解析几何-综合提高题-问题求解（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:05:10

好，下面咱们看一下第十题，这个题好，这个题主要考点是考察光线的一个反射问题是吧啊，光光线这个反射。好，他说一个点啊，一个呃点发射的光线l照射x轴上被x轴反射，其反射。光线所在的直线与这个圆又相切啊，又考了直线圆则反射光线所在直线方程到底是多少？好，那这道题它的呃主要的知识点，我们呢就要掌握。一个是光线反射，

光线反射要用对称，另外一个考的直线和圆的位置关关系。这光的反射。这要用到对称，另外还考察直线与圆的位置关系。啊，直线与圆的位置关系情况好，那下面咱们来看一下这个这个题目好，它被x轴反射反射以后光线跟它相切。问，这道题要求反射光线所在的方程到底是多少？好，那我们知道反射光线所经过的，点知道是多多少吧，反射光线，

因为它经过x轴反射，要关于x轴对称是吧？那也说a点关于x轴对称的点，应该在它反射光线上是吧？所以a点正好负三三。关于x轴对称，因为它是关于x轴反射啊，关于x轴对对称的a1撇，关x轴对称就把y给它换个号。就行了好吧，关于x轴对称就a撇负三负三，有时候有时候它所求的所求的反射光线应该经过负三负三这个点。好吧，然后在这里面大家就可以验证选项，考试时候就可以验证选项，

看a选项a选项，它是。不经过这些b选项，它也不经过这些是吧？还有c选项。负三。负三它这个也不经过d选项，好像也不太行好，只有e选项这个是行的是吧？所以e选项。这个是满足的，那这样就写写出来了好吧好，这是给大家强调它这个特征，当然如果呃，这个选项要改一下的话。

啊，或者有有两个选项过负三负三，这个点怎么办呢？在这里面再验证一下，如果这个地方想求啊，让你求的话，你就这样求了，那就设。反射光线。就为因为它正好是负三负负三嘛，就y=1个k倍的x+3在。减三是吧？它经过负三负三，这这个点好反射光线是这个，这它又跟圆相相切，

圆相圆可以配方配上x- 2^2。像y- 2^2，正好就为一是吧？配成这个那，然后利用圆心到直线距离正好等于半径求出k就行了。好吧，所以这个我就不再解了，这个咱们前面都写过，有利用啊，这个d=r啊，求出这个k的值求k的值答案就可以写出来，所以如果这道题让你求这个k啊，然后或者说选项你没法。去验证这时候怎么办？这时候大家呢，

就用这样的方法啊，所以首先求出a点的对称点，说明反射光线经过它，经过它以后，然后反射光线方程写出来，然后再根据这个直线与圆相切。然后写出啊，斜率就可以了。好，下面咱们看一下第11题，这道题这道题的考点是考察点关于直直线的对对称考点。啊，就是点关于直线，它的对称好点，关于直线的对称点，

我们来看一下怎么写，大家可以发现，如果常规方法应该是a。和a1撇垂直于直线l是吧？还有a和a1撇中点。应该正好在l上，这是常规方法列两个方程啊，当然不想解，可以验证选项，但是另外一个方法是什么列化，如果它当。技巧技巧，就当它这个斜率k等于正负一的时候，我们可以用是吧？可以用你看这道题直线斜率k是不是正好等于负一啊？

所以x+y+3=0嘛，这个斜率k它正好就负负一看这个是不是学会了斜率k正好就为负一？是不是这样的？好就可以用，可以用那怎么用呢？没听过同学，我再给大家进行介绍一下，就把这个a点直接带到x里面，这听懂没有？把x坐标带到x里面，注意这时候y先不要着急带。然后解出y就行了好吧，所以这个y算呢，就等于个。负二是吧？

