平面几何-综合提高题-问题求解（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:59:23

好，下面咱们看第八题好，这个题它告诉我们长方形的面积36 ae=2倍的ED求e面积道理，说好e面除了啊，用这个不规则四边形的叠性定理做之外啊，你可以连接eo。用迪恩定理把两块儿面积分别算出来啊，我们下面还讲另外一个思路，因为迪恩定理有同学用不好，我们讲另外一个思路，另外说我要求这个阴影面积，我就可以拿这个aod的面面积是吧？aao d面减掉这两块儿空空白的，是不是就行了？减掉左边空白的，

右边空白的就行了，所以接下来咱们就一个个来求它空白面积好，首先我们来求一下。这个a aoe这块空白面积到底是多少？是吧把AOE这个面积这个求解出来啊，好AOE大家知道这个AOE这块三角形面积，这个三角形跟下面这个三角形是不是就？相相似的对吧？就相似相似比正好是二比三啊，因为它这个说ae=2倍的eed嘛，你把ED看看成一好吧？把这ED看成一所以ae呢就是二所以整个长度就为三，听到没？总长就为三所以在这里面就正好就是二比三好二二二比三二比三就说明。它这个高。

比上下面这个高。是不是也是二比三呀？对不对？所以说它这个这个高比这个高也是二比三吧？是不是这样的情况对吧？二比三二比三，那整个高是不是AB呀？整个矩形的高，是不是有AB啊？AB好说明三角形AOE的面积就等于二分之一底乘以高底，是不是就是ae啊底高？高的话，是不是正好占了五分之二倍的AB？啊，你看到没有？

就这个三角形的高啊，这三角形高是不是占整个AB长度的五分之二？因为它这个不是二比上三吗？对吧，因为相似啊，这个二比三，所以说在这里面占了五分之二，好大家再接着写，我们知道ae ae是不是占了AD长的三分之二呀，所以ae占了AD长的三分之二。对吧，三分之二好做到这做到这，我们就可以看出一个什么样的规律呢，因为大家知道AD乘以AB。AD×AB。

是不是正好整个等于36啊？就等于整个长方形的面积吧，是不是就等于整个长方形的面积，所以AD×AB它要等于一个36？明白吧，等于三四三十六三十六，这个就等于十五分之二，再乘以三十六。好，这是AOE，这个面积就写写出来了，看这个是不是学会了？好看看啊，这一块儿，所以这个AOE就是二分之一底乘以高来算啊，

你找它底，然后找它高，然后它底跟矩形边长有什么关系它高。跟矩形边长有什么关系，然后呢，来进行分析和思考，然后这个呢，上下可以同时除以个三，同时除以个三。啊，就得到五分之二十四就等于四点儿八是不是这样的？这就等于四点儿八啊，所以上下都约约一约啊，约约掉一个三得到十五。好，

那这个啊，就五分之二十四可以写成四点八好，同样道理，我们再把这个擦掉，再求一下这个。假设这个是f吧，求一下。def这个三角形的面面积是吧？然后这个是不是有一比三呀？对吧？一比三我们刚才设呃ED长为一。e长为一的话，那BC总长就是三，所以它一为一比3e三，大家再想想它的高，

刚才听懂的同学，想想它的高的比。啊，比如说这地方有个高。这地方也有个高是吧？然后看它高的比到底是几比几啊？高高的比是不是也是一比三呀？一比三，所以我们就可以写出s3角形def它的面积。是吧df面df面就等于二分之一d乘以高d是de高高的话，正好占了四分之一倍的CD长。是吧，因为整个高不就是CD嘛，整个高CD的话，它这个高正好是一比上三啊，

一比三，那么它不就占了四分？之一嘛好，那大大家再看d的长度d的长度是不是占整个AD的长度的三分之一？是不是这样的，整个aad长的三分之一好，那做到这大家可以看到什么问题呢？可以看到这个AD乘以CD。啊AD×CD，然后这一块儿是不是正好就是矩形的面积是吧？矩形面积就等于36嘛，就这个长方形的面就。三三十六啊，所以在这里面大家呢，就可以写出它的值这块三三三十六。

就是二×3乘以四分之三六啊，这样就可以写出来就等于一点五。好吧，所以在这里面就算算就等于一点五。好看，这个是不是学会了好，那做到这我们再把这个擦掉了啊？擦掉好这个面积是四点八，这个面积是一点五，然后一个阴影面积是不是就可以写出来阴影面积的话，就是用整个aod的长度啊，所以s阴影。因为整个aod大家知道aod的长aod三角形的面积是不是占整个矩形面积的四分之一啊九对吧？所以。aod整个面积就占了九啊，

