5-03等比数列（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:54:23

然后接下来咱们看等比数列求和问题，求和问题，大家首先要知道SN它的特征是什么样子的啊？SN它的特征SN它的特征是这样的。啊，这个要弄清楚。好当这个q=1的时候，那么SN就等于n倍的a1，它是关于n的一次函数。知道吧，关于n的一个一次函数，它是n倍的a1啊，一次函数，所以一次函数也可以把它看成一个特殊的。等比数列也可以把它看成特殊的，

等差数列啊，就是相当于一个常数列好吧，然后当q不为一的时候。q不为一时候我们看一下，我们重点看第一个这个定义式，刚才咱们在前面也讲了，把a÷1-q把它看成一个常数好吧，所以s我们可以把它写成。a除以减q，把它看成常数，乘以一减qn次方，然后这个我们可以把它看成k也行。反正这个地方你把它看成一个常数，看成一个k也可以好吧，就a除以减q。

啊，看成常数，看成k，看k以后那么就可以把它写成k，减去k×q的N次方，对吧？好，那这样写好了，所以说大家可以发现它的特征就是一个k。一个负k，这样就OK好吧，一个k，一个负k就行了，那接下来咱们来看一下，就做一下概括SN，

如果要写成a+b×q的N次方。啊，这样的一个式子，然后当这个a+b。不为零时。它就不是等比数列的SN。不是等比数列这个s你知道吧，如果长项改变啊，那么这个长项改变咱们前面给大家讲过啊，长项它只影响首项，这时候但是从a2起，它是仍然是等比数列是吧，从a2起。它仍为等比。啊，

就a1呢，就不再保留等比啊，从a2起，它仍然是等比数列好吧，这是它的这个基本的方法好，那接下来咱们看一下当。啊，这个a+b。啊，等于零的时候。啊a+b=0 a+b=0的时候，它是等比数列。a+b=0的时候是等比数列，也就这个a+b=0，这是等比数列啊，

比如给你举个例子，比如SN=3。减去三×2的N次方啊，这是等比数列是吧？你看一个是三。啊，一个是负三对吧？那这个是等比数列？啊，这个是OK的对吧？这个是可以的，这个是没问题，对不对？然后这样就行，但如果SN写成。

五这是三×2的N次方，这个就不可以了。这个就错，为什么这个错呢？因为它这个数就不满足了是吧？那就看它的这个数值啊，是否满足这个？唉a+b是不是等于零？好吧，记住这样的一个判断方法，考试你就可以找到答案了。好，接下来咱们看一下这个题。若等比数列前项和啊，可以作为等比数列前项和的有哪些？

咱们这道题用特征法做就行了好吧，用看它特征。然后第一个不行，第一个它本身不能为常数，本身不能为常数，它通项可以为常数，不要弄错它通项可以为常数。它的求和不能为常数，知道吧？然后这样它的这个值。好，另外呃，我们把这个第二个这是可以的，第二，大家可以看它q正好为一，

它是一个一个。常数列。它这样唯一，然后第三个第第三个这个。这个呢，是不可以的，它要是一个指数函数，它不是指数函数。是吧啊，这个就不是指数函数，这个是不可以的，然后第四个第四个光是指数不行，后面还得有常项，这个也不可以。后面它还得有常数项啊，

这个是不可以的。然后第五个，第五个这个是OK的，第五个你看它它这个二的N次方系数为一，后面正好是负一，这个是行它q正好等于二。然后第六个，第六个这个不行，第六它不满足这个这个系数之和为零，这个不可以，第七个行，第七，第七，因为它可以写成三×2的N次方减三它行。这个是可以的，

所以总共是二五七，它这几个是OK的好吧，二五七这三个是可以正确答案应该选择的是b选项啊，这是它的方法。另外，让大家训练一下，给了这七个，大家会不会快速写上的an快快速写上an大家会不会写，比如说第一个它的an。它a我们就套一下n等于一的时候a一就就等于s一是吧，所以说呃n等于一的时候s一就是三分之一。n大于等于二的时候，大家可以发现它都为零，为什么都为零，就是SN。

