2-01比例及百分率（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:30:01

各位同学大家好，接下来我们继续学习神书，数学高分指南里面的考试内容。我们学习第二章应用题嗯，应用题呢，也是很多考生的短板在考中。应用题占的比重也比较多，也是很多同学容易出错的啊，丢分的一个板块儿，那就应用题的学习，我们应该怎么样更好的来学应用题呢？我们接下来给大家进行讲一讲，首先第一个要知道应用题的核心是什么啊？提到应用题。决定应用题的成败是什么？

这要把这个问题要弄清楚，比如说一定要建立好等量关系，这是咱们决定应用题的成败。那很多同学应用题不会做呢，就因为等量关系找不到。所以导致呢，这个应用题呢，没有把它做好，也就是说宏观思维的学习，这个是很关键的，所以说大家要把这个宏观思维呢，给它建立清楚，就拿到一个题，到底怎么去想？另外，

等量关系我们还可以进行分类。根据不同类型的应用题，我们可以按照等量关系进行分类，比如说有定等量的。啊定能量就是它没有变化啊，比如说甲是乙的3倍啊，它就是一个倍数关系是吧，这是定能量还有变等量。啊变等量，比如说它的是一个动态的等量，比如至少至多呀，或者说像有的一些求最值问题啊，它在变化过程中在很多的变化的情况中，你找一个最大的。这样的啊，

这是变能量，变能量要难一点，比如说速度发生了变化，或者工程效率，它的发生了变化，所以在这里面好，那这变能量难度要大一点。另外还有一些呢，需要进行画图。找等量，比如说路程问题，还有一些集合。一些至少至多啊等等的，那么需要把这个图画好，图画好以后，

那我们呢就可以。找到这些等量，那还有一些交叉法的画图啊，等等，这个咱们在学的时候都会给大家进行讲到，所以说要通过画图来找等量。啊，接下来我们来看一下呃，等量关系找到了，那接下来应该如何来进行做题？所以说所有应用题，它其实呢呃它的。基本的原理都是一样，都建立等量，因为应用题无非就是给了若干零散的条件，

让大家呢来把这零散条件给它关联在一起啊，建立好等量来进行求解。好那么找好等量关系后，那接下来如何设备量对吧？设备量就决定咱们做题速度，所以有同学说做题速度比较慢。啊，原因什么原因就是这个设备量原则，没有把它弄好好，那应该是少用或者不用位置量，尽量少用。比如说能用一个未知量就尽量用一个，不要一上来啊，写了三个或者很多未知量好，那么像有的题不用未知量，

不用未知量的话，那对大家要求比较高，那就相当于要用逆向思维。啊，逆着做，比如说乘法的逆向思维就除法啊，反着来想，这样就不用设备量下一个就并非问什么来设什么。啊，并非问什么像有的题啊，它问的是啊，路程我们可以优先设个速度，当然大多数。啊，应用题可以啊用啊，

问什么设什么啊，比如求时间就设时时间t啊，问什么设什么，但有的时候呢，我们呢，要根据咱们的运算。和等量关系的一个简便为原则来进行设备的数，这样话我们做题的更简单。好，第三个就是微观啊，宏观的讲完了，接下来我们说一下微观微观就如何来去解题。如何把答案找到好第一步？要读题找等量啊，读题，

所以说把这个题呢读清楚，这个等量关系里面有小等量，有大等量。啊，什么小等量，就像咱们身体里面的毛细血管儿一样，它有小等量，然后大等量就像身体里面大动脉一样啊，有大等量就有小等量，有大等量。然后这时候有时候呢，还需要进行画图来进行分析好吧，然后呢画图比如说路程问题，要把每个人的呃路程呀，时间呀，

速度啊，标注出来，然后再找等量。所以说这是读题，那么找等量它的一个方法好，那么把这个等量小等量一般呢就很好找啊，小等量小等量话，比如说呃甲是乙的。呃，多少30%？那这就是小等量，小等量很容易找。然后大等量大等量就决定咱们未知数解方程的关键等量叫大等量。第二个就是确定方法，确定方法，

