5-04递推公式（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:54:43

好，那接下来。接下来，我们学习第四个模块，就递推公式好吧，就看一下递推公式好，递推公式像这几年考的也蛮多的是吧？你像一九年二零年考试考的也蛮多的。那地理公式之所以呃，这个考的多原因是什么？你知道吧？原因的呃，因为它地理公式。呃，更能反映大家对数列的理解程度。

啊啊，而不是呢，像前面死记硬背公式，所以它更能考察大家是不是真正掌握了这个内容，他又怕有些考生呢，临时抱佛脚，临时突击。是吧，你像有的同学说就考前一个月复习复复习就就考好了是吧，但是呢，现在考试呢，他就必须得理解你，不能说我就做点题，然后就就行了是吧，所以必须要好好理解，

所以地理公式这个知识点就侧重理解。如果你没有真正的踏踏实实的把这数列弄懂，那地理公式上考场呢？呃，是不行的，它也是无法临时抱佛脚。知道吧，它必须扎实来学才可以。好，接下来我们来看一下地理公式，这块儿内容地理公式，首先我们来看一下什么是地理公式好吧，地理公式特征是什么？地理公式呢就？前后推进的一个公式，

什么叫前后推进公式，就an与它后一项或者与它前一项的关系式啊？an与它后一项或与它前一项。之间的关系式。好，这就是一个递推公式。好，那么如果要已知数列递理关系式和它的一些前面的首项a1或者a2啊，那就可以写出其他项啊。啊，其他项所以地理公式也是表达式的一种重要方式，为什么把称为地理公式？它是根据前面啊，足够往后传递。是吧，

传到后面啊，把这数传出来的，这要递推公式，它的一个内容。然后接下来我们来看一下地理公式，它常用的思路是什么样的？好，第一个公式，它常用的思路，常用思路，那第一个就是列举法。啊列举法一般通过递推公式啊，找到前一项原数值的规律，然后来判断后面的数值。是吧，

用这个列举法。嗯，例举例举呢，也是一个根本性的方法，如果你要想不到其他方法，那考生就干脆列列就行了，因为咱们考都是选择题是吧，你根据它选项给的这个特征。然后呢？你看看啊，应该符合什么样的特征，它这个规律是什么规律呢？我们讲讲啊，规律一般呢，是周期循环的规律。

除了周期循环的规律之外，还有可能是次方的规律，知道吧？还有可能是分式分母的规律是吧？有时候呢，它还包括一些次方。给它次方怎么变化的？还有一些分数。分式。分母比如说它的分母怎么变化是吧啊等等的啊，所以有时候看它的这个其他这个形式指数啊，或者说。啊，这个特征，所以它有很多特特征呢，

所以大家呢，就根据它的特征，然后来观察是吧？观察它是满什么规律？满什么规律？按照这个规律来写，后面的项就可以了。好吧，这是它的第一个列举法。啊，第二个就是累加法，累加法有写若干项相加是吧？写若干项相加。然后第三个呢，就是累乘的话，

写若干项再相乘。其实第二个，第三个这两个其实很好掌握，因为它非常的固定，也非常单一，比如说它掌握这样的特征，就采用累累累加法。那么就是比如说我们形容an+1就等于an。加上一个fn，那这个是可以用累加的方法做。好吧，这为什么用累加方法做一会，咱们在讲题目的时候给大家进行强调好吧，如果累乘法它的公式特征。如果写成了an+1=an乘以个fn。

那就an+1=an×fn。啊，这样的一个形式。就采用累乘法就行了，好吧，把它乘在一起累累乘的方法。好，那接着第四个就构造数列构构造数列呢，它又可以细分为两种，一个构造等差一个构造成等比。好吧，就构造成等差构造等比这个构造数列有点像咱们数学的什么思想呢？就换元的思想，还记得咱们在前面讲一些。呃解一些方程的时候，

