2-04工程问题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:31:45

各位同学大家好，接下来我们来学习工程问题。好工程问题呢，它很多公式呢，跟路程问题呢是类似的，所以两者可以对比一起来进行学习。此外，工程问题，它的题型比路程问题呢？题型要少一点，所以大家呢？要掌握两者的关系和区别。接下来我们来看一下对应的知识点。首先咱们来看一下对应的公式。前三个公式跟咱们路程问题呢，

这是类似的，这个效率可以把它看成是v。然后工作量可以把它看成s，工作时间可以把它看成t，所以在这里面，那么他们是对应的关系。所以效率就等于工作量，除以工作时间，然后第二工作量就等于工作效率，乘以时间v×t。s就等于v×t好工作，量就等于工作效率乘以时间啊，这样的情况，第三个就工作时间t。就等于s÷v就拿工作量，

除以工作效率，这样就可以了啊，随着工作时间就拿工作量。啊，处于工作效率。好，那这三者的关系式跟咱们路程呢是一样的，所以大家呢可以结合路程来进行学习和记忆，这样就可以减少我们的记忆负担。然后接下来我们来看一下总效率，因为它要涉及到几个人合作。合作的话，那总效就等于各效率的代数和啊，这里面有个关键词，代数和那什么是代数和呢？

代数和它就代表是有注意效率的正负问题。注意效率的正负啊，然后效率有正有负，比如说什么时候出现效率负呢，就进水排水。有进水管儿，有排水管儿，它相反的这种情况就出现效率正负的啊，这种呃要求啊，这种特征。好，那这是给大家强调的，它的这个考试公式，此外它的比例关系跟咱们路程呢也是类似的，比如说。

工作效率如果要是固定的工作量和工作时间，它的一个比例。或者说工作量要固定，它的工作效率和工作时间，它的一个比例关系，所以它的比例跟咱们路程呢是类似的啊。啊，所以在这里面大家呢，就可以仿照路程啊来进行写，比如说v要定啊v要定v要定相当于它的效率。是固定的，那这样呢s与t就成正比。然后第二个就是s，如果定。啊s，

如果定的话，那么这个vet就成反比。啊vat呢，就称反比另外t要定。这要定s与v就成正比。好，那这是它的一个比例关系，这个要知道好吧，所以大家呢？啊，通过这些可以结合路程来进行分析和思考。好，接下来我们对看一下它这个板块儿的考试解读工程相关的计算公式呢？首先与类路程呢是类似的。啊功效呢？

比如可以看成速度v工作量干的活，可以把它看成走的路程s，工作时间可以把它看成这个时间t。啊，所以说两者希望大家能够结合起来记忆，另外工作量一般分为句量和抽象量分为两种情况。情况啊，那么什么是具体量，比如说啊，生产1000个零件，这是具体量什么抽象量，比如说某项工程，它有抽象量。对抽象的工作量，我们可以将总量看成一啊，

设一法，但有的时候呢，如果要在已知单独时间的情况下，已知时间，我们呢，就可以用最小公倍数。来进行表示啊，但是如果要不知道它单独完成时间设最小公倍数呢？这种方法是无法使用的。然后对于工作效率可以看成单独完成实验的倒数啊，工作效率工作效率可以把它看成单独完成实践，它的一个倒数倒过来。好，那么在这里面好，那么注意咱们做功能题的核心是什么？

核心是工作效率。啊，这个是关键，就像咱们路程里面v是关键一样，所以工作效率是做题的关键，一般而言，效率已知的题目啊，比效率未知题目要简单，比如说每个人的效率告诉我们了。这个做题要简单。当效率未知时，我们在设备的数的时候，一定要优先设效率好吧，设效率可以找工作量或者工作时间。啊来鉴定等量关系一般，

咱们找的比较多的是找工作量啊，然后呢来进行鉴定等量关系，比如甲完成工作量加乙完成工作量等于多少工作量？是吧，按照这个来建立等量关系。然后工程问题的难点就是变效率的工程问题啊，这道难点就变效率，它的工程问题，这个效率发生变化。就相当于咱们在路程问题里面变速度v啊，如果它的速度发生变化，变速度的啊，这个工程问题这个是。啊，难度稍微大一点，

它考频率级别，频率级别就是高啊，这个是考试，基本上是每年都要考的啊，这个工程问题。好，那接下来咱们来看一下第一个考试方向，就求工作时间问题，按照它求解的额，这个类型我们给大家进行分。分情况来进行学习，第一个求工作时间要计算工作时间的话，我们可以根据工作时间的工作量，所以工作效率呢来进行分析。当然，

有时候也可以拿啊，时间进行转化，比如说甲几天乙几天也可以学会一个转化来进行求解。啊，这样用转化用比例法做呢更简单。好，接下来咱们看一下这个题。啊，一件工作，甲乙两人合作三天可完成，三天就做完了，两人共同做了六天后，甲离开了，由乙需做了四天才完成这项工作，由甲单独做，

需要多少天？好，那么这个题我们来看看啊，它的这个方法啊，如果这道题要设呃未知数做的话。这时候呢，我们不要设甲单独做，需要多少天啊？如果设甲单独做，需要多少天的话，它的效率就会出现倒数。知道吧，所以这道题呢，而且也属于一个抽象的工作量，因为它这个工作量这个工作到底是什么？

它没告诉我们，所以要属于抽象的工作量。好，那接下来我们呢？来看看它的这个方法好，我们这道题就设这个效率啊，就OK了啊，设效率，所以我们假设甲乙的效率。甲效率。为a乙的效率。为b好，这是它的这个效率，然后接下来我们来看一下啊，列一下方程，

那么第一个方程。就甲乙合作三天可完成就，相当于是他合作的效率就a+b乘以个30天。得到工作量，咱们这个呢是根据工作量列了一个等量啊，就是他们合作完成这个工作量，咱们设总工量呢，就是一啊，设这个总工量为一。然后接下来咱们再看第二句话，两人共同做了六天甲，离开了由乙居住了四天才完成，那这说明什么问题呢？好说明啊，那么就像那甲咱们分开算的话，

