6-04三角形的四心（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:56:16

好那么例九这个题例九这个题如果已知o是三角形的重心，若AOC的面积为四则ABC的面积到底是多少？在这里面，大家注意，你要不想画图的话，这个也很容易看，要想画的话，好理解啊，这是o点o点，如果AOC的面积，这是四。AOC面我们刚才讲了这个AOC。它应该等于三分之一ABC的面积。是吧，所以这道题ABC的面积应该等于四×3应该等于12，

这道答案选d是吧？直接就写出来就等于12。这样就求解出来了。好，那我们再看一下例十这个题。好在直角三角形ABC中角a=90度啊，这个角a它是90度，然后AB呢等于4 AC=3，大家知道它正好是三四五是吧？是吧，勾股数啊，所以AB=4 AC=3马上可以得到BC的长，它就等于五。好则重心d到斜边的距离是多少？好，

这是重心。这是重心到斜边的距离。啊，就这个垂直这段距离到底是多少好？其实这道题它题干是没有图的啊。考场需要自己画，因为如果考试时候把这个图给你写出来，那这道题基本上没什么难度是吧？所以说考试咱们做几何有的题呢？是有图啊，因为它为了方便。或者为了减少文字性的描述，或者为了减少这个歧义，把图给你画上，因为不画图的话，

它文字描述就得比较复杂，或者有时候描述不清楚就容易。画错或者不同的考生理解上会产生歧义，所以在这里面他就会有图像这个题比较简单的题，考试时候没有图，需要自己画啊，自己画。然后角a是90度，然后画出来了，然后AB的长度是4 AC长度为三，然后这个BC总长就为五。V5然后呢？它让求重心到斜边，这段距离就这段垂直是距离到底是多少？这段距距离这时候我们要做一个斜边上的高。

知道吧，这个斜边上的高。好，那么斜边上高这个ag大家要注意，斜边上高对rt 3角形啊，斜边上高就等于两个直角边相乘，再除以斜边。好，这有个重要的公式，那这个公式怎么来的呢？我给大家进行解释一下啊，这个公式怎么来的啊？实际上是对于直角三角形，那如果这个直角边是a这个直角边b斜边c。好，

这个h。好，那应该满足这个式，这个式怎么得到的？各位同学知道怎么推吧？就是根据直角三角形面积相等得到，因为直角三角面积可以写成。二分之一AB是吧？所以直角三角面积可以显得二分之一两直角边相乘嘛，有二分之一底乘以高表示这个直角三角面积。好也可以写成二分之c，乘以h就二分之一，底乘以高就二分之一，底乘以高也是这个直角三角形的面积。然后通过这个等式把二分之一给它约掉，

约掉的话，然后这个h就等于a乘以b除以c，所以这道题斜边上高ag，我们就可以写出来ag的长度。就等于四乘以三除以五就等于五分之十二好，这个ag的长度写出来了写，然后呢，大家可以看这个dg，这个距离是垂直的ag，这个高也是垂直的。是吧df垂直ag也垂直那这两个线应该是平行的是吧，所以很容易看到df应该平行ag对吧？平行，咱们前面学过出现平行是不是要？找相似对吧？

所以我们可以看这个小三角形。就是def啊，这个小三角形跟aeg应该相似的啊，所以说d。ef.相似于三角形aeg。好ag好，既然相似，那对应边应该成比例，所以df比上ag。好，应该等于一个de比上ae。是吧，所以在这里面dede比ae，我们知道重心重心的话，

它正好是二比一的两段是吧？重心二比一两段，那说明de比ae正好是一比三。啊，一比三好一比三，这样话我们就可以把df的长度求出来，因为ag的长度等于五分之十二已经写出来了，好吧，所以就可以推出。df的长度df长度就等于五分之四就等于零点八啊零点八，所以这道题这道答案就选择c选项答案就求解出来了。好，这是给大家强调的做题方法和思路，看是否明白了。好，

下面咱们看例11，你看例11这道题，它就没有图，需要大家自己去画图了是吧？然后大家自己画g是ABC的重心给我g做。gd垂直BC若gd为三，则BC边上高为几，其实跟上面这个题差不多，也就说大家可以发现。呃，这个。距离是高的三分之一，是不是这样的？所以这道题大家呢？就可以找到它的特征，

它高呢？应该是这个gd的三倍啊，跟上面一样，这块我就不再做了，好不好？所以它应该等等于九，所以应该选b啊，选b图的话，你可以仿照这个做，也可以用这个相似跟这一模一样，咱们就不浪费时间讲了。好例12这个题在直角三角形ABC中角a=90度BC=6好重心g到斜边上。的终点的距离到底是多少啊？我们来看这个题，这题它角a是90度，

