7-05综合题（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:02:18

好，接下来比较难的一块就是最值问题，这是比较难的啊，最值这一块大家要知道这是它的求解方法。好，这是问题，这个大家呢，是最害怕的，这个主要是一个是距离最值啊，距离最值距离最值，大家就结合。这个对称啊，来进行分析，具体这支的话，它可以分为这几类啊啊，

具体。这个距离最值。它可以分为这几类考法。好，第一个就是一个距离。啊，一个距离。一个距离一般都与圆相关的，如果一般都与圆相关。好一个距离，原先的话就是找圆心。找找圆心，找圆心，然后再加减半径就可以了，好吧，

找圆心再加减半径。就一段距离。第二个就是两个距离和。好，两个具体的和。啊，两个距离和。两个距离和的话，那利用对称分析最值。对称分析第三个。就三个距离的平方和三个距离的平方和。如果要三角形啊，到三个点的距离平方和，那就用那个重心来分析好吧，三个距离的平方和。

啊，利用重心来分析。利用重心来进行分析好吧啊，重心来进行求解来分析，这样就可以了。好，那这是它的这个几个关键点。圆心对称重心。好，那么咱们之前说过那么修辞呃。修商场是吧？比如说这个定商场的位置点，那这时候就用这个重心来分析好吧啊？看是不是明白了？接下来面积的最值面积面积最值主要是三角形的面积。

咱们还讲过三角形是学习的重中之重，三角形的面积好，三角形面积主要是跟底和高有关系。跟底的高是有关的是吧？三角形的面积，它跟底高是有关系的。所以可以找到具体的最值来分析。第三个线性规划。线性规划这个咱们在应用题里面也研究了，所以线性规划问题。现在它主要涉及到三个知识点啊，三个知识点，一个应用题。几何？还代数。

所以涉及到三个，所以它也是一个综合的啊，这个考题是吧？也就在咱应用题里面啊来讲过。啊，应用题。然后如果应用题第一步先把表达式写出来是吧，所以说找到它的表达式。对吧，然后再画图，但有时候咱们呢画图，如果没时间画的话，直接找焦点也行。啊，直接找焦点也可以找焦点，

是不是要用代数方方法来进行找焦点？对不对啊？找焦点像有时候它焦点要求整数，有时候焦点不要求整数。那交点要是整数的话，你算的不是整数，还要讨论取取整对吧？然后看一下这个整数到底是多少，还要讨论它取整的方法。好，那这是它的这个内容是吧？要看它会不会取取整？还有这线线规划。第四个动点，求最值。

动点，求最值。啊，动点它一般在某个表达式或者图形上运动。在某个表达式或者图形上运动啊。啊，重点。台球最值是吧啊，动点它就是在某个表达式上，它运动运动的话，可以结合几个意义，所以在这里面动点，求最值它的方法。方有几个法？有代数法。

有解约法，有代收款。一般呢，这个动点都运到特殊位置的时候，那么这个求最值特殊位置就是求最值。好特殊位置一般是特殊位置，什么位置呢？比如相切的位置或者垂直位位置是吧？相切啊或者垂直。这些特殊的位置来进行求最值好，这是它的一些求最值的方法。接下来咱们一个个看。第一个就是距离最值。好，这是遇到与圆相关的距离。

一元相关句，它又分为三类好吧，一元相关句，它是它是它是三类。啊，与圆相关距离，这是它是它是三类。它总共是。是有三类。啊，第一类是点一元。第一点是。点一圆这个情况，点跟圆它它这个情况。第二类是直线语言。

第三类是圆圆。啊，远远好吧，它有三类考法点远。直线圆圆圆好，不管什么考法，关键的问题都是要圆心是关键。啊，圆圆的关系，然后再加或者减半径来求最值好吧，你就看是加半径还是减半径来求最值？比如说咱们看一下这个点一元，它的这个情况看一下点一元，它的考法好，各位同学都做过这个题。

点一点它的考试方法。好，那点语言的考试方法，那这道题。我们看看，首先把这个圆要给它进行配方。好语言给它配方。它配成什么？配成x- 2^2。加上y+1^2。好s- 2平方，加上y+1平方这样的。就可以把它写成s- 2^2，加上y+1^2。是吧，

然后这样等于25。x- 2^2加上y+1^2，这样等于25。这样的。啊，看明白没有啊，所以把它写成s- 2^2，加上y+1^2正好等于25。好得到这个结果后，那接下来咱们再来看。这个点其实大家可以发现，应该在圆外是吧？这个点应该在圆外圆外话，那我们就求出这个圆心到这个距离。啊，

大家想想这个题，圆心到这个距离就圆心。是二负一。与这个十和14它的距离。大家想想这个距离值。好原先是二负一与它距离，这段大家可以写写出来嘛，写出来这个距离d。这里根号下八的平方+15^2。大家学过就80，57是吧？80，57有同学已经写好了。好，85，