减sn- 1嘛啊，还记得咱们讲过的an的公式啊an就等于一个n=1的时候a1就等于s1n大于等于二的时候。啊an就等于SN减，SN减一就套这个公式来写，所以说它呃第一个它的这个an通项，这样的就首项是三分之一，后面全为零，这样的一个数列。然后第二个第二，它就是一个常数项了，这个很简单，是一个常数项啊二，每一项都是二常常常数列。然后第三个话，第三话它的an要分段了，

当n=1的时候a1就等于s1就为一。呃n大于等于二的时候sn-sn- 1，因为这个后面长项不影响这个差值，所以说可以把负一给它去掉，然后两个相减正好得到是一个二。所以n大于等于二的时候，所以第三个数列是什么意思呢？就是首项为一，后面全都为二的，这样的一个数列。然后第四个，第四个它的an是什么情况呢？就a1就等于s1a1呢？就等于s1s1就等于二。然后n大于等于二的时候就sn-sn- 1就二的N次方减二的n- 1次方还等于二的n- 1次方啊，

就是n大于等于二的时候，它是这样的。啊，所以大家可以看这个首项，不再满足这个知道吧？它从第二项起仍然是一个等比数列，懂了吧？所以注意考试时候，他要如果问从a2起是不是等比数列仍然是等比数列这个二的N次方减二的n- 1次方，为什么还等于二的n- 1次方呢？因为大家知道二的N次方可以写成二倍的。二的n- 1次方，所以说它再减一个二的n- 1次方两个。减掉一个，还剩下这个是吧？

然后第五个。第五个就是等比数列的an，它的公比正好为二，它的首项是一是吧？首项呢？为一首项为一，公比为二，那直接用通项吧？首项乘以公比的n- 1次方。这第五个，然后第六个。第一个它是an啊n=1的时候，那么a1的值是3n大于等于二的时候，跟这个第四个这个表达式是一样的好吧，你自己去算啊，

所以它首项也是不满足这第六个。然后第七个。第七个它的an它的an，咱们用通项写了，大家知道它的公比是公比是为二。然后接下来我们呢，就可以看出它的这个数值。公允二，它首项首项呢？正好为三，首项为三。公允二，首项为三。公允二，那在这里面，

它正好是拿首项。乘以公比的n- 1次方这样写好了好吧，这是它的这个做题的思路和方法，看是不是明白了，所以就把这几个给大家写出来。啊，这是如果知道s写它的通项的这些方法，大家要弄清楚。好，接下来咱们看一下啊，这个这个题SN为等比数列呃n的前项和。s 2+s五=200s8则公比q到底等于几好？那么遇到这种。与s相关，大家最好讨论一下，

知道吧？最好讨论一下q啊，否则容易掉到陷阱里面去，比如当q=1的时候。好当q=1的时候，我们看这个行不行？q=1时候s2正好等于二倍的a1s5就可以写成五倍的a1s8可以写成八倍的a1。这样推出a1为0a一为零呢，肯定这个是额不满足等比的要求是吧？咱们讲过等比数列任何元素都不能为零。啊，这样得到AV 0那这就错了是吧？它是不能v0的啊，这个就错了。好，

所以这个q等于一，这是不可以的，然后q等于一是不行，然后q不为一的时候q不为一的时候，大家知道这个s二可以把它写成一减q分之a一乘以一减q的平方。s五可以写成一减q分之a一乘以一减q的五次，方s八可以写成一减q分之二倍的一减q的a乘以一减q的八次方。啊，前面还有一个二倍。是吧，二倍这样的好，那接下来大家可以发现它每一项都有个a一和一减q，可以把它给消掉。a和a减q都把它消掉好，那么消掉以后，

那这地方就剩一个什么呢？就剩一个一减q的平方。再剩一个一减q的五次方，再剩一个二倍的一减q的八次方是不是这样的啊？得到这个值那然后呢？大家把这个括号乘开乘开的话，这个常数二约掉了。然后再约了一个负号，就变成q平方加q的五次方等于二倍q的八次方，然后大家知道公比q不为零，所以两边再同除一个q的平方。从除以q的平方就变成一+q的。三次方等于二倍q的六次方。是吧，所以在这边都除以个q的平方，

然后做到这，我们可以进行换元令q的三次方等于一个t。然后这就变成了二这个q的六次方可以把它看成t的平方，2t方减t- 1正好为零，然后十字相乘，因式分解。啊一×2啊，那这边呢？就是一一，然后加上一个负的是吧？所以说就可以解出这个t的值等于一或者说。负二分之一通过这个十相乘，大家解出t的值好，那t的值要等于一，那得到q为一q为一。

