数列-基础自测题-条件充分性判断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:55:42

好，我们来看一下第一个题目，第一个题目主要考察就是三个数，它等差数列的一个判断方法啊，所以考点。就考察数列的判断。好，那给了方程组得xyz为等差，注意重新判断题，大家不要呃，弄错了啊，那么一种方法是由下往往上推。就a=1带到里面，把这个方程组解出来看xyz是不是得到等等等差条件带到里面去去判断。判断是吧，

这是一种呃求解方案，由下方上推第二种判断方法是把题干的等价条件给它找出来，找出来完后，然后再看谁满足这个等价条件。这样来进行分析好吧，所以我们可以用这两个方法做啊，注意。通过把题干化，简找等价条件，这种方法不是从上往下推啊，很多同学说，老师，你先把题干，先做题干，是不是从上往下推答案呢？

这个是错的啊，我们是把这个题干等价条件找到以后。然后还是由下方上推，只不过这样的话，在比较的时候就要简单点儿好吧好，那下面咱们看一下，如果题干要满足xyz等它是不是就说明x+z=2 y啊？好s+z要等于2y。通过第三个方程，是不是得到y就为一啊？是不是所以就这样就等价条件就是y为一是吧？就是YY是唯一的。好y为一代到第二个式式子里面去z，是不是就为三呀？啊z是不是就为三？

好z要为3x是不是就可以算出来xz为3x是不是就为负负一啊？好x为负，1y为一，带到第一个式子里面是不是a就为为零呀？所以a就为零啊，这就是通过题干化简出来的，这个值化简出来的，值它的满足要求a为零，下面在必要两个条件，谁符合这个要求，谁就充分。好吧，所以在这里面就是b是充分的条件，一不充分正确答案就选b，这样的好处呢，

就是不用去运运算两次了啊，因为考试如果由下方向推a=1要把整个方程组解出来。然后判断条件上再解，就这算两次对吧？但这道题我们考试时候有时候呢，可以把题干先化简化简完，然后再比较，这样判断一次就行了，要简单点儿啊。好，下面咱们看看第二个题目考点，考点就是方程，它的根的情况，还有这个数列它的一些定义。好，

那这道题我们也把这个东西啊，找到它的等价。条件找它等价条件以后，然后再通过这个条件一条件二再比较好吧，这样的话是不是要简简简单一点儿？好，那么它要方程要有十根，它的等价条件是什么？等价条件当然大于等于零，当然就等于b方。b方减4 AC。啊，得到得到这个b方。b方，然后减4 AC要大于等于零是吧？

所以在这里面要大于等于零好，然后在这里面大家可以发现把四都可以给它除掉是吧四？都给它进行进行约掉嘛，约掉以后就变成了c方，这里面就a呃a+b平方展开a方加2 AB。加上一个b方是吧？这样的情况，然后在这里面好那么四约掉这个就可以把它乘开嘛a+a^2加c方和b方加c方，把它乘开。那就a方b方a方c方b方c方加c的四方大于等于零是吧？好，然后在这里面，大家可以看一下这个c方a方，这有a方c方，这个就减掉了，

所以我们把它可以给它。化简一下c方a方a方c方，这就没了。然后c方b方。c方跟b方乘好，这个b方c方这也没了好，这剩一个什么东西呢？我们看一下剩一个2 ABC方。乘以个2 ABC方减去一个a方b方减c的四方大于等于零是吧？然后大家可以看这一块儿。这块儿是不是我们能把它配方呀？是吧？能把配方配成负的c方？c方，然后减AB括号的平方大于等于零是吧？

好大于等于零，因为这个负的一个平方大于等于零就推出。这个c方减AB括号平方小于等于零好，那根据平方的非负性平方要小于等于等于零的话，只能它为零，只能得到c方就等于AB是吧？所以通过这个呃题干，我们先把它满足条件给它找出来，找出来以后我们再比较两个条件，谁充分这样大家可以发现条件，二是充分的ABC成等比数列。这样就是满足条件一不充分正确答案就选b是吧，这样的话要简单点，大家学会没有。所以，

充分判断题，如果题干比较复杂，把题干化简完，然后再判断两个条件，谁符合这个要求，谁就充分啊。好，再给大家强调做题的要点和方法，看是不是听懂了？下面咱们看第三题，第三题大家注意一定要看清楚，人家判断要求折之后都让你推导的啊，折之后都让推导，而且这个逗号是代表是且。这个在咱们考试那里面，

