5-02等差数列（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:53:35

各位同学大家好，接下来我们学习等差数列等差数列，这是考试的重点等差数列，不要觉得简单，里面的技巧性的东西呢？比较强，出题呢，比较灵活啊，首先咱们来看一下，等差数列相关的概念和定义。我们来看一下它的定义啊，如果在一个数列an中满足an+1-an=d。大家可以看到它这个等差数列定义呢，是按照递推式来进行定义的。啊，

如果an+1-an=d啊，等于个常数，则这个an就为等差数列d呢，就把它称为公差。好，这是等差数列概念，那通过这个概念，我们可以看到它的特征或者它的本质。就可以得到是差值为定值。为一个常数啊，这样的数列就把它称为等差数列，比如说一四七十十三。啊，这样的数列，大家可以看到它差值都为三。

它差值是固定的啊，这样的数列啊，称为等差数列，这等差数列定义。好，那接下来咱们看它通项。啊通项因为它定义呢啊，那么很难求出其他的值，所以我们也没说通项什么通项呢，就每一个元素都满足了，共有的一个表达式就把它称为通项。通项可以把它写成an就，等于a 1+n- 1倍的d好，那这个通项怎么推导出来的？大家呢啊，

一定要注意它的理解过程。他得根据刚才咱们定义式来推的，大家知道它定义式是an+1-an的，应该d。好，这是它d对式，我们可以写的若干项，然后相加就行了啊，写若干项相加，所以它可以写成a2-a一等于个d。a3-a二等于个d啊，一到an-an-1，它也等于个d。是不是得到这样一个式子，所以就a2-a一得到一个da3-a二得到dan-an-1也得到是是一个d。

所以通过这个，大家也可以看到我们把这DC 4分别写出若干个写若干，然后把这几个相加。把几个相加一起呢啊，把这几个加在一起就可以了啊啊，加在一起我们就可以得到那么a2跟a2能抵消掉a3。跟这个能抵消掉是吧？所以加在一起和相加的话，大家发现左边抵消完以后就剩一个an。减a1右边，大家可以看，都是d那总有几项呢？大家一定要会数有几项？你从那个一开始一二到n- 1，所以有n- 1个d。

是吧，这就是一个非常重要的相加累加的一个思想啊，写出若干项，然后再相加来进行处理好，然后把这个a1。给大家移过来。an就等于a 1+n- 1个d好，这个写好了好吧，这是它的一个特征啊，这叫通项公式，要知道怎么推导出来的。比如说。a5就等于a1，加上四个d是吧把n取五啊，大家也可以把手伸出来。

然后a1呢，把当那个小拇指a五把当那个大拇指，大家可以看到啊，我们呢这个d就代表手指缝。啊，手指缝大家可以发现a5和a1之间是不是有四个d是吧？有四个d有四个缝，然后这一块儿。啊，它有四个。好，这样就写好了是吧？然后就求解出来了啊，好，所以它这个d呢，

就可以把它看成它的间距啊，间距这是第一个公式，第一个公式，它必须要知道a才能求出其他项。所以说在有的题啊，咱不一定知道a1，比如说知道a三会不会求其他项呢，所以我们就得到第二式，第二式就an。就等于AK+n-k的d好吧，所以第二个公式呢，用的会更多一点，因为呢，它更灵活一点，它不一定非要知道a1才能求其他的啊，

知道其他的也可以求解好吧。比如知道a3啊，也可以求a5的值是吧？比如说a5。等于a三加上两个d，这个二怎么算出来的？二就是五减三，二就是五减三，这样写好了。接下来就是还可以把写成nd，加上a-dnd，加上a-d是什么呢？它不是一个新的，它是把第一个式子做一下，这个变形。

把第一个式给它进行乘开啊，做一下变形就行了，所以把这个括号乘开乘开an它就等于一个n×d。加上a-d那么变形，到最后一个目的什么呢？目的把它看成关于n的一个函数，知道吧？这个n呢？把它看成一个咱们前面讲的x就相当于是。这个a呢？把它看成y知道吧啊y，然后就可以把它写成x乘以个d，再加上a-d。啊，这样的一个形式，

所以大家可以看到等差数列它通项的特征是关于自变量是一个一次函数好吧，这是一次函数，而且这个n的系数就是它的公差d。比如说这个an。要等于4 n- 3好，那这个就是一个等差数列，因为它关于n的一次函数，然后它的公差d就等于四。啊公差d的值它要为四，这就写好了啊d的值计算结果就得到四的值。啊，然后呢？呃，这个a的值很好，算a的值n=1就算算a值是最简单的啊n=1。

