解析几何-综合提高题-条件充分性判断（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:04:22

好，下面咱们看第七题这道题，这里主要考点是考察直线和圆位置关系。好直线与外观这道题考的一个非常特殊情况，就是这个直线要平分圆，平完那直线一定要过圆心，对不对？只要直线过圆心就可以，这道题比较简单，这道题圆心坐标就可以看成这样负一二是吧？所以只要这个直线通过这个圆心，我们就可以把a求出来啊，也就是好把这圆心带到这个直线里面，就变成负三。加二+a=0就推出a的值，

正好就为一是吧a的值，正好为一，所以这道题正确答案就选择b选项，这道题比较简单啊，如果考试告诉你直线正好平分圆。那这时候大家呢，就要把这圆心直线过圆心就可以求出它的答案和方法，看是不是学会了好，下面咱们看一下第八题这个题。这个题主要考点直线和圆位置关系里面的相切也比较简单啊，直线与圆位置关系。它的相切情况，相切的话，只要用圆心到直线距离等于半径就行了，圆心是AB这个点。

到直线直线的话就写s-y+2。等于零的dd呢，就等于根号下一+1，然后a-b+2的绝对值正好等于半径，半径正好是根号二是吧？半径呢，它正好就是根号二。这个圆半径根二，然后这样我们就可以推出变成a-b+2的绝对值，正好等于一个二。等于二那这个a-b，它可以等于零，或者说等于个负四是吧？所以a-b有两两种情况。a-b=0或者a-b=- 4，

所以条件一，它告诉我a-ba大等于b，这个是满足的是吧？a和b相等条件是b-a为四，因为a-b算出等于负四，对吧？a-b算出等于负4b减。就为四，所以两个条件单独均充分，所以答案选d啊，所以这里考察直线和圆位置关系里面很重要的一个就是相切。全解只要求出d等于半径r，把这表示一化简就可以了。好，下面咱们看第九题这道题，

这里主要考点是考察两圆的位置关系，而且这里还考察点与圆的位置关系是吧？所以这道题考点是考的两元。他的位置关系还考察一个点与圆位置关系。好，那下面咱们来看一下，半径为三四两圆圆心坐标，分别是a一点和2b点，它们则有四条空心线，好，这四条空心线就意味着两圆是外离的。对吧，两圆外离就意味着d呢，要大于r 1+r二是不是这样的，所以先把题干呢，

给它化简一下啊，所以两元。是外底的，有四条公积线，这个大家要知道，咱们之前讲过的。两元倍的关系和公应线，它的对应情况啊，次要关系就是外力，外力就d大于r 1+r二好，那在这里面大家可以看一下它的这个情况，它的这个情况，这个d就等于。根号下a- 2^2，加上b- 1^2，

然后大于r1+2，大于三+4。这样就可以推出a- 2^2，加上b- 1^2大于四四十九是吧？大于49。好，只要啊，两条件能推出，它大于49就可以了，好，大家可以发现条件一，它说这个点在在这个圆外面，只能推出什么条件，一只能推出。a- 2^2+b- 1^2大于40是吧？

但是条件一大于40，不一定大于49，所以条件一呢不充分。条件它说在这个圆的外面，在这个圆外面就说明它大于50对吧，然后这个大于50好大于50的话，那在这里面它一定是比49大的，所以它这个条件儿是充分的，所以呢，就选择b。这样就写出来了，看大家是不是学会了，是不是掌握它的做题方法，这道题主要考察两圆位置关系的判断，还有工期线的情况，

以及点圆位置关系，它的判断方法。好，下面咱们看第11这道题，这里主要考察对称，还有一些垂直之类的问题是吧？好，这道题考点。考察对称问题还有垂直就直线位置关系里面很重要，垂直好我们来看一下条件一，因为这道题只能由下方上推了，因为这个题干也没法去化简了啊，所以这样由下方上推好，根据条件一，它如果。