占了整个矩形面积的四分之一就是九，减掉一个四点八，减掉一个一点五。然后这样就可以算出它的这个答案好吧，看看这个是不是学会了答案就可以选出来，就是选择e选项就等于二点七。就选择e看这块这个题是不是听懂了啊？好通过这道题，大家学会的知识点和方法就是。呃，我们呢？可以用三角形跟矩形边和高，它们的比例关系比例关系，然后找到它跟矩形面积的之间的关系，这样话。

就更加简单一点答案就求解出来了好，这是给大家说的这个题的做题方法，看是不是学会了，当然这道题还有一个小技巧哎，还有一个小技巧，大家记完以后我再说一个小技巧啊。这个技巧大家知道这个面积是36，因为这道题它跟这个矩形形状没啥关系，你可以把这矩形看成一个正方形，看成边长为六。是吧，这样话是不是更简单点是吧？这个边为六，这个边也为六边缘六，由于ae是二倍的ED，

所以说这个就是二，这个就是四。是吧，这个四好，然后再算出它的高。看看它高，因为大家知道这个边跟这个边比不是这个高跟这个高比是二比三二比三的话，所以这个高我们就可以算出来，直接就可以算出s3角形。啊，这个a假如这个。o点是是在这儿吧，假如说o点在这儿就是s三三角形AOE。啊，这个面积就可以写出来是吧？

就等于二分之一底乘以高高，它占了五分之二是吧？这样就可以算出它的这个数值关系，看是不是学会了？是吧，也等于四四点八吧好，然后同样道理，那这个面积s三角形def对吧？s三角形def那这样def的话，它的等于二分之一底乘以高，它的底不就是二吗？啊，高高刚说了，它正好是一比三，它占整个高的四分之一，

对吧？所以这个算出来。就是一点儿五啊，算算就一点儿五好一点儿五，然后接下来然后阴影部分就用整个三角形aod减掉两个三角形，这样就求解出来了。好吧，所以在这里面大家看是不是学会了，是不是掌握它的方法了？好，这是给大家强调的这个特征嗯。看看这个题是不是学会了，总之我要给大家进行概括一下，在一个矩形里面，然后呢，

上面有一个点跟它这个连接以后，那么这个三角形的面积一定要会。好吧，这个三角形的面积跟整个矩形面积的关系，这个大家呢，一定要知道啊。好，下面咱们看一下第九题，这道题我们主要用这个鸟头定理就行了，好吧，所以这道题考点主要考点就咱们前面讲过的鸟头。定理做。好三角形ABC中AB是AD的5倍。AC是ae的3倍，如果三角形ade面为一求ABC的面积是多少，

大家知道角度定理有ABC的面积比上ade的面积啊，你如果两个三角形共用个。角a，你看到没有？这个有角a，这个角a共有个角a，那么它的密比就等于这个角相邻的两边。长乘积比是吧？就角a它相邻，两边AB×AC比上AD×ae，大家知道a dab是AD的5倍，这是三倍，所以就得到十倍。15倍是吧？所以这样答案选择d啊，

用这两道定理做这个要简单一点，好答案就求解出来了，看这个题是不是学会了，只要两个三角形。共用一个角，那这个它的面积之比都用两个定理来进行分析啊，这道题比较简单，咱们前面讲课也给大家进行提到过。好，下面咱们看一下第十题，这个题好，这个题也一样是吧？也是考察这个鸟落定理，鸟落定理，只不过是我们先说的甲占整个面积的一个情况是吧？

所以在这里面考点一样。考点就是两头定理。来进行分析好，那BD=CD等等于四啊BD=CD就等于四。啊，然后呢？be=3 ae就为六好，我们来算出这个算出s3角形bde比上s3角形ABC。它面积好就等于BD×1个be比上一个BC×1个AB是吧？就这样的一个情况，看这个是不是学会了？好，就拿这个BD×1个be。比上一个BC乘以个AB好，大家知道这个BD正好是BC长的一半儿是吧？

因为d点相当于是终点了。好，然后be比上个AB，正好占了三分之一，所以就等占占了六分。之一听懂没有，占了六分之一好，那也说明这个甲占了六分之之一就甲。就占了六分之一，整个三角形对吧？好，那说明乙是不是就占了六分之五？这个三角形啊？对吧，六分之五三角形，

所以在这里面就可以得到它十到五倍，正确答案de选项就求解出来了，好看这道题是不是学会了这道题呢？跟上一个题差不多，考察角度定理，先求出甲跟整个大三角形的比。甲知道了那么乙的比例就可以算出来，答案就求出来了，看这道题是不是学会了？好，下面咱们看一下第11题，这个题好，这个题主要考点是考察这个题型。它相关的面积。好如图所示，

