4-05特殊方程（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:45:42

然后接下来我们再看一下这个特殊方方程，特方程里面主要是把这个绝值值这个问题给大家说说啊。局域值，然后局域值的话呃，有同学说局域值呢，这一块儿呢，还是呃，自己感觉呃，没有太好的方法是吧？所以绝对值绝对值它它常见的这几个方法，大家要知道第一个分散讨论预算量是比较大的。比较大，第二个可以通过画图来分析焦点情况是吧？你可以用图图像法做。图像法这块要快一点。

然后呢，有时候还遇到双层绝对值，双层绝对值，大家可以从先讨论内部，然后呢，再向外。啊来进行分析。好，那比如说我们看先看一个双层的绝对值吧，比如像这个题，这个题双层的绝对值，大家应该应该怎么思考？然后想想这个双层的绝对值。啊，它的一个方法。

啊，双层你看这里面一个绝对外面又一个绝对，它要求它所有实根乘积到底是多少？所有十根乘乘积注意这道题，不要从外到内啊，从外到内你可能感觉第一步写的比较爽，后面就很痛苦了，知道吧，后面就不好做了。听到没？所以在这里面大家呢，就是呃，从内部开始是吧？然后这一块儿你先先从里头开始进行分析。然后这一块儿大家呢啊来进行讨论，

就内部内部就2 x- 1+1的绝对值，我们来分析。啊，由内部讨论，当然有同学说讨论起来不是很麻烦，不麻烦你可以看内部讨论的话非常快，你要从外部写的话，有有同学是不是一开始从外部先把外面角色去掉外部角色去掉就写的x？减去2 x+1绝对值等于正负四是吧？有同学是不是想到把外面绝对值去掉？外外面这些学校第一步你写的比较好，那后面就比较痛苦了，知道吧，所以不要去掉外面的啊，一定要先从里面的啊，

里面的先从里面里面就是。二x加一要大于零的时候，二x加一大于零的时候x大于等于负二分之一的时候。就这个分段长的时候，我们把等号放在哪一段无所谓，知道吧？这个等号放在第一段，放在第二段没关系，而大于等于负二分之一的时候，这里面绝对值就可以直接把它去掉。知道吧，把直接去掉去掉它就可以把它变成x- 2 x- 1，这s- 2 x- 1这样的一个情况。然后这个变成什么了？变成负x- 1，

负x- 1是不是可以写成x+1的绝对值啊？是不是可以把它写成x+1的绝对值x+1等等于四？但是做注意做到这就不用再讨论口算就行了啊。不用再讨论口算就可以了，因为x+1的绝对等于四，而加一的绝对等于四的话，那么x它就。口算有两根，一个是三，还有一个是负五，但是有个要舍掉。为什么要舍掉？因为咱们要在s大于等于负二分之一的情况下，所以说只能取这个三，知道吧？

这个是可可以负，这就不要取了好吧，只能取这个三就行了。好，你看懂了吧，所以说s加一其实等于四直接可以口算，结果你看这样是不是比较简单呀？另外一个s小于负二分之一的时候。而小于负二分之一的时候，这个绝对值去掉里面就是正的。对吧呃呃，去掉啊，这个里面绝对值去掉就是负的，负的就变成s+2 x+1。是吧，

它负的变成x+2 x+1，这个等于3 x+1是吧？就等于3x它加一，这个绝对值。它这个决策正好为四。对吧，它这个区域那正好就为四。没事，那这个s也可以口算出来呀，30+1绝对值为四，它去掉绝对值应该正负十正负四，那x就等于一。还有一个是负的三分之五，对吧？负的三分之五。

好那么一要舍舍掉是吧？一要舍一为什么舍？因为它要保证s小于负二分之一，所以一要舍掉不能要那只能取这个负三分之五，这个是对的是吧？所以在这里面好那么一不能要，只能取这个负三之五。所以这道题那么啊，分散讨论得到数值要取并集啊，要获得关系就第一段它符合咱们要求的值或者第二段符合要求值啊，第一段符合要求值是三。第二段符合要求值是负的三分之五，所以这两个相乘就得到是负，知道吧？这两个相乘两根相对得到负。

