2-03路程问题（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:30:46

各位同学大家好，接下来我们来学习路程问题，好路程问题也是应用题最最重要的。所以大家一定要重视路程问题的学习，路程问题不仅是每年必考的，而且有时候它考真题，还会考两个路程问题。啊，像咱们二三年的考题就出现了两路成分题，之前也出现过两路成分题，它的考题。此外，那么路程问题呢？也关联着后面工程问题的学习，所以路程问题思维能带动其他类型的考题。

而且呢，路程问题呢，它的变化也是最多的，它的类型也是最多的。所以你把路程问题认真的研究透彻了，应用题就可以解决了一小半儿的内容，所以大家一定要重视路程问题的学习，尤其针对在职复习的同学。时间比较少，更应该抓重点，所以应用题内容太多，你把路程问题把它呃全方位的研究透彻，应用题基本上就拿下了，所以这是路程问题，它的战略地位。

是非常重要的，所以大家要重视路程问题的学习，接下来我们来进行讲讲路程问题，它的主要的思路路程问题，首先呢，我们在分类。不管做任何类型的路程问题，都要进行画图。基本上，99%的路程题都要画图，不需要画图就除非比较简单的这个应用题，它不需要画画图，所以路程问题都要画图。像有的题，它的图还是比较复杂，

所以要把图画准，然后画好图以后，那接下来呢？我们呢再？进行找等量。好再找等量，然后再列方程进行求解好，这是它的路程问题的宏观的内容，我们接下来看微观。另外，我们又分为直线型的路程问题，那直线型路程问题也是咱们学习其他应用题的一个基础，所以大家呢，要把这个基础呢巩固好，我们首先呢，

看直线型路程问题，它的考试内容。那么，它考点首先学一下基本的公式，基本公式那么很简单，其实这个根据咱们生活常识就可以很容易的去进行记忆。啊，那大家知道s=vt就路程就等于速度乘以时间，然后v呢等于s÷TT呢就等于s÷v其实这三个公式，它就是一个公式的不同的书写形式。好，那么接下来我们呢？就可以把它转成一个比例关系，因为这三个量之间有个量是固定的话，另外一个量到底成什么比例？

所以在这里面呢，我们呢，就可以给它进行转化。啊，第一个比如说第一个s定的时候。啊s定的时候v与t啊，那么就成反比啊，成反比成反比代表什么意思？速度越大，用的时间。越少啊，比如说同样的路程，你开车速度越快，肯定用的时间越短，就平时大家说的同样一段路程，

堵车和不堵车那么时间呢，差别比较大，因为不堵车的话，那么很快就到了。是不是用的时间就短好，那接下来vt成反比我们可以把它写成这样一个比例关系，有v1比v2。相当于t2比t1这样的情况好吧，这是s定的时候vt它要成反比，然后v要定的时候。那v要定的时候s与t就成正比。啊，这个v要定的时候啊s与t它成正比的，也就说v固定开车速度是固定的，那么这个路程越远，

那么用的时间就越长。好吧，所以s1t是成正比好，那相当于s1比s2就等于t1比t2就相当于这个距离越远，那么用的时间越长，所以为什么大家都想住的离学校或者离哪儿要近一点儿是吧？离上班。地方要近一点，这样话你路上的时间就会短一些。好，第三个就t要低。比如说都是三个小时时间呢，大家都是相同的啊，都给大家三个小时，那sev是成正比。

就像大家考试一样，这个时间都相同的好，那么你这个v就相当于做题的效率越高好，那么你做的题量就越多是吧？是吧，所以在这里面就做题，速度就很关键，所以s1比s2就那v1比v2啊，所以大家结合生活常识，然后呢，来把它转成比例关系，转成比例关系的。好处是什么？它的优点是什么？优点可以减少未知量。

啊，优点呢？可以减少一些未知量，把一些未知量啊给它啊进行减少，这样方便计算。好，那接下来咱们看第二个直线相遇的公式，直线相遇公式在这里面，我们来画一个图来给大家写。画一个图，比如说甲从a，乙从b，那么它们同时出发。然后经过一段时间，他们就在某个点就相遇了啊，

经过一段时间他就相遇了，好这样的。好那么甲走路程是s1乙走路程是s2，我们看它等量关系是什么？等量关系是两人的路程相加，就等于全程的s是吧？所以两人的路程加在一起，就等于全程的s。然后s。就等于s 1+s二啊，这样的s 1+s二就等于s啊，这样的一个方法。啊，就s 1+s二就等于这个s好，这个全程的，

