7-05综合题（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:02:29

然后接下来咱们看一下面积的最值好吧，看一下面积最值好面积最值的话，大家主要是呃，那么遇到一些三角形的面积用的多。啊三角形面积，但如果要遇要考试出现四边形面积还是还是用三角形面积呃来来做，知道吧？所以说在这里面大家呢，就是主要是三角形面积，四边形还转换成三角形来求解。好吧，所以大家可以看到啊这个题。过a点四一点做直线l，使得l在两坐标的距都为正。也就是位这样说明k1定要小于零。

斜率可以小于零，它如果在坐标轴截距都为正，大家想想斜率一定要小于零的。当直线一两周之后变成三角形，面积最小时，求它的斜率到底等于几？好，大家想想它的斜率。不过，这道题结合咱平面几何讲的技巧，这道题可以秒杀的。大家知道这a点是四一点。a点如果四四一点，也就当这个当这个刚好是终点，有的它是中位线的时候。

这个三角形面积最小。也就说这条线正好是中位线，有四刚好是中点的时候它最小。是终点，然后这个点刚好是八。那八然后这个点刚好是二。就这都是终点，知道吧，这个点是终点，这个点它也是终点，都是终点时候，它是最小的。对吧，这个终点它它它是最小的。啊，

终点值它这个是是最小的好吧，这个面最小，而且这时候呢，这个这些线都是中位线啊，这这条线。啊，这条线是中位线，这条线也是中位线，这个竖着线，它也是中位线，反正所有的这都是中中点。那说明这是平行的，平行的话k就等于负的四分之一。啊，直接就选a了。

而且这时候这个三角形的面积也是这个矩形面积的两倍好吧，这个矩形面积大家可以发现是四这矩形面积是四这三角形面积就是八。这个散热面积最小就是八。好，那怎么理解这个规律？可能大家忘记了啊，忘记了咱们前面学的大家早就忘忘记了。如果三角形要固定。里面画矩形怎么最大？回想起来没有讲到这，你也能想想，不管是直角三角形还是一般三角形。给一个三角形，是不是直角三角形无所谓，直角三角形也行。

一个三角形是固定的，里面如何画矩形面积是最大？一定也能重重重点化。这样矩形是最大的。反过来，如果这个句型是固定不变的，句型不变。让三角形面积最小，那也是沿着中点画它最小的，知道吧？一样也是沿着中点画它是最最小的。所以这些都是终点。好吧，这个技巧大家要知道。接下来，

我简单给大家推导一下好吧，简单推导推导，完了咱们把这个绝招给大家说一说啊，这个技巧给大家说一说。好，那接下来咱们来看一下它这个方法。好，我们这条直线，因为它经过四一点，所以说有两种方法，两种方法区别，一个是用截距式，一个是用点斜式。都行，你想用什么式方式啊？

那方法一用节节约式也行。其实要简单。方法，一是洁洁具式。啊，即使这个要简简单点。好，即使我们呢，可以设什么呢？设这个直线是a分之x加b分之y，它为一。是吧，设直线是a分之x，加b分之y为一。然后因为它过四一点，

这个点是四一点过，这个点过四四一点。然后过a点a点是四一点。这时候，它变成a分之四，加上b分之一，它为一。是吧，所以如果要过四一点就a分之四加b分之一，它是唯一。这样的。好，那这个大家可以用这个君子定理。就两个相加大于等于二倍根号下两个相乘。是吧，

这两个相加大于等于二倍根号，两个相乘，这可以得到是四除以根号AB。啊，因为这个四开根号开出来是二，前面还有一个二，这就变成四了，然后把分母给它乘过来，因为这边是一嘛。这边儿是一把分母给它乘过来，怎么又变成根号？大于等于四。刚AB大于等于四两边平方得到大于等于十六a大于等于十六，那么面积等于二分之AB就大于等于八。好，