这道答案应该选择的是a选项，看这道题，大家做对没有？好吧，这是它的这个特征，看看懂了懂了没有？好，接下来我们看一下这个题，这个抛物线加绝对值，大家看会不会会不会画它的图啊？我觉得用图像法做，因为这道题再用分摊讨论的话，那就比较麻烦。你发现没有？为什么？

因为它里面是一个二次表达式赋能，讨论它的优势。就不明显了，因为这个里面这个二次表示什么时候正什么时候负这个讨论起来很复杂。对吧，所以用图像法图像法，大家回顾一下咱们这个抛物线加绝对值。好，这个图像还有没有印象？抛物线加绝对值，这个图像看还有没有印象？这个图像应该怎么画啊？看徐哥同学有没有印象，他要把x轴下方图像。给它翻上去对吧？

还在向量图上给它翻上去，这个抛物线。绘画图吧，另外抛物线加绝对值，还有一个啊，还有一个咱们后面会讲就ax方加b绝对值x。加c。ax方加上b绝对值x+c。好，这个。这个图你会画不？这个图这个图咱们后面会讲，因为这个就是二零二一年。考试。就考后面这个，

后面这个图那个题呃，这个同学也有印象，他那个也是求最值是吧，然后呢，才把这块儿加角这块儿夹角它它怎么翻？到时候咱们会会会讲对吧？对它就是左右翻。刚才咱们前面那个是上上下翻，我写的简单点啊啊，那么例题咱们后面再说好吧，前面这个就上下翻，就把x轴下方给它翻上上去。下翻上。好吧，只有下翻上就上上下翻。

要把下面翻到上面去好吧，然后这个就是那么右边呢，翻到左边来。那右边呢？对称到左边的，它不是翻了对称或者复制。好吧，就右边的复制一下，所以说这个这个就右左右。情况。好，那么前面上下这是左右，然后对称翻。好，那至于它左右怎么对称盘，

咱们后面再说啊，现在先有个印象。啊，咱们就以例16为例，先把这道题给大家解决一下好吧，这道题给它呃解决掉好，那么这个题大家可以看它给的是。呃9x方减6s绝对值等于一，那么就是它的根。加根那么这里的特征好问下列说法。正确是什么？下列说法正确的是什么啊？好，那么在这里面先画出什么？我们先看例16这个题。

隶书这隶书，这得先把这个不带绝值的给它画出来，画出来它就开口向上的一个抛物线，而且这个抛物线没有长项，它过坐标原点。好吧，过这个原点。啊，这样的。好，然后再把x轴向上给它翻上来，就这样的是吧？然后给它翻上来，这样就可以了，给它翻过来。

那么然后呢啊？他说这就是它的抛物线加绝知值图像，它等于一=1的话，注意等于右边右边这个一要画一条水平线。有y=1，就是一条水水平线。哦，有同学忘下平行单位不不？你不用往下平行单位，你就左边画左边，右边画右边的知道吧？就左边的这个图图图像。左边图像就是y=9 x方减6x绝对值，知道吧？所以左边图像就它左边一个函数，

右边一个函数知道吧？左边函数就是。9x方减6x绝对值，右边是y=1，就看这两个知道吧，你就不用把那一给它挪过来。然后y=1，这时候有个关键点啊，要注意就是什么就中间这个这个点。听到没？就中间这个这个顶点这一块顶点。好，那中间这个顶点，然后这块再要会会算这个顶点纵坐标吧，就中间对应轴啊，

对轴它对应轴应该是这是零，这是三分之二。它对轴应该三分之一啊，这个交点一个是零，这个交点应该三分之二，中间对称轴三分之一三分之一能算到里面，正好y等于一这道题刚好是y为一，知道吧？y为一你要画y等于一这这条线。刚好过中间这个点，知道吧，我给大家画一下，可以看它要画一个y=1这条线。刚好这个点。如果中间要不是一，

那么这时候这个线你还要看它的位置，知道吧？还要调整它的位置。好，这时候大家可以发现这个方程的根，它正根呢，应该有两个是吧，然后负根应该有一个。啊，正根就有三个焦焦点嘛，三个焦点，它正根。它只呃有两个正根，你看因为在正的啊，右边正的有两个负的，