甲总共干了多少天？甲总共干了六天。对吧，因为甲前面帮着一起合作六天，然后乙呢，总共干了46天，因为前面乙做了六天，接着乙又做了40天，所以在这里面大家就可以看出。啊，它的这个方法是吧？然后这个时候我们就可以得到是6a。加上46倍的b。正好等于一啊，所以这是啊，

第二句话他写的这个情况，因为它正好完成了，完成就等于一好，两方是两个未知数，把这个效率解出来效率，然后再取倒数，就它单独的时间。注意，如果咱们设总工量为一的话，那么它的时间和效率就是倒数关系。好，这是第一个题，第一个方法，这个方法的话做就比较麻烦点，我们看另外的，

另外就是要转化的方法，什么时候会出现转化，大家一定要记住转化这个技巧，不是每个题都可以用的。它必须是出现了这个完成方式的时候，我们才可以用啊，完成方式，比如甲乙合作三天可完成它这个完成方式。然后呢？这个呢？四天完成这个完成方式，然后这时候呢？我们呢？就可以。啊，

用这样的方法来做好，那接下来我们来看一下它的这个知识点，首先这个完成方式，我们呢就可以。根据第一句话来写，就相当于甲干30天。啊，已干三天。他做完了是吧？甲三天乙三天，他就完成了啊，这是第一句话就做完了，第二句话我们看一下，第二相当于是甲干了六天。啊乙干了46天，

他也做完了。啊甲干了六天，乙干了四六天，他也做完了是吧？好，那通过这个我们呢就可以完成一个转化。那这样看这个怎么去转化呢？大家可以看到那么甲，如果少干。24天用30-6。加。如果少干24天。那么乙就得多做16天。是吧，乙他要多做15天，

这样的一个情况，所以甲如果少干24天，乙得多做15天，那通过这个大家就可以看出，那么它的一个比例关系。是吧，就通过，因为总共这个量这么多，就像两人干活儿，一个人少干，另外一人必须得多干，反正总共就把这活儿做完了。然后我们呢，先把这两边呢啊，约分月月月化成最简整数比，

然后就三比二。你看甲三天干的活，相当于乙两天干的活。这个等量是工作量相等啊，比如说甲三天背的词汇量，相当于乙两天背的词汇量，然后接下来他要问甲单独干整个活需要多少天？甲单独干什么活？需要多少天？那这时候呢，你可以。让乙呢不干活了，然后转成甲好乙不干活转成甲，那这时候呢，我们可以看看它的这个情况是吧？

乙不干活。啊乙不干活就相当于是啊，那么乙这三天用第一个转化，第二个转化都可以啊，都是没问题的，都是不影响。好，如果用。啊，第一个来转化的话就相当于是把这个30天啊乙就不干了，那乙的30天就相当于两边在这个等式，两边都乘以15倍。知道吧，同乘一个15倍乘15倍，这就是变成45。

所以，扩大相同倍数就是二×15，得到33×15，得到45，得到这个值，然后这时候我们就可以知道这个乙30天把它等效转换成甲。甲相当于是45天。甲相当于45天，这样的话，甲前面30天，这是甲45天，所以甲共。就是75天。甲总共就75天，30+45，

总共呢就75天，然后这样就写好，所以这是它的这个内容正确答案就选择d选项。啊，当然那么你用啊，后面这个转化这样也行，后面这样就是46，如果用46来转化的话，就两边同乘以个23倍就可以了啊。同乘以23倍，同乘以23倍，也就说那么这个乘以23倍，那就得到46这个乘以23倍，得到是69。是吧，

也就说乙的46天让甲来干，甲得干69天，然后再干，加上这个六啊六+69也得到75。所以你可以用30+45摄像头甲单独完成75天，也可以用这个六+69摄像头甲完成是。啊，这个69天都是可以的好吧啊，都算成是75啊，六+69也是75好，那这是。啊，进行等量转化，等量转化，那么它的呃，

这个模板是这样的模板就相当于甲A天。以b天它做完了。然后甲c天。乙第一天，他也做完了。也做完了，然后接下来我们通过这个去进行转化转化啊，就让a和c相减，当然有时候a比c大，有时候a比c小，所以这时候我们可以取一个绝对值。可以取一个局域值，相当于讲这个a-c的局域值天。以b-d的绝对值天。是吧，

这样的加上一个绝对值。好，那这样这样完成转化，又把它化成一个最简整数比啊，两边最最简整数比，然后这样就可以把一个人的天数通过这个比例关系转换成另外。啊，一个人需要干多少天，这样就可以非常。容易的计算出其他人，他的完成时间好，这是他的求解的方法，看懂了没有？啊，接下来咱们来看一下这个题，

一件工作甲当做12小时完成。然后乙单做十小时，完成丙单做15小时，完成现在甲先做两小时，余下的由乙丙两人合作，还需要多少时才能完成？啊，需要几小时才能做完好，那接下来咱们来看一下它的这个方法。就这个题，它也是属于抽象的工作量，这个工作量它没告诉我们，就像工作量那接下来我们这道题呢，就可以采用最小公倍数法。所以说这个工量如果要抽象的工量。

我们可以采用设一法。设一法就是公时，未知的时候。大家可以采用设一法做好，如果。公式已知可以设最小公倍数法。那最小公倍数这个公式，如果已知。啊公式如果已知已知的话，它要设最小公倍数，这样就OK了好，那这是它的这个情况。然后接下来我们来看一下这道题，先求出它的最小公倍数。得得得。

啊求最小公倍数，这个咱们前面学过最小公倍数方法是吧？然后这样我们就可以算它最小公倍数，最小公倍数就60，这样就写好了。你可以用分解法呀，用公式法呀啊，用短租法呀做都可以。是吧，都可以都可以算出它的公倍数，公倍数就60好，那最小公倍数60，那接下来我们来可以设工量就60工量工量就60，这是这是工量了总工量。总共60，

总共60的话，那在这里面我们就可以看出那么甲它的效率啊，甲的效率。甲的效率就是五乙的效率。就是六丙的效率就是四。是吧，所以甲的效率就是五乙的效率就是六啊，丙的效率就是四啊，这是它效率效率知道那接下来我们来看一下他们余下的乙丙两人合作需要多长时间？这道题大家就不能用，等量级转化了啊，转化且就容易错，接下来我们看怎么去思考呢？好，那么总工量是60减去那么甲先做两小时工量，

