2-05交叉比例法

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:31:59

下面咱们看一下第五个知识点。交叉比例法，交叉比例法，它是很重要的一类方法，它不属于一个题型啊，它叫一类方法，这类方法可以用在好多题型里面。比如说用到溶液浓度混合里面啊，用到二合一或者说一些平均数里面啊，都可以使用。交叉法好，那我们来看一下交叉比例法，它的一个使用的特征，所以交叉比例法，大家把它用好了，

在一些题目里面可以。省去很多解未知数的一些过程。首先咱们来看一下第一个它的考试要点，要知道它的适用情况。当出现一个整体分为两部分时啊，所以当什么时就是交叉法，它使用特征。可以采用交叉比例法。好，那么也就是说，这就是一分为二时。就一个整体，有两部分构成的时候，我们可以采用交叉比例法。啊，

交叉法呢？是应用题中一类技巧方法。然后呢，这个运用技巧关键要在于两个，一个是应用实际的把握就何时用。问何何时，用第二个最后比值确定啊，如何来用你知道怎么用，要知道它如何来进行用。当一个整体。按照某标准，分为两部分时，我们可以根据杠杆原理得到交叉法，所以交叉法的它的来源是建立在杠杆基础之上的，杠杆原理得到交叉法。

可以快速求出两部分的数量比。好那么回想到杠杆原理，简单给大家进行温习一下杠原理啊，大家知道我们在物理学中这个杠杆要平衡，假如这是一个支点。啊，我们知道这有两个力。啊，一个力是f1，一个力呢是f2啊，有两个力，这两个力要平衡，那么它的。要求这个就是l1，这个就是l2啊，

然后呢？要平衡那么一个l1一个l2啊，这是它的。这个杠杆情况，那接下来我们看要平方就是f1l 1=f 2l二。这样的一个情况是吧？f1l 1=f 2 ll 2就相当于咱们知道例乘以例句。要相等是吧？所以说这个距离啊，这要相等，那么咱们在数学里面注意这个力f1和f2，它代表是数量含义啊。数量比如说这边是男生，他的成绩这边是女生的成绩。然后呢？

这个是平均成绩那么f1，又代表男生的数量f2，代表女生的数量，所以它这个都代表数量。一般呢，咱们可以把它写成比例，所以说f1比上f2就等于l2比上l1是吧？就这样的一个反比情况啊啊反比。好那么假设这是男生成绩为a，然后女生的成绩为b，然后整体值为c。这样就可以完成一个交交叉法啊，这是交叉法，它的一个使用，但是咱们要画杠杆原理来进行。

理解和做题的话，它要必须要反过来啊，要反过来那么有同学。会忘记或有时候呢啊，一着急忘记把它进行反过来比了，反过来比，所以这时候呢，我们就可以给大家进行画一个交叉图，所以说这就是杠杆原理得到的一个交叉图。那交叉比例法，它的应用不仅局限于平行值问题，比较涉及一个大量，一个小量和它们混合后的中间量。这三个量知道我们就可以用交叉比例法。算出大量和小量的数量比啊，

这样就可以算它数量，比如说溶液浓度的问题，都可以用交叉法。所以咱把这个杠杆这个图给它转化成什么呢？转化成那么咱们啊这样一个交叉的图啊，那就甲的值是a，比如说男生的值是a。然后女生值是b啊，这个乙的值是b，然后中间这个值c。现在支点就是c，然后这样话同一条线上相减，现在一定要大的减小的，如果c要比a大，那么就c-a。

啊，这样的，然后这是b-c，因为b又比c要大好吧，然后这块儿尽量大的减小的啊。然后甲乙的数量比那上面这个b-c就代表甲所占的数量啊c-a就代表乙所占的数量就代表数量比。然后先上下列出甲乙的数值，分别与整体的值相减啊，整体值就代表整体值就c唉，这样就可以得到甲乙的数量比。大家要注意的是，在这里面，这个c是介于AB之间的啊c是介于AB之间的数。这个大家要知道啊，它介于AB之间啊，