等于负二好，这个YY坐标写出来了，然后再把y坐标二带到这个里里里头来解出x把y=2带到里面解出xx算出来是不是等于负啊？所以x值这样就等于负五，所以说这个坐标就是负二啊，负五负二，这个点答案就求解出来了，看这个题是不是学会了好，这样就比解一般方法呢？要简单，所以我再概括一下，当这条直线斜率k等于正负一的时候，你可以把x坐标带到里面求出y。然后再把y坐标在里面求x，然后这个对称点。

a1撇就得到答案了是吧？答案就写出来了，所以掌握这样的技巧和方法。好，下面咱们看一下第12题，第12题是主要考的直线，关于直线的对称。好直线关于直线对称一般方法呢，也是比较麻烦，一般方法呢，一般方法的话，首先呢，要找它的焦点是吧，所求直线经过它的焦点。然后另外在这个直线上任取一点关于它对应点就在l上。

写出它的方程，这一般方法是吧？一般方法一般方法那比较麻当，有个技巧我就直接写了。当这些k等于正负一的时候，你要代换啊k等于正负一的时候。代换大家可以看这条直线的斜率是不是正好就是负一啊？当然右边这个零还可以改成一呀二呀三呀，都可以听到没s+y=0可以改成x+y=2或者x+y=3^2法都都一样。好，如果k等于正负一的时候把xy替换一下，这个x+y=0 x可以换成负y，听到没有？这个y呢？也可以换成负x，

明白吧？所以就通过x+y=0，你可以把s解出来x就等于负YY呢就等于负s代到原来里面就可以求出它对称的直线。方程就是负2y，加上x=1，这样答案就可以写出来，就可以写成x- 2 y- 1。等于零是吧？所以x- 2y正好等于一正确答案，就选择a选项答案就求解出来了。好吧好，这是给大家强调的做题的方法，所以这个小技巧大家要知道啊，知道当这些列k点正负一的时候，把xy解出来。

然后带到里面去就可以写出它的答案。这是我们在前面讲表格的时候给大家进行讲过总结的特殊对称，要掌握住。好，那么第13题13题好，这个直线关于它对称的直线方程到底是多少？那这时候就不能带了，虽然这个l1的斜率是正负一，但是不不行啊，不要看错了。一定是对称轴的斜率为正负一踩才行啊，一定是它的对称，它这个因为前面关于它对称谁关于谁对对称，一定要知道。它的斜率为正负一的时候，

刚才上面这个题的技巧才可以用啊，所以下面这个题大家就注意，就不能用这个技巧了啊，如果l1和l2换一下说l2关于l1。对称这是可以用的啊，只要l1这条斜率为正负一为对称轴的时候是可以用这个技巧的啊，所以这道题考察考点。是考了直线。关于直线，它的对称情况。好，跟上一题差不多，听到没？这两个考点差不多，只不过一个考察特殊的啊，

可以使用技巧，一个不能使用技巧，不能使用技巧的话，那么在这里面，我们呢，就可以采用这个一般方法，刚才咱讲用l1。与l2交点。这样这个大家至于联立方程啊，这两联立方程去解一下，解完后就可以得到是负二分之五负二分之九好吧。这两解解解一解解一解得到负二分之五和负二分之九，这l一和l交点。这个解出来了好，那接下来我们在l1上任取一个点，

这个当然取的越简单越好啊，就l1上。取一点。好，那么取点坐标，比如说尽量取到含有零的，这个要简单点，比如s=2 y为零。或者x为0y等于负二零负二这个都行啊，这两点取哪个都行，反正有个为零好l上取一个点二零它关于。l2的对称点。这个就用咱们前面讲的点关于直线对称，这些自己去解啊，我可能这就不再解了，

对称点那就负的五分之十七和五分之九。好，这样就写好了，写好，然后两点两点就可以确定一线嘛，就是这有一个交点了，然后这个对称点了，然后就可以推出这个直线。方程。这个大家就自己可以写出来，这个大家就选择d选项就7 x+y+22等于等于零。当然，做到这，大家也可以验证选项。听到没，

验证选项，比如说做到这个点，可以带到选项验证一下，这样话如果只剩下一个答案的话，那么后面步骤都可以省略。好吧，所以不一定非要把整个题做完以后，然后再选答案，也就做一步，我们就是排除选项，然后看看有没有答案，这样要简单一些，看是不是学会了？好，下面咱们看下第14题，

