我们构造一个直角三角形，我们再做一个辅助线。这个平行线平行线，然后这个是二，然后因为这个e是终点，这个点也是终点，这个点也是终点，那这个点。啊，也重点这样一连那这整个长度。啊，整个长度整个长度，那么就得到也是二这个也是二这个也是二，所以ef。

就等于根号八是吧？根号八根号八就写成二倍根号二，所以大家可以发现这个二倍根号二才是最短的是吧？最短所以说展的方式要比较一下，知道吧？所以通过几种情况呢，比较一下，所以通过这两个题都把两个点展成展到一个面上。展开后，在一个面儿ef，它本来不在一个面儿上，把它展成一个面儿，然后一连线，这样就可以了。连完后，

然后再把它折回去，小虫呢？就按照这个。呃，连线来进行爬，比如说他先从e点开始，先按照左边爬到这，然后呢，再爬过来啊，这样是最短的。好，这是给大家强调的，他的展开求长度问题，看是不是听懂了？接下来我们来看一下与水相关的体积，

与水相关体积主要根据水的体积来建立一些等量关系来求解，等量关系来求解。啊，那么有一个长方体容器长是30，宽是20，高是十啊，这是长宽高，那都写好了。啊长宽高这样的。好，那这个长是30，宽是20，高是十。然后里面水深呢是六啊，里面的水深呢，

它是六。啊，这有个水深，这比如这些水深，这个水深呢高度是六。啊，如果把这个容器盖紧盖紧，意思就不漏水啊，朝左竖起朝左竖起，有最小面为底面，问里面水深到底多少，这里就根据它的水。呃量是作为等量，因为它不管怎么放，它是呃不漏水不漏水，

所以说在这里面啊，这个水的体积是一样的，所以这种放置的话，它水的体积应该多少？这种放置它是水的体积。所以体积就就底面积乘以高就行了，所以v水。有20×30，再乘以六，这样就写出来了，好吧，所以说这样就得到3600。好，那这是它的水的体积，然后又现在又把它竖着放血，

竖着放血呢呃，为了呃，表达这个更准确，它的最小面就作为底面就是十×20作为底面作为底面，它是它的高到底多少？这样的话，就拿它的体积3600，除以它的面积十和20，这样就写好了，就等于18。是吧，所以这样答案应该选择d选项好，这是它的做题方法思路，看看是不是懂了，所以这道题主要考察谁的题作为等量来进行列式求解，

就可以写出它的答案。接下来我们看一下例四这个题，一个长方体装满水啊，这个注意水是装满的，然后现有大中小三个铁球，第一次把小球沉入水中。第二次把小球取出来，把中球沉入水中，第三次把中球取出来，把小球和大球一起呢呃沉到水里面。然后已知每次从溶液中溢水量的情况是第二次是第一次的3倍，第三次是第一次二点五倍。通过这个溢水量来分析，大球体积是小球体积多少倍，注意它是铁球。

啊，那么在这里面我们就来看一下溢水的这个情况啊，溢水这个情况好，那第一次是装满水的水是装满，大家就想想咱们这一一盆水。如果要装满的。好里面比如这个水，它都是满的。啊，都装满了，装满如果第一次要把这个小球放到里面去，小球放里面就微小放小球放里面去，它的溢水量就等于微小。是吧，由于它这道题求倍数，

求倍数，求比值，我们可以取特值好吧，所以这样的话，大家好分析计算也简单，我们设小球。体积为一。所以小球的体积呢，正好为一小球体积呢，是一小球体积是一，那第一次溢水量。就有一是吧，第一次溢水量就为一，因为它刚好是满的是吧，第一次溢水量就为一，

然后接下来第二次把小球先从这个水里面取出来。这是小球，先给它取出来，注意它取出来，小球离开水面的时候，这个水会下降。大家要注意，比如说我们从水里面呃捞一个东西出来，这个水面可能会下降好，因为这个铁球在里面的时候，小球在里面的时候，这个水溢完以后还是满的，对不对？溢完以后还是满的还是满的，所以把这个物体从里面捞走，