比如指数啊，或者对数方程的时候，我可以把这指数呢看成一个t是吧？可以把对数看成t用换元的思想做。是吧，把某一部分换元，那这构造数列，其实也就是咱们强调的换元的思想。换元思想什么意思？把某一个整体看成一个BN知道吧，所以它就是一个换元的思想。换元思想，把某一个看成一个BN，把某个看成BN，然后啊，

看成一个。整整体是吧BN等于某某看这个整体以后，那接下来我们就看这个新数列BN，它到底是符合等差数列定义，还符合等比数列定义。就行了，那其中这个构造等比数列，这个是有套路的好吧，哎，有套路的。就构造等差数列是最难的啊，是最难的，接下来我们就逐一来给大家进行讲解，各位同学看看啊，逐一讲解。

第一个那么找列举找规律好吧，列举找规律也是呃，一个最基本的一个内容啊，最基本如果实在不会做，想不到其他方法考试呢，就列举几项。可以讲，然后观察它的它的表达式的特征，然后找到规律找规律，然后再写后面答案。好，那接下来我们来看一下啊，例一找规律的内容好，比如说这个题，大家看一下这个题目好，

那这个题它说数列an满足a1等于负的根号二。啊首项告告诉我们了，给了后面这个an+1等于这个值问a4到底。等于几大家可以看这道题，这道题它给的这个序号不是很长，因为它让求第四项。如果它需要比较短的话，这时候呢，就直接可以把a4求求出来，如果这个要求的很长，比如让求a100考试考试呢，咱们喜欢一般让大家求a100是吧，求的比较长。a100的话，那就是一定要找好规律。

对吧，把a100，然后这个规律找到就可以写答案了，那接下来我们来看一下这道题，这道题我们根据它题目呃，根据a1，我们把a2求出来，根据a2，把a3求出来，然后找找规律。就可以写作a4的值好吧，所以接下来我们看看吧，这个n+1。那我们把这个式给它做一下变形好吧，做一下变形，

看它这个分式那分式，它分母是an+1是吧？分母an+1。分子是an+2是不是？分子的是an+2分，它an+2，你可以把这个二二换成一+1，知道吧？二换成一+1。啊二换成一+1就可以了嘛，二换成一+1。懂了吧，所以这样的结果这样写，然后就可以写成一+1除以个an+1。好看，

这个懂了吧，所以就可以写成一除以个啊，这个一加上这个一加上这个，然后这个裂开以后我们就好分析点啊。所以说我们就可以得到a2的值。是吧，把a2值给它求解出来a2值带到里面去，我们就可以写它的数值关系好吧，然后在这里面大家呢，就可以写它的结果。啊a2纸。a2正好等于一加上啊负的根号a2+1。是不是这样的结果好，这样就我们前面讲过啊，这个根号它分母出现根号一定要会化简在咱们上次考试真题里面也出现一个根号。

是吧，分母的根号儿，分母根号儿，那你把它进行呃，有理化嘛，进进行有理化进行有理化，如果实在不会有理化，你可以选一减去根号二减一分之一。根大家知道，根号二减一分之一，正好等于一个根号二加一。是吧，这个咱们前面讲根号，它得化简，然后这算法正好等于负的根号二。

这样算就等于负的根号二。好，大家知道，如果a1等于负根2a二也等于负根二，那同样道理，你就可以找到，如果a2等于负根二，那么a3。它可能也等于负根号二是吧？这个你不用再往往下推了。是吧，那a3要等于负根号二，那同样a4它也等于负根号二。对吧a4也等于负的根号二，所以这个呢应该选的是d选项，

这样就求解出来了。也就说这道题其实它是一个常数列，知道吧？比较巧妙啊，它是一个常数列，所以这个算出来它是一个常数列。因为每一个元素都等于负的根号二。对不对？每个圆都是一样，都等于负的根号，如果这道题它让求a100a100也等于负的根号，如果要求s100，知道吧？如果这道题要改成。改成a100，