咱们的基本方法呢？是什么呢？是设备数来列方程，设备数列方程，它的优点是好理解，缺点呢？是计算量比较大，运算比较复杂。是吧，然后呢？就是试着好理解。然后还有简便方法，简便方法，那么需要大家呢，慢慢适应，

因为有的同学呢，可能简便方法，想不到简便方法就不设未知数或少用未知数的方法。比如说我们可以找一些比例法呀，或者说逆向思考呀，然后这样反着来进行求啊，然后这是。它的简便方法，简便方法和常规的方法，它的优点缺点正好反过来啊，然后它的啊优点就计算量要小，这是简便方法，它的优点。然后缺点呢，就不好理解人，

绕不过来啊，所以在这里面我们怎么样使用简便方法，那么从这几个角度来找它的简便方法，第一个就是逆向思维法。啊，逆向收益就反过来，反过来想，比如说啊，已知它的售价啊，如何来求它的成本？所以那么它的成本就等于售价除以啊，一加上利润率是吧？这个反过来用除法啊，这个逆向思维，第二个可以用比例法，

比如说咱们在学路程工程的时候。学到一些比例比例法，可以帮助咱们减少分量，比如说时间相同的时候，那么路程与速度就成正比啊，那么通过这个比例。然后呢，来找到它的这个简便的思路，还有一个就是特值法，特值法一般适合于百分比，比如说利润问题，你可以设原来进价是100，或者成本是100。啊，用这个特值法来进行分析和思思考。

然后它的优点就是计算简单，缺点呢，就是不好理解，不好想想不到啊，对于基础不太好的同学，可能简便方法呢，还用不好，所以要慢慢的去进行训练。第三步就是计算求解答案，所以在咱们做应用题里面，前两步是关键，第一步呢，就是啊，读题把这个等量在大脑里面，然后建立起来，

第二步呢，我们如何把这个等量呢？呃，反映到咱们的表达式上。啊把式列出来第三步呢计算求解答案，第三步计算求解答案，大家不要给算错了，像有的应用题呢，然后大家不好算的同学，你可以验证选项。好吧，不一定非要自己把这个答案给写出来，有时候验证选项也很快把选项。验证下，所以验证选项。

然后第四个就是考试时候第一反应想的方法就是最简方法，因为在考场上啊，大家呢呃，一定要。拿到题快速进行做好吧，第一反应想到方法就最佳方法，不要想到啊，这个题我想到一个方法，我看看想想还有没有其他方法？是吧，然后在考场上就没时间啊，简便方法你没想出来，结果呢啊，时间呢，也耽误了，

当在平时练习的时候，希望大家能发散思维，平时练习尤其二刷的时候，希望大家一定要。跟一刷不同的方法，因为如果二刷的时候你还跟一刷方法一模一样，就相当于在原地踏步啊，没有什么样的进步和提升，这样话效果呢就不太好，所以大家呢，要掌握它的这个基本的方法。要知道。接下来，咱们翻开书看一下第一节考试的解读啊，看一下考试它的一个解读情况，

首先咱们看大纲考点就应用题这个板块儿呢，大纲没有直接写考应用题。所以说只能从其他相关联的考点里面给大家进行讲讲，应用题涉及的考点，比如分数小，数百分数，还有比例问题，当然应用题里面还涉及到方程呀，不等式啊，还涉及到一些函数，比如说求最值，还涉及到一些函数。所以应用题呢呃，涉及到点呢，还是比较多的，

所以这些点都跟应用题呢，是相关联的。好，那么应用题咱们来看一下，对应考大纲的解读，那应用题虽然在考纲中没有明确写出来，但在考中占比呢，是非常大的。啊，每年呢，大概有六个题像，有的时候还会多一点，就七个题。所以是每年考试重点占总题量四分之一左右啊，这个总题量占四分之一左右，