什么时候取等号当a分之四等于b分之一的时候。取等号有a分之四等于b分之一的时候，它取等号。它都等于二分之一，因为这两个相加等于一嘛，两个相加等于一，这两个数要相等。好，这两个相加为一，这两个数又相相等啊，又有相等，所以每个都等于二分之一，这样AB就写出来了，这方法一。就是截距式，

然后大家看方法二。方法方法二就是什么呢？方法就是。点斜视，点斜视要麻烦点。点h点h又设这个直线y=k倍的x- 4。加上一，因为它经过四一点嘛，经过四一点，你设这个直线是y=k倍的。s- 4再加一是吧？你就设这个直线这样的。设y=k倍s- 4再加一选这样的。是不是接着，然后它在x轴截距，

我们可以看一下。在x轴截距上yv零嘛yv零正好是四减去k分之一。是吧，所以说在这里面，它经过四一点，大家就可以这样写，然后在y轴截域让x为零x为零，正好是一减四。啊sv零这样的一减四k，这样写好了，然后接下来我们看一下这个三角形面积。那s就等于二分之一底乘以高。好，二分之一底乘以高就行了。二分之一底乘以高，

然后二分之一底乘以高，然后接下来我们就可以写出来。就把这个给它乘开，知道吧？必须展开才能才能用啊，展开所以就四减十六k。减k分之一。加上一个四。好，那么在这里面中间大家用矩阵定理就可以了，在用矩阵定理的时候一定要注意一个问题。把它写成负16k。负k分之一。为什么这样写？因为咱们这道题k是负的，

知道吧？为什么这道题k是负的k负的话，咱们竞争对手必须要必须要求是正的才能用。正的才可以可以用，知道吧，所以把负十六可以变成正的，这个负k分之一变成正的，然后再变成a加b大于等于二倍的根号AB。好，这样就写好了好吧？这样需要那什么时候取取等号呢？什么时候取等号？让这两个数相等就行了。相等就取等号，可以是负的啊，

就取负的四分之一就行了。啊，答案都是选择a好吧，好讲完这个题给大家进行总结一下它的方法。总结它方法，总结它方法是什么方法呢？就相当于是如果三角形固定。矩形面积最大，所以就是相当于是一个三角形，如果固定里面矩形要最大。就相当于外电。内部有个最最大的。好，如果如果这个矩形是固定不变的矩形，这个是不动的，

然后可以让三角形面积最小。就是内定。y小，它都是在什么情况下都在终点的时候知道吧？都找这个终点或中位线。而且这时候三角形面积是矩形面积的两倍。这样面积是距离面积两倍，而且都是中点或者或者中位线。这时候好，这给大家进行总结的这个方法。好，这个给大家证明也推导了，以后就不用再证了，所以把一些常用的东西要总结成一个结论来进行记。是吧，

这样就学好。常考的结论要知道。好，接下来咱们看一下第18题，这个题。好，第18题，它的a点b点c点在圆上运动，求这个扇形面积最大值和最小值，其实要最大最小值的话，大家主要是干什么？主要看一下高。是吧，主要看它它的高。然后这个图就简单画画好吧，

图就简单画。好c在圆上运动，这个呢，大家看其实还是变相的考，那么距离的最值，大家首先做圆心。过原先做这个垂线。过圆做垂直线，当c点在这个位置的时候，它是最最小的。就这时候，这时候是最大的是吧？这时候最大，所以大家可以发现最小值。等于二分之一AB。

乘以个d-r是吧？然后最大值。二分之AB乘以个d加r。这样就写好了，好吧好，这个数大家自己去算吧，好，咱课堂就不再算了，好吧嗯，没啥难的，反正大家知道思路就可以了。啊，就c点什么时候作为这三角形的高？看这个高啊，最小和最大就行了好吧，

这个数大家自己去算比较简单。接下来咱们再看四边形。四边形，四边形吧，四边形大家呢？四边形，大家在做的时候主要是把它分成三角形来做就行了。分三角形来来做好这道题，咱们简单看看这个题。这里坐标系不画了，给大家画个示意图。就是一个圆。这是一个圆，这一条线。每条线。

