4-06均值不等式

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:46:24

下面咱们来看一下啊，模块六就均值不等式好，那么均值不等式也是考试重点，也是一个难点，很多同学就容易出错啊，我们来看一下均值不等式它的。一些考试知识点和要求，首先咱们来看一下，第一个就是平均值啊，算术平均值还有几何平均值，它的一个概念情况啊。好算账品质，就把这几个数相加除以n那这个是称为这n个数的算账品质很简单啊，就是相当于总和。除以它的个数几何，

平均值的话就相当于是它相乘，再开根号就n个数相乘就开n次根号，那就称为几何平均值。好简记为这个好记，记住这是一个人为的一个规定啊，规定你不要问为什么，这是人为的一个规定。几个平均值是对于正数而言的，它要求对于正数而而言啊，所以几个平均值要求每一个它都为正。然后剩的平均值，它这个可以正的可以负的，这个没关系啊，里面有正的有负的，这个都是不影响的，

大家呢，要掌握它的。方法和特征。接下来就是它的一个基本定理，这个基本定理也是比较重要的，考试这几次都在考察好当s1s2 SN为n个正数的时候。它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，就像算术平均值大于等于它的几何平均值，左边呢，就是算术平均值，右边呢，就是几何平均值，就是算术平均值大于等于几何平均值。它的呃，这个内容，

然后当前仅呢x 1=x二=xn时，它等号呢是成立的啊，等号它成立，这是它的这个特征。好，那在这里面，我们平值定理，它的本质是研究和与乘积的大小关系，因为上面这个写的这个形式啊，不太好理解，有同学觉得这块比较抽象。我们就可以把它写成什么呢？写成n分之这n个数的和是吧？上面看x 1+x二+x三是不是它的和？大于等于n次根号下，

这个根号里面就s1×s二×s三是它的乘积啊，是它的乘积的情况，所以在这里面它的定义就是n分之和，大于等于n次根号下它的乘积。啊，它的乘积的这个方法好，所以说它的本质就研究和和乘积大小，就像我们把两个手伸出来，一个是代表和一个代表。乘积是吧？就是和跟乘积两者的大小关系，那就代表啊，它这个平行定理表达的含义啊。好，那么在这里面，

我们来看一下呃，它最值得应用情况，因为这一块它是到底怎么样考察的呢？好当n个数乘积为定值。如果它这几个数乘积乘乘积正好为定值，那它的和就有最小值和最小值，这个和最小值怎么算的呢？你把这个分母的这个n给它乘过来是吧？分母n。给它乘过来，所以和就大于等于n倍的n次根号下乘积，这样就可以写它的结果好吧，就和大于等于n次。n倍的n次根号乘积好，这个是它的最小值，

然后当它的和为定值时，乘积呢就有最大值乘积。就有最大值啊，这个乘积这个最大值怎么呃得到的呢？就相当于是刚才咱们在写这个公式里面是不是有n次根号呀？那如何去掉这个根号呢？就两边同时加N次方好，两边同时加N次方就变成n分之和括号的N次方，这边就是乘积，所以乘积呢，就小于等于n分之和括号的N次方。这样就写出来了好，所以它的乘积呢，就有最大值，这样就求出它的这个结果好，

这是给大家强调的，它的这个特征那么怎么理解这句话呢？我来给大家举个例子，因为有同学听到这呢可能。这两句话不好理解，我们就以第二句话为例给大家进行举个例子，比如说何为定值，大家知道啊，像这个。啊呃，比如说这个60+40=55+45。等于50+50，它是不是都等于100是吧？你看它的和跟它的和你看60跟40这两个数的和还有55跟45这个数的和50。跟50它的和都是100对吧？

都是100，这时候他们要让比较它乘积60×40啊，55×45。然后50×50啊，要比较它的成绩上大小情况，到底谁大谁小呢？在这里面大家呢，要掌握它的方法是吧？所以我们呢，要学会它的内容。然后这时候呢，乘积有最大值，什么时候最大呢？就当这个几个数越相等的时候，它的乘积就越大，