然后又等于一个，然后大家知道s1就等于v1×t。s2就等于v2×t，因为它的路程就等于速度乘以时间。然后我们呢，就可以把这个t，因为它是同时出发到同时相遇。它t呢是一样的，所以这样的话就可以写成v 1+v二，再乘以t就可以把t给它提出来。好，那这是它的等量关系，就是找路程等量就可以了，甲的路程跟乙路程到底是什么关系就可以求解出来好，那么在这里面我们呢，

有时候也可以求出这个t。是吧，这个公式要灵活变形，比如说知道啊，例外的怎么样去求这个t好，那么t就等于什么呢？等于s 1+s二除以个v 1+v二是吧？我们把v 1+v二给它除过来，就等于s 1+s二除以个v 1+v二。好，这个我可以把它看成什么呢？口诀可以把它看成是？啊，路程和除以速度和所以分子，我们把它写成口诀，

路程之和除以速度和。这样的啊，这个路程和它处于速度和好，这是它时间的t它之间的关系。然后接下来咱们看一下这个追击问题啊，追击啊，追击问题的话，那么s追击就等于s1-s二就等于v1t1。v1 t-v二等于把这个v1v2提出来好，我们画一个图，这个追赶问题。这个好，比如说那么这个甲是从a开始走。乙从b开始走啊，这是甲。

这个是乙好，那从这开始走。好开始走甲，从这走乙从这走，然后接下来我们来看一下啊，看一下那么它。走到这地方c点，假如就追上了，假如走到c点就追上了。啊，这样这样，那接下来我们来看一下好那么这一块儿，我们可以看看那么甲，其实从a一直走到c。是吧，

在这地方啊，甲就追上乙了啊，咱们假设甲跑得快嘛，就追上乙了，好，这时候那我们可以看甲走的是AC，乙走的是BC。接下来我们就可以算出那么一开始的这个长度，咱们就是s啊。s又一开始当这个甲出发的时候，两人的距离就是s好，那这时候我们呢，就可以看到。这个s就等于甲走的，其实就是ac ac呢，

甲走路程咱们用s1来表示乙走路程用s2来表示。大家知道那么甲走路程s1就等于一个v1×t啊，乙走的就是v2×t。这样的一个关系是吧？一个v1×t，一个是v2×t，得到这个值，然后就得到一个。v1-v二，然后乘以个t是吧？因为它们从的出发到相遇，它们的时间是相同的啊，时间相同，所以在这里面我们就可以把t给它提出来。好，

这是它的这个等量关系，就是看它们路程之间的关系，那接下来呢，我们来看看。这个。t应该怎么写是吧？t它的这个表达式t表示可以把这个v1-v二给它除过来，除的这个就是s1-s二。所以v1-v二好，那这块儿我们就可以把它写成口诀了，大家可以发现分子可以把它看成路程差。除以速度差。好路程差，除以速度差，这个写好了，

好这t它的表达式就写出来了，好就等于路程差，除以它的速度差，得到它的t，然后接下来我们呢再来看。啊呃，然后呢？就是不管是。相遇和追及他们呢两人的时间都是相同的，对吧？所以t是一样的啊，就甲的时间和乙时间。啊，咱们在同时出发，到同时相遇，

那么时间是相同的，对吧？所以说在这里面，我们呢，就可以看出，只要t是相同的。t相同好t要相同的话，那么这t又等于什么呢？大家知道t那么甲用的时间就等于甲的速度。和路程之间的关系，就用甲的路程，除以甲的速度就可以得到，那么甲他用的时间。然后接下来我们就可以写出乙的这个情况，你就s2÷v二啊，

这样的一个关系是吧？就s2÷v二好，这就是。它的关系我们前面学过比例定理同学，大家都知道。就是分子可以相加，分母可以相加，就s 1+s二÷v一+v二，这就是一个等比定理。对吧，就它这个比例，如果要相等的话，那么分子相加，除以分母相加得到比值。跟原来是相等的，

当然也可以相减了s1-s二除以个v1-v二这个比值，它也相等好吧，就路程相减，所以速度相减得到这个比值，它也是一样的。是吧，然后这样就OK了，好那么t要相同的话，得到这样一个关系，得到这样一个值，看这个明白没有？好，那这个是它的这个式子好，那么大家可以发现，那么不管是相遇和追击，