因为甲的效率是五五效率乘以时间。啊，就是五×2+60减掉五×2就得到是它的剩下的工作量，相关的由乙丙两人合作，乙丙两人合合作的话，我们就可以算出它的这个取值情况。是吧，然后呢？就是合作它效率就等于两个相加就乙加丙的效率就六+4，这样算出它的t。那道题，然后这样话上面算出50除以个十得到15好答案就写出来了，正确答案选择e选项。好，这是它的做题要点是吧？

这道题呢？大家听完收获就抽象工量，我们怎么样去设这个工量？另外那么这道题呢？把每人的效率找到。需要找到，然后算时间就用工量除，以它的效率来算，它时间就可以了，好，这是它的做题的要点和方法。当然，如果这个要转化的话，那么呃等量转化就稍微麻烦点，可能有同学绕不过来是吧？

你看你能绕过来的话，你这样绕也行。反正总共的工量还60，那么甲呢啊甲一个人干啊啊，他先做两小时是吧，先做两小时，这两小时大家可以发现。这个乙跟丙啊乙跟丙合作效率是十十的话，相当于是两个甲十的话，相当于两个甲，也就是甲先做两小时。甲先两小时，如果余下的还让甲来干，甲应该是十小时，为什么余下还让甲一个人干？

因为题目说嘛，甲单独做是12小时嘛。甲单做12小时，所以说这个甲先干两小时，剩下的活如果全让。甲来干甲是不是得十个小时来干，十个小时来干，现在呢？这个余下的呢？让这个乙和丙一块儿做乙和丙一块儿做，相当于是两个甲。是吧，一个乙和丙。相当于两个甲啊，就就是这样的，

它的效率等效于两个甲，大家知道一个甲是需要十小时，两个甲就除以二嘛。就两人干活它的，它的时间肯定就缩缩短了嘛，缩短所以有两个同样的甲干活啊，所以一个甲，然后两个甲就需要五小时。所以这样答案也可以很容易口算出五小时，但是呢，这时候呢，你就得知道把乙和丙两个人。等效于两个甲，这样的人就两个甲，这样的人，

然后呢，来干需要多少是吧，所以一个甲需要十小时，两个甲肯定就减半儿吧，就两个两个东西干，他肯定要干得快。好，这是它的这个方法，这一块儿呢，就跟咱们的数量啊，与它的数量呢，正好成比例关系，知道吧，比如说咱们呢啊，一台打印机需要十小时。

两台打印机就需要五小时，如果四台打印机就需要二点五小时是吧？你就给它除一个数量就行了，所以十÷2或者除以。呃n个啊，也就说如果这要是n个甲，他就需要n分之十小时。是吧，就是n分之十小时，比如说呃五个甲啊，五个甲来干就两小时就干完了，因为一个甲是十小时，因为有时候他会出几台同样的机器来干活儿，比如一台机器，它十个小时，

那要知道两台机器。机器呢，就五个小时，如果n台机器就n分之十小时啊，这样的一个方法好吧，要知道它的内容。啊，下面咱们看这个题一项工程甲单独做，需要十小时十个月完成，乙单独做15个月完成两队合作，三个月后。那么乙队呢？调走甲队单独做两个月后，乙队又调回与甲队一起做，前后共用了几个月完成此工程。

好，那这是这个题，我们看它的这个做题的方法。是吧，也就说啊，那么这道题呢，它大家可以看到，也是一个抽象的工作量是吧？这个内容如果抽象工作量大家首先呢？判断一下他这个给的这个时间是不是都知道，如果时间都知道这时候呢？我们呢就可以。可以设这个最小公倍数好吧，所以总工量我们呢就可以设最小公倍数就找十和15。啊，

最小公倍数好，最小公倍数啊，正好等于30，这个很容易求解，30，30总共呢有30那么甲的效率就可以写出来甲的效率。甲效率呢，就是拿这个30÷10得到是三。然而，乙的效率。一下就拿30÷15得到12啊，30÷15得到二，这样的就写好了。然后接下来我们看两队合作三个月，乙队调走甲队，

单独做两个月，乙队又调回与甲一块儿做好，那在这里面前后共用多长时间，我们就看。后最后啊，最后这个这个这个时间先把最后的题求出来。最后，它的它的t也就说它总共呢效率呃，总共量30减去。减去呢，两队合作的三个月合作，三个月的话就合作的效率就是五啊是吧，五五×3啊，合作了三个月。合了三个月以后呢，

甲又干了两个月，甲又干了两个月，又减去三×2。然后干两个人，然后后面呢乙又调回来，调回来又两人又一块儿做一块儿就三+2啊，这样啊，就可以把它求。求解出来，求解出来，然后呢，这个就五分之九。文字又可以写成一又五分之四是吧？然后接下来他们共用几个月总共时间。总共t总体要把这个前面时间加在一起就三。

三三个月前面三个月，然后又加上两个月。然后再加上最后这个加在一起上六又五分之四啊，六又五分之四，然后正确答案就选择a选项。答案就求解出来了啊，这个呢，就选择a好，这是它的这个做题的方法和内容，看是不是懂了啊，所以通过这个题等一下呢，就把时间。啊，分别给它找到，找了以后，

接下来我们就可以写出它的数值了，好，那这个总共的月份就可以求解出来。啊，那么这个时间最后的时间找到，然后加上前面实验这道题呢，它过程比较复杂，就不建议大家用等量转化的方法做，等量转化方法也能做，那特别特别绕好吧，然后考场上一不小心绕错了。那咱们呢，就掌握这种方法就可以了，因为它中间的又合作啊，又调回来啊，

等等的是吧，等等，然后这块儿呢，就是相对来说复杂一些。接下来我们来看一下第二个考一下就是求工作量问题。就工作量问题，那我们可以用工作时间乘以工作效率来进行分析啊，一般求工作量，它这个工作量都是一个具体量，比如说要生产多少个零件呀之类的啊。啊，这是它的这个方法。好，接下来咱们来看一下师傅两人加工零件168个，师傅加工一个零件用五分钟。