所以在这里面50×50是最大的，然后60×40是最小的。这个我们在小学或者中学经常做一些数学题是什么？他说不计算，那比较下列大小，比如说我给你呃这三个数60乘以四十五十五×45。50×50这三个数，你不能够给我计算啊，不要计算你比较这三个乘积完以后，它的大小情况，那在这里面。那不计算要比较它大小，应该怎么办呢？我们来看看不计算。不要大小，

这时候呢，你就可以看它们的和正好是相同的，所谓和为相同的一个定值，这时候它们的乘积就知道谁大谁小，当这个数越越相等的时候。刚才说这个等号越相等，这两个数呢？越接近相等就相当于贫富差距越小，这时候呢，它的呃成绩呢就越大。好，这是第二句话，如果第二句话明白了，第一句话大家呢，也一样的去理解就可以了，

好，这是给大家强调的。竞争定理，接着我们考试的时候一般呢，它是掌握特殊情况。比如n取二的时候，它的特殊情况n取二的时候就是a+b大于等于二倍的根号AB好不好n取二的时候a+b大于等于二倍的根号AB。好，这是它的一个结果，好，那么这个用的呢？是蛮多的，尤其呢，就是a和b，它互为倒数的时候a和b互为倒数的时候，

比如说就a加a分之一，大于等于二。啊a加a分之一，它大于等于二，那这个互为倒数的时候，这一块大家呢？要知道它的内容。好，那么如果互为倒数呃，它的两数之和它不小于二，而且当a=1的时候，它取得到最小值。啊a为一的时候，他取到最小值，这样就可以写出它的结果了，

好，这是我们掌握的这个内容。好，那就是互为倒数的时候啊，大家呢，要知道它的范围情况。好，那接下来我们来看一下，就平行定理几点要强调的说明平行定理这个难度比较大，而且比较灵活，一定要把咱们刚才讲的它的本质和公式要理解好啊。啊，理解考试呢，还要掌握它的一些拆分和应用情况，大家呢，

要知道，所以说平行定理的本质是比较合于极的大小关系啊，用于求解表达式的一些最值。尤其在我们做一些文字应用题的时候，求一些最值题目啊，还有其他有时候几何呀，或者数列也要用，那这时候呢，大家都会分析。另外第三个就什么时候相等，它相等条件，如果算出平均的几何，平均相等则可以得到这个结论n个数呢啊，一定是完全一样的，而且它们的每一个数的值。

都等于它的几个平均值或者算术平均值，比如说它的n个数的几个平方算术平均值都为三都都为三的话，那么相当这n个数相等每个数都应该等于这个三。好吧，就举这个例子，考试频频率呢是比较高的，大家把这一块呢，要认真分析清楚。然后均值不等式，它对应的考点和方法，咱们呢就可以看出它的要求，第一个要求呢，一定要为正数。啊，一定要是都要为正数啊，

精准定理，不管四上平衡的几个平衡，它在用这个定理的时候要求是正数啊。第二个只有出现定值，它才有最值。有同学说，老师，我考试时候也用了均值，不等式啊，为什么求出的答案是错的呢？因为你那个东西它不是定值。所以说这个没法求最值第三个啊，只有他们都相等才能取得等号，所以有时候有同学呃说这个算完后啊，这个最值怎么不对呀？

然后拆分那种不对呀，因为它必须每个都相等才能取呃，等号才能找到最值，所以这三个条件可以给大家归纳六个字就一证。二定三等。是吧，所以一是正数啊，要求每个数都是正数，第二个必须产生定值，如果要不是定值满足呃，不了这个条件怎么办？如果要不是定值的话，这一定要会拆分。像咱们一九年考试真题里面，那就会出现拆分啊，

拆分第三个一定要相等啊，一定要相等，每个数都完全一样，这时候它才能取到。呃，定值啊，取到最值。好，所以说给大家总结的口诀就是这样的六个字，大家呢？把它记下来。好，这个大家记完以后啊，不能是精，不能是精髓，

大家要知道好吧，精髓就是和跟乘积的大小关关系啊，尤其当和为定值的时候。那么要知道，它乘积它的这个内容情况，比如a+b，如果要知道了好，那么a×b，那么在这里面要知道它的大小情况啊，就a+b。啊，大于等于二倍根号a×b好吧，就相当于是他这个情况啊，另外要知道均值不等式，它的一些意义情况，

