5-02等差数列（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:53:59

啊，接下来咱们看一下就非常规方法求和，因为咱们常规方法有时候求和呢，它会比较麻烦，所以咱们想到非常规方法，比如数列的项。的序号本应该取正整数，但有时候可以虚拟一个小数点五啊，虚拟一个小数，这个求解呢会更简单。啊，会更容易，所以将这个公式SN等于二分之a加n乘以n，然后转化成SN等于n。倍的a二分之n加一啊，

这个怎么去转化的呢？是这样的啊，大家知道a一加an我可以把它写成二倍的a二分之n加一。就得到这样一个结果啊，得到这样一个值，懂了吧啊，比如说这个a 1+a 11可以写成两个a6，这个当时是整数没没问题。整数是可以好再来a3。加一八我也可以写成啊，写成什么写成？两个a五点五知道吧，因为大家知道三+8等于十一二倍的五点五，它也是11。是吧，

也11所以在这里面好，那就可以写成这样的一个值，懂了没有？所以三+8就等于二×5点五。啊，这样的，所以说这a 3+a八就可以写成a五点五啊，或者说或者说这个a+a十。a+a时也可以写成二倍的五点五啊，就这个意思好吧，所以在这里面就给大家举例子了啊。举个例子，这样话就简单，这个好处什么好处呢啊？那么第一个好处就是可以把s直接转换成a。

啊，就一个s换成一个a，要不然的话，他原来求个公式，里面一个s里面应该有两a，这样就比较麻烦。是吧，所以说就换成a第二个呢，是是什么呢？第二是就是把多个a可以换成一个a。都会，尤其在做选择题的时候，咱们都选择题不需要参考解题过程评分儿，所以利用这样的方式呢啊，处理企业更更准更快一点啊。

啊，所以说做题速度会更好。啊，比如说咱们看这个题等差数列a呢，前项和为s且14=70而16=144这个数列a，它的公差到底多少？那这道题那么我想给大家多讲几个方法好吧，大家一个看方法，一有通法。通法就就是直接用就相当于用a和d去表示。a和d去表示，比如s十四好，这个怎么写？我把公式再写一遍啊，因为有同学公式又忘记了n倍ae加上二分之n乘n减一倍的d。

是吧，所以s十四就可以写成十四倍的a一加二分之十四，乘以十三倍的d。这样等于七十，这是第一个方程，第二个方程s十六就等于十六倍的a一，加上二分之十六乘以十五倍的d，然后。然后等于个144，然后两个方程，两个未知数，我们就可以解出它的数值好吧，然后d的值就得到是等于四好吧，这个自己去解。a的值也可以解出来啊，

这个答案就选择c选项，这是方法一方法二方法二呢，我们用公式法做。公式给它推导一下，大家知道SN啊，等于n倍a一加上二分之n乘n减一倍的d，我们由这个公式，我们可以得到一个什么公式啊，由这个公式有可能可以得到，两边都除以个n就n分之。SN.应该就等于一个a一加上二分之n减一倍的d，是不是这样的？所以两分钟除以n两分钟除以n。就得到是n分之SN，

就等于a一加上二分之n减一倍的d啊，得到这个结果。好得到这个值，好得到这个时候，那接下来我们再来看那m，如果把n换成MM分之SM，就等于a一加上二分之m减一倍的d。是吧，就是嗯，这样就可以写出来。啊，看这个懂了没？然后让这两式相减啊，两式相减，这个a1跟a1就减掉了，

所以又得到一个非常重要的公式。就n分之SN减去m分之SM就等于然后这两个事宜相减，这两个事宜相减的话，大家可以看到啊。右边减完后a1减没了，然后这两式相减就等于二分之。n-m倍的d好，这是得到一个非常重要的公式。好吧，要推出重要公式，这个公式什么时候用呢？这个公式又用于如果要知道s啊。s的这个情况，那我们就可以用好吧啊，比如知道点s好，