左边有一个，所以负实根是只有一个的啊。负实根只有一个，所以e选项只有一个负的实根，确实负实根确实只有一个。是吧，它没有这个呃，就正式跟它其他说法都对啊，应该这里应该有两个正的交点，一个负的交点。知道吧，好这样的情况。好，如果有同学想要知道呃，这个右边这个图怎么画？

我来给你解释一下吧，右边这个图顺便也也也带着大家说一说啊，右边这个图。好，右边这图我们就给它写个示例好吧，写个示例，比如说比如说这道题，这道题要改成y等于。9x平方减六绝对值x，它的图我们会不会画好？我也给大家进行提示呀。就y=1个9x方，比如减六绝对值x，如果这道题把左边是这样改改一改，右边还是一咱不动它。

右边呢，还是一左边把它改成9x方减六倍的绝对值x。好，这样的情况。因为这个知识点在咱们二一年考试考的好吧，如果有同学不会画图的话，那么呃，做起来就稍微慢一点，你要画图的话，做的时候就会快一些。好都思考一下它的画图方法是什么呢？画图方法就要左右弄了啊，左右它怎么左右弄呢？大家先把这个不带距的图像给它画出来，知道吧？

就不带矩阵图像给它画好。好不了解的图像呢，它就这样的。好，给它画上来，知道吧？不太不太觉得图像我来给大家写写一写啊，不太觉得图像。这样的是吧？不太觉得凸像。好，这时候怎么办？把y轴左侧用橡皮给它擦掉，把y轴左侧的图样用橡皮给它擦掉。拆掉怎么办？

右侧再复制。它不是把右侧翻完，右侧就不要了，知道吧？它右侧还有它，这要复制。跟呃，刚才第一个这个图比方第一个图是直接把x轴下方给它翻走了x轴下方它又没了。知道吧x轴下方翻完以后x轴下方就消失了，就没了。这个图，第二个图。它是复制。就像你复印东西一样，原来的这个这个这个原来原版的文件还在知道吧？

原文件它还还在，只不过又复制了一个。这样的情况啊，所以它这样画完以后我们看。画完后有点像w型，你们画完没有？画完对象w型有同学说说的非常好，像一个w型。知道吧，像一个w这样的形状。对，就右侧整个复制啊，右侧整个复制。知道吧，就右边儿整个复制对它画完后是关于y轴对称说的非常好，

它的图是关于y轴对称。如果你们在高中学过一个偶函数呃，什么是偶函数？啊有有有没有同学学过偶函数就f看这个，看你们功率怎么样f负s=fx。就是看你们学过偶函数没有？不，这跟咱们偶数别混淆了。跟他们偶偶数不是奇数偶数呢，是偶函数。啊，有同学学过是吧？学过就学过奇函数还是偶函数呃，不知道是你们是高中学的还是大学学学的了啊？哦，

选修里学学的是吧？有偶函数，你还记不记得这个偶函数图像是是什么情况？你们如果学过的同学可以说说偶函数图像，它是关于y轴对称呀。哦，高中选修书里学的是吧？就偶然偶然图像关于y轴对称，你看这道题，这里有同学说它它这个x为什么这样呢？因为什么？因为你看啊。你看这道题f负二。是不是就等于I if 2，你想想这是不是这个意思？

你看这个这个题，我给你讲明白，那当x=- 2的时候，这个9s平方和六绝对值xs要等于负二的时候。这个x的平方，它跟x的绝对值又变成正的了，知道吧？又变成正的。好，这样的情况好吧，有的人说这不是函数性质，不是必修的吗？对像有的学校应该是必修，有的学校可能就有选修文科嘛。啊，

对对，人家人家这个这个这个分科了嘛，是吧？还有学艺艺术的，不知道咱们听课的同学有没有学艺术的？学学艺术可能这个数学有的都都呃，好像都嗯，就是降低要求要求很低吧。是吧，有有学艺，我反正我知道有的学艺术，比如学钢琴的呀，或者就学音乐的呀，或者学这个绘画的呀，美术的呀。

