第四章-综合提高题-条件充分性判断（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:49:53

好，下面咱们看第十题，这个题好，这个题呢呃，我们可以用两种方法做一个呢，就是平方法是吧，还有一个就是画图法，正好我们刚才前面讲了一个根号的画图，现在大家就可以练习一下是吧？所以考点啊，就根号。方程根号方程的话，那一个就平方法。去根号在平方法，大家一定要注意，

根号要有意义，另外一个就是画图的方法。画图做好方法一，我们来看一下方法，一方法一的话，我们就可以写出什么首先要求左边是不是要大于？啊，就二x加一要大于等等于零啊，就x大于等于负二分之一，是不是这样的啊？左边大于等等于零，因为这两个相等，那右边自然而然也大于等于零了是吧？有x加m它也是大于等于零的。好s+m也大于等于零。

好，那下面咱们看两边平方，左边平方就变成2 x+1，右边平方就变成x方加2 imax，再加上m方是不是这样的一个表表达式？好，那得到这样一个表达式以后，我们在这里面，我们呢，把第二个呃，最后一个这个方程做一下。整理吧，整理那么前面就x大于等于负二分之一和x大于等于负m呃，然后呢，我们看一下第二个方程，

第二个方程就变成x方加上。这个2 m- 2×x，加上m方减一=0，是不是这样的一个情况？这样情况下，它要它说要有两个不等实根，两个不等实根，两个不等实根的话，那说明这个方程，这个方程要有两个不等式，这个方程要有两个不等式，而且这两个不等式根。不能舍掉，不能舍掉，什么意思？

就是这两个实根一定要在这个满足这个区间里头是吧？满足s大于等于负二分之一或者s大于等于负m在这个区间里面啊就。就同时在这个区间里面，这个要产生两根。长两根的话，我们在这里面，我们可以画一个图，因为这个题的对称轴，我们可以看出来是吧？对称轴对称轴的话，就是x等于负的二a分之b就一减m是吧，所以它对称轴我们就可以这个写出来，它对称轴呢就？就是一减m好吧，一减m好，

一减m要在这个区间上要产生两个实根的话，我们来看一下。啊，两个实根唉，一个注意，这很多同学疑问就是这两个要做一下判断是吧？这两个做一下判断到底是负二分之一和负m到底取谁？其实第十一大家可以看条件，因为。条件一和条件二，大家可以发现这个条件是m大于二分之一，说明负m就小于负二分之一。负m小于负二分之一的时候，那么这个就好判断了是吧？所以当然如果你不看两个条件话，

这时候稍微判断稍微讨论一下好吧，然后这样我们就知道取。取谁了啊？两个表示就取谁，一个是如果负m要小于等于负二分之一的时候应该取上面这个，因为这两个要同时满足，明白吧？同时满足啊，然后还有一种情况就是负m大于。大于这个负二分之一的时候，那就取这个区区间了是吧？所以负m要小于负二分之一的时候。然后这时候呢，它s也大于等于负二分之一，这是负二分之一，

在这个区间上要有两根是吧？你看它的这个抛物线，开口向上，咱们画个图向上，然后这个对称轴对称轴正好呢就是。呃一减m呃一减m在这里面，大家可以看到，就是如果负m要小于等于负二分之一的时候，说明m应该大于等于二分。之一对吧m大于等于二分之一的时候，那这个对称轴对对称轴就小于等于一个数数值，所以说它要保证这样的对称轴呢，一定得在这个负二分之一这个右侧。好，另外的话，

大家还可以看出它的应该是大于零的，因为有两个不等式根是吧？大于零不等式根。啊德尔塔应该是大于零的啊，好另外大家呢，还要满足f负二分之一要为正的。l负二分之一要为正，所以第一种情况就是负m小于等于负二分之一的时候，那就说明m是大于等于二分。之一的是吧？另外就是要求它的德尔塔。delta就等于b方b方。减4 AC。要大于零啊，当然要大大于零好，