接下来我们就让n取16m取十十四就可以得到这个结果啊。就可以得到十六分之s十六减十四分之s十四，这样就等于二分之十六减十四得到是二。二÷2正好得到一所以就最后剩一个d了，这样就直接写出来，接下来我们把数往里带呃，这个ii 16等于一百四十四一百四十四÷1个16。减70啊，除以个14，这就得到是d是吧？得到d。然后这样啊，就可以很容易得到这个数值。好吧，然后大家呢，

就可以求解出它的数数值。那看这个是不是明白了好吧，然后这个正好算的是九嘛九九减五。啊d的值就等于四啊，这是方法二，它的这个求解思路看懂了吗？然后方法三。方法再用点五法。第二个，第二个就相当于是什么s14，我可以把它写成14倍的a，这个七点五。啊，七点五怎么来的？就15÷2得到七点五，

然后s10。六可以写成16倍的a，这个是八点五八点五来了就16+1，然后再除以二，然后这个正好就得到是。呃，70这样这样得到144好，又推出了a七点五，这样就等于五啊a八点五。正好等于九。好，那么这个虽然这个a八点五a七点五实际是不存在的，咱们虚拟的，然后这让这两式相减。就得到d知道吧a八点五和a七点五，

它的差值就是一个公差dd的话就等于四，这样也可以啊，这是方法三给了你讲的这几个思路，看各位同学是不懂了啊。所以大家呢，就选择一个你认为啊，比较简单的这个方法，那这个三个方法它都可以用，第一个方法就是传统的方法，用a和d表示，第二个呢，给它推导一个公式，第三个，第二五大法。啊，

这几个方法都可以解决，解决什么问题呢？如果知道s的几个s的值，然后让求其他的参数来用这个方法来做就可以了。啊，接下来咱们看这个题等差数列前项为sna 5+a八=16s18=90则s32等于多少？这道题这个a 5+a八，当然这道题的方法一都用a和d去表示啊，都用a和和d去表示。然后这样的话就稍微麻烦点，知道吧，你看a5，你看a 5+a八，这个a5的话写成a1+4个d。a8可以写成a1+7个d。

然后这个就等于二倍a1，加上11个d正好等于16。然后s十八s十八就等于十八倍的a一，加上二分之十八乘以十七倍的d，然后等于九十，然后两个方程，两个未知数，把a和d解出来a和d解出来。就求出a1和d的值，然后再来算s32，这整个过程呢，会比较复杂是吧？解很多方程。然然后方法二的话，方法二的话，

然后在这里面呢啊就。就是我们可以用点法来做是吧？点法。然后呢，这a 5+a八。就可以写成什么写成两个a六点五。一呢知道五+8等于十三两个六点五，它也是13是吧？就可以得到16，那时候这样的话就可以推出a六点五，正好等于八。啊，等于八，然后接下来s18s18可以显示18倍的a九点五。知道吧啊，

然后这样就算出来了，所以说这样算的九点五，然后正好等于一个几啊，等于90。这样就可以推出a九点五，这样就等于一个五。是吧a九点五它正好就等于五，这算好了，然后这两式啊，这两式相减就可以得到三个d，因为a九点五减a六点五得到三个d。三个d正好得到负三，所以d的值正好得到负一。然后d的值得到负一这个写好了啊d的值得到负一以后，那么接下来s32就可以算出来s32。

唉，32就可以写32倍的a呃，十六点五是吧？然后32×1个好a十六点五怎么算呢？a十六点五我们可以用a九点五再加七个d就写好了。是吧，就等于a九点五+7个d。因为d是负一嘛，所以说这样就写出来了是吧？a九点五啊，加上七个d。然后这样算算答案，就等于负的64，所以这是它的做题方法是吧？直接就可以写成负的64。

好，那这个呢？应该选的是e选项。它考要点看这个知识点是不是明白了？好吧，所以要掌握它的考试的做题方法啊，通过这道题大家呢啊，要知道怎么样去进行转化啊一个。传统的方法就是用AD表示，另外要知道第二步大法，它的好处在哪？以及什么时候用啊，好处就是把所有的a都转成一个a，所有的s也转成一个a，这样话转完以后就可以快速求出d的值，

