平面几何-综合提高题-问题求解（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:59:09

我们来看，综合提高题第一个题目，第一题目这道题主要考点啊，图形的折叠以及求角度问题。折叠。折叠呢，要找到全等啊，遇到折叠要找到对称或者全等，而而且要求角度。啊求角度的话，大家一定要掌握特殊的三角形，尤其直角三角形，它的一个边长关系。好，我们来看这道题，

已知正方形纸片abcd mn分别是它的中点。好，这两个点是中点好，把b这边向上翻折，折完后c点恰好落在p点处。由c点落到p点。好那bq为折痕bq为折痕也就bq呢，是一个对称轴啊，对对称轴好它对称那这个角跟这个角是相等，都是直角。是吧，好它想求角pbq到底等于多少度？好，那这道题我们来看一下。折叠要找到全等。

所以这是咱们做题的根本思路好，我们来看一下这个pbq。啊全等于三角形。cb q.是吧，这两个三角形全相等，那说明这两个角就一样。好，那么大家还可以看到啊，这个qc跟pq的长度它是一样的。是吧，好那么要求呃，要求角pbq求这个角这个角是不是我们把这个角求出来就行了？啊角。BP n这个角求出来。

好BP n我们来看一下这个特征，大家知道BP应该等于BC。对吧，所以BP应该等于BC。好，另外大家可以看BN。是不等于二分之一BC是吧？BN就等于二分之一BC。好，那么通过这两个条件，我们就可以推出角BP n就等于30度。因为咱们讲了直角三角形里面3度角所对应的斜直角边是斜边的一半儿是吧，所以说这个角就33度。好，那这个角要30度的话，

那在这里面我们可以看啊，这个pbn。就等于60度，对吧？因为这个地方它是垂直的。啊，这地方垂直，所以这个角要30度，那这个大角。pbn就是60度60度，由于这两个对称，这两个小角它是一样的，两个小角一样，所以又可以得到。BP q就等于30度，

这样就选择b选项好，这个给大家强调做题方法和思路，看这道题是不是学会了？通过这里大家掌握的特征就是折叠。首先要找到全等，另外啊，要根据特殊的直角三角形求它的角度。然后再利用啊，那咱们讲的这个两个角相等角，平行线两个角相等。这个特征来来求解好，这是给大家强调的做题的方法，看是不是学会了？好，下面咱们看第二题，

这个题这题的考点主要考察。求面积啊，正方形求面积。好如图所示的图形中。好所有四边形都是正方形啊，只要四边形都都正方形。然后所有的三角形都是直角三角形。直角三角形肯定要用到购物定理最大正方形，你看这里面有大的有小的啊，最大正方形呢，就边长为七，这地方给写了边长为七。求正方形abcd，它的面积和是多少？就abcd面积的和好，

大家可以看。a的面积加b的面积是又等于这个，假如这个边是a这个边是b是吧？好，所以说。sa+SB，加上sc，加上SD加这个边c，这个边就是d。所以就等于a方加b方加c方，加上d方好在这里，大家可以发现a方加b方是不是等于这个边的平方，假如这个边是e。那这个边呢？是f是吧？

所以a方加b方是不是就等于e的平方对吧？然后c方加d方根勾股定理是不是等于f的平方？所以假设这个边长就是e。所以说a方加b方就等于e的平方，因为它是直角三角形啊，勾股定理，然后c方加d方就等于f的平方。好，那我们再看，然后这个边长也是e，这个边长也是f是吧？好，那么e方加f方是不是就正好是七的平方？再用勾股定理就等于49。这些答案我们就可以求解出来了啊，

选择b啊，这是四四十九答案就求解出来了，好看这道题是不是学会了，是不是掌握它的做题的方法？好，通过这里，大家要知道的特征就是多次用直角三角形的勾股定理，然后逐个去转化，就可以写出它的答案。下面我们来看第三题，这道题这道题主要考察也是考察圆弧相关的面积。也考察求面积。好如图所示，三角形ABC是一个等腰直角三角形，这是ABC角a cb=90度。

a cb这个是90度曲线，曲线cdef是等腰直角三角形的渐开项就就越转越大，越转越大叫渐开线。啊，其中弧CD de ef的圆心依次按照ABC来循环啊，就是弧CD圆心呢是？a点弧de它的圆心呢？是b点。弧ef的圆心呢？是c点啊c点好，如果AC的长度为1 AC长度为一，说明BC长度也为一，对吧？AB长度就是根号二，因为它等腰直角三角形嘛，