那么不要死记硬背啊，所以这块儿一定要理解。并不是说相遇，它只能用这个路程和啊，它的和并不是说追忆，只能用这个差，它不是这样的好，那么咱们的相遇也可以用差。啊，也可以用这个差来表示，只要时间一样都可以啊，比如说什么时候可以要用差呢，它可以这样出给大家举个例子。比如甲乙两人相遇时，甲比乙多走了啊500米是吧？

就两人相遇时，甲比乙多走了500米。这时候呢，我们只知道甲比乙多走了500米，那么两人路程和咱是不知道的。那这时候呢，用s1-s二加上甲比乙多走五五百米，那这个分子就是500，然后除以它速度差。就可以算出它的时时间TT就求解出来了是吧？t求出来，然后再解其他问题就很简单好吧，这是它的这个方法啊，另外的话那么啊。追击问题，

那么也可以用这个和是吧？也可以用，比如说当甲追上乙时。两人比如总共走了五千米是吧？两人总共走了五千米好，那么这时候呢？知道甲走的。AC乙组的BC，它们总共加在一起是五千米，那只知道它路程和那这时候也可以用这个式子，就s 1+s二就是5000，除以v 1+v二得到这个值。这样就写好了好，这是它的这个方法好吧，方法，

所以大家呢，要会分析和思考啊，这两样呢？啊，要掌握这样的考试要点好，那这是它的这个内容啊，所以说就速度和。速度差，路程和呃路呃呃呃路程程差，所以大家要知道什么时候用好吧，所以掌握方法啊，然后你就看它这个。题所以说把这个是啊，活学活用，其实这个t相同，

它不仅用于直线型，不仅用于相遇，不仅用于追击它，在跑圈儿问题或者其他很多类型题的时候，它都要用，只要时间相同。这都可以用，包括在水里面跑是吧？顺水逆水也都可以用啊，所以掌握这样的一个比例关系就OK了。好，接下来咱们看考了解读论证问题，在考试中出现的频率呢，非常非常高，基本上是必考的啊，

所以说做论证问题一定要先画图，根据题目读完题画图。标注它的相关的已知条件，然后找到等量关系，那等量关系我们查阅的时间和路程为大等量。因为咱们呃呃，这个svt三个量三个量一般呢，就是v呢，就不直接做大等量v呢，做小等量。知道吧，然后呢？找大等量就路程等量，比如说等号左边是甲路程，等号右边乙的路程，

它们路程有什么关系是吧？找路程等量或找时间等量，比如左边是甲的时间，右边是乙的时间，它们两者相差几小时？找一个时间等量知道吧，一定要找路程或者时间作为等量v不直接做大等量v1般做内内部的小等量，然后v呢可以用于求时间。或者求路程啊，这是它的这个关系，路程问题重点在于设备的数和找总的关系啊，那么怎么设位置数呢？一般速度位置咱们优先设速度。知道吧，优先设速，

这样话啊，就列方程好列一点。啊，如果速度已知的话，那么设路程或者设时间都可以，这个没有太多的区别，由于多对象运动问题，对考的要求呢，是比较高的。好吧，然后难点呢，就在于变速运动的路程及图像的一些路程问题好，这是它的这个难点。好考试频率是非常高，所以大家一定要重视起来。

好，接下来咱们来看一下考试方向，首先咱们看一下直线相遇问题，直线两侧如果相向而行。那么，它的相遇时间啊t就可以写成路程和。除以速度和。或者说路程差，除以速速度差是吧？然后就s和除以v和或者s差除以？v差啊，这样的好吧，这是它的。这个公式刚才都给大家啊，推导过啊。

好，接下来咱们看一下这个题甲两辆汽车，同时从东西两地相向出发，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离终点32千米处相遇。这东西两地的距离到底是多少？好，那接下来咱们首先读题画图，先把图给它画出来。大家一起思考画画图好，那么甲乙两车从东西两地出发。啊，这个随便画个示意图就可以了，然后甲呢是从东边出发，

乙呢是从西边出发。好，那么甲乙同时从东西两地相向出发，因为它同时出发的，然后甲的速度是56。也输入48，然后大家可以发现甲的速度肯定快。所以说相遇的时候，那么甲肯定走的多一点，对不对？所以甲相遇点是在这个点，甲在c点相遇点。在c点好，这个地方就相遇了。它的终点32千米，