第四题也是考察这个最值问题。考察这个求这个ax+by这类形式，它的最值。它最值的话，前面不管给的是什么区域，如果前面给的xy满足是一个圆，那么就当它相切的时候取最值。如果前面给的是一个多边形，比如三角形也好，四边形也好，都在边界点取最值，听到没？在边界上求最值啊，好，这是它给的，

是一个圆。好，我们就例2 x-y就等于c就套咱们前面例题讲的最值方法啊，然后这个圆可以配方配上x+1^2。加上y- 2^2正好等于五是吧？就变成x+1^2加上y- 2^2，它正好等于五。好，这时候圆心到直线，距离d圆心呢负一二，然后到直线距离d。t等于根号下四+1，它原因坐标是负一二，这个点听到没？好把x=- 1 y=2带到里面去。

变成四+c绝对值。啊，把这个x=- 1啊y=2带到里面去，这样就可以写它的结果了，看这个题是不是学会了是吧？然后这样我们就可以找到它的做题的方法，所以大家呢，要掌握它的这个内容，就是我们就是令它等于一个c，只要把c的。取值求出来就行了，就这个直线一定要跟圆，要有共同交交交点啊，小于等于。半半径小于等于半径，

当然取等号的时候，它是产生最值取等号，就代表这个直线跟圆要相切。是吧，要要要相切好，那在这里面我们就可以解出c它的取值的范围好吧c它的取值范围就得到四+c的绝对值。小于等于五好，那c最大值就为一，最小值就是负负九是吧？然后负九到一。好，最大值就选择一就行了啊，所以正确答案就选择一这个数值答案就求出来了。好，这是给大家强调的做题的方法啊，

这个答案选择b啊b呢，就为一。好，这样就求出来了，看这个是不是学会了？好，那这道题大家以后求ax+by的最值的时候，如果要给的是圆，就找两者相切，如果要给的是其他的，比如说三角形或其他四边形，大家在。边界点找最值就行了，好下面咱们看第15题，第15题就考察一个分式的最最值是吧考点？

就求y-b÷x-a这种特性的最值。所以在这道题里面，它YY比xy比x呢就更简单，就相当相当，这个a和b都为零，发现没有a和b呢都是为零的。好，那在这里面，我们就可以令y比上s=k等等于k，那就变成了。kx-y等等于零也是跟它相切相切，我们看一下圆心，圆心是圆心是三和根号三啊。圆三根号三，然后到直线，

它的距离d就等于根号下。呃k方加一，然后再把x=3 y等于根号三代表什么呀？3k减根号三。这个绝对值要小于等于它的半径，半径正好是根号六是吧？半径呢？它正好就是根号六，这样就可以写出它的这个结果。好，那在这里面大家呢？就可以两边平方。解出这个k的值。明白吧，所以两边平方两边平方，

这样既能把根号去掉，又能把绝值去掉，所以平方。平方，然后这个绝值平方就变成3k减根号三的平方。小于等于其实你就在等号找最值就行了，好吧，你这个找找一个等号就行了啊，这考试时候就不那么严谨，所以说等于。六倍的k方加一是吧？所以说在这里面两边平平方比方这个k就自己去解啊，两边展开展开后求出k的值。k最大就等于根号三+2，正确答案就选择c选项好吧k，

还有一个值就是最小值了啊，所以咱们要找最大值好吧，最大值。就是根号三+2。啊，这个就自己去解这个，这最大那么k，还有一个值另外一个值就是最小值了啊，要掌握它的做题方法。好，下面咱们看第16题，这个题目好，这个题目考点呢，主要是考察一个是切线问题，另外一个就是坐标轴围成的三角形面积啊考点。

一个切线。另外就是面面积知识点，还考察一个最值。好考到一个最值，因为这道题问的同学比较多。我就给大家画一个示意图，假如这就是一个圆半径为一的，一个圆在第一象限内。任何点为切线好加这个这个点这个是AB。啊，为切点好所做圆的切线与两坐标的，围成三角形，最小面积到底是几？啊，最小面积到底为多少？

