5-03等比数列（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:54:12

各位同学大家好，接下来我们来学习等比数列。啊等比数列很多性质定义概念跟等差数列类似，所以大家呢，可以把两者结合在一起，记忆和学习。这样话，大家可以把两者呢啊，对应关系弄清楚，有利于大家做题，首先咱们看等比数列里面那些基本的概念和定义。好，它定义就在一个数列中，如果它的比值是等于个常数，就称为它是一个等比数列，

所以大家可以发现它的本质和特征。就是它的比值为一个常数。好，这个常数我们把它称为公比。啊，它的定义就是比值是一个基本的常数好，那这个比值为常数的话，我们可以看成是什么？它们之间是成一个倍数关系。啊，他们之间是成一个倍数关系，这是它的特征，比如说。这个二然后呢？就是负六正的18负的54点儿点儿，

它都是负三倍。大家可以看到它后面这个数都是前面这个数的负三倍啊，这是它的一个特征，当然还可以是正的啊正的。比如说二。正六。18，54后面点点，它是正的一个三倍。关系当然还有可能是三分之一的一个关系是吧，所以在这里面。好，那么接下来我们通过这个就可以看出公比q它的一个特征。啊，上面这个公比q相当于是负三。

当这个公比q，大家可以发现，如果小于零的时候啊，那它这个数列元素应该正负交错的每一项，它正好正负。交错啊，如果第一项是正的，第二项是负的，第三项正的，第四项就负的。如果反过来，如果第一项是负的，第二项就正的，第三项就负的，第四项正的，

所以q小于零，它肯定是正负交错的，这样一个排布的方法。当q大于0q大于零，它这个所有元素是同号的。会员同号好，如果第一个要是正的，那么后面它都是正的，如果第一个要是负的，比如说第一个值啊，如果要是负值。啊，就负二负六负18负的54，它的公比也是三也是三倍的关系。只要它的公比是正数啊，

那么在这里面它所有元素都同号，要么都同正，要么都同负。好吧，这是它的啊，一个基本的特征和概念要弄清楚。所以大家记住，等比数列它比值就是一个常数啊，这是等比数列等差数列是差值为一个常数啊。啊，接下来看一下第二个它通项，它通项通项法an就等于a1×q的n- 1次方。啊，那么这个通项第一个是用首项a来表示，第二个AK乘以q的n减k次方等于q分之a乘以q的N次方啊。

好，那这是它整个这个通项，它的形式咱们呃在学数列这一块儿，一定要把每个公式学会推导和证明一下。因为推导的过程其实就是做题的一个思想的展现好，大家可以看到那么第一个a×q的n- 1次方，这个怎么来的？它就用到一个非常重要的一个思想，就是累乘的方法。好，那这个怎么得到大家知道我们刚才讲的等比数列定义an？加一÷n等于个q。好，那接下来我们就按照这个是写出若干项，比如说a2÷a一等于个q。

a3÷a二它等于个q啊，一点点就是an+1除以个an。好在这里面我们就写到an÷an- 1还等于q啊，写到这一块儿好，那么就把这个写这么多写这么多，然后把它相乘。像这叫做累成的思想。咱们等差数列在推导的时候是用累加，那么咱们等比数列它的推导用累乘的这种式样把若干式相乘。相乘目的就是分子分母，它能够抵消掉好吧，然后相乘法就可以推出推出什么左边在相乘的时候，大家可以发现这个a2跟a2，它能抵消掉。分子分母都能抵消掉，

然后乘完后那左边剩的是an。这个分母就剩是a1好吧，左边这个分母是a1分子就an，然后右边相乘，右边相当于q×q×q，那么q给它乘在一起就等于q的。n- 1次方，因为注意它有n- 1和q相乘啊，因为这个数怎么去判断呢？就a1a二一到an- 1。啊，这样去判断，所以说在这里面大家呢？就可以看出来它正好呢，就这样的一个值好，