就算术平均值和几何平均值，它表达的含义，这个要清楚。所以我们再给大家进行强调，另外一个就是当这个乘积为定值的时候，乘积为定值的时候，它的和的情况是吧？和和和的情况啊，那在这里面大家呢，也要知道和就有最小值和它就有最小好，这是它不等式的精髓，我们呢，在讲这个具体题目的时候，然后再给大家进行延伸啊。啊，

因为理论知识，咱们要结合实际题讲这这块大家理解才更清楚一点好，我们来看一下平衡定理它的一些基本的一些概念情况。好，我们来看一下第一个题目，第一个题目主要考点就考察一个基本的定义啊，掌握它计算公式就行了，知道吧，背它计算公式那就很简单。好，那我们来看一下，如果一组数据五x三四，它的算术平均值为五算上平均值为五，那么x应该等于多少？好，

如果算上平均值为五，就相当于是四分之五加x加三加四。它等于五是吧？然后这样大家就可以把它求解求解出来，或者说呢，大家还可以这样做，就相当于五+x+3+4，正好等于一个20。是吧，然后正好等于20，所以x就等于八，所以呢，就选择d选项好，这是很简单啊，就考察一个入门级的一个考法。

好，这个题目的话就考察几何平行值几何平行值的话，那就四个数的几何平行值就四个数相乘。四个数相乘就二×x，再乘以一，再乘以四，它应该等于二，就相当于二。这个就相当于8x。等于个16x就等于二好吧，这样就求解出来就选择a选项答案就求解出来了，看这块是不是学会了，是不是明白了？好，下面咱们看一下这个知识点，

这个知识点，它说s1s2s3，它算的平均值为五，然后求它这个算的平均到底是多少？好，那么第一种方法，大家考试的时候可以用特值法做好吧，我告诉大家一个小技巧，可以用特值法做。它把它做啊x1x2x3，它算术平均值为五，你可以取x1x2x3，它都等于五，这样不就更简单吗？比如说这几个数都一模一样，

那它的算术平均值，它肯定也是跟它是一样的。是吧，所以说它都取五都取五的时候，那后面这几个数就x1+2x2-3。x3+6还有八，它这个数变成什么了？变成七，变成一个二，变成11，变成一个八了是吧？所以变成。就把s1，s2，s3都等于五带到里面去就七二，

还有11和八，然后这一块我们就可以算出来它的平均值，平均值就四分之。这几个数的和和的话，这也不就是呃十，这是十十的话，然后这个是18。18就是28对吧？28这样算出来就等于就等于七啊，这个呢，就选择c选项，它就等于七这样就求解出来了。好，这是一个方法，这个方法做呢，

要简单，还有一个方法的话是另外一个方法，这样另外一个方法就是呃，根据题目你就用一般方法做，就s 1+s二+s三就等于15。啊，这因为根据它的这个算算平均值为五算平均值为五，它的和就等于15和等于15，然后在这里面我们就可以算出后面这个四个数，它的算术平均四个数算平均值。就相当于是x1+2x2-3。x3+6+8。然后做到这呢x1x2x3相加等于15把这个带到里面来，好带到里面来，以后那么也是算出来等于二八，

它也等于七，这个答案是一样的好吧？所以考试的时候，因为咱们都是选择题，不看过程，建议大家呢，用最简单的方法来做就可以了。好，接下来我们来看一下考项二就稍微难一点，好利用平时定理来求解它的最值情况啊，利用平时定理。啊，求解它的最值。好，我们呢，

就可以看出它先验证给定的函数是否满足最值的三个条件啊？是否满足它的条件？条件刚刚咱们讲了六个字好吧，一证二定三等啊，那这六个字买完六个字以后啊，我们再用。关系式好，接下来我们看一下例这个题这个题呢，先让大家热身呃，比较简单，考两个数的情况啊，两个数。好sy，这个r正就代表正实数r正好x+y=ss×y，它等于p则下列命题中。