捞走这个水面会下降，下降一个铁球的体积那么高，所以说比如说它体积呢，下降所以上面会空一部分。知道吧，空一部分空一部分，第二次把中球沉入水中。第二次的遇水量，遇水量应该是中求再减掉这个空的这一块啊，空的这一块。啊，要减掉这个一，所以说它的溢水量是什么？溢水量就是拿这个物体的体积再减掉上面空的这个体积，所以说要注意v溢水量。

就等于v物体。减掉v空，他的这个情况是吧？就是v物体减掉v空，他的这个特征，他的这个情况啊v物体减掉v空。v物体减到v空减到空的这一块。是吧，就是这个溢水量就是v物体减到v空。好，他的这个呃式子方法是吧啊，就是剪到空的这一块。啊，捡到空的，因为这个物体往里放的时候往里放的时候，

它水面先慢慢升高，先没有意义，知道吧，因为它上面空了一部分，所以水面先升高，没有意义，当放到里面就有水面，刚好满的时候，这个物体再往里放的时候，水它才开始往外溢。啊，所以要减到空的好，它说第二次是第一次溢水的3倍，那第一次溢水的一嘛，它就是三了三，

这样就可以得到v中求就等于四。然后第三次我们看溢水量。第三个意识量好，那接下来我们来看一下就是。啊，因为第二次这个中球不是在里面吗？中球在里面的时候，这个水还是满的，一一晚上还是满的，那么你把这个中球给捞出来以后，这个水面它就继续在下降。是吧g就下下降下降了一个中球的体积是吧四然后第三呢，把小球和大球一起往里放一往里放的时候，水面还是先升高，先把空的地方呢给它占满。

再满以后，然后物理再往里放的时候，它才往外溢。是吧，这个大家可以想象一个生活常识，所以这个时候呢，那第三次溢水量就是v小球，加上v大球减掉一个四。就减掉中球体积，这是他意识量第三次，意识量是第一次的二点五倍。二点五倍，然后刚咱们设小球体为一，小球体为一，然后这样的话就可以算出大球体，

大球体等于五点五。啊，五点五这样求出来，五点五的话，所以带有体是小体的五点五倍，这样大家就选择e选项好，这是它的做题方法和思路，大家呢，一定要记住溢水量它的公式。好吧，就看上面空的这个体要给它减掉，减掉以后多的体才是把水给撑到外面去，知道吧，给它溢出来好，这是它的。

知识点和内容看是不是懂了？接下来我们看一下例五这个题啊，如图所示饮料瓶的体积是300毫升啊，饮料瓶体积300毫升。正放时饮料的这个高度呢，是20倒放时它空余高度呢，就是五则饮料有多少升？啊，饮料总少升在这里面，大家注意饮料总体积是什么呢？就是微总。总体就等于v饮料就装饮料的这个体积v饮料。加上v空是吧？所以就是这有饮料的体积，加上上面空的体积加在一起，

就等于整个瓶子的体积。是吧，这样的一个特征。然后接下来我们来看一下。好，那么在这里面，大家知道这个。这个比例关系是不是比例关？因为它这个都把它看成一个柱体嘛。上面虽然这个。瓶颈的地方，它不规则，但是呢，这块可以把它看成一个柱体是吧？这块可以把它看成一个柱体。

这块也可以把它看成一个柱体，是不是这样的好那柱体，所以在这里面可以通过这个可以得到什么微饮料？是这个微空的4倍，因为它高是它的4倍嘛，因为这个高是20，这个高是五，所以就得到它的空体积的4倍。好，这样就写好了。这样那接下来我们呢？就可以带到里面去，带到里面他就等于五倍的为空了。这样等于300，300那就可以解出这个微空。