所以等腰直角三角形，如果AC长为1 BC长也为一好，那么AB的长度就是根号二。这样就写好了，好那么由曲线cdef和线段。和线段CF构成的啊，这个所有的图形的面积到底是多少？好图形面积我们可以看分为这么几几块儿。好，这是一块儿两块儿三块儿四块儿是吧？分为四块儿好，那么这个第一块儿就是一个。好，我把这个擦掉，第一块就是啊，

一个扇形。然后第二块儿，它也是一个扇形，第三块儿，它这个是一个九柱的扇形，加上第四块儿就是一个。等腰直角三角形面积，这四块面积加在一起，就是整个所有图形的一个面积是吧？所以它要求cdef加上。CF所构成的所有图形的面积好，那下面咱们来看一下啊，第一块儿这个面积好吧，就是我写的s 1+s二+s三。加s4就行了，

好s1啊，大家可以看这个扇形，因为这个角这块儿是45度45度，它这个有135度。对吧啊，就135度好，那整个圆不是360度吗？所以你就看它这个扇形占整个圆的。几分之几，这样就可以写写出来了是吧？所以就135度，比上360度，所以在这里面大家呢，就上下可以约掉一个45度。是吧，

所以在这里面大家呢，就可以看出占了八分之三是吧，所以占了八分。之三所以这个就占了八分之三，圆好那大家可以看这个圆，它的半径就为一是吧，所以就八分之三派加上。第二个这个圆，第二个圆的话，它的半径是为几呢？半径就是BD的长度，好BD的长度是不是就等于根号二+1啊？因为BD的总长就等于AB的长度，加上a dab的长度是不是根号二呀？AD长度有一好，

它这个角度是不是也是一百三十五度啊？一百三十五度也是八分之三派乘以r方。它的r方就是根号二+1^2，然后再加上第三块区域，第三块区域，它正好是90度好90度。九九十度的话，在这里面大家就可以看出它的这个数值关系啊，90度90度的话，那么正好就是。呃，四分之一圆，四分之派r方好，它的r方大家可以看这个be的长度。be的长度是不跟BD的长度一样。

然后只不过再加上BBC是吧，再加上一个一就是一个根号二乘以个根号二。加二的平方是吧？然后再加上s四s四是一个等腰直角，三角形等腰直角，三角形面积的二分之一。好，然后这样我们把它进行通分和转化就行了啊，所以在这里面啊，我们对它去进行转化好，转化完后大家把它合并就等于四分之。啊，因为这有八分之三派，八八分之派，三派都把它分母变成四四分之十二。

加上七倍根号二派。然后再加上二这个，后面一个四分之二代表是这个二分之一啊，就二分之一，然后这样我们就可以写出它的。面积了，所以这个呢，就选择c选项答案就求解出来了，好通过这道题，大家要掌握每一个圆弧，它的半径，还有圆心角来算出它这个扇形的面积，扇形面积加在一起就得到。整个图形的面积好，这是这道题，

这道题考法还是比较创新，大家呢，一定要知道它圆心角，还有半径来写它答案。好，下面咱们来看一下第四题，这个题目好，这个题目主要考点是考察圆弧，它对应的阴影面积，我们用减法做好吧，就求面积。好，我们用减法做，这样行了，好在直角三角ABC中角c=90度，

这个是90度AC和BC都为二。AC的长度b长度为二，分别以ABC为圆心二分之一AC。为半径啊，画的圆弧好，现在画出三个圆弧，三圆弧与AB所。与边三条圆弧，与AB边所围成的阴影部面积，这个阴影部面积到底是多少？好在这在这里面，大家可以发现，我们用减法中用整个这个大的直角三角形。啊，整个直角三角减掉三个啊，