土地加工一个零件，用九分钟就师傅他干活要快，土地干活要慢。然后呢，完成任务时求师傅徒弟各完成多少个？其实这道题大家可以用比例法做啊，比例法做就可以了是吧？因为因为大家知道。它们的时间相同，这个这个括号注明了它们的时间是一样，工作时间都是一样的啊，既然时间t一样。t相同。啊t相等t相等的话，那么师傅啊，

完成工量和徒弟完成工量啊，就等于它的效率比是吧，然后师傅咱们用用。啊，第一个，然后工作量就用s来表示好吧，它完成的数量就是s一个，它完成数量就s二个，就s1比s2就等于v1比v2。效率啊，效率效率大家知道啊，一个零件用五分钟，那说明它一分钟就单位时间啊，单位时间完成的工作量叫效率。知道吧，

就一分钟，它完成五分之一个零件，所以说它的效率。这样呢，徒弟效率一分钟完成九分之一个零件，所以就得到是五分之九啊，这个比例。好，按照我们之九来分析的话，那总共一百六十八个，那师傅完成的就等于一百六十八乘以个啊，那么它占了十四分之九。啊，这样就可以写出它的值，这样正好等于108。

108那剩下的徒弟就不用写，徒弟就60个，就很容易算啊，这个呢，就选择a选项啊，这是它的做题的思路和要点是吧，通过这个我们就可以写出。它的比例关系啊，通过用这个比例关系做就比较简单，这题呢，也不用设备的数了啊，只要你抓住它有个量相同，那么找到比例，然后来进行求解。就可以了，

而且要知道这个效率，效率的话就单位时间完成的数量，就看它一分钟完成数量到底多少，用这样的一个思路来求解。好，接下来咱们再看这个题，一批零件甲单独做六小时可以完成，乙当做八小时完成，现在两人合作完任务时。然后甲比乙多做24个，问这个零件共有多少个啊？又求这个总量，那这道题我们也可以用比例法做啊，比例法做这样一些，当然也可以仿照上面，

其实这道题是上面那个题的逆向考察。啊，逆向思维，逆向考察，那这道题用上面题的方法，你可以这样去进行写嘛，可以用用比例法，比法比法就相当于甲。工作量b工作量，因为它的t是相同的是吧？因为它它合作嘛，一块儿做，因为合作一块儿做到完成任务时，它t呢是相同的。t相同的t相同s甲比s乙，

我们就可以写出来啊s甲比s乙就等于v甲比v乙。啊v甲比v几好，那么甲的效率甲单独做是六小时完成，那每小时呢？它的效率就是六分之一是吧？每小时效率就六分之一。乙呢，每小时干的是八分之一，这样就写出来了是吧？然后这样把它写成就六分之八，六分之八可以写成三分之四。所以他正好是四比三有他完成的工作量啊，比例关系就四比三。啊四比三就甲乙它的工作量之比对四比三，虽然正好相差一份儿是吧？

因为呃甲。完成四份，已完成三份，正好相差一份。好，那这个一份正好对应24个零件。24个零件，那要求甲班多个甲呢，就完成四×24乙班多少个乙班的三×24？是吧，那问总共完成多少个？总共就把这两个加在一起就行了啊，所以共。就是七×24等于幺六八啊，正确答案就选择的是d选项，

答案就求解出来，正确答案选择d。好，这是它的做题方法思路，看这个明白没有是吧，然后答案就写好了，所以这是它的考试要点啊。所以大家呢，要学会找到比例关系，做要简单一些，又不用设备的数了。啊，接下来咱们看一下，还有一种考试内容就轮流工作的问题，轮流工作呢，

主要是先求出一个周期的工作量，然后再预估周期数。看需要几个整周期，然后最后呢，看分析收尾的对象和需要的时间，就看它最后。啊，谁来收尾？他最后完成工作，需要的时间。好，那接下来咱们看这个题。某项工程甲单独做，需要四天完成，乙单独做，

需要五天完成，丙单独做，需要六天完成。好，那在这里面这个某项工程咱也不知道是什么东西，但是呢，他知道了每人的这个时间，我们就可以设总工量呢，为最小公倍数，所以总工量。我们就可以把它写成它的最小公倍数四五六，最小公倍数，这样得到就60。好，这样写出来啊，

就得到是60啊60，那接下来我们总量为60，那甲的效率。就是60÷4得到15乙的效率就60÷5得到12丙的效率就是十。是那接下来咱们来看一下啊，一个周期它完成的工作量啊，一个周期。一个周期完工量什么意思？就每人干一天，那么甲一天，乙一天，丙一天，这是一个轮回，一个周期，它本身的工量。

由周期完成，功量正好就是15+12，加上十正好等于37。这样就37啊，这一个周期完成光亮就37就写好了，好37那接下来我们来看一下60-37就得到是23。是吧，也就是说它一个周期已经完成一大半儿了，所以说它用不了两个周期就完成了，那接下来我们呢就可以。啊，看出那么它的这个式式子，然后就可以写出什么情况呢？就写出这样的就是。那么甲再干一天是吧？

一个周期以后，那他剩余。剩余23就拿60减掉47，得到就23啊，得到23，得到23，剩余23，剩余23，然后呢？这23，然后甲干一天。还剩下多少？还剩下。八所以甲，然后一天，

然后这个剩余。就23-15，得到是八得到八，那又轮到乙来干活儿，乙的干活儿用不了一天就做完了，因为还剩下的工作量不多了。然后乙呢？效率呢？是12是吧？所以乙来收尾。乙收尾的时间就是拿八除以十二就等于三分之二天。三分之二天好，那这是它的这个时间，然后他问总共需要多少天，我们来看共。

共同话，那就把这个前面一个周期，一个周期代表是甲一天，乙一天，丙一天，所以一个周期相当于三天啊，就三天。唉，为一个呃循环知道吧，所以三天，然后再加上甲一天就四天，所以说。三天再加上甲一天，然后再加上乙收尾的这个四又三分之二，这个呢，

就选择c选项。好，那这是它的方法思路，看这个懂了吧啊，这个哪里选的c好，这是它的考试内容和要点。好，那接下来咱们看变效率的工程问题，变效率工程问题主要根据效率变化前后的时间关系来列方程求解。跟效率变化的时间关系来进行列，对于效率未知的工程问题，那么优先设效率来求解就行了。是吧，然后呢？就使它效率发生变化变化，

