3-01整式及其运算（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:39:41

各位同学大家好，我是陈建老师，接下来我们学习第三章整式分式与函数，从第三章起呢，我们就进入了代数部分的学习。这个部分呢，符号比较多，所以我们呢要掌握它的知识特征，针对它的知识特征，然后更好的制定学习方法。好，那么首先我们来看一下代数，它的知识特征是什么？第一个就是符号比较多，公式呢比较多。

所以说大家在本章学习的时候要注意符号运算。其实从代数这个名字本身，我们就可以发现，它表示是用符号代替。数字的运算简称代数。好，那么咱们前面学的算术的话就是数字的运算，比如一+2=3，现在我就变成了a+b=c。好，这个是代数，它的一个。产生和由来啊，那么自从产生了数学符号的运算，所以咱们数学呢，

发展进入一个里程碑式的啊，一个跨越。所以说，从数字运算转成符号运算，既然转成符号运算，它的公式呢？就比较多。比如平方公式啊，立方公式啊，符号产生了很多公式。接下来，它做题的核心是什么？作为核心就是符号之间的关系，就变量之间的关系，就产生了函数。

啊，变量跟变量之间肯定有个关联，又产生了函数，另外还有一些恒等变形，比如说。这个a+b=c，我们可以把它变成a，又等于c-b，当然这是一个非常简单的恒等变形了啊。啊移项作为恒等变形，还有很多约分呀，处理呀，通分呀，这些恒等变形，然后难点难点就结合绝对值来进行考察。

啊，结合绝对值来进行分析和考察，所以绝对值也是咱们数学里面难点，那么尤其我们的。代数部分那么产生了绝对值，比如说方程啊，不等式啊，数列它都可以与绝对值相关联考察。接下来就特值法的使用，这个很重要，特值法。好，那么咱们知道代数呢？是从数字运算变成符号运算好，如果反过来就变成了特值法。

比如说遇到a+b=c，我们可以取一+2=3啊，这就是产生这个特值法。好，然后它的分值分值是六个题，占了18分啊，所以分值呢？还是比较大的啊，六个题。它占据了这个18分，所以大家呢，要把这几个题呢啊，一定要好好的看一看代数呢，也比较灵活。大家失分比较多的一个板块儿就是不等式，

再重新判断题里面的考察，这是大家呢？最害怕的也是最容易丢分的，也是考试设置陷阱比较多的，所以大家学习的时候要侧重学习这一块儿，它的考试方法和内容。好，那针对于咱们代数的学习，大家呢，要注意觉得比较抽象，同学大家可以把一些符号变成数字。由于针对咱们选择题把特征法用好，这特征法在咱们代数里面，那么使用的地方还是比较多的。啊特征法在其他章节使用比较少，

比如说在咱们的几何里面或者概率里面，特征法呢，用到的就会少一些。啊，所以这代数对我们的学习要求总之一点，它就是非常抽象，所以怎么样学习比较抽象内容一定要把它变成具象的一些数字的运算。分析它的规律啊，这一块是咱们学习的重中之重，你要掌握它的考试重心。好，大家翻开书，我们来看一下第一节考试解读。首先咱们看一下大纲的考点。单考点那么第一个就整式啊，

它整式及运算。啊，那么整式因式和因式分解，咱们就把重点画上啊，这因式分解的方法，因式分解也是咱们代数它的基础。它要么有的考题是直接考，有的考题呢是间接的考。啊，因为因式分解，比如说也是后面咱们学习方程不等式的一个基础解方程解不等式基础，就因式分解。另外，就分式及运算，分式及运算方法，

这要知道啊，分式运算，分式运算跟咱们分数的运算是类似的，比如加减乘除这运算呢是？是类似的第三个函数，函数是咱们代数的核心内容，函数的话，它主要就是一二函数及图像啊，这个呢是重点。集合掌握一下集合的一些概念，集合的之间的关系就可以了。好，那么第三个就指数和对数函数，那指数和对数在这里面，大家呢，

要注意它的图像，还有单调性，还有一些指数对数方程。呃不等式，还有一些大小比较啊，把这些掌握清楚就可以了啊。好，接下来咱们来看一下它的大纲啊，这一块的大纲的解读。啊，本部分主要涉及一些。表达式表达式，咱们主要是整式分式，它的一些基本运算考试出题点就在因式分解，因式分解啊，

比较常用的方法要掌握住。因式分解也是咱们后面学习方程不等式以及恒等变形的基础。而且本章的另外一个难点和重点就是函数，函数咱们掌握是一元函数，一元函数是两个变量之间的。一个关系式，比如说y=x^2啊，这个是一个非常简单的函数，那就考的xy两者之间的函数关系。然后出题点难点又在于抛物线。抛物线，咱们学习的总重抛物线这个知识点。好，另外就指数对数指数对数考试频率不是很高，只要掌握基本的公式方法就可以了，

