5-06数列常见错误

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:55:22

接下来咱们来看一下模块儿六数列常见的一些错误，给大家进行总结一下，本章容易犯的一些陷阱。好，我们来看一下，那么考项一那么常见的错误，总结好那么这一块常见错误啊，第一个就是要注意这个序号，还有正负的符号，还有分母。等错误啊，分母的情况好，那我们来看一下这个题，这个题它说呃，对于等比数列那么已知a4a12是一个方程的两根求a8等于多少？

啊，求一八。好，那对于等比数列，我们知道等比数列这个a4×a12。是不是正好等于a8的平方呀？是不是这个的话，大家呢？要明白是吧？因为这个四+12=16，这个16可以把它看成两个八。所以说可以把它看成a8的平方。好那么a四乘以a十二正好两根乘积，两根乘积正好等于a分之c。好等于三=3，

那有同学就推出了a8，就等于正负根号三，有同学就会选择c选项，这个呢，就会错了啊，就是错的。好错在哪呢？在这里面a8等于正负根号三，我们通过这里可以发现一个什么特征啊？a4和a12。它应该是这个方程的两正根，为什么方程两正根呢？因为大家可以发现啊，这个。两根之和。

就等于负的a分之b，它是大于零的两个乘积也大于零，咱们前面讲过韦达定理的根的时候讲过，如果两只和大于零两个乘积也大于零。而且这道题它德尔塔也大一点，也是有实根的，所以正好是两正根，所以这个方程是两正根。两证呢，说明a4和a12都是正数都正数，我们前面在讲述的时候给大家讲过啊，那么。对于等比数列，它的偶数项元素都是同号的，你看a4也好a6也好a8也好a12也好，

都是偶数项元素，它都同号或者奇数项元素同号，原因为什么它的是同号呢？因为a8。正好等于一个a4×q的四方，因为q的四方不管公比是正还是负，那在这里面好，那么q的四方。它肯定是正的a4，刚才说了也是正的，所以这个a8应该大于零，所以应该取a8应该等于正的根号三，这个呢，应该选择a选项。答案就求解出来了，

好，这是给大家强调的做题点和方法，所以这个a8要等于根号三。啊，所以不要误选啊，错了好，那这是给大家强调的这个知识点啊，一一定要把我们等比数列它的符号。符号的特征要弄清楚好，如果这道题呃要改一改的话，大家呢，要学会分析，比如说啊，要改成其他的，如果要知道。

这个a3和a13是吧？如果这要改成a3和a十十三是这个方程的两根，那么问a8等等于几？然后在这里面就a3×a13，还是等于a8的平方，还是等于三，这时候a8它就可以取正负根号三了啊。取正负根号三，因为这个a3和a13是奇数序号，那么a8是偶数序号，那么偶数序号和奇数序号呃，这个符号它呢？是没有关系的。啊，所以在这里面这个a8它可以取负的啊，

即使a3和a13都是正的，但a8还可以取负的，这时候你就可以选c了啊，所以大家要注意考试，尤其出。啊，条件重新判断题的时候，这两个条件差不多是吧？大家呢？不要给写错，比如一个条件是a4a12，另外一个条件是a3和a13，那啊，大家可能。感觉呢，

差不多，但是呢啊，稍不留神就会出错。下面我们来看一下这个题，这个题大家看一下啊，也是出现我们刚才呃同样的错误好吧，同样错误，首先根据这个题目啊。a5+1=34a5-a一=30好，通过这个题，我们可以把a1和a5给它解出来，对吧？有a1和a5解出来a1和a5解出来以后，那么我们就可以求出a3的平方。因为a1×a五就等于a3的平方，

然后a3的平方，它就等于64，64，这也是正负八，正负八呢，它也会出现这个跟。上一个题同样的错误，因为大家可以发现a1和a5是正的，这个a3它也应该是正的，也应该正应该取a3。当一个正八，所以这个呢，应该选择d选项，它等于正八好看，这一块儿是不是明白了啊？

好，这是这个题，跟上一题思路是一样，同样如果这道题要改成。a6和a2那要求a3那这块儿的话，那这个就不影响了好吧，所以在这里面大家呢啊要呃掌握它的方法，如果要给的是偶数来求奇数序号，那这个正负都是可以的。好，下面咱们看这个题。这个题它的陷阱就是大家注意呢，很多同学在求和的时候，这个求和公式啊SN就等于一减q分之a乘一减q的N次方。这块儿呢，

