5-02等差数列（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:53:47

好，那接下来咱们看这个题，一个等差数列中a1=2 a 4+a五=-3，则该等差数列公差到底是多少？叫公差值到底为几好？那这个题我们来看一下它的做题的方法啊，就是a 4+a五。啊a 4+a五好a 4+a五的话，那我们呢？就可以把它写成a1和这个d的值，大家知道a4可以写成a1+3个d。a我可以写成a1，加上四个d对吧？所以就可以写成二倍的a1，加上七个d。

然后这个d的值正好等于二嘛d=2，所以说这个就四+7个d就等于负3d的值正好等于负一，所以这个呢应该选择是b选项，答案就求解出来了啊。所以答案选择的是b选项，所以通过这道题，大家呢，就可以写出它的数数数值啊，就通过啊，这些都转换成。a和d也不管它给的是a4还是a5还是s4还是s5啊，那么都把它用a和d去表示啊。啊，那么d的这个数值就可以把它解出来，懂了吧？

就这道题，即使告诉你s 4+s五，比如说等于某某个值，等于某个值，让你求这个d一样，你把s4用a和d去表示s5。用a和d去表示这样话，我们呢？就可以把这公差呢给大家写出来好吧，所以大家呢，记住公差呢是咱们数列里面的一个核心参数，掌握这样的做题方法就OK了。好，那接下来咱们看下这个题数列a呢？前项和SN=1个啊4n方加n- 2，

它的通项an到底等于几？它通项an值到底是多少？好，那通过这个题我们来看它通项应该怎么去求解啊？它通项的值。怎么去求解和分析好那这道题大家知道，如果要s的结果知道。SN的值好，那么大家可以看一下这个SN的特征，所以这个也可以用特征做，也可以用一般方法做一般方法，这样的一般方法也是个通法。通法通法的话就用了这个an就等于一个啊a1呢，就等于s1就n=1的时候，然后an。

然后接下来就成了SN减，sn- 1就n大于等于二的时候，懂了吧？所以这是它的这个通法。就sn-sn- 1就n大于等于二啊，这是通法。啊通法就用这个方法做，然后接下来我们来看一下啊，这道题这道题不管是SN是二次还是三次还是分式还是一个什么形式都可以用这个。通法通法也是一个万能方法，但万能方法它的适用是所有的，但是呢，它的缺点就是不一定最简单。好吧，然后接下来我们就可以写作这个a的值就等于s1就等于四+1-2就得到是三。

对吧，找三然后这a的值写出来，然后再看ann就等于sn-sn- 1。好，那咱们前面讲过啊，如果两s相减的时候，后面常数项，它会减掉了，所以这个负二就不用管它了啊，所以要把前面学的技巧要弄清楚。然后接下来那么这个sn-sn- 1，那么我们就可以把它啊写成啊，这样的SN就等于4n方。加上n这是SN啊sn- 1 sn- 1有四倍的n- 1^2，加上n- 1这样的。

好吧，所以就把n换成n- 1就可以了，然后这个大家展开自己去化简，化简完后就得到8 n- 3。y- 3咱们前面讲过先分开写，分开写就相当于这是n=1的时候，这是n大于等于二的时候。然后接下来啊，那我们就可以看到啊，就是相当于是。啊，相当于是这个如果n等一的值不满足，这个不满足，这个咱们呢？就是把它分段儿写，

知道吧？你看这个n等一的时候n等一的时候就是八×1。一减三，它是等于五的，等于五的话，跟上面这个a一呢，它是不一样不一样，咱们就分开写啊，分开写，所以就e选项就是正确的好吧啊，这个an就写好了，分段儿写。如果这个a1的值正好也满足这个n大于等于二的表达式呃，如果也满足就是合在一起写就行了，这一般方法。

另外一种方法，另外一种方法就是。它的绩效方案，绩效方案是什么呢？就相当于是它这正好就是一个等差数列，只不过是啊，把负二去掉就是一个等差。知道吧，就是相当于它这个长项执行首项啊，就a呢，还是等于is 1，然后还是等于三，这个不用多说了，然后接下来再求。呃n大于等于二的时候，

你可以把后面负二去掉，负二去掉以后这个SN呢，相当于是正好等于4n方。加上一个n是吧？后面这个常项就可以把它去掉，去掉以后那么它的an怎么写呢？an大家知道这个呢，正好是公差的一半儿，也就是它的d正好就等于一个八。啊d的话就是一个八。是不是啊？就就是一个八，然后这样我们如果SN正好等于四倍n方加上n，我们用n就可以写成n就等于8n。加上一个一减四好，