我们随便画一下好吧，这个这个你怎么画都行啊，你这样画也可以，就是a。角a等于九九十度。然后这个是b啊，这个是c好吧，这是角是90度BC长度呢是六。啊BG的长度，它正好为六，然后重心g到斜边终点的距离。好，这是斜边。中点好，那么重心在哪呢？

我们看看重心在哪好？首先这肯定是一个中线，对吧？假如这是。这是这是中点d好，那么重心肯定要在AD上，对不对？因为AD它是这个中线嘛？中线，所以说重心肯定要在啊，这个aaad上，而且在这里面大家知道。好这个呢，它就重心呢，就分得这个中线比是二比一二比一的话，

注意离离顶点要远啊啊，离顶点要远，所以说在这里面，我们把这个。这个给大家画出来啊，这是中线重心，在上面重心在上面，它的二比一是离谁是二呢？离这个顶点是二离离下面这个边是一啊，所以这个上面是二，下面是一，不要把这个位置画。画错了啊，好，这是重心g好，

现在他问什么重心g到斜边上中点的距离，说其实就这道题，其实就让你求的是dg的长度。明白吧，就是重心到斜边中点，这一段两点的距离，两点距离，然后这一块距离就相让让求。啊dg的长度好dd长，我们是不是首先要求出AD的长度啊？是吧？首先求出AD的长度，虽然这道题AB和AC不知道。我们刚才在讲时候讲了啊，斜边上中线啊在直角三角形斜边上中线正好等于斜边的一半。

是不是就为三呀？这样就写出来啊，所以AD的长度它正好就为三好AD长度要为三的话，在这里面我们就可以。写出来啊，就是AD的长度，它为三。好AD的总长为三，然后这个dg就是所求的dg呢？又在。AD的三分之一对吧？因为它正好是二比一嘛，它正好三分之一，所以在这里面就三分之三，它正好就为一这道题，

你就选择b选项。啊，这样就求解出来了，好看这一块是不是明白了，所以这道题大家听完有收获，就是对直角三角形斜边上的中线，正好等于斜边长的一半。第二个就重心它的二比一的位置在哪？大家一定要把它找清楚。好，下面咱们看一下例13这个题例，13这道题考的等腰三角形，这道题也没有图，需要大家呢，自己去画图。

好，如果AB=AC=15。好，这是AB。c啊AB=AC 15 BC长度是18啊18，这是一个等腰三角形。重心到底边的距离好，那么要找重心，我们先找中线对吧？所以我们先做个终点d啊，这就是终点。好对于等腰三角形，我们要知道的问题就是等腰三角形底边上的中线也是这条线，也是它的高，也是角平行线，

明白吧？就是AD这条线，即使它的中线，因为它左右两边是相等的啊，左就左边这个三角形跟。跟右边这三个全等，即使中线又是高还是角a的角平分线好吧，所以这个。几条线，它是合在一起的。好，那我们首先要求出AD的长度，然后重心在哪呢？刚才讲了重心的位置是二比一，二比一，

记住它离顶点是二，离底边长是。一啊，所以说假如重心这个是g点啊，重心在这这个是二，这是一好二比一是在这。好，接下来我们首先要求出AD的总长。AD总长怎么求呢？大家知道CD的长度。CD长度应该等于二分之BC。应该为九是吧，所以说CD的长度，这应该是九就说AD长就可以用勾股数来做啊，因为这个长度是15，

而且这个三角形a cd是一个。直角三三角形这一块是垂直的啊，这是直角三角形，直角三角形，咱们如果备注前面勾股数的话，那这个就简单，如果没勾备注上就用勾股定理做，你就得用。十五的平方减九的平方做是吧？当然这一块如果被子的话就可以省略。大家备注的话，是不是九十二十五啊啊？九十二十五因为正好是三四五，这个购物数给它扩大三倍嘛？扩大三倍是九，

这扩大三倍12，这扩大三倍15，所以给它扩大三倍，所以又九十二十五，然后在这里面，大家呢？倍数就等于12啊，就写出来。好，12写出来那gd的长就是这道题所求的这个东西啊gd的长，它的重心到底边的距离正好这一块垂直。本来是重心到一条线的距离，应该做垂线，知道吧？做垂线这个正好是垂线，