这两点关于这个东西对称，我们前面讲过，如果两点关于某条线对称啊，那就说明两点构成斜率跟这条直线垂直的，我们就可以列出方程是吧？反正这两点的AB的斜率是写多少呢AB的？这里可以写成。a- 6，减b，减二。除以一个b减四减a减二，然后正好等于一个大家知道这条直线的斜率k，这条直线的斜率k正好等于负的三分之四，是不是这样的？所以四s加三y减十一等于零，

它的斜率是负的。三十四既然负的三分之四的话，那么它垂直的话就跟它互为负，倒数就变成四分之三了，所以AB满足这个式子，然后第二式列就是它的中点，应该在这条直直线上，所以中中点坐标中点坐标就。两个相加除以二两相除以六变成a+b- 2÷2是吧，然后再加上三×1个y坐标相加除以二就a+b- 4。然后再减11=0，这样就写出来了好，那第一个式可以把它化简一下，化简就变成分子，变成a-6-8。

分母就变成b-a- 6是吧？b-a。减减六好，那在这里面，大家如果呃不想去解的话，我们呢也可以采用这个验证的方法，因为它这个AB它肯定是唯一的，它不会有其他种情况，因为两个未知数，两个方程，唯一固定，所以。你可以验证a=4 b=2，是不是同时满足这两个，或者你自己去解一解也行，

解一解就得到a=4 b=2，所以条件一呢是充分的。条件，它说这条直线跟它垂直关系好，这条直线要跟它垂直，垂直的话，那说明这条直线的斜率k是等于一个负。四分之一是吧？所以这条直直线这条直线斜率k斜率k正好是负的四分之一，看这个是不是学会了啊？这个斜率k就是负的四分之一。看这个是不是听懂了？好，那这条直线要跟它垂直的话，那它的直线的斜率是不是应该等于四啊？

那这条直线斜率是不是就是a啊？所以a就为四。啊，这就写好了，另外在x轴截距x轴截距上y为零就行了啊，所以说a=4的时候这个直线变成y=4 x+b好，因为它在x轴截距就相当于是零二分。质一是吧，所以在这里面就是yv零yv零x等于负二分之一的时候yv零，所以这时候我们可以把b算出来b呢就。这很容易带到里面b算就等于二啊，就是啊，当y为零的时候x等于负二分之一，这样算呢b就。等于个二啊，

所以说条件儿也能解出AB的值，所以两条单独均充分，所以呢，就选d看这个题是不是学会了，是不是听懂了，看看大家做题的方法和思路。好，下面咱们看一下第11题，这个题这里考点主要考察给你方程来判断啊，动点的一个轨迹，所以说在这里面主要考点是考察。方程啊，与它的图像的轨迹。好，那在这里面，

我们看一下这道题，主要很多同学做的不太好，就是没有判断清楚啊，好条件一大家看p点满足的轨迹方程是这个东西，这种我们看一下这个东西代表什么东西啊x+1。x九加一等于根号下一减y减一的平方。好，那有同学呢，两边直接平方了，听到没？我看有同学这样做的啊，有同学两边直接平方就变成x绝对加一的平方。然后把那个y- 1^2给它挪过来，好挪过来，它说当x大于零的时候。

好，然后这个变成一个圆的方程，当x小于零的时候，这又是一个半圆的方程，一个圆的方程是吧？所以x大于零的时候，它得到x+1^2，这样y- 1^2为一。有同学说这就是。一个圆啊，有同学说x这个小于零的时候再变成x- 1^2，加上y- 1^2=1，它又是一个圆，所以有同学就表示两个圆，首先你这个地方已经错了。

错了，其实往下即使这个地方是对的啊，就第一步已经错了，明白吧，即使第一步是对的，那么下面它也错了，错原因是什么？它它这也不表示完整原因，因为大于零就说明。不表示圆的一部分呀，小于零就表示圆的一部分呀，所以在这里也不是表示完整的圆啊，就即使第一步你做的是对的，接下来这个也不是表示完整圆，这顶多就表示圆的一部分，