然后就算出a的值好吧，所以关键是先看到d的值啊，所以这是给大家强调的它的这个基本的方法。然后呢呃，平度里面就是把中间这个公式做一下变形，知道吧，如果知道an和AK，那我们就可以把它写成an。减AK就等于n-k倍的d，然后把这个n-k提出来，咱们这里面是用m来表示是吧？一样啊。一样，所以把这n-k给它除过来，所以就可以求d的值，

比如说我们知道a9和a4。我们就除一个九减四就可以算出AD的值，比如考试告诉你a四的值，知道a九的知道那么要求公差d那马上用a九减a四除以个五。啊除以五就得到公差d的值好，这是它的通项的啊，一个基本的含义和特征，要能够识别辨认等差数列啊，它的通项。好，那接下来咱们再看一下前项和SN前项sn sn呢啊，我们的求和公式呢，可以写成二分之a加n再乘以n。好吧，因为大家知道这个SN让那a 1+a二一加到an。

然后第一个求公式呢，大家怎么去记记怎么去记忆呢，它正好是首尾首尾这个搭配知道吧，比如说如果大家呃有印象，同学应该知道我们小时候还学过一篇课文儿。就有一次老师在黑板上写到一+2+3，一直加到100，让大家来计算其他同学呢，都一点点加，有的同学特别聪明。是吧，他一下子发现一加一百和二加九九，它是一样的，所以就是高斯，他发明了这个高斯求和是吧，

这个二分之一加一百。然后再乘100，所以说对基础比较薄的同学，大家记这个公式就可以了，好吧，这样就可以写出它的这个结果。好，这是第一个公式，它的记忆方法就是首项加末项，然后除以二再乘以项数好吧？然后第二第一个公式，它主要是什么已知a1和an啊，就首项末项还有项数的时候，我们来求和就可以了。然后第二个第二个话，

我们在这里面，我们就可以写成n倍的n倍的a一，加上二分之n乘n减一倍的d啊，第二个公式怎么来的？第二个公式是把这个an。换成a 1+n- 1倍的d，得到的好吧啊，得到这个结果啊，所以an就等a 1+n- 1倍的d。啊，得到这个结果。得到这个值，懂了吧？所以在这里面那么就可以写出把这n做一下替换，换完后然后再整理就得到中间这个值。

好，中间这个公式就是n倍a一，加上二分之n乘n减一倍的d好吧，这是中间这个公式，它怎么来的啊？第二个公式呢？就相当于是如果知道公差d首项。还有像素的时候，我们就可以用这个公式来进行求解。然后接下来我们看还可以把它写成二分之dn方，加上a减二分之d乘以n，那这个公式又怎么来的呢？是把中间这个公式啊，然后这个括号乘开。整开以后呢，

重新整理，整理完后把它看成关于n的一个二次函数得到的啊，把它看成关于n的二次函数。得到如果把这SN把它看成y，然后就可以写成二分之d，这个x平方加上a减二分之d。乘以x啊，得到这个结构就可以了好吧，有二分之ds平方加a减二分之d乘以x得到这样一个数值。然后这样大家可以把它看成咱们前面学过的抛物线，尤其s平方系数，它是公差的一半儿，知道吧？比如说这个SN。等于三方减5n。

是吧，那接下来我们可以看这个三，其实就公差的一半儿就二分之d等于三，那说明d的值就等于六是吧？d的值等于六，那a的值跟se的值相等，这个咱们学过。啊，那这个n等一的时候就变成负二是吧？就这样的一个实例，大家就明白了好吧，但如果后面要加常数项，它就不是等差数列xn了啊，因为咱们讲常数项，它会影响首项，

首项a1发生了变化。a跟他们不再保持等差关系。懂了吧，就是它长项是为零的，通过这个地方，我们推导可以发现它后面不能有长项，比如它后面有个加一，那这就不行了。知道吧，或者有个简易，它这个常项有常项，这个a1发生变化，咱们前面讲过的SN中的常项会影响a1的，值不影响其他值啊。好，