而且应用题灵活度较高，是产生分数差异的主要板块儿啊。是主要板块，这产生分数差异，然后分数小数百分数和这个比一比例，主要在应用题中体现，然后本章主要考察三个难度层次啊，按照咱们考试呃情况来说，然后咱们应用题呢？大概是六个题左右。啊占18分好，那么这六个题它有简单的啊，有中等的有难一点的题。那么简单题一般呢是考两个啊，比较简单，

比如说比例问题啊，利润问题啊，百分数问题啊，增长率变化率问题啊，这是比较简单的啊，其实这个简单还是难。那么，它的取决于什么？取决于刚才咱们讲的第一个问题就是应用题的核心就等量，比如说这个等量很好建立，那么就比较简单，所以像比例问题啊，利润问题啊，百分数问题啊啊，变化率啊，

这些呃。等量关系都很好建立，然后第二个就考察复杂等量关系啊，比较复杂等量关系复杂等量关系就路程工程。然后杠杆儿交叉比例，还有浓度，还有集合分摊计费，这个稍微复杂一点是吧？然后呢，它的内容要多一点啊，然后还有一些比较难的动态的最值问题，比如先行规划。现规划就求最值是吧？还有至少值多最值，那这些呢？

就稍微难一点，尤其呢，再结合着考集合问题的，至少值多或者最值还有分摊计费的，至少值多和最值还有浓度问题的，至少值多和最值，那这个。都是比较难，当然工程问题里面也有至少之多和最值，所以说这些呢，就是稍微难度要大一点，比如说咱们考试里面，比如说甲乙丙。嗯，三天内能不能完成？

或者至多用三天时间完成这个这个工程啊，求这个至多至少问题，所以这些呢都是比较难的啊，所以大家呢要掌握。它的相关的分析思路。好，这是整个大纲的解读，然后咱们呃以往的考试题的呃分布情况，大家就看一下书上列的表格就行了啊，不再花时间给大家讲了啊，书上写的非常详细，然后看第四个。就考地位及预测，从历年考情况来看，应用题呢，

一般设置六个题，左右占18分，涉及的考点呢，是比较灵活，技巧性比较强，有时候还会涉及到一些奥数的一些一些题目，所以这个思路呢，比较灵活，有的题目思路呢。你想不到，所以做题呢，可能有同学呢，就答不好好，所以针对应用题呃，我们来看一下它的具体的知识导图。

看一下这个指导图，指导我们分为重点考项和难点考项这个两部分好，那么重点考项那么就是比例和百分。百分率这个百分率问题变化率这个呢都比较简单，还有商品利润，这都是比较简单的好吧，这个每年呢啊，比如说比例问题百分比问题啊，然后这块儿啊都是要考察的。啊，所以说这一块儿是稍微简单点儿的，然后路程问题，这是每年必考的啊，路路程问题，这个很重要，

好路程问题也是咱们整个应用题的核心的核心。知道吧，因为路程问题，它的变化是特别多的，知道吧，它的变化是很多的，所以一个路程问题相当于其他好多类型的应用题的总和。啊，所以说对于基础比较薄的同学，应用题的面儿呢，又比较广啊，所以说应用题的内容啊，又非常多是尤其针对于复习时间比较有限的。啊，比如说在职复习的同学，

大家呢，一定要抓核心啊，路程问题，你把它解决了，那么应用题已经完成了一小半儿。知道吧啊，因为路程问题，它可以带动其他问题，比如说路程里面一些公式跟工程问题密切相关，知道吧，所以说在这里面路程问题是你学习的重中之重。你把路程问题解决了，应用题的思维就锻炼好了，对其他类型应用题也有一个很好的促进作用。好，

接下来有工程问题啊，工程问题跟路程问题，有的公式是非常接近的，然后交叉比例法交叉比例法，这个方法要知道它的原理是什么，另外就溶液浓度溶液浓度的话，那么它这一块儿就是要知道。啊，常考几个题型呃，溶液浓度比较抽象，大家尽量呢啊，把它进行具体化知道吧，然后把它具体化以后，然后这块儿把它形成一个呃套路。这样来进行学习，