好，那么因为这三个函数是后面学习的。基本的支撑啊，所以说呃，要把这些函数学好，另外集合涉及到一些基本的概念和基础运算。啊，不做重点掌握好，这是整个考核大纲里面的规定的内容。好，接下来咱们看一下考试地位及预测啊啊，咱们书上的历年真题的分布表，大家自己去看一看好吧，然后呢，就比较简单看一下每年。

它考试的点分布在什么地方，然后呢啊，对咱们接下来预测的知识点要重点掌握。所以说那本章呢，主要涉及到初中内容啊，中学内容，然后指数对数呢，又属于高中内容啊，然后呢，咱们主要考察计算题，还有概念题。啊，为主。啊，第三章也是学习后面章节的基础啊，

本章历年主要考察三个方面，第一个计算型的问题，围绕应试。定理和因式变形来进行展开啊，第二个函数方面的内内容函数主要是在求最值中的应用，这要掌握。知道吧，还有指数对数函数图像基本性质以及基本运算公式，要知道。好，这个图像特征图像的性质好，对应常用的公式，要把掌握清楚好，这是咱们整个考试地位要弄清楚。好，

那接下来咱们看一下书上的数字化导图部分好，那么第三章它主要分为重点考项和难点考项。好，那么重点考项的话，那么主要有整式及运算，在整式运算里面。啊，主要是六大公式的使用。还有这个整式的除法。啊，因为加减和乘法要简单一点，除法要难一些啊，除法另外分式运算，分式运算跟咱们分数的运算，它的要求是类似的啊。

所以一元二函数就抛物线，抛物线就一元二次函数。这个抛物线，这个情况啊，抛物线要掌握清楚，然后难点考项，难点考项，那主要就是集合集合的概念掌握住。指数对数，另外就是掌握一些特殊的函数。啊，虽然考纲上没有明确写出来这些特殊函数要求，但是咱们在以往真题里面出现了，所以在这里面还要学习。特殊的函数好，

这是画勾的，就是本章啊，要学习的一个重要的内容。然后对于本章的备考噢，给大家一些建议好吧，本章呢，因为是学习代数的基础，如果本章没学习好的话，就会影响后面。方程不等式学习。比如本章的一些公式的变形，没有掌握住我们再解一些方程不等式，这就会出问题好吧，所以要把本章呢要学。学习好，

所以就是分式。里面的一些处理对应咱们因式分解啊等等，这些都是咱们后面要用到的啊，然后还有咱们本章的函数与后面的方程不等式的关系。好，那么还有咱们这个跟后面数列的关系是吧？还有这个函数可以跟应用题的最值相关联。另外，指数和对数，它们之间的关系是互为反函数的，互为反函数意思就互为逆运算，还有以指数特征跟等比数列关系，所以它的前后都是。关联的。另外，

本部分注意符号比较多，公式比较多，恒等变形求值也比较多，所以化解求值啊，而且本章呢，也容易犯粗心错误，所以大家呢，考试一定要细心点。好吧，所以说做完可以适当检查一下，好对符号运算可以采用特值法分析，对常见公式呢，要活学活用。好吧，灵活处理活学活用。

下面咱们来看一下第二节重点考项，它里面的考试内容。接下来我们看一下第一个板块儿整式及运算，整式及运算里面的第一个知识点就六大基本公式，这是咱们在学。后面内容要掌握那个关键的公式好，这六大公式主要掌握平方公式和立方公式，以及这公式的应用和变形。好，我们一起来温习一下这个平方公式，平方公式那么主要，前面呢有四个平方公式。平方公式那么主要是平方差公式a方减b方减a+b×a-b就平方差公式。然后完全平方公式a加减b括号平方就等于a方加减2 AB，加上b方好吧，

这是完全平方公式。啊，就是它的这个公式，一个展开这个都很简单，还有三个数的完全平方公式就a+b+c括号的平方。等于a方加b方加c方，加上2 AB，加上2 AC，加上2 BC好，它的这个化简情况。另外还有一些配方公式，其配方公式就a方加b方加c方加减AB加减AC加减BC。它可以把它乘以二，所以前面再乘以个二分之一，相当于除以个二，

这样的话，括号里面就可以把它配成三。三组平方啊，就是完全平方公式可以配成三个，只要配成a加减b的平方b，加减c的平方a，加减c的平方配成这些公式。就可以了好吧，这是配方公式。然后接下来后面两个就是立方公式啊，立方公式它的一个要求，立方公式就是a加减b它的三次方。a加减b的13次方还可以选择a加减b，注意后面这个符号跟前面的正好，反过来不要记错了啊，

就后面这是减加前面这是加减。好吧啊，这是加减，这是减价啊，所以它这个符号跟前面正好反过来，一定注意这块儿不要记错了啊。然后还有和差的立方公式，和差立方公式a加减b的三次方，现在a的三次方加减3a方b，加上3 AB方加减b的三次方。好，这是立方公式，好，这个立方公式，大家怎么去记是吧啊？

