4-04一元二次不等式

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:45:18

接下来咱们看一下一元二次不等式，一元二次不等式是咱们学习和考试的重点啊，一元二次不等式，我们看一下它的知识点。首先一二是不等式的标准形式，标准形式一定要把它移到左边，然后右边是大于或者小于零。这样的啊，成为它的标准形式，有其他非标准形式不等式，可以通过等价变形转换成标准式来进行分析，当然大于号也有可能大于等于小于号。小于等于转成这样的形式来进行分析和求解。接下来看一下解一元二次不等式它的步骤。啊，

基本步骤好，第一步首先要画成标准型，标准型的话就是有两个要求，第一个要求的话就是右边要是为零。第二要求呢，就是这个系数a1定要为正的，第二个要求呢，更重要。啊，如果a的系数要是负的，比如说a要等于负二或者负三，这时候怎么处理呢？这个我们可以两边同乘一个负号，然后。然后把它x平方系数变成正的，

大家注意的是，如果两边要通成一个负号，那么这个大于号要变成小于号，要做一个交换处理。第二个，然后再计算对应方程的判别式德尔塔，然后再计算它的判别德尔塔就可以了，把判别式给它。求解出来第三个，然后再求对应方程的根。啊，再分析对应方程根。然后呢？然后第四个就可以，口诀就大于取两边，

小于就取中间这样的呃方式。就是这要大于零，它的解集就在两边，如果要小于号，它解集就在两根之间啊，写它解集就是它求解的这几个步骤。接下来咱们说一下这个函数方程不等式三个考点，咱们都学了啊，之前咱们学过函数，还有方程不等式。三者的关系，注意它是一个统一的一个整体啊，那常说的三个二次是哪三个二次呢？一个指二次函数一元，二次方程和一元二次不等式。

这三者之间有着密切的联系，这三个联系可以成为关键谜点处理。其中，某类问题时要产生对于另外两个二次的联想。或者转化，或者帮助分析啊，去掉解一元二次不等式时，就要善于利用相应二次函数的图像进行解题分析。要能抓住一元二次方程的根和它的区间的解集的区间端点值，两者联系啊，也就说这个一元二次方程的根。跟一元二次不等式，它的解集的端点值两者呢？这是联系呢，是非常紧密的啊，

这是它的一个情况。好，接下来咱们来看一下它的这个呃表格好吧，这个表就把三者呢关联在一起，第一个呢就是。函数接下来就是方程最后两个就是不等式啊，然后咱们看一下这个表格。首先咱们看一下，当它大于零的时候，注意咱这个表格只写了开口向上的情况，也就是说只写了a大于零的情况。啊，就是都是a大于零的情况。啊a大大于0a大大于零好，那就相当于大于零的时候，

大家知道这个抛物线跟x轴是有两个交点，然后对应方程是有两个相应实根。两项式根我们前面学过，可以用十字相乘因式分解来求它的根也可以呢，大家呢？就是啊，用咱们的求公式来求它的根。那么大于零的解集就在两根之外啊，小于小根或者大于大根，这样的一个情况。两之外，然后如果小于零，它在两根之间啊，就可以写出它的这个解集好吧，这样的情况，

如果当它要等于零，当它等于零的话，那在这里面它的。抛物线的顶点正好在x轴上，这时候也把它称为跟x轴相切啊与x轴。相切。跟x轴呢是相切的关系啊，这跟x轴是相切。然后如果它这个这个呢，就相当于是有两个相等实根啊，这个呢，就两个相等实根。啊，两项的实根，它的这个实根的值其实就对称轴就负的二a分之b就就对称轴就这样的啊，

对称轴。然后呢，接下来就是大于等于几，大于等于几，就它不等于这块儿啊，不等于就把这个顶点给它去掉，其他图像都大于零的。啊，其他图像都是大于零的情况，然后呢？它小于零的解析是空的，或者因为它这个图像在x轴下方呢，是没有图像的，所以它是空集。啊，