其实这道题你猜答案也能知道，当这个三角形是一个等腰直角三角形的时候，应该最小对吧？如如果想不到的话，那我们写一下啊，好大家注意，有一个先求切线方程。先用切线方程切线方的话，大家当然你可以设切线为y=k倍的s-a+b是吧？切线可以写成y等于。k倍的x-a+b。然后利用圆心到直线距离等于半径把k求出来，然后再写切切线是吧？只不过那样比较麻烦，我给大家讲一个小诀窍啊。

过圆上一点写切线方程，直接用替换法啊啊，大家听好了怎么替换呢？大家知道这个x的平方x平方是不是可以把它看成两个x相乘，把其中一个？这个x换成切点里面的a。然后再看YY方的话，可以把它看成两y相相乘，两y相乘的话，那么有一个y换成b。这个它的期限这样简单，我再说一下啊，这个写这个期限方程，它的要求什么必须这个点正好在这个圆上就过圆上一点，如果这个点要在圆外就不适合啊。

这个点刚好在圆上，咱们考试里面出现几次这样的点在圆上啊，如果点要刚好在圆上。那它的切线方程就把x替换一个坐标y替换一个坐标，其他都不变，就是它的切线方程好吧，切线方程就写出来了。好，另外它围成三角形面积公式，我们看写一下啊，面积公式好，面积公式的话啊，它的。截距嘛，就是a分之一和b分之一是吧？

就是二AB分之一是吧？这就是是不是啊？一条直线与两坐标轴围成三角形面积的公式啊？看这块是不是想想是不是学会了，然后在这里面大家注意，由于这个切点又正好在这个圆周上是吧？这个切点刚好在这个圆圆圆周上，所以。满足这个圆，所以就说明a方加b方是不是就为一呀？看是不是学会了就是a方加b方是不是就为一？a方加b方分之一，大家知道a方加b方是不是大于等于2 AB呀？对不对？a方加b方是不是大于等于2 a ab呀？

然后这样是不是就可以得到二AB分之一？是不是大于？等于一呀。是不是这样呢？两边取倒数嘛？取倒数啊，大于是等于一，所以这个二AB分之一就大于等于一，所以最小面积为一是吧，这样就写出来了，好，那通过这道题，大家听完后说过什么？如果考试过圆上某一点写这个期限。把这个啊xy替换一个就行了啊，

替换一个，这样就写出来了，另外要知道直线两坐标的围成面积公式，要知道另外一个就知道一个基本不等式啊a方加b方大于等于二二倍根号AB。2 AB这样就写出来了，好，下面咱们看一下第17题，第11主要考点是考察圆的两条切线，而且考察两平行直线的距离。考点就两平行直线，它的距离。两平行直线距离，因为这两条平行直线，它都是一个圆的切线是吧？然后这样两平行直线的距离d就是圆的直径。

是吧，把这d写出来好，大家记过两平行之间距离公式吧，两平行之间距离公式一定要把这个前面的系数x系数y系数要统一啊，我把那公式写一下as+by。加上c1=0与ax+by+c二=0，它的距距离d就等于根号下a方加b方c1-c二的绝对值是吧？啊d就等于根号下a方加b方上面有c1-c二绝对值，这是它的d好在这道题，你要么就把它第一个方程都乘以二变成六和负八，要么都除以二，这都没关系，你把它。乘以二的话就变成6 x- 8y，加上八=0，

这个6 x- 8 y+13=0好，这个就推出它的d。对不对？根号下六方加八方，其就是十啊，六方加八方，其就是十上面就13。十三减八就是五，所以就得到是二分之一是吧？所以在这里面它dd等于二分之一，说明圆的半径就是四分之一，圆的半径四分之一，那圆的面积就等于派r方。这样就写出来了，就是a选项，

看这道题是不是学会了这道题正确答案，就选择a看是不是弄明白了？好，这通过这道题给大家强调做题方法和思路，看是不是听懂了啊？呃，两屏之间距离在呃，这个做题中就有一个小注意。事项呢，就是ax+by一定要系数变成一样的，这样才可以。好，下面咱们看下第18题，第18题，它问两圆有几个交点，