这个abcd是一个梯形啊abcd，然后这个又是个平行四边形，然后已知三角形面积，如图所示求的阴影面积到底是多少这道题呢？比较简单，其实这道题呢，这个16是用不着的，能不给我们也没关系，其实。这道题可以先连ae。连ae以后，大家可以发现左边这个翅膀面积跟右边翅膀面积是不是相等啊？我们讲了对任意梯形左边面积和右边面积相等。对吧啊，另外上下面积相乘，

是不是等于左右面积相乘呀，所以上下面积相乘，是不是八×2等于左右面积相乘，假如左边面积是s，右边面积也是s，对不对？所以这样s直接就可以写了，就是四因为二×8不就16吗？16算算等等于四×4答案就求解出来了，好看这道题是不是学会了这道题的方法？啊，把它弄成一个梯形，一定要记住咱们前面总结的梯形，左右两边的面积相等啊，上下面积相等等于左右两个面积相乘，

掌握这样的做题方法就可以了。好，下面咱们看第12题这个题。这道题呃，稍微灵活一点比较难一点，希望大家在求解的时候要掌握它的做题方法，好它所给的题目，咱们来看一下在。直角三角形。ABC中，然后这个是一个直角三角形，然后呢，告诉我们AC和CD呢是等于二的啊AC和CD值。它的为二。好，

然后BC值为三啊，如果BC值要为三，说明BD的值就为一啊，bbd的值它就为一。所以BD值它等于一，然后am=bm啊，说明m呢就是它的中点m，它的数值。就它的终终点，好让求阴影。部分面积是多少？好求三角形amn它的面积。数值关系好，首先我们可以看出那么这个大三角形，整个直角三角形，

它的面积呢？是很容易求解出来的。好，那接下来我们如何来求这个阴影面积呢？大家想想它的方法，很多同学在做这道题的时候。啊，没有找到突破口，其原因呢，就要做辅助线，因为这个三角形，它不是一个很规则的三角形啊，所以在这里面很难去进行求解和分析。好，那接下来我们就想办法用减法做，

或者用相似来进行做好，用减法或者用相似，咱们必须要出现平行，所以想到过d点，然后做一个平行线。做一个平行线好，那么在这里面，假如这个d啊d点，我们跟它起一个e。好就说明de呢，平行mn啊，这样做平行的目的呢，就要想到相似啊，想到相似这样就好，求解了。

好，那接下来我们看一下啊，它的一个比例情况啊，我们可以看到这个de。比上cm的值好，正好等于一个be比上一个，也就说啊be。比上一个me。啊b的值比上m的值正好等于BD的值。比上CD的值正好等于一比二啊，所以这个它的比值就是一比二，所以它也是一比二的，这样的一个比值关系。好，那在这里面，

我们来看一下，由于m呢是中点m是中点，那么AB的总总长啊AB的总长，那因为m是中点，这样就可以很容易利用中点的性质来进行分析了。好，那接下来我们来看一下这些三角形的面积，我们看会不会思考好，首先我们来看一下三角形abd，它的面面积。好三角形abd的面积abd的面用二分之一底乘以高啊来进行分析，所以可以写成二分之一BD乘以个AC。所以就等于一个一啊，所以这个就是通过二分之一底乘以高啊来进行算出，所以abd的面积它为一好，

我们只要把这个。空白的面积求出来，那这个三角形它的面积就可以写写出来了，好，那接下来我们看右下角这个三角形的面积，还有整个这几个面积的情况啊。把这几个面积啊来求出来，这样就很容易找到它的答案了。好，那这地方就用到平行平行呢，所以要用到这个相似，要找到它的一些相似的比例啊，利用这个相似的比例，然后就可以算出来。好，

我们可以看出bcm这个三三三角形好bcm bcm 3角形应该是整个大三角形。三角形ABC啊，三角形ABC的一半儿啊，所以它应该是整个大三角形ABC的一半儿。好，那大三角形的面积正好是三啊，大三角形面积就整个ABC，这个大三角形面积因为底是三。高是二啊，虽然面积是三，所以这个就等于二分之三。啊，所以这个啊啊就可以算出这个bcm的面积好，求bcm面积原因呢？就是想把这个BD这个三角形的面积给它呃求出来好吧？