其实这个跟咱们。啊，变速度的路程问题是类似的。变速的路程问题是类似的是吧？然后呢？可以用咱们讲过的公式啊，比例法都可以是吧？然后呢？你可以用这个。比例法做。也可以用公式法做。都行啊，咱们的公式法就是s就打电话s喂喂喂，然后挂掉是吧？然后这样的，

所以s那么就是德尔塔vv 1。v2t，然后这个公式不会的同学，大家看一下前面路程里面，咱们给它进行推导的好吧，这个s代表变化的路程啊，不是全程啊。然后对咱们工作量而言，它变化的那个那一段儿发生效率变化的那个工作量，然后这个是效率的一个差值，这个乘以v1v2前后的效率，然后再乘以时间它的一个差值。就可以了好，这是它的这个公式使用。然后接下来咱们看这个题。

某石化工程公司第一工程队承包了铺设一条输油管道的工程。然后这个就是属于一个什么呢？属于一个具体量啊，具体量因为工作量具体量，因为它有多少米嘛？有具体这个长度嘛，然后原计划用九天完成。实际施工时，每天比原计划多铺设50米，只用七天就完成了全部任务。这段石油管道长度到底多少？其实这道题大家可以看到我们呢，可以采用啊，这个工量来进行分析是吧，这是一个输油管道输管，

原计划是九天。完成，然后现在每天比原来多铺设50米，使用七天就完成了。七天就完成这道题的方法很多啊，因为题也不难啊，这里可以优先设效率，你可以设原来。每天是x米。是吧，原来每天呢是x米啊，这原来原来每天呢就是x米。好，原来每天x米，然后接下来我们就根据总共量，

然后列个等式就行了，总共量总量就9x。啊，总工量九×x，然后这样的。这样的情况是吧？9x就是它的总量，就拿这个原来的效率乘以时间九天等于什么等于七×x+50。这个就代表什么，代表总工量就代表总长知道吧，就它的总工量代表管道的总长度啊，这样的其实做到这你可以发现这个答案一定是九的倍数或者七的倍数。是吧，九的倍数七的倍数，所以在这里面大家呢，

直接就可以找到答案，很简单是吧，所以在这里面大家呢，就可以写出来这个呢，就是你看倍数，你看一五七五，因为它。九的倍数怎么判断？九的倍数只要数位之和是九的倍数就可以了，你把它数位加在一起，加在一起，数位之和这个咱们学过，你看a选项，它不是九的倍数。然后b选项把它加在一起，

它也不是九的倍数，然后这块c选项这个也不行，然后d选项。这个加在一起也不是九的倍数，所以说这个就一五七五啊，就是就可以是吧？就OK了。然后七的倍数，顺便怎么讲怎么判断啊？九的倍数大家都知道是吧？七的倍数是这样的，七的倍数可以把这个。比如说一五七五怎么判断是不是七的倍数？你先把这个个位给它去掉个位去掉，不是剩了157吗？

把个位去掉157，157，不管是几位数啊，不管三位数，四位数都可以这样判断，把个位先去掉。各去掉，然后减掉个位的两倍，减掉个位两倍，得到147，其147÷7你就能口算，它肯定能被七整除，因为14能被七整除七也能被七整除是吧？这样的啊，如果它这个三位数，

你还还不好口算，不好判断，你还可以再再把个位去掉，再把个位去掉，算一个14。14，14，然后再减掉个位的两倍等于零，反正最后呢，得到这个数啊，就是啊，得到一个一位数，反正比如说四位数，通过去掉一位变成三位数。三位数，

然后去掉一位变成两位数，基本上这样一减，基本上变成两位数或者一位数，这就好判断了，好吧，七的倍数就这样的，就是去掉末位。不管是四位数，五位数，六位数都是这样的，去掉末位，去掉末位以后，然后让所有的数减掉末位的两倍，然后这样它的数倍就会少啊，因为去掉了一位数就会少变三位数，

如果这个三位数比较大。然后照样再用一次啊，一直用到你感觉好判断为止，这样的话就可以判断它是不是七的倍数，如果最后减后的结果是七的倍数，原来这个数就七的倍数。如果减完后不能被七整除，说明原来它也不能被七整除，好吧，这样就写出来好，这是得到这样就不用去解，但如果这道题要问。呃，不问原来的长度是多少米问？问，

原来这个每天啊，铺设多少米是吧？求x等于多少？那你就解这个方程，这个很好解解方程就可以把x给它求解出来。好吧，这是它的方法，在这里当然也可以用比例法来进行做啊，比例法比例法的话，那就相当于是它的效率比。啊，效率比跟时间那么因为工作量是固定的啊成比例，然后在这里面呢，你就根据它每天比较多铺多少，然后呢来进行转化，

这样也是OK的。啊，也是一样啊，用比例法啊，因为它的工量都是一样的，知道吧，工量一样，工量一样的话，你就找时间。和效率的一个关系，实验效率的关系啊，所以在这里面比例法有同学不会用，给大家写写就工量，如果要定。规量定那么它的这个效率与时间，

它又成反比。v1比v2就等于t2比上t1，是不是这样的一个一个情况是吧？你通过这样就找到一个反比关系。这个v就代表效率，知道吧？效率所以说那么就可以看到它这个时间时间呢？一个是九，一个是七，所以说在这里面v1比v2。应该等于七比九七比九，那这个效率原来是七，现在效率变成九了，所以说增加了两份儿。啊，

增加两份儿是吧？效率增加两份儿，这增加两这两份儿正好是对应50嘛，每天它效率呢，正好提升了50。是吧，所以正好等于五十五十那一份儿就25嘛啊，一份儿就25，一份儿25，那么原来效率就七×25，现在效率就九×25。是吧，那如果问原来效率是多少？原来效率每天铺多少米？就是七×25，

这样就可以算出来啊，就是175米。是吧，这样就算出来了好，那这是它的。啊，这个方法就是用比例法做，也可以效率求出来了，那么它的工量就算出来了啊，当然如果这里要套公式的话，我们看大家能不能套套公式的话，这个公式的话，这道题呢？你就得知道v1v2，那最好才能套，

