5-05数列应用题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:55:09

下面我们来学习模块儿五啊数列的应用题啊，数列应用题这一块儿也是考试过程中比较灵活的一块儿，它要跟文字题相结合来进行考察。而且在数列应用题的时候，它考试从来不告诉你是等差等比数列，需要大家自行去判断，不要判断错了。那么，数列应用题呢？要根据它的核心的描述，如果要看差值是恒定的，那要采用等差数列来分析，如果出现比值是恒定的，那就。采用等比数列来分析。

好，接下来我们通过题目来讲解它对应的方法。我们来看一下考项一等差数列，它的应用题等差数列应用题，它的关键特征是出现差值，为定值应用题的时候，我们就采用等差数列来分析和求解。好，我们来看一下这个题。一些学生围成八圈儿，或者围成四圈儿，它的一圈儿套一圈儿已知从外向内各圈儿人数呢，依次少四个人。围成八圈儿的最外圈儿人数比围成四圈儿的最外圈儿人数呢？少20人就最外圈儿人数关系找到了设学生人数为m则m的各个数位之和，

到底是多少？那通过这道题，大家要掌握的方法是什么呢？就要采用关键词是依次少四个人，这个就是一个等差数列的特征，接下来我们就可以画一个大概示意图啊，这是围成八圈儿。好一圈儿套一圈儿好吧，这个里面这个一圈儿套一圈儿大概是这样的，只要这就是围成八圈儿了啊，围八圈儿，然后这块儿呢就是围成四圈儿的。啊，这是围成四圈儿好，那么在这里面，

我们大概可以看看它最外圈儿人数相差20人，我们可以假设围成四圈儿最外圈儿人数是x人，这x最外圈儿人数。这个周小圈人数就x- 20人啊，这个是周小圈相差20人好，那么通过这个题我们就可以看出它的等量是什么呢？等量就是不管围成八圈还是变成四圈，它学生总人数是相等的，所以我们要用求。求和那么这个最外圈把它看成数列的首项，然后公差d是等于负四，因为越往里它的人数越少，所以说它的公差就是负的，所以d就等于负四。这样求求解出来，

它的d也等于负四啊，这两个公差d是一样的。此外，我们知道，首项把最外圈人数看成首项，知道首项，知道公差，还有这个圈数就相当于项数。那么，如何来求和呢？用一下求和公式SN。就等于n倍的a一加上二分之n乘n减一倍的d，可以用这个来进行求和好吧，所以我们呢，就用这个。

提过公式来进行分析啊，因为制造首项制造公差，还有制造项数好，那这个题前面v成八就相当于n=8这个呢，相当于n取四。好围成八圈的时候，它的人数我们可以看有八倍的首项，它的首项是x- 20，然后加上二分之。八×7倍的dd呢，相当于是负四等于。啊，等于等于在这里面，我们来看一下，如果要n=4围成四圈儿的时候就四倍的a1a1就是x，

然后加上二分之。四×3倍的dd呢，相当于是负四好，这样就写好了，好这个等式相等的原因就是总人数，它是一样的，那接下来我们把这个展开展开后，这个8x减去。然后160。然后加上这时减减去一个这个就呃约掉就16×76×7的话就112。等于一个4 x- 1个24好，那这个x我们就可以把它求解出来，就得到4x合并在一起，就等于116。160+112-24，

这个大家先不要给大家相加，然后或者相减，咱们两边除以四以后再给大家做运算。这样就是更简单一点啊，所以除以四以后这样啊，算出来要容易点好，那这样我们就可以得到它的这个值。啊，所以除以四这个就得到是六。然后这样我们就可以得到这22，得到是62，所以40+22得到62啊x值算出来以后把x值带到里面去啊，带到左边好带到右边好带到右边，要简单，这个等式就相当于是。

人数啊，这个m就等于四×62-24，四×62正好等于248-24。这样的话就可以得到是二二四啊，所以说总人数就是224人，当然这里还可以问最外圈儿人数到底是多少人，如果问。陪呃围成四圈儿的时候，最小圈儿人数多少人？最小圈儿人数就62人，如果要问总人数就224人，然后这道题它求m的个数与之和个位数与之和就是二+2再加四。就等于八，所以这样呢，就选择c选项好，

这是给大家强调的好，等差数列它的应用题的做题的方法和思路，看是否明白了。下面咱们来看一下这个题目，大家读一下题好一所四年制大学，每年的毕业生七月份离校，新生呢，九月份才来。啊，就是九月份之前没有新生过来好，该校二零一一年招生啊2000名。啊，二零一一年招两年之后呢，就是每一年比上年多招200人，每年都多招200人。

