4-05特殊方程（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:46:10

然后接下来咱们再说一下指数和对数，那指数对数的话呃，前面有同学没学的，或者说忘记同学，我们把这公式呢，帮大家简单的温习一下指数对数，咱们考试要求也不是很高啊。所以这一块儿呢，大家做一个了解内容就行了，好吧好，那么指数方程一般呢，大家会用几个公式，然后进行换元是吧？换元以后，然后再来进行分析。

所以在这里面指数公式，咱们简单介绍一下好吧，指数公式呢，也没几个指数呢，要简单知道吧，所以指数公式呢啊，也不多啊，我们给大家进行写一写好吧。谢谢好，那第一个就是a的m×a的N次方，我们想想等于多少是吧？那a的m×a的N次方。这个大家知道同底的两个指数相乘，就等于m和n相加。就等于m和n这个相加这样的一个情况，

然后接下来我们看它两个。这个相除啊，相除就如果am÷a的N次方就等于a的m-n次方是吧？就a的m如果除以a的N次方。啊，这个m和n又相减好看，这个懂了没有好，另外大家还要知道呃，就是a的。这个。m次方括号在N次方看大家还有没有印象啊？a的m次方括号在N次方。就a的m次方括号，再加N次方那这一块儿，它变成什么了是吧？

变成什么样？一个内容变成就a的。m×N次方对，就是相乘啊。m和n是相乘的。a的m×N次方m和n是相乘的。这种关系。好看，这懂了吧呃，最后一个就是a的负的次方知道吧，比如a的负的m次方。就等于a的m次方分之一啊，就a的负m次方。又等于a的m次方分之一有这样的一个特征。就a的负m次方就等于a的m次方分之一啊，

这样的一个方法看这个懂了没有？好，那这个负的次方，另外呢，还要记住这个指数呢啊，它这个是呃，都是大于零的，知道吧，指数都大于零的指数，指数图像可能有同学忘记了，忘记要简单说说好吧，大家这个前面。呃，没听过的同学，那要知道啊，

当这个a要大于零的时候。好a要大呃a要大于一的时候啊a大于一的时候，它指数是单调增的是吧？就a大于一。啊，它这个函数是单调增的啊，然后忘记同学，你可以举一个例子，比如说呃y=2的x次方，你可以想这样一个例子y=2的x次方，你想x越大，这个y的数也越大。啊x呃，增大的时候y它也在增大是吧？就单调增的当a大于零小于一的时候，

它这个呃图像呢？是单调递减的啊？就a大于零小于一的时候。a大于零，小于一，它图像呢？是单调递减的啊，这样的一个图是吧？所以a大于零，小于一啊，单调递减。啊，就x越大y越小，知道吧你比如说y等于一个三分之一的x次方，大家想想。

啊，大家如果这块觉得比较抽象的话，你可以用一些具体的实例来进行理解是吧x呃，比如三分之一x次方，你想想x越大。啊，它这个y的数啊，慢慢在减小对吧？所以这是它的这个特征啊，不管是啊a是大于一还是a大于零小于一，那它这个图像都是正的。好吧，都是正的，这样的一个内容。好了，

大家也不要觉得职务对手比较难学啊，所以忘记同学把这些考点和公式给大家进行简单说一说。好，那接下来咱们就通过题目来训练这些知识点好，大家看一下这个题目好吧，然后做一下这个考题。它关于x的方程，所有实根乘积到底是多少？啊，所有实根乘积，那是我们要把这个东西进行换元啊，换元，然后再来求求解，所以遇到这类。指数它的这个图像的时候，

我们换元来进行分析和思考啊，换元求解就可以了啊，所以关于x方程，我们做一个换元。啊，处理好，那我们来看一下这个怎么去换元？对吧？它换元应该怎么实现啊？所以例20这个题目。好，这个题目大家首先要观察这几个部分有没有共同点是吧？有没有共同好，大家可以观察一个什么情况，看这里面就出现了这个二的。

啊，这个一个负的x- 1的绝对值啊，前面又是四的。一减去它，然后在这里面，我们就可以逐个来换，这里面又遇到绝对值啊，用到绝对值，所以这道题有一定的难度，因为涉及到绝对值，涉及到指数。是吧，然后最后还要算这个方程的根。好，那我们第一步先做一下变换好吧，

那四的一减去呃x- 1是否可以写成四？乘以四的负x- 1的绝对值啊，看第一步是不听懂了啊。啊好，那么第一步就可以这这个情况啊，这个情况什么叫换言我讲讲换言就把整个啊一个整一个东西看成一个整体？啊，看把把这一大包看成一个整体，就像你的行李箱一样，你把这个整个一一装满一个行李箱，就看那个整体，就像咱包装箱一样。是吧，这一箱我看成一一个东西，就像你买化妆品买几套是吧，

就把这几个给你配好，配成一套，你要几套？啊，就这样的情况是吧？好，这叫这叫做换元啊，好，就是相当于把这个看成整体。九×2的负x- 1的绝对值，加上二它等等于零。好吧，就写成这样的，写成这样以后大家思考一下，我们令谁等于t呢？

大家想想令谁为t啊？是否可以令。t=2的负x- 1的绝对值是吧？我可以写令t=-x- 1的绝对值。你看是不是这样的，这个看听懂没有啊？这个作为一个整整体，整整体，当然这个t要是正的啦t要是正的。啊，不仅t要为正的。然后第一个能不能写成二的二次方可以啊，第一个第一个四可以写成二的平方，第一个四可以写成二的平方。知道吧，