正确的到底是多少啊？正确的好，我们来看一下a选项到底是是什么样的啊？a选项。a选项等于几呢s=y的时候s有最小值根号p啊s有最小值。呃，根号p好，那么我们根据我们先把两个数的平均定理写出来好吧？x+y应该大于等于二倍的根号。x乘乘以y。是吧，所以在这里面大家可以看啊x+y是不是就s啊大于等于二倍的根号p？是不是这样呢？所以说这个x+y就是ss×y就是p。好s大于等于二倍根号p，

所以a选项它说当x和y相等的时候s有最小值，这个最小值应该是二倍根号p啊，这个也也不对啊。另外，它即使当它相等的时候，还要出现定值啊，对不对？刚刚咱们这个写的这个一证二定三等啊，这这几个条件得验证呀。所以从那个条件上也不行啊，即使满足这个条件，这应该是二倍的根号p啊，所以这个这个就不太行是吧？所以b选项当x等于y的时候p有最大值，这个p最大值怎么办呢？

两边平方，因为这也都是正数啊，两个平方可以写成p小于四分之x方。是吧，所以把这二除过来，两边平方可以解出p小于等于四分之s的平方。好，那在这里面，大家可以发现啊，这个数呢，它它也不满足啊，是不是这个值它也是不满足的？啊，因为不满足原因呢，因为他这个啊一证满足了，

这个证书满足了，对吧？第二个是不是定值啊？不满足，所以总共。证这道题前提已经告诉我们了xy都是正数，然后呢二定这个定值它没有是吧？它直接给了三相等啊三等x和y相等，只是说一个。相等所以b选项错了，然后c选项它只是一个定值是吧？只是一个定只是一个定值，只满足第二个，但是没有相等呀是吧？是吧啊，

没有相同，万1 xxy不能相等怎么办？是吧，所以这个好d选项是正确的s为定值，而且又相等啊，也有相等，然后这时候呢，还有最大值啊，这个d。可以看一下一证二定三等，在第四个选项，它怎么体现出来？首先一证这个题干满足了二定s为定值出现了。三等那么这个x和y相等啊，出现了，

所以这几个条件要缺一不可，大家呢，逐一验证，那么像这六个字啊，三个条件。那么大家呢？在考试里面啊，每一个条件都考过啊，都考很多同学，第一个正的考试的时候忽略掉了就出错了，第二个定值没有找到第三个。相等的情况没找到，这都会出现问题。好，那接下来咱们看一下这个题目好，

这道题目大家呢，要掌握它的一个拆分和变形情况啊啊，有这个题目。我把那个字呃六个字再写一正二定三等。好把这个六个字再写出来，写出来大家可以看出我们来讲的这个特征啊啊，第一个是正数是已满足了，对吧？正数因为x大于零，然后这个x啊x平方它都为正的。一证它已经满满足了，所以这个条件已经可以了，第二是不是为定值是吧？所以有同学呢，直接呢套平行定理，

直接说a+b大于等于二倍的根号AB。它直接这样套就y=1个3x，加上x的方分之四，它大于等于二倍的根号下，这两个相乘。相乘呢，就是x分之十二，相乘就x分之十二好，他说这是他最小值，那这不行啊，这没有定值啊，他的成绩不是定值啊，这个不能这样做是吧，所以定值要不行，那怎么办呢？

一定要拆分在二零一九年考试真题里面就是例五，这些考的基本上是原题，就是咱们资料上原题，所以希望大家把这本书一定要多做几遍，每年考试都可以找到。里面原题出现，希望大家呢，认真把这本教材呢，好好看看啊。好，那在这里面得到这个数值以后，我们呢就可以写出呃，不是定值，那怎么办呢？我们要学会拆分。

啊，拆分这样的话，为了把这个x平方给它消掉x平方乘完啊，给它约掉约掉的话，那么要把这个三次拆三次拆的话，有同学说3s有没有同学问？啊，以前有就有同学问它的x+2 x行不行？拆成这样的，拆成这样的话，这个变成三个数啊，因为有同学刚学这一块呃，掌握的不太好，所以我把公式再写一下三个数。就三个数，