这个空气消耗点，它仅仅是空的。当当它小于零，注意当它小于零的时候，它的抛物线与x轴是无交点。圆轴是无交点的。与个x轴是没有交点这个对应方程，它是无实根啊，对应方程呢，它是没有实根的啊，没有实根。然后它大于零的解集是全体实数r啊，大于零的解集就是全体实数，全体实数r要大于零它的值。然后接下来它小于零的解集就是空集啊，

小于零解集就是空的啊，空的它的这个方法好吧，小于零的集集。就是空集下面就没有，就是空集好，这是它的这个思路好吧，然后这样的方法。好，接下来我们呃就可以看出它这个当然大理当然等理当然小理，那么三者的一个关系，这就写好了好吧，这是它的这个思路。好，接下来咱们看一下考试解读。而且首先一二式不等式非常重要，

因为其他考点后面的计算求解也需要啊，这个知识点，另外可将三者一定要结合起来，一块儿来进行学习，更加系统的来掌握它们内在关系，而不要割裂开来。而且要注意这个关键点，要解析为任意实数r和解析为空集的一个特殊情况，解为任意实数，我们也把它称为恒成立。啊恒成立这里的啊，一个描述都是一样的。接下来我们来看一下它的命题方向，第一个就已知不等式来求解集，已知不等式来求解，

第一步一定要先分解因式求出根，然后再写解集。对含有参数的不等式，一定要先判断两个的大小，然后再写解集啊，因为有的它含有参数是吧，我们呢，先比较它两个大小。然后确定大小以后再写它解集就可以了。下面我们来看一下例17这个题。不等式x方减三+2小于零解集是什么？它小于零，它的解集是多少？那这里大家第一步先求它的根就行了。好吧，

然后它的根它根呢？大家可以发现啊，那么通过十字相乘，这个很简单，求它根。跟呢一个呢是一。啊，一个是一。然后这样的一个呢？是这个二啊，这个二好它解集呢啊，就解集就可以写在解集。也就x大于一小于二啊，这样的，所以这个答案应该选择的是c选项啊，

就按照刚才解不等式步骤来进行分析和思考就可以了。好，这是它的求解方法和思路。啊，下面咱们看这个题一元二次不等式，三次方减CS，加上a方小于0a小于零，它解集到底多少？那这里还有参数，还有参数没关系，这道题呢，我们画一个时差先进行因式分解，这个三可以分成一×3。a方可以分成负a乘以负a。啊，

这样话我们就可以看出那么这样满足这个负4a，因为交叉相乘再相加等于负4a好它的根。两根。两个正好是一个a一个三分之一。啊两根两根一个是a的值，还有一个三分之一啊，这样的两根，它的结果a和三分之一。好，那接下来我们来看一下，那么它的这个解集，因为大家知道a是小于零的。a小于零的话，那么显然a是小于三分之一的。三分之一是比较大的，

对吧？然后它小于零的解集，应该在两根之间啊，随它解集。两之间就a小于x小于三分之一是吧？好这个呢，应该选择的是c选项啊，这样就写好了好，这是它的答题方法和思路。好，接下来咱们看考情二考情二是已知解集来求里面的参数，已解求参数，反过来告诉我们解集的时候一定要关注它端点值，端点值对应方程的根。这样话，

我们把它带入原方程，所以把不等式对应的方程给它找到，找到这样就可以解出它的参数值了。啊，比如说咱们看这个题，若不等式5x方减bx+c小于零的解集是负一小于x小于三。则b+c它的值到底是多少？求b+c的值到底为几？这道题我们呢就可以看出它的根，一个是负一和三是吧？这是两根。是负一和三啊，这个两个两个值也是负一一个三，接下来我们这道题有两种求b和c的方法。一种情况呢，