这下面又表示圆的一部分。是吧，所以在这里面好第一步，为什么错了？我们看错因是什么啊？很多同学没没有发现大家可以发现这x绝对值加一是不是大于等于一，这个大家没什么问题吧，因为大家知道绝对值是不是具备非负性。对吧，所以s绝对加一是不是大于等于一啊？你再看一减去y减一的平方是不是小于？等一啊，大家知道y- 1^2 y- 1^2。是非负的嘛，所以一减去y减一的平方是不是小于等于一呀？

好那么小，于等于一在这里面，我们就可以看出它的特征是什么啊？小于等于大家可以看等号，左边大于等于一等号，右边呢是小于等于。等于它开根号，它还是小于等于一啊，因为一个小于等于一的数，它开根号还是小于等于一，听到没看？大家明白吧，就左边是大于等于右边，小于等于它两个要成立的话，只能我用红笔写，

只能都为一，你发现没有？你你看到没有，所以它只能都为一好，只能都为一的话，那说明x绝对值加一要为一说明x只能为为零了是吧？然后这个根号里面要为一的话，说明y只能为一，其实它其实就表示一个点，所以说在这里面条件一这个指能表示p呢，就是一个点一个。一个点，它不是运动的一个圆好吧，所以这个条件一它表示一个点，所以条件一呢是。

不充分的好，下面咱们看条件条件，它p点轨迹是这个p点轨迹是这个，它也不是表示圆，它表示这样几部分。听懂了没有？它表示，这样的几部分因为大家知道这个x绝对值加y绝对值的平方为一，平方为一，它本身就为一，对吧？因为本来一个数的平方为一，这个数本身应该等于正负一，但是这个绝对值。它只能取正的，

对吧？这个绝对值啊呃，绝对值，它只能取正一只能取正一这个我们前面讲过，它表示四条。线构成的一个正方形是吧？它表示，这样一个一个正方形。它表示，这样的一个一个正方形明白吧，所以它表示特特征，就表示这样一个正方形。看这个学会没有，就是这样一个正正方形。所以它也不不是圆是吧，

所以条件二也不错，两条也没法联合就选e啊，所以这道题就考察了这个圆的特征啊，尤其有时候咱们在呃。考试中还出现了半圆或者圆的一部分啊，圆的一部分，这个方程要知道，另外这个绝对值问题，大家呢，要知道它的特征和图像要弄清楚好吧，这是给大家强调做题方法，看是不是学会了。好，下面咱们看第12题，第12题这个我们前面例题给大家讲过是吧？

要求一个分式的最值啊，所以它的考点。就求y-b÷x-a它的最值。啊求y-b÷s-a它的最值情况，在这里面我们就另。y+1除，以x+2。当。等于k是吧啊，等于k，然后这个变成了什么y+1就等于k倍的x+2。然后把它再移项变成kx-y，加上2 k- 1等等于零，把它写成一个标准式。好，

为什么要写成标准式？因为一会咱们要用圆心到直线距离啊，所以条件一我们求出圆心到直线距离d就等于根号下k方加一，然后零零点带到里面就2 k- 1的绝对值。因为大家知道这条直线是不是跟这个圆要有交点，小于等于它的半径，这个条件一的半径是一啊，半径为一，然后这样就可以把k给解出来好吧k的范围就在零到三分之四啊。所以这样k就是在零到三分之四，这个课堂不再解了，自己去解解就行了，这怎么解？两边一平方就很好解好，所以条件一可以得到它最大值的三分之四。

条件就把这个半径换成根号二，我就不再重复解了，跟这个是一模一样的好吧，所以条件不充分，这个答案就选a啊，所以这道题考察一个动点，在某个图形上运动，求这个分式最值，我们就可以令它等于k根据原根。直线要有交点啊，要有交点，要么相切，要么相交就可以求它的最值，当然考试的时候你还可以偷懒偷懒，直接找这条直线跟圆相切，

直接找等号，这样的话直接把k的值写出来，这样更简单。看这个是不是学会了好，下面咱们看第13题这个题，这题考点主要考察就是圆的一个半径啊，圆的一些参数，圆的特征好吧？所以在这里面就是考察圆的特征，圆的特征的话，一个是弦长。一个是距离，还有弧，所以这道题命题非常好啊，把这几个知识点都涵盖了，