十十七那么最近距离就是d-r。这就d-r用17-5得到12。好，11-5得到12，这样的式子好吧，11-5得到12，这样就写好了。好吧啊，如果这个点要在圆内怎么办？所以说题不重要，关键是大家做完这个题要给大家总结一下。啊题不不重要啊，做做做完做完这个题，大家看我们把它总结一下。啊，

如果点要在圆外点要在圆内，它的这个情况啊，咱们一起来思考一下好吧？假如这是一个圆。啊，这是一个点。那么点要在圆外。点如果在在圆外点，如果在圆外的话。那最近距离是在这，这是最近的。这个点是最远的是吧啊？呃，是最远的，所以如果点在圆外。

它这种情况。好，如果点样在圆内呢？大家看看点样在圆内呢？比如说点，如果一个点在圆内。它在这个位置。点如果在圆内。点如果要在圆内。点如果在圆内的话，大家想想啊，点要在圆内。原内行呢，最近距离是在哪呀？是在这块是不是这是是最近的？

这点是是最近的。这点是最远的是吧？这点是最最远的，如果点要在圆内。好，那接下来我们可以看它的最近和最远。最远都是d+r是吧，然后最近。是递减r最间，递减r好，如果这种情况，它最远。还有d+r。最近是r-d。是吧，

它最近最近就r减减d。啊rr-d就写好了啊，最近就是r-d。好，这又写出来了。好看，是不是懂了啊？最近是r-d，然后这是它的方法。其实大家可以发现，就是这一块不太一样。一个d- 2，一个r-d，你干脆给它加绝对值算了。是吧，

给它加一个绝对值上，反正就是。d要大，那就递减r，如果r要大，就r-d，反正就加一个绝对值，反正你也不用记那么多了，好，这个点与圆。调这个情况好吧，看这个是不是懂了啊？然后原先都是o点，这个点是a点。然后咱看直线根源。

好，再看直线根源，大家一起思考。好原量点到这个直线，它最近距离到底是多少？看一下这个题。那这个直线肯定要跟圆相离，知道吧？如果直线跟圆要相交的话，或者相切的话。它这个最近距离就为零。是吧，这个最近去。tan为零。如果相交或者相切，

它的最近距离就为零。是吧，所以在这里面都是肯定都是相离了。好都相离，好都相离的话，那么圆心。到直线距这块儿就是最最小的是吧？最小的如果垂直距离的话，就在这儿是最大的，如果要斜斜着的话，它这个距离就。比如直线上的一个点，圆上的点它，它最远就没有了，它这个可以无限远是吧？

无限远。你要垂直。垂直要最远的话，就在这是最远的啊。好，那接下来我们看这个题，这题它最近就是d-r。这就是d- 2，那接下来这个题大家自己做好吧，用圆心到直线距离。然后减掉半径就可以了，这个比较简单，这个在咱们二零年考真题里面也出现过它的圆上点到直线距离最最近到底是多少？是吧，然后这个是这个很简单。

那么，接下来咱们看圆跟圆。圆与圆呢，它有圆与圆，圆圆主要是分为两种情况，一种是外离，一种呃是内含两种情况。好，那这个题咱们看这里，它把这个圆给它进行配方。对方配上x- 2^2，加上y+1^2等于20。是吧啊，这是20再加五就25。是吧，

是这样的。所以把这个配方配的x- 2^2加y+1^2等于25，后面这个圆也给它进行配方。配置s+3^2。加y- 11^2。等于一是不是好，大家看看这个是不是懂了啊？把它配成s+3^2，加上y- 11^2。这样就唯一这样的。然后得到这个值以后，那接下来咱们来看看它的这个。试纸，所以大家可以发现这这两圆明显是什么？明显是是什么情况呀？

啊，应该是y离的，是不是你看它d嘛d这个圆心是二负一是吧？这个圆心是二负一？与这个圆心是负31它的d。距离d等于根号下，这是五的平方+12平方，是不是正好等于13呀？啊d站为13d站，说明两圆是外离的。因为这个d显然大于两圆半径之和嘛，是外外离的对吧？所以两圆是外离关系。没关系，那最远应该什么情况？

这点是不是d+r一+r二？啊d+r+r就13+5+1。这要等于19。是不是建议大家选e选项？好，大家看是不是懂了？啊，这两圆外离。好，那接下来我们总结一下。好，如果两元要外离的话，它的最大值最小值情况是吧？如果两元。好两元外离。

先连两圆的圆心。连完后，那在这是最远的。是吧，在两头两边最远。然后最近最近是这两点是最是最近的。对吧，这两点是最近的啊，如果两圆外外离外离，我们可以写的最最近和和最远。好，这句话就是d。减r1r2。好，这是最近就d就原句d-rer，