这个n它的意义呢，没有弄清楚好很多同学这个错解。这就一+3+3^2，一加到三的100次方。很多同学就写成一减q，它的公比QQ正好呢，是为三的首项呢，是为一是吧？一减q分之首项。一乘以个一减q的很多同学就以为这个N次方呢，就一百啊一百。这样就写错了，知道吧？很多同学以为这个三的100次方跟这个。啊，

这是一个错误解法好不好？错误解法，所以在这里面大家呢？就别给写错了，所以容易选错，懂了吧？所以容易误选成这个。a选项那就错了啊，那正确解法什么呢？正确解法。间接法，大家注意一+3+3^2，一加到三的100次方。这个等于一减三分之首项是一乘一减q的，注意这个n是代表项数，

要给大家强调n是代表项数。n代表有多少项知道吧，所以这块儿应该写成三的一百零一次方，这样才才对，然后大家知道一减三，这样等于负二负二，上面变个号儿变化就得到二分之三的一百零一次方减一。对吧，这样写好了就等于二的。三零一呃，这个二分之三的一百零一次方减一，这个写出来了好，所以在这里面大家呢，就可以看出来这个呢，应该选择的是。

e选项知道吧，所以这道题大家呢，不要给做错了，通过这道题，大家以后在求和的时候，这个N次方一定要注意，它是表示项数啊，并不是表示。后面最后一项的次方要数有总共有多少项？这里一呢就相当于三的零次方啊，一相当于三的零次方从三的零次方到三的100次方，总共是101项。所以它的次方应该是101就可以了，好看这个题大家是不是弄懂了？下面咱们看一下这个题，

这个题如果要知道SN求这个an，那么这块儿大家容易错点是什么点呢？好错点错点的话，大家呢就容易。把这个呃an没有分段讨论啊，因为这个公式必须是n大于等于二的时候啊，所以正确解法应该怎么解呢？这叫n=1的时候。n等一的时候，那么就a1就等于s1就等于三+2，它要等于五，这样写好了，然后。n大于等于二的时候n大于等于二的时候，那这个an就等于sn-sn- 1。

这个我们在前面讲课时候给大家已经讲过啊，讲过讲的就是SN中的成项，它被减掉了，被减掉，所以说这个就按照这个结果分解好，比如二×3的n- 1次方。最后在写它的结果的时候an应该分段写啊，分段写就n=1的时候，它是5n大于等于二的时候，它的二×3的n- 1次方。啊，如果。n等一的值刚好满足这个表达式，大家就可以合到一起写在这个大家可以发现这个第二个式子n等一的时候，它算的是二这个上面这个是五，

所以二跟五这两个数不相等不相等的话，所以这个应该分段写。好吧，那么此外讲到这，大家还要巩固一下咱们前面说的。等比数列它的特征是吧？什么是啊？如果SN=a乘以个q的N次方加上b。我们前面是怎么说的呢？然后你就看它的这个值是否啊呃为零，如果a+b=0的时候，它是等比啊，这个我们讲过是吧？a+b=0的时候，它等比如果a+b不一定是一定要分段写啊。

分段写，所以它SN呃，知道了，那么它的an an的话就相当于是啊，这个n=1的时候就a+b。n为一的时候，它就是这个AA+BN取一的时候啊，就是aq+b。啊n取一它就是aq+b，然后n大于等于二的时候n大于等于二的时候就用sn-sn- 1啊，就写成a。qn-aq n- 1，然后是n大于等于二的时候好吧，这是它的这个情况啊，另外我们写过a+b。

如果要等于零，它就是等比。如果a+b不为零，它就非等比。非等比就相当于第一项不再跟他们保持等比关系啊，第第一项不再保持了，然后后面它是保持了，因为它这个常数只影响首项。好，这是给大家强调的做题点。接下来咱们看一下这个题成等比数列，它乘积知道中间两项的和知道求公比q的值。这道题大家要学会的思路和方法是啊，给我们几个数，如何表达，

比如说四个数也好，三个数要成等比应该组合不了多少。然后如果四个数或者三个数成等差，如何来表达？好，那我们来看一下错解它错在哪？错解的话，我们来看看假设这四个数分别为t的三次方分之a。t分之at还有at的三次方。啊，其中at呢？为实数。好，这是四个数，然后呢？