然后这样的是吧哦，有同学说啊，是学艺术是吧，那学艺术可能这个数学要求就当时可能那时候要求就低一些是吧？继续啊，然后这一块儿啊好，这个懂了吗？所以这个这个为什么它这样，你想想你想象一下对这个函数。s=- 2的时候I=- 2的时候，那么这个9s平方和六绝对值x跟s=+2得算的一样，知道吧？算的一样啊，姐姐说那x=- 2和x=+2，它算是是一样的。

懂了吧啊，一样一样，所以它的y的值是是这样的，所以它左右两边是对称的，你看我的手是吧，手的左右两边是是对称的，就是s取负的。跟x取正的它图像是一样，知道吧？比如x取负二负三，跟x取正二正三，它图像呢？是一模一样的，懂了吧？就这样的一个情况啊。

就一模一样啊，那这是它的这个特征，所以因为这个正好是二一年考到了，我就给大家提一下，知道吧，给大家提一下。这个懂了吧？好，那这个图像懂了，如果它要问等于一它的根，你会不会分析啊？问它问它，它要说等等于一等于等于一的话，咱们再画一个一这条水平线。它应该有几个根呀？

告告告诉我，它应该有几个根？是吧，就有两根，有一个正的，一个负的，对人选4d选项，对吧？有一个正根，一个负根就行了啊，不知道懂了没有，我把它写成等于一个。啊负的四分之派嗯，告诉我它它有几个根等于负的四分之派，这时候你不用解它根，

因为这个带派你也没法解，我问有几个你告诉我有几个就行了。就不用说根的值到底数值是是多少，你就告诉我几个根。好，这有四个是吧？那我要我要改成负三分之派有几个概念改成负三之派有几个概念？好负四分之派，你们认为有四个。负三次派，那就没有根零根，那你们怎么判断唉？怎么你们是以哪个点为判断告诉我？以哪个点告诉我是哪个关键点呀？哎，

怎么负四分之派跟负三分之派差别那么大？哪哪个点对它顶点啊？它最低点对说的非常好，它最低点就是负一，你们算算啊。这个最低点就是负一知道吧，负一所以要是负四分之派，它正好穿过来有四个交点，知道吧，这y=- 4分之派。这叫做负四分之派。好，这个穿过来有四个交点啊，这个y等于负的四分之派，它穿有四个交交点要负三次派不行，

负三次派。它这个就就再低了，再低了，它就没有焦点好吧，没有焦点这样的特征啊，所以大家呢啊，要知道要知道啊。就是零以上，它是有两根知道吧？注意刚好等于零是三个根对这个同学总结的非常好啊，刚好等于等于零的时候。是上个。然后刚等等，你可以看三个焦点，然后负一到零的时候负一到零的时候是四根。

然后刚好等于负一的时候也是两根，等于负一的时候，它那个刚好是在呃两个这个顶点就最低点那块儿知道吧，就最低点那一块儿。知道吧，这个明白没有在最最低点好，这个同学问最小值怎么算的？好，那谁能解释一下啊？来解答一下最小值怎么算的？好告诉我，最小值是怎么算的？最小值对用它对称轴顶点坐标嘛，因为它它这个顶点正好是三分之一嘛，是吧？

这个这个顶点就三分之一啊。三分之一带带到里面去，带到里面去，然后呢，这个求出顶点，它是负一懂了吧，这样这个顶点就可以写出来，有负一。好，这是给大家讲的这个情况。好，那么我们来看一下分式方程，它对应的考试知识点和内容。然后分式方程这一块儿呃，它考试倒不是很多啊，

所以在这里面关键是这个分母问题啊，分式分母。然后两边要同时去分母，把它转化成一个整式，这转化整式以后我们再来求解，关键点是要注意解完以后要验证分母是否有意义。好吧，因为咱们把两边同乘以分母以后，它解出来的根有可能会使得分母没有意义，所以我们要进行检验一下。知道吧，然后看看它能不能满足原来分母啊，有意义好，那接下来我们就通过题目来看这块儿的。呃，

方法。好，接下来我们看一下这个题目。好分式方程问它有几个实根啊，求这个方程的根到底有几个实根？好，那大家思考一下这个题目，看它的。方程的根到底有几个实根？好，那接下来我们来看一下这个题，这个题它要有几个实根的话，我们第一步看这个分母问题，所以做这道题的时候我们要把。这个分子分母做一下，