这是最近的最远的。就是d+r 1r二。那最远t+rer，这最远是不是啊？这是它的这个方法。接下来咱们看，如果两元要要是呃内涵。考试别看错了，两个如果要内涵。内涵，假如这个圆的圆心在这个位置，这个圆圆心在这个位置，但还是要连两圆。这个。好，

咱们这个d这代表是什么啊？d代表两圆的圆心距知道吧？d代表两圆的圆心距啊？d代表零原句好，各位同学都回答一下，最近是多少？最远是多少？想想啊，最最近在什么地方？最远在什么地方？那最近可能在这个位置，这地方是可能是是最最近的。是吧，然后最远是是什么点知道吧，最远最远把它这个延长延长。

就这个点。跟这点。好，这个两圆上点是最远的，这个点在这这个点在这个位置是最远的是吧就是？小圆上一个点，大圆上一个点，这两点最远。最远最远的话，大家想想最远的话，它正好一个点在这一个点在这个位置，这是最远的，是不是？好就是最远的好，那接下来大家想一想啊，

想一想。那最最近应该怎么写？都说了，最近应该怎么写？这应该用r大。减去一个d，再减r小。就是这样的。我看大家写的怎么样啊？写的怎么最最近？这句话就叫大圆的半径，这个总长是大圆的半径。减掉一个d这一块，然后再减掉这个r小就行了啊，别给写错了啊，

别给写错了。这是最近的点，这两点是最近的。然后再看最远。再看是是最远的。好，最远的话应该怎么写最远的？这样还是d+r一+r二，这个是没问题是吧？大家可以看最远的，这两个是一样的。最近呢？不一样啊，最近不一样，比如说这道题要这个小小圆正好在大圆内部啊，

如果这个小圆正好在大圆内部。写完之后再大大写内部，到时候写最近的时候别给写错了啊，就最近呢，容易出错好吧，容易出错啊，别给写错了。好，这是与圆相关的距离，这块看懂了吧？就点根圆直线根圆，还有圆跟圆。一定要看清它的两元，它的情况别给写错了。然后接下来咱们看利用对称求最值，

对称求最值，其实就对称应用，刚咱们在讲光线反射的时候给大家讲过是吧？讲过啊，所以大家在在做作业的时候如果出现。出现这个距离的最值，大家可以用对称来求解。比如说像这个题。像这个题。点a在直线s+y+1=0上运动，两定点的坐标分别是p和q。求AP+aq最小值到底多少？教给大家做谁的对应点都行。啊，做谁的对称都是可以的。

做谁的对称都可以啊，都是没问题的啊。你做p的对应点q的对应点都行。好，那这时候呢，你就可以做一个啊，这个对称点啊，这样一连就行了，对吧？这是p1撇。那a点用在这个位置的时候。这是是最小好吧，这样好，大家发现这条直线的斜率正好是正负一。他买了咱们使用这个。

技巧的啊，这个特征只要它斜率是负一。都满足斜率正负一都是可以用的好，大家可以看这个实验的斜率是负一，所以呢，求p点它的对称点。好p点，对称点的时候，大家可以把它带到里面去是吧？带到里面把p=2带到里面去，带到里面y就等于负。负负三。然后这个三带到里面去，三带带到里面去，这个负四。

不是q点三负二，这样就可以写出来，所以说AP+aq。它的最小值。就是p撇q。好p撇q我们看写写p撇q就是哪根号下？三跟负四就是七的平方。加上一就等于五倍根号二这样写好了是吧？这五倍根号二最后求解出来了。好，那这是它的这个方法，看是不是懂了好吧？看还有没有什么疑问？好，这个对称好，

这个对称求最值呃，咱们前面讲过的菱形有印象吧，菱形可能也忘记了是吧菱形？就一个点在它的对角线上运动，它到两个点距之和最小，咱们也讲过对称是吧？这地方光的反射用到对称这个求最值，又用到对称。是吧，这个对对称的方法，大家要知道。好对阵球队的对阵球队的在在古代呢，早就有了，知道吧，这个呃，

古代早有了古代啊，那么有个典故叫将军饮马。将将军野马模型，将军野马模型是什么意思呢？比如将军打完仗了，他在p点，比如现在位置在p点。要回到点回到营地，但是呢，这个马呢，它走不回营地，它渴了是吧？然后这条线是一条河流。现在要河流，现在呢？

他要从现在从p点要去到河流这喝水，喝完水以后，然后再回营地，再到q点。那怎么走？这个距之和最小是吧？这是古代它的一个典故，然后呢？有一个人非常聪明，然后他拿出地图，然后一画画，一个对对称对称，他说这样走。这样喝完水，然后再回到营地，

这个距离是最小的。好吧，所以就。啊，所以大家可以看古代人的智慧还是很好的是吧？他能想到这些很聪明啊。

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