另外它的对称轴要在负二分之一，右侧对称轴就是一减m，一减m要在负二分之一的右侧。好，另外f负二分之一要为正的是吧？也就说这个这个点。这个负二分之一的点要为正，然后负二分之一带到里面去就得到四分之一，然后负二分之一乘到里面去就变成负m加一。加上m方减一要大于零啊，得到这些式子好，得到这些式子我们来看一下它的这个。取值关系取关系，大家可以发现，这种情况就一减m要大于负二分之一，

说明这个m先解先解最简单的啊。就可以得到m。是小于二分之三的是吧？先解这个最简单的啊，这个呢，大家可以解出来把它移项移过来m就小于二分之三，然后再解这个，这个两面把。四给它约掉，四约掉就变成这个m方跟后面这个m方呢，就减掉了，所以就变成负2m。是吧，负2m，然后加一再再加就加二大大于零，

那这样就可以得到m是小于一的。是吧，好这个就得到m是小小于一的好，然后最后我们再解这个，最后再解这个，这个呢，就变成了m方。减m是吧m方减m加四分之一。它要大大于零加四分之一，它要大于零，大家可以发现这个正好是可以配方配成m减二分之一的平方是吧？可以配成。m减二分之一的平方，只要m不等于二分之一g就行了。是吧，

只要l不等于二二分之一这样就行了好，这是给大家强调这个特特特征。然后在这里呢，一定要看啊，这个根能不能刚好取到负二分之一这个点，那如果刚好取到负负二分之一这个点也行的话，那这地方就加上等号，这就行了。这要加上等号的话，好，那这个呢？就相当于是没有什么要求了，因为m减二分之一的平方肯定是大于等于零的。好，那么把这几个式合在一起，

就m大于等于二分之一m这个小小于一好这个这个这种情况，我们就讨论完了。是吧，因为这个m小于二分之三和m小于一，肯定要取小于一啊，所以这样就m大于等于二分之一小小于一，这是一种情况。好，这种情况就写好了，就m大于二分之一小于一好，这就写好了，好，下面咱们看另外一种情况，另外一种情况是什么呢？另外一种情况就是刚才说了，

就如果这个数值比较小。这个数值比较小啊，刚才咱们讲了负m比它小，然后如果负m比负二分之一大，我们来看这种情况。好，这时候m呢，就小于二分之一了，对吧？m就小于二分。之一了。好，这个写好了，对吧？m小于二分之一m小于二分之一的时候好，

那这时候这两个交集的话应该取负m这个值了是吧？这个交集就取负负m。所以说这个点就变成负m同样去列啊，同样列，然后德尔塔啊，德尔塔刚才写的就等于b方就是b的平方就是四倍的m- 1^2。b方减4 AC。要大于零对吧？然后另外就是它对称轴对称轴要比负m大对称轴有一减m。要大于负m。好，这对称轴，然后呢，再写f负m。FM要大于。

等于0 FM等于多少呢？FM就是m方。减去m乘以个2 m- 2。加上m方减一要大于等于零好，这样的一个情况。好，那接下来我们把这个呢再。解解一解好吧，这个再再算一算好，大家先看最简单的，最简单的话，那就是第三个，最简单的就一减m大于负m。啊一减m大于负m，那这个就不用解了是吧？

这个一减m肯定要大于这个负负m的是吧？因为这个I这个东西是恒成立的啊。所以这个不不能解了，然后把这个解解这个的话，两边可以除一个四÷1个四，刚才咱们其实解过，就是就剩下一个什么剩下一个负2m是吧？负m，然后这个加上一这个再加一就加二大大于零，所以m呢应该小于一。是吧m，这是小于一的，这刚才已经解过了，然后另外最后一个最后这个m方加m方减一个2m方，这个就没了。