然后在这里面，他说该校二零一七年九月底，九月底是什么意思呢？就相当于是这个新生的新入学的学生已经过来了啊，九月底。然后呢，在校学生有多少人好，那我们来看一下。有个关键词就是四年制。四年制大学，然后每年比上年多200人，这个d相当于等于200啊，它的差值是恒定的，都差200好，那我们简单来看看这个二零一一。

在二零一二。一直写到二零一七是吧？所以二零一一二零一二啊，二零一三。一四一五。一六。一七好写到这儿，然后一开始是2000人，然后这个就是多200，2200，2400。2600。啊，2800。三千三千二。

好，这样的情况很多同学当时选错的原因是什么？他把这个学生所有都给他进行相加了啊，把这个所有的都给他进行相加。好所有都给它进行相加，然后这样大家就会出现一个问题是什么呢？人家说是四年制大学，四年制大学，说明什么问题呢？说明人家在校生，也就是说有四届。啊有有四届，所以说应该取这四届就行了啊，然后这个取这四届把这四个数相加才是它的正确答案好吧，前面啊，

这个三届都毕业了啊，也就说二零一三年。入学的在二零一七年的七月份，然后就离校了好吧，所以说他这个这一届的学生已经走了走了，所以在这里面大家呢，就考虑这四届就行了。好，那接下来我们就把这些数给它求和求和，这就是一个等差数列求和等差数列求和，那么它的求和s。四啊，就相当于这四项求和啊，就等于首项加末项，除以二再乘以项数二两千六+3200。

除以二，然后再乘以项数，然后这样我们就可以写出它的这个结果好吧，所以在这里面这个正好是5800。乘以二就等于11600人，这样呢，就选择b选项好，这是给大家强调的做题点和方法，看是不是明白了。所以大家在考试的时候一定要看清楚从第几项到第几项来进行求和，不要给做错了。下面我们来看一下这个题，某公司以分期付款方式购买一套定价为1100万元的设备。首付款是100万元啊，这个首付之后呢？

每月付款50万元，并支付上一期余款的利息。然而，月利率未来好算就是取1%。该公司共为此设备支付了多少钱是吧？这个其实大家可以发现，就是咱们呃生活里面经常用到的贷款里面的一个还款方式，还方是采用等额。本金。好来进行还款等额本金还款什么呢？就每月的还款额，它有固定的本金加上期的利息，所以月供。或者说月还款，月还款，

它等于那么固定的本金。加上上期它的利息。好固定的本金，加上期它的利息情况啊，找到固定的本金和上期的利息，这样就可以了。好，这是他每月提供的钱数，好，那么大家知道，随着还本金还的越多，这个上期它的余留的啊，这个利息就越来越少，越来越少，所以说我们平时生活中采用等额本金还款就是。

越还到最后，越来越少，越还越来越少，一开始还的是比较多的。好，那么当然还有一个，就是比较少，重的就相当于是等额本息，等额本息就把利息，然后每月给他固定还固定利息，然后本金呢？那这一块儿呢？是做变动的啊，多的钱。多出多少钱才能出现本金优先扣利息啊？

好，这个是优先还本金啊？好，那么现在我们来看这个题。啊，这个题好1100万首付100万，这时候还欠多少钱呢？还欠1000万。啊，还欠1000万好，这1000万每月要付50万本金，每月支付50万本金，所以说它要分多少期，我们先算算多少期是吧？所以在这里面大家可以看出。

然后除以50，这样等于27。就每月就当做一期啊，每月是一期，所以说大家根据这个先算出要还多少个月，其实大家贷款虽然表面上说贷了多少年，其实在系统里面它是。啊，计算的是多少个月？比如说贷了两年就贷了24个月好吧，所以这是这样的情况啊，所以这道题算出就要还20个月有还20期。好，那我们来看一下共支配多少钱，共支配共支配就等于多少钱呢？

第一唉，个首付是100万元。加上第一个月要还多少钱呢？第一个月要还的是本金，就是固定的本金，按照这个工人固定的本金呢，就是50万，那么上期它的利息情况，因为这个呃，上个月那么这1000万，它要产生利息。对吧，比如说这个1月1号啊，那么你付了100万，那么到下个月的一号，

那这个借的这1000万要产生利息，所以就1000。乘以1%好，这是第一个月的月供，第二个月月供是50，加上这个本金只剩下950了，然后乘以1%。好，那我们一直加到啊，最后一个月，这个月还50万的本金和上个月还欠50万的利息。这样就行了啊，就最后一个月啊，就倒数第二月啊，你的本金呢？