大家要会求好吧好，如果改成a100。改成a100，那也等于负根号二，知道吧？这样一样好，或者改成要求s100。这道题要如果问s100s100，它就是一个常数列常数列的话，那这大家知道就等于100乘以。负的根号二是吧？所以就100乘以个负的根号二。这样就得到这个结果了，好，那这是它的这个结果是吧？

所以这道题这道题其实就是一个常数列。啊，所以大家写的非常好，就等于负的100倍的根号二，所以你到时候看他问什么了是吧？有可能问a100，有可能问s100。啊，大家呢？要知道它的特征。然后接下来。我们再看一个这个题，这道题也是一个以往真题，知道吧啊以往。真题，

所以这道题就得列举找规律啊，在咱们考试里面它给的这个特征列举找规律，列举找规律就可以得到它的数值。好，那这道题大家可以发现它是稍微麻烦一点，而且这里面有个绝对值啊，有绝对值，而且这里面要求这个n是大于等于二的。n大于等于二。好，它给了a1a2，那我们要写a3a4写几项找规律。在考试的时候，大家一定要有耐心，可能有同学写了几项发现没规律就放弃了，

知道吧，这个比较可疑，其实你再坚持再写一点点，再写两项。可能呢，规律又找到了，知道吧，又再往下坚持一点点就OK了，结果有同学呢啊，就是写到一部分就放弃了。其实再多写几个就可以了，知道吧？好，那这道题我们来看看它的这个式子。它给的是a1a2。

a1，a2，a3。a4是吧？然后a5a6反正这个要多写几个吧，就a1a2a3。a4，a5，a6。然后a7a8反正写写到这儿差不多了吧？好，我们来看它给的数值是呃a1的值是唯一的是吧？a的值是唯一a2值是唯二，这个是唯一，这个是唯二。

所以a1的值是1a二值是2a二值是二，那我们看a3的值a3值怎么写知道吧？然后根据这个地理公式，你就套这个地理公式啊。体功能可以得到a3a3就等于a2-a一的绝对值啊a3就等于a2-a一的绝对值。啊，有同学说是一般是几个一周的循环，咱们考试考过三个一周的循环，三个一周的循环要多一点。在咱们。二零年考试里面考的是六个，六个为周期的循环啊六个。听到没？六个是一个周期的循环，反正这个是咱们考试的情况，

一般呢，也不会太复杂，比如三个，四个，五个，六个。你掌握到这就行了好吧，然后一般写写写这么多也不他也不可能给你弄的太多了好吧唉，你看咱们考的最多就考了六个。周期的循环啊好，那接下来我们来看这个题a3a3这道题a3这个怎么写a3就等于前两个之差的绝对值啊？所以a3a3就可以写成a2-a一，这注注意这地方有个绝对值啊，比如a3。就等于a2-a一的绝对值，

所以a3就为一。a4a4又等于a3跟a2之差的绝对值，所以a4的绝a4的数，它也为一。然后a5a5就等于a3和a4之差的绝对值，它就等于零。它这就v0对吧？这样得到结果，它它它就v0。啊a5对吧？然后a6a6又是a5和a4之差的绝对值a6，它又为一。a6它又为一这样就写好了，然后咱们再看a7好a7又等于a5跟a6的直差距位置又是一。a8a8呢，

是a6和a7之间的距离是零，所以做到这，大家可以发现它正好是。幺幺零幺幺零这样的循环对吧？所以后面点儿点儿。好找到这个循环的规律了，所以这道题呢，就是三个一组的循环，知道吧？幺幺零这三个数不停的在循环，不停在循环。啊，这样的特征。然后这道题它让你求a100，可以让你求单个的a知道吧？

可以让你求a100。也可以让求这几个数相加都可以，那接下来我们怎么找100大家接下来找到周期后怎么找？关键点一定要知道，每个周期的开头是什么，所以大家知道万事开头难，开头是很重要，好的开端是成功的一半。所以在这里面，咱们看好头，所以咱咱们一定要看每个周期的第一个数，它的下角标序号到底是多少？好吧，所以在这里面大家可以看一下，你看这道题，