然后这地方是是终点终点，然后这一块是32千米。啊，32千米，然后多余两个距离，到底多少好？大家可以发现，如果它们相遇点。距终点32千米，那说明嗯甲又比乙多走了两个32是吧？多走两个32，这样话我们就用用哪个公式啊？首先求出这个t用，刚才咱们讲过的啊，这个路程差。

s差除以一个v差。s叉就等于等于这个32×2就64了，这个就是56-48好，那接下来给大家讲讲为什么？甲乙它路程差是32×2，大家想想那么甲现在走了二分之全程多了32。乙走了二分之全程少32，你看这两是不是相差64，相差两三十二？知道吧，所以说它们的这个路程关系就相差了，两个32这个写好好，这是它的这个方法。差值是两三十二好，我们在做题的时候记住啊，

记住比如说你兜儿里面啊，多32块钱和兜儿里面少32块钱，其实前后是相差的。啊，这个64知道吧，所以这是它的差值，别弄错了好，那么这块儿我们就可以把t求出来好，那接下来我们就可以写出。这是64，然后除以个这个是八就等于八小时。好写好了，写好那么它要求两地的距离，这两距距离我们呢就再用t就等于路程和除以速速度和这个路程和其实就是它的距离，我们把这个速度和给它乘过来。

所以s就等于t乘以个v 1+v二。好那么t，刚才我们已经求解出来了，然后呢？这已经算好了，就等于八，然后乘以v+v二就是56+48。然后接下来我们呢，就可以看出来这56+48就可以算出来，这是104。乘以八就等于832，832，所以这个呢，应该选择的是c选项啊，这样就做好了。

这个答案就选c好，那这是它的求解方法，然后通过这道题，大家呢？要知道的内容呢？既用到了。路程差除以速度差，又用到了啊，路程和除以速度和是吧？这样的一个方法，所以又用了和又用了差。然后把它给解出来，所以这是给大家强调的解题方法，尤其以后在距终点多少千米，要知道它们两者差值是这个数的两倍啊，

不要给做错了。不要写错了。好，下面咱们再看这个题，甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程10%。当乙行驶到全程八分之五时，甲车在行驶全程六分之一可到达b则b两地，相距多少千米好？那首先咱们来画图。把图给它画好好，那大家可以看到它分别从AB两地同时出发。相向而行，

那么甲呢？假设呢？是从a开始出发乙呢？相当于是从b开始出发。甲从a出发，乙从b开始出发，然后甲每小时速度是80啊，乙每小时速度是走全程的10%。然后呢，当乙先到全程的八分之五时。啊乙行驶到八分之五，比如说乙走到这个c点的时候。啊，比如说走到c点走八分之五十好，那么甲呢？

再行驶六分之一可到达b地，再行驶六分之一可到b地，说明什么意思啊？说明那么这个甲。它走了六分之五，还剩下六分之一是吧？所以在这里面还剩下六分之一，就相当于甲它正好走到这个地方。啊，走对了，好那么乙呢？他正好走到这个地方。是吧，好乙那最好走到走到这个地方好，那在这里面大家注意它们时间相同是吧，

因为它从哪可以看到时间相同，当什么什么时？当什么什么时当什么什么时，然后这时候呢，它实验一样t要相同，大家知道t要相同，我们刚才讲过t相等它的路程比就等于速度比。啊甲走的路程，那甲走的路程和乙走的路程什么大家知道s甲我把这写s甲比上s乙就那v甲比v乙把它写一写好吧，用比例法可以减少它未知数s甲大家知道他正好走了全程六分之五。因为它说再行驶六分之一可到达b地，就这一个这个小等量，要学会把它转化，就说明它已经走了六分之五好，已经走了六分之五，

所以s甲就走了六分之五的全程。然后s乙s乙相当于走了八分之五的全程。唉，走了八分之五全程，然后就等于v甲比v乙v甲是八十v乙呢？是全程的百分之十啊？速度嘛，有零点一s好，那在这里面我们呢，主要是为了把。这个呃s给它求解成用比例法做比较简单，是不是这样话就可以求解出来了？好，然后接下来我们呢？把这个这个左边的这个很好画，

左边看这个s的都能约掉是吧啊？这个都能约掉，然后这八分之五六分之五这五也可以约掉。唯一的围绕，大家也就可以得到四比三，对吧？所以就得到。四比三啊，四比三，这s解出等于600。还是等于600，所以这个呢，应该选择是e选项。好，这个求解计算很简单是吧？