变换好第一个分式，第一个分式分子可以提出个二是吧？大家可以看这个分子提出了，提出二就变成x方减一了。然后这是x- 1是不是？所以第一个分式，它的分母是x- 1，然后分子呢是？提出个二二倍x方减一这样的一个情况。然后这第一个分式看懂了没有啊？然后x方减一，大家可以用平方差公式对不对？这个能看懂吧？然后加上第二分式。这问大家第一个分子，

它可以把它写成。六倍的x- 1对吧？提出个六分母呢，就是x方减1x方减一呢，大家呢？啊，也可以呢，把它进行用平方差公式进行分解。这样我们先把每个分式给它上下，给它化解。化简化简完后，那就第一个就变成二倍的x+1了啊，因为第一个分式分子分母，大家可以看到都可以约去一个x- 1。是吧，

好约掉x减减一约掉x- 1后，它剩的就是二倍的x+1，这样一个特征。然后再加上第二个。你看第二个，第二个就相当于是六倍的x- 1和分母也可以约掉，一个约就剩六÷x+1得到是七。啊，得到加上啊六÷x+1，那得到是七。好，做到这大家呢呃，要把分母给它乘一乘是吧？所以说要把x+1这个分母给它去掉。这个是咱们解分式方程的根本方法，

然后再乘以分母的时候，由于这道题我们可以把s+1看成个整体。所以我们用整体思想解起来，要简单一点好不好？所以我可以令t=x+1。好t=x+1就变成2t，加上六÷t=7就得到是2t。加上六÷t，它正好就为七得到这个结果是吧？2 t+6÷t，它正好为七为七的话，然后接下来，然后两边。通成一个t两边通成一个t就变成了2t方减7 t+6=0。是吧，

所以得到2t方减7 t+6，它等于零。好，这样就写好了，好，那写好以后那么这个十字相乘，大家前面还有没有印象十字相乘十字相乘，我们就可以解出它的根。是吧，所以画一个十字叉，然后十字相乘，然后这个前面这个二我们就可以写成一×2。就t方前面系数二可以写成一×2，然后这个六六的话，大家看怎么去分析啊？

要分出中间的一个负七来。是吧，就是负二。负三啊，负二和负三得到结果好，那这样我们就可以解出t的值。那t的值一个是等于二，一个是等于二分之三的啊，所以t的值要等于二和二二分之三这样的一个特征。好那t的值知道了，那x值就可以解出来，因为刚刚咱们在这地方写了t呢，就等于x+1 t呢，就表示x+1。这样一个式子，

所以那么t要等于二啊和二分之三x就可以求解出来，然后x的值。然后就一和二分之一是吧？所以x值懂了吧？一和二分之一，但大家注意这个一这个值就要舍掉啊，如果大家在做题中。没有验证的话，那你可能就会选择c选项，就会选择两根，那这样就会出错好吧，所以大家注意它这个一要舍掉，为什么一要舍掉呢？因为这个一在原来分式的分母。它这个是v0分母没有意义，

所以它要舍掉。所以这道题它只有一个跟一个十分好看，大家是否听懂了，所以通过这道题，大家要掌握的做题方法，思路就是遇到分式方程，我们呢，要把它做变换，把分母。乘掉，然后呢啊，变成一个整式，然后去解，解完后记住一定要去验证它的根的这个特征啊，减一下根就可以了。

好，那接下来大家再看一下这个题目好吧啊，再思考一下这个题目。啊，这个题目关于s的方程，它是无解的好吧，关于s的方程，它是无解的。好那么求k的值到底是等于多少啊k的值？好，那做到这，大家可以发现这个方程，不管它有解还是无解，我们关键点先按照正常的分式方程去解。解完以后我们再讨论它为什么会产生无解，

无解原因是什么，因为无解，比如说我们解的方程根。那正好，全都被舍掉了，不管你解的x有一个值也好，两个值也好，那么这个数值都被舍掉，舍掉以后它就。没有根了，所以这是无解的一个特征，好吧，那也就说我们正常的先去解，先把这个分子方程给它解出来，解完后如果它解的这个值。