扇形就行了，这三个扇形大家可以发现这三个扇形，这个角扇形角度是90度，这个扇形角度45度。这三影角的四十五五度是吧？所以加在一起其实就是一个半圆是吧？所以s阴影我们就可以拿这个三角形的面积，在面积二分之一底乘以高。再减去再减去中间啊，再减去啊一个圆，因为加在一起就相当于一百八十度，大家不用每一个单独去算这个扇形啊，一百八十度就是二分之一派r。这个这个圆的半径就是一啊，因为它这个正好以它的一半儿作为半径来画这个圆的，

所以在这里面大家呢，就可以写出它的做题的方法，就等于二分之四减派。好，那这样答案我们就可以写的是a选项答案就求解出来了。好，这道题不是很难，主要用减法来分析就可以了。好，下面咱们看一下第五题这道题，这里主要考点呢是考察图形啊，它的这个情况。啊，它的一个动态的。动点。

它对对应的动态图像。好，那对于这种图像，关键是要找什么啊？对，这个找这个图像题，关键找起点，还有终点，还有转折点。好考试要掌握这样的方法啊，给你图像那考试时候抓住它的要害就起点终点和中间的转折点的变化。好，那我们来看一下，如图所示，四边形abcd是边长为二的一个正方形动点p，

在abcd边上。啊，这是p。沿a。到b到c到d路径以每秒一厘米的速度运动，这个p点不与AD重合啊！p点不与AD重合。好在这运动中，三角形apd的面积，三角形apd的面积s，随着就apd就这个三角形的面积。随着时间的变化，关系用图像来表示看是多少啊，好在这大家看一看，一开始这个p点它不在a点，

但是它与离a点很近的时候。这个图像是不是就为零呀？这个面积值为零是吧？所以在这大家可以发现这个c选项就不太呃c选项不太行，因为零秒的时候零秒的时候就这个p点。基本上就离a很近了啊，就离a非常非常近，非常非常近它的啊，这个面积就接近于零是吧，所以起点就是零。然后随着它这个运动运动运动越来越面积越大越大啊，然后到这个b点的时候。我们来看，发生一个转折是吧b点，大家知道这个AB总长不是两厘米吗？

两厘米它的运动速度是每秒一厘米。所以说在这里面两秒钟的时候发生转折，听到没？所以在这里面啊，两秒钟的时候它就发生了转折点。啊，所以在这里面好a选项错了a选项，看它这个四秒钟它才发生转折是吧？然后这个。啊BD，这是正确的啊，到这就发生转折了，所以啊，然后p点运动到BB点的时候，这个时候它的面积就达到整个面积的。

呃，一半儿啊，就是整个正方形面积，一半儿正方形面积不是四吗？所以它就达到面积一半儿，所以它的面积就为二，然后接着p点再往下运动，好p点再往下运动，我们来看一下p点，如果遇在BC边。边上运动的时候在b边运动的时候，大家可以看apd这个三角形的面积是不变的是吧？就不管这个p点它如何运动啊？p点在BC边上。如何运动，

一定要知道apd这个三角形面积是不变的，这个在考真题里面就出现了啊，所以p点只要在BC边上运动这个。adp这个面积呢，是不发生任何变化的，不发生任何变化，所以中间这块儿面积呢，应该是固定的，应该是平的。然后当p点运到c的时候，那这时候呢，又发生了转转折点，又发生转折，然后然后p点继续在。CD边上运动的时候，

大家可以发现这个面积是越来越小的是吧？所以这个apd这个面积呢？就越来越小，越来越小，然后最后p点再回到d点的时候，回到d点的时候面积又接近零了。所以这个答案就选择b选项，答案就求解出来了好，所以在这里面呢，要知道每个转折点b点c点这个转折点，它图像的含义，尤其知道p点在BC边上运动的时候，这个三角形面积是不变的。一定要注意啊啊，对于一个矩形也好，