这是前项和它的一个几个特征，要弄清楚，咱们结合抛物线就可以找到它开口方向呀，它的对称轴啊，这样就可以分析它的一些最值，知道吧，这个求解它最值的一些情况啊。好，这是它的这个表达式，看是不明白了。好，那接下来咱们看第四个，它重要性质，若m+n=k+t则am+an=AK+at好吧，比如说这个a 3+a九。

等于a 5+a七。对吧，就这样的，因为三+9=12，五+7也等于12，知道吧，所以这样话就呃相等了，那这个怎么去理解大家可以发现这个a3和a5？它两者是不是相差两个d是吧？应该知道a5比a3多两个d，然后接下来咱们再看这个a9比a7也多两个d。是吧a9比a7它也多了两个d，所以在这里面两边就扯平了，比如说你的综合比。另外一同学多十分，

但你英语比他少十分，那你们的总分相加是一样的是吧？就扯平了，就谁也不欠谁的，但是你不能写成等于a12，如果写成等于a12，这个就错了。虽然这个五+7也是12，但不能写了a等于不能写a12，因为它要使用时候要注意什么，注意两边，那么它的这个。这个序号要一致，而且还保证a的个数要一致，因为这a12它只有一个a是吧？

只有一个a，然后呢a 5+a七是有两个a，所以它的这个个数呢是不一致的。好吧，所以要保持它的这个个数要一致，然后但是你可以把它写成等于两个a6，这个是没问题。那a 6+a六仍然是两个a，所以字母个数要一致，它的下角标是之和要一致，这样就可以了。好，那这是它的重要的一些性质，要弄清楚。然后接下来这是第一个，

第二个，第一个性质比较重要，我们划成重点，第二性质是SN为等量数列前项和SNS 2 n-sn。s3-s二仍然是等差数列好，那么公差为n方d第二个怎么去理解？第二个就相当于是分段儿求和啊分段儿。分段儿以后，那么它仍然是求和以后，仍然是等差数列好，那这个性质怎么理解？咱们看一下，假设咱们这个数列怎么分段儿啊？有a1a2。a3，

a4，a5，a6。a7a8 AA 9。是吧，好，那么咱们就三个三个分一段儿好吧啊，就像咱们上体育课一样，大家呢都站好了，站好老师说每三个同学，然后作为一个小组好这三个同学作为小组这三个同学。这三个同学作为一个小组啊，做小组以后呢，咱们每每个小组的求和求和就是小组，它的和就分段儿它求和。

或者叫分组，它求和咱们在分组的时候一定要注意，一定要是每个小组它的数量啊，数量个数一定要一致啊，比如说a1a2a3，这三个是一致的a4a5a6。这也是三个就每个小组都三个人，或者每个小组都四个人，四个人也行，那就是每个小组里面它的个数一定要一致，这样话我们呢就可以看到每个小组的求和它仍然成等差。这个小组的求和是s3。这是小数，求和大家知道a4+5+6通过咱们前面学习，可以选择s6-s三，

它的求和。然后a7+a八+a九可以写成s9-s六，这样的是吧？可以写成s9-ss六。好，这样的一个求和求和以后，然后呢，接下来我们再来看一下啊，它的这个数值啊s3s6-3s9-s六等等的，那么它的求和求和。唉，仍然是成等差数列，它的公差我们怎么证明它是等差数列？我们看它差值差值，大家可以看到什么呢？

看到就是啊，第二组求和又以第二组为例，其他都一样啊。就第二组的和变成a 4+a五+a六。然后减去a 1+a二+a三。大家可以看到，这个a4比a1多三个d是吧？然后a5比a6它也多三个d。啊a5比a2也多三个d是不是？然后接下来我们看一下这个a6比a3，它也多三个d啊。就a4-a一得到三个da5-a二也得到三个da6-a三也得到三个d，所以大家可以发现是不是应该有三个？3d是不是？然后这个差值都是3d，

3d，3d，所以说就可以写成三的平方。d所以说后面这个n方d你就明白怎么回事儿了好吧，所以这样就懂了啊，所以它的特征和理解就相当于是把它分段儿或者分组求和。只要每组的个数要一样，这样话我们呢就可以写出它的数值，它们之间呢，仍然也是成为。啊，等差的啊，这第二个性质就这样去理解就行了，然后第三个第三个话，那么an和BN的前项分别用SN和tn来表示第三个就相当于两个啊，