它的算术平均值，我把公式写了三个数，它的算术平均值。大于等于三个数的几何平均值是不是这样的，把这三给它乘过来，它就得到a+b+c大于等于三倍的三次根号下ABC。我把这个。公式给它写好好，有同学把它看成三个数，就套这公式就行了啊x2x和x方分之四套，这公式套公式就可以得到大于等于三倍的三次根号下。好它的乘积情况好，那它这个相乘相乘得到就是八啊，得到就是八得到八，那这个八啊，

然后开三次根号开立方根正好是二。这得到三乘以二三二就得到是六得到六，那有同学就会误选成e选项啊，就误误选成e选项，这个其实就错了。啊物选一选项原因是什么呢？原因虽然满足了第二个条件变成定值了，但是这个等号是成立不了的，什么时候取等号？刚才咱讲了。顺着平折，挤着平折，什么时候相等呢？相等到三个数应该完全一样的时候。三个数完完全一样的时候，

那这一块它的相等是吧？三个数它完完全一样完一样，大家可以发现这x是不存在的，因为x和2x相等，那这x是为零的，对不对？x为零的话，零又不能在分母上呀，那x只能大于零呀，所以这个是不存在的，好吧，这个就不存在，不能就说明这个等号呢，是取不到的，好吧，

等号取不到什么意思？他只能是接近六，但是呢，他取不到等于六，就像你可望不可及，就远远的看到。看到一个东西，但是呢，你就是呃达不到那那个点是吧？就这样情况好，我给大家进行讲一个特征，这个是咱们二零一九年考试。啊，一个要点在拆分的时候一定要是平均拆分。好吧，

所以说在这个评注里面写了一定要是进行平均拆分啊，大家在拆的时候要掌握平均拆分。好，那么也就说这个三x，我们把它正确答案应该拆成二分之三x，加上二分之三x。加上四÷x^2啊，平均下来大于。等于大于等于呢，然后套这个公式就行了，套这个公式就三倍的三次根号下，然后它这个三个数相乘，这三个数相乘，大家自己化简啊，这三项乘在一起。

三写正好等于九，正好等于等于九，所以在这里面应该是选择a选项答案就求解出来了啊，选择a那什么时候取等号呢？考试如果要问，当然是等于几的时候，它可以取到最小值呢，也要会写啊。就让这三个数相等就行了，三数相等，因为前两个数已经相等了，所以你只要让后两个数相等就行了，二分之三x。等于四÷x^2，这个我就不再解了好吧，

这要解的话就x方应该等于三分之。八是吧，所以在这里面就x的三次方。啊，等于三分之八，然后这样x就可以解出来啊，所以在这里面大家呢，就可以通过这个解释，如果问啊x等于几的时候，它取到这个最小值就是x三的话，等于三分之八时候。他取到最小值，看这块是不是学会了，是不是明白了？好，

这是我们要强调的做题的方法和思路啊，那通过这道题大家呢？要掌一个特征啊，如果正数满足了，那么定值，如果不满足，要学会拆分，为了保证最后取等号，所以一定要平均猜啊，掌握这几个概念。好，这是给大家强调的支点。下面我们来看这个题。它是一个条件重新判断题。它的题干是a+b+c+d的最大值是23。

啊，它呢？求的是和的最大值。好，这是已知条件好，接下来我们看条件一和条件2 abcd是大于一的自然数。且abcd乘以等于270条件abcd是大于一自然数a×b×c×d=120好，通过这个两个条件，它给的是什么？给是乘乘积？是一个定值。对吧，这是两条件的特征，成绩为定值题干呢，让求和的最大值好，

咱们前面学过平值定理。平定理呢，我们学过就相当于是当积为定值的时候和应有最小值，为什么这道题它让求和的最大值？是不是这道题它问错了呢？其实并不是这样的好，我们要揭示平值定理它的本质啊，这个均值定理它的本质。本质化是这样的。这个我们在前面给咱介绍过，当成绩被定值的时候，它这几个数越相等，它的和就越小，越不相等。它的和就越大，

所以我们在讨论的时候让这几个数呢，越不相等，我们看它的和呢，就可以找它的最大值。啊，如果没弄明白，咱们这里还可以求它和最小值和最小值，就当abcd它相等的时候啊，越相等啊，那么它的和就越小。好，那接下来咱们看条案一首先呢，把它进行分解。并且abcd=270。好，