正好。呃，使得原来分式分母为零，分母没有意义，我们这时候呢，就把它给舍掉，舍掉以后我们就可以讨论它的k的取值。好，那这道题我们首先用咱们前面学过的啊，这个因式分解，第一个分式大家可以发现可以写成x×x- 1。是吧x×x- 1好，这第一个分式。啊，第二分式分母可以写成k- 5 xx+1，

这样的特征是吧？就k- 5。x×x+1好这样的一个情况好，那么这是第二分式等号，右边等号右边那么这样就可以写成k- 1。1 x- 1×x+1这样的一个特征是吧？有k- 1 x- 1×x+1。好，那这是它的这个方法，然后接下来我们为了去掉分母两边要同乘以。啊，这个公共的分母，所以两边我们要同乘。好呃，同乘一个通乘以xx- 1和x+1看这个是不是懂了是吧，

所以在这里面我们两边。啊，就同乘以这个同乘的目的呢，就是为了使得这个分母都给它去掉。好吧，同乘以这个同乘以大家看，那么第一个分式，它乘完后剩什么呢？想想第一个分式，第一个分式，它乘完后剩的是x+1。是吧，这个剩的就s+1这第一个分式。然后第二分式，第二分式它乘完后变成就是k- 5，

然后乘以一个啊，这个x减减一。就k- 5乘，以x- 1好，这是第二个分式。啊k- 5乘，以x- 1好看，这个懂了没有？第三个分式右边等右边乘完后变成k- 1×x。好，那这是好两边把分母都给它去掉，得到结果看各位同学是不是明白了啊？所以两边乘完后那么第一个分式变成x+1了。第二个就k- 5×s- 1，接下来就是k- 1×x。

好，写完后我们是不是就可以把x给它进行解出来呀？是不是然后这样我们就可以求求解出来？啊，求解出来x这个解出它的数值。啊x解出它的数值好数值，我们呢，就可以算出来那么这个分式，它的取值情况。是吧，然后这样好，那这个大家呢？就自己可以去把它啊整理一下，那就得到三分之六减k。好，

这中间我省了啊，就两边变形变完，然后得到是啊，那么三分之六减k好，那三十六减k，那这个x什么时候它没有解的？如果它这个根正好使得分母没有意义，那么就要舍掉是吧？所以在这里面大家呢看，只要它等于什么呢啊？当这个值。当它等于个零一负一的时候，所以当这个数等于零一负一的时候，这个分母它没有意义。啊，

分母UE好吧，等于零一负e。啊，这时候它数值都被舍掉，它的根啊，就没有了，都舍完了，剩下就没有了，所以在这里面大家呢，就可以看出k呢，就等于。呃，分别如果它要零的话k就取六。对吧啊，如果它有一的话，

一的话可以有取三。啊，然后呢？啊k=9的时候它有负一。是吧k=9的时候，它要负一，所以说这个呢，应该选择的是d选项答案就求解出来了，这个呢，就选择d。就通过这道题，都要掌握它分式无解，那那怎么叫做无解？所以以后遇到分式方程这两个题应该非常全面的。告诉大家分式方程的解决的方法，

那第一个题告诉我们分式方程的求法还要验根，第二个告诉我们分式方程无解，怎么去理解它？也就说，分方式本来是有解的，只不过这解恰好被舍掉了，所以导致了无解好吧，所以这是它的这个数值，如果这道题。呃，不知道听懂没有，如果例18这个题还要改成这个方程，要有解有解，应该怎么写呢？有解只要k不等于。

三六九这三个数啊k不等于这三个数，去掉这三个数之外的其他任何数这个方程，它都是有解的好吧，它解都是。呃，存在的。接下来我们再说一下物理方程啊，物理方程，物理方程像呃，在咱们呃二零年考试啊啊，这个考试里面有出现了这个根号的一个化简。是吧，然后二一年也出现了根号，所以这根号问题呢啊，它可以在方程里面也可以在不等式里面来进行分析。