这个数列。啊，两个数列好，那么两个等差数列的话，它的s我们从右边向左边正吧，就s2 k- 1比上t2 k- 1。我们从左边看，大家知道这个s的公式，我们再写一下好吧？大家知道s的公式可以写成二分之a一加an，然后再乘以n。是吧，然后大家就把这个n呢换成二k减一就可以了，好吧，把n换成二k减一就是二分之a一加a二k减一，

然后再乘以二k减一。这样的啊，就是二分之a加a二k减一乘以个二k减一把n换成二k减一，然后这个呢，也把它换成二k减一b一加b二k减一。乘以一个2 k- 1，是不是这样呢？这样呢，就把它做一下替换，那替换大家知道用咱们的性质，我们可以得到得到一个什么结果呢？得到就a 1+a 2 k- 1。是不是可以写成两个AK啊？因为它的下标之和正好是2k是吧？AA 2 k- 1这两个下标之和正好是2k。

下格之和就2k，2k的话正好是二倍的AK，这样就写好了，知道吧？这样就写出来了，好，那在这里面大家就可以看到，所以把这个式子呢？啊分子把它换成二倍的AK 2倍AK，它除以二，就这样是AK，另外这个2 k- 1跟2 k- 1，它可以约掉是吧？它是一样的。直接要剩AK，

剩是bk，这样就得到它结果了好吧，一个AK一个bk，这样就写出来了。好，这是它的推导的过程啊，所以就可以这个公式就可以把两个等差数列的求和比和它元素比之间就关联在一起了，好，这是它的考试要点，看是否明白了？好，接下来围绕等差数列做一下考试解读，首先要注意等差数列，它通项是什么特征？前项和是什么特征啊？

一定要会辨别。通项就是关于n的一次函数，前项和就关于n的二次函数，而且呢，它的长项为零，另外掌握等差数列基本性质会灵活应用性质来化简求值。好，咱们是等差数列它命题的准则是这样的，等差数列主要涉及到五个参数，五个参数分别是AA，它代表首项就代表第一个同学。an都代表末项也可以把它列成通项d呢，代表公差啊n代表个数SN代表前项和。它的这个考试命题特征是知三求二，就这五个里面知道任意三个都可以求出，

其余两个。另外，排在第一位的核心参数是公差d。这列公差d是最重要的啊，公差d是最重要一个题。如果把公差d解出来了，这道题基本上就成功了一半，知道吧？公差d。把它解约好啊，然后呢呃排在第二位的参数就是a1啊，其中这个a1和d。也把它称为一个万能参数。也就说，讲到这，

咱们数列不存在不会做的同学啊，为什么不存在不会做的同学呢？因为大不了我都用a和d去表示。是吧，把a和d解出来，解出来以后，然后再来算其他值，只要a和d求求出来了，其他东西都可以解决出来，好吧，就是最笨最笨的一个保底方法，也是把所有的已知条件都用a和d。列出来列出来，然后去求解，解完后就可以得到答案了，

好吧，这是它的这个方法思路啊，大家会分析和求解。好，那这是它的考试要点，那么这一块等差数列考试频率是比较高的。下面咱们来看一下命题方向，就是数列的判断和定义，看一下命题方向啊，若三个数ABC成等差数列，则b就称为a和c的等差中项，即a+c就等于二倍的b。好吧，然后呢？三个数，

它的一个概念啊，三个数，我们接下来来看一下这个题目，三的a次方等于四三的b次方等于八三的c次方等于16则ABC到底是？什么关系？那咱们先不要看ABC了，咱们先看右边右边四八十六，其实咱们在分析规律的时候，要么就差值，要么就看比值，知道吧？所以在这里面啊，那么就要么看差值，要么看比值好，那大家可以看到这个四八十六。

啊四八十六大家可以发现，它比值正好是常数比值常数，所以它正好是一个等比数列。啊等比数列好四八十六，它这正好是一个等比数列是吧？四八十六它是一个这个等比关系。好等比关系的话，那因为它比值是一个恒定常数嘛，等比关系等比关系，那就给到三的a次方乘以三的c次方。等于三的b次方的平方一定要乘等比数列，就说明四×16，就得到这样一关系好，那根据咱们指数运算三的a次方乘以三的c次方就等于三的a+c次方。三的b次方括号平方就得到三的2b次方。