270的话，我们可以在这27可以写成三的三次方，后面乘以十就是27×10。在这十可以分成二×5。好，那这就分解好了，分完了，接下来我们为了找啊这个。它的差距啊，差距让这个差距相当于是有个专业词语叫极差，最大值减最小值，它差距越大好，那么它的和。啊，就越大好，

那接下来什么样差距越大呢？你可以让其他几个数越小啊，其他几个数越小。啊，越小的话，那么剩下那个数就很大，为什么这样呢？大家想想呃，就像你在呃家里一样，那么家里其他人都省吃俭用。都用最少的，然后把最好的留给你，是不是这样的？所以说我们可以看，这时候可以取。

取a。等于2b和c。都为三，这时候就相当于这个意思，这二×3×3再乘以15，这时候那么剩下那个数。就15啊，这样的话，它就是最大的。好，所以在这里面大家呢，要知道啊，这时候d呢就等于15好，这时候我们可以得到。a+b+c+d最大。

这个就把它加在一起，二加两个三是不是？然后呢？就再加15就得到23？啊，最大值就23，这样就写好了好，这是它的这个方法，如果没懂同学，我们看如果这个要求abcd。相加的最小值最小值，这时候我们怎么取呢？让它们最接近相等就可以了，这些上呢，我们看它在怎么分啊？

最接近相等，大家一起思考一下。对吧，有时候它有三个三。还有一个五，还有五好那五最好单独给它拿到一起，然后二和三现在就是一个六。所以在这里面，你可以让a=6。a等六。b和c还为三，然后这个d的值等于五啊，等于五，这就是它最小，因为这是它极差，

是最小什么叫极差呢？就拿最大值减最小值啊，最大值减最小值最大值是六最小值三，它极差呢就三，这是最小，如果让其他分法，当然这个分法还有很多。还有很多，比如说二，然后三呃乘以三啊，然后比如说这个取。如果取a=2，然后b=3 c=9 d，它还是五，就是把两三合在一起。

就a是2b是三，然后呢c呢是三×3得到9d呢是得到五，这样的话，大家发现它极差就很大了，极差你看最大值是九。最小值是二，这样的话，它极差为七为七的话，这样是不可以的，就这个a+b+c+d。我们可以看，这时候它是最小的。最小这就六，加上两个三就十二十二，再加五得到17是吧啊？

得到最小。好，那这是它的这个方法，然后这种情况下你可以比较一下a+b+c+d。你看一下，这得到是19。啊19是吧？它就不是最小的，也不是最大的，所以通过这个概要明白均衡定理的本质就相当于是。啊，当它乘积为定值的时候，这几个数，然后越相等它的和就越小啊，越不相等啊，

它的差距越大，它的和就越大。啊，这是条件一它是充分的，咱们做题时候可以画个勾儿，接下来咱们看条件儿。条件abcd是大于一的自然数，且a×b×c×d=120啊，大于一的自然数好，那接下来我们仍然是分解。如果条件一听懂的话，条件儿大家呢啊就可以。仿照它类似的去做就可以了，好一百二一百二的话，我们就可以把它。

分成什么呢？120。一般可以分分成12×10。这样如果一个数比较大一点儿，大家在分解的时候先分成呃，大一点儿的数乘，然后再把每个数呢再细分，就像咱们。平时切菜一样，先把这个菜呢切成几个大段儿，然后每一大段儿，然后再给它切小了，往小了切，所以大家知道12。12可以写成这个二的平方×3，

这写成二×5，所以相当于是啊，这个就可以得到。这个二的三次方。然后乘以三，再乘以五。是不是这样就写好了？好，那这是它的分解情况，分解情况，那接下来我们看啊，如果要求abcd最大，让它差距越大就可以了啊，差距我们就可以取。取什么取，

这个a=2，也就是我们可以把它分成二二三个二，然后再乘以三，再乘以五。是吧，这样的一个分解，所以取a=2，然后b。等于2c，它也等于二是吧，然后d的值呢，就取15。啊，这个三×5就把它看成一个dd=15好，那这时候我们就可以求出它a+b+c+d最大。