怎么去记啊？那么后面这一块儿呢？我们先说最后这个。大家先记加号的a+b的三次方。啊，它的记忆特征。是这样的，好那么就写a的三次方。然后3a方b。3 AB方。b的三次方，所以它由这一项构成的，知道吧？所以大家可以观察a的次方呢？正好在下降那a第一项三次方，

这个变成平方这a的一次方，后面就没有a了。然后b的话，它次方再增加。第一项没有b，第二项是b的，一次方接下来b的平方，接下来b的三次方好吧好，如果这要是加号的话，这通通它都是加号。都是加号啊，如果这地方减的话，应该怎么办？减减的话呢？这样想啊，

以后大家掌握它的特征。然后a-b可以把它看成a+-b，相当于把b换成负b，知道吧？b换成负b。好b要换成负负BB要换成负b的话，那这个b换成负b，大家知道b的一次方，然后变成负的，所以说前面还有一个负号。然后b的平方b的平方，然后变成负b，然后这块儿它还是b的平方，因为大家知道。是这个意思，

就是负b的平方，它还等于b方是不是，所以说它前面这个符号不用动。但是这个b的三次方，大家知道负b的三次方，它等于负的b的三次方，所以说这地方它变成一个减号就行了，所以这个公式大家先把加号记住啊。a的次方怎么变化？b的次方怎么变化？中间呢系数要加上三倍的好，这样去记，记完以后，然后呢？如果这要是a-b就把b换成负BB，

换成负b以后，然后注意它有偶数次方的话，它仍然变成正的。然后基数次方化，它会变成负的好吧，这是它的一个记忆方法，就不至于记错了好，这是公式，要把它掌握住，当然这个公式还要注意它特殊场的。使用以公式的应用，要会弄清楚啊，这是给大家讲的学习公式的一个要求。啊，接下来我们看围绕这个公式，

这块我们的考试解读。首先呢，注意乘法公式。在多项式乘法的基础之上，它将一般的法则。用为特殊形式，多项式相乘。知道吧，什么样一般的法则用于特殊多项式相乘呢？比如说这个a+b乘以个c+d。这个是叫做一般法则是吧？一般成长法，一般成长法，大家学过这个搭配是吧？就可以互相搭配，

这都学过a跟CA跟d。然后b跟cb跟d，然后进行搭配，就是AC+AD+BC+BD。好，那这样的啊，这样的就可以写出来好吧啊，它的就是用于特殊这个形式，那怎么用特殊形式呢？比如说。这个a+b^2，我们可以看成a+b乘以个a+b。好，这个是完全平方公式，所以说上面这个是一般法则，

然后把一般法则用一个特殊的情况，比如说。c+d跟a+b一样，这时候呢，就变成a+b平方了。a+b平方，然后呢，把它展开就得出了既有特殊性。自然特殊情况又有实用性的一些具体结论，所以说在后面化简求值啊，还能变形，有广泛的应用，那在学习刚才讲的这个乘法公式的时候要注意以下几点。首先，熟悉每个公式的结构特征，

这样话我们才能理解公式是吧？然后把这些特征掌握住了，我们才能够想到在什么样题，用什么样的公式。是吧，这样就可以模仿套用公式啊，套用公式，然后再对公式中的字母要全面的理解，因为咱们数学有时候呢，用整体的思想把它看成咱们公式的某一个字母。然后这样才能灵活运用公式。而且要掌握每个公式灵活及灵活变形，既能够正用，关键是逆用。且能适当变形或重新组合搭配搭配，

然后来综合应用这个就像做一些综合性的题和绩效性比较强的一些题。公式的应用主要体现在恒等变形求值上，公式的难点又在逆向啊，使用这个公式知道吧？比如从左向右，你会那么从右向左，那能不能把它？思考出来呢，这是一点要求比较高的一点啊，是这样的，要会分析和思考它考频率的始终。啊，这是这个公式。好，那接下来咱们看一下它的命题方向，

按照这个公式的顺序，咱们首先看一下平方差公式好，对于平方差公式要掌握该公式两种应用。第一个就是出现根号，它的有理化，另外就是长串数字的化简啊，这个平方差公式平方差公式，咱们再写写，大家知道我们可以把公式反过来写。a+b×a-b就等于a方减b方。是吧，然后根号有理化什么意思？比如说根号a加根号b乘以个根号a减根号b。就等于a-b。当然AB要求是非负的。