根据。我们给了两个条件，因为这里面就有两个未知数，两个未知数啊，需要两个方程来联立，所以一个是它的乘积为二的十次方，一个方程，还有中间两项的和为四一个方程，所以两个方程。啊，两个未知数，然后就可以。联立来进行求解，所以这里面就是at两个未知数，然后那么来求公比q的值，

我们来看一下，根据这四个数的形式，然后四个数的乘积。啊，等于这个值，然后四四个数里面中间两数和等于四啊，通过第一个呃式子a4a的四次方等于二的十次方，两边同时开根号就可以得到a方等于二的五次方。然后根据第二个就可以把a给它解出来，因为左边可以提出一个a，提出a以后就变成t分之一，加t等于四，所以这个a就可以解出来。a解出来真理呃a解出来以后那怎么办呢？把这个式给它进行平方啊，

进行平方也就说这个式呢，给它进行平方就a方。就等于4t÷t^2加一括号的平方好，那这是a方a方的话，正好等于二的五次方。等于正好等于二的五次方，然后在这里面，我们就把这个括号呃展开，然后呢，去化解化解得到这个式，这个式子是因为它的判别式德尔塔啊，是小于零的。所以这个方程呢，是没有实根方程，没有实根，

所以说所求的呃，这个呃t不存在t不存在它的公比不存在，因为它这样设四个数的时候，大家可以看它的公比四个数，公比等于几呢？公比q就等于。t方啊，公比q=t^2，所以q=t^2呢，就是不存在这样的话就会产生错误的一些选法或者是些分析，这里错在哪呢？我们来看一下错因。所以因为它这样表达四个数的时候，它的公比q就等于t的平方，公比q=t^2，

这样就默认t呢呃，默认q呢是正的。因为q等于它的一个平方数，这样一个平方数q呢？就是正的这道题呢？公比q它不一定是正的，所以在这里面大家呢？就会求解出错啊，这是它的错解的情况，那正确的解法什么解法？这些解法大家呢？要在设这四个数的时候，公比不要给它弄成一个平方啊，所以说四个数成等比数列，我们呢就可以设a÷q，

然后a还有aq。aq的平方啊，这样去表示好，我们来看一下正确解法，这个解法我们就设四个数。为。a÷q还有a还有aq aq平方好，这个q就代表它的公比。好吧，所以大家呢，要知道这四个数好，根据它的已知条件，因为在这里面有两个未知数啊啊，根据它已知条件，就是乘积为二的十次方。

那这四个数相乘四数相乘就可以得到a的四次方。乘以q平方等于二的十次方好，这是把这四个数相乘得到的，然后中间两项的和为四，中间两项和就a。加aq，它正好为四啊，中间两项和它正好就等于四好，然后这样我们就可以推出来。好，那第一个等式两边同时开根号啊，第一个等式两边同时开根号啊，同时开根号这个四次方开根号就变成a方了。然后q方开根号就变成q，所以这个开根号应该等于正负啊正负，

然后二的十次方可以写成二的五五次方，这样的情况。然后第二个式子，我们可以提出一个AA×1+q等于个四。好，这是得到的值，然后现在它有两种情况，一个是正的，一个是负的，接下来我们呢，就来解一解好，那么第一种情况，如果要正的正的话，那这个怎么去解呢？你把第二式同时平方，

第二式同时平方的目的呢？主要是为了把这个a方啊，上下都有a方把它给它呃除掉好吧，所以第二式同时平方变成a方。一+q^2就等于16啊，就等于16好，那么第一种情况第一种情况我们看一下a方q，如果等于二的五次方等于正的二的五次方。这道二的五次方两式相除，我们就可以得到啊，两式相除就得到是q除以个一+q^2。正好等于二的五次方正好32啊，32÷16正好就得到一个二好，这样就可以得到q。就等于二倍的，

然后一+2 q+q^2，然后这个我们再把它移向2q方。加3q把它整理啊，整理2q方，加上3 q+2它等于零等于这个呢，它是德尔塔小于零，所以它这个q。q呢，是无实数的啊，无实根的人家说了四个是实数啊，所以在这里面如果四个实数乘都没说它公比q1定也实数，所以这道题呢啊，它没有实根就不行。好，第二种情况就像这地方要取负的，

取负的话就说明q比上一+q^2应该等于个负二。等于负二，然后在这里面啊，把这个变成负号就行，负号再然后再整理完就变成2q方。2k方加上5 q+2=0。加二=0，然后这个十字相乘，因式分解一二二一，所以q就等于一个。负二或者是负的二分之一啊，这样就求出来了，所以通过这个题也可以发现公比q呢，负的时候是存在的，正的时候它是没有的。