或者说一个正方形也好，不管这个点怎么运动，那这个面积呢？这个三角形面积是不变的，这在咱们考真题里面考的非常多啊。好，下面咱们看第六题，这个题这个题它的考点主要考察三角形形状的判断啊，已知三边满足表达式那么判断三角形形状。好判断三角形，它的形状好，判断形状的话，这道题呃难点在哪？难点跟咱们之前做法不一样，地方有多了一个k是吧？

咱们之前在做这个题的时候就没有k。是吧，没有k呢，比较简单，不过没关没关系，咱们就把k呢都给它。带到里面去想办法把它带到里面去，我们想到呢，就把前两个式都带到最后个式子好吧，咱就把这个k的四次方加2k平方。都用前两个啊，是来代这样话就要简单点儿好吧，好那么这个k的四方，你可以把它看成k的平方的平方是吧？所以在这里面我们写一下a方c方。

加上b方c方这道题符号比较多，别做错了啊，等于k的四次方加上2k方。好那么k的四方是不是可以把它写成看成k的平方的平方呀？好k的平方是不是二分之a方加b方加c方的平方呀？是不是这样的，所以在这里面就把k的四次方看成平方再平方。好那么k的平方就等于a方加b方，加c方再除以二是吧？就a方加b方，加c方再除以二那就是k的平方。然后再加上二倍的k方好，那这个k呢呃k呢就相当于是二分之a减b是不是a减b的平方？看这块儿是不是学会了啊，所以这个k的平方就是二分之a减b的平方，

这样就写好了，好那么在这里面我们呢，就是把这个括号给打开，然后两边给化简就行了啊，就这道题。它的符号比较多，别做错了，好那么大家可以发现这个分母是不是有个四啊？有个四，咱们一会儿再把这个四给它两边乘过来吧，从而变成4a方c方加四。4b方c方等于一个，这个a方加b方加c方。的平方就用咱们讲三个数的平方公式啊，就是a的四方加b的四方加c的四方，

加上2a方b方加上。二，a方c方加上2b方c方，然后再加上后面这块儿，后面后面这个注意，因为刚才咱们两边乘以四了，乘以四的话，这个。四就约掉了，所以就二倍的a-b^2就a方减2 AB，加上一个b方。好，这样的一个形式好，那做到这咱们呢？再接着看，

接着看，然后把这个四倍的a方c方。还有四倍的b方c方给它移到右边来，移到右边就变成了a的四方加b，四方加c，四方。减加上2a方b方减去一个。减去一个2a方c方，减去一个2b方c方，加上二倍的2倍，后面这个其实还就是a-b^2，所以这个呢可以先不？不动它也行，还是a-b括号方是吧？a-b括号方等等于零。

好想不想大家可以看前面是不？我可以给大家进行。啊，进行变一下形呀，是不是可以把它配方，所以前面就可以把它配成配成a方？a方加b方减c方括号的平方，你看是不是这样的？是不是可以简成a方加b方减c方括号的平方？因为它展开正好就是a四次方加b4。加c次方加上二倍的，它两个相乘，加上二倍的，它两个相乘正好是负的，加上二倍，

它两个相乘，然后再加上二倍的a-b括号平方等于零。好，那走到这，大家可以发现就变成了两个平方和为零，我们知道这都具有非负性的好，那么两非负性之和为零就得到每一个必须都为零，每个必须都为零就得到a方加b方，要等于c方。且a要等于b是吧？所以做到这大家容易掉到陷阱里面去，有同学就会选择等腰直角三角形，你看这个a方加b方等于c方是不是就是一个直角？三角形啊a=b是不是一个等腰的，因为这中间是且嘛，

所以选了很多同学，选了等腰直角三三角形，但在这里面大家呢，就忘记看了。看了题意，大家想想，一定要看这个k的值好吧，你看a-baa要等于b的话a=b的话，说明a-b是不是就为零呀？所以此时一定要验证一下k啊，此时k是不是就为零，我再说一下，因为这个a-b。a-b不就。等于这个2k嘛a=b的时候k就为0k为零的时候，