啊AB还要求非负好吧，这是根号a加根号b乘以根号a减根号b就等a-b就可以进行这个有理化，在这公式里面尤其特殊情况要掌握住。是吧，特殊情况，所以要把每个公式特殊化。它的话就相当于a-b=1的情况啊a-b正好为1 na-b为一就根号n+1加上根号n。乘以根号n+1减根号n。它正好等于一是吧，就根号n+1加根号n乘以根号n+1减根号n，它这个算法就为一，也就是a和b正好相差一这样的一个特殊情况。这个要掌握住好吧，这是咱们在化简的时候啊，那么用那这两个数相当等于一也说明什么情况呢？

说明它正好是互为倒数，这种特征是吧？这个互为倒数啊，就相当于根号n+1，加上根号n。就等于根号n+1减根号对吧？就互为倒数啊，两者一个倒数关系。另外，用平方差公式，咱们可以做一些长串数字的化简和计算啊，要知道它的化简计算的方法和数值。好，那接下来咱们来看一下这里面的题目好吧，看一下题，

首先大家思考一下这个题，关于根号三÷3减根号三下列说法正确的是什么啊？先说正确的好，那来看一下根号三。除以三减根号三。啊，那么这一块儿首先呢，如果遇到分母含有根号，我们要进行有理化啊，分母如果含有根号有理化，那怎么进行有理化呢？我们上下可以同乘以它的共额根号。三减根号三，它的共有根号就是什么呢？就是三加根号三，

所以对于咱们分数运算，大家知道分子分母。同乘以一个非零的数，它的这个数值呢？是不变的。它这个数是不变的啊，所以上下都乘一个三加根号三啊，分子分母同乘一个三加根号三三加根号三，然后这样就得到它的数值了。好分母三减根号三乘以三加根号三那用平方差公式就可以得到，是九减三。对吧，然后这个九怎么来的呢？九就是三的平方，因为咱们学过a减b乘以a加b就等于a的平方，

减b的平方，所以得到是九减三。然后分子分子的话，我们就把它给乘开根号，三×3就代表三倍根号三。然后再加上这根号三乘以根号三又得到三。大家知道这个分母九减三得到是六，剩下我们再把它约成。最简的啊，所以剩下再把约掉一个三一个三分母就变成二了，分子又变成根号三+1啊，所以说这个上下再约分约掉一个三化简得到这个值。接下来我们知道这个根号三正好等于一点儿七三二啊，一点儿七好吧，所以在这里面大家呢，

就根号三我们呢，就可以记住。啊根号三。约等于一点七三二好吧呃，约等于二分之，当然它数值不用写那么精确，所以说我们就。约一点七就行了，约一点七大家知道这就二点七是吧？这个二点七÷2啊，那么肯定是要大于一。而且呢，小于二好吧，所以在这里面首先a选项，它是错的a选项，

它的数值为有理数，这个错了，因为它这根号三是无理数。根号三无理数，根号三+1还是无理数，无理数除以二，它还是无理数，所以a选项是错的。b选项，它数值小于一，这个是错的，它数值是大于一的是吧？所以这个错，它的数值，它说大于二分之根号三+1，

这个错了。它应该是等于二分之根号三+1d选项，它是不是大于二错了？e选项是对的。它数值是大于一小于二，好吧，这块儿这个就掌握住了啊，所以这个通过这道题，大家听完了收获要知道。那么，我们这个考试里面这个遇到分母有根号的时候，我们呢，做一个有理化，然后化化解完以后，然后再来分析，

另外要记住常见的啊，就根号二=1点儿四。四一四。啊根号三一点七三二根号五就是二点嗯二三的样子好吧，所以在这里面大家呢，就是把这常用的几个记住，也不用记太多。好吧，这条呢就是。要掌握啊，这几个根号的啊，一个化简和计算。好，那接下来就是咱们平方差公式的另外一个应用，就是遇到长串数字相乘，

它的一个呃计算和考试方法。好，那么通过这个题，大家可以看到，若实数a不为一，则a+1乘，以a方加1a的四方加1a的64方加一。那到底那是等于多少好，那在这里面大家呢啊，要知道它的。这个过程是吧？我们如果从题干入手的话，大家可以看到，那么给它乘一个a- 1是吧？再除一个a- 1，

这样就做一下恒等并行是吧？所以把原式。题干所求的原式把它变成。乘一个a- 1再除以a- 1，大家知道这个a呢是不唯一的，对吧？a是不唯一的，所以乘一个a- 1再除以a- 1，这样就可以了。好，这是a- 1，然后这块儿呢，就变成了这个a+1 a的平方+1。点儿点儿。a的64次方加一啊，

得到这样一个数。然后在这里面就是a- 1×a+1，我们呢就可以用一下平方差公式是吧？所以说在这里面我们呢就可以用平方差公式来进行化简了。好，这是a- 1不动，上面a- 1×a+1，前面两个大家想想用平方差公式来化简。它就可以化成a的平方减一。然后再乘a的平方+1，然后一直乘到最后。是不是然后呢a的平方减一乘以a的平方加一，我们呢就可以把它写成a的四方减一？是不是所以在这里面大家想想a的平方减一乘以a的平方加加一嘛，就等于a的四方减一。

