6-02三角形（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:59:52

下面我们来学三角形的面积啊，我们来看一下面积相关的内容和公式啊。面积呢，也是非常重要的一个考点，很多题都要与面积相关，首先我们来看一下它的知识点。啊三角形面积，它有基本公式，我们看一下它求面积基本公式，第一个就s等于二分之一底乘以高啊h呢是它的高。啊，就是它这个面积公式啊，这时候什么用呢？当知道三角形底和高时可以用此公式来求面积。啊，

知道它底高是用这个公式来求解面积就可以了啊，把这个面积来进行求解。第二个面积等于二分之AB乘以sinc啊，二分之AB乘以sinc，那么如果要知道。三角形的两边和它夹角，那这时候呢，我们就可以求面积，比如说三角形的两边知道。然后这是。啊两两边知道啊，一个边是a，一个边是b，两边知道和它的夹角啊夹角，然后这时候呢，

我们就可以用二分之一b乘以sinc来进行求解。啊，那么c，大家记住常见的几个三角函数值啊，第一个3度或者150度，注意两角要相加等于180两角互补时，它三应值是一样的啊。也就是说，三十度还有一百五十度，它的三影值都等于二分之一，然后四十五度或者一百三十五度，它的三影值是二分之根号二。好吧，二分之二，然后六度或者一百二十度，

它的筛线值是二分之根号三啊，这样的一个情况啊，二分之根号三，然后九度的时候筛线值为一，这个也是最大的啊，筛线值最大值就是唯一啊，要知道。好，这是常见几个特殊角的三角函数值，咱们呢？考试对三角函数也不做过多要求啊，咱们考纲上也不要求掌握三角函数，但是与几何相关的？啊三角函数值要知道一个正弦，一个是咱们求面积，

还有一个正弦定理，然后还有余弦定理啊，后面咱们讲定理的时候会用到。还有一个就是咱们在下一章讲解析几何里面的斜率的时候，有个正切值判定值好吧，就这几个三角函数啊，掌握一下啊，一个正弦。正弦两个地方用一个呢，就是现在咱们求三角形面积要用另外一个有个正弦定理，然后还有余弦cosine。啊，余弦。然后呢？还有一个就是余弦定理啊，

后面还有一个正切。啊正切值好，正切值主要是跟斜率有关啊，就这几个跟几何相关的了解一下就行了，其他三角函数就不做要求。接下来我们看这个面积，它应用公式当知道两边和夹角时，我们呢，可以用此公式来求它的面积就OK了。第三个啊，如果要知道三边的长度来求面积，三边长度，比如说它高不好求或它的角度也不是特殊角，这时候我们求面积呢，就用海伦公式来进行分析，

海伦公式这个p就等于周长的一半儿啊。然后比如说我们知道三角形三边长度，然后这是a这是b这是c是吧，然后呢，我们就可以。写上命运值等于根号下p×p-ap-bp-c这样的一个情况啊，根号下pp-ap-bpp-c。啊，这个。它的一个比值比例关系好吧，然后p呢就等于二分之一a加b加c代表周长一半也是半周长啊，周长一半就行了。所以当已知三角形三边长的时候，我们可以用此公式呢来求它的面积好吧，如果三角形三边长知道我们用这公式呢，

可以把它面积求解出来。然后这三个公式，它正好互为补充的啊，第一个是知道底和高，第二个必须要知道两边和夹角，第三个如果三边长知道，但是三边又不是特殊的三角形，这个角度不不好，求高也不好求，我们用第三个公式来进行求解。就可以了。好，接下来围绕这个公式，咱们讲一些例题，有的公式可能有同学呢，

忘记了，或者没有弄明白，接下来通过例题帮助你加深印象啊，第一个利用底和高的关系来求面积。底和高关系就是用刚咱们讲第一个公式二分之一底乘以高。二分之一a乘以h。就底乘以高，然后呢？当两三行，如果等高时啊，所以说在这里面，我们就可以。得到就h等的时候。a等式，它的面积之比就等于它的底之比。

知道吧，好等高那什么时候用等高呢？高度要一样一般呢，就左右相邻相邻的时候。它会产生这个高一样，比如说我们来画画一下这样的图。左边是s1，右边是s2，左边s1，右边是s2，然后这块长度是a1，这段长度是a2。啊a2这样就可以了a1a2啊，这个就OK了是吧？a1的值a2值，

然后它的高水仰看它左右相邻说做从顶点做垂线，这个高度呢它。数值是一样的，一样话，那我们就可以写出来好吧，这个写的这个高，如果相同的话，第二个如果同底，如果a要相等。啊a要相等a要相等的话，它面之比等于高之比。h1比h2好，那这个也相相当于什么情况下相当于共边的时候。好，如果共编的时候，