那接下来我们呢，就可以把这个乘过来an就等于a1×q的n- 1啊。好，这个写好了好，这是第一个它的通项，它的使用方法，那第一个通项它必须要知道首项才能求其他项，比如说知道a1如何来求a5？啊a五就可以写成a一乘以q的啊四次方，这个四就相当于是五减一次方好，这是a五它用这个第一个通项来进行。分析和思考好，那接下来咱们来看一下第二个，第二个通项呢，用的更广泛一点，

因为第二个我们呢，就可以知道任何一项求其他项，比如知道AK。求an还可以写成AK×q的n-k次方啊，这样的啊啊，可以写成AK×q的n-k。啊，这样的一个方法，比如说啊，我们要知道a3来求这个a5啊a5就可以选择a3×q^2。这个二次方就相当于是五减三好吧，它就相当于是q的平方倍啊，这样的所以大家还可以看到当这些k等于一的时候。啊，那么就是啊，

变成前面了，所以前面这个通项公式也是这个通项公式的一个特殊情况啊，当k=1的时候啊，那么它就可以写成a1×q的n- 1次方。啊，这样得到这个值啊，得到它的结果。好，那最后这个是怎么来的？最后这个是把第一个做一下变形，大家知道这个q的n- 1次方，我可以把它写成q的N次方再除以q啊，所以主要为了把它写成一个指数形式。所以说这个啊q的n- 1次方，我们可以把它写成q的N次方除以q，

这就相当于是q的n- 1次方啊，把这个qn- 1次方做一下便携。然后接下来我们把这个系数做一下整理。来整理好就得到a÷q，然后乘以qn次方得到这个结果啊a1÷q×qn次方啊得到这个值，这样就写好了。然后大家把这个看成一个常数，一个常数乘一个指数就OK了啊，一个常数乘一个指数好吧，这是它的这个方法。整这个指数好，注意它的特征，后面就不能再加常数，比如说an=2×3的N次方就是一个等比数列。知道吧，

等比数列，而且大家快速看它的公比q，其实它的q值就等于三啊a的值是什么呢？其实这个二就相当于是a÷q，但不要通过a÷q=2来算这个a1，这样a1就麻烦。好a的值直接令n=1带到里面去，算n=1的时候直接就是a1的值得到就是六。啊a1得到就六，这样就写好了好这a的它的数值计算方法好，所以大家注意，如果后面要加上一个一或者加上一个常数，这就不是等比数列的通项啊，大家一定要会辨认它等比数列的一个通项的特征。啊，

另外，如果要这样写，比如说二×1个五的负N次方是不是一个等比数列，它也是因为这个五的负N次方可以把它写成。啊，这个五的五分之一。括号的N次方相当于它这个q呢，就等于五分之一，它也是一个等比数列，懂了吧，甚至如果要写成an等于二乘以三的二N次方。这也是一个等比数列，因为我们可以把它写成二×3^2括号的N次方就等于二×9的。N次方知道吧九的这个N次方好，它的q相当于正好是等于九好，

这样就写好了好吧，这是它的。等比数学特征啊，关键是要找这个指数，指数底数就是公比q啊，要弄清楚，要会分析。好，那接下来咱们看前项和。前项和要分为两种情况，第一种情况就q=1的时候啊q=1的时候，它就是相当于是一个常数列。就每项元素都一样，就是一个常数列。没像原数一样常数列，

所以说它这个就可以写成n倍的a1啊，就可以把它这样去写，然后接下来我们看q不等于一的时候。啊q不等于一的时候，那么这时候呢啊，那么就写成这种分式好，这个东西怎么推导出来的？大家一定要会推导一遍。好吧，推导一遍，好推导一遍，它要用到一个非常重要的思想，就错位相减的思想。啊，所以大家用这个思想这个思想呢，