这是它的CC的取值范围，所以大家在使用交叉的时候一定要简单的看一看啊，中间这个值啊，中间这个值，那么是不是介于AB之间这样的话？也可以检查一下，注意别把啊这个数给写错了啊，只要中间这个不会写错，那么AB 1般不会写错啊AB不会写错，然后这块儿大家呢就可以。写它的这个内容，所以从这个角度来看，那么这个交叉法其实它是由三部分构成啊，那么第一部分就是甲乙的值，这是一。

第二部分是整体的值，第三部分是减埋后的数量，比第三部分是数量比，所以在这里面那么它其实具体而言有三种考法知道吧，比如知道一就甲乙的值和二。二就是它它们的混合值那么求三那这时候呢，是最简单的好吧，就最简，如果已知。一二，然后来求三，这是最简单的，因为直接用交叉比例就可以解出它答案，这是最简单的。然后呢呃，

第二个呃，问法反正这三个一二三三个就知道两个可以求助，另外一个知道吧，比如说那么还可以知道。这个二三，然后求一这时候呢，就得列方程啊，如果要知道。二跟三，二跟三什么意思？比如说那么它的比例知道还要整体的知知道求男生的乘积多少，或者女生乘积多少，这时候呢啊，要求这个一。那这时候呢，

就得列方程或知道。啊，一三。然后求这个二。啊，这两个呢，都要列方程。或者说采用啊，这个其他方法求求二的话还好，求二的话大家也可以用平均值它的。概念啊，平均值概念来来进行，求我们可以列方程做，你也可以利用平均值，因为中间就代表它混合值嘛，

混合值可以用权重加权法来进行求解。都是可以的。好，那这个咱们在做题里面都会有体现啊，好，这是交叉法，它的一个使用的要点啊，要知道每步的含义，一定要把这个公式理解清楚，这样话我们在做题才不会出错。好，那接下来围绕这个知识点，我们对应考试解读杠杆交叉比例法的应用原理，一定要弄清楚啊，它的根本的原理，

不要使劲背。所以说，否则遇到题目比较灵活题，很难想到这个方法，而且此方法的关键要根据题目来画图，你要把图画好，标注各部分的值，然后呢？交叉相减得到这个比例啊，然后呢呃，最后算的是一个数量比要知道啊，然后此方法注意不要把这个。数值对象写反了啊，这是关键啊，不要出现写错的位置，

写错的这个情况啊。好，那接下来咱们看一下命题方向，就四个交叉法比例情形，四个交叉比例情形呢，就是已知每步的数值。一和整体值二，然后来求三是吧？求三就刚才咱们在呃讲这个图的时候给大家讲了啊啊，每一个数值知道和整体值知道那么采用交叉法可以求两步的数量比。另外，给大家强调咱们教材法只能适合两部分混在一起的，它不适合三个啊，来混合的三个，两个混合是不能用交叉法的，

要注意。好，那接下来咱们看一下这个题。公司有职工50人，理论知识考核平均成绩为81分，按成绩将公示呃将职工啊分成优秀和非优秀两类。啊，这个两类就可以了是吧？如果分成三类就不能用，比如分为优秀良好。还有其他之类的，然后呢，如果要分成三类，那是不能用的，然后优秀职工的平均成绩是90分，

非优秀平均成绩呢是75分。则非优秀职工的人数到底多少啊？非优秀人数，那这道题大家可以发现，知道优秀的成绩啊，是90非优秀的成绩。是75，然后整体的值是50是吧啊？整体的值是90？呃，81。啊，整体的平均成绩是81，81就写在中间好，这样就写好了，

接下来接下来我们就去减。减这个同一条线上减啊减，一定要用大的减小的90-81得到19。然后81-75得到是六。啊，得到是六这样就六比九六比九，然后就算出来就等于二比三啊，算出来约约就等于二二比三。这样的情况啊，就六比九，然后剩下约掉一个三就到二比三到二比三以后，那接下来我们来看看啊，那这个总共50人嘛，50人，他要求非优秀职工，