就不用再做了，基体长正好等于。这个AD长度的三分之一。a乘上三分之一，这样就得到四，因为AD是十二，它的三分之一是四，所以呢，就选择b选项，这样就写它的结果看。看是否明白了。好例14，我们来看这个题，这个题啊，这道题这道题的话好，

那么它这个给了一个图，假设g是三角形ABC的重心。啊重心，然后GE呢是平行AB的，然后gf是平行AC的好，若三角形。这个三角形的面积为四求，整个大三角形面积到底是多少？好，那这道题我们来看如何来分析和思考。那么在这里面，它做了两个平行的啊，这个这个平行大家想想，这得用到比例法是吧？用比例来算它的面积值。

好，那这个面积呢？是四这个小三角面积是四，也就是说大三角面积到底是它的多少倍是吧啊？这个多少倍？好在这里我们可以把这个东西呢，给它稍微这个呃，这个延延长一下是吧，因为这个绩点是重心绩点，重心的话，那这样一连的话，它这个肯定是。啊，是这个是一个中线嘛，是吧？

所以在这里面大家呢，就可以把它给它呃，连一连啊，连一连，另外呢，在这里面我们还要给大家进行强调呃，一个结论是什么呢？我们把这个。这个重心再给大家画一画啊，就重心好重心过重心做这个平行线啊，不管怎么做平行线。好，那么它分得的这个长度都是二比一，大家要掌握住好吧，分的长度都是二比一，

这段长也是二比一好。好，不管朝哪个方向做啊？朝哪个方向做？我们看朝这个方向做，它也是这样的啊，我们再画一个方向。只要是过重心做某一条边的平行线，把它延长，延长完后都是分的是就这一段长的是二。短的是一好吧，长的是二短的是是是一，不管怎么做，再做个平行线也也是这样的啊，把这个。

边分成是二比一，所以在这里面我们就可以把这个平行线给它延延伸，这样就简单了是吧？所以这样我们就可以把这个gf给它延伸一下。好延伸，好延伸，以后那么这个也其实就相当于是什么问题啊，就相当于是bf。啊，如果要延伸这个bf是等于两倍的，这个CF的是吧？所以在这里面我们就可以写出来啊。bf就等于两倍的CF。好bf两倍CF，然后这样再一。

延延长再延长的话，大家可以发现，再延长的话，那这个长度就是它的两倍，就是ce等于两倍的be。啊，两倍的b其实说到这，我想讲什么意思？其实这两个点其实就是BC的三等分点，其实就不用再证了。好吧，就不用再正了啊，就把这个啊重心，然后呢啊，把它做这个平行线，

做各边的平行线，它的交点。会产生很多三等分点好这个题就考察三等分点。三等分点在咱们二零一九年考也出现了三等分点啊，所以三等分点大家把它用好，这样就行了，所以这都是三等分点。好，这三个分点的话，那这个接下来我们算这个三角形面积就好好做了，是不是三角形面积三面我们可以用用底高的关系来来来做也行是吧？底高关系。好看，这个小三角形跟大三角形。啊，

它的底是不是三分之一呀？对吧？底是三分之一，然后这个高也是整个高的三分。之一是不是这样呢？所以高啊，这样在这里面我们就可以找到它的这个特征啊，所以说底你看这个底，因为这个ef。就推出这个ef。就等于三分之一BC。对吧啊ef就等于三分之一BC好，这样啊，就写好了，然后它的高。

那么，这个如果过重心。啊，如果这个点是重重心，你把它。这个连一下线，我给你震一下，连一下线，连一下线，以后这样的话，你可以看这个小三角形的高是过g点做底边的垂线。这个大三角形的高是过a点，做它的垂线，所以这两个高就这两个红色的垂线之比就是一比三，我记得咱们在做前面题的时候给大家进行说过，

就这个高是吧？就高跟这个呃垂直它的一个三倍的关系，是不是刚刚咱们在做这道题，也给大家进行证明了啊？证明就这个红色的df跟a。ag的长度正好是三分之一的关系，这个ag呢，其实就是相当于是这个整个三角形的高，这个df就代表刚才这个小三角形的高。好吧，所以在这里面呢，大家可以看它的高，正好就是三分之一啊，所以它的高占三分之一，它底占三分之一，

所以说这个小三角形的面积跟大三角面积大三角面积正好，小三角面积的多少倍呢？你看底是它的3倍高，是它的3倍，所以面积呢，就应该是它的9倍。九倍的gef。所以就等于九×4就得到36好，这个呢，应该选择e选项，这样就求解出来了，好看这个点是不是听懂了？好，下面咱们看一下例15这个题好，这个题呢也是已知啊，