还差50万啊，账上还差50万好下午呢，最后一个月还的时候要把50万还上，还有这50万你用了一个月。借了一个月，它的利息啊，然后在这里面，我们就把这个求和这个100啊50啊，这些求和其实大家可以发现前面这个100，加上每个括号50，其实就等于1100万，就相当于是。你的贷了钱数多的都是这个利息，所以大家也可以算，如果你房贷的话，

那么你还多少利息后面都是额外的利息，我们把这个。啊，利息呢？分别去算就行了啊，所以说这个前面肯定是1100万，这个就不用再加了啊，加完还是1100万就可以省省下来啊，就100+50+50+50。然后这个然后接接下来我们后面这个利息给它求和求和，这就是一个等差数列啊，等差数列这个1000乘以1%就相当于是十。后面这个呃50乘以1%就是零点五就首项。十加上末项。除以二再乘，

以项数，项数总共是20项，因为它借了27，所以总共是20项，这样就写出来了。好，那这样我们就可以得到它的这个结果，然后这1100，然后再加上这个就是十点五。乘以一个。十就105万。啊，105万好，105万就等于幺二零五。万元，

所以这些答案就选择c选项，所以这道题大家呢要注意，如果他要问全还完的时候要总共支付了多少利息，就支付了105万的利息。好，这是给大家强调的做题的知识点方法，看是不是明白了，通过这道题，大家要掌握的就是我们还款方式，它的一个呃处理问题，而且在这个等额本金还款方式的时候，我们采用了等差数列。求和的方式来进行分析的。下面我们来看一下，等比数列它的应用题啊，

等比数列应用题，当它比值为定值的时候，我们就采用等比数列来分析求解，比如说一些连续的变化率，还有一些银行的利息。还有细胞的分裂情况，比如说啊，一个分成两个，两个分成四个是吧？所以在这里面。就是它的啊，这个特征好，我们看一下某电镀厂两次改进操作方法，然后使用锌量比原来节约15%。啊则平均每次节约多少，

也就是总的解约算下来是15%，平均每次节约是多少，每次节约我们假设每次节约是x好吧，然后我们。因为这道题，它求的一个百分数只有百分数，我们可以设原来用心量是一好吧，原来用心量是一，然后两次第一次它。改进了以后节约了x是吧？这第一次节约x，第二次又节约了x，那这是两次。解约以后的。好，

这个这个点节约后的使用新量比原来总的节约是多比原来原来是一吗？比原来节约了15%。这样的情况好看，这一块儿是不是明白了就中间它啊，节约了两次啊，中间节约两次，然后整个来看的话，它节约了是15%，这样的一个特征啊。所以这样我们就可以写出它的这个方法啊，就是。节约的情况，我们就可以看出来好，那做到这，我们就把x给它解出来，

这块儿就变成一减x的平方。这块就等于零点八五零点八五，然后两边同时开根号，然后再把一给它挪过来就一减去。根号下零点儿八五，然后这样就再后后面再乘以100%就行了啊，这个答案就选择c选项，这是给大家强调的这个特征。好，那这道题讲到这还可以用到月增长，或者说平均增长情况，比如说每月都是节约了百分之x是吧，然后节约了若干个月以后，那么总共的收入。首尾来去比它的这个情况啊，

节约了多少啊，我给大家进行概括一下这个题出题的含义是什么，左边呢是注重过程，就是每一个月或者每一次它节约多少。它注重是过程，那右边呢？是注重结果啊，就不管你中间怎么节约，那么在这里面那么首尾，我看看啊，就最初。啊和末值这两个去比较就行了，而且这个算的是一个平均。啊，变化率是吧？

所以一个平均变化率，所以这个平均变化率不是两个相加，除以二叫平均变化率啊，不是两个相加除以二叫平均变化率，而是它是用这个乘积的形式来进行分析的。比如说求月平均增长率，比如从一月份到五月份，那么它这个节约了15%，那么假如每个月。平均增长是一样，其实在咱们实际呃生活里面，它每次它节约不一样，比如说一月份节约了8%，二月份可能节约5%是吧？但是咱们假如一个平均平均，

这个平均就意思把每次或者每个月。节约的情况看的是一样的啊，这是给大家进行强调的知识点，因为考试在这一块儿总有同学理解错误。好，这个题我们来看一下，一个球从一百米处的高处自由落下，每次着地后又跳回前次高度的一半儿啊，就是每次高是原来一半儿，它公比呢，相当于是二分之一。是吧，然后当它第十次着地时，它共经过路程到底是多少？那精确到米且不计任何空气的阻力。