好以此类推啊，以此类推，一直往后写。那么a的四次方减一×a的四次方加一不变成a的八次方减一了吗？是吧啊a的八次方减一知道吧啊，为什么变成a的八次方减一，如果基础薄的同学呢，他这样的得到的是吧，因为这个是。a的四方减一×a的四方加一，我们给大家进行推导一下。它是不是等于这两个平方差呀？这两个平方差，然后a的四次方再平方就变成a的八次方。知道吧，

所以它这个就等于a的八次方减一，它是这样的啊，这是它的方法好，以此类推，一直写到最后一项，之前就a的64方减一。乘以a的60次方加一，然后除以个a- 1。然后再这样a的60次方减一×a的60次方加一，正好就等于a的128次方减一是不是？然后这样就可以得到是选择e选项答案就求解出来了。所以通过这道题，大家要知道一个重要的公式啊，然后忘记同学可以简单给大家写一写就a的m次，方括号的N次方。

就等于a的N次方括号的m次方都等于a的m×N次方是吧？这样的，所以说刚才讲到这a的四次方再二次方。好a的四次方再二次方就相当于a的八次方。就a的四乘以二四×2就得到八是吧？a的八次方这就写好了好，这是它的。这个做题的方法思路好吧，所以可以写成a的128次方减一啊好，那这是这个题，它的一个。方法，所以大家以后遇到通过这道题就可以给大家进行概括一下，遇到什么呢？遇到咱们讲的啊，

如果要遇到。啊a+b×a^2+b^2。乘以a的四方加b的四方点儿点儿点儿，如果遇到a+BA^2，加b的平方a的四方，加b的四方。这样的这样的话，能结合平方差公式分析啊，结合平方差。分析就可以了好吧，用平方差，所以它次方是这样变化，又给它乘一个a-b，然后再除一个a-b。计算出它的数值，

就可以得到答案好，这通过这道题，大家要记住它长的特征和样子。下面咱们看一下两个数的完形平方公式。两两项好，那对于两个数完全平方式要会。灵活变形和应用，比如说。啊，咱们可以把a方加b方，然后单独写出来。好a方加b方的话，我们可以把它写成。写成这个a加减b的平方，减加2 AB这样的好吧，

就a方加平方就等于a加减b的平方减加2 AB。啊，这样的好吧，再减加2 AB好，所以说在这里面我们可以把它配方变成多出一个2 AB出来。这样就OK了是吧？然后比如说这个a和b要互为倒数啊a和b互为倒数，所以它它特殊情况。比如说x平方，加上x平方分之一，它可以写成x加减x分之一的平方减加二。啊，因为AB互为倒数的时候，那a我就把它看成xb呢，把它看成x分之一是吧？

这样话我们就可以。这样去写了，如果前面这个地方是加一加，因为它展开多一个二，所以这地方就减，如果前面是减，这后面就加好吧，所以按照这样的公式。来去表示啊，它的特殊情况。然后呢，第二个就是a+b括号的平方，加上a-b括号的平方。这样等于二倍的a方。加上二倍的b方啊，

因为a+b^2，加上a-b平方，它正好这个展开的时候，前面这个括号展开有个2 AB，后面括号展开有个负2 AB，它就抵消了。抵消掉，所以就剩两倍的a方加两倍的b方啊，这样的好吧，这样的一个式子。就写好了好吧，写它的这个方法啊，这是它的变形情况。然后接下来就a×b它的变形。a×b好a×b的话，

它可以变形出以下几种形式是吧？可以灵活多变。有二分之a加b的平方减去a方加b方，这样的对吧？这样的啊，这样的一个特征，因为这个大家知道a方加b方减a方和b方这样剩一个2 AB 2 AB÷2，这样得到a×b。然后还可以写成这二分之，然后这个就是a+b^2。啊a方加b方减去a-b^2是不是这样的？好，这个减号也是剩一个2 AB 2 AB÷2得到a×b。就得到这个结果了。然后这样就变成四分之。

a+b^2-a-b^2，因为大家知道这个a+b^2，它展开一个2ab。a-b平方加上一个负2 AB，所以这个变成4 AB，4 AB÷4就得a×b。好，这是它的这个结果，总之呢，大家记住a+b^2和a-b平方相差等于4 AB好吧，就是a+b。平方和a-b^2，它的差值上等于4 AB好，这样就写好了好，这是它几个公式，

这个公式呢，要注意它啊，互相进行应用。而且它在一些特殊情况就出现倒数的一些特殊情况，考试经常考好吧，把这个知识点要掌握好。好，那接下来咱们来看一下这个题，我们在使用这个公式的时候，一定要学会怎么一套公式是吧？然后呢？把某个量变成一个整体来进行套公式啊，它已知x+2 y的平方=40x×y=2则x- 2y的平方等于几。这里大家不要这样想，不要想它有两个方程，