就是负一带到里面去，它的方程的值应该为零是吧x=- 1的时候，它的值就是五+b+c，它应该等于零。还有一个x=3的时候i=3的时候，那么就45-3b，加上c它为零。是吧，然后s=3的时候等于三的时候，然后就45-3b+c它为零，然后通过这两个我们就可以写出它的值，不过这道题呢，它正好求b+c的值b+c第一个方程就可以了。b+c的值正好就相当于是第一个就可以求出来b+c，这样b和c就不用去解了，

正好等于负五正好就选择b选项。如果它要求的是b+2 c的值，或者求b-c的值，这时候呢，还要把BC给解出来，知道吧？好，这是一个方法。方法就是把这个作为方程的根，它带到里面去，方程等于零来解出b和c，然后第二个呃情况就相当于是我用韦达定理做啊，韦达定理。vid呢，学过两根之和。

然后这就负一加三两之和两之和等于负的a分之b是吧，然后两根乘积。这样等于a分之c。这样话，我们就可以解出这个b的值b的值正好等于十是吧，然后c的值正好等于一个负的15。这个值正好是负15，这样的话b+c你就等于负五啊，这样就写出来了，好它的方法就求解出来了，好看这个明白没有？好，接下来咱们看一下第三个就解为认识数或者空集，它的内容解为认识数也把它称为一个恒成立。啊恒成立，

咱们来看一下啊ax方加bx+c小于零，它仅为任意实数的充要条件就是什么呢？就是开口一定要向下。然后data小于零，好给大家画一个图，我们就可以看出来。给大家画一个图，那它这个呢，就相当于是开口向下的。然后这就是横幅好吧，它这个就是抛物线是横幅的啊，开口向下，所以这个横幅。就它小于零，要恒成立开口向下，

但它小于零好，另外呢，我们来看一下它这个。这个情况啊，开口横正的情况，横正的情况就是它这样的就是横正。这样它就横正横正的话，就开口向上，然后呢，就像小于零，它就横正这样就写好了好吧，所以说在这里面就是根据它开口方向和判别德尔塔。然后来进行分析，刚才大家注意当这个x平方系数a含有参数时，不要讨论，

不要忘记讨论系数a为零的情况。啊a的值为零啊，这个不要忘记讨论好吧，这是它的。啊，这个注意的要点啊。好，接下来咱们看一下题目。好，我们一起来看这个题，已知关于x的二次不等式，然后它解为实数r则a的取值范围是什么啊？求a的取值范围。那这道题大家可以发现，它的仅为任意实数，

就代表是恒成立是吧？它小于零是恒成立，接下来我们呢？就可以列出这样式a呢？是小于零的开口向下。然后它delta就等于b方。减4 AC。啊德尔塔就等于b方减4 AC。啊，然后呢？他这个呢？就可以写出他的这个值应该是小于零。对吧啊，应该呃效率，现在呢，

在这里面大家可以发现我们可以提公因式知道吧，这两个提公因式不要把这个平方展开，因为它两者都有a- 1。好，那么我可以提一个公因式就提a- 1啊，前面就剩的是a- 1，然后再减4a，然后就负3 a- 1，然后小于零，这样就写好了。对不对？然后这样写出来了，所以这正好就是提出a- 1以后，那么正好就是负3 a- 1负3 a- 1小于零。七二零，

然后这个里面提个负号，提个负号就变成a- 1乘以个3 a+1变成大于零，但是大家知道这个a是负的。a要是负的话a- 1肯定也是负的是吧？a- 1它肯定也是负的，因为a减掉一嘛更负了。好，更富的话，那只要是3a。加一是小于零就行是吧？所以只要a小于负的三分之一就OK了，所以在这里面那么这个答案应该选择的是c选项答案就求解出来了啊。在哪里选择c这样就写出来了好，这是它的这个方法好吧，然后它的思路啊。

好在这里面大家呢，要知道它的考试内容，所以说a的取值范围就a小于负的三分之一就得到它这个。关系了好看，这个是不是明白了啊，所以通过这道题，大家呢，要知道它的考试方法是吧，也就是说。这道题二次不等式，那说明x平方系数肯定是不能为零的，所以这道题就不用再讨论a取零的情况了，因为人家明确写了二次不等式。但有的题干没有说二次不等式，这个这个时候要讨论一下x平方系数，