刚才咱讲了。要舍掉。所以刚才有同学呢啊，如果没有去进行分情况讨论，那么这个容易会误选这个c选项，此外的话，大家做重新判断题，那么就会容易。啊，掉到陷阱里面去。好，所以t的值就等于负二分之一t的值等于负二分之一，那说明什么？说明q的三次方等于负二分之一q三次方等于负二分之一。好q三次方等于负二分之一好，

那q我们就可以写出来q正好等于负的三次根号二分之一三根号，那有同学找半天找答案唉，找不到由于做重新判断题唉，找不到答案，他以为他就。不充分，推不出来，其实在这里面大家呢，要学会变形，然后这个三次方的有理化什么，要把这个二凑成二的三次方，现在是一个二，我还要再补两个二。叫补上一个四知道吧，补上一个四补上一个四以后，

这就变成八，这个能懂吗？上下都乘以个三次根号四，这个二乘完后变成八八就变成二的三次方二的三次方开三次根号。就得到是二这样就得到负的二分之三的根号四，这就写好了。好啊，负的二分之三的根号四得到这个结果好，那正确答案应该选择的是d选项啊，这是它的做题的。思路啊，这大家呢，要会进行呃立方啊，分母的有理化，要会求解，

此外这道题大家一定要讨论q。啊，能不能等于一啊？不要掉到陷阱里面去。接下来我们看一下等比数列元素的一些基本性质，基本性质的话，首先就是这个角标，它的一些特征啊，刚才咱们给大家推导过。啊，那么有时候它会结合一些韦达定理来进行考察。为了定义考，它说a3a8是一个方程的两根，则a4a7到底等于几？大家知道a4×a七的值正好等于a3。

乘以a八所以说啊，用这个比达定理两根乘积就等于a分之c。就等于负六这样答案就选择c选项好吧，就得到负六这样就求解出来了好，这是它的做题方法思路啊，用一下韦达定理就OK了。好，接下来咱们再看这个题，这个题的话就相当于是求a 3+a五，而且告诉我a1大于零，求a 3+a五，好，那接下来那么a2这个a4。啊，这个我们可以把它变成a3的平方是吧？

a2×a四写的a3平方a3×a五可以写成a4的平方，但是在这里面不要写的a4平方，因为a3a5咱就不要动了。也就a3a5a2×a八可以写成a5的平方就等于25是吧？它可以写成a5的平方，然后这一块我们就可以把它括号写成a 3+a五括号的平方等于25。等价15，然后在这里面大家注意开根号，它应该a 3+a五应该等于正负五正五，但是题目有个要求就a1正好大于零。所以由a1大于零，我们就可以得到。a要大一点a3肯定也大一点，因为a3就等于a1×q^2是吧，所以它这个也大一点a5呢，

它也大一点，所以说就可以得到a 3+a五。它只能取正五，知道吧？正确答案就选择b选项好，这个不要给写错了好，此外这道题大家要注意它的这个特征啊，那么在等比数列里面大家注意。等比等比数列就是a1a3a5。它是同号的。同样什么意思？如果a1是正的，后面所有这个都是正的，为什么正呢？因为a 3=a一×q^2倍。

知道吧，它都q的平方q平方，它肯定是非负的，肯定都是正数，然后同样道理a2a4a6这些偶数号。它也都是同号好，通过这个题，大家知道它都是同号的，这种特征要弄清楚好吧，要掌握它的这个方法。好，这是这个题，它的一个等比数列它的一个性质，当然这里还有一个小技巧，就是不讲武德的做题方法。

那不讲武德的，做做题方法。比方我这作为方法，因为它题目又没说公比它不能为一，你可以设公比q为一啊，公比q为一，公比q为一的话，然后在这里面大家注意那所有的a它都一样。啊，所有a它都一样，不管是a1，a2，a3，a4，它所有a都一样，

都用a1来表示嘛，反正所有它都是a，都用a1来表示就是a1的平方，加上二倍a1的平方。再加上一个a1的平方=25。对吧，反正这个所有的都是a一嘛，不管a二a三还是a八都是a一，这样的话就可以得到a一的平方就等于四分之二十五。那a一因为a一是正的，只能取二分之五。对吧，因为题目说a是正数啊AA正数只能取二分之五啊，然后这个a三加a五a三加a五就相当于两a一，因为a三也等于a一a五也等于a一。