就就前面这个四可以写成二的平方啊啊，就在这里面，我给大家进行呃说一个这个东西好吧，比如四的m次方。四的m次方。就可以把它写成二的平方。m次方是吧？就一个写二的平方。m次方是吧？然后大家知道这个二跟这个m可以换啊，可以写成二的m括号的平方。知道吧，可以写成二的m括号的平方，也就是说这个二跟这个m可以交换。交换交换的原因是什么呢？

我给大家写也就说呃a的m次方括号的N次方等于a的N次方括号的m次方。它都等于a的m乘以次方。知道吧好，我把这个给它写一下吧，就a的m次方括号的N次方等于a的N次方括号的m次方。它都等于a的m×N次方，也就说在这里面，这个m和n它俩可以交换，知道吧？可以交换，不管怎么换。都行，可以进行交换。这个懂了吧，就m和n这两个顺序可以交换在这里面，

你交换一下。好，那么交换以后那么就说明啊，如果令t等于这个式子令t等于这个式式子的话，那么前面这个四的这么多次方，这样就可以把它看成t的平方，知道吧？看这一块儿懂了吧，就第一项可以写成4t方。减9 t+2=0是吧？是不是就可以写成4t方减9 t+2它为零？看这个是否明白啊，可以写成4t方减9 t+2，它等于零。好注意这里面t它是有范围要求的啊t有范围要求，

大家能不能告诉我t咱们这道题t的范围是什么啊？看谁能想起t的范围？t的范围不会求的话，我们一步步来求对。有同学说t大于零，这个说的非常好t大于零的话，因为这个t它是一个指数函数，所以t大于零，这个是没问题的。那还有没有哎？因为另外一要求呢，还有没有另外要求，除了t大于零之外，还有没有其他要求？好看，

哪个同学的回答对啊，看还有没有其他要求呢？想一想。对它还要小于。小于一为什么小于一呀？然后在这里面想想为什么会小于等于一呀？原因是什么原因？就因为这个负的x- 1绝对值是不是小于等于零？好，你看看负的x- 1绝对值是不是小于等于零？咱一步步来，大家知道一个绝对值可能大于等于零，但它负的这个绝对值肯定小于等于零，对吧？负的绝对值，

它是小于等于零啊。对不对？小于等于零，小于等于零，那么以二为底的指数又单调增的，什么叫单调增？单调增它这个数越小，它的这个指数也越小，也就说它这个负的绝对值比零小，那么二的。负的这个绝对值这么多次，方小于等于二的零次方看这块儿能不能听懂好吧？是吧，是不是小于等于二的零次方？那谁能告诉我二的零次方是等于几二的零次方？

啊二的零零次方，它就是一对吧？所以二的零次方，它为一，所以这个t的值肯定是小于一。小于等于一大于啊。零的好吧，所以t的值啊，就是就是t的值，我们解释是大于零，小于等于一的。好，那得到这样一个式子。啊二的零次方记住，一定是唯一的啊好，

那接下来我们再回到刚才讲的这个方程，这个方程大家解一解，有没有同学解出来用十字相乘解一下这个方程的根？好吧，大家想想十日相乘，我们写下十日方程的根啊呃，这个四的话是不是可以写一×4？一×4，我们看这样这样写行不行？好吧，这个四的话可以写成一×4，然后负二和负一。好，那在这里面那么对有同学算出来啊，一个t等于呃等于二，

还有一个t呢是等于四分之一是吧？t一个等于二，还有一个等于四分之一。啊，这个t应该很容易解出来一个二一个四分之一。好那么一个二一个四对对，有同学说的非常好，二要舍掉，如果是这道题，要问方程有几个根，那有同学肯定会选错。好吧，所以二这个要舍掉，说的非常好啊，二这个要舍掉好，

二舍掉原因就是刚才我们讲过的这个t的范围，它是不满足的是吧？所以二啊，这个舍掉接下来t等于四分之t等于四分之一，最后把x解出就OK了好吧，那大家知道四分之一是不是可以写成四分之一啊？四分之一可以写成二的？呃负二次方是吧？是不是这四分之一可以写成二的负二次方？四分之一，你在想琢磨琢磨是不是可以写二的负二次方，然后这个t又等于二的负x减一的绝对值？是吧，所以说在这里面，我再强调一下这一块儿怎么来来的啊，

这块儿就是把t等于四分之一求出来以后，那么t又等于二的负s减一的绝对值。那么，这个四分之一一定要把它换成二的负二次方，二的负二次方好不好？换成二的负二次方，这样就可以得到x- 1的绝对值，正好等于2 x- 1绝对值等于二大家前面学绝对值的同学要知道啊。一个数的绝对值就x- 1的绝对值正好等于2 x- 1的绝对值等于二，那就可以得到。x=3。或者说负一是不是这样的，大家琢磨琢磨是不是这回事儿，所以x就把答案写等于负一或者三。s就等于负一或者三。

这样的情况好吧，而x值就等于负一或或者三。好，这个内容好，那有同学说为什么t要大一点，因为刚才咱们讲过就指数它的这个这个图像想想。指数它的土图像，它都是正的，它都是正的，也就说不管二的多少次方，它都是正数。听懂了没有？二的100次方也好，二的负100次方也好，你自己琢磨琢磨，

你算算是不是正的，你想想。啊二的啊，任何次方不管是正的啊，几次方还是负的多少次方，你想想啊，懂了是吧，懂了就OK OK了。好，那这个这个就可以得到它t的这个范围。这范围就解出来，解出来以后，它问所有实根乘积所有实根乘积，然后选择第四个选项。好好，