等于60对吧？为空正好60好，为空60算出来了，那就可以推出v饮料。就等于240正确答案，应该选择d选项就240，这样就写好了啊，得到它这里方法思路正确，答案就选d。看这个是不是明白了好，这是它的求解方法和思路，看是不是听懂了好，这是第五，它的做题的知识点。所以大家呢，

要找到它柱体，如果呃，这个底面积要一样，底面要一样，它的高，那有同学说这这个弯了一点弯一点，这个没事，这个忽略掉就行了，或者说这这两个都有弯的部分。这就不用管那么多好吧，所以大家就把它看成圆柱就可以了。好，接下来我们来看一下它堆积问题，堆积问题，堆积问题就是多个呃东西落在一起，

比如说有时候我们摆摆书啊什么的，这个好多书落在一起是吧？或者说摆一些积木。对多个地图形堆积问题，可以从不同视角来看，比如上下左右前后六个角度来算，一般算它表面积啊。好比如例六，在一个棱长为五的正方体上，放一个棱长为四的小正方体，这是为五，这是为四小正方体。这个立体图形的表面积到底多少？表面积多少？大家大家可以发现，

从正面看，从正面看的话，其实就看了两个正方形。是吧，然后从左边看有两个正方形，从右边看，从后面看都是两个正方形，所以说它的表面积s就等于16+25×4。16就代表这个小正方形的面积。25代表这个大正方形面积加在一起，就这一个面看到面积乘以四。啊一二三四然后看然后这个得到这个结论，然后从上面往下看。从上方来看，只能看到这一个大面啊，

就25，然后从下方上看，也是看到这个大面就25×2。是吧，乘以二这样就写好了。啊，当然有同学呢，是分别算，然后减到重合的，这样也可以，但是如果它落的比较多的话，这重合的就不好减了啊。这道题呢，就是两个落两个落的话，你可以把这道题还可以用小正方形的小正方体的表面积加大，

正方体表面积减掉重合的。这一块儿是吧？所以说这个重合的，那这一块儿呢啊，也可以是吧？但是呢，如果要落的很多，那就不好减了啊，就不好计算了。知道吧，所以这对我们大家呢，就是呃，从不同角度来看，这要简单好，那这个就可以得到是41。

乘以四再加上50。然后在这里面，我们就可以得到它的这个结果，正确答案就选择的是214，因为这个正好是164嘛，所以加在一起214，正确答案应该选择的是a选项。答案就求解出来了，好，这是给大家讲的这个堆积问题，两个图形的堆积比较简单。然后接下来我们来看一下，就是切割问题啊，切割问题，他的这个做题的方法思路。

然后在这种64个棱长为一的同样大小的小正方体，其中呢，有三四个，咱们涂白色的。还有30个涂黑色的，总共呢，这是64个。然后像现在给它拼成一个四×4×4的大正方体，就是每个棱边都是由四块构成的，在大正方体表面上白色部分最多。白色部分最多，那么咱们大概画一个这个图。画一个图，然后白色部分最多，白色部分最多，

他也就是说他这个正好四×4嘛？这样的一。二三四是吧？这个也是一。二三四是吧？然后这个也分成。一二。三四。好，大概就就这么多吧，然后这这边也是分一二三四。这也分一二。三四好，大概就画画了这么多吧？好，

那这样，他说这个白色部分最多是多少？最多最多的话呢，大家发现就是白色最最多是什么情况？最多呢，就是看在这个先看这个角，这这个角大家是要知道一个一个角。它会露出三个面儿是吧？就这角上的一个正方形，它会露暴露在外面有三个面儿是吧？因为它棱长为一，每个面儿的面积就为一，所以说白色的先放在角。是吧，先紧最多地方放，

所以八个八个顶点。是吧，八个顶点，然后每个顶点露出三个面，就是他面积为三，每个顶点露出三那白色的。它乘以八就得24，所以就24平方厘米是吧？所以这八个顶点它露在外面是。是24平方厘米，然后再看棱边，棱边，棱边，每个棱边，每个棱边的话，