这是它的啊优点。第二，大话在咱们等差数列用的比较多，等比数列它就不太好用了好吧，这是等比数列它用的就少一点啊好，这是等差数列技巧。体现所在。好，接下来咱们看等差数列元素的性质，现在那么若k呢？属于正整数m+n=k+t则am+n=AK+at，就是看它下标这个性质就很简单。啊，那么这现在有时候呢？结合韦达定理相解分析啊，

韦达定理。好a和a14也分成两根，这道题大家不要把两根求出来，因为这道题它的实质相乘，因式分解分不开，两个呢，不好求。知道吧，两个不好分析，所以在这里面我们呢，就是用韦达定理做，那大家知道a 3+a八。这样等于a一加一十是吧？然后这时候呢，我们知道两个之和，

这样等于负的a分之b啊，套一下韦达定理公式啊，这个答案就选择是c选项啊，这样就写好了。好吧，看这个明白没有好，所以大家伟大定义忘记同学，要知道两根之和等于负的a分之b。两个乘积就等于a分之c啊，套这个公式，然后再结合着数列性质来进行求解和分析。好，那接下来咱们看这个题，求x12的值到底是等于多少？好，

那a 2+a三+a十+a 11。当然，这道题也可以用点五大法，做点五大法的话，你就看这样做，你看这四个标加在一起等于多少四个标就是二和11。三和13。是吧，然后它下标和这个明白没有？就二+3+10+11。得到二六二六那么用第二问答法怎么写呢？可以写成四倍的a26÷4。是吧，也就说首先为什么写四倍的，因为它这个AA的个数一定要四个，

你不能写三个，也不能写两个，然后看左边有四个a。然后这样就可以写成四倍的a，这个是六点五对吧？a六点五，然后s12s12哈，这个呢？等于48。48 ia六点五就可以写出来，正好等于12那s12的值s12值那就可以写成12倍的a六点五。是吧，然后就等于12×12就等于144。这是一种方法，做好吧。

还有一种方法，或者说这个大家传统的方法做了就来十二，大家知道就等于二分之a一加a十二，然后再乘以个十二。是吧，好大家知道这个a+12。a 1+a 12就等于a 2+a 11也等于a 3+a十。知道吧，也得a 3+a十。然后这一块儿它的这个方法。对吧，所以说它是一样的，一样的话，它有a 2+a 11=a三+a十好，它都等于48啊，

都等于48，那这块儿呢，每个都等于24。二十四把它带到里面去，就是二分之二十四再乘以十二，算上也等于一百四十四也可以。是吧，这种方法也是大家呃经常用的方法。好，另外这道题还有一个不讲武德的方法。不讲武德的方法是什么方法？不讲武德方法就相当于是我就假设d为零好吧，假设。d=0。假d=0，

因为这道题它又没告诉我们d的情况嘛，假设d为零就相当于取一个特值法，如果d为零就AA 2a3a10和a11，它都是一样的。都一样的话，就是每个数都一样，每个数都一样，等于48，相当于每个数都等于12，知道吧，每个数都等于12，就每个a不管a几，它都是一个常数列都等于12。12那这时候s12s12就等于12×12，因为每个数都等于12，

每个数都等于12，那12个12相相加。就等于144，这样也很快口算好吧，那什么时候可以设d为零，只要d它不影响咱们的结果就是都可以设d为零来快速求解和分析，看各位同学是不是懂了？啊，当然，这道题也可以用这个不讲武德的方法，比如说设d为零设。DV 0它都等于十点五是吧？所以这道题呢，做法也很多，这道题你可以用点五法做。

点法就a 7+a八。可以写成两个a七点五对吧？等于这个21，然后x14正好等于一个14倍的a。这个七点五对吧？然后这个七点五正好等于二分之二二二一加进来七×21就等于147。啊，这些答案应该选择c选项是吧？这样就写出来了，然后的话或者说那么你用那个性质法。先把s十四正好等于二分之a一加a十四，然后再乘以十四。然后这时候a+a十正好等于a 7+a八嘛。那还等一百四十七一样的是吧？或者说用不讲五德的方法。