非优秀职工的话。就占了这个。三份儿啊，就可以算出来，所以非优秀你就可以求解出来。a有就占它总人数五分之三啊，五分之三，这样就得到三十这呢，就选择a选项好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了？当然，如果你要不会交叉比较法的话，也可以设备的数设备的数啊，那立方程就比较麻烦了，

比如说非未有人数是x人。啊，非优秀是x人，然后优秀就是50-x人，然后接下来列一个什么等量呢？列一个总成绩。总分相等，总分相等叫非优秀的总分，怎么算呢？非优秀总分就拿非优秀的平均分乘以它的人数就75×x加上。然后优秀的优秀的话就是90×50-x。90×50-s就是非优秀的呃人数乘以它的平均分就是非优秀的总分，加上优秀的乘以它的。平均分得到优秀总分，这样算完后应该等于全班的总分，

全班总分就是50人乘以81，大家想如果这样列方程去解，肯定就慢了是吧？这个运算比较复杂。所以大家就采用这个啊，交叉比例法做这个要容易点好看，大家是不是听懂了啊，要掌握这样的做题方法和思路。好，那接下来咱们看一下这个题。王女士以一笔资金分别投入股市和基金，但因故撤回一部分资金。人股市中抽回10%，基金中抽回5%，则总投资额减少8%。

好，那么到这儿。啊，这个这个一句话，我们先给先给它处理一下，就也就说我们通过第一句话要把这个基金。和股票它的投资比，先算出来是吧啊，投投资比投资比的话，那么相当于是他知道。知道呃，每一部分，然后和整体的值，然后要求它比例。好，

我们看股票，股票是10%。然后基金。基因是5%。然后总投资额影响了8%。总投入的银行百分之八，那这百分号咱就不要了，反正最后要约掉，所以百分号不要十减八，得到就是二。八减五得到的三是吧？然后这样得到个三比二这样的一个情况，三比二，所以股票和基金它这样有三比二这样的一个比例好，那三比二比例，

这就代表它投资的数量比数量比有钱数比就资金比啊。然后接下来。这个弱弱的话，就假设什么意思呢？就是这个东西呢，它这个投资比是不变的是吧？然后只不过两种假设，如果呢，从股市的基金各抽回15%和10%。就是股市和基金。作为15%和10%。然后最后呢啊，它总投入额减少130万，减少130万，问总投入额到底多少钱？

噢，在这里面大家呢？呃，做呢就相当于是它这个呢，后面的这个三比二是不变的，它求中间这个值。求中间这个值啊，刚刚咱们在讲知识点，给大家讲了这个，它由三部分构成啊，交叉法一定要记住，它由三部分组成的。咱们的总分呢？那么第一句话这道考题呢？就告诉我们已知一和二来求这个三是吧？

已知一和二来来求这个三这个是最简单的是吧？所以它。第一种考考法就已知。一二来求三，刚才咱们前面做的题也是这种思路是吧？已知一二的值来求这个三大家会了。现在呢，是已知一和三来求中间的二。啊，已知。一三来求这个二。比如说已知一三，求这个中间这个，所以当然可以设一个x设一个x，然后呢，

再列个方程解，那样的话就比较麻烦，交代一个小窍门儿，大家可以用。权重的方法来做，应该既然是三比二，三比二，也就是说百分之十五肯定是占了五分之三的权重是吧？五分之三，所以这个问号的话就有点儿像咱们。呃，笔试和面试成绩，比如说笔试占百分之六十，复试占百分之四十，这样的一个情况，

比如说这个百分之十五呢，它其实占总体的五分之三，这个百分之十呢，其实占总数的五分之二。知道吧，总数五分之二好，这样话我们就可以写出这个问号，其实就可以得到它的，等于百分之十三。这样可以写出来，还有13%就写出来了啊，所以这问号得到就13%就写出来了啊，所以说这个就可以求解出来好吧，所以大家呢，按照这样的一个思路来进行思考。