共编的时候，然后在这里面，我们呢，给大家画一下图好吧，画一下图，比如说。啊，这是一个三角形。然后呢？跟另外一个三角形。再画一个三角形。好，大家可以看蓝色的这个三角形跟黑色的这个三角形，它正好共用啊一条底边。过条底面，

这时候你可以做它的高，知道吧？什么叫高呢？过顶点做它的垂线就是它的高。呃，过顶点做它垂线做它高。知道吧，过顶点做它的垂线就做它的高。然后这样的知道吧啊，这是它的高啊，它的高。这样的情况。好，那这个它的高，所以它命一之比就是它高之比，

所以它只要共边当然同呃，这个等高和同底，那么这个要从不同角度，比如说刚才咱们s1s2也可以把它看它共一条边。共条变化，你分别做垂线，做垂线也可以用，等高啊也可以用高之比来算它命运之比好吧，这个呢，最终可以从不同角度啊，就scs上可以看它确实呢，中间这条线。是属于共边的，所以说这两个就看从什么角度来进行观察了好吧啊，就用观察，

然后是用等高还是用同底做，如果用同底的话，那么就把它共同的共用的这个边作为底。然后接下来过顶点做垂线，找这个高就行了啊，然后这是它的这个方法。然后接下来我们看当两项与同一等高时面积相等啊，就a和h它都都相等。要s1和s2就相相等。s1和s2，然后就相等就OK了。好，那这是它的这个方法，懂了吧？它的思路啊，

用底高关系来进行求解。好，那接下来咱们来看一下啊，这个题啊，如图若三角形ABC的面积为一啊ABC的整个大三角面积呢，是唯一的。然后aec dec还有bed，它面相等啊，就是aec。啊，然后呢？就是bed，然后还有这个啊dec好，我们把这三个三角形在图上标出来，第一个是aec。

就像是红色的。第二个就是dec，就相当于是绿色的。好，第三个呢，就是相当于是bed bed就是蓝色的好吧，就蓝色三个面相等。难免让大家发现三个加在一起，是不是等于整个面积一啊？三个面积加在一起，等于整个面积一，然后aec。等于三角形dec。等于三角形bed。然后正好都等于三分之一，

知道吧，就三个加在一起，三个加在一起，然后呢，这个就等于三分之一啊，然后每个它的面积相等嘛，三个加在一起就等于三分之一。然后这一块儿它的这个方法。好吧，方法然后呢？这个三个面积都都一样，接下来我们做这里有两种方法，知道吧？两种方法第一个方法是找d点的位置，第二个方法找e点的位置，

因为它要求aed的面积吧。你可以找地点，也可以找e点位置都行啊，都行，所以大家可以首先找d点位置，d点位置我们可以通过这个蓝色的三角形跟绿色三角形，大家可以发现它就是等高的。因为它左右相邻，左相邻，它就是等高等高的话，然后在这里面大家可以发现啊，它等高，它面又相等，所以所以说可以得到BD和CD相等，也就说d点正好是终点。

知道吧，所以方法一呢，我们就找地点的位置。方法一，就看地点。它的位置从d点来出呃入手出发啊，然后大家可以看到那这一块就是d点位置的话，就因为三角形bde。d跟三角形CD相等，我又可以推出那么d呢？就为BC的中点。啊d呢，就为BC中点好d，既然为BC中点，大家可以看到什么d？

要是BC中点的话，那接下来我们可以看到这个abd，这个三角形abd，这个三角形。正好呢，就是整个大三角形面一半是吧？这就可以得到abd这个三角形。这样等于二分之一三角形ABC，这样等于它的面积一半儿啊，因为地点中点地点中点AD其实是中线中位线。啊，中线中线的话，将三角形分成面积相等两部分啊，因为d是中点，就把整个大三角ABC分成相等两部分。

所以abd这个面积，它正好就是二分之一，这个写好了，接下来接下来我们来看一下。看一下啊，它它的这个值好，这二分之一那么aaa ED就可以算出来aed的值就等于整个二分之一减掉bed的值就行了好吧，所以说在这里面就可以推出aed的值。就等于二分之一减去三分之一，正好等于六分之一啊，这是一种做题方法，看大家懂了没有，是从这个地点的位置来入手的。第二方法是从e点的位置入手，好方法二我们看找这个e点。

啊，两种方法都给它进行讲讲啊，找这一点好那么一点什么情况，大家知道我们可以看到这个蓝色加绿色，正好就是红色的两倍。是吧，蓝色加绿色，正好是红色的两倍啊，就蓝色加绿色，红色两倍，而蓝色加绿色就相当于bce这个三角形。然后bce这个三角形。好bce就是bce这个三角形。是红色ACE 3角形，面积两倍。