最大就是三个26，六+15，得到二二，21啊，最大是21，所以它这个不行啊，如果要求它最小值应该怎么取呢？只要这个让它们越接近相等就可以了，越接近相等，大家可以发现你让这个二和三给它搭配在一起。啊就行了是吧？然后啊搭配在一起啊，搭配在一起，我们一定要让它级差小是吧？是吧，

这时候呢，我们试一试到底是二跟二搭配。啊，还是这个二二跟三搭配是吧？所以在这里面我们可以看看啊，那如果二跟二搭配，你看行不行啊？二二跟二搭配。比如说a=2。然后b=4 c为三啊d=5好，这是它的极差极差呢，就是三最大值是五。啊，最小值是二啊，极差就就为三是吧，

然后这样它极差小对a+b+c+d最小值。最小值就可以写出来，写出来的话，然后呢，就二+4得到六啊六啊，六+8得到14。啊，最小值就可以得到它是14啊，如果你要这样取，你看就不是了，不是如果a=2。b=2，然后有个值是六或者a让a呢是六啊a为六，比如a=6。b和c它都为二。

d它等于五，这是它极差极差，最大值是六，最小值是二，它极差就为四。极差就为四，极差的话就就为四，然后这个a+b+c+d，你可以看一下它值啊，这个大家知道这就得到15。到15，它就不是不是最小的，也不是最大的，懂了吧？然后咱们有个专业词语叫级差，

知道吧？所以在这里面这个级差的概念给大家写一下级差。就等于最大值。减最小值。啊，这是极差它的概念啊，这样就求解好了啊，它的这个方法要弄清楚好，那通过以上的学习，我们就可以把这道题。给大家进行说一下啊，总结一下好吧，总结一下，当它乘积为定值的时候。啊基地。

集成和定值的时候，然后看这几个数的极差。啊级差。越小它的和就越小。如果极差，它越大。它的和就越大。好好，如果反过来反过来，何要为定值？和腰围定制，然后看它的极差。啊，级差越小。它的乘积越大。

然后级差越大。它的乘积。越小是吧？好，这是它的这个基本的方法。好，那这是啊，给大家进行总结的，它的内容好看，这个题是不是明白了，所以这道题的答案就是条一充分条件，二不充分。正确答案就选择a选项。答案就选择a。好，

这是这个题，它的做题方法思路，看各位同学是不是明白了？好，那这是给大家强调的这个特征，好，咱把这个这个是我们总结的精髓，把它记下来。好记完了，咱们再看一下。这个题好，这个题呢比较难啊，也就说咱们作为平行定理的一个总结性的一个题啊，比较难，比较难，

以后大家不会拆分变形好吧？就是变形。然后再用平行定理这个呢，对大家要求呢，是蛮高的啊，而且这是一个重新判断题，所以呢，大家可以看这道题呢，显然啊，单独条件呢，是不充分的条件，一为什么不充分，你看条件一，如果取特值的话。取一个反例啊，

如果ABC它都为1 ABC，它都为一的时候，左边是三和一相加，右边根号一，它这个也是三和一相加，所以两边是相等的，所以它不满足。条件如果ABC为不全相等的正数，不全相等的正数，那这块也不满足，比如说a。取1b，取10c，取100。取100，

大家可以发现应该是右边大左边小，所以说这个也是不满足的，所以说两条件可以看出它那。单独呢，是不充分，所以显然要联合是吧？所以肯定要联合分析啊，这是重新判断题，它判断的思路。好，接下来我们来看一下题，干它怎么去变形，现在我们要联合了啊，联合联合大家可以发现左边是倒数，咱比较痛恨倒数是吧把倒倒数呢，

先给它变化一下啊。就a分之一加b分之一加c分之一，因为咱们是联合来推，联合来推条案一告诉你a乘以b乘以c为一对吧？a乘以b乘以c为一把，这a乘以b乘以c为一呢？带到里面去。这里面这个就变成了这个是AC+BC+AC。好，这样的一个情况是吧？好，就是AC+BC+AB啊，这样的啊，一个情况好，看看这块是不明白了，