不讲我的方法就就d为零。d为零，d为零，就相当于是每个数它都一样，每个数它都是一样的，不管a几它都是十点五，然后是14，直接就拿14乘以个。二分之二十一也等于一百四十七都行好吧，大家自己去做都是OK的。好，那接下来咱们看一下，等差数列它求和的性质，它求和。其实，

现实化对于等差数列啊，那么就记住它这个特征，或者说本质情况。分组或者说分段。它求和后，仍为等差。分组或者分段求和后，它仍然是等差数列好吧，这是它的一些个基本的本质啊。好，下面咱们看这个题，它给了s15和s5和s15求s10的值。好，这道题希望大家多用几个方法来做啊，多用几个方法啊，

我们看方法一方法一呢，就是万能法，就是a1及d。方法那a和d gd把所有都用a和d来表示好吧，就s五因为咱们讲过SN就等于n倍的a一加上二分之n乘n减一倍的d。是吧，用这个来表示s五就等于五倍的a一，加上二分之五乘以四倍的d。等于15而是15，可以写成15倍的a1。加上二分之十五乘以十四倍的d，最后等于个一百二，然后这两个方程，两个未知数，然后求出。

a1和d，然后再来呃，再求s10。这种方法就比较麻烦，自己去解。方法方法，我们用这个公式先求这个d。啊，先求这个dd，我们前面讲过是吧？就是十五分之s十五减去。啊，这个五分之is五正好就等于二分之十五减五，再乘以个d好吧，这个公式咱们前面说过。

然后把这个带到里面去，因为s15正好等于120，120÷15得到是八。减去15÷55÷5得到三啊，正好就得到是五倍的d，所以这个d的值正好为一。啊，第二值上为一。好那d的值为一求出来了，那么还得求a的值才能算出s10。是吧，那把a的值给大家解出来，所以再求a1d的值解完后。那然后再求a1的值是吧？再去求a1a的值怎么求呢？

就用s5或者s15都行，因为d的值它已经解出来了。解出来以后，然后呢，带到第一个式或者带到第二式，把这a1解出来啊a1解出来以后，然后接下来我们再来求s10。再求这个s10啊，这是啊，一个方法啊，这是一个方法，这方法二这两个方法都是通用的方法。方法三也可以用点五法做。第二法，第二法的话，

那相当于是什么情况？第二法，第二法就相当于是is 5。可以写成五倍的a3，而是15。啊I15I15可以写成。写成这个是15倍的a8是吧？15倍a8，然后这个等于15，这个等于一个。呃，120是吧？就推通过这个可以推出a3，这样等于个三。a8正好等于个八是吧？

a8的值正好就为八好，那这个写好写好的话，那d的值。就可以很容易求出来d的值就为一。好，那么接下来让求什么？求x10的值是吧？求x10x10可以写成十倍的a五点五。十乘以个好五点五怎么算？五点五可以用a3+0点五个d。a3+2点五个d。就等a3的值，加上二点五个d这样呢AA 3+2点五个d，所以这样算就等于55。啊55啊，

这种点五大法这个做的啊点五大法就把每个a前面三个方法都是一个通用方法。啊，不管它下标怎么样，都用通用方案，这里因为它下标正好是五十十五，这样情况我们可以用性质法做，要快。啊，用性质法做，这是比较快的，懂了吧？所以在这里面大家呢就可以。转成这种这种性质来进行分析和求解啊，所以这是方法四方法四就不是通法了。方法四，

它是b下角标，正好是有个倍数关系，比如五的1倍两倍三倍，知道吧？有时候出现这个。呃，刚才咱们公式里面这个SN就SNS 2 n-s 3 SNS 2 ns 3。知道吧s四n等等就它的差值仍然是成等差数列的，知道吧，它差值就SNS二n减SNS三减s二SN减。s3，它的下标正好是倍数关系，我们呢，就可以用这个性质做啊，所以这道题我们可以用性质。