非常重要，好怎么推导出来的，咱们来看一下，大家知道等比数列SN。s呢，定义是不是等于前n个元素相加？是吧，减个圆相加，然后把这个等式两边同乘一个公比q，两边同乘一个q，同乘q后又变成q×SN。把它每一个都乘以个q，大家知道a1×q就变成a2了。然后a2×q就变成a3了。然后an- 1×q就变成an了。

an×q可以写成an+1，也可以写成an q都行。有这块，你可以写成an+1也行，写成an写都可以，然后这样两式就可以做相减。相减这样乘以公比q的好处，就把每一项都往后错一位，错一位，错一位，大家可以发现，在减的时候，中间这一块儿，它正好就减掉了。对吧，

相减正好又抵消掉了，抵消掉那么这一相减左边就剩一个SN减去qsn，所以就相当于一减q乘以SN。啊，这是左边右边a2跟a2减掉a3跟a3减掉an跟an减掉呃，右边就剩一个a1-an q。然后把这一减q给它除过来，唉，就得到中间这个式子啊，先得到是中间这个式子就等于一减q分之a一减nq。啊，那么这是中间这个式子，然后第三个式子，最后这个式子也很简单，最后这个式子相当于是把这个an×q写成an+1，

这个大家也都会了。我们再说前面这个式子，因为前面这个式子用的比较多，大家记不住，同学只要记第一个就行了啊，然后呢，不用记太多公式，记第一个第一个，基本上咱们就够用了啊，后面两个用的非常少。然后第一个公式怎么来的，就把这个an做一下替换，大家知道这个an正好就等于一个a1×q的n- 1次方啊，我们把它替换一下，把这个n给它替换过来。

替换过来以后，大家可以发现这个变成一减q，这是a一减去an可以写成a一乘以q的。n减一次方q的n减一次方，后面再乘以个q，其实变成qn次方，然后分子可以把a一提出来就一减q的N次方，除以一减q。好，这样的一个式子是吧？好，这个把第一个式给大家记好就可以了，另外第一个式子，这个a1÷1-q也可以把它看成一个常数。知道吧，

所以你可以把它看成一个常数啊，如果把这一块儿看成一个常数的话，就一个常数乘以括号一减qn次方，只要写成这种形式，它都是等比数列的SN。啊，这是它的SN的一个推导的思想，大家要会分析和思考。接下来我们看一下重要性质，重要性质像有的跟等差数列类似，第一个就说下角标的性质，下角标性质咱们等差数列是。加啊相加，然后等比数列这个a就作为相乘就可以了，好，

那接下来我们就可以看出就是am。然后呢，就是相当于是。乘以啊，等比数列啊，就是乘等差数列有加，那接下来我们给大家举个数来进行分析好吧，比如说a3。乘以a 9=a五×a七，因为大家知道三+9=12，五+7也等于12啊，这样的。好吧，然后呢？接下来我们看怎么去理解，

其实很好理解这个性质，大家知道a5比a3a5是a3的q的平方倍。但是呢a9又是a7的q平方倍，所以两边呢，它就平衡了好吧啊，就是一样了。然后接下来你不能写成等于a12，等于a12，那就错了，虽然五+7=12，但是不能这样写，因为它a的个数。不一样，知道吧，所以a的个数一定要一样，

但它可以写成等于什么等于a6的平方，这个没问题，写成两a6相乘，这个都是可以的。好，这个等比数列第一个性质跟等差数列类似啊，要掌握这样的性质，然后第二个就SN为等比数列前项和这SNS 2 n-sn sn-sn仍为等比数列。它公比呢，是qn次方啊，仍是等比数列公比qn次方，这个跟咱们等差数列也类似，这个就相当于什么相当于分段求和或者分组求和。分组求和以后，它们的和仍然是成等比的好，

那这个怎么去进行理解呢？我们呢？可以这样去进行分析啊，可以这样去进行分析，第一种方法呢，我们可以用一些特值找规律。比如说我们看n=3的时候，把这个a1a2a3a4a5a6。a7a8a9就像咱们上体育课一样，所有人大家都站好都这样，然后老师说呢啊，每三个同学一组，每三个同学一组啊，那接下来我们就开始。等数量啊，