它是否为零？好，那接下来咱们再看一下啊，这个题啊a方减1s方减去a- 1 s- 1大于等于零解解为空集。啊，如果考试要遇到空题的时候，得要学会一个万能转换。啊，万能转换。那就fx大于等于零，它就是空集。可以等价转换成fx小于零，然后解为r。或者说恒成立。好吧，

就这个空集可以把它转化为解为r，怎么转化呢？就把这个彻底的给它，反过来大于等于它的反面就小于好吧。这个给它进行，反过来就可以了，好吧，这个大于等于和这个小于这两个反过来反过来就可以得到它的这个数值。好吧，这两者的一个关系。好，那这是它的这个内容啊，所以解析为空集它的一个情况，那接下来咱们再来看它的这个。这个题这个题我们就可以把它转化成a方，

减1x平方减去a- 1 x- 1。这个变成小于零，因为大于等于号，把它变成小于号啊，如果要小于等于号，把它变成大于号，反正就是反过来，反过来它变成解集为r。解约阿尔法，那说明它开口一定要得向下，就a方减一小于零，然后开口呢，一定是向下的看向下，然后德尔塔德尔塔就等于一个a减一的平方b的平方减四AC。就加上就b的平方减四AC嘛，

就加上因为这个负的变成加上四倍的a方减一。然后这一块呢，就是小于零啊，小于零好，那这是它的这个式子，接下来我们分别来解这个不等式就可以了。大家可以看那么第一个第一个不等式，我们可以发现a方减一小于零，就说明a方小于1a方小于1a呢，应该在。负一到一这样一个区间。是吧，负一到到一这样区间，然后这个后面这a方减一，大家可以用什么用平方差公式啊，

然后这样可以提公因式都可以提一个a- 1出来。知道吧ta- 1前面还剩一个a- 1，后面还剩一个4 a+4。对吧，所以说前面就剩一个a- 1，后面剩一个4 a+4，所以说这个就后面就是5 a+3。是吧，所以它提出a- 1啊，因式啊，提出公因式就行了，都有a- 1把它提出来，提出来后这个剩一个。啊4 a+4。对吧，

然后呢？这个合在一起就五v加三，然后它这个是小于零的啊，小于零的接下来大家知道小于就取中间，所以这个a呢就变大于负的五分之三。小于一啊，得到这个结果好，得到这个结果以后，然后找出它的交集好吧，找出这两个交集好，它交集我们就可以写成。交集就是负的五分之三小于a小于一，交集就写出来，大家注意这道题，如果要选到这，

那么这个答案就会出错，那么啊。大家不要忘记它这个并没说是二次不等式，所以s平方系数有可能为零，知道吧？有可能为零，有可能为零，所以说当这个a方减一为零时。a方减一=0的时候，大家可以发现a呢，是等于正负一的最后，但是当a=- 1的时候，这个是不可以的，因为a=- 1的时候，所以s平方系数为零。

但是s系数，它是不为零的，不为零的话，那这个时候呢？它是不是对权体实物成立，是对于一部分解集，是成立的，比如说a要等于负一的时候。a二等于负一的时候，这个变成二x减一，它小于零，然后x就小于二分之一，它这个是不满足解一个权利实数。所以a=1是OK的，因为a=1的时候，

这个时候x平方系数为0x系数也为零，就剩一个负一小于零。这样的负一小于零，负一小于零，这时候呢，它这个恒成立是吧？是满足的啊啊满足的，所以说它这个呢，其实成立所以中上。啊，这个a等于一呢，是可以的，所以说它且应该是负的五分之三到小于等于一那整数呢，只有一个就a等于一整数，只有一个a等于一，