那这个八怎么来的？八就相当于把四给它乘以个两倍，就相当于把这个二二给它挪到前面去，二乘以四。知道吧，所以这二给大家挪到前面二二乘以四啊，就变成八n，然后后面就是一减四，怎么来一减四就是相当于n的系数是一。n的系数是一，然后呢？前面系数是四，所以有一减四，一减四就得到是八n减三。得到这个结果就求出来了是吧？

好，那在这里面啊，为什么这样的呢？给大家先写公式，然后再给它推导啊，公式这个公式只适合于二次的啊，是二次，如果SN=a×n^2。加上b×n，我们就可以推出这个a呢，结果an结果就等于2 an+1个b-a。这样的结果是吧？所以就把这个二给它挪到前面去，2 an+1个b-a得到这样的一个结果就行了，好吧好，

那这个是怎么弄出来的呢？咱们为什么这样？咱们想一想啊，想一想。大家知道SN是不是正好等于二分之dn方加上a减二分之d乘以n，这个咱们前面推导过的。是吧，你看一下前面的公式啊，推导过，然后这个an an的话，我们就可以写成d×n，加上a-d是不是这样的好，那接下来大家一起来看一下，大家发现。呃，

这个前面系数，这正好是二分之d，这正好是d，是不是正好是一个两倍的关系，就二分之d乘以二正好是一个两倍？是所以变成d×n，这个大家就知道了，所以四变成八就这样得到了。然后接下来咱们看后面这个值，后面这个值是a-d，大家知道这个a1-d的结果。是不是正好就等于a减二分之d，再减一个二分之d，是不是这样的？所以说大家可以看到让这个a减二分之d。

就是后面这个括号的值a减二分之d，然后再减一个二分之d就OK了，对不对？这就a减二分之d，然后再减个二分之d。然后这正好就变成a-d。是不是这样的，所以a减二分之d的值，再减一个二分之d得到就a减d，它这样写出来的，懂了吧？好，这是它的这个方法思路，看明白没有啊？在它的考试要点要弄清楚。

所以通过这道题，大家呢，要掌握的公式就是已知SN。要会写a啊，核心点就是要知道它这个系数都代表是公差d啊，把这公差d要弄清楚，这样就OK了。好，那这样话，我们再把它分成两两段写就行了，这个是n大于等于二的时候，后面常项呢，可以把它去掉，知道吧？就是8 n- 3算出来也是e选项都是一样的啊。

好，这是给大家进行讲的，它的特征和方法通过这个，我们就可以给大家进行概括和总结一下，如果SN它要是一个二次函数，我们就得到一个什么样的结果？好吧，然后看看它的这个结果，大家会不会分析和思考？好，那也说，如果SN=a倍的n方加上b倍的n+cabc呢是一个常数。然后呢？这时候呢？我们就可以发现当这个c不为零的时候。

这部分呢，首先SN不是。等差数列。它的前向和。它的不是等差数列啊的前项和啊c不为零的数啊，那么因为它的首项呢是？不满足的好吧，因为这a是不满足的，这是它的呃，写a的话，那么应该是分段写。也就n=1的时候，它要等于s1。那n大于等于二的时候n大于等于二的时候就是可以写成2 an，加上一个b-a。

好吧，就是把这个二写到前面去，2 an+1个b-a得到这个结果。好，这是它的这个数值啊，要弄清楚好，这是an的这个表达式啊，要会分析好吧，然后然后当这个c=0的时候。这两年的时候，它这个是啊，等它数列前项和。是等差数列前项和好，那这时候呢？那么它的这个呃。

SN就等于an方加上BN。这样就可以写它的an刚才咱们写过，就是2 an+1个b-a就行了，这时候就不用再分段写了。好吧好，这给大家进行总结的特征方法，大家要弄清楚。好，那接下来咱们看一下它的求和公式。唉，它求公式s就等于二分之a加n乘以n是吧？然后这个公式和这个公式以及后面后面这个呢？是前面这公式变形，所以它这几个呢？它的关系呢，

就是第一个公式的an换成a，加上n- 1倍的d就变成第二公式，第二公式啊，重新。变下形式，把这个n的平方单独写出来。好，这时候啊，这是第三个公式啊，它公式的这种情况要弄清楚。啊，那下面咱们看一下，等差数列前项和那等差数列前项和大家要知道。isn它的特征？就二分之dn方加上a减二分之d乘以n，