第一个是三六是吧？它三六。这样的一个情况是吧？就三六就a1和a2，它没参与循环，注意它这个周期不一定非要从a1开始，知道吧？不注意不一定要，非要从头开始，你看咱们这道题，它从a3开始循环的，知道吧？a3开开始循环的a3。往下循环的，所以接下来我们就可以。

看到那么它每个周期的第一个。第一个这个就是a3，然后还有a6是吧？下一个周期第一个就a9，所以大家可以发现它，只要它下角标是三的倍数的。那个元素那第一个就作为它的周期是吧？所以我们就看跟a100比较接近的，然后正好是三的倍数，那我们就想到是a九九。对吧AA九九a九九正好是九九是三的倍数嘛。是吧，九九正好是三的倍数。所以九九它写出来，它又是一。

右一，然后100右一一百零一就是零一百零二，它也为一。是吧，102它也为一这样的，这样就可以把a100求解出来，如果这个要求a100，那就可以把a100的求解出来。这个加上求a101加就a 100+a 101+a 102，这样也可以写作，这样等于一+0再加一。是吧，这样等于一+0再加一，这样等于二，这样写好了啊，

这个答案就选择c选项，当然这道题还可以用另外一个思路来分析，因为它是三个唯一周期的循环。三个为周周期循环，那么刚好它让求的三个数的和这这一定要对上啊，它的三个为周期正好求三个数的和这三个数的和这三个数里面。肯定有两个一一个零。知道吧，所以这时候你就不用管a100是等于一还等于反正任意连续三个数，肯定有两一个零，比如说要么是幺幺零，要么是幺零幺。要么是零幺幺，你看这这个数是不是这样的是吧？只要三个挨在一起的，

这三个数里面肯定是有两个一一个零的。这样的话，它三个数的和一定是为二的。对吧，它一定是等于二。好吧，这是这个题，看这个懂了没有？注意这道题，如果如果改的难一点，大家看会不会思考啊啊？大家可以想想，如果要求s100怎么做？求s100。求s100，

那这个难度就大多了，求s100。求s100那这样求s100，大家首先看有几个这样的周期是吧，然后再把单独的给它剔出来就行了是吧，大家可以发现。从a3到a九九。从a3到a九九，这里面有多少个周期？我教给你怎么算是吧？这道题啊，如果听懂的同学算一下s100，如果s100，你要算对了，就说明你真的掌握了。

都思考一下。啊s100。s100那那应该应该怎么弄啊？s100你就从a3到a九九。是不是有32个周期？增长周期，每个周期的和正好是。一+1+0是吧？每个周期的和啊有同学已经算出来了是吧？有的人算的是70，有的人算六六十九。还有同学算是三分之九十八，你看看你们算的这个答案。是不是你看有同学算的是七十六十九，还有三分之九十八，

还有没有其他同学算答案？其他同学算算算答案。从a3到a九九。有多少个数啊？从a3到a九九有有几个数啊？啊，又又不会算了。又不会算了，从a3到a九九，咱们前面给讲了，从a3到a九九总共是。呃，有有多少个数啊？想想啊，从从a3到a九八吧，

从a3到a九八是不是正好九六个数？96个数，它这个算出来正好有32个周期是吧？然后再加。这个这个前面这个算的和是多少和呢？前面这个算的和是从a3到a99它的和。这a3到aaa 98。乘以3a三到a98的和。是吧，接下来我们看还少几个啊，给它再添上a1和a2，我没算对吧，所以a1和a2我没有算。我要加一个a1和a2是吧？然后再加上a九九，

我没算a100也没算。a九九和a百我没有算。对吧，这样的。好这样的，然后看懂了没有？然后然后这一块儿明白没有，所以我就算周期有多少个，然后再算我还没加的，没加上我AA 2没算。是吧，有时候这里面的这个a1a2啊，是没有算的，还有a九九和a100我没有啊，没没有算。