所以，三角形BD。跟这个三角形bcm它是相似的，相似的话，那么三角形如果相似，它面积比等于相似比的平方，它相似比正好一比三啊。相似比正好就一比三，所以相似比就是一比三。所以相似比的平方啊，这样就等于九分之一好，我们就可以推出BD的面积，就可以求出来。BD面积BD面积就等于bcm的九分之一，因为bcm在上面已经求出来了，

是二二分之三，所以二分之三的九分之一。好，我们就可以得到是六分之一。啊，所以BD啊BD这个面积呢？它是六分之一好六分之一，那这个ade的面积就可以算出来啊，所以ade的面积。好AD面就可以拿这个三角形abd。减去三角形BD。这样求求出来就行了啊，好AB的面积正好是一啊abd面积是一，然后bde面积是六分之一，得到就六分之五。

啊，所以这个得到这个值就得到是六六分之五啊，这样就写出来了，所以这个。abd减去BD减完后得到是六分之五。好，那得了六分之五，然后再看这个占整个面积的一个比例啊，好，这个我们来看一下a。mn.占三角形ade，它的一个比值好，那么amn在这里面，大家可以把am呢，

因为m是中点啊，所以am把它看成等于bm。然后bm它正好是一比二一比二的话，那bm相当于三份儿三份儿am呢，也相当于三份儿啊am相当于三份儿。然后呢？这个meme相当于是两份儿啊，总共呢就可以把ae呢看成是五份儿。所以就等于二十五分之九好，那这个我们就可以把这个amn的数值求出来，所以三角形amn。amn它要等于个二十五分之九。然后再乘以一个ade的面积ade面积是六分之五。好，那这个上下约一约啊，

约一约，剩下可以约掉一个五啊，这剩一个五，然后呢，再约掉一个三啊，再约掉一个三。啊三得到就十分之三。好这个呢，就选择c选项，这样就求解出来了，好那通过这道题，我们要掌握的方法和思路看看呃是什么，看看大家是不是学会了啊？好，那通过这道题，

大家呢？首先要做一个平行啊，想办法做做一个平行线好，那么跟它平行目的呢？就是利用这个相似啊，我们用了两次。相似啊，第一次就是这个小三角形的一个相似，第二次就是这所求阴影部分的呃，一个相似，所以。如果善用相似，那面积比就等于相似比的平方，那利用这个方法啊来进行分析和求解，所以这道题有一定的难度，

大家一开始可能想不起来。好，大家要掌握这样的做题方法。好，那么第13题这道题这道题，希望大家在求解的时候要找到一个特殊图形特殊点好吧，所以第二题啊，大家学会的方法啊，就是特殊化。来进行分析，把它进行特殊化好，那么等边三角形ABC，它的边长为一啊BD=CD啊，这两段呢是相等的。BD=CD，

然后bdc=120度啊，这个呢是120度这个角角。这个mdn啊mdn这个角是60度mdn是60度，然后求amn它的周长到底是多少？求am，它的周长到底为多少？好，那这道题我们来看一下它的做题的方法和思路。好，那这道题的话，大家想想，如果要求amn的周长是am的周长周长呢，相当于三个边相加啊，就是an。加上am+mn是吧？

这是它的周长三个边相加。好，大家可以发现这个mn它的位置呢，是不确定的，不确定，所以我们把它进行特殊化一下好吧，特殊化，这样就好分析啊。特殊化，比如说那么这个60度，我们把它转转成就是mn，正好是平行的啊，跟底边平行的这种情况。所以把它转成了这样一个情况，这样就好分析，

然后这个呢，就是120。啊，这个算算，这个就120度。然后把mn呢正好呢，给它弄成一个平行的。好，这也就是说把它特殊化成啊mn跟这个BC，它是平行的这样的一个情况啊，把它特殊化。好平行完以后，大家可以看这个都是60度。对吧，这个都是60度啊，

所以因为这个角是60度。所以这个上面就是三角形，就是一个等边三角形啊，等边三角形好，那等边三角形的话，你只要求出它的啊，一个长度，然后乘以三就可以算出它的周长。好吧，这样就可以求出它的周长啊，所以这样就很好，求解了好它给我们的已知条件，我们来看一下啊，整个等边三角形，它的边长是唯一的。

啊，整个等边三角形，它的边长为一。好边长为一的话，那么在这里面我们来看一下它所对应的，然后这个角呢是120度。这个角它的120度。好，120度那么上面啊，这个是六六十度。上面这个角，它是60度，所以上面这个就是一个菱形，对吧？所以在这里面好，

我们呢就是一个。菱形。好，那么菱形的话，而且这都是等边三角形啊，这都是等边三角形，所以这个菱形的话，里面都是60度啊，这些。啊，它的这个情况好，那做到这我们只要把它的边长求出来就可以了，好边长求出来以后我们只要求出这个dm的长度。是吧，把dm的长度给大家算出来啊dm的长度给大家求出来，