然后呢？就是难点考难点考，比如集合问题，集合问题的话，一般三个集合要难一点。三个集合就是集合，主要画图，要知道每块区域的含义是什么，而且要知道它们之间的。数量关系，比如说谁加谁等于谁，或者谁减谁等于谁啊，要知道这个数量关系，而且集合问题要知道啊，那么它重复算了几次。

是吧啊，有没有重复算？这要弄清楚，然后分摊计费，分摊计费的话，那么它的考试方向呢，要弄清楚啊，分摊计费啊，它的计算啊，稍微复杂点儿。然后计算出细心点儿，另外不定方程取值讨论，这个是每年都要考的啊，不定方程，它取值情况的这个讨论情况。

然后线性规划这个就是跟解几何相关联啊，线性规划它跟解几何啊？是相关的。截取和求最值的里面一类也有线性规划好吧，它两者的相关联的，另外至少知道至少知道大家呢，就要知道它的基本原理是什么？它的考试原理要弄清楚啊，至少值多问题，然后另外就是最值问题，最值问题有最大值最小值，它的求解方法。当然，还有一些其他问题，其他问题植树问题啊，

年龄问题啊，还有鸡兔同笼问题啊等等的好吧，就掌握这些啊，基本的这些方法。好，那这是整个应用题涵盖的一些啊啊知识点和类型，咱们应用题为什么要分这些类型来学习？你回答一下。分成这些类型，学习原因是什么呢？原因就因为它找等量关系，它的方式呢？是不一样的。所以还是离不开刚才咱们讲应用题的第一句话，第一句话就是等量关系是吧？

等量所以拿应用题新增一定要有等量。性能有等量，那么这个应用题就好做。所以大家呢，要把等量关系建立起来，既然等量关系它是不一样的，所以我们把应用题给它分门别类，然后给大家进行讲解好，这是给大家强调应用题，它的一个知识体系，那接下来我们来看一下。好建议啊，大家学习应用题的建议第一个啊，要熟悉各类应用题就分门别类，各类应用题等量关系的建立思路和方法，

比如拿到溶液浓度问题，那么等量关系应该如何建立？是吧，然后呢？还有咱们的这个工程问题，它等等关系怎么建立第二个设备是数字解应用题的通用方法，常规方法，但不一定是最佳方法，要学会使用。不用未知数的方法啊，尽量就是不用未知数，不用未知数啊，慢慢学，慢慢用啊，这样话就是熟练了就会了。

第三个尽量少用未知数解题，而且呢，在学会巧妙来设问量，因为你未量式的不合适，一个是列起来比较复杂，第二个呢，就是不好解。是吧，然后呢？像有的题被这样写的不合适，可能呢？这都解不出来啊，所以说这是备考建议，它的这个基本方法。啊，

接下来咱们来看一下第二节重点考项，它里面的考试内容，首先咱们看一下第一个板块儿比例和百分率。它的考试情况啊，好比例首先咱们来看一下比例计算比例的话，那这个公式咱们呢啊考知识点第一章都给大家进行讲过好吧，第一章。比例这些基本的概念，基本内容，这都给大家讲，还有比例的一些公式啊，都学过啊，正比反比也都讲过，接下来我们看考试解读。然后这个类型呢，

也是呃，建立了基本的等量关系，是解应用这些基础，绝大多数都要通过等量关系来建立方程，求出未知量。常用等量关系啊，在本小节知识点里面，常用等量关系就和差几倍，还要变化率，谁比谁大，多少谁比谁小，多少多少。啊，多少就这些内容好吧，然后解决关键就找对基准量明确比例关系，

尤其在百分比的时候一定要找对基准量，它是在谁的基础之上？然后来找这个等量关系的好，这块儿考试频率是比较高的，因为它是入门儿级的考题，知道吧，因为咱们考试不可能说每个题都很难，也不可能说每个题都很有很简单，它是一个梯度的。啊，有题的，所以说这个呢，就位于咱们的入门级的考题里面。首先咱们来看一下它的考试方向，我们来看定比例问题，