啊ACE ACE这个三角形面积的两倍是吧？两倍两倍的话，那在这边大家知道这个这个bce 3角形跟ACE 3角形正好又是相邻的相邻，它又等高等高同学面以之比等于底之比，所以推出b。就等于二倍的ae。啊b就等于二倍的a。啊be的长度二倍ae啊be长度等于二倍ae的话，那咱们再看ade这个三角形跟。bde这个三角形又是等高的又等高，所以说aed正好是bed面积的一半是吧？所以aed。正好是BD面的一半。啊，就是也是六分之一是吧？

也六分之一，所以aed这个三角形面积正好是BD面积一半，因为它。反复用等高来进行分析和思考，反正这两幅画都行，你看你在做的时候是找了地点还是找e点，只要找到其中一个点的位置，那么其他面积都很好，求解。好，这里就是什么时候要想到这个等高呀，大家只要是相邻三角形啊，左右挨在一起，它挨在一起，三角形都用这个等高来做就可以了。

好，那接下来咱们来看一下啊，这个题啊，如图CD长等于五。啊CD长的是五，然后d长的是七，然后ef长的是15。嗯，fg长为六这个AB这条线很关键，它把它图形分成了左右。面积相当两部分啊，左右两部分，这两部分那左部分面积38，右部分面积是65是吧？就AB把这图形分成两块儿，

左边一块儿面积38，右边一块儿。65则三角形a dg的面积是多少？则三角形a dg的面积说那有同学，大家一开始很多同学在做的时候呢是？做了一个高是吧？有同学说哎，做一个垂线，做一个高甲，这是h1又做一个高，这是h2。然后这样话，左边这个三三角形这样写就比较麻烦，我给大家进行。说实话，

就AB左侧的面积就相当于是三角形ade。加上三角形啊，这是b点是吧？就bce。bce这个正好就等于38。对吧，这个ade这个三角形加上bce这个三角形正好就等于38，然后右边右边的话，然后这个三角形。aeg+3角形bf正好就等于65。是吧，就等于呃六竖啊，那bf啊，这个三角形和aeg这个三角形啊，加加在一起。

啊，加上几啊，就是应该等于六十五，然后有同学呢，在做的时候呢，就用这个高来做了，高来做，然后上面做一个高是h一，下面做一个高是h二，然后这个ade这个三角形呢，就可以写成二分之一底。是七乘以高，然后呢？这个bce这个三角形呢？是二分之一底。

底是12啊，12怎么来的呢？是五+72，然后再乘以高h2正好等于38。然后接下来咱们再看一下右边右边的话，那么这个啊，这个三角形面积是。aeg呃aeg的话就是二分之一。这个底是21乘以高。加上这个，下面这个三角形bef bef的话，那正好是二分之一，是吧，等于65，然后这样把h1h2解出来解出来，

然后再算它面积，这样做就比较麻烦，你知道吗？这样做呢，就是很麻烦，这是一种方法，很多同学。使用这种方法麻烦在哪，你就没必要去求那个高，你把它作为一个整体法好吧，所以另外一个方法希望大家用整体法。整体法呢，要好做一点。指令法，指令法是什么？

我把这个这个h给它擦掉。啊擦掉那用整体法来做，那我们可以设一个面积是x一个面积是y好吧啊，就是设这个什么这个ade。e这个三角形的面积是x啊bce这个三角形面积是YY好，那接下来我们就可以可以看出右边啊，右边右边大家发现。啊，就是ade跟这个aeg这个面积之比正好是三倍，因为为什么三倍，因为15+65+6正好二十一二十一这个左边是七。左边七所以21是七的3倍，所以说这个3x这样写好了是吧？这右边3x，然后再看下面这个下面这个话，

大家发现。这个五加七是十二，五加七十二，然后这是十五，那么十五比十二正好等于一个啊，都约掉一个三嘛，约掉三得到四分之五。是吧，四分之五也就说这是四分之五倍的y。是吧，大家都约掉一个三知道这个四分之五哪来的吧，因为它的底是十五。这个这边底是十二十二，所以它面积是它的四分之五倍啊，要知道它的这个比例方法，

所以接下来我们就可以列两个方程，第一个就左边的面积是三十八，就相当x加y正好等于三十八。然后右边面积是三x，加上四分之五y。等于65好，那这样话就把s给它求解出来，好s求出来以后那么答案就可以写出来好吧，所以这是它的这个做题方法，答案就可以算出来。好那么s解的就等于十啊，这个大家自己去解s=10 y正好等于28。好吧，I=10 y=28，然后这个它让求a dg的面积a dg的面积正好是4x是吧？