给它分段。那然后每一段的和啊，第一段的和我们可以看第一段和第一段，然后这三个相加它的和它的和正好就是s3。啊，因为a1+a二+a三+9s3第二个a4+a五+a六，那它的和啊就是s6-s三。它求和是不是就s6-3？然后这三个相加，这三个加在一起就等于s9-s六。是吧，这三个加在一起s9减啊s6，然后接下来好，那么它求和以后那么这个数字仍然是成等比数列的，那怎么求这个公比是不是qn次方呢？

我们可以让第二项比第一项。啊来进行写写啊，就相当于是a 4+a五+a六。除以个a 1+a二加一三。接下来我们就可以看到，然后呢啊a4可以写成a1×q的三次方a5可以写成a2×q三次方a6可以写成a3×q的三次方，所以在这里面大家可以提出一个q三次方提出q三次方就a 1+a二+a三。然后乘以q。三三次方这a 1+a二+a三，然后这个结果是吧？就a 1+a二+a 3q三次方除以一个a 1+a二+a三，然后这个大家可以发现这a 1+a二+a三正好就。抵消掉了，这个能懂吗？把a4拆成a1×q三次方a5拆成a2×q三次方a6拆成a3×q三次方约完后就得到q。

三次方好，这是它的。一个证明的方法，另外一个证明方法是什么？另外证明方法，大家这样想，刚才咱们讲了SN是不是要等于一个一减q分之a一乘以括号一减q的N次方？是吧，所以通过这个我们就可以演变出一个公式，什么公式呢？就sm除以sn应该等于一减q的m次方除以减q的n次方。为什么？因为大家知道这两个相除的时候，那么都有a1除以减q，它上下就约掉了，

抵消掉了。所以说只剩下一减qm次方除以一减qn次方得到这样一个结果，它又它又抵消掉了，抵消掉以后，那接下来我们呢就可以。啊，可以看出啊，那么它只跟啊这个q有关啊，尤其特殊情况，特殊情况就是当这个m=2 n的时候啊，特殊情况。那现在就是s二n比上SN它的这个情况q等于一减q的二N次方比上一减q的N次方。啊，这样的式子，所以把m换成二n，

然后在这里面一减q二N次方，大家可以用平方差公式可以写成一减qn次方乘以一加qn次方用这个。平方差公式来进行分析。好平方差公式一减qn次方，这一加qn次方好，这样去写好，这样写以后，那接下来我们可以看这个一减qn次方。这剩下正好能够抵消掉是吧？那这个刚好能够抵消掉，刚好能够抵消掉，以后那么接下来我们可以看到他剩的这个结果正好呢？就是一+q的N次方马上抵消掉，然后接下来我们呢呃，知道这个平方差公式抵消以后呢，

我们再看刚才这个。第二个性质证明，用第二个比第一个看等于多少？好吧，因为我证明是不是等比数列呢？我要证明第二个数。比上第一个数就后面的，后面的比上前面的，到底是等于多少？那在这里面大家可以看到啊，它就可以把它写成s2n比上SN，再减掉一个一。因为SN跟SN相除正好就是一个一啊，再减了一个一这样就可以了，是不是这样就行了，

接下来然后接下来我们可以看到s2n比上SN，刚才咱们讲了就等于一+q的N次方。然后再减一，正好等于q的N次方是吧？那也就证明了它的比值正好就是q的N次方，这个写好了。好吧，这是第二个性质，给大家进行推导了一遍，然后要知道一个重要的这个公式啊，要把这公式要弄清楚。好，这个公式我们给大家进行画出来。好，接下来咱们再看第三个性质。