有时候则后面让你推导两个是否成立啊？推导两个是否成立？则前三项成等差，后三项要成等比啊，所以这是给大家强调的问题，好当然也可以把则后面这个我们把等价条件给大家找出来好吧？找出来，然后再看两条谁充分啊？如果前三项要成等差，就说明这个六+y=2 x是吧？前三项要成等差。后三要成等比，等比就16x就等于y方是吧？就得到这个式子好看，谁满足这个式子？

好，大家看条件，一条件一这个不成立的原因是什么呢？就是xy满足。啊，满足这个相当于是条件一就相当于y=1个负4x对吧？好y=- 4x那么带到里面去，那这个x你不知道多少y不知道多少，那这两个式子到底行不行？事情呢，你也确定不了。是吧啊，这个也是确定不了的。对吧，所以这个比如说x取1y取负四，

那么带带到里面去，然后ix取y=- 4。带到里面去，或者说x取其他值，所以它这个xy的值呢？有很多个啊，有很多种种情况。啊，所以在这里面呢，显然呢，这个是不行的是吧，所以你比如说x还可以取2 y=- 8，那这代到里面去，它就不满足了是吧，你比如说x=2的时候。

y=- 8，然后这个就不不满足了是吧？所以条件一呢，很容易找一个反例条件xy是这个方程，两两个解这个方程，两个解的话，大家可以发现这个方程，两个解是可以用因式分解分出来。一个是一，一个是负负四，但是条件二为什么不充分条件二它这两解它没说谁等于一，谁等于负四？对吧？没说没说谁为一谁为负四，有可能它为负四，

它为1 x=- 4y为一的时候，那显然这个不符合题意啊，我再次强调一下。如果一个条件算出来，有两种可能性，如果有一种可能性不满足题，这个条件就是不充分。好，那现在两条都不同，现在联合企业看行不行？联合联合就相当于这两条件要同时满足。这两天要同时满足的话，就说明x只能为这个1y，只能为负四是吧？所以x只能为1y等于。

负四就联合一定要找两个条件，要交集两条件，同时要成立找它交集，所以x=1 y=- 4 x=1 y=- 4就给推出题干是充分的，所以这叫联合充分。就选c啊，所以I=1 y=- 4这两个数值都是满足的好吧，所以在这里面大家要掌握它的特征和方法，大家呢要注。好，这个答案就选择c看是不是学会了，另外还要要给大家强调一下，大家在用特值法在重新判断特值法的时候，一定要找反例啊，不要找正面例子啊，

找反例找不满足题目的。这个例子啊，所以在这里面大家不要做错，因为有同学在考场上考试的时候时间不够了，他随便取了一个值，取了一个值，发现正好带到题干里面，题干成立，他认为这个条件充分。那这就有很大的风险好吧，要注意特值法在条件中心判断题不能证明充分，只能证明不充分好第四题。第四题，这道题主要是考点是考察这个数列的数数列的通项。和元元素的值能确定递增等比数列，

注意这个递增的啊，递增等比数列一定要注意a11的值，那这道题大家发现题干没法去化简，没办法化简没办法，是我们在由下往上推。听到没有，没办法的时候，我们再由下往上推好，大家发现题1a一×a九=64，那这个有很很多种可可能性啊，那有可能是a1是一。a9呢是64，有可能是a1为2a九呢是32是吧？所以说这有多种情况肯定确定不了a11a11。啊，

它这个是不能唯一确定的了。这个就不行，对吧？然后条件条件a 3+a七=20，比如说一个一一个19或者一个二一个18，那这个呢？元素也有很多种情况呀，是不是？所以它这个。也是不充分的，对吧？所以这个都是不充分好，那么大家要联合。联合。联合大家知道，

联合法那么条文1a一×a九是不是等于a5的平方呀？这样等于64看这个学会没有？啊，正好就64，由于它这个是递增数列递增数列，大家知道这个所有元素一定得同号。是吧，所有元素它一定得是同同号的啊，同号同号在这里面，要么都为正，要么都为。都为负是吧？好，那在这里面，大家可以发现a 3+a七=20，