因为这道题呢，它这个v1v2呢，它这个不知道，反正还得设未未知数。还设备数，然后ss又代表这个总的工量，也不知道，所以这里公式法，然后呢，不是优势特别明显。啊，所以优势呢？不太明显，所以说这个就不好用了，因为v1v2具体量也不知道，

然后总的全称也不知道，所以这样公式呢？就不太明显了。这样呢，就可以。啊，按照咱们刚才的比例法做，或者说按照这个工作量，然后列式都可以，都没问题的啊。好，下面咱们看这个题，某施工队承担了开造一条长为2400米隧道的工程，在接近了400米后，由于改建施工工艺。

每天比原计划多接近两米，最后提前50天完成施工任务，原计划施工工期到底是多少？好，那在这里面，我们来看一下啊，画一个示意图好吧，画一示示意图，总共呢是2400米。啊，这个是总的工程，这个工作量就是一个具体量，知道吧？总长度就2400米，然后接下来我们看它挖了400米以后改进工艺啊，

前面的就。400米，400米相当于是它工艺跟原来是一样的，所以这个400米它的时间跟原来一分不差。知道吧，时间就没有变化，400米就相当于后面两千米，它发生了变化。啊，两千米发生变化，然后后面两两千米，它每天比原区要多施工两米，就提前了50天完成任务。问原句啊，攻击到底多少？

这里咱们还是设这个什么设这个效率就行了，假设。原来是x米每天。是吧，这样的原来x米每天，然后现在。现在就x+2。你每天啊，现在现在这个。施工进度就写好了，接下来他提前五天完成任务，这道题我们可以套这公式，没问题，因为这道题不不适合用比例法，为什么不适合用比例法，

因为效率的比值，他不不知道。这个原来效率和现在效率这个比例关系，不知道因为它是一个绝对量的变化，所以这道题不能用效率比那接下来我们怎么去思考呢？我们就可以。把它写成这个，它的一个比例关系。就是套公式就可以了，套公式。老公是这个s喂喂喂挂了是吧？然后delta v一二啊。这个t，然后就写好了，然后最后呢？

我们来看一下。你这个ss注意不是2400？那反复强调啊s是变化，那一段变化，那一段就是2000是吧？有2000。乘以个德尔塔v德尔塔v呢，就相当于是呃，一个x一个x+2就是二，等于一个v1v2乘以德尔塔TV 1v2就x×x+2。s×s+2，然后再乘德尔塔t，德尔塔t正好是50天。啊，正好是50天，

提前50天，这样就得到50天完成任务是吧？然后这样好把s解出来，这个这个其实很好解的，这两面约。约就得到，得到是80，所以就得到x×x+2。就等于80。ss+2=8是s就算就等于8 s=8啊s=8，这样写好s=8写出来了，然后原计划工期就可以写出来工期。工期呢，就拿这个2400啊，除以个八就等于300天。

那300天这样呢，就选择d啊，就300天就写好了好吧，原计划工期就300天好，这是它的这个工期的特征。可以通过这个呢来又学会找公式这道题呢，就不适合用比例法，所以大家注意这些方法呢，一定要知道它什么时候适用，主要是怎么判断呢，就看它给的这个数值和已知条件。是否满足这个公式是吧？如果像有的公式，它未知条件太多了，你不适合套就换另外一个方法，

知道吧？接下来咱们看一下效率正负的问题。效率增幅效率增幅主要是出现进水，排水，可以将进水管效率看成正的排管效率，把它看成负的啊，就是进水排水问题。啊，效率正和负就OK了啊，正负问题。然后接下来咱们看一下这个题，空水槽设有三个水管，这是空水槽，这个水池是空的。然后的话，

我们来看一下这道题甲五分钟可以种满水稻，乙三分钟可种满水稻，丙15分钟可以把它放放完。那这个说明它的时间都知道，时间都知道我们可以设总工量。就这些空空水槽，它的总工量。我们就可以找到最小公倍数五，30和15。五，30和15啊，这样的话，它正好就等于30啊，这总工量那么总工量这甲的效率就拿30÷5得到是六。然后乙的效率就是一，

因为乙的效率拿30÷30得到是一，然后丙的效率丙的效率呢就是二。丙校就拿30÷15得到二好，这样的注意丙呢？要给他强调是放水管儿啊啊，放水管儿那么前面甲乙都是进水管儿。好，现在三管齐开，两分钟后关上乙管，那接下来看三管齐开，两分钟后关上乙管，问水槽放满时，甲管共放了多久？好，那做到这我们看应该怎么思考呢？

首先大家注意前面三管齐开，它的工作量。啊，我们看看啊，也就说它的工作量就相当于是30减掉三管儿，旗开就六+1-2。对吧，九六+1就是甲乙是合作，然后减掉二就减掉丙减掉二，然后再乘以两分钟。啊乘以两两分钟好，两分钟后那么关上，一会儿这样把它把它关上是吧？所以工工作两分钟，这代表剩余工作量。

剩余工量由谁来完成呢？你把乙管儿关上，还剩下甲跟丙，剩下甲跟丙的话就是六减二啊，剩下甲跟丙嘛，然后乙他就没有了，剩下甲跟丙。然后这样话，我们算出这个时间，就是这个时间，这个30这个呢，就相当于是啊，减掉十得到二十二十除以。除以四。得到是五分钟，

注意做这五分钟，不要选择b选项啊，b选项就错了，因为它问甲共放多久，因为这个五分钟代表什么含义呢？五分钟代表是关上仪管后，它所用的时间是五分钟。关上一管后用的时间，那么如果总共的时间总共时间的话，应该是前面甲还干了两分钟，所以二+5得到是七分钟。那七分钟这些答案应该选择d选项啊，这些答案选择d啊，就七分钟好，这是它的这个方法思路开始不懂了啊，

所以要把这些。内容啊，都要弄清楚。好，接下来咱们看一下60题。一个水池上不到，若干同样粗细的进水管的同样粗细。同样，数据代表什么意思？代表每个进水管的效率就把它看成一样的，然后底部装有一个常开的排水管在这里面，大家。呃，不好理解同学，我们画一个示意图好吧，