用比例法就很容易，所以这道题咱们呢？就是抓住时间相同的情况下，他们两人走的路程之比就能数数之比，按照这样一个方式。来进行分析和思考，来进行求解。好，接下来咱们再看直线往返相遇，多次往返相遇。这个保险箱跟两个的路程关系来列方程进行求解就行了好吧，掌握它的路程关系来进行去求解好，那么咱们来看一下。好，那么它是它的这个图啊，

它这个图啊，比如说这个是甲。从这走呃已已已从这边走是吧？这是a点，这是bbb点好，大家知道第一次相遇。啊，我们来看一下第一次相遇。嗯。好，大家知道第一次相遇，假如在c点好，第一次相遇是在c点，但第一次相遇，大家发现那么两的路程和就是整个s。

是吧，它的和就整个s就写好了是吧？这第一次相遇，然后第二次相遇，那么甲走了头再转回来。乙走的时候再转回来啊，这时候呢，我们要做一个判断，知道吧，做一个判断，因为有可能是什么，有可能那么甲走到头儿。然后转转转回来，那有可能乙呢？他还没走到头乙，

如果走的比较慢，乙还没没没走到头是吧？然后这个甲就追上他了啊，甲从背后就追上他了。好，也有可能呢，那么乙走的也比较快，走到头上，然后再返回是吧？再返回跟甲呢，正好就遇遇上了，所以这时候做一个判断，做判断那大家要知道它的。判别的一个比例关系好吧，在这呢，

给大家进行介绍一下它的一个比例关系好，这个比例关系是什么？比例关系是二倍的关系啊，二所以它有个判别式。就是v甲比v乙这样等于二的时候。啊v+bv刚好等于二，刚好等于二，那么就相当于大的速度比小的速度啊，刚好等于二，比如说这是a，这是b好，如果刚好等于二，大家知道。如果时间相同，它的路程之比它速度之比，

所以第一次相遇，你可以把这个分成什么分成三份儿。喷三份儿，喷三份儿，然后这个甲你就可以看出来甲，然后第一次相信他肯定要走两份儿，所以第一次相信那么甲他走两份儿。然后这个乙。好乙呢，它是走。啊乙是走啊，这个这个一份儿的是吧？这第一次相遇，因为它正好是二比一嘛，二比一它走的路程也是二比一。

好，这是第一次相遇点，然后第二次相遇，第二天大家想想啊，如果乙走到a点的时候，乙如果走走两段儿。甲走两份儿，乙如果走两份儿，那么甲就得走四份儿，对不对？因为甲是乙的两倍，所以甲应该走四份儿啊，所以乙如果走两份儿啊，乙如果走到这边儿。啊乙，

如果走到这儿，走到这儿，那么甲是不是又得走四份儿甲？走四份儿，我们看一下。好，这是一份儿。只有这一份。这又是一份儿，这又是一份儿，你看到没有？首先看甲的四份儿怎么数啊？不会数同学们看，然后走到这儿是不是一份儿？走过来又是一份儿，

走过来它又是一份儿啊，又走一份儿，正好四份儿吧，是不是是不是四份儿？所以说刚好啊，这个等于二的时候等于二的时候，那么刚好那么甲乙呢？刚好正好在a点就遇到了，所以说这个二。这是一个判别的，一个分界值，知道吧？好，如果v甲比v乙要小于二，就大的速度比小的速度当然不一定是v甲比v乙啊，

一定是大的速度比小的速度，因为有时候。这个乙的速度要快，乙的速度要大，知道吧，所以用大的速度比小的速度啊，如果要小于二小于二的话，就他们两都返回了啊，好，那这是等这是等于二的情况。啊，如果要是v加。比v乙如果小于二小于二，它图是怎么画呢？就这样的了，

就它们都会返回了，好，那这是甲。啊，这个是乙我们分开画，这是a这是b好，那第一次那么相遇。然后就在c点一次相遇，然后相遇以后，然后它继续再往前走，再拐回来。然后这也走，然后再拐回来，然后再d点是吧？这是v加比v1小于二的时候，

小于二的时候就是在d点就相遇了。啊，就在d点就相遇了，所以在这里面大家呢，就可以看到它的这个方法是吧，然后在在d点相遇这个v甲加v乙，大家可以发现第一次相遇，那么它的路程和是s第二次相遇，第二次相遇，咱们就从头。不算啊，从从头算从头算，那么甲乙两人路路路程合上是三倍的s是吧？你可以看甲走了一个s多一部分，乙走一个s多一部分。