是吧，把这个给它贴上去就行了。好，那这样我们就可以算出它的结果嘛？好吧，然后应该等于等于多少有同学算的是等于68，有同学算等于69，有同学算等于70是吧，然后这这个千万别别算错啊，所以说啊，刚才有同学说听懂了，你看一测试又丢分儿了，那说明还没。听懂呀。对吧，

所以说在这里面应该答案等于六六十九吧。啊，答案哪六十九我看哪哪几个同学算对了是吧？然后呃，有几个同学算的是可以的是吧？你看有同学算七十啊，算六十八呀，还是算三分之九十八的？那几个就不太行好吧，所以大家呢，要知道它的这个方法。好了，那这个题看懂了吧？好了，这个利益法通过这两题应该会了吧？

所以说利益法找完规律后，它可以让求某一个元素，比如求第100项，也可以求。s和啊，求和都要会分析好吧，求和也要会写啊。好，接下来咱们看一下类等差数列类等差数列就采用累加法。知道吧，这采用累加。累加法来求解啊类等差数列就用累加的方法来做就可以了，好在这里面大家看这个懂了没有？好，那接下来我们来看一下类，

等等差数列，为什么把它称为类等差数列，它长得跟等等差数列差不多，知道吧？像双胞胎一样。知道吧啊，像呃双胞胎一样，比如在这等差数列，是不是可以写成an+1就等于an+1个常数d？是吧，就an+1就等于an+1个常数d好，这是一个等差数列。还记得咱们在求呃，在推到等差数列通项的时候怎么推的？就用累加法这个思想推的是不是你把它写成好多项，

一项加就可以了？那想想是不是这这回事好吧，然后它的这个情况我们就可以把它写作很多项，然后再相加，其实这两个。写法它一样，知道吧？这两个写法它一样，只不过一个是把它写成an+1=an+fn是吧？fn写在右边。还有一个就是写把这个an给它移过来，移过来写成an+1-an=fn是吧？可以写成an+1-an。就an+1-an的值，正好等于fn，

然后给它写成这样的一个特征。是吧，然后这样都是可以这称为类等差，不管是第一个还第二个，它推导过程都一样。我就以a100为例好吧，就以a100为例给大家进行演示一下啊，演示完咱们再做后面题啊，比如说就以a100为例。那么，先写a2就等于a1，加上f1知道吧？就写成a2就等于a1，加上f1。然后a3呢，

就可以写成a 2+f二。是吧，就是这样点点点。啊，你把它往下写。知道吧，好，这个往下写，往上写的话，它如果要求a100，那就写到a100。啊，如果要求a几，你就写到a几知道吧，所以a100可以写成a99，

加上f99。然后写完以后呢，你把这些写的这些式做一下相加就行了，知道吧？做一下相加处理。对，给它加在一起，相加处理好，那相加处理后，那么大家可以看左右两边都可以约掉，把一些相同的东西约掉。约掉以后，那左边只剩一个a100了，知道吧？就像左边只剩一个a100，

这样就求出来了a100。好，右边右边这都都能抵消掉嘛，是吧？这个抵消掉，看是不是这个都抵消掉，抵消掉右边只剩下a1了。是吧，然后再加上这样，剩下就是f1。加f2一直加到f九九。是不是这样？各位同学看同听懂没有？f 1+f二。你加到f九九。

好，这样你就可以把这个数答案就求解出来，所以这是它的这个特征。啊，把这个模板和思想记住，记住以后我们就可以做题了。好，大家记住，以后我们来看一下，就这个题目可以看一下啊，这个题。好，那我们来看一下它的这个做题的方法，它说a一等于一，an加a等于an加三分之n，