比如说p点p点，咱随便画啊，假如p点在这个位置。拼在这个位置好过p点，做圆的两条切线，切点分别是a和b。呃，圆心角是c点。有人讲c点则四边形pacb，它的最小值。求PAC比它最小值，到底是等于多少？求pacb它最它最小值，这时候我们肯定要连接什么呢？连接p和圆心。

连续的圆心，大家可以发现左右这两个三角形是全等的，对不对？左右三角形，它是它是全等的，它对称嘛？就圈圈的，所以这个四边形，我们只要求出其中一个三角形面积乘以二倍就可以了，大家可以发现pacb。这个面积就等于二倍的三角形PAC的面积是吧？所以这个面积就等于二倍的PAC。对不对？因为它这两个一样好PC的面积是多少？这是一个直角三角形啊，

直角直角三角形不等于二分之一底乘以高吗？是吧，底底层也高。好，这个AC的长其实就半径知道吧？AC的长就就半径，所以这个这个面积就等于一个PC。就是。AC乘以个AP。一定要知道，三角形面积是二分之一，底乘以高，前面有个二是吧？就二分之一，底乘以高这个二，

所以这个时候变成。乘以了，是不是这样的？对吧，因为有二嘛，然后AC层其实就半半径是吧，它等于半径r乘以个AP。AP又又等于什么AP AP？大家又可以显得。的平方减方是吧？再用勾股定理嘛，所以的长度用勾定用的平方减的方。因为这道题r是固定的r就为一嘛r是固定的，也就是说越短。PC越越越短，

那么这个面积越小是吧？PC越小。然后面积是越小。是吧，这个PC越小啊PC越小啊，这个面积是越小的。对吧，所以pz也短，那pz也短，什么时候pz也短呢？那p肯定运动到跟这个垂直的时候是最短的是吧？啊，是这这张这大家呢，就求一下这个垂直的手，这个能听懂吧？

它用到垂直的手。p点用到这个位置的时候啊p点用到这个位置的时候。啊，它最短。啊p点运到这个位置时，它最短好，那这个最短距离怎么求呢？我们就用圆心到直线距离就可以了好吧，圆心。有没有同学求出来圆心是负三负一？到这个直线距离。它距于d。就等于根号下a方加b方就是十。是吧，10a方加b方十，

然后把负三和负一带到里面去，就变成负九+1-2绝对值。这要等于根号十。所以PC最小，最小PC最小，最小就是这个垂直过来是最小的。是吧，是是是最小的好，这个PC最小值就取十，所以当PC=10根号十的时候。当p等于根号十的时候，这个面积是最小的好吧，因为半径r正好为一嘛啊r为一，所以说算个最小值正好等于。等于根号九就等于三答案就求解出来，

正好三这个答案选。在哪选d好吧，这是它的方法，看懂了没有？好，这是它的方法啊，所以大家呢，以后遇到四边形，把它分成三角形来进行求解和思考，这样就比较简单。好在咱们真题里面还出现过这样一个题，到时候大家呢可以思考。是吧，在咱们二一年考试考这样一题。比如，

这是一个圆。圆这有这这有条线，然后这点是a这点b这边儿c这边儿是d。问，这个四边形面积。什么时候面积最大？啊，问这个四边形面积什么时候是最大的？这道这个大大家怎么弄呢？还把它拆成两个三角形知道吧？拆成两两个三角形，这个三角形的高。是h1。这个筛选高是h2。它们共用都是AB这个弦长知道吧？

共用都是AB弦长，所以说用咱们讲的拼接高知道吧？拼接高所以这个四边形的面积可以写成二分之一AB乘以个h一。加上h2。这样的懂了吧，就因为左边这个三角形，它的底是右边这个三角形底，它也是知道吧，它共用。换AB，所以说它的这个面积就是二分之AB乘以h一二分之AB乘以h二，这样好吧，就这样这样写出来。行了，接下来我们呢，