其实就判断两圆的位置关系是吧？所以在这里面考点有两元。它的位置关关系。好，那么c2这个圆可以把它配方变成x- 2^2，加上y+1^2是吧？然后这样就相当于是这边加上四。那这样就写出来了，好吧好，大家看一下两圆的圆圆心距。原句这个原因原因呢是五三这个点，这个原因是二和负一这个点好，原句d就等于。根号下五减二方就是三方加四方，正好等于五五的话，

这两圆半径正好是一个三一个二，发现没有两圆半径，这个圆半径是三，这个圆半径是二，就等于三加二。这样就写好了，所以d。那说明这d正好等于半圆。之和说明这两圆是外切的。听到没？两元外企就这样的。啊两圆外切两圆外切的话，它只有一个交点，这个呢，就选择b这样就求出来了，

看这道题是不是学会了？好吧，判断两圆位置关系，给我们两个圆的方程，也会判断它位置关系。好，下面咱们看第19题，第19题考察光线的问题啊，考点是光线。光线反射那么要用到对称知识。另外，这里还要求距离的最值。好，就具体这个我们讲过，如果跟圆相关的距离，

最值还有没有印象？一定要先找到圆心距离，然后最后再减半径就是最短的是吧？所以在这里面，大家为了帮大家理解我们画一个图好吧？然后这个光线从a点a点是一出发，经过y轴反射到这个点，这个点这个圆的方程是x- 5^2加y- 7^2，它圆心是五七，这个点半径呢，正好为二。s=5 y为七。半径正好为二这样的一个圆是吧？然后是a点a点是一点。a点是一点，

这个是五。这个是七是吧？然后这个是a点好a点呢，就从一点出发，然后经过y轴啊，照射到y轴反射要要。要到圆上啊，最短的路程是多少？这路程呢，肯定是我们先求到圆心的，这个情况是吧？所以在这里面，假如这个圆心是c点好吧？这个圆心正好是五七，这个点好，

在这里面做a的对应点，做c的对应点都行，我们如果做a的对应点a1撇。a1撇，然后这样一连。啊，这样一连。然后假如这点是b好，那么光线假如这点是是d是吧好，那么我们可以看出给大家画出来。它走的光线走的这个情况，就这个蓝色的，这是最短的。是吧，所以大家知道这个最短的路程是什么呢？

最短的。就是AB+BD啊，就是最短路程。是吧，我再强调一下，你就记住考试与圆相关的最短距离，先找跟圆心它的距离情况，然后再减掉半径就可以了。好AB+BD AB的长度不好，求吧BD长度也不好求，当然我们可以发现AB+BD，我们可以写成ae撇b。大家知道a点坐标是一点一点，关于这个y轴对称就变成负一了是吧？a撇坐标是不是负一啊？

所以AB的距离就等于a撇b。然后这个BD的距离我们不好做，不好做，我们怎么做呢？可以写成a撇b这个BD的长度可以写成BC，再减一个半径r。是不是就是BD的距离吧？好那么a1撇b+BC是不就等于a1撇c？减二是吧？好那么大家知道a1撇的坐标是负一一c点，坐标是五七，这个点就相当于圆心啊，就c点坐标是五七，这个点就等于根号下。这个就六的平方，

加上六的平方再减半径，半径的正好是二是吧？百分之二就等于六倍根号二减二，这样就选出来就是c选项，看这道题是不是学会了？通过这个大家掌握的做题方法是，一个是利用光线对称求最值，你一定要做个对称点。第二个涉及到原相关最值的时候，一定要找到圆心。找圆心，然后找最短就减掉半径就行了，所以这道题就是通过线段的变化，然后减掉半径就可以得到它的答案，看这道题是不是学会了，

是不是掌握它的方法。好，那么问题纠结题我们就讲完了，大家把这个问题纠结题呃，不会做的或者做错的好好去消化整理一下啊，把这个思路和方法以及有些小技巧要掌握住。这样就可以了，好本小节目就讲解到此，欢迎大家继续关注我们后续的课程。哦。

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