它的长项为零，这是它的标志。长项为零标志它的特殊情况。所有情况就d=0的时候，那么isn就等于n倍的a1，它变成一个一次函数了。变成一个一次函函数，那么当a1也为零的时候，那s它也是一个常数a1为零，代表什么意思？a1为0d也为零，就它所有权为零。每个数全为零，每个数在全为零，它求和它的和也为零，

对不对？好，那接下来咱们一起来来看看给的这七个到底有几个啊？那第一个这个不太行，因为第一个它的倒数这个不太行。第二个，它这个常数不行，它必须是长项要为零，它这个有个三分之一不为零，这是不可以的好吧，这是。不行啊，然后第三个SN=2 n，这个是可以的，这个可以就相当于d为零，

如果你要认为是等差数列SN，那么这个d呢就为零是吧？它这个d正好是一次函数也是v0的。那第四个不行，第四个不行的原因，它有个这个常数负一这个不行。然后d我可以d我它正好呢，就相当于是啊，这个二人方减它是一个长项为零的二次函数，而且它的d呢要马上要写出来好吧，第五个。这个SN=2 n方减n，马上就可以写出来d的值d的值上等于四是吧？另外，大家会算出快速口算an an，

刚才咱们讲的。技巧就是什么呢？就二把二，然后翻到前面去变成四倍的n，然后让负一。减二负一就n的系数，减掉n方的系数，负一减二就得到减三啊，得到减三好吧，所以说a的值就是四n减三就写好了。所以这个第五个这个是可以的，而且还要知道d知道an的快速写法，然后第六个它也对啊，第六个也对，第六个话，

那么它的这个。s如果等于n方啊，那d的值我们就可以写出来好吧d的值就等于2d的值等于二，然后它的an的值就可以写出来an的值an值就得到是2n。然后呢？减一是吧？因为它相当于是这个减一怎么来的相当于零倍的n减掉一就零减一。知道吧啊，零减减一，你看得到负一啊，然后这第六个，然后第七个，这个不太行啊，第第七个不行，第七个不行的原因，

它有这个。呃，常数项啊，这个是不可以的，所以这个算下来应该三五六是可以的，三五六三五六就选择b啊，三五六是OK的，是选择b啊。好，这是它的这个解决思路和方法，看明白没有啊？好，那接下来咱们看这个题在负二和六之间插入n个数，使n+2个数成为和为负21的等差数列则n是多少？好，

那相当于是负12和六之间插入n个数。还有n个数，n个数，然后总共呢就是n+2个数了，对吧？它要求和求和的话就相当于n+2个数求和。n+2是总共n+2是不是求和咱们知道，如果要知道a1和要知道首项和末项啊，只要首项末项咱们求和呢，就用第一个公式求就行了，所以说这求公式。用哪个求公式啊？你要看它给的条件，知道吧？给的首项和末项，

然后再乘以项数。啊乘以它的项数，然后这块儿啊，这块儿这块儿，然后就得到它等于负21啊，负二一，然后接下来我们就可以得到这个n的值n的值正好等于五，这个很好解。好正确答案，我们就求解出来了啊，就选择b选项。好，这是它的做题方法好吧，看大家是不是明白了啊，所以这道题就利用求和公式，

只要知道首项末项，还有项数用第一个求和公式做就可以得到答案。好，这道题是给了a4a9则SN=54满足的，所有的n的值到底多少啊？n的值其实这道题呢？我们知道啊，数等差数列的万能参数。完成了，就是a和d啊a和d是吧啊，完成了a和d好，它a4的值等于9a九的值等于负六。啊a四值等于九a九值等于负六，通过这个我们就可以让这两式相减，两方相减就a九减a四得到是五五倍的d五倍的d等于负六减九，

负六减九得到负十五。负15就负六呃减九得到负15。啊负六减九得到负十五，然后d的值就等于一个负三。d的值就等于负三好d的值等于负三求出来了，然后接下来我们再看a的值是吧a的值a的值的话a值大家知道就等于a4。减掉三个d就等于九+9就等于18。啊，就是拿a4减掉三个d就行了啊，负负得正，所以变成加号，然后a和d知道了那么写SN用哪个公式来想想？是不是用SN就等于一个啊？用那个。d的那个公式是吧？