大家可以发现k为零的时候是不是得到a方加b方，加c方就为零啊？是不是q为0a方加b方加c方为零？是不是又推出了ABC都为0 ABC都为零呢？这样的三三角形以ABC为边的三三角形呢？它是不存在的，那这个边长都为零，这样的三角形呢？它是不存在的，所以这道题给大家设置一个陷阱好，我把这道题最后给大家概括一下，很多同学拿到这道题不会做。就不知道这个往往怎么方向去带这里解析性啊，是这样的，你要把这个k四四次方一定要写成平方的平方啊，

不要直接拿这个k弄四次方，这个一个四次方。次方比较高，另外不好算，所以在这里面大家一定要想到把这个四次方用这个k方表示这个呢，2k呢，就用这个来表示。这样就可以把k。带到里面去，带到里面去，转化成关于ABC的一个表达式AC的表达式第二个难点就是三个数的平方和，要知道三个数的平方和这个公式。哎，要知道明白吧，所以在这里面大家一定要知道三个数的平方和啊，

就是a+b+c括号平方就等于a方加b方加c方。加上2 AB，加上2 BC，加上2 AC是吧？三个数的平方公式给大家写上，另外此外大家要记住a+b-c^2应该等于a方加b方加c方加上。2 ab- 2 bc- 2 AC好吧，所以这个地方如果改成减号的时候，大家也会啊，所以这道题这两个公式都用到了，如果要想不到的话，大家就容易出错。啊，此外，最后这道题一个陷阱就是一定要验证一下k的，

讨论一下k的取值情况，看一下k的情况啊，否则的话这道题就会选错。好，那么第七个这道题满足这个等式，其实这个我们在讲啊，代数的时候给大家说了，如果这个等式要相等的话，就说明ABC是相等的，也说明这个三角形是一个等边三角形是吧？所以这道题考点考的一个三角形。它的一个形状。另外还考察就是三角形的这个内切圆，还有外接圆。好在这里面，

我通过这道题把这个给大家进行推一推啊，也就说这道题就是a的三次方加b，三次方加c的三次方是不是减3 ABC就为零是不是？所以又把这个移项移过，就变成零了，对不对？移过就变零好，那在这里面，咱们给大家进行讲讲怎么推啊？这道题考的非常好啊，这个咱们在讲代数的时候给大家讲过这a的三次方加b，三次方大家。加呢就可以用立方公式用另外一个立方公式啊，所以a的三次方加b三次方可以把它写成a+b括号的三次方减3a方b。减3 AB方。

看到没有？是这样写的啊啊，因为大家知道这个a+b的三次方展开公式有印象吗？就a三次方加3a方b+3 AB方加上b的。三次方是吧？所以这样有个立方公式，如果有同学忘记了，我把这公式给你写一下，帮你温习一下，好在这里大家可以发现呃，我可以把a三次方加b三次方写成a+b括号三次方减3a方b- 3。AB方，然后做到这以后接下来怎么办呢？接下来大家呢？要把这个a+b的三次方跟c的三次方这两个给它合并起来，

然后剩下三项把它合并起来。好，那么a+b括号三次方加c的三次方，大家可以把它写成什么呢？可以把它写成看成a的三次方加b的三次方，另外一个功能就a三次方加b三次方可以写成a+b乘以个a方减AB。加上b方是不是这样一个公式啊？所以这道题这两个公式都考察了，考察质量非常高。好，那接下来。好，我们就是把这两个立方公式啊，用这个来处理就可以得到a+b+c了，听懂没有？

你要把a+b看成一个整体。看看成整体，这是一个立方公式，这又是一个立方公式，然后呢，套这个就可以了，好套里面就变成了a+b^2，减去a+b×c，加上c的平方是不是这样的？然后这是这两个，然后剩下还有三个，还有三个，大家可以发现这是3a方b，这是3 AB方，这3 ABC是不是可以提出一个公因式啊？

提出3 AB是不是得到是a+b+c看到没有，所以剩下啊，这三项可以提一个公因式提。提一个3 AB，提一个3 AB的话，剩下就是a+b+c，然后大家做到这可以发现一个什么问题啊，你发现这有个a+b+c，这有个a+b+c。是不是正好可以提出a+b+c了呀？是不是所以在这里面，大家是在提公因式提a+b+c的，提a+b+c来以后？提a，加b，