所以这道题x有两个值啊x得到答案，一个是负一一个正三。有两个值好吧，一个负一，一个正三，这样就写好了好，这是它的呃，做题的方法思路，看这个懂了没有？好，那接下来我们再来看一下啊，那么这个题大家听完了，收获啊，收获以后遇到这个指数啊，大家会换元。

啊，什么叫换元就把它看成一个整体，看整体以后转化成咱们常见的一个二次方程好吧，然后这一块儿啊。好有同学问那小于等于一怎么来来的是吧？好小于等于一怎么来的？因为大家知道这个绝对值，它肯定小于等于零嘛。啊，这个绝对值，它肯定是小于等等于零的绝对值，小于等于零，然后那么二的这么多次方也小于等于二的零零次方。知道吧，然后这一块儿如果不太清楚的话，

你看我再给你写一个，如果a要小于b就说明二的a次方小于二的b次方，这个懂了没有啊看？嗯，你得写明假设a是小于b的，那那么二的a次方就小于二的b次方啊，你看这个是不是懂了？好吧，那看看这块儿，刚才这个同学是不是懂了啊？好，那么有同学说怎么想到这一步的是吧？怎么想到这一步？因为大家以后遇到这个比较复杂的方程，我们肯定要把某部分看成整体。

对吧，这是很重要的，就是像咱们啊，回回去收拾东西一样，收拾东西，你就像你搬家一样，搬家是不是把很多零散东西打一个包啊？是不是这实际上你搬家是不是装了很多箱子？因为你不装箱子，这很多零散的话，你搬也不好搬呀。是不是是不是找很多箱子给他打个包？哎，这是一个箱子，这个箱这个箱子，

那咱们做这个题一样，你把这很很零散的零碎的东西啊，哎，把它看那个整体，这是一个包，这是一个包。是吧，然后呢？唉，等你把箱子搬到目的地以后，你再把箱子拆开，再把东西给它取取出来，是不是这样的一个思想呀？是吧，这道题也一样，

我们把二的这么多次方这一一个呃，看起来很很乱的一个东西，把它打个包打包，然后呢，我把这个包啊求出来以后，然后再把包给它打开。拆开拆开，然后再哎解内部的x这个懂了没有？就相当于你把这一个一个整整体听懂了没这一大堆。整体这样的情况好啊t不能大于1t是小于一的t不能大于刚才咱们讲了，有同学为什么t要大于1t，它只能小于一嘛。啊t它只能是比一小嘛，是吧？这一块儿t只能小于等等于一，

不能大于一啊。好吧好，那接下来呃，咱们再看一个呃，类似大家练习一下，练习一下，其实有同学说为什么这样想，其实做多了啊，自然而然就明白了，好吧，你做多做多了，就像这道题，这道题也一样。这道题大家没预习的同学可以呢，简单思考一下这个题对大家问这个方程到底有几个根，

有几个正根还是负根？是吧，大家思考这个题。那这个题也是考的真题的一个改编好吧，然后这个呃，它的这个情况啊。好，那么接下来这个题，它的方程，它要等于这这x到底是什么根？大家想想到底是什么根啊？啊，就四的x减二分之一，加上二的x次方等于一，它应该到底是什么根？

好吧，那么对我们就可以进行换元是吧？可以进行换元，好换元的话，那在这里面我们把谁看成个t呀？你想把谁看成t，把这个二的x看成个t，这能看看懂吧，所以定t就等于二的x次方。好看，这个懂了没啊？就列t=2的x次方。好0 t=2的x喽，大家是不是首先要把t的范围解出来，大家告诉我t的范围应该是什么情况t的范围？

谁能告诉我t的范围应该什么情况？啊，大家琢磨琢磨。提的范围对提的范围大于零就就就行了，大于零这道题只要大于零就行了，有同学问这有同学说这里用不用写什么小于一不用写了。没有，因为这个x。因为这个x啊，它可以任意取对吧x它可以任任意取。你想想它的图像嘛，它可以呃任意取。所以所以这个t啊，就大于零就OK了啊啊t不能为负的，接下来我们告诉我。

这原来方程怎么写？原来方程要不会写同学，我再说一下啊，原来方程原来方程那么四的x减二分之一可以写成，是不是可以写成四的x？乘以四的负二分之一次方看第一步，这个懂了没有啊？就是呃，我把这个过程详细的写出来，好为了帮助大家理解。好吧，然后大家可以看四的x减二分之一。根据四的x乘以四的负二分之一次方是不是？然后再加上二的x，它正好等于一。

所以再加上二的x次方，它正好为一就写好了，这样那么如果令2x方等于t令2x方等于t，大家想想这个可以变成什么？这可以变成什么？大家告诉我四的x次方怎么写？4x次方刚才我给大家已经推导过，是不是可以写成t的平方呀？为什么4x可以写成t的平方？因为四是二的平方。它们加上相同的x次方，它还是平方的关系。懂了吧，它还是平方啊，所以就是t的平方。

然后这个四的负二分之一次方四的负二分之一怎么写四的负二分之一会不会算？啊，不会算四的负二分之一次方啊。啊四的负二分之一次方不是不是等于二四的负二分之一次方不是等于二。啊，有同学不会算不会算，我写给你写写吧，四的负二分之一次方可以写成四的二分之一次方分之一四的二分之一次方还不会四的二分之一次方其实就写成根号四。知道吧啊，这个懂了吧，不会同学我再写一下四的负二分之一次方，你把它看成四的这么多次方分之一那么二分之一次方就代表了根号。知道吧，根号，所以根号四就等于二分之一嘛。