因为咱们学过公式a的m次方括号的N次方应该等于a的m×N次方好，那因为这两个它都是以三为底的指数，所以我们就可以得到这个a+c跟。2b是相等的，对吧？因为得a+c=2倍的b好，那就说明ABC是等差，但不是等比答案就求解出来了，所以呢，就选择的是b选项。好，这是他的做题的方法和思路，很简单。好，那接下来咱们看等差数列它的通项问题。

然后通过通项可以根据啊，有两个式子知道吧，第一个式子和第二个啊，只要记住第二个就行了，因为。嗯，第一个也是第二个特殊情况，大家发现当这个k=1的时候，它就变成了第一个是吧k为一的时候啊，正好就变成第一个，所以你只要记住这一个就OK了。好，最后一个呢是相当于是前面这个的一个写另外一种形式，它不是一个新的公式啊，是另外一种形式。

好，那接下来咱们看一下，它可以作为等差数列通项的，到底有几个？所以咱们首先要知道等差数列通项它的特征。它特征是关于n的一个一次函数，所以可以把它写成an，加上一个b。是吧，它是一个一次函数啊，那是关于n的一次函数。啊，这样的一个特征，而且这个n的系数就是公差，知道吧？

就是公差d。那d啊，那么一个特殊情况啊啊，一个特殊情况特殊情况就是当这个d为零的时候。DV的颜色an它就为常数了。好，你记住这些特征，那接下来咱们一起来看好那大家可以看到，那么第一个第一个这个倒数肯定不行是吧？倒数它不是等差数列。啊，这是这个咱们这道题判断是用这个形式来进行判断，当然还可以用定义来判断啊，还可以取几个数来试，所以判断方法有很多，

按照定义式定义判断型定义就比较麻烦，定义的话你就看ang re。减a是不是等于公差d？是不是一个常数按照d啊？如果一个表达式。不好分析的时候，你可以按照定义来来证明，知道吧，不过咱们考试呢，用这个外观的形式来看的话，是更快一点，按照定义的话，你还要去算。啊算，然后这个就麻烦知道吧，

然后第二个它是一个常数，这个是是的话就把d标上d=0，第三个也是d呢，相当于等于二。零二第四个有同学说这个分式，它就不是了，所以有同学呢，就判断错了，第四个呢，它表面上是分式，但你要把它做一下变形知道吧，变形大家知道我们这个分子n方减一可以用平方差公式分成n- 1。一×n+1，然后再n加一一呢？叫n是正整数n正整数n+1，

它不为零两边呢？就可以把它给约掉，约掉以后，那我们就可以得到是n- 1得到这个结果。是吧，得到结果，它仍然是呃一个。这个等差数列，而且它d的值正等于1d的值等于一，因为n的系数，它为一知道吧，所以总共呢应该有三个啊，是等差数列的好，这是它的做题的要要点和思路。看会分析没有，

当然考试还有一种总共有三种方法，一个是按照定义做，这个太麻烦，第二个就是看它的长的样子，看它外观形式。啊以貌取人知道吧，然后还有一个就是咱们呢，实在不行你可以算几个数，比如a1a2a3。啊，算几个数，看它值差值是不是恒定的啊？是不是恒定的？这样也可以判断好，这是历史给大家你讲的，

它的考试要点。好，那接下来咱们看这个题，在等差数列中，若a1=13，然后an=21 d=2，这个n的值到底等于几好？那这个题其实呢？你就是把这个通项列出来，就可以解出n的值啊，这道题主要套通项。好an，大家知道a 1+n- 1倍的d是吧？所以an然后这道题a的值正好为三嘛为三就是啊，主要体现呢，

咱们讲过的数列里面知三求二，你看知道了三个。条件a的值a的值和d的值，然后让求二求二的话，可以求n，也可以求s都OK的啊，这道题都是可以的。好，那么这个就是an就等于a 1+n- 1倍的d，然后这块儿我们就可以写出来，正好呢，就可以写成这个a1的值三。然后d的值正好是二，然后正好等于21是吧？这样就求解出来了。

然后n的值正好等于个十啊，答案就选择a选项。好，那这又解出来了，好，如果题这道题要求SN是什么，咱们再把五参数给大家分析一下五参数。我章分别是a1首项，an末项，然后d，然后n还有SN是吧？然后这块儿这道题呢？是知道前面这三个。前面这三个可以求后面嗯，这两个可以求后面这两个知道吧？