求a一百的值到底是等于？多少是吧？这道题求100只，那接下来我们就演示一下，按照刚才咱们写的东西演示一下好吧，演示一下，演示一下，这样的话，如果能记住公式更好，如果能记住上面公式的话。你可以写的a100用的a1一直是f 1+f二一加到f九九九好吧，这道题我们就套上面公式吧。好吧，就套刚才咱们这个写的这个公式啊，就a100就等于a1一直加到a 1+f一直加到f九九。

好吧，那这道题的这个三分之n把它看成一个fn啊，相当于fn就等于三分之n，知道吧？就这个三分之n呀。要把它看成一个fn，那fn就等于三分之n。这样的一个情况，懂了吧？这f就等于三三分之n好，那接下来我们呢？就可以写它的式子。这样我们就直接套刚才讲的公公式吧，就a100就等于。a1。

加上f1一直加到f99。是吧，这加上f1又加到f99。好a一这道题不就等于一吗？它告诉我们了，对吧？那f一就等于三分之一f二就等于三分之二。是吧f一三分之一f二三分之二一直加到f99。好得到这个结果是吧？好得到这个九九这样的一个一个情况。然后接下来我们来看一下，那后面这个可以把这个分式分母三都给它提出来嘛？是吧，分母三上面就一+2+3，一加到九九十九嘛，

对吧？这是不是剩下一+2加到99？所以说这个就是咱们前面讲过的一个等差数列求和等差求和这个比较简单好吧，然后最后算完答案给它写成幺六五幺。好吧，这个呃，自己去算一下，一加九九那自己去求和求和，然后再除以三得到这个答案，这样这样答案就选择的是b选项好看，这个题是不是懂了？好，这道题大家做题的方法思路呢，就是我们。在求解的时候就把它套这个公式做就行了好吧，

正确答案就选择的是b。好，那这是它的做题方法思路。套刚刚才公式，所以类等它咱们举一个题就差不多了好吧，然后接下来我们来看一下类等比数列好类等等比数列是什么啊？为什么把它称为类等比数列呢？大家知道它这个就采用这个累乘法。好累累，乘法代表什么？有写若干项，然后相乘啊，有累乘的方法。累累乘的方法就写个若干项，然后再相乘就行了，

好吧，写个若干项做乘法，那为什么把它称为类等比数列，它跟等比数列长得类似，知道吧？大家知道等比数列是不是an+1就等于an？乘以个q是不是这等比数列吧，就an加等于an×q？是不这样的一个特征呀。好，然后接下来我们呢，就看一下它写若干项，然后再再相乘就行了，好吧，写若干项，

比如说。a2就等于a1×f一是吧？就a2就等于写a1×f一，然后a3呢就可以写作a2×f二。是不是这样的，所以a3就等于a2×f二。好，这样就写好了，是不是这样？然后呢？一直到我们还以这个什么以这个a100为例好吧，以a100为例，比如说要求a100。a100就等于a99×f99是不是这样？就是写a100。

就等于a99 CF 99啊，这样的一个数值关系，然后把这把这些数呢都乘在一起，知道吧？就这些数都相乘。把它相乘。相乘以后，那左边的乘的时候，大家可以看到左边乘的时候，这个a2跟a2抵消掉a3跟a3抵抵消掉了，这些都抵消了。左边乘盘后，它只剩下一个什么，只剩下a100是吧？左边相乘完了，

只剩下a100。而左边乘完后只剩下a100，右边右边这个乘乘完后剩下一个a1，然后f1×f二。一直乘到f九九这样的一个情况是吧？所以右边大家看一下，约完以后就剩a1乘以。f1f2再乘到f九九的这个结果好看，大家是不是听听懂了好，这是它的这个特征。然后接下来我们再来看一下例四这个题。好，第四，这个理财上求的是a101是吧？求a101求a101的话，