啊，这个没了，就剩一个什么呢？就剩一个负2m。减一大于等于零是吧？减一大于等于零，然后再m小于等于一个负二分之之之一。啊m就小于等于负二分之一，这样就写好。m小于等于负二分之一好，那在这里面大家呢就是。就可以看出它的这个数值关系是吧？所以在这里面好，那最后这个f负MF负m就把s=-m把它带到里面去。明白吧，

把x等于这个负m带到里面去，好负m带到里面去，这样我们就可以写出它的这个取值范围和关系。啊，取取值范围好，那在这里面大家呢？就是可以写出它的情况啊，就m小于二分。之一这是啊，通过这个地方得到的，然后德尔塔要大于零，说明m1定小于一，这个是我再解释一下，就是f负m1定要大于零，负m大家会算吗？

就把x换成负m，这样就。可以了。好，那这个算成一个2m得到2m，然后。啊，这因为这个二m平方跟这个m方跟这个m方就约掉了啊，所以说在这里面就是二m减一大于等于零，所以m呢就大于等于二分之一是吧？就m大于等于二分之一，好m大于等于二分之一，小小于一啊，还要小于一，所以这样就写出来了。

好，所以大家可以发现，通过这两个情况讨论，得到m都是大于等于二分之一，小小小于一的，所以在这里面就条件，一是充分的是吧？条件一充分，所以有同学呃在做这个题时候就问了，为什么这两个点不用去讨？讨论啊，不能讨论，所以我在这里面就给大家解释这个疑惑，因为发现讨论完以后得到的数值呢，它是一样的，

所以咱们书上就没有给大家进行讨论。好吧，当然你考试讨论起来稍微麻烦点啊，所以现在就给大家解释，只要这两个有一个满足就行了，好吧，所以在这里面，因为这两个相等，只要左边为零，左边为非负的或者右边。变为非负的其中代表了，因为左边为负非负的就代表右边非负的或右边为非负的，可以代表左边为非负的，所以在这里面只要取一个情况。这样就行了好吧，

这是给大家强调的第一种方法，第一种方法就稍微麻烦点啊，所以这个条件一成本条件呢，是不满足的。好，下面咱们看一下第二种方法，方法二方法二呢，就画图法方法就画y等于根号2 x+1的图和y=x+m的图根号，这个图刚才是不我们讲过了，这个学会了没有？这个根号图大家知道怎么画，看x范围x是不是大于等于负二分之一了，大家就在负二分之一这一块儿来一下子就行了啊，只要这是负二分之一。然后这样来一下子就OK了好，

然后y=x+m，它是斜率为一的一条线。啊一条线，它的截距是m好，那这个直线跟这个曲线什么时候有两个焦点，有两个不同的实根在这里面，我们先看一个焦点情况，一个焦点情况就是一个是相切的手。啊，这时候m有个值是吧？就是y等于x加m，另外就刚好过什么刚好过负二分之一这个点的时候。好，刚好过负二分之十一这个点，因为如果这条线再往下来，

再往下来的话，它们两者就不会不可能产生两个交点了，听到没？比如直线再往下来的话啊，那么这个直线跟这个曲线只能有一个交点，只能有一个根。所以说它一定要介于这两个线之间的时候，那么这个直线跟这个曲线，它才会有两根明白吧，就是它才会有两个交点。好好！这时候，它才会有两个交交点产生，看是不是学会了好？那下面咱们来看一下这个截距，

当刚好过这个负二分之一这个点的时候，这个m值正好就是二分之一是吧？所以这时候这个m是刚好等于二分之一，这样写好了，接下来两者相切，两者相切的时候让这两个对应的等于零就就行了。是吧，当它就为为零，这样就写出写出来，也就说两边平方啊，两边平方就变成了变成2 x+1等于个x方加2 xm+m^2。然后这个德尔塔等于零，就代表两个字相切，德尔塔等于零，自己去解解m就算的就为一啊m算为一，