求这个后面这两个，然后呢？这个n这道题求的，如果这要求SN怎么求呢？求s求SN的话，那这道题呢啊，大家要把n先给它解出来，知道吧？n解出来，因为这SN不管用，任何一个公式啊SN就两个公式，一个就是二分之a一加an。然后乘以个n。第二个公式是n倍的a一，加上二分之n乘n减一倍的d。

那发现不管用，第一个公式还是第二个公式，它的共同点必须要知道什么，必须要知道n。和这个a1。你看，因为第一个公式里面有a1和n，第二个公式里面也有a1和n是吧，然后这一块儿，然后呢，不一样的地方，不一样的地方就是an和这个d啊，如果要知道an。那么，用第一个公式，

如果知道d用第二公式，反正这里先把d先把n给它求出来n求出来的话，这里你就可以用第一个公式来求。是吧，就相当于是n就要等于十嘛，等于十就二分之a加AA加n，这个都写了三加二十一。然后再乘以十就可以了好吧，然后这样就得到是24，然后呢就二二十四，24除以个二得到12。然后剩下120。好，这样就写出它的数值好吧，看这一块懂了没有啊，

所以大家呢，要知道这个参数之间的关系，其实咱们做题又翻来覆去。呃，他告诉你其中三项啊的结果，然后呢，再求其他的数值。好，那接下来咱们来看一下这个题啊log 2 logs- 1 logs+3成等差数列啊，问s等于几，其实这道题大家可以排除选项，知道吧？大家知道这个对数。啊，它的要有意义，

对数的真数要为要大于零。这时候这时候要大于零大于零，那s肯定嗯，就s+1，还有s+3肯定要为正数，知道吧啊，这个s+s+3为正数，然后这个负一可能就。不太行了是吧？然后呢？接下来呢？你可以带到里面去验证也行，好，如果想计算的话，要怎么计算？

大家知道三个数成等差数列就第一个加第三个等于中间的平方。就log 2+lo gx+3。啊，这样等于中间这个数的平方啊，就中间这个数的两倍两倍，咱们前面学过啊，这个对数对数前面二的话就可以变成平方，知道吧，这二的值。然后大家学过同底，对数相加就能增数相乘这个公式，咱们学过有log 2倍的x+3。就等于lo gx- 1^2啊，这样的情况好吧，就是二倍的括号，

这个x+3，然后大家知道这都是以嗯十为底的对数，所以它底数一样，所以它这个真数。啊，这两个应该相等，这样的话就变成二倍的x+3，这样等于x- 1^2，然后把它乘开2x，加上一个六就等于x平方减2 x+1。然后把它移过来x平方减4x，然后减五它为零，那你看那这个方程呢？有两根，一个是负一。

或者说啊啊正五但是呢，大家注意这个负一肯定要舍掉，因为这个对数呢，要保证有意义，所以负一要舍掉，最后呢，是不是答案只能取x=5？这个是对的好吧，所以正确答案应该选择的是e选项s=5是成立的啊，所以通过这道题，大家呢也会解对数的方程，而且呢。啊要会呃判断对数它的意义啊，要知道它的含义。好，

那么接下来我们看已知an为等差数列a+a五=14 a 3+a七等于二六则a 3+a五的值到底得多少啊？这里大家如果用性质做的话，可能要简单一些。那大家知道a 1+a五。正好等于二倍的a3，为什么呢？大家可以看到这个一+5正好是六六的话就可以写成二倍的a3是吧？就等于个14这样要推出a3的值，正好就等于个几啊。等于个七对不对？然后第二个a 3+a七的值。要知道这个三+7，这是十十可以写成二倍a5。这样可以得到a5的值正好13啊a5值，那正好就十十三好，

这样的情况，然后接下来要求a 3+a五啊，那你a 3+a五的值就可以算出来。就等于七+13，就等于20好，这样答就选择d选项啊，这是它的这个方法啊，看这个懂了没有？所以通过这道题，大家用新的做呢，要快一些是吧啊，如果它这个角标，比如说求的不是a 3+a五。求的是a 4+a五，要求a 4+a五怎么算呢？

那这时候呢？大家呢啊？就得用什么呢？要把这个d给它找到，知道吧？就通过a3的值和a5的值，要把d给它找到d怎么找呢？d的话就是让这两个数相减a5，减a3呢是二倍的d13-7得到六，所以d的值就得到三。知道吧，得到三得到三的话，然后再算其他值就OK了啊，好，这是给大家讲的，

如果他要算的，不是下角标的这种特征，那么大家呢，就是得用d来去转化。

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