所以a dg的面积。就等于4s，就等于40正确答案，就选的是a选项好，这是它的做题方法，所以通过这道题，大家要知道啊，我们用这个整块面积比这样算要简单。知道吧，把它用整体方法来做啊，如果要分别去解它，高高解出来再算答案，虽然是一样，但是运算量会很复杂。好吧，

这是大家呢，要掌握的它的这个思路啊。接下来第二个公式就用夹角求面积，夹角求面积，如果已知三角形两边和夹角就可以套这个公式，要记住常见角度，三角函数值。刚才咱们也讲过了，好吧？比如说咱们看这里三角形有两边长四和六三角形面积为六倍，根号二则两边夹角到底多少？接下来我们看一下，它就等于二分之一四×6再乘以夹角的正弦值，这样等于六倍根号二。这样的话就得到sinc的值，

正好等于二分之根号二。好sinc的值，然后把它约掉，然后这个c注意它有两个，一个45度啊，或者说135度啊。啊，所以大家呢？要会求解正确答案应该选择的是b选项，我们就做好了。好，这是它的这个考试方法很简单，知道两边和夹角啊，就可以求解出来，通过这里还要告诉我们一个问题啊，

如果两边长四和六求这个三角形面积最大值就夹角为9度的时候面积最大。知道吧，比如说知道啊，这个两边值，如果它夹角在变化，夹角这个c角在变化，再变化的话，那在这里面大家呢，就知道s in 9度是等于一的好吧，夹角为9度的时候面积是最大的啊，直角三角形面积最大。好，接下来就刚才咱们说的，如果有两边长在变嗯，两边长是四个六，

第三边长在变，第三边长在变，就导致这个夹角在变化。要在变化，所以它的最大值s max就是直角三角形的数是最大。比如说它夹角是9度的时候是最大的，知道吧？那这样算就等于12好这些呢，应该选择是d选项啊，这很容易就做出来了，所以记住一个结论啊，夹角9度的时候。s in值最大，它面积是最大的。好，

接下来咱们看一下，利用三边来求面积啊，利用三边来求面积啊，利用三边求面当已知三角形三条边时可以套公式来求，这个面积值。套公式套公式吧，就是这个海伦公式啊。海伦公式。啊，其中p等于二分之一a加b加c啊p的值就二分之一a加b加c，这样就得到它这个数值了啊。好，接下来咱们看这个题，若三角形。三边长分别是七，

八，九则三角形的面积到底多少？就三角形的面积值好，那这道题大家可以发现啊，如果要用底和高，那这也不好做，因为它这个三角形啊，它这个呢啊，就是不好，不是特殊的三角形。知道吧，它这个三角形呢，就不是这个特殊的，这个三角形，所以在这里面可以画画一下。

啊，它这是一个七八九这样一个三角形七八九。好，这样的一个一个三角形好，那七八九这样一个三角形，大家发现用高压用夹角都不好求，所以这时候呢，第一步先求出周长一半p就等于二分之七加八加九。要等于12。好吧，所以在这里面大家呢，要注意它等于12 p=12那三角形面积可以求解出来，这个面积公式就是p乘以括号。p减掉分别每个边就行了，就等于12×1个p- 7得到是五。

啊p- 8得到4 p- 9得到三好吧，就拿这个公式12×1个12分别减掉，每个边长就可以得到这个结果。这就等于12倍的根号五，大家把它化简一下就可以得到它的答案，这个呢，应该选择是d选项好，这是直角三角形三边来进行求它的幂值，这个要会分析。和思考啊，接下来咱们看第二个知识点特殊三角形，它的命。特殊三角形，那在第一个就直角三角形，直角三角形，

这是最重要的一个三角形啊，不仅在平面几何，要用在咱们解几何？还有例题几个都要用啊，所以勾股定理要记住常用勾股数三四五六八十五十二十三七二四二十五八十五十七。还有90，25啊，这个常用的勾股数，大家发现三四五六八十和九十二十五，它这块儿正好是什么关系呢？看正好是3k，4k，5k。也说也就说大家知道35是勾股数，把它乘以同样的倍数，

它仍然是勾股数，知道吧？就3k4k5k，它仍然是勾股数。啊，比如说六八十，相当于是给它乘以个两倍，九十二十五给它乘以个三倍啊，得到这个结果好吧，然后接下来我们看这个五十二十三。啊，那么也可以给它乘以两倍或者三倍是吧？反正乘以同样倍数都是勾股数，还有七二四二十五八十五十七等等的。啊等等，

这些这些勾股数，它的一个特征。把常用的把它记下来就行了啊，另外在直角三角形里面特殊的直角三角形，特殊直角三角等腰直角三角形。好，那等腰直角三角形的话，它的三边的这个比值关系正好是AA和。根号二倍的a是吧啊，这样的一个比值关系，要知道啊，就是啊，所以三边之比是一比一比根号二等腰直角三角形，它的面积值又等于二分之一两直角边平方也可以写成四分之一斜边平方。好吧，