你看一个是弦长，一个是这个距离，还有一个就是弧它的这个情况。所以大家看这个圆。他说，圆c的半径是根号二啊，圆c及y轴所得的弦长为二，圆心到这条直线的距离为五分之根号五。好，那在这里我们就假设所求，这个圆是x-x零的平方，加上y-y零。平方等于r方，大家可以发现，要确定一个圆的话，

里面是不是有三个未知数啊？你观察一下是吧？这是一个未知数，这又是个未知数，这又是个未知数，所以要确定一个圆方的话，它有三个未知数，就x0y0和r。二啊好，那大家可以看条文一，它只能列出两个方针，一个是跟y轴的弦长，这里一个方针，第二个具体又列一个方针，所以条文一，

它只能列两方两个方针呢。啊，这个没法解，三个未知数，所以条件一那不充分条件二它分分成两段弧，两段弧的比是三比一，那两段弧三比一，它只给了一个这个。已知条件，所以这个也没法去解三个未知数，所以通过这样的未知数的情况，我们简单分析完可以发现两个条件是是需要联合的。好，需要填上，我们来看一下原税，

如果结结y轴所得的弦长长为二，那么跟y轴构成的弦长，这也是比较特殊弦弦长啊，所以说跟y轴所构成弦长。那这个怎么做好吧，所以它我们画一个示意图啊，就一个圆跟y轴所及的弦长这段儿长度正好是二。好，这段长度为二好，如果假设这个圆心还有这个半径，我们就可以列出呃第一个方程是吧，然后大家知道噢，那么这一段的长度是不是就是半径？就是圆心的一个x坐标呀，看到没？

这段长度就x坐标好，那如果整个弦长要为二，这弦长为要不要这弦长一半？是不是就为一啊？是不是就先上一半儿就为一，所以这一块儿是不是就是x0啊？所以这块儿r所以在这我们可以列第一个，这个方程是吧？所以列出第一个方程好第一第一句话跟y组构成线上就可以。列第一个方程，第一个方程就是x0方，加上一的平方就等于r方，这第一个方程看这个是不是学会了？好吧好，那第二方呢？

圆心到直线的距离等于个。五分之根号五，那这个dd呢？就等于根号下一+4，然后x0-2倍的y0绝对值正好等于一个d=5分之根号五。好，第二个方程就可以得到x0-2倍的y0，绝对值正好为一好吧，就得到它这个数值正好就为一好，这第二个所以这又呃三个未知数，你看只列两方的。所以你即使看不出联合条案，一你这个写完后啊，也可以得到发现这未知数比较多，解不出来。

再看条件，条件原式又被轴呢，分成两段弧，所以联合起来分成两两段弧。两两段弧，那这个弧长之比就是两段弧弧长之比呢？是三比一就大的，这个弧比小的这个弧正好三比一三比一说明什么问题呢？三比一就说明这个角肯定就是90度是吧？唉，因为。其实说明这一小的这一段弧正好占了整个圆的四分之一嘛，这小的这个弧占了整个圆的四分之一。质一学会吗？小这个股占了四分之一，

好那么四分之一的话，那就有九十度，九十度，大家知道我们来看一下这个可以列出一个什么样的勾股定理啊？然后做一个垂线，做一个垂线，大家可以看到，因为这个就是一个等腰直角三角形，明白吧，等腰直角三角形这个绿的这一段儿正好是圆心的y0坐坐标，能看懂吧，然后这个正好是半。半径r这个斜边正好半径r就说明这个r正好等于一个根号二倍的y0坐标，看这个是不是学会了？好吧，

这是不是学会了，所以在这里我们就可以最后化简出三个未未知数三个方程，然后呢，带到里面去解就就行了，好这个解解其其实也很好解啊。你先把先把第二个式子给它平方，把这r方给它带到里面去，然后x0y0在一起就可以算出来好吧，所以最后大家呢，自己去解解这个表达式最后。呃，联合起来是充分的正确答案，就选c好吧，正确答案其实就选c啊，就算的r就等于根号二。