是不是这是二分之一？这个写好了。好看，这个懂了吧？这是啊，二分之一，所以说这样就可以写成t方乘以二分之一，然后再加t它等等等于一，这就写好了。啊t方乘以个二分之一是吧？然后再加t它为一。好，这样就写好了。好看这个懂懂懂了没有？好，

那这是它的这个方法。那然后呢？两边再同乘一个二好吧，两边同乘一下一项t方加2 t- 2=0。然后得到t方加2 t- 2=0，大家看好t方加2 t=0这个方程实质相乘，你分一分好像分不开。啊，分不开，分不开就只能用求公式，求公式，大家看还有没有印象好吧，求公式背一背，那求公式的话，那这个t我们就可以把它写成。

啊t大家想想求温公式啊，就等于2a分之负b2，2a分之负b。二，a分之负b加减根号，根号就等于b方减四一c是吧？b方减四一cb方减四一c，这个是不是等于12呀？大家大家检查一下，看对不对啊？加减根号德尔塔。啊，就b方。减CC好，你看是不是这样的？

好注意这道题，它t求出来有两值，有两值一定要取t大于零的那个值啊。TT大于零，所以这个取t等于什么呢？取t。啊t应该中间取加号t，取加号知道吧，所以它应该取这个t。那要上下约掉啊，大家知道根号12根号12就写成二倍根号三知道吧，根号12呀，我再写一下啊，就照顾了一些基础薄的同学，又写二倍根号三。

看得懂了没有啊，就这个这个根号12可以写二倍根号三看这个懂了没有？好，如果懂的话，那这个t咱们就取正的啊，正就等于根号三减一。知道吧，好那t呢，又等于二的x次方t又等于二的x次方。好，大家知道根号三减一肯定是小于一的，对不对？根号三减一大家知道根号三是一点七嘛，一点七三二根号三是一点七三二，那么减一是零点七。

啊，是吧，所以它它大约是等于零点七三二。大约是等于零点儿七三二零点儿七三二，那这个零点儿七三二它肯定是小小于一嘛，肯定是小小于一的。这个小于一就相当于x应该小于零对吧？因为二的x方肯定是小小于一对不对一可以写成二的零零零次方嘛？是吧，二的x它肯定小于一嘛，这道题小于小于一不是那x小小于零嘛啊，小小小于零。所以在这里面，大家呢，注意有同学哦，

有同学算到t，然后就选了是吧？哦，那有同学考试时候这个就丢分儿了。那可能啊，算到TT发现有两根或者什么根就选了，有同学就选选选了d，他说这个t有一个正根，一个负根，然后那那这个啊就丢分儿就太可惜了是吧？那这个题还没做完呢，就选了应该人家问x到底什么根？ii x是小于零的，所以它只有一个负十根好吧，应该正确答案应该选c吧？

是吧，这个答案应该选c啊，选c好，然后有同学呢，可能会选择b呀，或者选择d呀，然后这块儿啊，就是就丢分儿了好吧，所以x应该是小于零的。啊x小于零就说明是负根，如果x要大于零就说明是正根好吧，因为这个具体它的是多少，这个就取log log，咱们这块儿就不用再算了。好吧好，

这是它的情况，看懂了没有啊？好，那接下来咱们再看一下这个题，就根号二加一和根号二减一，那这个就在咱们呃二零。二一年考试真题没有出现这样的情况好吧，大家要知道它有倒数啊，会倒数对对对。那互为倒数啊。好，那么这个啊，小辉同同学学习呃，这个特别呃，认认真啊，

特别认真，而且呢啊，也是呃，很爱动脑筋思考。啊，因为小威同学还经常跟我微博互互动好吧，然后他把这个这个自己的方法呀，比较好的方法呀，然后呢啊，通过微博啊，都给老师来进行私信互动。是吧啊，非常好啊，然后在这里面好，那接下来我们看例22这个题好例22这个题的话，

然后大家要注意咱们前面讲过的一个是根号2 n+1加上根号n。然后根号n+1减根号n。它这个互为倒数，为什么互为倒数？它相乘等于一好吧，所以它这个就是根号n+1。加根号n乘以根号n+1减根号n，它正好就为一好吧，正好就为一。那这样就不易。好啊啊，而且有愿意和小黑交朋友的同学可以可以举个手是吧啊，举个手老师呢，可以帮你们牵线搭桥，然后组成一个啊，

互帮互助的一个学习小组。好吧，然后呢？呃，帮助大家共同提高好吧，然后呢？大家呢？就是愿意的，然后在这里面啊？老师呢？可以帮助你牵线啊啊，这个举个手。好吧，然后小学同同学呢，然后这一块儿啊，

然后你们呃都是为了学习是吧，不要有其他想法好吧，都是为了好好学习。啊，好好考试啊。好，那接下来我们来看一下大家呃呃，然后来回到这个题了啊，这个题就会倒数，这个很重要啊，这是一个倒数关系。啊，这有个倒数关系啊，这个咱们这个二一年对有同学就知道这些考试里面就出现过是吧，倒数关系，

所以这道题又用了一个倒数一个情况。好吧，然后在这里面大家呢来回来，然后你可以另一个等于t那另外一个就等于。t分之一，这也能看到吧？那那前面为t，后面为t，这个是没关系的啊，这个是没关系的好吧，然后在这里面好，我们就练t。等于根号二+1x好吧，就令t等于根号二+1x。好，