那肯定是所有原则都得为正，不可能a3a7都为负的。听到没有，不管不可能a3a7它都是负负的。对吧，所以在在这里面好那么都为正，所以这a5它一定是正的啊a五一定是正a5呢，等于一个八它一定正的好，只要a5定了，那么a3a7。那都用a5来表示这个q呢，就可以求求出来好吧，往下你就不用再解，因为这道题a的值差没有让你具体去算。啊，

所以说q的值可以算的，因为a3可以写成八÷q^2 a7可以写成a5×q平方等于20，这个q写出来。好q值写出来以后啊，当然q值求出来求出来一定要取。取正的听到没有？取正的所以在这里面，大家呢？就是这个，咱们就不用再往下去解了，好大家呢，就可以写出它的这个数值关关系啊。好，这是给大家强调的这个特征，看联合就充分，

就选择c选项，好在这道题我再把这个递增数列，再强调一下递增数列，我们前面在讲呃问求解题的时候有个题讲了是吧？就a1大于零的时候q大大于一，这时候这时候是递增的。对吧，这是递增的，或者说a1小于零的时候q大于零小于一时候，这个数列也是递增的。听到没？这个数列它也是这个等比数列也是递增的，咱们这道题判断一下，只能是取这种情况，因为它的和为正的，

它的乘积为正的说明指的都是正的。每个圆都为正，每个圆都为正的话，它只能是q大于一，所以在求q的时候q不满足大于一的都要舍掉好吧。啊，当然还有一种情况递增呢。a1小于零，就每一项原来都为负的，但它公比呢？在零到一的时候，它的也是递增的。好，把这个给大家强调做题的方法好，那么如果改成递减，

应该什么情况改成递减就a大于0q大于零小于一的时候，那这时候递减的。对吧，或者说是a1小于0q大于一的时候，这个数列它也是递减的。啊，都是递减好吧，所以在这里面大家呢啊，要注意它的事业单调性啊和特征要弄清楚。好，下面咱们看第五题，这个题这里在数列dn中d1=1就首项为一，第二项为二，前项SN等于这个数可以确定。b小于c。

可以确定b是小小小于c的好，那在这在这道题，大家发现这个SN的这个特征是不是有点眼熟啊？有点眼熟，你看SN是不是关于n的一个二次函数啊？所以这道题考点就考察元素。还有求和。它这个关系是吧？好，那么在这里面大家可以看s呢？关于n的二次函数二函数的话，它就除了首项a1之外。啊，因为它这个当那个长项为零的时候，它就是等差数列当那个长项要不为零的时候啊，

就当那个a为零的时候，它就是等。等差数列当a不为零的时候，它从第二项起。从第二项起。它就是等差数列，听到没？从第二项起，它成等差数列，所以一定要记住这个特征啊，这个在一九年考试重新判断题，里面都出现过是吧？你要看这个首项。啊，看这个常数项常数项v0，

它就是一个等差数列的SN长项不为零，从第二项起征称等差，第一项就跟它不再保持等差关系啊，好，这是说了一点点题外话，下面咱们来看一下。这个题能能不能确定b是小小于c的是吧？好，那下面咱们来看一下这个d1。首项首项d1是不是就等于is 1啊？就等于a+b+c是不是就为一啊啊？这样就就写出来了是吧？这是首项，然后。s2s2是不是等于d 1+d二呀？

就前面两项和嘛d+d二呃就等于个d 1+d二。然后这个s2就等于a+2倍的b+4倍的c。然后这个呢，就等于个三好，因为d 1+d二，它是不是就为三呀？d+d二就为三好，那通过这里两两项，我们先把。这个呃条件一也好，条件二好，把a的值带到里面去就可以解出BC，因为这道题不能由上呃去化化解去分析了，所以只能由条件条件1a。等于三的时候，

我们可以得到代到第一个式子，得到b+c就等于一个负二代到第二个式子就2 b+4 c=0是吧？好，那我们就通过这个，我们就可以解出b和c的值。好，通过第二个方方程，我们可以把它变成b+2 c=0好b，将来等于负2c负2c，说明c就等于个负1b又等于个二。所以在这里面大家看看这个是不是学会了好吧，学会了啊，得到c是呃，得到c是等于二的啊，得到c是等于二。

b呢是等于一个负四的啊。得到c是等于二b等于负四，可以确定b是小小于c的，是不是充分吧充分那同理条件条件a等于五分之一，这个我就不再解了好吧，这个大家注意一下。a可以求出b和c的值发现呢，也是满足的，所以两个条件单独均充分跟条件一是一样的啊，课堂就不再浪费时间给大家解了啊，方法是一样，所以这道题这里当然没有用到这个性质，但是大家一定要注意。啊，遇到SN是二次函数的时候，