所以说在这条线的时候，这个m值啊，它正好就为一。听到没？它这个截距，它在这个上面截距正好就为一，所以基于这两条线之间的区域化，就m大于等于二分之一小于一，这样也可以写出来是吧这样？看这个是不是比讨论刚才第一个方法要简单多了，所以希望通过咱们这几个题的讲解根号这个画图的方法和直线的交点情况，一定要会判断。和分析看是不是学会了，所以条件一充分，这道题正确答案就选择a选项。

好，这是给大家强调的做题的思路和要点，看是不弄明白了。好，下面咱们看第11题，第11题这道题呢，主要考察一个基本的根号和绝对值一个转化。一个公式啊，就根号下a方就可以写成a的绝对值，明白吧？就根号下a方，所以在这里面大家看这个根号里面是不是可以配方？配方好吧，把它转换成绝对值，所以这里还用绝对值的方法来分析啊。

好，那我先把题干写一写，题干第一个式子，大家可以发现可以写成二减三x的平方是吧？第二可以写成x减一的平方。所以前面就可以写成绝对值二减三x绝对值和三x减二绝对值是一样的。是吧，所以这个写成这样的，写成这样的话，那大家想想要得到4x减三四x- 3的话，说明这个第一个绝对值一定是正的，因为x系数一定是正三这个。x系数是。负的负的话，然后变成加号，

这个才能变成4x，所以这样就可以看出它要等于4 x- 3，就说明第一个绝值里面是正的，第二个绝值里面是负的，这样的话。才能凑出四s来，所以说在这里面一定要x要满了什么要满了x大于等于三分之二小于等于一才才行，是不是这样的？听懂了没有？这样你凑系数嘛，因为这个四这个四只能分成3 x+x才能得到4x嘛。所以说这个3s是正的，然后这个因为前面有个负号负负得正变成加号，所以说这个加s这个才可以是吧，所以在这里面就可以写它的做题方法，

所以把这个范围写出来后，大家可以看条件二这个。范围是满足因条件一它超出这个范围了，是不充分的，所以这道题就选择b选项，所以这道题就考察绝对值它的一些特征和做题的方法，看十分钟明白了。好，下面咱们看第12题，第12这道题考察方程一个根大于一个根小于一，还记得咱们前面给大家总结的一个公式啊，就方程啊一根大于k，一根小于k。是吧，就一根大于某一个值啊，

另一根小于某一个值。有有有印象吧啊，这样所以这道题直接套咱们前面讲结论啊，咱们前面讲结论就a×f这个值应该小小于零是吧，所以这道题这个值相当于就为一啊。它这块儿正好为一，所以就得到是k方加一乘以个f1小于零就行了，好那大家知道k方加一是不是？都为正的呀k方加一，它正好都为正都为正了，那这个就不要了，就f1小于0f一是怎么算的？f一把s=1带到里面去就变成k方加一。减去一个四+k就x=1+1，还有小小于零，

好就得到k方加k。然后减二小小于零。是吧，减二小于等于零好这个就行了好，那在这里面大家呢就可以写出它的数值关系是吧？好在这里面我们就可以把k的范围写作k呢。应该是在负二到一之间是吧？只要k在负二到一之间的数都可以满足一根大一，一根小小，一条件一看负一是不是满足这个值呢？啊满满足是吧？条件儿k=0的时候也是满足这个值的啊，所以说它都可以保证这个方程啊，两根一根大于一根小于一，所以两个条件单独均充分，

这个答案就选d选项。好，这是给大家强调的做题的要点和方法，看这道题是不是学会了这里，大家把之前我们讲过的方程的根一根大于某个值，另外一根小于某个值，把它掌握好啊，那个公式和结论记住就可以了。好，那么第13题这个题这个题的话，它主要考点是考察这个绝值值。不等式，它的整数解的情况是吧？所以考点绝对值。不等式。