现在大家知道s5s15。s10-s5s15。既然使它仍等差。那仍然是等呃等差的。好，仍然等等它，那接下来我们就会看到这个s5这个题目告诉我们了，是等于15是吧？然后这个数呢，是有120，120-15是吧啊？这个就是它is不知道s不知道，那就写吧s10。减15这个就120减啊，减是十。

大家知道，那么如果三个数要成等差啊，三个数要成等差的话，就第一个加第三个应该等于中间的两倍，知道吧，就第一个加上第三个。等于中间的两倍。然后再去解出x10=55。知道吧，然后去解一下，解一下它的，这它值就可以了，好，这是它的这个方法，看这个明白没有？

好吧，所以通过这个呢，大家呢，要会分析啊，要去解这个方程啊，这是方法四啊，围绕这个性质，我们还可以演变成方法五方法五，大家记住就n分之SN。二n分之s二n。啊，三分之s三。它仍是点点点，仍是成等差的。啊，

仍仍然是乘等差啊，就n分之SN嗯，二n分之s，二n三n分之s，三仍然是乘等等差的。啊，为什么大家用他的差值就可以算出来啊？你自己可以算一下s2n。比上二n减SN，比上n因为咱们前面学过公式，这样就得到二分之n倍的d啊，就二分之n倍d，就它就这前面两个数，差值是二分之n倍d。啊，

这两个后面这两个数差值也是二分之n倍d，所以它差值是一样，仍然是成等差的，懂了吧？所以这道题那么像n取五。n就就相当于五分之s五。十分之还是十十五分之还是15，它仍然是等差。你要等它那五分之s五正好是三，因为这道题s五正好等于十五嘛三，然后就是十分之s十。然后这个15分之哎15正好是八，因为一百二一百二÷15得到八就是这样，仍然等它仍然等它三。这个中间这个数和八要乘等差，

那说明中间这个数应该是三+8÷2，然后三+8÷2，三+8÷2正好是。五点五。这样得到x10=55啊，也是可以的好吧，答案是一样，注意后面这两个方法，它只适合于它的下标，正好是。呃n2n3n4n就一倍两倍三倍四倍这样的一个变化情况啊，前面三个方法适合所有的情况，不管比如说这道题把x10。改成tos 18。啊，

那这个题这个方法四和五就不能用了，知道吧？方法一二三都是可以用啊，如果把这s10。改改改成其他的数值，那这就不能用了啊。好，这是给大家讲的这几个方法，大家一定要理解它的特征，理解它的本质，所以说那么第五个方法还是用咱们的这个。这个公式，然后来来进行证明啊，公式来推导。然后这个公式的话，

就咱们前面学过的不同同学学过的就m分之SM减n分之SN。这样的二分之m减n再乘以d是基于这个公式啊，基于这个公式来进行用的。好，这是这个题，看各位同学是不明白了。好，接下来咱们看这个题，这个题的话额，以上几个方法你都可以自己演练一下好吧，自己演练用哪个方法做都可以，或直接用性质的话，这个可能更快一点。这道题方法有很多啊，以上每个方法都可以用，

就不再重复写了，好吧，咱们就直接找一下性质做啊，性质做性质做的话就相当于是s4。s8-s四点点，它仍然是等差它的公差。那咱们刚才讲公式不是n方d吗？就四的平方d，然后这个数是30，这个数是90-30，得到60。那差值正好也三十是吧？就说明十六倍的d正好等于三十，然后d呢就等于八分之十五。百分之十五，

然后这样答案就选择c选项好吧，这样就写出来了啊，当然用公式做也行，公式做就这样的，就八分之s八。减去四分之x四就等于二分之八减四倍的d啊，那种套这个公式做也是没问题的啊，八分之九九十。高等于四分之四十五。减四分之三十正好等于二二倍的d。啊二倍d正好等于四分之十五是吧？d呢也等于八分之十五啊？做答案是一样，等等啊等等还可以用点五法做。都可以，

这个都是没问题的好，那这是给大家讲的它的做题的一些方法，把这几个公式活跃活跃，这样做题大家。速度就会比较快，这样考试的时候就可以节省很多的答题时间。

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