啊，第三个呢？就q的绝对值小于一的时候，有一个所有项和啊，注意这个所有项和公式，那么只有。等差数列啊，没有啊，等比数列它才有等差数列是没有数项和的，等比数列有并不是所有等比数列有它必须有要求，当然q就是小于一的时候它才有。那这个其实就是一个极限。啊，这个是一个极限n趋向无穷的时候，它的一个极限啊，

因为大家知道我们当这个q绝对值小于一的时候。n如果趋于无穷，那qn次方它就变成零了是吧？qn次方那它变成零，因为在这里面大家知道啊，那么比如说我给你举个例子吧，比如说三分之二。或者三分之一，它的一百次方是不是有接近零是吧啊？一百次方就有接近零，所以它在这里面啊，三分之一的一百次方正好就为零。微电化，然后在这里面，它呢，

就可以把它近似呢忽略掉，知道吧，近似忽略掉，然后在这里面大家呢，就可以看出来，就相当于把这个q的N次方变成零。变年这个分子就剩一个a一了啊，分母就一减q，所以它的收项和公式就拿首项a一，然后除以个一减公比就可以了啊，首项除以减公比。这是数项和的啊，一个公式的，一个推导啊，如果存在数项和的条件啊，

要注意，这是它的一个前提，一个条件。比如说告诉我们一个等比数列，它存在缩向和或缩向的值，比如说为六，那就意味着公比q的值小于一，这是一个隐含信息，所以有同学在做后面题的时候发现唉。题目没说q就是消一啊，那为什么可以这样呢？因为我们呢，可以用这个隐含信息来进行分析，知道吧，隐含了q就是消一看各位同学是不是听懂了？

下面咱们看考试解读。啊，那么围绕这一块，主要掌握登霉素的通项。还有前项的特征，这要弄清楚它通项，还有前项和求和的一些基本特征，比如通项a的特征是什么？SN的特征是什么样子？另外，就掌握等比数列性质会结合它性质来进行做题化简。注意等比数列关键点命题参数是六个参数比等差数列多一个参数啊，它是六个参数啊，六个参数分别是a1 an。qns n它多一个s。

啊，多一个这个s等差数列没有所有项和s，所以它多一个所有项和好它的命题关系是什么？知三求三。啊，知道三个，然后可以求三个，其核心参数就是公比q啊，核心参数最关键最关键的就是公比q，这是排在第一位的。然后其次是首项a1知道吧，然后a1和q也把它称为一个万能参数等比数列万能参数，只要把a1和q求出来了。其他问题都可以迎刃而解，好吧，

这是它的特征，另外等差等比它的很多东西是相似的，可以结合在一起来记忆啊。好，下面咱们看一下题目。首先咱们看第一个就是数列的判断及定义。所以判断咱们先从最基本的三个数来研究三个数，如果ABC要成等比则b把它称为等比中项。啊b把它称为等比中项，有得到AC就等于b的平方。啊a×c正好等于b的平方啊，这是它等比中项。然后在这里面大家注意这个b呢，可以把它写成正负根号AC。另外，

还要注意这个AC 1定是同号的。AC 1定同号AC，要么两都为正的，要么两都为负的啊a和c不能一正一负，因为a和c1正一负的话，那b的平方就是负的，那这个b它就没有意义了。好吧，所以要求a cb同号啊，同号都是正的和都负的。好，那接下来咱们看一下这个题，如果二二s减一二s+3成等比数列，如果三数成等比数列则s等于几？那这道题大家注意，

三个数表成等比数列就第一个乘以，第三个等于中间的平方，这道题我们再结合换元就可以了，就二乘以个2 x+3。正好等于2 x- 1它的平方。啊，这样的我们可以利用t=1个二的x这个t呢，肯定是大于零的。因为咱们学过指数啊，它的取值这个是大于零的啊，所以大家注意它的这个方法，咱们换元换元目的，把它转换成一个普通的二次方程。就二倍的t+3=t- 1^2 t- 1平方，大家可以把它给展开展开，