啊，它的解的情况，比如fs绝对值小于a啊，那这个它的解的情况，那这时候大家可以套公式是吧？可以套公式fx小于a大于负a啊，建议这个在由下方上推，另外我还要给大家强调这道题，大家给大家设置一个陷阱啊，大家可以看条件，1a方等于四。是不是又推出a等于正负二呀？a等正负二我要给大家强调啊。当呃某个条件，当这个条件有两两个值或多个值时候，

每个值都可以推出，它有企业只有一个职能，企业都可以推出题干。成立这个才叫充分啊，这才叫充分，听懂没有？所以在这里面啊，我再强调一下，可可能有同学理解错，有同学说s=+2时，我算的有一个整数，解s=- 2，又有个整数解，那这个条件不就可以？不就可以算出这个这个题干有两个整数解，

那就不不充分了吗？这样就理解错了，当一个条件，它有两个值，比如说一个正二，一个负二，每一个值都可以满足题干，这个说法正确。那就要充分。听懂没有？不要理解错了啊，所以在这我们看一下a=2的时候。a=2的时候，代成代到里面就2 x+4小于二二x+4小于二，这样就可以得到。

就二x，它这个是二和负二，二和负二减二就是负二到负六是吧？所以x算出来就是负三。到负负一。这样它整数解只有负二一个整数解是吧？在这个区间里面是不是只有一个负二这个整数解啊？所以在这里面提到a=2是充分的a=- 2的时候呢看。那等于负二时候变成负2x，绝对值小于二负二，绝对值小于二，那说明x绝对值就小于1x大于负一小于1x大于负一小于一。它的整数解只有x取零，也是只有一个整数解，所以条件一呢，

它也是充分的条件一充分啊，条件一每个值都可以。满足题目要求，我每个值都充分条件同理啊a方等等于九推出a等于正负三，我这个就不再一带到里面去了，你说a=+3的时候。带到里面去算，因为这个绝对值不等式，解起来比较简单好吧，带到里面去a=3的时候带到里面看整数解的情况，还有a=- 3。带到这个整数解里面，它的这个情况来进行分分析好吧，所以在这里面大家呢，就可以把条件带到题干里面去，

由下方上推呢，要简单一点。好，这道题正确答案就选d两个条件呢，都可以推出，它是成立的好，这个给大家强调的就是绝对值不等式，而且条件重新判断题，它的一个判断方法。啊，不要把重新判断题理解错了好吧，这是给大家强调的这道题。好，下面咱们看第14题，第16这道题，

它主要是考察它们的平均价格啊，它的平均价格的问题。好，平均价格那么我们看一下平均价格公式，而且这道题用到的一个呃平值定理啊，一个均值定理。所以考点就是考察平均价格。跟价格还有一个均值定理。好，我们来看一下啊，甲乙两人曾三次一同去买盐买法不同，由于市场波动，三次食盐的价格呢是？不相等的好，那么30元价格分别我们设为ABC。

元每千克。好那么三次购买则甲购买的食盐平均价格要比乙要低好，那我们来看一下条件一。听一句话，甲每次购买一元盐的。一元钱的盐乙每次购买一千克的盐好，那在这里面这个平均价格是怎么计算的呢？看平均价格。平均价格平均价格呢？就是总钱数。除以总质量。所以这样就可以算平均价格好，那么根据条件一我们来看一下甲，那它的平均价格。每次购买一元钱的盐，

那么总共三次买回来，它总共花的钱数是三。啊，总共花三，然后总质量那么第一次原盐的价格，如果要是a元每千克，那么一块钱可以买a分之一千克。第二个就是。乙啊，第二次甲第二次去买的时候一块钱可以买b分之一。那第三次他可以买四分之一千克啊，这是他的这个呃情况啊，甲他买完后平均价格我们来看乙的平均价格。再看乙的平均价格。好，

那么乙的平均价格就是总钱数，除以总质量好，那么他以每次购买一千克盐一天而言，总花的钱数就a+b+c。总共花的钱就a+b+c，所以总质量总质量总共就买了三千克，因为每次购买一千克嘛，所以他总共买了三次，所以总共买了三千克。好，那这是乙它的这个情况，那要比较甲乙它之间的关系，我们有一个矩阵定理，其中这个甲这个就叫做一个调和平时啊，所以在这里面。