这样的情况。好吧，然后这样的啊，就t又等于根号二+1x次方啊，这样的一个特征好，那么在这里面大家呢啊，可以看到，如果令t等于它。那么，这个根号二减一，它的倒数啊就倒数，所以这个t要大于零，知道吧？这个t也是大于零，刚才我就不用再再再解释好吧，

这个t。是大于零的。啊t是大于零好t大于零，然后在这里面大家呢呃，解完后一会儿一定要选这个t正的那个好吧？好t大于零，那原来这个方程就可以变成t加上t分之一等于六是吧？是不是可以变成t加t分之一，它会为六啊？然后这样的一个情况好吧，然后再是这样的一个特征啊，就t加t分之一，它等于六。好，这是它的这个。

方法啊，那这个呃懂了没有懂了，那又遇到咱们分式问题是吧？分式问题的话啊，大家一定要去分母对吧？所以两边通乘一个t。然后呢，把它变成t方减6 t+1，它等于零是不是？然后在这里面就是t方减6 t+1，它等于零。好，这样的一个情况啊，就是把它呃移项变形，这样的话就去分母了啊，

变成这样的一个式子，变成个式以后，然后这个大家要用。啊要用啊，然后这一块儿啊，求公式做好吧啊，求个公式，然后这样来分析，因为它这个十现在也没法分，大家用求公式来写好吧？好，那求公式的话，那这个就t就等于呃2a分之啊，大家背一下求公式啊，就2a分之负b。

对吧，这个我们在讲方程中讲了啊，2a分之负b加减根号德尔塔，我们看大家算算德尔塔是多少好吧，大家算一下它的判别式德尔塔。啊delta。在这里面啊啊，算delta它就等于b方减c32。对，有同学算出来32。呃，这个根号32，大家会不会化简根号32呃，可以写成四倍根二是吧啊？啊，

这个根号32这个这个大家会画吧，就有同学不会的同学，我说一下啊，就根号32。等于四倍根二啊，而这四倍根二怎么来的呢？因为大家知道32可以写成16×2对吧？36，32，32可以写成16×2。16号把它开出根号来，就得到四好吧，就得到四啊，这样的情况啊，所以在这里面这个算出来就等于三加减二倍根号二。

啊，这个算出来三加减二倍根号二，好在这根号二是一点四对吧？根号二是一点四，所以三加二倍根号二和三减二倍根号二都是正的，都是正的话，那这时候。啊，两个都可以要，如果你算出来有两个值算出来两个值，如果有一个呃是这个负的，要舍掉考试时候不要不要选错了啊。啊，这时候要舍舍掉了。所以这道题三加二倍根号三减二倍根号，

它都是可以的。好，这个听懂没有？好，这个t的值知道了t的值它要呃t又刚咱们讲了，又等于根号二+1的x次方是吧？所以说t的值。t又等于根号二+1的x次方，这个我们就可以把x给它解出来，那这个x怎么解？本来是要取log，知道吧？本来是呃要取log这道题，大家呢？不用取log好吧，

不用取log好吧，然后在这里面大家呢啊，这个特特征。没问题，因为这道题就考察一个根号的一个配方，可能有同学又忘记根号的配方，因为我在把它展开讲，因为有同学这块怕听不懂啊，比如t1要等于三+2倍根号二的时候。这个三+2倍根号甲作为一个t一个根三+2倍根号二。乘以二倍根号二可以把它写成根号二+1^2。是不是可以写成根号二+1^2呀？这样的特征是不是就根号二+1^2？好这样呢，是根号加一平方，

然后在这里面大家三+2倍根号二，为什么可以写成根号二+1平方，因为那个三可以拆成二+1，知道吧？三可以拆成二+1，所以这道题就比较巧妙啊，这道题应该把根号的东西呃呃，精华都。都包含了，知道吧，这道题考的质量比较高啊啊，考试如果再呃出根号题的话，那这道题应该是非常巧妙，一个题好吧，所以根号加一的平方。

根号加一平方，它这样等于根号二+1的x次方，所以这x的根一个就是二是吧？它这样等于根号二+1的x次方。这s得到就是二好，这是第一个根是吧？第一个根，然后第二根，第二根如果要三减二倍根号三减二倍根号二，可以选择根号二减一的平方。对吧，所以t二它要等于三减二倍，根号二还可以写成根号二减一的平方，好根号二减一平方，我们可以把它写成什么？

写成根号二+1的负二次方啊，因为这一块儿有同学不熟练，就多推一步好吧，多推一步就可以写成。根号加一的负二次方。好，这样的情况。然后它要等于一个根号二+1的x次方，它就得到x就等于负二，所以它这道题。啊，它要等于根号二+1的x次方啊，这个x就得到是负二得到这个值，所以这道题它求出来就有两个根，一个是正二，

一个是负二。知道吧，所以在这里面我们就可以写出有两根啊，就这个里面看大家懂了没有啊，就这是一个根，这又是一个根，所以它应该有两根。两根所以两根乘积二跟负二乘积，那这个是选择的是负四啊，这样答案就选择的是d选项。好，这道题有一定难度，我想讲讲讲这道题含根号含了这几个方面，第一个方面要知道根号，它的一个呃倒数特征。

好吧，要能想到这个在咱们二一年考试里面就考到了啊，根着这个特征，这个公式，要知道这有个倒数情况。那看能不能想到下次遇到这个根号的情况，就要想到倒数。好，第二个呢，就要知道它的一个换元换元，还有根号的一些运算，比如这道题根号32，你会不会化简是吧？根号32，它的一个化简情况。