它可以露出两个面儿是吧？就是当这个棱边要去掉两个顶点，就中间这两个。中间那条，所以棱边上12条棱边。12条棱边，每个棱边它有两块儿露出来是吧？有两块儿两两块儿，它会有两个面儿出来啊，两面儿，所以它面积为二，总共12条棱边，每个露出两面儿也等于24。然后接下来咱们再看放在中间上，中间这种还剩下几个，

我们看还剩下几个啊？因为还剩余。剩余三十四减掉八减十二，还剩余十四个。是吧，还剩余这个十十十四个。好在这里面大家呢，可以看剩下14个，剩下14个就就放在只能放在中间，这个面上是吧？再放这个面儿上，所以面儿上面儿上的话，反正面儿上是足够多的，你14个都放在面儿上就行了，那么面儿每个每个它露出一个。

是吧啊，露露出一个露出一个，这样就可以写出来好，这总共呢，就34，所以在这里面大家呢，要首先要考虑呢，它这个放在这个。顶点处好吧，就顶点处，大家要注意它的这个情况。啊顶点处顶点处有八个，然后每条棱边呢，然后放两个放两个话，然后在这里面，

它还剩下，因为这个棱边呢，每个棱边是放两块儿的是吧？放放两块儿。好放两块，放两块的话，这个就是还剩下两个。啊，还剩下两个了，所以剩余就剩余两个，因为每个棱边是放两个的，每个顶点是放一个，知道吧，所以总共三四个白色的嘛，对吧？

剩下两个。这样那接下来我们答案就可以求解出来好吧，所以在这里面大家呢，就可以算出它这个露在白色部分最多，这个数值就可以写出它的。40了，所以在这里面我们呢，就可以写出来，然后这个地方呢，然后再乘以个二是吧，这地方再乘以二就是总共呢，有24个24个呢，每个每个面儿可以露出两个露两个，所以就得到48。平方厘米刚才算的24是24个知道吧？

24是个数个数，每一个他可以露出两个面。所以说它有48平方厘米好，这就写上写出来了，然后剩下两剩下两个呢，剩下两个就放在面儿上就面儿。中间。所以它每个面呢，它就露出。两平方厘米是吧？所以说这个每一个露出两平方厘米，所以把它加在一起，所以最多。就24+48，再加二就等于74平方厘米好，

这样就写好了，所以这个答案应该选择的是c选项。好，这个给大家进行讲，它要知道这个顶点，然后是什么情况？棱边是什么情况？能露出多少平方厘米？然后呢？就是面儿中间那么露出多少平方厘米？所以放剩下两个就放在面儿中间就可以了，好，这是它的做题的方法思路，看是不是明白了？好，

接下来我们看一下例八这个题。例八这个题它是好多个30个棱长为一的正方体，把它垒成一个四层的立体图形，这是四层立体图形，那这个立体图形的表面积到底是多少？就是它表面的值到底等于几表面我们这个呢？就是从不同的角度来看，比如从前面来看，前面来看这有几个面，一个两个这是。三个，这是四个四个，所以说它露出来应该有十个面儿，对吧啊？十个面儿，

所以露出来有十个面儿，然后从不同角度看的话，这边有十个，这边有十个。从后面看也有十个是吧，所以说它的表面s就等于十×4，再加上再加上从上往下看。从上往下看，其实你只看到一个什么四×4只看到一个16这样大的一个面儿，然后跟从下方上看也是16。等于等于40+32。就等于72，所以这个答案应该选择的是e选项，答案就求解出来了，然后这是它的做题方法，

思路看是不是懂了？好，这道题它考试的要点就是从不同角度来去看它的面的情况，然后求它的答案。好，接下来咱们看第四个问题就是切挖问题啊，切挖切挖就根据切挖位置来分析表面变化，通过变化规律来进行分析，一个棱长为六的正方体木块把它锯成棱长为二的小正方体。表面增加多少个？我们看一下原来表面积和现在表面积的这个情况是吧？然后聚成棱长为二的，大家可以发现可以聚成27块。是吧，所以它可以锯成27块儿，