我们介绍一下平均值，它的一些概念啊，那么算术平均值这个大家比较简单是吧？算术平均值就是总共相加，然后再除以个三，这是算术平均值。然后几何平均值这个大家也知道，就三个相乘，再开根号，那这个几何平均值，然后这里面有个调和平均值。啊，调和平均值调和平均值就是三除以每个数的倒数。啊除以啊，如果要n÷n个数的倒数之和，

那就是n个数的调和平均值好，那在这里面有个大小关系，有算数大于等于几何，大于等于调和。好吧，所以它有个公式算术大于等等于几何几何，又大于等于调和什么时候去等号呢？当ABC要相等的时候，它要去等号啊ABC相等的时候。当然，这道题它说价格不相同，不相同就说明它取不到等号，取不到等号，那就说明这个算数肯定要大于调和算数，大于调和的话，

所以条件一呢。啊，就充分了，所以甲的呃数值是调和平均值要比乙呢要低啊，所以条件一就不行了。条件呃甲每次购买的数量不等，乙每次购的数量是恒定的好，那他购买数量不等，那这个是呃不确定的，因为甲每次购买数量不等，比如说。呃，最便宜那一次，万一他购买了很多，这样的话，

甲的平均价格比较低，万一呃，最贵的那一次呢，有可能甲购买比较多，这是它的平均价格会比乙要高，所以在这里面条件呢，因为不知道他购买的数量到底什么样？情况，所以在这里面就条件一充分条件二是不充分的，当然考试时候啊，如果大家忘记啊它的这个。调和平平均值的话，那么在这里面大家可以取一些数来进行比较和验证一下，比如说a取1b取二。c取三那么大家就可以知道这个甲的平均价格要比乙要低一点，

这样做也可以好吧，这是给大家强调的做题的方法和思路。看这个是不是学会了，是不是听懂了啊？好，下面咱们看第15题，主要考察平均值，还有比例中项啊，它的概念算术平均值几个平均值它的概念。所以考点是考察算术平行值。然后几何平均值，还有比例中项。啊，它之间的这个关系好，它能确定x分之一加y分之一等于四好，

那么x分之一加y分之一可以变成xy分之x加y是吧？所以你看，只要知道这个值。是不是等等于四就行了啊？好，那我们来看条形一条形一是xy的算术平均值为六算术平均值为六就说明x+y它的和就等于12。比中项为根号三，比中项为根号三，说明x×y就等于根号三的平方就。等于三。啊，等于三这样带到里面去就可以充分啊，就充分的好，那么带到题干就可以得到x+y÷xy就等于四。好，

那么条件2x方y方的算的平均值为七，就说明x方加y方就等于14好吧？x方加y方就等于14。那它的几个品质为一几个品质为一，就说明x方乘以y方应该等于一的平方还是一啊？好，那在这里面我们知道题干说了x×yxy都大于零啊。x大于0y大于零，所以x×y这一块都是正的，如果正的那么条件二，大家先把这个就可以得到什么，得到x×y就为一啊，因为这个平方开根号就取正的就为一。然后x方加y方就等于十四十四的话，那么把x方加y方加上一个二倍的xy就可以得到x+y括号的平方就等于一个16。

就推出x+y，它就为正四好x+2为4x×y为一这样，那么除完后就得到就是四好吧，除完后就得到四。所以两个条件单独呢，均充分正确答案就选d，这样就求解出来了，正确答案选d，这样就写好了，看这个是不是学会了，是不是明白了？好，那本章呢？这个题目我们就讲解完毕，大家把做错的题或者不会做的题呢？

根据咱们视频讲解呢，然后再好好分析和思考一下，这样大家就可以快速的把一些。不会的题呢，给提升上来好本章我们就讲解完毕，最后祝大家金榜题名。

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