就可以看出来它的值。啊，看看它的，它的这个值那看h 1+h二什么时候最大啊？h 1+h二就是最大，最大就是直径。是吧，它是圆里面就这个加最大最大就直径，所以说max。就等于AB。然后乘以个2r。2r再除以二就是r，所以它的答案最大值有乘以半径就可以了，所以你到时候把的弦长求出来。然后乘以这个半径就可以了，

好吧，这是它的这个方法思路，看是不懂了啊，就这个考试的内容啊。然后对于线性规划这一块儿，常规方法是画图分析知道吧？常规方法是画图，但是运算比较大，你可以找并列焦点。但大家一定要会画图啊，一定要会会画图啊，那么画图这个题我也给大家画一画好吧？如果不画图，就找这个焦点也可以。画图还有耽误点儿时间啊，

第一条线。第一条线注意，它是取小于号，而且y系数是正的，所以它在直线的下方区域，知道吧？上次我们好像给大家讲过，在直线上方下方如何来判断？是不是如何来判断？判断方法就是这个4 x+y小于十，因为y的系数是正的，然后它小于号就是下。然后这个y的系数正的，它也小小就是下，所以说这个呢，

就像四s加y小于等于十，相当于是y为零的时候x等于一个二分之五。然后这个是yv 0的时候，这是五，你先把一个画完吧sv 0 y=10。好，那这是一条线。它在这条线的下方，第二条线4 s+3 y小于等于20，它这个的这个点。啊，这个点呢是五。是吧，这个点是五，这个点三分之二十。

啊，删成20好吧。都在这个线的下方啊，那x大于0y大于等于零，那这块儿呢，它就是啊，这样的一个图形。这在第一象限，知道吧？就I大于等于0y大于等于零是在第一象限I大于等于0y大于等于零是在第一象限。它这个情况是吧？在第一象限。好，这一区域啊，好在这个下方，

接下来我们要找这个焦点，这个是p=2 x+y代表什么意思呢？你把它看成一条直线，这个p呢，就相当于在y轴的斜呃截距，知道吧？p点正好在y轴。截距，所以它的斜率是这条直线的斜率是呃负二是吧？所以这条直线斜率是负二。负二，然后它这个。正好在这个交点处，它取最值，所以我们接下来求这个交点就行了啊，

4 s+y=10。和4 s+3 y=20，然后让这两个相减，两个相减y就等于五。s又等于四分之五好吧，四分之五，然后把它带到里面去最大值。最大的p max就等于然后呢？就把s等于四分之五带到里面，四分之五带到里面就是二乘以四分之五。然后再加上一个五。相等于二分之十五好吧，这个答案选a选项。好，这样就写好了，

懂了吧啊？没懂同学我再给你简单说一下。就是就是它这个p=2 s+2，它是这样一条线，知道吧？就就就这样一条线。就这样一条线，刚好刚好在这个。d点的时候知道吧，刚好它在这个点点的时候，然后这时候那么这个这个p的几何意义就代表是解截距知道吧？p的几何意义是在代表是这个截距，所以刚好就在这个焦点的时候，那它截距呢是最大的，知道吧，

所以在这里面大家呢，就找它的这个截距就行了，刚好在这个位置。它体积是最大的。好吧，就这样的情况。反正都在边界焦点处取到好吧，边界焦点，如果这要求最小值求最小值的话，就在坐标原点取到最小值，反正在这道题的边界焦点有四个，知道吧？这里大家可以发现，这个阴影部分叫做可行域，知道吧？

可行就满足这个条件，这个名字叫可行域。可行的区域叫做可行域，知道吧？就是在这个范围里头，这些范围里面它都是可以的。给它总共这个这个这个图是一个四边形，知道吧？四边形那这个四边形的话，大家呢就可以。嗯，写出它的这个四个点，总共有四个点，懂了吧？你比如这个题。

当然有时候啊，有时候你得画图知道吧，有时候你得画，因为比如它的这个线。很复杂，或者有时候又求最大值，又求最小值或最值比较复杂，这时候大家呢，就最好就把图画一画。好把图画一画，把图写写。然后这个画图大家一定要会画，怎么画啊？第一个s- 4y小于等于负三，一定要记住啊s- 4y小于等于负负三。