当然，根号问题里面，我们最常规的方法是两边，同时啊，平方，然后呢，把这根号给它去掉。好吧，所以在这里面就两边平方，把根号去掉，需要转换成一个有理方程，有理方程，因为咱们两边平方了，两平方了，所以说它未知数的范围。

会发生扩大，所以产生增根，所以最后呢，一定要啊，会验根好，为什么要需要检验根呢？因为大家知道这样一个。东西a=b。可以推出a方等于b方是吧？大家想想是不是这个式就a=b可以推出a方等于b方？就是左边可以推出右边来。左边可以退出右边，但右边呢？退不出左边。啊，

右边推不出，左边就a方等于b方推不出，a=b。知道吧，所以说a方和b方相等，推不出a和b相等，所以在这里面大家呢，要注意啊，它的这个。检验它的根好，这是物理方程的内容呃，物理方程呢？咱们考试的类型一般呢，就含有一个根号或者两根号。好吧，

那么一个根号比较简单，我就省略了好吧，一个根号处理起来要简单，我们就说一下两个根号，它的处理问题，处理方法。好，那接下来咱们来看一下。啊，这个题好，这个题它说这个无理方程的所有实根乘积到底是多少？大家想想这个题，看有没有同学做好这个题目？好，这个大家要求所有实根的乘积到底等于几？

那是否要把这根给它求解出来？所以说我们要平方取根号。在平方去根号之前，把两个根号先分开啊，有同学是不是在做的时候直接两边平方直接两边平方的话，那这个就会。出现问题，因为左边运算又很麻烦，因为它有个二倍的两个交叉项是吧，所以在这里面对，如果平方完后，它还会有根号。所以大家有同学就说它直接平方了，直接平方可以发现它有个二倍的交叉项啊，二倍交叉项，

它这个展开式子就呃非常的。繁琐非常长啊，这个不好处理，所以以后遇到根号最好两边把它分散一下啊，左边右边分散一下。好分散一下，那就可以把它变成根号2 x+1等于。啊，这个根号x- 3再加二是吧？把它变成根号2 x+1就等于根号x- 3再加二。好，这样的一个特征，所以所以移到一边一边一个一边一个，以后那么两边再平方处理。对吧，

所以两边我们再平方。处理就可以了，然后平方处理，那接下来我们看啊，如何来进行平方是吧，它平方的处理方法。啊，如何进行平方好领完平方以后，那么左边它平方，它就变成了啊，这个2 x+1。啊，左边平方就变2 x+1了，好，我们来看右边右边平方，

右边平方后就是x- 3。加上四倍的x根号x- 3再加四是吧？所以就可以写成这样的一个。特征好，那写成这样一个形式以后大家可以发现两边呢，就可以把它合并一下，是不是这样左右两边给它进行合并一下啊？合合并完，我们看变成什么了啊？合并完，然后这个正好是。左边又剩一个x了，右边又等于四倍的根号x- 3是吧？所以左边看是不是剩一个x？然后右边就等于四倍的根号x- 3。

好，大家可以发现，原来是两根号通过我们平方处理以后，那么它还剩下一个根号。对吧，剩下一个根号，剩下一个根号再平方啊，所以记住每平方一次的根号的数量在减少啊，数量在减少一直呃，再平方到什么时候平方到它根号没有了，这时候我们就可以用好吧？所以我们再平方。啊，再平方再平方那左边啊，再平方话那么看左边就变成s方了。

对吧x方右边的话就变成了这个16倍的x- 3。变成16倍的x- 3，这样就写好了，然后把它移项给它移过来，移过来以后就变成x方。减16 x+48=0啊，得到x平方减16 x+48。这个大家十质相乘，因式分解就给它拉根，一个是四，一个12是吧？所以根就等于四和12。对有同学已经算完了，四和12这四和十二一定要验证一下啊，一定要验证带回验证，

看根号里面是不是有e？好吧，所以验证一下，验证这四和12这都有意义，都有意义，就不用把它舍掉。啊，如果某一个值不满足，原来这个根号的情况，那这时候呢啊，要把它舍掉。所以这两只验证完都是可以的，所以这呢应该选e啊四跟12啊，这个相乘啊，那它这个得到就是48，

这是两根。答案就等于48好，这是给大家进行讲的这个知识点，看懂了没有？

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