把ABC=1带到里面去。好等于一代上面就就是BC啊，加AC+AB啊，得到这样一个值好，这是把啊它换啊，为什么要想到这一块，这个很好想，因为这个分式比较讨厌咱们。呃，想办法把分式给它变成一个整式啊，来分析好，那接下来我们看右边很多同学呃，在家是不是提前做过了？做的时候做的时候是不是很多同学做到这往下就不会做了是吧？往下呢就不会设这个就比较难一点啊，

这个比较难，然后这三个要把它变成六个，所以这块大家不好想啊，不好想把三个变成六个。变成哪六个呢？变成二分之AC加BC。二分之AC加AB。二分之BC加。AB是不是这样呢？所以这个变成六个变六个，以后那么用什么公式就两个数的算术平均值大于等于两个数的几何平均值？啊，咱们前面讲过就二分之a加b大于等于根号AB好用这样一个式子来做就行了啊，有二分之a加b大于等于根号AB。好，

那么这个数把它套下公这个数把它套上公式啊，大于等于好这个数套公式又变成根号下。AC乘以个BC。加上根号下这两个相乘，就AC乘以个AB这个相乘就是BC乘以个AB。好，那在这里大家可以发现，这个根号里面是不是有a×b×c呀啊？我用呃这个红笔给它画出来。大家可以看这个ABC是吧？这个a×b×c，然后这地方也有个a×b×c，这也有个a×b×c，因为大家知道条件，一告诉我a×b×c是不是都为一啊？

a×b，乘以c，它为一啊。a×b，乘以c为一，这个就变成了等于根号c，加上根号a，加上根号b。然后这样就写出来了，写出来唯一跟题干的区别在哪？这是大于等于你发现没有，这是大于等于。啊，然后题干要是大于号大于号就说不能取等号，所以这道题就考察了，

我们刚才讲的六个字的第三个字。啊，六个字，一证二定，三等三等就什么时候不能取等号，不能取等号就当ABC不能够完全相等的时候，那么它就是大于号，所以为什么要求条件二为什么要联合？因为条件上他说ABC为不全相等的正数，这个等号就变成没有了，就变成大于号了，明白吧，所以这个就变成大于号，这是给大家。强调的这个知识点好，

那做到这我要给大家进行讲一讲，很多同学说呃，这个是想到这个答案就是c啊，答案就是c就是往下就很好理解，就ABC为不全相等的数。然后这个等号去掉，变成大于号，所以就推出题干是成立的，然后很多同学说老师这道题呃，下次呢，还是想不到是吧这这？这道题一开始做的时候，自己没想到讲完了，可能稍微懂了点，但下次还没有懂好，

这道题记住就是一的妙用。啊一的妙用情况好，页面上大家可以看左边这个一啊，可以把它换成ABC，这是左边用完了，右边右边怎么弄？右边这个根号a。加根号b加根号c，你一定要想办法给它乘以个1a×1+b×1。加上c乘以个一这样的情况，然后这个a×1这个一呢，再用ABC来代就是这样，就可以写出来了是吧？就是a×1个。ABC.

这个就是b乘以个ABC。然后c乘以个ABC。啊，这块就比较难想啊，所以一的妙用，所以咱们在考试时候有时候要么乘个一呀，除一个一呀，加上个一呀，减一个一呀，所以加减乘除一。这一的妙用，要想到所以我把这一块本质情况再给大家写一写好，那么乘完后这个前面就可以把它变成啊AB。乘以个AC是吧？把AB配一对AC配一对，

第二个可以把它配成AB。乘以个BC好这一块就可以把它配成一个AC。加上一个乘以个BC。AC×BC，然后做到这，就可以想到咱们刚才讲的这个公式了，所以这一块是这样倒着想的好吧，所以有同学没想到我在这里面又给大家进行。补充一下，如何想到这一块方法啊？大家呢？要知道它的特征。好，这是这个题，给大家进行讲的知识点啊，

大家呢，要好好消化一下，总之平测定理呢，还有一些其他的做题方法，等到后面大家再做作业题，或者后续的课程，我们还会再给大家进行。补充更多的平行值定理的一些考试内容，大家呢，把这些题呢，要好好的去消化一下。

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4-06均值不等式

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