所以s现在它的表面积现在表面积大家知道呃，正方体的表面积有六乘以边长的平方，正方体的表面积六乘以边长平方，然后再乘以27块儿。是吧，再乘以二二二七块这27个好，这是现在的表面积，然后原来的表面积好，原来表面积的话就是六乘以边长的平方。是吧啊，六乘以边长平方，这是原来表面积。然后接下来他增加的部分。增加部分就是拿这个现在的情况。然后减掉原来的数就可以了。

然后在算的时候，大家可以发现答案一定是六的倍数，你可以提出个六，另外就是四×27。对吧啊，四×27就108了。减掉36是吧？所以就是这个里面有108减掉一个36。删掉，然后这个就得到七十二六乘以七十二六×72就等于432是吧？正确答案应该选择的是d选项。等于432。正确答案就选择d，这样就写好了，好，

这是他的做题方法思路，看这个是不是懂了他的考试要点，看是否明白了。好，那接下来咱们看一下历史这个题，一个长方体的长宽高分别是六五四把它。切成三个。提相同的小长方体，就现在三个相同的小长方体，这三个相当长长方体的表面和最大是多少？最大最大，大家注意每切一次要增加两个面是吧？每切一次。那增加是增加两个面。每切一次，

它增加两个面儿，在这么大家肯定要沿着最大的面儿来切是吧啊，沿着最大的面儿来进行切。好，这是六五四是吧？然后就沿着最大面切，所以说呃要切成三个的话。他要切两次，切两次要增加四个面，所以说现在v呃，现在s max。m20就等于原来的表面，原来的表面算出来，然后再加上增加的表面积是吧？原来表面原来这个长方体表面积二倍的四×5。

加上四×6+5×6好，这是原来表面，然后再加上增加的，增加的话就沿着最大面来切，最大面就是五×6这个面。因为大家知道切一次增加两个面。切两个增加四个面儿，就是五×6，然后再增加了四个面儿，所以再加四，这样就可以了好，那这个答案这个答案就得到是268。好这个呢，应该选择的是b选项，好这道题主要考察切切开它的表面情况，

所以每切一次，它就要增加比原来增加两个面儿，切两次就增加四个面儿。所以在这里面要掌握它的方法，而且要知道怎么样增加最大，所以按照最大面儿来切就可以了，好这大家要知道这种想象能力，要会分析和思考。接下来我们看一下例11这个题好那么一个长方体木块棱长为一。啊，将它沿水平方向锯成两片啊，水平方向就是这个锯成两片，比如说你看这是一。二就是锯一次就锯两两片，就是相当锯了一次，

然后每片要锯成三条是吧？锯成三条相当于要锯两次，你看这个就锯成三条了，这一条两条。三条，然后每一条锯成四小块，你可以看从这个方向看，这样四小块。共得了大大小小的，有大有小，这个总24块，那这24块长体表面之和到底多少？那有同学说这个又有大有小，这个长度又不知道。那怎么算这个没关系，

你只要看增加多少就可以了，大家可以发现它原来的表面是六乘以边长的平方。对吧，因为它原来整个正方体，它棱长为一，棱长为一，它的表面积就是六乘以边长平方，然后再看增加的增加，大家记住。然后聚一次，增加两面，我们看一下聚多少次，这时候呢，聚成两片是聚了一次啊，这是聚一次，

这是聚两次。这是聚三次，所以在这里面相当于总共聚了六次，聚了六次，相当于增加12个面。增加12个面啊，增加12个，所以在这里面就可以得到是18好正确答案应该选择的是a选项答案就求解出来了。好，这是他做题的方法思路，看这个是不懂了。所以通过这道题，大家要知道啊，每锯一次或者每切一次，增加两面儿，