定比例问题就是什么意思呢？就是每一个。数量都是固定的，甲乙丙丁，不管几个人，它都是固定的，所以说那么定比例问题又分为技术范围，知总求部知总求部什么意思，知道总量，比如说咱们总共是多少？啊，然后求某一部分求甲分了多少？求部分，然后常用方法是设备数来求解，简便方法可以套公式套公式，

这个所求的部分量就可以拿总量乘以它所对应的比例。情况，比如总共啊是1000，然后它所占的比例是30%，这样的话我们就可以求出它部分量对应的值啊，这是它的基本的做题的。分析思路好，大家一起来看一下这里面题目，大家都想想这里面题目。好一个公司向银行借款三十四万元，预按照二分之一比三分之一比九分之一的比例分给下属甲乙丙三个车间进行技术改造，则甲车间应该得多少钱？求甲车间，它的数值应该是多少？好，

那在这里面大家呢？注意，我们首先要知道甲他所分的份额是多少？这道题有个小陷阱，大家不要出错了啊，咱们先说一下这个错误解法。错题二，有同学说这个甲他是不是就分了二分之一是吧？因为这地方他写了二分之一，有同学就想着那么甲他分了二分之一，所以甲的值他就等于三十四，然后乘以个二分之一。然后这个结果是吧？拿三十四万元乘以二分之一，这样就求解出来了啊，

三十四乘以二分之一，三乘以二分之一得到就是十七得到这个数值。然后答案就等于十七，然后这样话，如果选择a选项，那这个就错了，掉到陷阱里面去了，因为这个二分之一，它并不是真正的比例，这是它的错因。知道吧，因为这个为什么不是真正比例呢？因为它这个二分之一加三分之一加九分之一，它其实大家发现并不等于一。这条错因它并没有呃构成了完整的。

啊，这个一所以说大家呢，在这里面要掌握正确方法，我们看正确方法。这些方法那么甲真正占的比例就是二分之一，除以总共的二分之一加三分之一加九分之一。然后这是甲，然后再乘以个34这种方法，如果要嫌这个分数太复杂。分数太复杂，然后这时候呢，或者这样写一写，你先把它化成最简整容比就甲比乙比丙。正好等于二分之一比上三分之一比上九分之一，大家可以同时乘以个十八，

这个十八就是二三九。它的最小公倍数啊，最小公倍数我们可以看到，它就是18，那求它的最小公倍数，求它最小公倍数，然后呢，我们就可以写出来，所以说乘以个18好18的话，那么就可以得到是九。比六比二是吧？然后这样话那么甲，它所占的比例就可以得到是九÷9+6+2，然后再乘以。34嗯，

34，然后这样就可以得到是18，所以两种方法。上面算的也是18好，这样答应该选择是d选项，这样就求解出来了，所以这是它的做题的要点和思路啊，所以通过这道题大家呢，要知道我们要找到。啊，他某一个人，他真正占总体的比例，找到找到的话，我们就可以写出他的结果和方法啊，当然就求解出来了，

好，这是它的知识点和内容。好，这是第一个考方向，第二考方向就是反过来，反过来如果要知道部分量，然后求总量。啊，制造部分量，求求总量，那常规方法是设备数，求解简便方法可以套公式是吧？就相当于是。唉，考项二是考项一的一个逆用，

就是总量就等于部分量除以它所所对应的比例，那这部分量除以所对应的比例就可以求出总量啊，就可以把总量值找到，这样就可以求解出来。好，接下来咱们看一下例二这个题，用一笔钱的八分之五购买甲商品，在乙所余金额，这是所余啊，一定要看清楚，不是总金额。一定要看清楚它的基准量是在属于金额的基础之上，五分之二购买乙商品就剩余九百元，这笔钱的总额到底多少？那么，

常规方法应该设。啊，一般方法就设这个总额是x设总额是x，你怎么找等量呢？只有甲的加上乙的就等于。啊，再加上剩余就等于总共的是吧？就甲的花的钱加上乙花的钱，再加上剩余的那这几门加在一起就等于总共的钱数。然后列一个等量，那这样做的话会比较麻烦是吧？你看甲甲的话就是八分之五x甲，然后乙的话是八分之三x乘以五分之二。因为什么？因为啊甲他用了八分之五，