这就是嗯二分之d乘以n方加上二分之n乘n减一倍的d啊。啊，用这个来进行写好吧，然后呢，接下来我们呢就可以写出它的数值。啊，然后呢？然后也可以写成这个n倍的a一，加上二分之n乘n减一倍的d是吧啊？我们呢？就可以写成n倍的a一。加二分之啊，也可以写成什么写二分之d的平方。啊啊啊，这个二二分之d×n^2。

加上a减二分之d乘以n，反正这两个公式用哪个都行好吧，有SN等于二分之dn方加上a减二分之d乘以n，还有一个n倍的a加上二分之n乘n减一倍的d，这两个其实是一样的。你看，只不过形式不太一样好，那接下来我们就把a的值带到里面去d的值带到里面去啊，用第一个公式做也可以。这样的话SN就等于十八n，然后这个就减了，因为d是负的，减去二分之三n乘以n减一。好那d的值向下向下，然后正好等于54。

好值就等于54，好那等于54，这个算好，这个n不相解，不相解的话也可以验证选项好吧，这个解也很好解。解化，然后先把三给它约掉，然后再同乘以二三约掉，以后再变成六了，对吧？变六六的话，然后乘以二就变成12。然后三约掉就n×n- 1，这个三约掉54，

除以三得到十八十八×2得到36。幺三六，然后往下，你把它画成一个n的，或者说你验证选项也可以得到它的数值正确答案，有n=4或者九。好吧，这个很容易写出来。n=4或者九这个写出来了，这个呢，应该选择的是a选项啊，它的这个考试内容，然后通过这个题，大家要知道的考试方法，它为什么n有两个值你知道吧？

为什么n有两值，我们也给大家进行解释一下nn有两值原因是什么？因为从咱们抛物线的角度，你就好理解了。因为大家知道SN。是关于n的一个二次函数，而且它长项为零，所以它一定是过原点的一个抛物线。知道吧，所以它长项为零，过原点抛物线，然后这道题d的值正好等于负3d的值等于负三，说明它开口。开口正好是向下的。开口向下的啊，

一个抛物线，所以我们画出图来。它这样的开口向下的抛物线。懂了吧，然后这时候那么这时候SN的图像，然后这是过坐标原点。当这个n咱们呢n只能取正整数。取一二三这样正整数。知道吧，这是四，这是s1s2s3啊s4，懂了吧？然后后面就s5s，6s，7s，

8 ss 9了，咱们就不再一一说了好吧啊，这个是s9的值。这个s10的值。等等，所以说它这个SN要等于五五十四就画一个水平线。好，这是SN=54 s=54那么焦点有两个，一个四，一个是九。知道吧，一个四一个九，所以它这个它这几个水平线，所以它跟这个抛物线有两个交点，有两个交点，

所以对应的n取值就有两个，所以为什么n有两个原因，就这个意思。好吧，所以大家呢，就写正确答案，就选择a选项好，那通过这道题，大家呢，要知道的。特征注意一定要数形结合，知道吧？知道抛物线的图像，这样的话，后面咱们在求最值或者比较大小的时候就可以看出来它离对称轴的远近啊。

或者说什么时候取最值啊，这个好分析了，所以咱们考试求一些最值题都可以用这个抛物线的方法来进行分析和思考。看各位同学是不明白了。下面咱们看一下例19啊，在等差数列an中SN表示前项和。若a=13 s，三=s 11，这个SN的最大值到底是多少？好，这道题就是求它的最大值。好，那我们来看一下，等差数列它最大值SN的特征，可以用抛物线来进行分析是吧？

所以我们呢，看一下它图。因为大家知道。这个SN它的过原点的一个抛物线就是二分之dn方。加上a减二分之d乘以n，它表示过原点的抛物线。啊，另外它的对称轴咱们学过抛物线的对称轴。正轴正轴，我们学过就负的二a分之b，负的二a分之b就是二乘以二分之d。负的二a分之BA减二分之d。是吧，然后这样话我们呢就可以给它。做一下变形就是二分之一减去a除以d好吧，

大家自己推导一下好，这叫对称轴对称轴呢，是咱抛物线里面非常关键的一个值啊。好，那接下来我们可以帮大家画一个图来进行分析和思考。画一图，因为它这个是开口肯定向下了，因为它有最大值嘛，开口向下，所以说它是这样的。啊，这样的开口向下的一个抛物线是不是？所以我们呢，就可以看出它的对称轴这地方啊，离对称轴近才大一点好，

