7-05综合题（4）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:02:45

好，那接下来咱们看一下烤箱五啊啊动点的最值问题，看一下动点最值问题。动量最值那一般呢？这个实数sy满足某个条件，或者某个图形。然后求一下三类最值。三类就是第一类是as+by，这值啊，第一类。第二类是一个分式最值y-b除，以x-a这个分式最值好。第三列是s方加y方的最值。啊，总共三类制止啊。

三个垂直，它的求法，那么三个垂直分别可以把它设第一个as+by=c，第二个就是。y-b÷x-a=k。列那个分式等于k第三个呢，我们可以设x方加y方等于r方，我们根据图形特征来分析和求解最值。好，根据它图形特征来进行分析和求解。啊，总共这三类最值。好，那具体的方法，那么就是要么就代数法，

要么就几何法好吧，所以这是它的方法。就几何法。或代数法。它方法就是几何法或者代数法呃，这样的基本方法。好，那接下来咱们来看一下啊，它的第一个题。第二题是求x- 2y的最大值，大家想想求x-y，它最大值。好，当然这个条件都可以换。啊，

都可以换的。9 x-y的最大值。好，那在这里面，大家可以看到，这是给的是一个圆，当然这个可以换成三角形。或者换成其他图形都可以，它可以把这个图形进行换。好，那这道题我们看s-l二的最大值，我们如果用几何法的话，就这样的列。s- 2 y=c。列s-y=c以后，

那么这个就把它看成一条直线。看条直线好，这个直线跟这个圆啊，那一定要有交点，有交点可以相交或者相切。啊，两种情况，所以咱先把这个圆给它进行配方。原配啊，配成x- 1^2加y+2^2，这样等于五。啊，配方配置s- 1^2加y+2^2等于五给大家进行配方。配方，然后用圆心到直线距离小于等于半径来分析求解就可以了好吧，

用圆心。然后这是一负二到直线x- 2 y-c=0，它的距离。那基于d。就等于根号下a方加b方就一+4，然后一+4-c。等于五减c。好，要让它小于等于半径r就行了，小于等于半径rr正好就为几啊r正好半径正好是根号五。根号五这样就写好了是吧？这原来半径是根号五。然后这样的话就可以得到c- 5的绝对值，小于等于五，然后c就小于等于十，

大于等于一个。零如果这里要求最大值，最小值就是十，最小值就是零，好吧，这个呢，就选择b选项好，这咱们这是用几个法来进行做的？啊，用几何法？好，这道题也可以啊，用代数法做。呃戴尔法要麻烦一点，咱们把思路写写好吧，

戴尔法要麻烦一点，戴尔法还是令这个s-ly。等于c。好，然后把y带到里面去，或者把x带到里面去，我们发现这道题x要好带，因为y的话，这有个二要除以二÷2，它会出现分数。就不好做，现在分数呢，不好做，现在呢，咱们就把x可以换成c+2 y。

好把s=c+y带到里面去，得到一个二次方程，得到一个二次方程，就相当于2 y+c^2。啊，就得到这个值，我们把它带到里面去，可以得到这个值。把x换成2 y+c。好2 y+c^2，然后加上y方。加y方，然后减去2 ix。减去2x，然后再加上4y。

等于零好，就把这里面x都换成2 y+c就可以了。然后把它进行展开，展开后得到关于y的一个二次方程，然后让它大于等于零往下，你就自己做它大于等于零。它大于等于零，那解出c的范围。好，那这样显然运算要复杂是吧？这还要合并？啊，运算呢，要复杂一些就不好做，然后就代数法。

好，上面几个法要简单好吧好，但是它这前面条件可以换，知道吧？第一类最值。第六句子的话，它前面这个图形都可以换，比如说我们可以把这个前面图形换一换，换完后大家想想怎么做，好不好把这里改一改？如果已知x- 2+y- 2的绝对值小于等于一。小于等于一求x- 2y，它的最大值。现在减二这个值是多少？大家想一想。

好s- 2 y+y- 2其实小于等于一求x-y最大值到底是多少？求x-y，它的最大值到底是等于几？想想它的方法好吧。好没有同学做做，看谁做出来了啊？好，大家知道这个呢，就是一个正方形小于等于一，就是正方形的内部，想想是不是这样的啊？小等于一是正方形的内部。啊，谁测出答案来了？好正方形的中心是二点。

好，有没有同学做完大家说说谁做完了啊？想想答案。哈哈哈。好，这咱们前面讲过，绝对值它的图形是吧？给大家进行总结过，绝对值的图形好，这个绝对值，它表示正方形。然后这样一个正方形好，这个正方形的中心正好在二点啊，中心正好在二点。然后s- 2y。