讲这是一个水池。这是一个水池，水池的话，然后呢，上面装有若干同样粗细的进水管。呃，同样处于进水管，然后底部呢装有一个常开的排水管。这排水管敞开排水管，当打开四个进水管时，需要四小时才能注满水池，对吧？四个进水管。啊，这一块我又开四个水龙头，

它四个小时能注满水池，当打开三个进水管时，需要八小时才能注满水池。打开三个八小时。然后现在想两小时把水池注满啊，要开几个水管是吧啊，两小时要把它注满。注满要开几个水管，那接下来我们来看看。看这个题，这地方我们首先要设效率，假设每个进水管儿效率都是x啊，这个进水管儿效率。它这个都是x。排水管效率是y好吧，

排水管效率是y，那接下来我们要列两个方程，因为现在有两个未知数。列两个方程就可以了是吧？列两个方程好，那么第一个方程是什么？第一个方程就像因为这个这个水池。它这是一个。抽象的工作量应当没有告诉水池的容积是多少升是吧？体积是多少？没告诉我们啊，所以说这道题就抽象工作量，而且这道题的它的时间。啊，每个水管它效率，

也不知道它的时间，也不知道所以在这里面咱们呢啊，就不能用最小公倍数啊咱们。直接呢，就设效率为一算了啊，设总工量为一，设总工量为一的话，那这时候第一句话就打开四个进水管儿，四个进水管儿的工作效率就4x。然后排水管儿就是效率是负的啊，所以我们就写成减号，然后乘以四小时，它这个把整个水池注满了，就是一就代表注满水池。当打开三个晶体管儿时，

三个晶体管儿叫3x，三个晶体管儿时需要八小时。把它啊，需要两个小时把它啊，这个是八小时把它注满是吧？这样的最后他问需要两小时的时候那么打开几个水管啊？然后接下来我们通过这两个方程就可以把xy给大家解出来，解出来s就等于八分之一。y又等于四分之一。然后这样就写出来了好，那这个sy解完后，接下来我们再设至少需要n个进水管儿。需要n个进水管儿，需要n个进水管儿的话，那这时候呢，

我们呢就可以怎么写呢？就n个进水管儿就相当于是啊，至少需要打个n个进水管儿就相当于是八分之n。八分之一乘以n减掉排水管效率，因为这个效率咱们都知道啊xy都解出来了，解掉四分之一，然后再乘以个二。乘以二就两小时嘛，乘以二两小时，然后把它注满啊，注满，然后n算就等于个六。n就等于是六=6，然后这样就写出来，至少打开六个这个答案，

选c选项好，这是它的方法四这个答案选c好，这样就写出来了，好看这个是不是？呃，明白它的方法好吧，所以通过这个大家要知道。它的这个这个水管啊，有有进水排水，那就设每个进水管效率或排水管效率，然后呢通过。它给了两个条件，列两个方程，把它解出来，解完后，

那接下来我们就可以写出它的数值和结果了，好，这是它的做题的要点啊。啊，只要把这个效力变成负的啊，排水效率把它变成负的，这样题都很好思考，都很好纠结，好看各位同学。是不是明白了？好，那接下来咱们再看一下求工钱或者求工作费用这类问题，工钱或者工作费用话首先要找。两个关键量，一个是每个各自的效率。

各自效率找到以后，关键是什么？各自效率找到以后啊，要知道他们的这个。时间是吧，第二个它每天的费用，因为知道时间，知道费用，比如说每天付给你多少钱，然后让你干了多少天，这个算作总费用。对吧，而且此类题运算较大，有时候也可以采用大概估算或者看整除或者倍数的方法来进行思考，因为有时候咱们呢，

在做题的时候啊，那么这个。嗯，选择题嘛，然后咱们呢不一定非要把它都算出来，所以我们呢就是可以找到这个估算方法来进行求解，这样更加简单一些。好，接下来咱们看一下这个题，公司一项工程由甲乙两队合作，六天可以完完成啊，就六天完成啊。啊，要付这个8700，由乙丙两队合作十天完成，

需要付9500。由甲丙两队合作七点五天完成，需要付八二五零。然后现在要求什么啊，看现在单独承包一个工队，而且呢，这个工队不能超过不超过就小于等于。小于等于15天要完成全部工作，问公司付钱最少啊，它的对到底是哪个对？公司因为这道题，他又没有求需要付多少钱，所以说你只要看，然后呢？他的哪个队？

然后干得快，而且呢，钱又少。是吧，又能干的很快，又能钱又比较少啊，这是咱们要掌握的这个关键点是吧？好，那接下来咱们来看一下。看一下它的这个情况，那么这道题如果设未知数的话，就得设这么几个未知数，首先呢，要设甲乙丙的效率，因为它这个工程量。

咱们也不知道是什么，所以说这个工工程呢，咱们就设为一啊，工作量设为一，所以说我们就优先试个效率吧，比如说甲的效率。甲乙丙效率。是xyz。好那么，列出这个方程的话，就知道甲乙合作六天完成，说明甲加乙的效率。只得到是六分之一。啊甲甲乙校有六分之一是吧？这样就写好了，

然后呢？乙丙两队合作十天完成。合作十天完成就乙跟丙，乙跟丙。就等于十分之一。十分之一，然后甲跟丙两队合作七点五天完成，所以甲加丙。甲甲丙。啊，七点五天，七点五天就等于7点5分之一。七二分之一。然后这个大家可以。给三个人的效率排个序，

知道吧？给三个人的效率排个序啊，大家可以发现那么甲。跟乙那么这个是最大的是吧？甲跟乙这是最快的六天就能干完。是吧，然后乙跟丙呢是是最慢的。甲跟丙呢啊，又在中间儿，所以通过一个一跟三啊一跟三，我们可以看到。看到这个效率这样的话，那么肯定是啊，那么乙要比丙要干的快是吧，因为它都有x嘛。

都有x是吧？所以它干得快，所以说那么甲的效率应该最高的，其实就是乙最慢就应该是丙。啊，最慢它就可以看到，最慢肯定就是就是丙，所以在这里面大家呢，就通过这些呢，我们就可以比较出来是吧，比较出来那丙呢是最慢的，所以这个丙呢肯定要。淘汰，所以答案呢，就基本就可以看出来，