四分之一斜边平方啊，这样的一个方法，然后它啊，这个内角为三度六度九度的直角三角形，三边之比是一比根号三比二。好吧，三边之比是一比根号三比二，这样的就写好啊，3度6度9度，它的三边之比。这样就一比根号三比二好，那这36度9度，然后给大家画一个这个直角三角形是这样的。好，然后这就是30度。

这是6度啊，这是9度好吧，9度，然后这个呢就是一比根号三比二三边之比啊，就36度9度，另外咱们还要知道就3度角所对的直角边是斜边的一半儿。好吧，三左角说这个直角边，它正好是斜边的一半儿啊，所以在这里面就可以找到它的数值关系好，这是直角三角形勾股定理和特殊直角三角形啊。然后另外一个等边三角形等边三角形，大家知道三边长它都它都都相等。啊等边三角形也是比较特殊的一个三角形啊等边三角三边长都相等啊，然后它的边长和高之间的关系，

我们要会分析和思考。这个h好，这个h=2分之根号三倍的a，那这个怎么得到呢？因为这个这正好是6度3度和9度，知道吧，所以说这个等边三角形。你做一条线，那么可以把三角形分成两个3度，6度，9度的一个直角，三角形知道吧？它左右两个是一样的。啊，两个是一样，

所以h就等于二分之根号三倍的a，然后这个等边三角形面积就是四分之根号三倍的a方好吧，等边三角面积就四分之根号三倍。它的a方。啊，面积公式面积公式怎么推导出来的？用二分之一底乘以高推呗是吧？二分之一底乘以高高正好是二分之根号三a。这个推测就是四分之根号三倍的a的平方，这样写好了好，这是等边三角形，它的一个面积公式面积方法，这个大家要会分析和思考。好吧，这是它的这个内容啊。

好看，这个是不懂了啊，等边三角形，它的一个分析思路要会求解。等边三角形，而且还要注意这这条线的四线合一，知道吧？四线合一是什么？就是角平线上面这两角是一样角平线，还有这个中线。啊，这条线中线还是高还是中垂线就底边的垂直平分线啊？就中垂线又过中点，又跟底边平行垂直叫做中垂线。好吧，

它是四线合一，而且等边三角形，咱们学到四心的时候要注意四心呢，也是合一的啊。接下来咱们再说一下啊，这个重要的定理好吧，一个是鸟头定理，其实鸟鸟头定理它是用那个角度来推的啊，就有一个角。相等或者互补啊角是相等的，或者互补为什么角相等或互补？因为角相等或者互补的话，它的正弦值是一样的，知道吧？通过这个就是说正弦值一样。

正弦值相同啊，如果有角相等和负五这个正弦值相等，这个叫做共角三角形，共角三角形，共角三角形的面积比就等于。等于对应角的两加边的乘积比这句话什么意思呢？是这样给大家推导一下，它有三种模型啊，三种图知道吧？啊，三种图这样的。好，那么第一个图我们看一下，看第一个图，它两个三角形呢，

共用一个角a第二个图，它的角a呢是相等的，因为大家知道对顶角是相等的。第三个就是这个角a，它正好是互为什么互为这个补角互补的，这个角a加这个角正好180度，正好是互为补角。好，那接下来我们来看一下它的这个值，它这值第一个，那么就可以得到三角形这个ade的。面积比上三角形ABC的面积，大家知道咱们三角形面积是不是等于二分之一两边相乘？再乘以夹角的正弦值是不是这样的好？这也是两边相乘。

再乘以夹角的正弦值，大家知道这个正弦值呢？它上下可以约掉三减a，它是一样的是吧？三减a一样，所以这个二分之一它也可以约掉。二分之一余掉，然后这样就等于AD乘以ae。AB×AC啊这样的式子是吧？这样的结果。啊，这样就写好了，对不对啊？这个答案就就求出来了啊，所以这是它的这个推导的过程啊，

所以说这样你可以把它记住，是角两边乘积的一个比值就行了，因为它原理就是正弦值一样，这是它的。的关键原理，所以它这个鸟道定理啊，还是来源于咱们的三角形面积的基本计算公式，知道吧，所以遇到两上有共角或者等角。啊，这样的特征，这三个模型把它记住就行了，可有同学不知道为什么把它称为鸟头定理，跟鸟有什么关系，知道这名字怎么来的是吧啊，

教给大家一开始发明这个定理的人呀，他画的是第一个图。知道吧，第一个图，第一个图的话，那因为那时候啊，也没有手机，也没有电脑，很多年前嘛，然后呢，几百年前，然后这时候呢，它也没有，它就天天看鸟。知道吧，