那我们可以套刚才讲的公式做就行了，好不好？套刚刚讲公式，那么在第四题这个fn fn相当于是e的N次方。是吧，所以这个这个把这个e的N次方把它看成fn fn就等于e的N次方，这样就写好了。是不是这样的，然后先后那接下来我们呢就可以看出它的一个数值情况？啊，那么这个a101。就等于a1×f1f二一直乘到f100，是不是这样的？最后把这个a101再给它写a1×f一。乘以f2一直乘到f100。

接下来，我们把这个数呢带到里面就行了，因为a1的值是一，它这已经写好了，对不对？a是一那f1是什么？f1就是e。f2是什么？f2就是e的平方。一直乘到最后。乘到e的100次方。啊，一直乘到最后，乘到e的100次方，这样就写好了。

好，那知道大家知道同底的这个相乘就等于e的这些相加是吧？就e的一+2加三一加到100。有一+2+3，一加到100。好，这样的情况在这知道一+100等于五零五零是不是？是不是这个大家可以当做一个结论记下来好吧，如果记不住的话，一加到100，你自己求和这样也行，好吧，然后这样呢，应该选择的是d选项。答案就写好了，

好，这是他的做题的方法。好，这道题就代表了等比数列啊类等比数列它的一个处理思路。好，那接下来咱们再看一下这个题好a1，它等于1 SN=n×an。n方乘以an求a100的值。a100字这道题呢，要稍微难一点，知道吧？这道题。要难一些，这道题你看你直接用的话，看不出来它是。

类等比数列是吧？那必须要做一下变形是吧？变换才可以。知道吧，变换那我们怎么去变换呢？大家想想怎么去变变换变换方法什么？那这道题记住啊，咱们前面讲过，在一个等式里面usn UN要把其中一个给它换掉。到底要把谁给换掉呢？因为这条上求的是a。求的是a，求的是a的话，我们呢，就要把这个s给它换掉好吧，

对，所以有同学呃讲的学过咱们的公式就sn-sn- 1，这样等于an。对吧，然后这样的情况对有同学你想起来了啊，非常好啊，就值得表扬，就sn-sn- 1正好等于an，所以以后在一个等式里面又有s又有a。那么，一定要想到这个公式，把其中一个给它换掉。换掉这个等于把s给它换掉好吧，哎s给它换掉，那怎么写呢？

我们看看啊，这里怎么写？这里有SN正好等于n。方乘以an那sn- 1，我们也写出来好吧，所以我们把这个写出来sn- 1 sn- 1，就把这n都换成n- 1就可以了。是不换的n- 1^2×an- 1。n- 1^2×an- 1，然后这两个这两个呢？大家呢？可以相减。可以把它做减法啊，相减做减法，这两个相减，

这两相减，那左边相减以后。它就相减一下。好左边相减后就变成an了是吧？左边因为等号，左边就sn-sn-an，我们看右边相减，右边相减就变成n方乘以an-n- 1^2×an- 1。是吧，所以右边相减n方乘以n-n- 1^2×an- 1。好，这样的一个特征。对吧啊，这样的一个情况，这样情况，

然后呢呃，注意这里面n都大于等于二啊，这里面n都都大于等于二的，因为它下角标出现了n- 1，知道吧？所以这里面n它必须是都得大于等于二，然后接下来我们怎么办？把这两个都含有an的给它合并在一起，知道吧？这里还有an的，做一下合并，这合并我们就可以变成什么变成n方减一×an。等于n- 1^2×an- 1是吧？就变成n方减一×an。乘以个n- 1^2×an。

减一好，那做一下合并处理，合并处理以后，然后两边可以约到n- 1，因为这里面n是大于等于二的嘛n大于等于二，然后左因为左边这个n方减一，左边这n方减一，大家呢？可以用这个平方差公式，对吧？准备n方减一用平方差公式，它可以分出一个n- 1，那n- 1，然后跟右边呢，就可以抵消掉好吧，