最后有根号的一个配方，根号的一个配方啊，根号配方，根号配方啊，我看在下面给大家写一个配方公式好吧？如果要是n+1。加减二倍的根号n啊，如果它要写成n+1加减二倍根号n，我们就可以把它配成根号n。加减一的平方是吧？给变成根号n加减一它的平方，这样的一个情况是吧？然后这块儿最后的公式，大家可以记下来好吧？就是如果前面这个三或者前面几可以把它称成n+1加减二倍根号n这样的一个形式，

那现在就可以配成根号n加。减一块儿的平方好吧，这个配方，所以根号大家会把它配成一个完全平方，用平方公式来分析和思考好看这个题是不是懂了啊？这道题非常全面，把根号的内容都给大家进行。呃呃，讲到了，看大家听懂没有？这样接下来咱们再看一下这个对数情况好吧，大家想想再看一下这个对数啊，对数的这个方法，这时候我们先。说一下对数公式啊，

对数公式好，那对数公式的话，总共呢就是三类公式好吧，所以给大家进行先温习，有同学忘记了是吧，忘记了咱们说一下对数公式啊。有三类，第一类有同体的对对数。啊，同底。同理，这时候注意它可以相加，可以相减，它没有没有乘法啊，没有乘法可以加，

可可以减，知道吧，它是没有乘法的啊。你看同类数相乘不行，它可以相加，那比如说log以a为底啊，这个b的对数加上log以a为底c的对数，它等于log以a为底b×c。好吧，就log以a为底b的对数，加上log以a为底c的对数，它可以写log以a为底b×c。好吧，就这个。地方啊，

如果如果这地方要改成减号，知道吧？如果这地方要改成减，那我以a为底b的对数减去。log以a为底c的对数可以写log以a为底b÷c好吧，就log以a为底b的对数减去log以a为底c的对数。可以选log以a为底b÷c。好看，这个懂了没有是吧？然后它可以写成这样的一个。那么，有同一对数可以加，也可以减，没有乘法啊，自己不要发明乘法，

不要两同一对数相乘，你自己发明个公式，那这个错了。好，那接下来就是一个幂运算。啊，命运算。运算咱们记一个公式就行了，如果底数a这个是m次方，真数是N次方，我们把它写在前面写成m分针log，以a为底b的对数好吧？所以这样就可以写log底数是m次方b是N次方就等于m分之n log以a为底b的对数。啊，这样的一个情况是吧？

然后这样im分之n对，然后呢呃，咱们一般有时候呢啊，比较特殊情况就是m等于一的时候。m=1的时候。是吧，还有有时候是n为一的时候，还有时候m和n相等，反正就就不管它怎么样，特殊情况，只要抓住这一个呃公式就行了，一个公式的话，它的特征什么这个底数的次方，它要写在下面分母上。这也很好记，

知道吧，原来m它在底下的，然后这一块儿它还在底下，然后这个n。在上面的还在上面，就下面还在下面，上面还在上上面好，那这个对数咱们二零一九年考试就出现过好不好？还有之前也考过。啊，之前也考过，反正就这个对对数呃，最近一次考试，二零一九年啊，它考了这个对数啊。

然后最后一个就换底公式啊啊，换底公式就这三个嘛，又不是很多，又不是说让你记100个，不像英语单词，英语单词一记就得记好几千个，对不对？咱数学数学对数公式，我就已经压缩了，压缩就三类，一个是同底的，一个是幂运算，还有一个换底的就没了，好吧，这就就没了啊。

换底公公式。好换底公式是什么情况呢？换底。因为为什么要换，你知道吧，就像大家比赛一样，比必须站在同一个起跑线才具备可比性嘛，是不是大家比如说你们在跑呃一千米和跑100米，是不是大家都得站在同一个起跑线上？对吧，这才具备可比性，就是换底公式，如果几个对数，它不在同一个起跑线上，通过换底把它变成同一个起跑线，

这样才能够运算，因为只有同底对数，它互相才能够运算。好吧，换底公式换公式，大家还记不记这个公式啊？就log以a为底b的对数。可以换成log，以c为底b的对数，所以log以c为底a的对对数是不是？所以换成公式log，以a为底b的对数。现在log以c为底b的对数，除以log以c为底a的对对数啊，没了没了公式没了，

所以不要觉得多按，就这么一点儿。是吧，就没了，然后这个c1般取十或者取e知道吧，就是以十为底对数，或以e为底对数对有同学说的非常好，十可以取呃，特殊的十啊，或者e。那这样的话，以十为底的对数就用LG来简写，如果以e为底的对数用ln来简写好吧，所以大家要注意。好，

那这个对数就讲完了，公式讲完讲完之后在换领公式，有个特殊情况好吧，换领公式有个什么特殊情况，大家想一想啊，如果这里面c要等于b的时候。好，最后c=b就把这换底公式里面c刚好等于b的时候，那这个公式会变成什么样呢？你看看。啊，大家思考一下log以a与b的对数啊，右边变成什么了啊？如果这个c刚好等于b的时候。c比c刚好你要把这个听懂，

没有把公式里面c都换成b。分子变成什么样了？分子分子正好变成log，以b为底。b的对数，以b为底。b的对数不就为一吗？是不是就为一啊？啊对，是不是就为一分母就变成log以b为底？a的对数是不是？所以它变成log以b为底。a的对对数这样写好了。好吧，就log以b为底a的对数，