好，我们来看一下这道题，就考察一个求和问题。考察一个求和求和，大家知道这个q等于二分之一q等于二分之一的话，那么这个二分之一的十次方，它就接近于零。所以在这里面，二分之一十方就非常非常小，可以把它忽略掉好吧，忽略掉这道题，我们可以采用啊，无穷等比数列来求和，我给大家画一个示意图。假如这个是球，

然后落到这个地方啊，这个是地面。啊，这个是叫这个是地面，然后呢？这是100米。啊100米，然后它下落100米，下落以后，然后落到地以后，它弹起弹起高度是原来高度一半儿，然后再下落再弹起高度是它的一半儿。再下落，再谈你高度是它一半。等等，

它若干次呢？它又停下来了，好吧，这个情况咱们就假如它是一个无穷数列，因为这个二分之一实际上非常小啊。所以有同学呢啊，我们再写一下无穷数列求和就等于首项除以一减公比是吧？首项除以一减公比好，那有同学做这道题的时候直接就套这个公式。他说，首项是一百米啊，因为一开始这一百米，然后呢，一减QQ是二分之一，得到是两百米，

这样做呢就会出错。如果考试有这样一个呃选项的话，估计有同学呢，就会选这样话，就会出现错误，原因是什么呢原因？大家可以发现你观察到没有啊，第一次当下落。这个100米走的是单程，但是这个上升一半儿上一半儿就上了50米，又下了50米，它走的是一个往返。明白吧，走的是一个往返就上50下50啊，再下一次就上来25米，

下来又是二二十五米，是不是？所以在这里面，它的路程大概这样情况就第一次是100，明白吧？第二次上午十，下午十，第三次上25，又下25点儿点儿点儿，这样的一个情况，所以我想讲的是注意双层，它这个求和的话，有同学说那双层我给它乘以二。行了，所以有同学呢，

就把这200乘以二二百×2，这个也不对，200×2的话，那这块儿第一次它这个100走的是单程。对不对？所以在这里面，我们呢？就可以这样去写，要么呢就拿这个。乘以二，然后再减100，减100什么意思？我们把第一次这个100也当做啊，乘一个两倍来做，最后多算了一个100给它减掉。

那这样就得到300。或者说你把后面的求和求出来，然后再加一百也行，或者这样算也可以，或者说这一百加上后面都是五十除以一减二分之一，再乘以二。也就说后面走的都是双层，后面呢，单独给他算就五十二十五，这都是双层乘以二倍，这个算呢也等于300米。那这个答案就选择d选项，这样算都是可以的好，那么在什么情况下就会选这个四四？400呢，

如果这个球它不是从这个自由落体，它下面有个发射枪，把它给打上打上去是吧？比如这样它就会。上去100下100，这个100呢，它就会变成一个双乘，这样就乘以二，明白吧，所以大家一定要看清楚，在计算的时候不要给写错了。下面我们来看一下这个题，这个题就甲企业，它一月份的产值为a以后每月增长率为p则，一年的总产值到底是多少？

这道题也是要求和。啊求和一年的总产值好，那我们来看一下啊，十十二个月。就s12，因为一年还有12个月份。所以在这里面啊，就12个月好，12个月的话，我们来看一下它的特征，就第一个月是a，第二个月就是a×1+p。对吧，这是二月份。三月份。

这是平方。好，这样一直加到。12月份啊，12月份就是a×1+p的11次方，所以在这里面呢，要注意这个次方的情况啊。比如说那么月份跟这个次方正好相差一，比如说三月份就是二次方，12月份就11次方。好，这个就求和它的公比q，相当于是等于一加p好，然后求和就行了，然后一减q。

一减q，然后首项是a乘以一减q的。这个注意这地方不要写11次方啊，不要写11次方写11次方，那这个错了，应该写12次方。因为这个在求和公式的时候，这个次方不是等于最后它这个元素的次方，这个次方就代表项数。因为总共咱们是12项求和，所以这一块儿应该是12好，那接下来我们看一下这个分母，分母就变成负p了，对吧？分母就是负p。

然后呢，分子就是a乘以个一减一加p的十二次方。然后这个负号上下都给它变个号好吧，上下都乘一个负号。好都乘以负号，以后就变成p分之a乘，以个一加p的十二次方再减一。好，这样就求解出来了。啊，就得到它的结果好，那这是它的这个答案，这个答案应该是选择e选项啊，好不要给做错了。好，

这是给大家强调的，做题点好，那么以上就是数列相关的一些应用题，大家把它看看。

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