所以在这里面又可以约掉一个n- 1。un- 1就变成n+1，左边要剩一个n+1了，然后再乘以个an，是不是再乘以an？然后右边的话就剩n- 1再乘以an- 1。得到n- 1，然后再乘以an- 1，这样就可以了，对吧？右边它剩下这样一个数，然后做到这，我们把它再变一下形式就才能看出它就是一个。类等比数列是吧？你把这个变过来，

变过来的话，或者说变这样一些an÷an- 1。正好等于n- 1。所以n+1是吧，咱们可以把它变成an。除以an- 1，正好等于n- 1。除以n+1，好这个做到，这才能才能看到是一个类等比数列。对吧，然后这样的一个一个情况好，这样情况注意这里面n都大于等于二了啊，咱们这写的这么多啊，这里面n都都都大于等于二了啊。

你要注意这个n都大于等于二的。那等于二，然后套这个这个公式公式，如果忘记等比呃类等比数列推导方法，咱们就写若干项，然后再相乘就行了，好吧，所以做这个题我们可以写若干项相乘，比如说。可以写成这个二就等于二啊二÷1就a2÷1正好等于一个等于二。正好是三分之一。对吧a3÷a二。就a三除以a二这样等于四分之二，注意啊，这个四分之二大家不要写成二分之一啊。

是不是千万不能写二分之一，在咱们抵消的时候一定要保持原汁原味儿啊，不要给它做一下。化简最后化简后面这个约的时候，这个规律就破坏了，破坏以后那么答案就不好写好吧，然后再写一个就a4。BA 3。a四比a三就等于五分之二。好吧，就a4比a3。啊a四比a三就等于五分之三啊五分之三。啊，就消了啊，那他一一直让我们求求到a100是吧？

点儿点儿点儿点儿就可以写到a100啊a100÷a99。正好等于个啊，一百零一分之九十九。是吧，所以就写到a100÷a99。这样的一百零一分之九十九。好把这些数相乘，就这些数相乘的时候再约的时候，它前面会呃，剩下两项，后面也要剩两项，知道吧？这跟咱们之前做的不一样，之前好多情况。前面月方只剩一项，

后面也只剩一项，这个好写知道吧，所以就把这些写这些结果都相乘在一起就行了。知道吧，我给它相乘。啊，相乘以后那就左边这些相乘可以看这么多相乘的话，就是a2跟a2这两这个乘完都抵消了a3跟a3抵消a4跟a4。这个都抵消了是吧？就a2跟a2这个a3a3这个都抵消了，所以相当于我左边剩一个a100÷a一了。左边剩a一百，除以a一好，右边剩下什么东西啊？右边剩的是三分之一乘以三分之二啊，

乘以四分之二。乘以五分之三一直乘到后面。知道吧，乘乘到后面，后面后面的话，这个我就多写几项，一百分之九十八。再乘以个一百零一分之九十九。好，接下来我们来看它，抵消抵消话，大家发现抵消前面的话就剩两个分子，知道吧？剩两个分子，后面应该剩两个分母啊，

所以前面看三抵消了，四抵消了，然后这些都都都抵消了，前面剩两个分子，后面一定剩两个分母。那么它咱们前面讲过，在抵押的时候，它正好是相反的原则位置，相反，如果前面剩分子，后面的剩分母。所以前面剩下两个分子。是一跟二，后面剩两分母100。100和101是吧？

这就得到一×2这100和101。然后再算等于五零五零分之一。啊，五零五零分之一这个呢，就选择a选项是吧？选a选项好这道题就是比较难的一个题啊，这道题考试。稍微难一点，这一点听完以后收获是什么呢？收获就是第一步，首先遇到SN和an在一个表达式的时候，一定要把其中一个给它换掉。好吧，然后给它换掉，换掉以后我们再来分析，

然后换完以后整理完发现它就是一个类。等比数列，然后就写若干项，把这规律写好，然后再相乘，相乘之后在约分的时候一定要看前面剩几个。分子后面就剩几个分母好吧，然后再化简啊，得到答案好，这道题稍微难一点，看各位同学懂了没有？

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