和分析看大家是不是明白了。好，另外的话。大家一定会通过一三求中间这个值用这个小细小来进行求解，这叫做加权法啊，这个五分之三和五分之二代表了权重，就相当于笔试成绩。乘以个五分之三呃负式乘以乘以个五分之二加在一起，就是最后你的总分，然后来进行录取，知道吧，所以它是这样的一个呃关系啊，所以大家要会求中间的值。好，这中间值大家呢啊，

就可以写好了，好，这是它的。考试内容好吧，大家呢，又会分析和思考，那接下来啊，我们呢啊，还可以怎么去进行？写这个事，然后把这事给大家再推导一下，写这试试看，这样写你看行不行啊？这样推导一下你就知道这技巧怎么来的，所以每个技巧大家一定要知道它的过程怎么样的。

比如15%，我写成10%。加上百5%总可以吧？是吧，所以这个十五我们是不是可以拆成十跟五啊？是不是可以这样拆开啊？拆开以后大家可以看到一个什么问题啊，这个百分之十乘以五分之三。和最后的这个百分之十乘以五分之二，这个五分之三加五分之二是不是就是百分之十啊？是不是就是百分之十对吧？五百分之十乘以五分之三百分之十乘以五分之二五分之三五分之二加在一起，有百分之十。然后再加上这个百分之五乘以五分之三，这样就相当于百百分之三，

这样算呢，也等于百分之十三。对吧，好，那通过这个过程，大家以后是不是可以？可以这个啊，这个呃，用这个技巧来做啊，比如说这问号是这样做的。直接拿这个小的10%。加上大减小乘以一个，它的比例知道吧？乘以比例大减小就是15%减10%，得到5%。

乘以这个百分之五对应的比例就是五分之三。是吧，以后就可以直接这样写得到13%，知道吧，就相当于把上面这个基本的方法做一个过程推导，这样大家就知道为什么可以这样写了，要不然。我直接告诉大家，这个技巧大家肯定听不懂唉，怎么回事儿是吧？以后那个中间那个值这个问号，你就可以记一个口诀，就等于小的。加上大减小乘以个它的占比。比例是吧？

占比这样就OK了啊，所以说以后求中线可以这样求好，那这个问号求出来干什么？这个13%代表什么意思啊？这个13%对应的呃钱数就130万。就130万好，那么这个130万那么大家呢？就可以看出好占了13%，那咱们学过啊，这个以前的公式就总量。啊，就等于部分量。所对应的占比。是吧，对应占比，

所以说就拿130万，除以13%。得到13万。啊，就1000万。对吧，然后这个上13上约掉1000万。好，那这样就算出来这个答案就选择的是a选项，好通过这个题，大家呢，要知道它这个几个问法怎么去求好吧，所以这道题考得非常好。它相当于这道题是两个小题，一个是已知一和二两部分求三，

另外个已知一和三求二啊，一般的方法。和技巧方法都给大家已经写到了好看，各位同学是不是理解了？接下来咱们看一下，不适合交叉比例法情况，不适合交叉比例法情况就采用呢，这个另外一种替代方法啊，可以采用解析中的方法二。因为什么？因为如果使用交叉比例法，那么它会涉及到很复杂的方程，运算量特别大啊，然后容易算错，所以说咱们不适合交叉比例法。

好，那接下来咱们来看一下。某班同学在一次测验中评审以为，75分经男同学人数比女同学人数多80%，这些人数关系多百80%。然而，这个女同学平均成绩比男同学高20%。啊，这个女同学平时成绩到底多少啊？这个女同学的平时成绩到底是多少？好，那在这里面，我们来看一下。他的这个成绩，那么到底是为多少？

啊，那这道题我们如果采用交叉比例法，我们看它是什么问题好吧，它这道题是求这个成绩啊，注意女同学成绩比男同学成绩高20%。有同学呢，把它理解成男同学就比女生低20%，这个错了啊，就女比男。高20%。不等于男比女低20%，这个东西要知道啊，比如c比c多20%不等于c比c少20%，这个东西要知道好吧。因为它基准是不一样的，