这样就写出来了。好看，这个懂了没有？好吧，所以这样就可以化简出来，对它有个倒数关系，这个这个公式怎么记呢？就是呃，抵数增数上下交换。上下上下交换啊，那么在这里面它是互为倒数好吧，上下交换它有个倒数有点像什么形容咱们的分数？分数分子分母给它颠倒一下，知道吧？这样给它颠倒一下，

颠倒一下，它分数值互为倒数。懂了吧？好了，这时候掌握到这个就足够了啊，老师已经给你压缩了吧啊，不像你，你知道你为什么中学学了？感觉这个公式很多，知道吧？先把它分分类分类就没多少。好了，那接下来咱们就举一个非常浓缩精华的一个题好吧，然后呢？让大家呢啊？

什么叫浓缩精华？这几个公式都考到了好吧，都考到了，然后看大家做的这个情况啊。好，这个公式都记完没有？记完了咱们来看一下这个题。那这个题它说这个方程，它所有实根乘积到底是多少？那大家思考这个题怎么处理好吧？考试呢，如果考这种难度的，会不会分析好吧？它的实根乘积到底是多少啊？好，

各位同学都想一想。让大家呃，给大家进行呃讲讲这道题用的功能看呃一个来好吧，一个对对数比较害怕的同学啊啊，有同学说对对数这一块儿。呃，比较陌生是吧？自己呃，怕掌握不好，那这块咱们一一个一点点来，大家可以看前两个对数。你观察一下前两个对数，你看一下这个题嘛，前两个对数，前两个对数可以看x和25，

它正好是不是上下交换了？是吧x和25它正好上下交换。是吧x和二二十五，它正好是上下交换。剩下测量结果，它是不是互为倒数啊？这一步看懂了没有？就前两个对数，它互为倒数。好，那下一个怎么处理就第三个对数用什么公式好第三个？呃，然后呃，对数是什么样的公式好吧，然后在这里面大家呢？

可以看看。好，那这是它的这个特征，好就log根号x5那这个应该怎么处理呢？想想想好，如果忘记同学，我们来看一下。这道题用用第二个幂运算的公式，知道吧？幂运算公式也也就说当这个m和n要相等的时候啊啊，往往上来看看。那么，第二个公式当m和n相等的时候m和n相等的时候，那这个这个对数呢？它是不变的，

知道吧？比如说我把这个m和n都取二次方或都取三次方是这个意思啊？比如说a取二次方b取二次方跟原来它还相等，知道吧？我写一下吧，比如说这个取。a是取二次方b，也取二次方，它跟原来呢？还是相等的好吧，然后在这里面大家注意好吧，所以说还有lo ga的平方b的平方就是这两个次方要一样。一样话，然后在这里面大家呢？啊，

就可以写出它的数值关系好吧，然后在里面大家呢，就可以写出它的结果好了，这是呃，这个这个里面的内容，接下来大家懂了吧，所以说中间这个中间这个呢？你把它写什么了？就这个根号，这个你要写log根号x的平方五也平方知道吧？就这个是我们把它写成根号x平方五也平方。跟着原来这个对数呢，是一样的，就是你底数的质数都加相同次方，比如都加三次方或都加二次方都加几次方的，

这个这个上下这个对数它还没有。没有变化，知道吧？没变化，这个懂懂了没有好懂了，然后在这里面我们就可以把这个题，其实大家可以发现。呃，第三个对数跟第一个对数，这两个对数对数其实是一样的，对吧？第三个对数跟第一个对数，它是它是一样的。一样，这个明白，

没有一样的话，然后原来这个题我们就可以变成二倍的log，以x为底，25的对数减三倍的log，以25为底x对数减一，它为零。是不是这个写的2倍的log以s为底25对数减三倍的log以25为底s对数减一，它为零？那接下来我们就可以换元嘛，换元注意换元，这两个对数啊，现在就剩两个对数呃，这两个对数到底令哪个为t呢？是有讲究的，不是随便都可以令的。

一定要令第二个对数为t啊，为什么要令第二对数为t你写写啊，你看看为什么一个令t=1个？log 25为底x的对数。你思考一下，为什么不能列？第一个为t原因是什么呢？原因就是好算对，因为呢t=log以25d为底s对数，那就相当于是s正好等于25的t次方，这样好算。知道吧，就x=25的t次方，这样未来好计算嘛，然后就等于25的t次方，

这样是好计算。对吧，然后这个计算呢，要方便一点。如果你第一个对数要为t的话x跟t，它就缠绕在一起，知道吧，所以通过这个要告告诉大家一个对数。要会写成指数，那指数也要会写成对数。好吧，然后这一块儿看懂了没有？然后接下来我们把它列成它为t，以后列成它为t，以后前面这个对数是不是又变成t分之一了是吧？

我又另。呃，第二个对数为t嘛好，这个就变成t分之一了，就变成t分之二减三t减一，它为零。好，这就变成t分之二减三t减一，它为零，这样就写好了，是不是然后这样就写它的值了？看这个懂了没有？啊，是不是懂了懂了，然后做到这儿，

然后呢，两边通成一个t，然后把它变一下形式好吧，两边通成一个t通成t，然后这样通成一个负t吧。统称一个负t，然后这样的情况好吧，然后这是它的特征，注意我们不呃，前面不是二t，前面是t分之二，因为有第一个对数是t分之一。我们换的是第二个对数，把它看t换换，第二个对数，