注意，如果这要是一个多边形，前面要是一个三角形啊，四边形或多边形，这时候就变成一个线性优化问题。线性优化问题。好吧，就转变成一个线优化了。写写方法，你实在呃不会弄的话，你把这四个点边界点。带到里面看哪个点是最大的是吧？每个点的坐标嗯，验证一下就可以了，那这个点。

正好是三二。这个点是二三。这个点是一二。这个点是二一这样的是吧？好，这个点是二一好，那这样就写好了好吧，这样就写出来了。啊，一个三二，一个二三，一个二一，一个一二好这一点。你实在不行把每个点带到里面去验证一下就行了。是不是？

好，那在这里面，大家可以发现s越大y越小就可以了是吧？所以在这里面就在这个二一点。这时候呢，它是比较小小的是吧？要求最大值在这点是比较大的啊，因为x大y小嘛，在这点。或者它的几何意义，你知道是什么吗？几何意义？几何意义？如果x- 2y，如果等于c的话，

它代表的是。代表斜率为二分之一的一些线。截二二分之一的线。知道吧c二为二分之一的线。好，那这样的线，我们可以画一下。好斜为二分之一的线。好，那这个c代表在x轴上的截距。x轴截距，所以大家可以看到，当在二一点的时候，它是最大的。当在二三点的时候，

它是最小的是吧？这道题就可以求最大值和最小值，所以二一点的时候。x- 2y就是最大。最大就为零。然后这个二三点的时候。它是最小的。啊二二三点就就最最小啊，这样的。啊，最小好那最小值我们就可以求解出来，当s等于二y等于三的时候就二减六。负四最小就负四，这个写出来了。好，

这正方形不知道怎么画是吧？好正方形的图形怎么画呀？正方形不找中心嘛，中心点就二点。啊，中心点二点就跟一个圆一样，先找圆心，然后这个一的意义是什么？一相当于它半径当然正方形没有半半径了。正方形所谓的半径是什么半径呢？就它的顶点到中心的距离。顶点到中心的距距离。好了，这个所谓的半径，这个半径要加引号，

知道吧？所以呢，中心点到它的距离，懂了吧？所以等下画一个正方形的时候很好画。首先，中心点给它定住，就有点像画圆的圆心一样，一模一样，让s=2 y=2，让这个v0这个v0找到它的中心点。所以然后这个一。一类似于圆的半径，当然正方形没有半径怎么办呢？就类似于什么是半径呢？

就相当于是它的边界点。到这个中心的距离就这块是一，这块是一。这是一，这是一，好吧，在它它都为一，因为这个点不是二点嘛，二二点二点往这边移移动一个不是三嘛，往这边移动一就是。就是一是吧，就是一，然后往上移动，一往下也是一好看，这个正方形会画了没有正方形可以很很快的画出来。

看还有没有疑问？好正方形，正方形不会画的同学，然后再想想咱们绝对值学过的绝对值图像是吧？正方形咱们前面学过绝对值图像就这样画啊？所以以后就把正方形的中心给它找到，中心找到以后，然后接下来我们呢？就看它的啊，这个所谓的半径是多少？所谓半径这样一找就找到了。好，那接下来咱们看看第二个，如果动点在圆上运动，那么求它的最大值到底是多少？

好，这里也可以用几何法，也可以用代数法做。另y+1÷s+2，然后等于k。另外，加a÷s+2，它正好等于k，你看这个变成了。y就等于k倍的x+2，然后再减一。好吧y=k倍的s加再减一。好，这是它的数值啊y=k倍的s+2，然后再减一，

这个写好了。好，接下来那接下来咱们再来思考一下。思考，然后我们可以。如果用几何法就这样做。解法解法，就把它看成圆心。到这个直线距离。这样小于等于半径，然后把这个求解出来是吧？圆心。原因是零零点。到直线距到kx。减y+2 k，

减一=0，它的距离d。就kx啊，减y+2 k- 1=0，它距离d。就那根号下。a方加b方，然后零点带到里面，就2 k- 1绝对值。让它小于等于半径，小于等于一，小于等于半径就行了。啊r等于一好吧，然后呢k就可以解出来kk又在零到三分之四。好，

这段就34这写好了。好，这是几何法？然后咱们看代数法。好delta法是什么？delta法就把这个y带到里面去。y代码当然比较复杂啦，你看这个y这个写了一大堆。是吧y带到里面，这个是比较复杂的，然后呢，用咱们来做那把y带到里面去。y大于零就变成什么？变成x方加上k倍的x+2-1，它的平方。

正好等于一，是吧？啊，带到里面去，带到里面，然后呢？用data。大于等于零。然后这个k。就在零到三分之四了，这中间过程比较复杂，咱们就省略了。好，这是代入法和解约法，它的这个方法。