另外这里虽然提供女同学成绩，但是不要设女生成绩，如果设女生成绩的话，男生呢？他这个成绩会出现分数好吧，一般咱们在设备的数的时候，前面给大家讲过设备的数的时候一定要设计的基准量。设比后面这个基准量好吧，所以可以设。男生的成绩。是x分男生以x分女生的成绩，女生成绩就是一点二x。是吧啊，分啊一点二x，因为女生比他高20%这样的，

然后接下来如果用交叉比例法就这样的交叉比例法就男生的是x。女生呢，是一点二x，然后整个成绩呢，是平均分是75，这样话去减这样减。减法一定要用大的，减小的，虽然有同学说这个x我不知道，不知道是多少，不知道它比75大还小，但是呢，那那知道75肯肯定是基于两者之间的，那说明一点二x肯定是大数。x肯定是小一点儿，

所以说一定是x要小，所以说x肯定比75要小。然后呢？所以说这个就应该75-x，然后这个一点二是大的，所以它肯定比75要大一点二x-75。然后这样得到最后的比是多少，得到人数比人数比的话，因为男生人数比女生人数多80%多80%的话就相当一点八倍是吧？是吧，一点八所以说它的人数比就一点八比一。知道吧，有一点八比一这样的一个数值，知道吧，好这样的数值，

这个是一点八比一啊，一点八，所以这道题相当于什么？相当于是甲的，咱们还是分为三部分一。一二三分三部分知道知道二和三求一知道吧，所以这道题相当于是已知二跟三。来求这个一。啊求这个一求一的话，那么用用列方程方法做就比较麻烦了，这两个比等于一点儿八比一一点儿八比一就是人数比啊，没弄懂的同学要知道c比c多80%就一点儿八倍啊。然后呢，就可以得到一点二x-75，除以75-x就等于一点儿八比一，

这样就写好了。AR比一，然后那种交叉相乘相等，然后就可以得到结果啊，交叉相乘相等就可以得到它的数值。这样就写出来了是吧？交叉相乘，你看，然后x就解出来x解出来，然后呢？再算比如x算了等于70 x=70注意答案不是70，因为它要算。女生的成绩，女生成绩一点二×71点二×70有84分，这个答案就选择b好，

这是给大家讲的这个。方法啊，用交叉比例要解这个方程很复杂，那接下来咱们看一下有没有？简单一点的方法，简单方法当然还是要设备的数，还是要列方程啊，这男乘以为x，女生乘以为一点二x，这时候我们怎么办呢？我们就根据总分，所以另外一个我们就根据总分。然后列等量。因为总分列等量，那大家知道男生的总分，

我就假设男生是一点儿八个人啊，女生就一个人好，那么男生的总分就拿男生的一点儿八个人乘以x分平均分。是吧，然后再加上女生的女生呢，就一个人乘以个一点二x它的成绩。就等于全班总分，全班的评分不是75分吗？75分，然后总人数呢？就二点八个人。因为假设啊，男生呢，就是一点八女生就一个人，全班呢，

就是二点八个人。好吧，二点八的，然后这样那这样就写出来了，好吧，这样就写出来，结果然后这个x去解，这样的话x解出来也等于70。唉，也也很歧视，反正总之啊，就是知道二和三求一，那么往往都是要列方程做列方程的话，一般呢，就给你总分相等来列个方程。

这样话要简单一些好吧，然后大家呢，要有分析和思考好，这是给大家讲的啊，它的这个叫不适合交叉法可以用。啊，另外的方法来进行替代，这样计算呢，要简单一些。好，咱们接下来看这个题。然后甲乙两组射手打靶，乙组的平均成绩是一百七十一点六，比甲组平均成绩高30%。啊，

就乙比甲乘以高30%啊，注意再强调一下乙比甲。高30%。不等于啊，不等于甲比乙低30%，不等于这个啊。所以说乙比甲高30%不等于甲比乙低30%，这两个是不相等，不要理解错，因为它基准量是不一样啊。所以说乙比甲高30%，代表什么意思？代表乙就等于甲乘以个一点儿三，知道吧？这样就可以推出甲呢，