看看角看角的话，大家可以发现，如果这地方要加上一个眼睛。是吧，你看是不是像一个像一个鸟的脑袋一样是吧，然后如果你觉得不像，然后这再加上一个嘴巴是吧，加上一个嘴巴就像像鸟鸟的脑袋，叫鸟头定理。啊，有同学说唉，我看着像鱼鱼头，那你把它起做鱼头定理也行，因为那时候呃呃，那时候可能那个人啊，

他也没去海海边儿，没去河边儿，没见过鱼，所以他天天看鸟，所以说他觉得像鸟。是吧，如果你要见过鱼的话，它可能就起这个鱼头定理了，是不是反正总之啊，这是给大家讲它很好玩儿的事儿，它这个鸟儿定理怎么来的啊？好，这是鸟的定理，它只要是有角相等就OK了啊。然后接下来咱们看利用角的定理来求这个三角形面积好吧，

它的面积一般出现共角和等角三角形可以用角的定理来求解它的面积比就等于它这个角的加的边的乘积比。好，那接下来咱们来看一下这个题，好在三角形ABC中de呢，是这个AB和AC上的点啊，然后AD比AB比值是等于二比五。然后ae和AC的比值是四比七四比七啊，如果这个ade的面积是16。AD的面积是16则ABC的面积到底是多少啊？它的面积值到底为多少？那接下来我们看一下ade。比上三角形ABC。啊，比上三角形这个ABC啊，这样的值是吧？

就AD的值和ABC的值，然后这两值，然后做一下这个比例关系。好，那这个ade和ABC大家可以发现，它正好是共用一个鸟呃，共用一个角，所以可以用鸟头定理是吧？然后它就等于这个角两边对应成绩比。就等于AD×ae比上AB×AC，这样就行了，然后接下来我们就把这个数呢带到里面去，因为题目说了这个AD比AB正好等于二比五。然后ae比上AC正好等于四比七，我们把它带到里面去，

所以一个是二比五，一个是四比七。正好等于一个啊，八比35好，它面积是比是八比35，由于这个三角形面积是16。AD这个三角形面积是等于16就可以推出啊ABC的面积，ABC的面积就等于70，这样的其实答案就选择d。好，这样就求解出来了好吧，答案就选出来了啊，就可以得到它的数值好看，这个懂了没有？好，

接下来咱们看一下啊，这个题啊，如图在三角形ABC中d呢，在BC的BA的延长线上啊d呢，正好在BA的延长线。啊，把它进行延长了啊，延长然后e呢在AC上。然后AB比AD正好等于一个五比2 AB比AD正好是五比二，然后ae比ec=3比2 ae比ec正好三比二。那如果AD的数值等于12 ade的值正好等于12啊AD。AD的值正好等于12啊，这个值是12。好AD的值，它正好是12啊，

就AD啊AD的值，它正好就等于12。啊，这AD它的这个数值好AD值上十二十二以后，那接下来咱们来看一下啊，它要十二十二问ABC的面积到底多少？啊求，这个ABC的面积，那接下来我们看一看AD这个三角形跟ABC这个三角形，它正好正好呢就是。呃，它这个角一正好是互补互补，我们就可以用角数定理，所以三角形ade比上三角形ABC。好，

我们就可以写成就等于AD乘以个ae比上一个AB乘以个AC。这样的好吧，就是AD×ae正好得等于AB×AC，接下来可以看这个值AD比AB的值啊。啊，这样我们可以求出来，还有ae比AC的值也求出来好AD正好是五是吧AB呢？正好是二。a呃，这个这个是AD啊，这上面是二，下面是五。对吧，因为AD和AB比正好是啊，这个一个二一个五是吧？

这个题目已知条件，然后接下来我们再看ae的长度ae长度是三份儿。然后AC的总长AC总长是五份啊，就三+2是五份，五份五份，然后这样就可以得到，这是六比25。好六比25，然后这块儿我们就可以看出它的这个式子是吧？然后六比25，然后题目告诉我三角形ade的面积，如果等于个12=12，你就把这个扩大两倍就可以了。乘以两倍，乘以两倍就ABC的面积就等于个50啊，

就推出啊，正确答案就选择的是e选项，答案就求解出来了。好，这条做题的方法思路看是不懂啊，就通过这道题，大家要明白它的这个鸟落定理的那么几种模板，几种图形的特征，把它记住就OK了。接下来看一下这个燕尾定理来求这个三角形面积，燕尾定理好，那么燕尾定理它怎么弄的呢？燕尾定理其实它是用等高来进行推导出来的，给大家进行推导一下啊，翻开书我们可以看一下等高。