好，接下来咱们把这个也做一下变换。做一下变换，把这个变成。好改一改。改改。好，这个可以画图做的啊，可以的。啊，这个画图做也行，画图做的话，它是一个圆，然后这个是横过负二一的一条线。啊，

也可以也可以做。因为这个语言比较简单，可以画图做。这圆的圆心正好在坐标原点是吧？然后它正好是过。负一。负二和负一这样的。一条线。啊，一条线啊，这是负二，这是负一。所以可以把这个直线把它看成过负二和负一的一条线，一条线的话，然后。

那这时候大家可以看它斜率这个k，就代表斜率了，它的意义就代表斜率。都代表斜率好吧，然后这时候是k是最大的斜率最大，这时候斜率是最小的。啊，斜率最小，所以它几个亿代表斜率好吧，所以k的这个数它是代表横过啊，这个负。横过这个负二负一的一条一条线，一条线k呢，代表它斜率。可以代表它的斜率，

这样的情况。对吧k代表它的斜率情况这样的。好，这就写好了，对吧？好，那这是它这个，然后又求斜率最最大的时候，斜率最大的时候用圆心到直线距离来进行计算都是OK的啊。好，这道题咱们再。改一改。改成比如说x- 3绝对值，加上y- 2绝对值小于等等于一。然后求这个是y+1÷s+2的最大值。

好，这时候就不能用代数法做了，知道吧？你不能不能把这个直线方程带到里面去，用判别式delta来做这个，就不能用代数法做。你看这个是一个绝对值，没有判别式德尔塔是吧？这个就不能用代入法做，然后接下来咱们只能画图来做。真画图做。然后这个是一个正方形。这你刚才不会画的同学再给你演示一遍遍。它中心正好在三二点。它中心正好在12点。

对，以后画图就很好画了。这三。这是二啊，中心在三二点。然后这个正方形所谓的半径就为一，半径为一，就是每个顶点到中心的长度，这个长度它都为一。长度为一，长度为一的话，那这样就写好了，那这个是四。这个是二。然后这个。

求出来这个呢是三。这是一这样就写好了是吧？写出来了。然后接下来咱们来看一下啊，这个代表什么含义？这个代表是过负二负一。直线。它的斜率。斜率就过，负二负一，这个点它的斜率。它的斜率啊，斜率什么时候最大？是吧，协议什么最大？

啊，这时候肯定要大一点。然后这时候肯定要小一点是吧？就这样的。这样它过这个点的斜率，大家看看。是吧，所以这样的在这儿最大，在这儿是是最小的，对不对？这样就写好了啊。所以我们就可以画出来。好，这样的好吧，这样的。

嗯，这样的。好，那接下来咱们来看一下它的最大值，最大值正好在三三点，它是它是是最大的。是吧，三三点它是最大的。所以最大值。比如三三点。最大值等于五分之四最大值。啊，最小值最小值在。三一这块。是最小。

最小值是五分之二。最小值是五分之二好，那其他都介于它两者之间好，这个写好了，看还有没有什么疑问？好，接下来咱们看最后这个题。好sy在这个圆上，然后这个x方加y方最大值到底是多少？x方加y方最大值。啊，这道题就不适合代数法或者代数法容易错了。知道吧，代入法就容易错。好，

这道题要用几个法？几个法？其实我们可以把这个看成一个圆。这也可以把它看成个圆，当然也可以把它看成距离的平方都可以啊，有s方加a方可以把它看等于r方等于r方，这个是一个圆。是吧，就是一个圆。x方加x方。你可以把它看成x- 0^2，加上y- 0^2。这样的是吧？x方加y方可以把它看s- 0平方，加上y- 0^2。

可以把它看sy跟linux，它的具体情况。好，那接下来咱们用几何法做？啊，这道题不能用代数法啊，代数法是容易错的，知道吧？代数法有一会讲讲代数法会出在哪？大家可能做后面做一题，有的题就会。有同学说，代数法，做解法，就把它这个看成一个圆，

这个看成一个圆也行。画下图，大家好好理解。好，这个圆它的原因在二零点。原因在x轴上二二二零点。然后半径正好为一。好，原因是二零点半径正好为一。好，那如果令x方加y方等于r方等于r方也可以把它看成这个圆上的点p点不在圆上吗？这个圆上的点到坐标原点的距离，这样也行。忽然看见。啊，

半径的平方也行。大家可以看最小的圆，就这两个圆，一定要有交点，为什么要有交点，你知道吧？为什么要有交点？因为这个sy既是这个圆的，又是这个圆的，知道吗？是两者共同的点啊，这个动点是它跟它的共共同点。好，这是最小的，最小的r是唯一的，