应该等于乙除以一点三一百七十一点六÷1点三。啊，这样的这样算就等于132好，132好甲的成绩先求出来好，那么甲的人数比乙的人数多20%。多2%要求总平行成绩，如果这里要采用交叉法的话啊，我们看看交叉法就是甲的成绩。啊乙的成绩甲呢是132，乙呢是一百七一点儿六，然后整个呢，如果假设平均成绩是为x。平行线a被x，然后这个减下来。啊，

大家减一减啊，减下来好减下来以后大家可以看到，肯定用大的减小的，因为这x肯定要介于132和一百七十一点六之间。再用大的减小的x- 132。啊，然后这个就一百七十一点六减x。啊，一百七十一点六减x这样的是吧？然后这一量大的减小，那这个得到是人数比因为甲的人数比乙人数多百分之二十，说明甲的人数是乙人数一点二倍。如果甲的人数设为一点二，乙的人数设为一，这样就可以了，

好吧，因为它正好是一点二好，那通过这个比例就可以解x你列一个什么比例，一个一百七十一点六减x。除以个x- 132等于个一点二比一，然后这个去解x这样话再交叉相乘，再一项去解就比较麻烦是吧？解出来150这样话就比较麻烦一点。所以在这里面呢，我们呢，就可以采用简单点方法来做简单方法呢，我们讲过这道题，首先判断啊，在交叉比法中判断这道题，这是一。

这是二，这是三是吧？相当于这道题是已知一三，然后来求这个二。是吧啊，来来求这个二好，那在这里面呢，如果要已知一三求二，那么除了列方程之外，我们还讲另外一个简单方法，可以用权重的方法直接求这道题就可以不用设未知数了。然后这个总平均。x啊，总平均就等于啊，那么这个一点二比一我们可以把它变成一个什么呢？

变成一个。啊，变成一个整数比吧，一点二比一可以变成一个六比五，是不是可以变成一个六比五六比五？也就是说啊，那么这个甲占了十一分之六，乙占了十一分之五。还记不记得刚才咱们讲的口诀啊？还记不记得咱们刚才讲的口诀还有没有印象用口诀做啊？前面做过一个题，就是小的啊，又忘了这个小的。加上大减小。乘以一个啊啊，

乘以个乘以个它的比例，乘以它的比乘以它的比例就十一分之五。是吧，十一分之五等它比例就十一分之五，就是小的将大减小乘以十一分之五是吧？用这个方法做这个是不是要快呀？啊，要快，当然你也可以写成一百三十二乘以个十一分之六，加上一百七十一点六乘以个十十一分之五也行，对吧？也行，那样的话就比较麻烦，用咱们刚才讲推导技巧啊，刚才前面的题给大家说过，

如果这一块儿听不懂的同学往前。翻几个题，那么就看到了啊，然后这块儿就很好算呀，是吧？然后这个就六。这个九是吧九然后呢？这个是六减三得到三。然后乘以个十一分之五，然后这个就很好算，这个十一一除啊，一除一除的话正好是。三点六啊，三点六三点六，那么乘以五。

正好18嘛，十八十八+132正好150是吧？18+132这样就可以算出来啊？好，那这个它的这个方法是吧？所以用这个思考一定要记住啊，求中间它的口诀是小的，加上大减小乘以它的比例，乘它比例，这个比例怎么看呢？比例的话，你要看这个大的，它位移的比例。是五份儿，总共呢是11份儿啊，

用这个来进行分析和思考好吧，这个给大家进行强调的，所以讲了那么多题，其实大家可以发现交叉法的。三类各位同学掌握了没有？就是比如说一二三已知一跟二如何求，三已知二跟三如何求，一已知一跟三如何求，二其实就把这三类。牢牢的掌握住你就全方位的掌握了交叉法，你就站在了交叉法的制高点，让这个原理就彻底的学明白了。

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