有两个未知数，我把xy给它解出来xy给它解出来以后，我们呢再去。计算这个答案，这样话就比较麻烦，虽然啊，这个理论上那么这两个方程，两个未知数是可以解出sy的。但是呢，实际呢，那这个呢，就比较复杂，所以我们呢，怎么去思考呢？我们这样去想大家呢，

就知道这x- 2y的平方。和x+2 y的平方。它两者相差什么，实际上就可以用，刚咱们讲过的就a-b^2。和a+b^2，它多什么？所以说在这里面啊，那我们给它去掉就行了，是不是所以这样的话，我们可以写成减去4 AB？好，那在这道题里面，我们就套这公式啊，就四×x再乘以2y这样就行了，

是不是套这公式，然后接下来我们可以把它带到里面去s+2 y的平方，让等于40？减去四乘以。因为x×y=2嘛x×y=2，然后呢，就相当于得到这个数值啊，就可以写出来是吧，然后x×y它正好等于二啊，带到里面去。所以40减掉一个16得到24，正确答案就选择d选项，答案就求解出来了。好，那这是它的这个做题的方法啊，

懂了没有是吧？所以通过这个题，那就巧妙的用这个公式来去套。这样话，我们就可以得到它的数值和答案。好，那当然，如果这道题要不是求s- 2y，如果这条改成求s- 3y括号的平方，那这道题公式呢？你不能这样用了，那这样用就不好用了。是吧，那这种怎么办呢？这种只能把前面这两个方程，

然后把xy呢给它想办法解一解，解完后然后再。化简后面的值知道吧，所以如果这个改成x- 3y或者改x+3 y，那这个方法就用不了，你看这道题正好是一个减2y，一个加2y。所以它比较巧妙的可以套这个公式啊，所以要知道它的公式的特征。好，那接下来咱们看一下这个题，这它设置几问啊？设置几问，所以啊，通过这个题要把这几问弄清楚啊，

一个是加号。那加号求s方，加s方分之1s次方，加s方分之一到底等于几好？那么我们知道这个s方。加x方分之一。我们可以把它写成s加s分之一的平方，然后再减二。是吧，所以我们可以把它进行配方配方，然后再减二套这个公式做，所以它这个正好呢，就等于三的平方减二，所以正好等于七。等于七所以那么这个答案就选择a选项。

答案选a啊，这是等于七，然后四方怎么办呢？考试在遇到高次方的时候。我们可以把它变成d次方的。平方所以s方记住，大家可以把它变成s平方再平方啊，所以外面再平方。好，那这个括号展开就会出现s次方和s次方分之一，然后减掉那么这个二就可以了。然后我们根据第一问的结果s平方加x平方分之一，正好就等于七是吧？等于七，所以说就是七的平方再减二。

得到47，然后这些答案就选择是d选项，答案就求解出来了啊，这个答案就选择d好，这是它的这个方法思路，看懂了没有？啊，当然通过这道题，我们还可以给大家，再加上啊一些问题，再加上一些问题，比如说我们再加上啊，虽然立方公式，我们在后面。才会用到现在呢，

大家先都熟悉一遍好吧，比如再加上一个x三次方加x三次方分之一，大家看会不会写？x三次方加x三次方分之一，那x三次方加x三次方分之一，求这个值到底等于几？好大家呢，每个同学都思考一下，看谁做的快好，那遇到x三次方加x三次方分之一，这时候呢，就用咱们讲过的立方公式做就行了啊。x三次方加x三次方分之一。它就可以把它写成x加x分之一，乘以括号。

括号括号就是它的平方。减去它两个相乘，再加上它的平方分之一，是不是这样的啊？这样的，所以说这个x加x分之一，这个是已知条件。然后s方加s方分之一把它带到里面去就可以了，如果不带还可以再进一步的来进行写s加s分之一。乘以一个括号x加x分之一的平方，然后再减三。好，这个三怎么来的呢？因为是这样的，这个括号平方展开，

有个二括号平方展开，有个二二减一个三，正好等于原来的负一。是不是这样的，二减一个三正好是原来的负一，这个能懂吧，所以二减掉一个三得到这个负一，这就写好了。好，这是它的这个数值是吧？然后这样的，或者说你把这个给它乘开乘开也行，乘开所以它几种变形都给它写出来。乘开也行，乘开的话就变成s加x分之一，

乘以s加x分之一的平方就变x加x分之一的三次方减去三倍的x加x分之一。啊，得到这样一个结果是吧？这样就写好了，那接下来我们呢？就可以把这个三带到里面去，带到里面去就得到27减掉一个九得到18。当然，或者说你把s+s分之等于三带到后面，这个算也能算到18都是可以的。好吧好，另外呢，再让大家练习第四个。好，大家都思考一下好吧，