正好它加在一起是三个s是吧？是v+vv小于二。啊，如果v甲比v乙大点儿，大点儿，大点儿的话，那它图呢？我们就可以看有这样的这时候呢，甲跑得非常快了。那甲这个是乙，然后这是a点啊，这是b点，然后这时候大家可以看那么第一次相遇，那么甲就走了很多了啊，甲嗯，

走了。走到这儿啊c点啊乙走的是这儿。然后第二次，第二次就是变成从他背后追上他了，反正两人只要碰到了，就算相遇好吧，所以第二次。啊，那么甲走到这儿，然后乙呢？他也在往前走，只不过乙他走的慢啊，这时候然后d点，所以第二次呢，相相当于d点d点相当于从他背后追上他。

啊，从它背后追上它啊，这个是在d点，这时候它的路路程和那么就不可以了，因为叫做同向同向的话，那个和是不好求了。你看甲走的路程是一个s多这么多，乙走路程是是这么多对不对？所以在这边大家可以看它的差值是一个s你看。甲走了就从头算啊，第二次相遇的时候，甲第一次相遇当然可以，第一次相遇它路程和还是s啊。它路程和甲走的这一段儿，甲乙走的这一段儿就等于整个的路程对吧？

然后第二相遇的时候甲走了一个路程多，这一部分乙走了这么多路路程，也就说甲走的是。全程再加上BD啊乙走的就是BD是吧，所以说甲减乙就等于一个s，所以说它的图呢就这。三种情况好吧，刚好等于二的时候刚好就在这个点啊，刚好就在这个点。然后呢？如果小眼儿的时候，它是这样的，如果大眼儿的时候是这样画好吧，这往返相遇比较难啊，大家呢？

别弄错了。好把它图画好，然后再找等量就可以了。好，那接下来咱们做一些题来训练一下，大家看一下这个题。甲两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行驶12千米，甲车行驶四个半小时后到达西站。没有停留乙车，从d原路返回，在距离西站三十一点五千米的地方和乙车相遇，那么甲车每小时行驶多少千米？好，我们来画一下它的图。

好吧，想想画一下它图，然后它从东站开往西站。好，那这是两个汽车同时啊，同时都是从东站开往西站。好，那这是甲他们同时出发乙这样的。然后甲车每小时比乙车多行驶12千米，因为它速度比较多12。对吧，如果乙的速度是v。乙的速度是v的话，甲的速度就是v+12。好，

所以甲每小时比乙多行驶12千米，然后甲车行驶四个半小时后到达西站，行驶四个半小时。啊，就甲走了四个半半小时，他到达西站。好走到这用了四个半小时，然后到达西站，然后没有停留。啊那啊，就没有停。啊，没有停，没有停，然后从原路，

然后又返回是吧？从原路啊，又返回返回呢，然后在距离西站。三十一点五千米地方啊，又与乙相遇了啊，返回唉，那么这个是乙呢？它正好这样走的，乙乙走到这儿，甲要在这个在。是c点好吧，然后这个是a这个咱们好标，这是b，然后这个地方就c点啊c点，

然后呢在c点他们就相遇了，只不过这个c点距离西站的距离是正好是三十一点儿五千米。啊，三十一点五千米，然后问甲车每小时行驶多少千米，甲车每小时行驶多少千米？好，那接下来咱们来看一下它这个等量怎么去找？啊，给了这些条件，那么怎么去找等量是吧？你看速度之间的关系，这是一个小等量。然后呢？四个四点五小时，

又是个小小等量，然后还有一个三一点五千米，又是一个小等量。好，那接下来咱们来看一下。观察它图。图因为反正它们是都是同时出发的，对吧？同时你看它这个写了同是吧？时间是一样。好，既然实验一样，咱们就用比例法，这样好思考一点是吧？而且大家可以发现它们的差值，

差值就是。甲从a走到b，然后再到c。好，那么乙是从a走到c？好，我们来看看它的之间的关系好，我们可以看到是什么情况呢？那么甲的路程减掉乙的路程是不是两倍的BC？所以我们呢，就看这个TT，咱们就讲过这个东西s差除以v差。对吧，然后大家知道s差s差的话，这个甲你看甲走了，

走到b，然后再。走到c好那么乙走的是AC，所以大家发现甲的路程，减掉AC减掉乙的路程正好是两倍的BC。你看到没有，是不是正好两倍的b值？再想想这样是二×31点五。然后再除以速度差，速度差正好是一个是v+12，一个是v，所以正好就是12。这样得到63÷12，63÷12，那么上下约掉约一约。