一定要记住这个性质，如果长项要为零，这个数列就是等差数列，如果长项不为零，从第二项起为等差数列，这里虽然没用到，但是呢，得要把这个性质时刻呢。要能够想起来啊。好，下面咱们看第六题，这样它的考点考点就等比数列求公比。求公比好那家看条件，一条件一显然这个没法求公比，因为条件一嗯都用a3来表示也好，

都用a1来表示也好，这个是求出来的条件二也是求不出来，所以要联合分析对吧？连回来连回来可以发现，这个a 4+a五+a六。除以一个。a三加a四加a五是不是正好就等于q啊？就等于七除以十四正好等于二分之一是吧？联合就充分啊。联合充分，所以这样因为a4÷a三是qa 5÷a四也是q是吧，所以这个表达式要等于q这个很简单，就求出来了啊。好，下面咱们看第七题好，

第七题它要确定这个求和的值，求和的求和值，我们要用元素的性质来分析。好，第一考点考点就是等差数列求和，但是它这道题呃没告诉我们是等等差数列吧，所以只知道是求和是吧，只知道求和。所以第七题这道题大家呢？很多同学就在做的时候把s一百给我写成二分之a一加a一百乘以一百。好，他说整个同学有的同学就选调音，从我们a 1+a 100这样的a 2+a 99这个思维惯性就掉到陷阱里面去了啊。所以在这里面，大家要注意，

它并没有告诉你，等差数列一定要看清楚人家题意，人家没说等差数列，所以这道题就选e，所以这道题是一个陷阱，不要人为的啊，掉到这个陷阱里面去。好吧，所以这是给大家强调的，自己要看清楚题意，人家说没说这是什么数列啊，一定要看清楚。好，第八题这道题这道题呢？就是考的就这道题，

它说了等差数列是吧？这里考点是考察求和，而且考察它的性质。好，那我们来看一下这里条条件，一条件，一是a四加上a九等于十三，那么s十三就等于二分之a一加a十三乘以个十三。那么，我们需要是a+13，一+13这个角标是不是14啊？那四+9这个角标是十？13所以它这个呢？是跟这个角标呢？不太符合，

所以这个就不行是吧？这个就不可以，当然它还可以写成a+a 13是不是可以写成两a7啊？所以二分之a加a三是不是可以写成a七啊？就十三倍的a七。是吧，这个写成这个a7好，那么我们看条件二能不能都弄成a7来啊？大家知道a2a2是不是可以写成a7加减去一个5d啊？a8a8是不是可以写成a7+1个d啊？a4a4是不是可以写成a7-3d啊？是吧？所以在这在这里，大家可以发现这个这个d负5d加上两d，再加上3d，

是不是正好就可以把a7给它求出来呀？是吧，所以在这里面大家可以发现a7是不是正好等于14啊，所以条件大家观察角标正好可以把a7求出来AA 7求出来了，然后就可以满足题目啊，所以说条件儿是充分的好吧。所以这道题主要把求和和元素性质相结合来进行考察是吧？好大家呢，学会去转化。好，下面咱们看第九题这道题的考点好，这题考点主要考察是数列的定义。考察数列定义题，干一非零实数a xb 2x是等差数列中相邻的四项，其实就是说说明这四个数是成等差数列的。

条件上说明，这四个数成等比的是吧？好，那我们来看一下，有条件一条件一，如果这四个数要成等差的话，四个数要成等差的话。就说明a+b应该等于2x是吧？然后呢？就是x+2 x=2倍的b。然后这样就可以得到这个b的值，就是等于二分之三ixa的值，就等于二分之x这样就推出a比上b应该等于一个三分。之一所以它就不充分是吧？不充分好那么条件，

它是等比数列等比数列的话就说明a×b应该等于x平方是不是这样的？然后等比数列的话，就x×2x应该等于一个b的平方好，那通过这个我们再化简一下a×b=x平方。然后这个二x平方正好等于b方好，那这个x平方大家就可以把它换成二分之b方。是吧，所以这个x平方根据第二个方程把它换成二分之b方好，然后两边把b约一约约约就可以推出呃a比b的值是吧？推出a比b的值正好等于二分之一，因为它说这个非零。实数嘛，两边把这个b1约就可以得到它答案，所以条件二是充分的，这个答案就选择b选项，