数学一定要先思考，然后呢，再听课啊，所以第四个别让你求x减x分之一的绝对值到底等于几？是吧，那么求x减x分之一的绝对值这块我们应该怎么写呢？就这样去写，大家知道x减x分之一的绝对值。我们可以把它写成平方再开根号，因为咱们前面学过一个公式一个数的绝对值，可以把它写成平方再开根号。对吧，就一个数的绝对值，我们把它写成平方，再开根号，

得到这个值好吧，就是平方再开根号，就是得到它的绝对值。好，这个趋势，然后接下来我们再来看一下。好，再来看一下啊，我们就可以把这个平方把它写成什么，写成x加x分之一的平方，然后再减掉。唉，一个四是吧？这就套一下这公式啊，它的公式为什么减掉四呢？

因为刚刚咱们讲过就是a-b^2就等于a+b^2。减去四AB是吧？就是这个四AB，然后a和b相乘正好等于一，所以它就剩一个四了，它这样得到的好吧，然后大家把这个数带到里面去s加s分之一等于三带到里面去。大家看看你算的答案，是不是等于根号五好吧啊？如果算根号五，那就OK了啊好，那这是它的这个方法啊方法，所以说大家呢，要知道它这个几问。那通过这道题，

我们是不是可以给大家进行归纳和总结一下？好吧，如果s加s分之一，如果等于个a，那么这个四个，那么应该怎么去辨析啊？好吧，所以接下来我们就给大家进行归纳和总结一下。好，如果这个x加x分之一等于a。那么则啊，以下几个大家呢，能把它记住好，那么第一个就是s平方加s平方分之一，我们可以把它配成。

x加s分之一的平方，然后再减二就等于a方减二啊，这是第一个。第二个就相当于是x的四方加四方分之一，我们可以把它写成x的平方。然后括号再平方再减一个二，那等于a方减二的平方再减二是不是这样的啊？这样消了。然后第三个，第三个话就是三次方x，三次方加x，三次方分之一就可以把它写成刚才咱们推导过就不再推了啊。应该把写成x加x分之一乘以一个括号x加x分之一的平方减三。当然，也可以写成x加x分之一的三次方减去三倍的x加x分之一。

这样就写成a的三次方减3a，这样也可以。好吧，这样也都是可以的，然后第四个就相当于是绝对值x减x分之一的绝对值。就可以把它写成我这个中间过程不再写了，咱们直接写知道结果就写的x加x分之一的平方再减四。现在根号下a方减四好，这又写出来了好，那这是第四个，它的这个方法，所以总之呢，要把这几个呢结论呢，要把它记住好吧，所以大家呢？

就是在做的时候呢，我们做的就比较快，当然这些东西记不住的同学，要知道它过程，要理解它过程，这样即使忘记了啊，我们呢，也能把它。啊，想起来好吧，这是它的情况，看是不是懂了？好那么加的做完了，我们再做一下减的好吧，再看一下减的。

减的话，那已知s减s分之一等于三求这几个好，那么减的话，那第一问大家都思考一下s平方加s平方分之一，我们应该怎么写？x平方加x平方分之一是不可以选择x减x分之一的平方，再加二。是不是等于三的平方+2就等于11，所以第一问应该选择c选项好看，是否明白了？啊，第一问结果。接下来咱们看第二问，第二问就是四方注意四方呢，我们仍然要把它写成平方的平方好吧，

四方加上四方分之一。就等于x平方加x平方分之一，它的平方，然后再减掉一个二。知道吧，就等于十一的平方减二，就等于幺幺九好正确答案，第二问选择d选项。好，那这是它的。这个第一问和第二问好看懂了没有？当然在这里面，我可以给它加上第三问，第三问，如果求x三次方减三次方分之一等于几？

好，每个同学都加油思考大家比赛，看谁算出来了啊比赛。好x三次方减三次方分之一，看会不会求几个分析好x三次方减三次方分之一，我们看应该怎么写？啊，怎么去求求解唉，三次方减三次方分之一都思考出来了没有唉，三次方减x三次方分之一。就等于然后这块儿就是x减x分之一，我们把它配方，然后这些括号你自己推导一下，可以把它配成x减x分之一的平方。然后再加上三用立方公式，

因为它这个里面应该是加一的加一，因为这地方展开有个减二减二。减二再加三就相当于是加上一这样写出来了，懂了吧？好，那这样的话，我们就可以把这个数值带到里面，或者说进一步的推导，把它乘开。它就可以写成x减x分之一的三次方，加上三倍的x减x分之一。好，如果把s减s分之一等于三带到里面去，带到里面去，我们呢？

就可以求出来，这正好是二十七。加上九正好等于36。好看看你做答案是不是这样的啊？大家都核对一下是不是这样答案好，那这是它的这个方法，那第四个大家再挑战一下各位同学谁做做？让求s加十分之一的绝对值到底等于几好，各位同学都加油思考。好，那做完同学，我们一起来看看那第一步，大家应该怎么思考呢？第一步是不是我们首先把s加s分之一的绝对值？先把它变成平方开根号。