然后看最最大的。啊，最大最大是这样的。好，这条这样的是吧？这样的。所以最小的是红色的，红色就像两圆外切，然后最大就绿色的内内切。所以这r就可以看出这个圆的半径rr是大于等等等于一的。小于。等于三。然后那x方加a方要平方小于等于九大于等于一，这样写好好吧，大于等于一，

所以这道值应该是九。在哪里就选择d选项？好，这样就写好了，是不是这样的好？这里为什么不能用代数法？如果代数法有同学列x方加y方。等于一个c=c，它说这个y方正好等于c-s^2。y方等于c-x^2，然后把这个y方带到里面去。带到里面去，带到里面去以后，然后呢？用判别式这就不不行，

这个不可以，因为什么？因为它这个。取值不是确认实数，咱们在讲这个方程。咱再讲方程as方。加BS+c=0，当它大于零小于零或者等于零的时候，js在全体实数里面知道吧，比如当它大于零有两个不等式根。当然，等你有两个相等实根等等，这都建议在s在圈内实数范围里面来进行取值的，那这道题的x它不是圈内实数。知道吧，

因为它它都是平方，这也是平方，这也是平方，它xy它不是全是实数。所以说在这里就不能用德尔塔啊，不能用德尔塔，德尔塔就会错，所以这个代数法它错的原因懂了吧？好，如果这道题把它改成。s- 2+y- 2小于等于一，然后让求s方加y方。它的最最最大值。最小值那这块儿这块儿刚才咱们这个正方形画过，但现在会画这个正方形没有？

好，这个正方形，这个正方形，它的中心正好在什么位置？大家想想它中心点，那刚刚讲过。这一点正好在。啊，这个是。二二点是吧？它它中心位置。它的位置正好在二点。同学们也正好在啊，二二点啊，二二点。

好，二点二点，然后接下来我们来看一下好，它这个最小的圆和最大圆，你看应该什么样的？好，这是最最小圆跟它相切的时候最大圆。啊，这大圆是是这样一个圆是吧？这大圆大概就是这样的一个圆。啊，这这最大于是吧，所以这个如果求到最小值，这样写出来啊，最小值就可以求解出来。

然后最大值是这样的好，谁算算它最大值多少，最小值多少，会不会算？啊会会不会算呀？这最大值最最小值。啊，不太会算吗？好，我们可以看这个是三。这是三，然后这是一个等腰直角三角形。然后这个就是最小圆的半径跟等腰直角三角形，这也是它的高嘛，等腰直角三角形。

是二分之三倍根号二是吧？所以它的半半径r最小。然后最大最大是这个点，这个点正好是十十二点。三二点三三二点三二点，那这个半径就是根号13。根号12所以r方。应该小于13。好，这样的。好吧，这是它的这个方法。大家要知道啊，这是跟它相切，这样的情况啊，

这跟它正好是切在这儿。懂了吧，跟跟这条线是相切的。好，那这一块跟它刚好是相切切到这。好看，这个是不是明白了？好，这是它的做题方法啊。然后这一这一平方就可以得到它的结果。那一平方一平方就是。这个是四分之。四分之十八就二分之九。那就写出来了啊，就二二分之九。

好看，这个是不明白了啊，这正好这个跟这条线是相切的，这条直线方程。因为这条直线斜率是负一，懂了吧？斜率是负负一。然后这个就写好了。好看，这个是不是明白了啊？好，这是它的这个半径。那因为这段是三嘛，这段三。是吧，

然后这段不就三倍根号二嘛？三倍根号二嘛。所以这个就是二分之三倍的根号二。好看，会不会求求解？哦，可能有同学以为是跟这个二是相切是吧？呃。别看错了。这个。没没有嗯，就是这二的这个点不在这啊，不在这个位置就别别看错了好吧？别给写错了。这二它跟二没有没有相切上啊，

跟二它是没有相相切上的。啊，这个画的可能不是太准是吧？它跟二是没有相切上啊？这样把这个圆稍微往这边挪挪一点吧。好吧好了，那这是它的这个方法。好，大家看还没有什么疑问。好，大家看看啊，还有没有什么疑问想一想？好，这道是没明白是吧？呃，

这道是没明白，这道是没没明白这样的。那这不是圆的半径嘛？原来半径。啊，因为这个点的坐标不是三二嘛？这点坐标是三二点。是吧，这个点坐标正好三二三二，那这个三二到原点距离。原点距离不就是它的半径嘛，是吧啊？这样的哦，明白了啊，或者说你用这个二三点做也行。

啊二三点做也行，反正这两个都的。啊，都OK，都是没问题的。

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