已知这个是重心。然后过这个g点做eg平行BC。啊平行BC平行BC，大家注意这个e点就是三等分点，这个g点也是AD的三等分点啊，这个e点就是AB边的三等分点。好三种分点好，如果三角形aeg的面积为八。ag的面积八求三角形ABC的面积到底是多少？是吧ABC的面积好，那我们可以先求出abd的面面积一步来嘛abd的面。因为这个aeg跟abd是不是就相似，对吧？所以在这里面大家可以发现这个就是三角形。aeg应该相似于三角形abd。

好跟它是相似的，相似的话，那它的面积比上它这个面积。面积比就等于相似比的平方，所以三角形aeg。比上三角形abd。好，应该等于这个ae比上AB括号的平方，它正好是三分之二括号平方就等于九分之四。啊，9点9分之四好，由于这个ag的面积是八，这样就可以推出。abd的面积abd就等于18是吧？所以abd的面因为它这个是八嘛八，

给它扩大两倍就变成18了，好这个abd的面积18。abd面是吧？我们前面给大家讲过一个结论，还记不记得就是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分？啊，就AD将这三角形分成面积两部分，左边三角形面积跟右边三角面积呢？它是一样的啊，分成这个两部分，所以说整个大三角形面积还是三角形ABC？应该等于两倍的三角形abd。所以又等于36好，这道题也选e选项，答案就求解出来了，

好看这个题是不是明白了，是不是学会了？好，下面咱们看一下例16这个题目好，这个题目它说g是sabc的重心，然后过g作eg平行BC。啊，做它平行BC。好，那么gf平行AB好，这是又是过重心。做这个平行做这个平行，这都是三等四分点呀，注意啊，这个e点就是AB的三等分点f点就是BC的三等分点呀。

啊，分点好，如果三角形ABC的面积为72 ABC的面积为72，求这个平行四边形面积到底是多少？其实平行面积其实这个平行面四边形面积，你只要求出bf的三角形面就行了是吧？bf这个三角形面积求出来了，然后因为平行四边形，大家知道平行四边形，我们接下来学四边形。就对角线分的两个三角形面积是相等的啊，所以在这里面我们可以看出啊，这个呃ef跟AC呢，肯定是平行的。平为什么平行呢？

因为这个be比上AB啊，这个比值跟bf比上呃。BC比值是一样的好吧，一样的，所以在这里面呢，其实就是这样，就是三角形be f应该相似于三角形。bac.bac，然后它的面积之比三角形bf。比上三角形bac。它面积之比就等于be比上AB的平方，因为它呃三角形相似的话，面积比。就等于相似比的平方，

这样就写好了，写好以后我们就可以得到什么情况呢？因为它相似比正好是这个是这是一这是二它就是一比三了是吧？一比三的平方就能九分之一。啊，九分之一啊，由于这个ABC的面积是七十二ABC的面积是七十二，这个已经告诉我们七十二，这样就可以推出。三角形bf的面积就等于八。啊bf的面积，它要等于八好bf就这些小三角形面积等于八，然后根据这个平行四边形的性质得到。四边形geb f的面积应该等于两倍的三角形bf的面积，所以它等于16这个呢，

应该选择b选项。答案就求解出来了好吧，所以这道题这个呢，就选择b，然后这道题还是给大家强调的啊，只要过重心做平行线，它分的这个边都是三等分分点。好吧，掌握三等分点这样的一个概念。好，接下来就第四条线，第四条线就高。高高焦点对应的是垂心好吧，因为这个高的话，它没什么可考的价值，

出题价值不高，所以说这一块考试呢，也没法出题，所以大家只要掌握一下。概念就行了好吧，就是做这个垂线，它的高焦点。好，那么这一块就是三角三角形的高，它是线段锐角三角形的三条高都在内部啊，锐角三角形就是它这个角都是小90度。内部，然后直角三角形高有两条高呢是边，比如说这个垂直的。好，

这是一条高，这也是一条高，另外一条高呢？是跟这个。斜边垂直的一条线是吧？然后钝角三角形，它优点它高在三角形外部啊，我们假如这就是一个钝角是三角形。有这个角度是超过90度，超过90度，然后做这个高，你得给它做一下延长线。是吧，然后这块它又在它外部啊，外部就得给它延延长一下，