所以这道题不难啊，考试告诉我们三个数也好，四个数也好。它成等差也好，成等比也好，按照这个定义，然后列出它的等式，然后就可以写出它的答案，看是不是学会了，是不是听懂了？好，下面咱们来看第十十题，其实这道题考点主要考察这个元素，它的性质。原则上，

它的性质好，那对于第十题，这个题的话，我们呢，就可以先把题干找到它，等价条件找到，等价条件以后再看两个条件。谁符合它啊？谁符合它？好吧，这样用这个方法做啊，这个方法做好，它说等差数列公差d是不为零的。a 3+a六+a十+a 13=32 am=8好，大家可以看a 3+a六+a十+a 13。

然后在这里面，大家可以发现这个。这个32，这个32，大家可以发现是不是这个am不是八吗？八相当于等于四个am是吧？等于四个am好，接下来我们不要把它凑成四个一样的，四个一样，我们先把左边的下角标加二+1下，三+6+10+13。我们先加一下好吧，先看看一看，看看的话，然后在这里面呃，

三+6是99，32。三十二三十二是不是都跟a8有关呀？是不是所以所以它就等于四个a8是吧？所以它应该等于四个a8，因为这个角标算完不等于32吗？三十二三十二÷4。不就等于四个a8嘛啊，是四个a8，因为我再次强调一下，咱们呃书上讲元素性质是讲两个元素，左边有两等号，左边有两个元素。等到右边有两个元元素是吧，但在这里面大家呢啊，

四个元素也可以用，或者说这样思考也行看。a3。a 3+a十十三，大家可以看到，你看这两个相加，这两天a 3+a 13是等于两个a8。a 6+a十也等于两个a8，所以正好等于四个a8是吧？这样是不是也可以啊？这样也行，或者说你干脆像刚才写的，把所有加加加在一起拿32÷1个四就等于四个a8，这样也行，也就说什么意思呢，

就等号左边有四个元素。等号右边也有四个元素，那么它的角标的和左边的角标和应该等于右边角标和这样就行了是吧？所以这个条件。啊，是充分的条件一呢，是不充分，所以这道题这道题就选择b选项，看这道题是不是听懂了啊，这样方法，所以这道题告诉你圆柱性质也可以用多个等号，比如说等号左边有三个等号，右边也有三个。只要它下角标和一样，或者等号左边有四个等号，

右边它也有四个，然后在这里面它下角标和一样，这样也可以好吧。好，下面咱们看第11题好，这道题等比数列公比为q则q要大于一，所以这道题考点是考察数列。它元素的特征。还有公比q的范围好，那么条件一条件一，它说对于任意质能数都有an。加一大于n条件，一只能知知道什么an+1大于n只能推出这个是单调增的是吧？这个元素单调增。单调增的话，

刚才咱们在讲前面题讲过是吧？单调增的话，它q有可能大于一，有可能大于有可能。大于一有可能大于零写小于一，还记不记得刚才记的笔记啊？所以因为如果它这个元素要是正的话，元素要正的话，那就大大于一，如果元素要负的话，大于零，小于一，所以条件一单。都不充分条件单独，更不充分条件，

因为只知道a1大于零，那么q到底大于一小于一呢？根本都不知道。所以要联合。好，联合完以后，大家可以发现啊，联合以后这个a1是不是大于零？是不是正的a1为正的？对不对？好a1要为正的，那它要是用这个元素要单调增。有干扰征那联环，只能推出q是。大大一的不能有其他情况，

所以联合充分就选c选项，所以通过这样的概念判断，大家一定要知道等比数列元素单调增单单调检查的特征，把咱们讲的这几个题你看问的纠结题出现过。重新判断题，刚才前面出现过，现在又出现过，所以把这几个题呢，大家一定要归纳和总结一下啊，它的数列的特征和元素单调性啊，这样的方法要掌握住。好，那这是重新判断题，我们就讲解完毕，大家把这些题呢好好的消化，

好好的做一做，有什么疑问或者说不明。东西赶紧把它学会了好本小节目的讲解，到此欢迎大家继续关注我们后续的课程。

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