你就看总共切了多少次，增加了多少个面儿就行了，比原来多了几个面儿。啊，这样就可以算出它的表面积好，这是它的做题的方法。接下来咱们来看一下这个切挖，挖掉一个这个长方体好，再一个棱长为十的立方体呢，截一个。长度为八。宽度为三，高度为二的一个小长方体问新的几何体的表面到底多少？表面大家注意，它正好是在这个。

顶点处，它这个小长方体截掉的小长方体跟大长方体正好共用这个一个顶点，共用顶点，其实大家可以发现它表面积没变化。是吧，所以它表面积呢？是不变的啊，所以如果在顶点。啊顶点处，然后呢？这个挖一个长方体，或者挖一个正方体，它的表面积是不变的。表面不变，所以s还等于原来这个整个呃。

表面积，所以原来棱长为十的正方体，它表面积就六×10^2得到是600，然后把这个呢应该选择的是e选项答案就求解出来了。好，这是它的做题方法和思路啊，如果要要在棱边中间要没过这个点，没过这个点，你要看它的表面增加多少？是吧呃，表表面增加就增加了两头儿是吧？就增加两个面儿都在棱边中间，如果在面儿中间面儿中间，它要增加四个面儿。是吧，

增加四个四个这个侧面儿好，这是大家要会想象能力，要会分析。接下来我们看一下例13这个题，在一个边长为四的正方体分别在前后左右上下。前后左右上下中心挖去一个棱长为一的正方体，做成一个呃玩具，它表面图中只画了这个一部分，前面的右边的和上面的，后面的咱们看不到，还有左边的。呃，下面呢？咱们这个看不到就没有画，反正每个面儿都挖了是吧？

都挖了，然后它表面大家知道在面儿中间它它它挖掉增加的话是四周的四个面儿。四个侧面儿是吧？只要增加了，正好这四个侧面儿啊，所以正好四个侧面儿，所以说大家可以发现原来表面原来表面积呢是六×4^2。加上啊，它这个正好是棱长为一，棱长为一，就是一个面，它要增加四个侧面。因为一个侧面面积是一，那增加四个就是增加四，增加四的话，

六六个面儿增加这么多是吧？所以这个就等于96，加上24。然后就得到是120。好正确答案，就选择a选项答案，就求解出来了。好这条增加的面儿，增加的面积到底是多少？这在中间法刚刚咱们讲在中间法是增加四个。侧面儿是吧？如果刚好过这个，它的顶点挖这个表面是不变，如果在棱边中间挖是增加两面儿。好，

这是它的啊，内容一定要理解的，不要死记硬背，老师写的这些东西一定要理解它的图形，想象一下好吧，培养大家想象能力。接下来例十是这个题啊，在一个棱长为二的正方体，然后正方体表面。正方体上表面正中向下挖一个棱长为一的呃，棱长为一的正方体小洞，接着在小洞底面再挖一个棱长为二分之一的。啊正方体小洞，然后第三个呢跟挖法跟前面一样，它只不过棱长变成四分之一，

问得到立体图形的表面到底是多少啊？立体图形的。表面积这样的话，大家可以发现它的这个数值情况，然后看它增加多少，原来的这个表面积呢？是六×2^2，因为原来这个棱长为二。是吧，圆上棱长为二，棱长为二，他的表面积又乘以二的平方，然后再加上。啊，再加上再加上它这个增加增加都是四个侧面啊，

所以第一个大的挖的时候增加了四个侧面，四个侧面有四×1^2。像中间这个挖的时候增加四个侧面，四乘以二分之一的平方，下面这个挖的时候四乘以四分之一的平方得到这个值。就写好了，好这样就六乘以四得到二十四，然后加上四，然后这个呢？这样加上一这个加上四分之一。然后再这样二十九又四分之一答案就求解出来，这样答案应该选择的是a选项好，这是他做题的方法和思路，看是不懂了。所以就是只要在中间把它增加，

都是四个侧面儿，所以把它每一个侧面儿给它算出来算出来，然后加在一起就可以得到它的表面积啊。好，这是给大家强调的做题的方法，一定要培养这些想象能力，看这想象能力是否达到了。

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