加c点以后，大家可以发现后面这个里面再进行分解啊，再再进行变形，你把这个a+b^2给它展开。好吧a+b平方展开，然后这个呢a+b。乘以c也展开好里面就后面，然后再减一个3 AB啊，所以弄完以后就变成a方加b方加c方减ab-bc-ac，所以后面就变成这样一个情况。听到没有，我再说一下，就是这两项都提一个a+b+c来提a+b+c来，它剩下的内容是什么呢？看看剩下内容，

这样内容就是这剩下这个内容，这剩下一个3 AB把这两项。跟这个东西给它再进行化简啊，你就把a+b^2展开a+b平方展开，是不是有个2 AB啊？这是不是有个减3 AB啊？这就减AB了。然后剩下就是a方加b方加c方，然后这个a+b×c就可以写成BC和AC。好，那做到这儿的时候，大家可以发现，那这个式子是不是就可以把它配成什么配成三组平方，这个大家学会没有，所以说两边同乘以二再除以二，

然后两边就可以把它这个括号里面可以把它配成a。a-b^2加上一个b-c^2加上一个a-c^2。等于零是不是这样的，所以两边都给它变形啊，变形这个三给它写成三组的平方，上面大家知道啊，这些都具备非固性。因为呃ABC是三角形，三边三边的话，那说明a+b+c肯定不能为零，对吧？不能为零，不能为零的话，只能后面这个括号为零，后面这个括号为零的话，

那只能得到每个平方，它为零，每个平方为零。边的话就得到a=b等等于c，那就可以得到这些等边三角形a=b=c是不是就是一个等边三角形啊？看是不是学会了？所以它又是一个等边三角形。看是不是弄明白了没有好，它这个就是等边三角形好，那既然它是一个等边三角形，那在这里面大家呢就可以。看出等边三角形的啊，一些外接内切圆公式了好，我把这道题前面先给大家概括一下，前面大家呃，

如果想不到的同学一定要下次就。知道了啊，因为这个表达式在我们呃之前代数里面啊，题目里面也给大家讲过，所以忘记同学们再讲一下啊，然后一定要把a三次方加b三次方用，第一次先用一个立方公式。立方公式要得到a+b的三次方和c三次方，这两三次方再用第二个立方公式啊，这样就行了，这是一个关键点。然后接下来就是提再提公因式，提公因式以后，然后后面变形变形，然后在这里面又用了一个非常重要的公式是什么呢？

这道题又用了非常重要公式就是a方。加b方，加c方，减AB，减BC，减AC，它的公式，它公式本来是给它乘以二再除以二，因为这道题它等于零，所以这个二就省掉了啊。所以这个公式要知道啊，这个公式要知道好，如果这地方要改成加号的话，这个也行啊，这加减再加减再加减。

这都加减。再改成加减，这样也可以明白吧，所以在这里面总之就得到这个a=b=c就是等边三角形好等边三角形的话，我们知道等边三角形好，那么等边三角形大家。记四个公式给大家进行温习一下吧好吧，大家回想一下第二个公式就是它面积就等于四分之根号三倍的a方是吧面积？然后第三个公式呢，就是它的啊，内切圆半径，还有外切圆半径就等于三分之二倍的高啊，因为大家知道等边三角形，它四心合一，明白吧？

四心合一，所以这个长的这一段儿就是外积圆的半径啊，短的这段儿叫内切半径，所以说它这个外积圆半径是三分之二二h，所以它就等于一个。三分之根号三倍的a第四个就是内切圆半径r，内内切圆半径等于三分之h就等于六分之根号三倍的a好吧，所以大家要把这四个给它记住啊。四个要给大家记下来。好，那在这里大家可以发现外接圆和内接内切圆，它的半径是不是正好是一个两倍的关系，两部关系，所以它面积之比就是四倍就选择c啊，就是半径之比。

还有面之比的关系，因为半径之比是两倍，面之比就四倍。

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