对不对？所以这种绝对值等价性，然后变完以后，那接下来呢，我们就可以把它写成x减四分之一的平方，然后再加四。就等于根号13这样就求解出来了，所以就把x- 4分之等于三带到里面去就可以得到它的数值啊。啊，得到根号13好了，这是给大家进行推导扩展的，那接下来我们就可以是不是归纳和总结一下了啊，我们就把上面讲的东西归纳一下。问一下，如果x减四分之一，

是不是等于a比如a可以取三呀？取四啊？取五啊，然后或者取几啊，然后这时候则求以下几个。第一个那么就是x平方加x平方分之一，你就可以写成x减x分之一的平方，然后再加二。又等于a方加二是不是这样的，然后第二问大家想一想就x4方加x4方分之一。是否可以把它写成平方的平方呀？是不是平方平方，然后注意这地方变成减二了，别给弄错了，然后它等于a方加二的平方再减二。

好，这是它的这个数值方法，看是不懂了，然后第三问，如果要是x三次方减x三次方分之一。这个刚才咱们推导过了，就不再多写了，这个括号里面可以写的s加s分之一的平方，然后减三。或者把它写成。这是x减x分之一的平方加三，或者把它写成x减x分之一的三次方，加上三倍的x减x分之一。是吧，然后也可以把它写成。

a的三次方加3a。啊，这样就行了是吧？这也很好记啊，刚才上一个是减前面那减这地方就变成加，然后第四个最后一个。这个x加x分之一的绝对值，你可以把写成根号下x减x分之一的平方，然后再加上四就可以了，变根号下a方加四。好，这给大家进行归纳的，大家把它记好，那这些在理解基础之上，把它记就可以了。

好，这样就是写出它的归纳的这个要点和方法好吧？好大家呢，要注意这些公式，它的使用平方公式看各位同学是不是都理解清楚了？好，那接下来我们来看一下像。活学活用像第六题，这个题已知x方减三+1=0，则x方加x方分之一到底等于几？其实这道题大家就可以怎么去思考呢？我们一一看它所求的是这个倒数情况，一定要两边同除，以x这种变换。知道吧，

就整式变成分式或者分式变成整式，它们两者关联要注意啊，所以大家首先呢，在咱们考试真题里面也是这样的。你可以都除以x做恒等变形，都除以x以后就变成了x减三，加上x分之一正好等于零。是吧，这样就写出来了，对不对？想想是不是这样的？要变成x。减三，然后把三给它移过来，移过来就变成什么变成x加x分之一，

正好等于三，这要等于三的话，那这样的话就是。就可以求出x平方加x平方分之一是吧？这刚才就可以口算了是吧？就等于三的平方减二就等于七，这样答案就选择a选项，答案就写好了。好，这是告诉大家这道题，大家呢，可以通过两边同除以x来进行变换，所以这个地方听完的收获就s方。减去个ax加一，我们可以把它变成x加x分之一，

等于a好吧，变成这样的。变这样，然后再套刚才咱们讲的这个方法去进行思考，同样道理，如果x方加ax+1=0。好，我们呢，就可以把它变成这样的一个式，还是两边同除以x。是吧啊啊，是这样啊，这地方是负的。啊，这地方负的好，

它可以变成x减x分之一同乘以把a移过来好吧，所以这样的话就变成了。两边同除以x，同除以s，以后变成啊x，这个a呢？变成常数，把它移到这边，所以就可以得到s减s分之一，等于a好吧，所以这样的一个变形。所以两边做一个除法运算啊，这种变形便于往下啊，刚咱们都总结过啊，就不再给大家进行写了啊，

好，这是这道题的题目的收获和方法。看各位同学是不听懂了。好，那接下来咱们看一下逆向来用这个公式好，那接下来它给的是s次方减7x方加一=0。好，那接下来我们呢？对这个题可以两边同除，以x的平方。可以把它变成这个s平方，加上s平方分之一=7是不是？所以两边同乘，以同除，以个x平方同除，

以x平方以后把这个七给它移项移过来，移项移过来，然后这块儿呢，我们再往下去进行。变形可以两边同时加上二，然后进行配方用咱们学过的配方啊配，所以配成s加s分之一的平方，然后等于九。这样v九这样v九，大家知道，大家知道，这个平方开根号就可以得到正负三，所以s加s分之一应该等于正负三。s加x分之一的值正好是正负三啊，所以注意平方根根号有两种结果啊，

正确答案应该选择的是c选项。好，这是它的这个做题的知识点和内容，看是不懂了啊，就通过这道题，大家呢，要知道它的方法好吧，然后呢，逆向配方，然后再求它，结果注意这地方还有正负两种情况考试。不要掉到陷阱里面去，不要忘记了。

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