是吧，这是a 3+a五。它等于五啊，这样也可以是吧？这是不讲武德的做题方法，就是q=1来做更简单一些。好，接下来咱们来看一下，等比数列求和的一些性质。有性质好，那就看它求的特征就是分段啊，分段只要等数量分组，它每段和仍然没等比数列，它公比呢是q的N次方。啊公比是qn次方原来这样的。

好，那接下来咱们看一下这个题，在等比数列n中已知s=36 s 2 n=54则s3，到底是等于几？那这道题咱们就用这个性质做就行了啊。好吧啊，用新的做就SNS 2 n-sns 3 n-s 2n啊，然后呢？啊，第二点，它说仍是等，比如果要改成等差数列，它仍等差啊，所以这个仍然是等，比如果它题目把这个已知条件改成等差，

那这个也等差。那接下来我们呢，就可以看作这个值呢，正好36这个值是54-36，正好等于十八十八，大家可以发现这个18正好36的一半儿。十八三六一半儿，所以这一块儿呢，正好就得到是九啊，得到为九，得到为九，然后把这几个加在一起啊，加在一起就是s3，知道吧，就是三六。

加上18+9就得到是s3，懂了吧？当然你也可以用s3-s二=9s2n=54用这个54+9也能算出来s3。l3就等于五四+9。等于63正确答案就选择a，也可以把所有的加在一起，所有加在一起就是s3n啊，大家注意SN+s 2 n-sn。加上s3-s二，它其实就等于s3。为什么大家可以看到这个SN抵消掉了s2n，也抵消掉了，它就剩s3，记住啊，这所有的加在一起就是s3的值就是三六+18+9，

得到它的值的结果。好，这是它的性质的求解和使用，看是不是懂了？好，接下来咱们看这个题sv等比数列前项和s4，知道s8，知道求公比是多少，只要它下标成倍数关系都可以用。性质来做啊好，所以这道题可以用性质做，性质做就是s4。s8-s四点点，它仍是等比。它的公比应该为q的四方是吧？

公比是q的四方，这个写好了好，那接下来大家可以看一下这个s四正好等于三十s八减四正好一百五减三十。啊，150-30。就得到是120，120，然后接下来我们呢就可以写出来好吧，写出来，然后它的这个结果啊，120÷30啊，就得到四所以q的四次方，那么等于四。根式上等于四，大家注意，

有同学可能就写成q就等于正负，唉，首先这个正负不要忘记啊，开偶式根号正负正负四是根号四。有同学找半天没有答案啊，没找答案，那这样话说明你的形式上要做一下调整和变化，知道吧，把它变换一下，大家知道q的四次方。等于四四呢，不可以写成二的平方吗？所以先开一次根号q的平方=+2，因为平方它是非负的啊，是正的，

所以说这个都取正二，然后这样的话就可以得到q呢，应该等于正负根号二。这难选c，这样就写好了好吧，这是利用性质来进行做这性质，它只适合于下标，正好成倍数关系，可以用性质做，如果下标不是成倍数关系，比如s4这s10或者什么的，这时候怎么办呢？这是用另外一个方法，另外一个方法就是一个。公式刚才咱们前面讲过，

就SM。比上SN就等于一减q的m次方比上一减q的N次方啊，用这个公公式来做就行了好吧？啊，尤其刚咱们讲过s2n比上SN，那么这个刚咱们推导过啊，分子用平方差公式上下约掉，约掉后正好又变成一+q的N次方，用这个做也是可以的。好，那比如说s8比s4正好就等于一+q的四方，就相当于这个n取四就可以了，n取四得到这个结果，然后结果，然后它正好。

就等于150÷30。120÷3得到15得到15，然后q的四方啊，它正好等于四=4，那同样道理q就等于正负根号二，这样就写出来了。好，那这是它的做题的方法，思路正确，答案就选择c好，那通过这些题，大家呢，要全方位的把数列啊，做一下对照和总结，这样话大家公式，

每个都要知道来龙去脉，都要会推导，这样才能全方位的把。数列应用的更加灵活，才能把一些难题把它解决好。

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