它应该在直线什么方呀？应该是直线上方啊，知道吧，直线上方因为这个小于号小于号这个y前面是负的。负的，比如说把这个y给它，给它重乘一个负号就变成大于号，变大于号，所以说它这个大于号就是上方。这个YY系数是正的正的，这个消息好就在下方。所以这道题不重要啊，这几个线性优化题你自己都可以做，然后关键点老师讲这些目的什么，万一考虑让你画这个直线的方位，

别给画错了好吧，别给画错，比如说ax+by。加c。如果小于等于零，小于等于零，必要是负的，它反而是在上方。b要大于零，反而在这个在下方好吧，看b的取值啊，看b的值，不要看x。s前面正负无所谓啊。懂了吧，

然后如果反过来，如果如果这地方是大于等于号，这变成下方，这变成上方。好吧，边上方，所以这是它的这个方法，你要看YY到底是大还是小，主要看y。你怎么记呢？你可以看它这个小于小于的话，你就看YY，如果要是正的正的话，说明y就是往减小的方向走。y的负的话就反过来好吧，

就反过来好，如果大于号大于号啊，那它这个大于号，那它这个一样。呃，一样，如果y要是系数要正的正的就在上方，这在下方好吧，这给大家强调这个方法啊。好，所以这个直线它的记忆直线上方下方记忆窍门，要知道不管它给的是呃，一般是。还是点斜式还是斜斜斜式都是一样的，知道吧？

一样你看从y的角度来看y是比别人大还是比别人小，知道吧？你要看y的角度啊y到大还小。这从这个角度来分析啊，好，那接下来咱们来看一下它的这个数值。好，这道题就好，做这道题要想画图给大家画画，这是第一个，第二个这这都很好画是吧？然后在这里面。第三个是s大于等于一，大于等于一是一条竖线。没有竖竖线，

如果不想画的话，它围成这样的一个三角形是三条线，围成三角形，你可以找它交点，也可以求叶算。啊，找到焦点，找焦点的话，比如说。这个x- 4 y+3=0和3 x+5 y。减25，它为零，这条线交点，你要要找出来是吧？这条线交点要给它求解出来，

咱们可以把第一个第一个方程同乘以三啊同乘以三同乘以三就变成三。x- 12 y+9为零，然后这俩是一相减，一相一相减就得到17 y- 34，所以y又等于二。y=2 x就等于五是吧？这样就写出来了，好，这是这个值，然后再找另外的焦点，再找另外的焦点，另外的焦点x- 4 y+3=0。跟s=1找下焦点。这将来就s=1 y呢？也为一。

是吧，然后第三个就是3 x+5 y=25。3 s+5 y等于。25和x=1。这个得到x是唯一的y呢，是等于五分之二十二好，五分之二十二好，这三个点三个点在这里面，谁最小谁谁最大，一下就找到了。z=2 I 2 s+y，那么第一种情况，第一种情况z=2 s+yz呢？这个等于12，所以第一种情况z算等于12。

第二个情况，一点一点那么z算值为三。v三v三第三个一和这个五分之二十二，一和五分之二二二十二。好这样的，所以显然最大最大这个就是12最大，然后最小最小就是三就是最小了，所以答案就写出来，这个答案就选择a。好吧，选择a其实这道题老师讲的主要目的是在前面。千万别在考试时候给我犯错误，不要记得是吧，不要记得小于号都在下方，大于号都在上方。

不要这样记，或者说你记不住，要么呢，你就是。取点特殊值也行，有同学可以可以想到取特殊值可以。取特特殊值型。啊，要么就看y看y的这个情况啊y的情况，当然如果要是给的是那个什么？给的是斜截式，那那这个没啥问题啊，斜截式斜截式的话，那么这个大于号肯定就在上方了。消耗肯定在下方，