好，这是给大家强调的这个特征，好，那在这里面大家要掌握的做题的思路是什么呢？我们给大家进行概括一下。就是在设几个数成等比或几个数成等差的时候，大家要会分析，如果三个数。三要素如果要是成等差。好，我们可以设，为什么呢？可以设为a-da和a+d。当然还可以设，为什么呢？

还可以设为AA+d和a+2 d。a+d还有a+2 d。好，这样的情况是吧？所以可以这样去表示好，如果要成等比的话，你可以设为a÷q。a和aq。或者说是。a aq aq平方好，这样的情况呃，我们建议大家呃，在等它时候设a-d。这样方便，因为a-d跟a+d这个在运算的时候呃，

运算要简单一点，然后在等比的时候a÷q和a×q这个运算起来要简单一点好。好吧，这是给大家说的三个数，它的这个特征啊，如果当然设AA+da+2 d也行，但是这样在有时候运算就不是那么复杂啊，就就不是那么简便会复杂。然后如果设a aq aq方，它有时候呢，也会比较复杂好，这三个数大家知道了，如果四个数，你后面依次再追加就行了，好吧，

再来后面再加我就不再写了啊。再到后面这一加啊，添上一个像咱们这道题，后面就添上一个aq方就可以得到它的结果，看这一块儿是不是学会了，是不是明白了？好，那这是给大家强调的，刚才咱们讲过的如何设备的数，下面咱们来看一下这个题。这里在等比数列an中a三等于二分之三x三等于二分之九求a一的值求a一的值好，这里看起来蛮简单的是吧？然后呢？看容易错的方法什么？a3可以写成a1×q^2。

是不是这样的，然后呢s三可以写成一减q分之a乘一减q的三次方等于二分之九，然后这两个方程，两个方程你相除知道吧，相除把a给它除掉，先解出q的值。然后这样把q值带到里面，求出a1，这样做容易错的点是什么点呢？大家呢？就是呃，在用求和公式的时候，我们知道这个q呢是不唯一？的时候我们用这个SN是吧，所以在这里面我们呢，

就在求解的时候啊，大家要注意SN。等于n倍的a一当q为一的时候q不为一的时候可以写成a减q分之a乘一减q的N次方。q不唯一的时候，所以在这里面大家呢，要注意看这道题还有没有其他情况，知道吧，还有没有其他情况，所以说这里大家在用这个。求个公式时候要看当q=1的时候看行不行，如果q为一时。q为一时就相当于是a3。a三就等于a一乘以q，平方就等于二分之三，这个q其实就为一，

也就QQ为一，我只要验证这两个不矛盾就行了啊。这两个就不矛盾，那么s3应该等于三倍的a1。等于二分之九。好等于二分之之九，这两个都可以得到a一等于二分之三，也就说第一个式得到a一等于二分之三和第二式得到a一等于二分之三，它两个是一致的说明q等于一是。呃，有可能的，知道吧，这种可能性存在，如果q=1，你带到这两式解出的a1a值要不一样不一样，

说明这个q=1呢，就会出现问题，这两个值呢，矛盾的矛盾的话，这时候呢？啊q呢，它就不能取一了啊，好当q不为一的时候。好q不为一的时候，大家呢，就仿照上面那个做就行了啊，仿照仿照那上面做，然后呢，这一块儿这这都有啊。在上面做，

然后这就是a1。然后这个一减q三次方可以用立方公式来分解，分解完后它可以分成一减q，分减q后它可以跟分母呢，这两个呢，相约掉约掉以后就变成了。啊，这个一加q加q方等于二分之九，有同学不会解，这个不会解，让这两个相除，让第二个式子除以第一个式子吧。那这两个式子相除这样话就我就写一两步啊，有同学不会解的话就说说怎么解那第二式除于第一个式子。正好等于三倍三倍，

然后做到这，然后就是一+q。加q方应该等于三倍的q方往下，大家应该都会了，我就不再说了好吧啊，这样大家就可以解出q的值q的值解完后，然后就推出a的值，它就等于六。好a的值它就为六，这样就写出它的这个结果了，好，这是给大家强调的做题的支点和内容，大家在求和的时候要注意这个公比它的取值范围。啊，取值讨论。

好，所以说大家呢，要把咱们评注里面这个写的这句话，要把它掌握好，好吧，大家把书上这句话给它画上，别出错了。

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