好，那么约掉一个三只有四分之二十一。是不是一直等于五点二五小时对吧啊有说？甲。走到头，然后再返回好那么一走过来，这用了五点二五小时好，这个写好。好。好，五点二五小时，那接下来我来问你来思考。好，五点二五减掉四点儿五代表什么含义？想想啊，

五点二五减掉四点儿五。啊，五点二五减掉四点五，这个代表什么含义？那五点二五减掉四点五好，这个代表什么意思？想一想。是不是你看因为这个四点儿五是从a走到b的时间，这个五点儿二五是什么意思呢？从a走到b，然后再从b走到c。的时时间是吧？所以五点二五那么减掉四点五就代表是甲走BC的时间。啊，也就说甲它的BC的时间。

就等于五点二五减去个四点五，就等于零点七五。是不是这样就写出来了？好，这是它的这个时间就可以求出来看这个懂了没有？好，那么时间求出来了，那它要求什么求甲的速度是吧？甲速度呢？比如v甲就可以写出来了，你看它正好是31点儿，五千米就是BC路程。所以说v加就等于一个三十一点五除以一个零点七五零点七五可以写成四分之三。正三所以三十一点五。可以乘以三分之四好就得到四十二小时，

答案就写好了。42千米每小时好，那这个就算出来了，所以这样我们就可以求它的值。好看，这个懂了没有？那这个呢？就选择a是吧？当然这道题它可以问的东西很多，知道吗？问的东西很多啊，这里问甲的速度当然也可以问乙的速度，因为甲的速度知道了，乙的速度也可以求出来，还可以问什么呢？

还可以问那么这个AB的路程，这道题还可以问东西两站的路程，东西两站路程怎么求呢？你这速度不知道吗？竖直啊，竖直啊，那东西两站的路程，然后s就拿这个甲正好走了四点五小时，从a走到b，这时候就东西两站的距离，如果要问东西两站的路程啊，东西两站的路程就拿。速度乘以时间，那这个自己就可以算出来好吧，然后这是它的这个方法。

好，那这是。189千米是吧？如果要问它的这个这样的一个方法好，那这是它的这个内容，看是不是懂了？好吧，所以大家呢？要会求解。好，那接下来那这里还可以问乙的速度，还可以问相遇点啊，那么这个位置AC的长度等等啊，这个问的东西很多，所以总之呢，

大家呢，要会进行画图分析，所以一定要。学会找等量关系，什么时候找等量关系呢？用比例法呢？其实很简单，当时间一样的时候，你就想想它们两者是找这个差，还找和。是不是所以一开始你可能想不到对吧，所以说用这比例法做呢，要简单，要不然这道题你得设一堆未知数啊，然后列方程呢，

就列得很复杂。然后不好求解，所以这道题大家要掌握它的做题要点。好，那接下来咱们再看这个题，小张小明两人从甲乙两地同时出发，相向而行。两人在离甲地四千米40米处第一次相遇，相遇后两人继续前进，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回。图中两人在距乙地15米处第二次相遇。好，我们画一下它的图。好，那这是甲乙。

两地好那么一个小章。应该这道题说了，两人都是返回了啊，各自都要返回，各都要返回，就虽然这道题没告诉我们它的速度比。啊，速度比到底是大于二还是小于二？但是呢，它题目跟人说了都得去，反应都得反应，那说明它的速度比肯定要小于二。好，那接下来咱们就可以画图，然后这边是小张啊，

这边是小明对往往相遇的，咱们呢，就把这个图一个画在这个线的上方，一个画在这个线的下方。是吧，这样话咱们呢啊，就是好分析一点。好，那么小张，咱们看他怎么走啊？小张，小张第一次相遇，咱们用蓝色来表示好吧，第一次相遇，两人在离甲地。

40千米处啊，然后呢，就第一次就相遇了是吧啊，那这个第一次相遇，假如第一次相遇就在a点吧。好，这个长度呢？是40米。然后接下来第二次相遇，咱们看第二次相遇，第二次相遇，咱们用绿色的吧。啊，就绿色的对不对？接着想想就绿色的，

然后这个绿色的再离乙地呢是15米。啊，离乙地15米处是第二次相遇是吧？这第二次相遇就写好了，好问甲乙两地相距的距离是多少？求这个距离。好，那接下来我们来看啊，怎么去找这个等量大家看这道题，它给的已知条件特别少是吧，你看就给了一个40和15。就是它的应用题给的数越少，越不好做，就像咱们呃公安局破案一样，这个线索越少，