这个解就自己去解啊，就是选c好，我通过这里给大家进行强调一下啊，几个公式，第一个它跟y轴所非围成的弦长也好，跟x轴所围成的弦长也好，这个一定要会。看是不是学会了跟xx轴跟y轴所构成的这个弦长公式一样，知道第二个就是原因到直线距离这个要会。啊，这个比较简单点到直线距离公式比较简单啊，另外一个就是圆跟x轴也好，跟y轴也好，形成两段弧，这两段弧弧的长度之比一定要转换成这个圆心角。

圆角知道了，就知道这个三角形三边的长度答案就可以写出来好吧，看这个题是不是学会了，是不是弄明白了啊？好，这是第13题，给大家强调的做题的方法。下面咱们看第14题，第十题主要考察光线的问题是吧，所以考点主要考察光线。啊，光线的反射问题。光线的反射问题就用对称求解就行了，是不是这样的？所以一束光线经过p点二三六点照射直线x+y+1=0上反射后能够呃穿过q点。

好，那么条件一告诉我们入射光线方程是这个条件，入射光线方程这个好，那在这里面好，我们来看一下能不能确定它反射后经过q点？啊，返程后经过过程当然也可以呃，由这个题干啊，由这个题干，把这个方程求出来，求把这个光线方程求出来，然后再看两个条件，谁是充分的好吧，这样也。可以啊，

好，大家可以发现这个x+y+1为为零就是这样的一条线。是吧啊，这两条线p点是二三，这个点p点是二三，这个点p点q点是一，这个点。q点是一这个点好，那他要求入射光线求入射光线的方程到底是？多少真的，你就做一下q的对称点就就行了好吧，做一下q的对称点q1撇。好把这q1撇做完后，然后这样一连这样就就行了是吧？然后这样一连。

啊，这样就就行了啊，然后这样一点好，这就是入射光线方程，就是pq 1撇好吧，好，那么咱们前面讲过对称点里面一个技巧，还记不记得记得如果这条直线的斜率为正负一？就可以用技巧做，所以q点一点关于x+y+1=0，它的对称点。就为啊把x=1带到里面y是负二啊，这个是负二，所以说q点关于它的对称点就是负二负二。啊，

负二负二就就相当于这个q1撇就负二负二，看这个是不是学会了啊，就咱们前面讲过的这个特殊的对称啊，就把x=1带到里面去求出y=- 2，再把y=1带到里面求x=- 2。好，这个对应点就写出来了，好，那对应点写出来以后在这里面呢，我们再接着看这个pq 1撇的方程，我们首先求斜率好吧？p点坐标是不是正好是二三那个点呀？那这样，所以它斜率就是五除以个四啊，就是y坐标相相减，

所以它做五÷4好，那它的方程。这个写成y等于四分之五x加二，然后再减二，然后把它啊转转成一般式转成一般式，我们就可以看出这个答案，选择b选项。条件二充分的啊，这个求出来了好吧，所以在这里面给了入射点反射点求入射光线和反射光线方程，大家要知道啊，利用对称，然后再给你两点。求这个直线方程，这样就可以写出它的答案，

看是不是学会了好，那么第15题考点是考察两圆位置关系和公公切线的情况。啊，两圆它的位置关系。还有公切线。好，那两圆倍的关系，主要看一下d的这个情况是吧？好，大家知道工件有两条工件有两条说明两圆应该是相交的是吧？相交话那么d呢，应该是在。r1-r和r1+r二之间是吧？所以在这里面好大家呢，就可以写出来啊，

所以在这里面大家先把题干等压条件找到啊。啊，两圆共线有两条说明，两圆相交，相交的话就说明d在i- 2和I+2之间好，那么条件一这个圆可以把它配成s- 1^2，加y方就为一好，那第二圆可以把它配成s方。加y+2^2就为四，这样就写好了好，那在这里面大家呢，就可以看到它的d这个原因，坐标是一零点，这个原因坐标是零负二点是吧？你会发现这个d就等于根号下。

一的平方+2^2就等于根号五好，大家看根号五是不是满足啊？这因为这个圆的半径为二，这个圆的。半径为一嘛，所以根号五，根号五正好大于二，减一小于二，加一是吧？所以在这里面正好就是相交的，所以这个是充分的。同样的同样道理，我这些课呢就不再讲了好吧，跟它做法一样啊，同理好吧，