然后然后再把它给它移项合并，移项合并后就变成t方减4t。减四例，然后这二×3得到六六移过来就相当于是减去五得到四例。好吧，所以一减六啊，一减六一减六得到十五得到五，然后这t的值就可以解出来这个十字相乘，或者说比较简单，可以口算。t的值一个是负一啊，或者说正五啊，这个写好了，那其中t=- 1这个要舍掉的。啊t=- 1这个要舍掉啊，

因为t=- 1的时候这个不满足这个指数的要求啊，所以就t=5 t=5就相当于是二的x次方等于五，我们学过，只不过对数的转化二的x次方等于5x又等于。log以二为底，五的对数，这样写好啊log以二为底，五的对数，这样呢，应该选择a选项好，这样就写好。啊，这是它的方法思路，看是不懂了它的考要点要弄明白。啊，

接下来咱们看第二个等比数列，它的通项等比数列通项一定要记住，等比数列通项的特征好吧，然后咱们呢，就按照最后这个看那个函数，所以说它一定是等于一个常数乘一个指数，所以an它的特征一定等于一个常数。乘一个指数这种形式，而且。后面不能加常数项啊。好，那这是它的这个方法，而且它的公比QQ呢，就等于底数。公比q它就是底数，

看这底数是多少？啊，那么尤其特殊情况，刚q=1的时候。特殊情况，当q=1的时候an它就等于一个常数。那就等于个常数，另外还要注意等比数列中任何元素都不能为零公比差，也不能为零都不能取零零呢，因为做比值它没有意义啊。而且这个考试呢，非常重要，很多同学呢，觉得这这句话啊，然后呢，

没有当回事儿，考试好几年真题都出现这个了。啊，像咱们。这个二三年呀，然后还有二二年之前啊，然后这些都考过好吧，零很多同学在做一些重新判断题的时候，然后呢，就没有考到零结果呢，判断就出错了。啊，下面咱们看一下这个题，下列可以作为等比数列通项的有几个通项的好，等比数列通项，

我们要知道刚才在讲通项的特征。啊，那么判断是不是等比数列啊？那等比数列的判别。这个时候判别啊，你也可以按照定义去去判断，按照定义定义的话，你就看它比值是不是等于一个常数？啊，有时候呢，可以按照定义来判断，另外还可以看特征。啊，特征特征，看它这个n是不等于一个常数乘一个指数。

知道吧，看是不是一个常承接承诺，所以说它有两种判断方法，一个是定义，一个是按照它长的样子，看它的外观。对吧，来进行判断，那接下来我们像如果给我们表达式啊，给我们表达式的话，我们优先用特征来判断，我们看这道题，它给了一些表达式。记住，如果给表达式优先用特征看它外观就行了，

你看第一个an=n的三次方，这肯定不行，它是一个幂函数，它不是指数函数这个错的。第二个a=3的一次方，这是一个指数啊，如果是都没出来，大家把公比q给它写出来，公比q将来等于三。啊q=3，然后第三个也是因为它是一个常数，相当于q=1，第四个也是相当于q，正好等于二。啊，

因为它这有个二的N次方，这有个指数是吧？然后第五个也行啊，第五个虽然是三的负N次方，但是可以把写成三分之一的N次方，所以它q。正好就等于三分之一。所以第五个q它正好等于三分之一，第六个也是第六个，它q正好等于负一啊q，它等于负一公比。负一第七个不行，第七个它错在哪？错在后面有个负一有个常数，这是不可以那不可以的，

所以说就是二三四五六。啊二三四五六，然后这几个是好吧，总共有五个是可以的，这个呢，就选择d选项好，这是它的做题方法思路。啊，大家根据它特征来判断，要简单一点，什么时候用定义呢？如果它的式子不知道啊，表达式不知道的话，你就可以用定义来进行判断。比如说你像这个题，