它越不好破案。线索比较多，那这个好破案是不是好？所以一样道理，做题也是这样的，就有时候你可以发现它题干越简单题越不好做。啊题干给的越多啊，那咱们的呃线索也比较多就好分析好，那接下来咱们看这道题。这道题我们怎么写呢？看又时间一样，对吧？所以说反复找到时间相同这样一个。一个内容好，既然时间相同的话，

那我们就可以用比例法做了，因为大家知道它的路程比就是它的速度比，而这个两人他的从始至终每个人速度都没变化，每个速度都没变化，就说明微章的速度没变化。虽然微章的速度咱不知道多少，微米的速度也不知道多少。但是呢，它的速度没变化，小张的速度从头到尾没变化，小明速度他也没变化，是不是它都没变化？既然都没变化。那接下来我们呢？就可以得到速度比，

就等于它路程比那么小，张他这个路程是40。是吧，走了40，我们设全程，如果要是s好吧，全程甲乙全程要是ss那么小张他走了40。那小明走就s- 40。对吧，所以这第一次相遇能看到吗？第一次相遇看蓝色的啊，小张走了40米，小明走就s- 40米，得到这个值。然后第二个第二个话，

我们在这里面，我们可以看到，就是小张。它走了一个全程加上15，同学们看还是从头算，为什么从头算？因为这个绿色的你你直接算比较麻烦，咱们干脆。第二次还是用甲和乙就小张小明他走的路程好，小张走的路程有s+15。好，小明走路程呢，看走了一个s在多这一段儿这段儿，那这段儿也不好算呀，那怎么想呢？

他正好是。差15米就是两个s了，只有2 s- 15好，这就是它的路程比都等于速度比，所以这个等量关系就建立起来了，建立起来呢，对s这个位置是不是可以解出来，咱们学过交叉相乘是相等。对吧，加上相等相等，这s你自己可以解s就等于105。好，这个答案应该选的是d选项，当然就求解错了，好通过这个交叉相乘来进行分析和思考。

好，这是它的这个比例关系，那接下来咱们还可以找比例关系是怎么找呢？咱们其实做到这第二个方法还是这个方法的啊，一个变形，咱们学过学过。和分比定理是吧？好再结合一下和分比定理。咱们要用和比定理吧，和比大家学过九a分之b等于c分之d两边加上一就得到a分之b加a等于c分之d加c是吧，这是和比定理。想想是不是这样的？啊，何比定理？对不对？

当然，那么我们在合并订单讲过，还可以这样的，还可以把分母a加b分之BD分之。c+d是吧？这一样这一样，那后面这个怎么推算呢？后面可以先取倒数。知道吧啊，第二个式子就先取倒数，取倒数以后，然后再用上面加加完，然后再给它倒回来啊，再取一次倒数啊，就变成这样了。

好吧，反正就是都可以，那接下来我们就用一下和比定理来来处理，和比定理就40。合并率让这个分子不变，分母加分子是吧？那么就微章是不不变的，然后微章加上微米。相等于40是不变，好让s- 40再加40分。母加分，子分，母加分，子得到是s。就s+15。

然后这个分母加分子分母加分子上的3倍的s。是吧，你看分母加分子正好三倍的s，然后大家可以发现，然后这个分母是它的3倍分子也它的3倍。是吧，分母三倍嘛，分子它也差三倍，所以s+15就等于40×3，那这s就解出是105。这样就算出来是不是然后这样就可以写出来好，那么它的意义是什么呢？意义是这样的，小张走的路路程走40米的时候，两人总共走了。

路程是s对吧？你就看它的和所以说它的含义可以这样去理解，当小张没走40米，就像背单词，如果理解不了，比如背单词，比如小张，他背了40个单词的时候。两人总共背了s个单词。当小张背了s+15个单词的时候，两人总共背了3s个单词，所以它这是成比例的。啊，这种比例关系就这样找的好吧，这就写出来了，

所以算出来s呢，就等于105很简单。好，这是用比例法来做，记住，只要时间相同，那么都要找题目的比例，这样简单。因为不找这个比例的话，你得多设备的数多多设些t，但是t最后又被约掉了，好吧，那这块儿啊，你用比例法就简单一些好，这是它的做题要点和方法，

看是不懂了。

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