它的一个推导的过程好，我们给大家画一个图好吧，然后呢，我们一块来画一个图。好，这是一个三角形，这样定理它一定是啊，内部有个点，比如说ABC。它内部有个点。好，内部定点一定要跟各定点连线。啊，各跟各地点的呃，连线连一下线知道吧啊，

连一下线，然后呢，这块儿呢也要连一下线。这块儿呢，也要连一下线。所以大家只要看着长这样样子啊，内部一个点跟各地点连线，而且这个地点连线一定要穿透，知道吧，一定要啊，不说a直接连到这个点就行，还要穿透跟这个对边要相交。啊，这时候呢，就采用燕尾定理好吧，

燕尾定理好咱们呢。讲中间这个点是o点好吧，中间点是呃是o点，这是d。啊，这是d点e点和f点啊，咱们一开始先不要那么多线啊，给大家推导，先不要那么多线。先把这两根线先不给它连过来好吧，这是这样，先连这样连着给它进行推导一下。好，那接下来大家可以看到我们呢？其实这个用等高来怎么推呢？

大家知道这个abd跟a cd这样是等高的，等高的话，所以它面积之比啊。就abd跟a cd。是不是正好等高就abd跟a cd正好是等高等高的话，它面积之比是不是等于底之比等于BD比CD？这样大家再看这个小三角形，小三角形这个bod跟COD也是等高。bod.跟COD它也等高是吧？就bod跟COD它也等高啊，也等高也等高的话，它面积之比也等于底之比等于BD比上CD。啊，等于BD比上CD它也等于底之比，

知道吧？BD和CD比这相等也等于这个底之之比。好，那这个就写好了，写好那这个大家都知道，这是用等高推导出来，等高面积之比等于底之比，然后接下来咱们学过这个等比定理等比定理，大家知道如果啊，这个比例要相等的话，可以让分子跟分子相加。除以分母跟分母相加，这个比值跟原来是一样的。当然，咱们在讲比例的时候还讲过什么，

还讲过相减也行。相减也相减的话，那分子和分子相减啊，那大家说abd这个三角形减掉bod，减完后大家可以发现是不是就变成了？aob.是吧，是不是变成aob就是这个三角形abd- 1个bod，减完后就剩的是？aob是吧？剩的是这一块儿三角形了。然后吧，是这一块儿，这块儿三角形是吧？然后呢？

我们再看这个分母跟分母相减，这个a cd这个三角形减掉COD，这个三角形。减完后是不是呃也剩下这一块？啊，剩下这一块是吧？所以它剩下的面积就是AOC。剩下面就就AOC啊，这样的一个情况好吧，所以aob比上AOC好，这样就写好了，所以说大家可以发现一个什么问题啊，就是这个像一个燕子的。左右的翅膀一样，它就等于尾部的长度比叫做燕尾定理，

所以那个时候呢，人们也没啥事，就天天在。看鸟知道吧，抬头看鸟，你看都是什么鸟兽定理啊，燕尾定理啊是吧？好，那有同学可能看着像一个风筝一样，因为国外它没有啥风筝。是吧，所以不像咱们唉，看着像风筝一样，或者说那么飞机呃，发明以后大家可以看到唉，

像飞机一样，就飞机的左右翅膀。是吧，左个翅膀一样，因为那个时候他发明的时候时间很早，那时候呢，还没有什么飞机啊，国外人也没见过风筝。所以说它要就天天看鸟，就叫做燕尾定理，所以记住它有左右翅膀面积之比等于底部的长度比好吧，这是燕尾定理它的一个分析的一个特征。当然，咱们把它啊，把这个蓝色线给它进行延长，

延长就可以从不同的维度啊来用燕尾定理了是吧？把这个一延长，所以说刚才咱们是对应底边用一下燕尾定理，那这边儿也可以用燕尾定理，这边儿也可以用燕尾定理，反正就。记住翅膀的面一比，就等于它的尾部的长度比，这是燕尾定理它的一个精髓所在。好吧，燕尾定理其实很好理解的啊，而且燕尾定理它应用条件就是一定要是中间一个点跟各地点连线，这时候呢，我们就采用燕尾定理来分析。和思考就OK了。

好，那这个是咱们燕尾定理它的一个啊，分析和推导的一个过程，知道吧？大家呢？要知道我们怎么样用燕尾定理来进行分析，它其实就是利用这个等高的一个比例关系来进行分析。好吧，所以大家呢，注意最核心的内容就是等高。啊，最核心的内容就是等高等高啊，然后再结合着这个比例定理，然后呢，就求解出来了好，