这个题它表达式是不知道的，我们就可以按照定义来判断，另外这道题大家可以当做一个结论，把它记下来好吧，它a是等比数列，现在四个命题中正确的是什么啊？那我们来一个个看啊a是等比数列。等比我们假设公比为这个q好吧，公比为q那第一个我们看看第一个我们怎么证明它是不是等比数列，因为这道题表达式不知道咱们就不用特征判断，用定义判断就后一项它的后一项。比上前项是不是一个常数，又后一项？比上前一项，它是不等于一个常数。

好，是不是正好一个常数，所以它这个是OK的，对吧？它正好等于一个常数，这是可以的第一个行，然后第二个咱们判断一下，第二个a2n就把n换成n+1，知道吧？n换成n+1。n换n+1这个呢？还是n好吧啊，这样in然后这个正好就等于q的平方啊，它也是。好，

第二个，大家记住一个公式啊，就am比上an=q的m减次方好吧，好这个二倍的括号n+1。把它看成m这个2n，把它看成n，就得到这个值好吧，得到这这是第二个，然后第三个。第三个an分之一，它也是等位数列an分之一，它也是等位数列，那我们来看一下它的第n加一项就是an加一分之一。然后第n项就an分之一。第n项就an分之一好，

那它这个把这个倒过来给它变成倒过来就等于一个an除以一个n加一。这样等于q分之一，所以它也是等比数列。好，咱们再看第四个，第四个后一项比前一项，后一项就an+1绝对值，比上an的绝对值。我们可以把它绝对值呢，放到这个一起啊，有时候可以写成写成这个an+1比上an的绝对值，这正好就是q的绝对值啊。啊，这样写好好吧，所以第四个它也是OK的啊，

也可以总共呢，这四个都是正确好吧，也就说an是等比可以推出一二三四都正确。啊，都是等比，但反过来不行，反过来只有第三个是可以知道吧，也就说an是是。等比数列，我们可以推出。这一二三四都都OK的，对不对？说的这四个都是OK，而要知道这四个的含义啊，第一个就相当于把每个元素平方。

如果原始等比数列把每个元素平方以后组成一个新的数列，仍然是等比数列，它公比是q平方，然后第二个就相当于它偶数序号的元素，就第二项，你比如n=1的时候，第二项n=2的时候是第四项。所以第二个它就相当于a2a4a6这样的，所以说它对偶数序号的元素仍然是成等比数列，它公比是q平方，同样道理a1a3a5。它也是成等比数列啊，然后呢？它公比是q的平方好吧，然后第三个第三个就是它倒数也是等比数列。

啊，到时候到时候呢，就公比q。也取倒数好吧，把每个都颠倒过来，比如a一分之一a二分之一a三分之一，它也是等比数列第四个就相当于它加局域值知道吧，第四个相当于是a一的局域值a二的局域值a三的局域值点儿点儿。它仍然也是等比数列懂了吧啊，加上绝对值好，那么在这四个里面只有第三个，它可以回推，什么意思呢？就第三个，如果它倒数是等比数列，

可以证明原来an它也是等比数列。只要把其他不能回退其他，比如平方以后是等比数列平方之前原来不一定是等比数列啊a2n就是偶数序号，它成等比那基数序号你不确定，所以说也证明不了原来是等比数列。你加绝对值，以后是等比数列加绝对值之前也得不到是等比数列好吧，所以只有第三个，它是可以回推的啊，大家要注意好，这是它的一个。这道过程把这道题呢给大家记下来好吧，所以大家以后在求和辨别的时候一看看就可以看出它是等比数列。好，下面咱们来看这个题，

等比数列an中若a4×a七等于负的512a三+a八=124，且公比q属于z。则a10到底是多少求a10的值，那这里大家注意在等比数列里面看到这个元素相乘，一定要结合性质来去化简好吧，用性质来做这个要简单。大家知道a4×a七这样等于a3×a八是不是这样的，所以a4×a七的值这样等于a3×a八。啊，这样的，然后这样等于负的512，然后a3加一八正好等于124，然后这两个方程大家一定要会解，知道吧？两个未知数，