然后或者把另外一个边给它延长，只有一条高在内部。是吧，一条高那内部哈，这是钝角三角形，然后三角形三条高所在直线交于点，就把它称为垂心。啊，这个垂心呢，没有什么可考价值，所以在这里面呢，我们就不再举例例题了，然后刚才说了五线，还有第五条线就中位线。啊，

中位线比较简单，所以说这块我们就简单说一说啊，中位线就是。连接。三角形两边的中点，这道题就叫中位线。啊，叫中位线好吧，连接两边的中点中位线，当然咱们学梯形梯形也有中位线好，中位线的性质，中位线平行于底边，且是底边长的一半，所以大家呢？要掌握这些性质啊，

好这这里面给大家总结一下性质，连接任意两边的中点，这条线称为中心线，中心线平行且等于。啊，对应底边的一半啊，这个是比较重要的，给大家加三三角号，要知道它的一半，不过这个呢，蛮简单的。第二个三角形中，共有三条中位线是吧？因为它这个我给大家画一下，你看这是边终点，

这边终点边终点。好，那这三个点你一连就可以产生三条线呀，是不是产生这是一条线？这一条线这又是一条线？啊，可以产生三条中线，三条中线，重新组成了一个三角形。啊，重新组成这样，这是一个三角形。好，这个三角形周长是原三角形的一半，为什么周长是原三角边一半呢？

你看这条边是这个边的一半，这个边是这个边一半，这个边是这个边一半。是不是所以说它整个三个边相加，是整个大三角形周长的一半。好，那么在这里面三条中线，将原三角形分成四个面积相等的三三角形，就上面这个三角形，下面这个三角形，这几个三角形面积都相等，为什么跟？相似可以证明，因为这个这个小三角形跟大三角形的相似比是二分之一相似，比二分之一面积比就是四分之一。

好，如果整个大三角形面积是s的话，好，那么这个小三角面积是四分之s，同样这个三角面积四分之s，这个三角面积也四分之s。那啊，中间这块它也只能是四分之s，也就这红色也只能是四分之s，其实这这四个三角形面积它是一样的。好吧，一样就是四个面积是相等的三角形好，这中位线给大家进行补充，这些性质就可以了，好这是。

四心五线，接下来我们书上有个表格给大家进行概括一下，大家把这个表格啊，然后再看看这一块就可以了。好，那内心我们回顾一下，是内切的圆心，是角平线的交点角平线，大家要会知道角平线的性质。还有角平线长度的求解，有个角平线定理是吧？然后然后还有就是内切半径内切半径，咱们讲了一般三角形就套这个公式，还有直角三角形。还有等边三角形，

大家要知道，然后外心就三条边的中心线交点是外接圆心好，那么外接的半径它也有三个公式，一般三角形有个正弦定理。然后直角三角形是斜边的一半，还有等边三角形，它的外接半径公式要知道。然后重心重心是三条中线的交点重心，将三角形分成三个面相等，三角形重心将中线分成二比一两段，这也是三等分点，而且大家注意过重心做某一条边的平行线。那么，这个焦点会把会把边呢呃一个三等份，刚刚咱们做题时候给大家进行强调了啊，

然后这个垂心就三条高的交点，垂心的话。这个不是很重要啊，就是三角告教练，他没有什么重要的结论。好在这里面我们还要给它进行补充两句话，第一句话是什么呢？就等边三角形四心合一。等边三角形四心合心，这四个心都在一个点，第二句话是什么？要给大家总结的就是，对于这四个心，谁是必然在内部就内心和重心必然在三角形内部。内心重心。

b在三角形内部。不管是呃锐角，钝角还是直角，三角形，那么内心和重心。好都在三角形内部好，那么外心和垂心这时候要受到影响，外心垂心，外心和垂心要看。如果要是锐角三角形外心和垂心在内部是吧？锐角。好，就是锐角。三角形外，心跟垂心。

它在内部。好，如果要直角三角形。好外心和垂心，我就简写了，就在它边界上。好外心在哪呢？外心落在斜边的中点，在斜边边界上那么垂心在哪呢？垂心正好在直角顶点那个直角顶点那个边界上。好对于钝角三角形。对钝角三角形。它这个是在外部的啊。啊钝角三角形，它在外部啊，

就是外形和垂线，它正好在外部好，这是给大家进行总结的一些结论。和方法，大家把这些知识点一定要好好看看，尤其咱们讲了正弦定理啊，余弦定理啊，中线定理啊，这几个定理大家。以前接触的比较少，要把这一块呢好好的，再温习一下，再看一看。

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6-04三角形的四心（2）

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