因为它不一个工内不能超过15天嘛，不能超过15天，不能超过15天啊，那在在这里面，那我肯定就讲。干活呢，是比较快的，然后接下来再再估算一下它的钱。估算他的钱，估算他的钱，我们可以看一下，你看甲乙它是8700啊，那因为因为丙已经被。淘汰了吗？丙被淘汰甲，

丙是甲，乙是8700乙，丙呢是9500，然后甲丙呢？是八二五零，所以大家可以看那么这块儿钱肯定是要少8700，肯定要要少一点是吧？所以说通过这个钱又比较少。然后干活又快啊又快，所以在这里面肯定在甲乙里面去选啊，那刚才又可以看到那么甲呢，应该是比乙啊要更优一点。啊甲的效率又高是吧高，然后这个钱那么用的又少，就这样就可以估算出来啊，

如果要想计算的话，我们怎么样去计算呢？就通过这个大家把。它给解出来，然后这个式怎么去解呢？我们看看，其实这个是两两。它的一个式子直接把第三个式子把它变成什么，变成十五分之二。变十五分之二，这样就好解解一点。然后你可以让什么可以让那么一式加三式，减掉二式直接就可以得到x1+3。减二就直接可以算到x啊，就一跟三相加，

减掉二一跟三相加，减掉二正好是2x是吧？就一式加三式，你要减掉二式，得到二x，所以咱们都把它通分嘛，那六分之一可以把它变成三十分之五是吧？然后一式加三式就三十分之四，减掉三十分之三，这样就OK了，是不是？所以一式加上三式。然后减掉20，这样就可以了是吧？可以了，

然后这样话我们就可以得到这个这这不就算的三三十分之六吗？是吧，这个很容易算三分之六。三十六正好是五分之一嘛，是吧？五分之一，所以x然后就等于十分之一x等于十分之一，说明甲单独就十天啊。甲单独就十天，就算出来了是吧？所以甲s甲30你可以看到甲一个人效率就等于。乙和丙两人合作效率了，是不是这样就就很快就写出来了，然后那个像求y也可以算出来求y？y化就等于六分之一六分之一可以写成三十分之五减掉。

十分之一嘛，因为第一个是不x加二等于六分之一嘛，六分之一那么六分之一可以写成三十分之五，然后十分之一可以写成三十分之三。所以得到三十分之二三十分之二，得到十五分之一，所以y呢，就等于十五分之一，好y等于十分之一，然后z呢，也可以算出来。z呢，用第二算就十分之一的三十分之三减掉三十分之二是吧？等于三十分之一，所以大家可以发现。

丙单独一个人就需要三十天，这个效率啊，单独时间是效率的倒数啊，所以效率是三十分之一，所以单独完成时间就三十天。知道吧，所以说这个比呢，肯定被淘汰啊，超过15了，然后乙呢，刚好15天，然后甲呢。十天是吧，就这样的。然后接下来我们来看一下，

再看甲乙丙，如果算费用，如果这里要求费用啊，求费用，咱们多写写，如果问公司最少付的钱是多少？最少付的钱，最少付的钱，那首先呢，要把每个人的每天完成的这个这个需要的工钱找到，所以接下来我们来看一下啊，第一个就相当于是他六天付8700。是吧，所以说在这里面就甲甲乙一天啊，就是每天的钱我们可以用ABC。

来表示，每天这么多钱是吧？那第一个就相当于是甲甲甲丙甲加乙甲加乙是8700，就是a+b。六天是8700又六分之八七零零是吧？这样写好了，然后乙丙呢？是合作十天完成9500乙跟丙就b+c一天就相当于950。一天950，然后呢？甲跟丙是七点五天，七点五天需要付八二五零，所以说a+c。就等于八二五零÷7点五。啊除以七点五。

好，这样就写着，然后把甲丙他的这个钱就可以算出来啊，上面这个也很好，算是吧，上面那个八七零零÷6÷6那。六这是啊，27，27，四六二，24。然后再上一个五是吧五，然后这是九呃九五零，然后这个怎么算呢？这个大家乘以二再除以15这样算要简单，

当然直接除以七点五也也可以。你可以这是15，然后八二五零乘以个二，然后然后上下就可以把这个15给大家除一除除一除，大家知道。然后呢？这个82这个除以15就得到75。啊五对吧啊啊15，然后上一个五三五就75嘛啊75的话。然后呢？这个。这个这个不，这不是75吗？75它还剩下七七十五。然后就等于1100是吧，

这样就算出来了啊，这样正好。就可以得到，得到是1100好，得到1100算完后，然后接下来我们怎么样找甲呢？让一式这也是一式二式三式。好，所以大家呢，做到这我们就可以让一式加三式，减掉二式就可以了，一+3。减二。这样就可以得到2a就等于。这一四五零加幺幺零零。

减九百五是吧？减九百五，然后这样就可以写出来，然后这样就很简单，这一四五零减九百五啊得到是。啊500啊五百五百加这个就是1600，你看那a就等于800。a=800，然后b呢就可以算算等于650。啊650，然后c也可以算出来啊c好c，然后就300。最多就300，好，这样就写出来了，

然后拿它啊，每人的这个每人的这个每天的费用，然后再乘以它的天数天数的话，那甲刚才不是。十天吗？甲十天，然后这个乙是15天。然后这个笔呢？是30天。啊，30天，所以拿这个一成一成呢，这个800×10天就8000元，如果这道题问他最少付的钱多少钱，最少付的钱就8000元。

答案就写好了，好看这块儿是不懂了，所以通过这个呢。然后啊丙呢要付9000元，然后乙呢就拿15×650就可以了好吧，这是它的一个做题方法。看这块儿是不明白了，所以这个贡献问题大家呢啊，也不要想什么捷径，其实两两相加的这种方程很好解，知道吧，比如a+BB+CA+c。这样方程式很好解的，让其中两个相加减到另外一个就可以算出咱们其中一个量，其中一个量找到其他量就可以很容易求解出来。

所以两两相加，虽然它这个方程的未知数看起来很多，但是呢，解起来还是比较快，然后学这个数的时候在计算的时候呢，要学一些速算法，这样我们在求的时候呢。就更简单，知道吧，所以大家呢啊，要掌握这些速算法来做啊，这样更容易一点好，这是给大家讲的工程问题，看各位同学是不是？听懂了。

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