第二个对数，把它看看成是t。好吧，然后这也能看到吧，所以两边同乘一个负t同乘一个负t就变成3t方。加t- 2=0是吧？就变成3t方。加t- 2，它为零啊，这样就变成这个分式方程，分式方程，然后去分母就行了，就说那这时候大家是不是可以用十字相乘因式分解一下？是吧，十项呢，

因式分解，因为然后这个前面三可以分成一×3。对吧啊，一×3，然后这个二我们看怎么分好吧，二我们看写的呃，这个这个这个怎么分啊？二就是一和负二，看行不行？好一个for看这个行不行？然后这样t的值就可以解出来，所以一个一个根t1呢，就等于负一是吧啊，一个根是等于负。负一一个根等于负一，

那大家知道看这个括号里面内容啊，看这个括号里面括号里面，如果呃t的值知道了，那x值就可以写出来x值x就等于25的t次方。是吧x就等于25的t次方，所以这样就推出x1就等于25的负一次方。就x一就等于二十五的负一次方，然后还有一个根，还有根就是三分之二是三分之二t二就等于三分之二。像这儿那么这个x2就等于一个。就推出x二x二就等于二十五的三分之二次方对吧？二十五的三分之二次方好，这个写好了。接下来大家注意，它让求的是两根乘积到底是多少，

大家想想，两个乘乘积很多同学。做到这结果呢？答案没选出来。这两根乘积啊，就x1×x二，很多同学算不出来的。很多同学算不出来啊s一乘以s二这两项呢，一个是二的二十五的负一次方乘以二十五的三分之二次方在这两同底的相乘就等于呃负一和三分之二相相加。负一和三分之二相加就变成二十五的负三分之一次方。是吧，25的负三，这可多同学做到这选出答案来找半天，哎，怎么没有这个答案了，

以为自己算错了，结果检查了。检查了半天，哎，还是没发现。是吧，这二十五的负三分之一次方，那怎么去分析呢啊？不会做是吧？不不会做，不会做的话，那这样对先处理符号对。啊，这个说的非常好，先处理符号好处理符号的话，

那你就可以把它写成二十五的三分之一次方。分之一是吧？二十五三分之一次方分之一。对，然后呢？这个这个三分三分之一次方可以写成三次根号二二二十五是吧？可以写成三次根号二十五。对吧，好，那接下来这样怎么办呢？我上下都存一个。三次根号五三根号五，这个变成三次呃，这个幺二五是吧？幺二五那就开出来就是五。

知道吧，就剩下都乘以个三次根号五三次根号五，因为为什么想到三次根号五呢？因为这个25是五的平方二二十五是两个五相相乘对吧？两个五我再凑一个五一定要凑成三个五。那这个就可以开三次根号了是吧？所以我再给它乘成一个五，所以我这个不是乘成三个五嘛，三个五，然后这个五就可以开出来了。好吧，所以这道题呃啊，这个特征看懂了没有是吧？然后这样刚有同学说选d啊。选d好像又不太行吧，

答案应该选c啊，答案是选c。好吧，然后这个不是选d啊，是选c。好，那这道题我们可以看一下，这道题也是咱们尽量找这个题，非常有代表性好吧，然后这一块儿啊，有同学说能不能把25看成五的平方，然后划开？再换换元，那样也一样，反正不管你怎么换，

它要三次根号的话，必须得凑成三个五啊25，它只能是两个五五×5。啊五×5，它必须三个五，三个五相乘，然后才能开三次根号。好吧，你总之你还得给给它再补一个五知道吧，就它这个两五还不行？必须再给它补一个五就可以了啊，补一个就就写好好吧，所以这道题这道听完的收获，我们概括一下第一个大家要知道咱们对数。公式的这个方幂啊，

方幂先把这个呃第三个对数，然后做一下换元好吧，然后这个情况。啊，有同学说一开始方程是吧哦，一开始方程OK的可以没没问题哦，一开始你看有同学说是把这25都把它看成五的平方这个。所有的这个这个五都看成二二二十五看成五的平方，这个是可以的，没问题啊，一样的啊，一样的，然后换元的时候，那你t呢做相应的调整就行了，然后解出来这些t的值。

也做相应的调整一样的啊，一样的都是可以的好吧。啊对，所以在这里面大家呢，看这样有的人说根号x换成x二分之一次方。根号x换成s二二分之一次方哦，明白这个同学这样的，他把这根号x换成s二分之一次方，注意这个底数。要放在前面，要取倒数，知道吧？那二分之一你是不是没有取倒数啊？刚咱们讲了底数啊，二分之一的倒数应该变成二，

你是不是还是挪到前面还是写到二分之一了？啊，所以接下来几个同学回答非常好，那你要有同学呢，就把这个第三个对数，这个这个x根号x写的s二分之一次方二分之一放在对数前面，一定要变成二倍。好吧，变成二倍好吧，好那么这样的特征可能唉，刚才咱们在讲上一页公式，我给大家讲过啊，讲完看看咱们这个公式，你再看一眼这个公式公式法，因为这个。

a的m次方a的m次方这m要放在前面，就一定要写在这个分子上啊，分母上知道吧，写分母上。啊啊，所以有同学算了呃，好好几遍算了五遍是吧？算了五五遍，所以说接下来以后呢，大家不要呃出现这种粗心错误好吧？啊，这样就可以了啊，好，那这是这个情况。好好了，

那么大家看还有没有什么疑问好，那这一个题应该可以囊括大家对数的80%的知识，所以这个题好好学一学好吧？好了，那整个方程内容咱们讲的就差不多了啊，差不多了。

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4-05特殊方程（2）

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