同理同理，你要把两圆的圆心距求出来，然后比较它跟半径之差，半径之和它的关系，所以这个。条件二也充分正确。答案就选d啊，大家呢，自己下去判断和思考一下，很简单好，这是第15题考察两圆位置关系和公积线，看这个方法是不是学会了？下面咱看第15题，第15题呢啊，主要考点呢是考察这个三角形的面积的最值。

三角形。面积面这道题扇形面积肯定要用到距离呀，为什么要用到距离？因为大家知道扇形面积是不是等于二分之一底乘以高呀？底再乘以高是吧？所以在这里面好，那你就高这个不就用距离吗？所以在这里面大家就可以写出来了，而且大家可以发现AB。AB这个这个两点是固固定的是吧？所以s等于二分之一AB，大家知道AB这个是固定的，对吧？只要这个高越大，它的面积越大，

这个高代表什么意思？高就代表那个c点啊？那个c点？啊，离AB距离的最远值，所以这里还涉及到距离的最值，听到没有？所以我们还讲过，如果与圆相关的距离，最值的话，先求出圆心的最值，然后再加半径就可以了是吧？所以在这种。看一下条件，一条件一就可以写的x- 1^2加y方就为一，

好在这种大家可以看到AB的方程AB的直线方程啊，因为AB它的斜率正好就为。一是吧，斜率为一，所以它的方程就x-y。加二=0是吧？所以这个AB的方程写出来了，其实这道题你画不画图都无所谓啊，我们只要看这个c点离AB这条直线距离啊，越远越好，越远我们前面讲过与圆相关的距离公式。先求圆心到直线距离，再加半径就行了，所以c到AB距离的最大值。距离最大呢，

就等于d+1个r这个d呢，就相当于是呃这个c到呃就是圆心到这个直线的距离，听到没有圆到直线距离，圆到直线距离这个直线就一+1，然后它的原因正好是。正好是一零点，所以在这里面就是三，然后再加上半径半径为一是吧，所以在这里面这样的根号二分之三再加一好，这是最大是这个最大这个也就说它的高，最大就是这个对吧？高最大这个，所以它的最大值面积就等于二分之一AB AB两点距离的长度很好，求啊AB两点距离长度正好是等于根号八。根号八其实就二倍，

根号二是吧？乘以个三除以根号二，再加上一这样就行了好吧，然后在这里大家呢？把它带到里面，正好三加根号二。啊，这个算三+2，所以条件一呢是充分的，我再把条件一给大家进行强调一下啊，以后大家注意，如果要求三角形面积的时候，大家观察一下啊，只要AB这两点是固定AB两点固定说明AB的长度是固定AB。强度是固定，

只要算它的高，这样就行了，听到没？把它高给它求解出来，这样就可以了。好高要最大值，又找距离最大值，而且我们前面讲了，如果一个点在圆上运动到某条线，距离最大值什么时候先求圆心到这个直线的啊？啊，距离，然后再加上半径，这就是距离的最大是吧？所以要把这个圆心到直线距离d，

然后再加上半径，这样就行了啊，这样就可以写到它的这个结果，然后呢，这个AB。啊是用两点距离公式算出来，然后这个高就代表这个距离的最大值，然后呢，算出面积最大好，那么条件跟它是一样的，我就不再讲了好吧，条件这个同理啊。啊，同理也是求出这个圆心，到这个直线的距离，

再加上半径得到最大值最大值，然后算出面积最值，跟它呢是一样的，所以这样答案就选d两条件单独均充分，所以条件跟它一模一样啊几乎。几乎差不多啊，运算过程，我课堂就不再花时间说了，大家自己呢加以判断，分析一下就可以了，好那么本章我们就讲解完毕，大家把做错的或者不会做的题啊，几个视频好好消化整理一下，有什么不明白的？大家随时可以进行啊，

进行答疑好那本小节就讲解完毕，欢迎大家继续关注我们后续的课程。

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