这就行了dm的长度求出来了，然后整个它的边长就给算出来了。好dm长，大家可以发现，正好那等于这个MC的一半儿原因是什么呢？在这里面我们来看一下，因为大家知道总共呢不是360吗？总共是360，总共360，那这个大家知道，因为因为圆周一周呢是360，360，那这两个角120+60。啊，120+60，

它已经得到180了，对吧？得到180，得到180的话，那说明左右两个角加在一起应该是180。但是左右两个角，它肯定是相等的，因为咱们让mn两边呢，是对称的啊，所以就可以得到很重要的一个信息，就是两边呢，是垂直的，都是90度。这个都是九九十度好，都有90度的话，

那这个角要一百二一百二的话，由于BD跟CD相等，那这个角就是30度，对吧？啊，这个角就是30度好30度，那因为整个大三角形是一个等边三角形等边三角形，整个这个角c它是60度。6度的话，那这个小角3度，那这个角呢？也是3度啊，3度3度，大家可以看右边这个三角形，正好就是一个非常特殊的直角，

三角形是3度6度9度的一个直角三角形。3度，6度，9度的一个直角，三角形的话好，那它的这个。三鹿角所对的直角边是斜边的一半儿是吧？所以三鹿角所对的直角边是斜边的一半儿，三鹿角所对的直角边是斜边一半儿，所以这个。dm呃，这个dm的长度就等于二分之一，这个cm的长度啊，就dm的长度。啊dm的长度啊，

就等于这个cm长度的啊，这个一半儿啊，一半儿好，然后呢，我们再来看一下，然后AC总长啊AC好。好AC呢，就等于一个am。然后再加上一个。啊，再加上一个两倍的dm。对吧啊，两倍的dm好，那在这里大家可以看这个dm的长度跟am的长度呢，应该是一样的是吧，

所以它就等于一个三倍的a。m这个为一好，那就说明am就等于三分之一，好am等于三分之一，那它这个周长周长这个三角形的周长周长就为一就推出周长。它有唯一啊，周长的值，它有唯一这个呢，就选择a选项啊，这是第二题，这个呢，就选择a答案就求解出来了。所以这道题它要掌握的考试内容和方法，就是我们把它图形特殊化啊，在考试的时候如果遇到它这个点啊，

位置呢，不确定或者没有什么要求。只能把特殊化求解要简单，因为这个如果不特殊化的话，那要用很复杂的啊，推导过程去进行思考啊，那咱们考试呢时间是不够的。好，下面咱们看第14题求线段的长度啊，好，我们来看一下这个题，这个题也是跟上一题一样，大家也要学会把它特殊化来进行分析。所以特殊化，以后那就好求求解了。

好，那么我们来看一下啊，这个六杠二一这个题图e是边长为一的abcd对角线上一点啊e是对角线一点。且be=1个BC啊be的长度等于BC。啊就BC跟be的长度呢，它是一样的，然后p为ce上任意一点，看到没有，这也写上任意一点，它的任何一点。啊p是ce上的任何一点热点，然后保证pq垂直BC啊与q点。pf垂直be于f点啊，求pq+pf，它的值到底是多少？

好在这里既然p是任意点。所以我们把可以把这p呃看成在。看看成一点。啊，所以说p点你可以把它移到c点，或者移到这个e点都都行啊p移到e点以后，那这个pf。这个长度，它又vv 0了是吧？所以p点正好在e这一点p点正好在e这一点，这时候pf的长度就要就要有v0啊。p点在e点的时候，然后pf的长度，它叫v0好pf的长度v0，然后就算接着我们就看一下pq。

啊pq好，那这个pq。其就等于一个EQ啊，就等于一个EQ好EQ就做这样一个垂垂线，这样就行了。好，因为它的边长是唯一的啊，边长是唯一好，边长为一，然后我们就可以看出它的这些长度，大家可以看这个be的长度呢，它就为一。b的长度为一，因为这个是45度，所以它就是一个等腰直角三角形啊。

等腰直角三角形，所以说这个直角边是斜边的二分之根号二倍。所以这样答案就选择a选项啊，是这个边长的二分之根号二倍啊，这样答案就选择a。答案就求解出来了，好，那这是它的这个情况，通过这道题，大家也要想办法把它特殊化，因为不特殊化的话，用一般方法啊，就是求解起来就非常复杂，然后每一段儿长度都不好分析。啊，

求解起来啊，就是供应量比较大啊，所以这给大家强调的考试思路和方法。

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