这样答案就选择是b选项。答案就写好了好吧，这是它的这个思路，所以通过这个给大家要明白的道理，第一个遇到空集要学会一个万能转化，第二个我们在。写的时候要注意讨论x平方系数为0x平方系数为零，大家发现一个什么小窍门儿，没有x平方系数为零，必须同时x系数，它也为零。两者同时都为零。好两者呢？同时呢？都为零，

这样才可以是吧？s平方系数为0s系数为零，就两者要同归于尽简言之就是x呢？它没有了。都变成零了，只剩下后面一个常数，这样才可以懂了吧，所以这是它的一个小窍门儿，所以大家呢，要总结要知道啊，就是x平方系数和x系数它都为零的时候，看后面常数。是否满足这个式子成立，懂了吧？如果这个负一要改成一个加一，

那这个也不行，你就改成，如果改成一个加一的话，这时候a等一它也不行。因为改成一个加一的时候a等a等一的时候，左边剩一个一一小于零，这是不可能的，它也不可能恒成立这时候呢，你就不用管它了好吧。所以这是它的一个做题的核心点，要弄清楚。好，那接下来咱们看一下它横成了一些扩充扩充呢，就是相当于是啊，一个分式对一切实数都成立，

就横成立问k的取值范围是什么样子的？那接下来我们来写一下它的数值情况啊，好，我们可以看到这个4x方加6 x+3，首先遇到分式的话，我们先看分母。分母有4x方加6 x+3，先看这个分母，最后大家可以发现这个分母它是横正的。是吧，这个分母它是横正的。分母它这个取值，它是一个正数是横横正的一个情况。对不对？好都为正，

为什么都为正呢？然后在这里面，大家可以看到这个分母为什么都为正它？首先它看开口向上。是吧，开口向上，而且可以看正好等于b的平方减四AC，它正好小于零，所以它这个原因就很很正常，开口向上的一个抛物线。而且delta小于零，就这个分母横正。我们判断，分母横纵的时候，这个分母都可以乘过来与两边，

同时应该正数这个小于号是不变的是吧？就变成2x方。然后2 ks+k。小于4x方加6x再加三这样的一个情况是吧？就2x方加2 kx+k小于4x方。加6 s+3啊，这样的一个式子，这样式子，然后接下来我们把这个给大家进行移项移过来，移项移过来以后。啊，然后看一下啊，这个。看一下这个呃不等式，把它变成一个啊，

这个左边移到右边来好吧，就变成2x方。加上六减二k。x+3-k，这就变成大于零恒成立了。在这里面要给大家强调一下，如果咱们后面遇到分式不等式，如果它分母不是恒正的分母，有可能正有可能负正负都有可能的话，这个分母不能直接乘过来，这样就出错了。因为分母，它有可能是负的，有可能正的，它政府不确定要乘过来话这个小于号，

你不知道怎么去确定是吧，所以在这里面大家呢，要知道它的方法啊，所以说接下来就相当于是。啊，这个是小于它，然后呢？分母呢？可以直接乘过来乘过来，然后把它给大家进行移项，移项完了，大家知道这个横层内它大于零，横层内开口一定要向上。q向上的话，它这个已经满足了，

就不用再写了，我们只要写小于零就行了，就等于b方。减4 AC。它小于零是吧啊，所以就得到b的平方啊，减4 AC啊，小于零就这个解出来k是大于一小于三的，这个大家自己去解。解完后，那么它只有一个整数k，取二只有一个整数，这样答案就选择b选项好，这是它的做题的要点和方法，看各位同学是。

是不是懂了，所以通过这道题以后遇到分式不等式，那么要首先观察分母的符号，然后判断根据抛物线的知识判断是否是正的。然后接下来我们把它分母乘过来以后，然后接下来我们呢，再根据它恒成立的要求写出k的值范围就行了。啊，如果分母不是横着的，那么只能对分子不等式通过一项，然后再来进行变形求解，后面我们会讲这样的分式不等式它的。处理方法好，这是给大家强调的考试内容和考的要点。

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