这是验稳定它的一个理解情况好吧，大家看。这块儿是不是明白了，所以通过这个我们呢，就可以把这燕尾定理很好的啊，把它理解住，也知道它什么时候用。好，那接下来咱们看一下这个题，在三角形ABC中啊ABC中，然后BD。BD比CD正好等于四比九。然后ce比上EA正好等于四比三求af比上FB到底等于多少？这天我们就先用燕尾定理，从不同的维度转啊，

转一圈儿就行了好吧？转一圈儿啊，用燕尾定理来写就行了，好首先呢，知道BD比上CD就等于它左右翅膀，左右翅膀，一开始我给大家画出来不太熟悉的同学画出来，把这个翅膀画出来啊。所以它的翅膀就这样的啊，就BD比CD就等于一个。等于个三角形AB。啊，中间咱们这个就是一个o是吧？中间是个o啊aob。啊aob比上AOC啊BD呃BD比上CD，

然后接下来咱们再看右边的。再看右边的好，那么右边的话在这里面，我们看右边呢，应该怎么弄？右边的话就是就是这个ae比上ce是吧？就ae比上ce。啊ae比上ce那这一块儿应该什么ae比上ce有这一个翅膀？跟这个翅膀啊来进行比，知道吧？就ae和ce啊，就这个翅膀，这个翅膀的话就相当于是aob。比上这个，这个是BOC。

是吧，然后接下来它让求这个求这个af啊af比上c呃比上bf是吧，然后就是af比上bf。啊af比上bf。是吧，然后这样就af比上bf啊af比上bf，它用哪个翅膀，大家看看af比上bf。好af比上bf，它的翅膀是这个是AOC和这个BOC。隔BOC好吧，这样就写好了啊，写好然后接下来咱们看一下，这是BD比CD。是吧，

这是ae比上ce，咱们把它这块儿可以把它写成ce比上ae好吧ce比ae给它转过来。cb ae就等于反过来就取啊，倒数。表到只要大家发现这是一式，这是二式，这是三式，大家可以看到一×2×3正好就为一。为什么就为一呢？看一二三相乘。相乘相乘，其实就得到一个关键点了。相乘正好就唯一，为什么唯一？你看这个aob跟这个aob约掉，

我写写出来吧，就是BD比上CD。乘以个ce比上ae。乘以个af比上bf，这样就等于三角形aob比上三角形AOC。再乘以三角形BOC比上三角形aob。再乘以三角形AOC比上三角形BOC。你可以看到它这个成成绩写的正好就唯一，你看这个正好能能抵消掉是不是，然后这个BOC跟这BOC能抵消掉？然后这一块儿啊，也能抵消掉是吧？能抵消抵消掉乘法就为一。有个一所以在这里面，大家就可以把这个数带到里面去了，

你看BD比CD这样等于四比九啊，这个四比九知道ce比ae这样等于四比三是吧？所以说这是四比九，这是四比三，然后再乘以af比上bf正好等于一。所以这样的话，我们就可以算出af比上bf的值了，然后这个正好16，这正好27，所以就推出af比上bf。正好就等于27÷16啊，就27÷16答案就求解出来，这个答案应该等于27比16选择e选项好，这是用页面定义页面定义这道题呢，用不同的方位。

啊，不同方向，然后用燕尾定理来进行推导的是吧？从每个方向转一圈儿，转一圈儿来进行推导，通过这个后面这个就得到一个非常重要的定理啊，这三个相对。等于一这样就是一个非常著名的塞瓦定理。三角定义，它是用燕尾定理来推导出来，把这三个一相乘就行了啊，这三角定义怎么去记呢？就是如果三角形内有一点。跟各顶点连线以后，它按照这个顺序啊，

按照顺序听到没？你从一个顶点开始，从一个顶点开始，按照顺时针，按照逆时针都行啊。顺着的话就BD比上CD。然后这个ce比上ae知道吧，你就顺着转就行了啊BD BD÷CD，然后再乘以ce除以。EA然后再乘以af÷1个bf是吧？反正就这三个分式，你就顺时针转。啊，或者逆时针转都行，刚才咱们是逆时针转的，

然后顺时针转也行，顺时针转就bf÷af，然后乘以一个ae÷1个ce，再乘以一个CD÷1个BD。它也为一好吧，这是塞瓦定理它的一个特征啊，塞瓦定理。它们一定要按照顺序啊，顺序要么按照逆时针顺序，要么按照顺时针顺序，它们就是两两相除，然后再乘在一起，它的数值等于一。好吧，这就是非常著名的塞瓦定理，

它的表达含义当然你不知道，塞瓦定理也没事儿，你用这个啊燕尾定理。然后去进行推导，推导这个数替换一下也能算出来好吧，如果要知道赛瓦定理的话，做这道题呢，会更快些好看，各位同学是不是明白了？

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6-02三角形（2）

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