这个也没啥问题。是吧，这个都是没啥问题的是吧？因为这个y肯定是正的，你就说从y的角度来看y是比别人大还是比别人小？知道吧，所以说在这里面就看y的这个情况，所以这也可以取一些特质与零去比较，你可以看s=0 y为零的时候，这个零零点。是在这个线的下方，还是在线的上方，你可以看坐标原点的位置也行啊，都是可以的好吧。反正讲这么多，

其实让大家明白什么问题呢？明白。它在什么方位方位？啊，尤其你比如说像一些绝对值问题，要知道它在什么方位？比如说4s绝对值小于等于y的。绝对值和。y的绝对值。小于等于八。是吧，好还有x绝对小于等于一。它们共同维存的面积是多少？对吧，共同维生面积到底是多少？

就这样的。其实讲这些目的，主要让大家分析一个什么，分析一个as by它的一个图像要怎么画，比如ax。小于等于by。或as大于等于by它这它这个面积，它这个图形要会画。好，各位同学都加油，都做做它的面，应该怎么写？好都思考一下，想想是不是你会不会画？好，

那这个大家都做完没有啊？这个。那c做完了，说一说。好，这个大家首先画y=4 x这个线。这样y=4 s线。如果y呢，觉得大就是上下这两块儿y觉得大，上下这两块儿。如果4s绝大就左右两块。就两块，为什么因为y比较大y比较大，要么在这个上正的时候就在线的上方，如果负的时候在线的下方。

是吧，反正就上下两部分好，这是第一个区域啊，加上上下两部分，第2y小于等于8y小于等于八是两条水平线的之间的部分。是水平线之间的区域。知道吧y觉小等于八是这个水平线之间的区域。好水平线之间的区域。然后这个焦点先给它求求也行。对，求这个就行，这个焦点这样是二。这是负二。好，这个焦点都可以求解出来。

然后这是八，这是负八。然后接下来s绝对小等于1s，绝对小等于一是什么是竖线？部分啊一。好一。好，那么共同维权的区域有没有同学找到？功能分析区域就这样的一个区域。你可以按照这个梯形做啊，这个这四个梯形，你看左右这两个是梯形都对称的啊。下面这也是两个梯形，所以可以把看四个梯形做。用t来做也可以用三角形去减，

也可以都没问题。如果算t的话，这个也很简单。这题大家知道，这个坐标是一，那这个坐标就是四了。因为这个s是唯一的s为1s为一的话y坐标就为四，看是不是懂了？所以s为1y就为四。这个是八，所以这个梯形，这是一个直角梯形啊，你要算一个梯形就是直角梯形，这道题上底长是为四。擅长为四。

下列长是八。这个金额高高正好是一。高是一。有同学算的是12，有同学算的24。其他同学再算算看到底是选12还是选24？都想想。啊，所以说算的是多少？好，这个上底是四上底是四下底，正好是八是吧？上底是四下底，正好是八。那八所以它面积的二分之上底加下底。

乘以高。乘以高，这是一个直角梯形。这个是t呢高。啊，只有提醒。然后这样就写好了。行，那接下来接下来咱们再看看。看它的这个面积是吧？面积面上底加底乘以高除以二。然后再乘以四四个梯形，因为四。折这样算呢，就等于24。

好，就等于24这个求解好了。好，24啊，这个写好了。好看，这个是不懂了。啊，刚才算12的同学是不是哪漏了啊？通过这里，大家明白没有明白这个如果y的数要大，应该怎么取？我也觉得，我也觉得就上下两部分。就靠近y轴的这个方位。

如果反过来x轴4s绝大要看左右方位啊，左右方方位。好，这时候大家就可以写出它的这个这个题，它的这个结果。如果as绝对值小于等于by绝对值as绝对值小于等于by绝对值上下这个方位。好吧，就上下它的它的方位。好，如果as均值大，那就是左右方位啊，所以这个就是上上下。这是左右。啊，左右方位啊，

一个上下方位，一个左右方位啊，这样写好。好吧，就写出来。好，这给大家顺便温习啊，一定要知道它的直线的什么方位好吧，要弄清楚，别给写错了。好看，各位同学是不是都懂了？

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