那么s 3=s 11说明什么问题？大家一定要知道。好s3的值。和s11的值要相等。啊，这个函数值要相等相等，那说明n=3的时候和n=11的时候，它要相等相等的话，我们就可以算它对称轴的值。是吧，可以把对称轴啊，给它求解出来，那对称轴正好是它这两点的中点。是不是所以说US 3=x 11可以推出它的对称轴？对称轴正好是七七，

怎么算出来呢？就三+11÷2得到是七啊，对称轴就等于七。七又a1呢值正好等于一个13 a=13带到里面去d的值就可以算出来，就等于负二。好吧d的值就算出来等于负二了好，那么d的值知道了a的值知道了那么算s的最大值就可以算出来好吧，因为在对称轴这个七的这个位置。对你说这个七就取最大值，所以说这个最大值就s7是最大的，对不对？s7所以最大值。就是s7s7，大家知道知道a和d我们就可以写成七倍的a1加上。二分之七乘以六倍的d。

最后得到49啊，答案就选择是b选项啊，这样写好了好，这是它做题方法思路啊，看大家明白没有？所以这个是SN它的一个抛物线的特征啊，抛物线它的找对称轴对称轴那么知道了，然后a和d知道了那么最大值就可以求解出来。啊，这是它的结果和思路，另外通过这道题还要演变一点什么点呢啊，它跟这个另外一个焦点。啊，另外一个焦，另外焦点，

大家可以发现它正好过坐标原点嘛，过坐标原点，大家知道三+11是不是等于零+14？是不是这样的？这个根据抛物线的对称性得到的，知道吧？就三+11的值跟零+14的值是一样的，它都等于。对称轴的两倍嘛，都等于七的两倍是吧？所以说通过这个就可以得到s14应该是。为零的。是吧，还是14应该是v0，所以这样，

所以这个点也可以写出来好，那通过这个题可以给它进行总结一下啊，如果等差数列。等量数列，如果SM=sk，那么则有。噢，当然，咱们这个d呢，是不能为零啊d不为零，第一个它的对称轴。对称轴就是二分之m加k是吧？它对称轴而对称轴又等于二分之一减去a除以d，那这个d呢？肯定不能为零了。

因为d要为零这个分母，它就没有意义了啊。好，那第二个第二个那就SM+k。应该等于零。知道吧SM+k它值应该是为零的好了，那这是在等差数列里面啊我们。强调了它的做题的方法思路，大家会分析和思考啊，好，这是给大家写的这个。做题的内容大家呢啊，通过这个我们呢要会看它的抛物线，根据它抛物线来进行分析，它最值看各位同学是不是懂了？

好，那接下来咱们看这个题等差数列an中a5小于0a六大于零，且a6大于a5的绝对值s是前项和。它前限和则那么下列选项叙述正确的是多少啊？a选项是s1s2s3均小于零。而s4s5啊，均大于零。BS 1s2到s5均小于零啊，后面它的均都大于零好，那我们可以根据这个题目可以看成什么a5是负的a6是正的。那也就说a6又大于a5的绝对值，我们由题我们可以得到。得到a 5+a六。啊，因为一个负的一个正的，

但是呢，这个正的这个数绝对值更大，所以说它加完后还是正的。对吧，既然还是正的，所以a 5+a六它仍然是正数。是不是这样的，大家想想是不是a 5+a六，它仍然是正的。啊，就是一个负的一个正的啊，相加那么它正的这个绝对大就得到正的，而大家知道a 5+a六是不是正好又等于一个a 1+a十？是吧，一定要转换成这个a一的，

值好a一加a十，那么跟谁有关？跟x十有关，大家知道x十就等于二分之a一加a十。然后再乘以十是吧，然后就得到这个结果是吧，所以说大家就可以写的这样子，这样子它应该是只是正数对吧啊，正数所以从s10之后呢是正的。那s九之前呢就不行了s九之前大家知道s九正好等于二分之a加a九。然后乘以九。大家知道这个a+a九可以写成两个a5是吧？两a5两a5÷2就可以得到a5，所以九倍的a5。好得到九比a5，

因为a5它是负的嘛？a5它是负的，所以它这个小于0a五它负的就小于零，所以s9之前应该都是小于零。s10之后都大于零好吧，这个呢，应该选择的是c选项啊，就s1s2到s9，它均小于零。h10之后，它均大于零好，这样写好了啊，这是它的这个数值好看，这个明白没有啊，它的答题方法要会分析和思考。

所以大家呢啊，一定要嗯，灵活的将a的值和s值结合在一起来判断它的符号。就OK了，懂了吧？要知道它的判断方法。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册