两个方程怎么去解？那这道题可以巧妙的结合韦达定理逆向，用韦达定理知道吧，把它看成方程两根，你看正好是两根之和两根乘积，所以把它看成方程的两根。那两个叫s平方减去124 x- 5幺二=0，它的两根。知道吧，为什么可以把它看成两根呢？可以看两根之和，正好等于负的a分之b是吧？两个乘积正好等于a分之c，唉，把它看成方程两根。

这样就OK了。然后接下来我们来看一下它的这个数值啊，它的这个方法，那这个两根我们可以用十字相乘，因式分解一一。然后这个四和啊，这个是幺二八，然后加一个负号啊，加一个负号，所以它两根我们就可以算出来两根。两根是一个负四一个正的幺二八，关键是这两根谁是负四谁是幺二八是吧？因为假如a3=-4。a8等于幺二八啊，这个是可以的，

因为他说了q要属于整数是吧？这个有个条件公比q呢，是属于整数公比q，属于整数代表什么意思呢？q要属于整数说明。a8的绝对值要大于a3的绝对值是吧啊？所以只要q为整数，不管是正数还是负整数啊，就越往后它的绝对值越大。知道吧，所以在这里面大家呢，要知道它的这个基本方法，所以得到这个值，你想想，如果还没听懂的同学，

想想如果啊a8=-4a3。啊a3等于幺二八也就a3等于幺二八a八=-4，这个公比它肯定是一个分数。啊公比差肯定是一个分数，肯定是不可以的，知道吧，所以说上面这个是可以的啊，注意这个q它要为整数z。为整数，这个z就代表整数，这样接下来我们呢，就可以下面这个就舍掉下面呢q不是整数，然后接下来再根据咱们刚才讲的公式a8÷a三就等于q的五次方。就一二八除以负四就等于负的三十二等于q的五次方啊q呢开根号得到是负二。啊q的值等于负二求出来了，

他想求a10的值a10，我们就用a8来进行写，因为a8跟a10要近一点，所以大家记住咱们在数列用的时候，不管等差等比数列。一定要用远亲，不如近邻，所以说这个a10就可以写成a8×q^2 a8呢，刚才我们算出来是幺二八。乘以一个负二的平方，这样就等于正的512啊，正的512答案就求求解出来，正确答案选c选项。所以这道题大家一定要巧妙的，以后遇到两个数相乘和两个数相加，

大家把它构造成方程的两根方，两根知道了，然后再求解。另外，大家知道q要属于整数啊q，记住q要属于整数，整数的话就an它的绝对值是单增的。啊单增的要注意这样一个细节好吧，如果q属于整数a呢，绝对值是单增的，不管是正整数还是负整数啊，它的绝对值往后越越大，那这个要弄清楚。好，那接下来咱们来看一下啊，

看一下它的这个这个题在等比数列中a3+a九=130a3-9=-120。二六则公比值到底等于多少？那在这里面，我们呢，就可以通过这两个方程啊，然后把a3和a9解出来，这两个方程很好解是吧？你看正好是两个一个。一个加一个和一个差。啊，一个和一个差，让这两是相加除以二两相加除以二就可以推出a3的值啊AA 3的值a3的值正好等于二。然后a9值正等于幺二八是吧？所以这样得到啊，两个相加啊，

两两个相加就可以推出来a3的值，还有a9值就可以求解出来，那然后这个。公比可以算出来，大家知道a9比a3。正好就等于128比上二就等于64，64正好正好正好等于多少呢？好在这里面我们呢就可以写写出来。好吧，写个这个正好是q的六次方。就六次方注意它要开偶数根号，要注意它这个有正负啊q就等于正负二好吧，正负二大家呢就别别写错了啊，不要忘记正负。好吧，

这点呢要记住。啊，它的正负情况开偶次根号要正负，那么如果开奇数次方就不用考虑正负了啊，好，那么这个开根号大家会分析和思考。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册