那么剩余的金额还剩下八分之三。然后再乘以个五分之二，然后这时候呢，还剩下九百好，这个这是前面这一块就代表是假的。甲所花的钱，这个是乙所花的钱，这个是剩余的，剩余的钱把它加在一起，应该等于总共的x。加起就等于x，然后这个x你这样就可以解出来好，这是一个列方程的方法，咱们讲了尽量少用未知数，少用未知数或者不用未知数，

那不用未知数方法什么呢方法，我们就看这个900这个部分量。它所占的比例是多少？所以拿900除以它所对应的比例，这样就可以了好，那接下来咱们看一下900它所对应的比例好，那我们看看它的这个值x。那我们就不用写了，我们就拿总量。就等于九百这个部分量除以它的比例比例就一减去，那么甲的减掉乙的就可以了是吧？大家知道甲的是占了八分之五，乙的占了八分之三，乘以五分之二。是吧，

然后减完后就代表900，它这个剩余的这个情况。然后接下来的话，我们可以把这个五分之二分子的二和这个约掉，约就一减八分之五，一减八分之五，其实就是就是八分之三了，这个一减八分之五，其实就。八分之三八分之三减去八分之三乘以五分之二，其实相当于什么？相当于八分之三乘以个五分之三了。是吧，然后这样的好，这样的话，

我们呢就可以把这个化简一下，这个三×3正好是九九跟这个九，它正好能约掉约掉，然后五×8翻上去就得到4000元。好，这个答案就选择c选项，答案就求解出来了，所以这道题我们呢，就是用公式用逆向。分析方法用这个部分量除以它所对应的比例，然后算出这个总量就可以得到答案，好这一块呢，就写出来了它的方法。接下来咱们看一下例三，这个题例三，

这个奖金发给甲乙丙丁四个人，其中五分之一发给甲，三分之一发给乙。发给丙的奖金正好，甲乙奖金之差的3倍正好，它的3倍乙的发给丁的奖金是200元，则总奖金到底多少钱？好，那接下来咱们来看一下啊，它的这个思路，这道题当然也可以设总奖金为x跟上题类似，只不过它多了一个人。是吧，多了一些人，然后呢啊，

那么它的这个等量关系怎么找的？有甲发的钱，加上乙发的钱，加上丙发的钱，再加上。啊丁发的钱正好等于呢啊，总的奖金啊，列一个方程去解好吧，这个方程我就不再列了啊，然后咱们就可以采用第二种简便的方法来做简便方法来做的话，要求总价。总奖金总量。啊，就等于部分量部分量是丁丁，这部分量是知道的，

因为其他人他的具体值是不知道的，所以丁的这个具体值是200元，他要知道好200。然后除以个除以个一减去好，那么甲乙丙的好，那么一减掉甲的乙的还有丙的，这样就OK了，是不是？所以在这里面甲大家可以发现是占了五分之一。然后乙占了总数的三分之一，然后丙的奖金正好是甲乙之差，甲乙之差，大家呢，就注意用大的减小的就可以了好吧，甲乙它之差的三倍。

三倍的那大的减小的，所以说应该是三分之一减五分之一，然后乘以个三。好，这样就写好了好吧，所以说丙这个就甲乙它的差值的三倍，咱们也就三分之一减五分之一，这样就得到它的这个数值。和结果，然后接下来那么这个分母大家呢？稍微化简一下就得到是十五分之一。这个大家自己计算十五分之一，然后这个成块得到三千元答案就求解出来了三千元。好正确答案，就选择d选项，

然后这是它的做题的方法思路，所以通过这个题，大家呢，要知道它的考试要点是吧，我们呢，求总量都拿这个部分量，除以它所对应的比例，把对应的比例占的比例。求出来那答案就可以写好好，这是它的做题要点和方法。好，接下来咱们看一下考项三，考项三就是定比率问题，定比率问题里面的支部球部。啊，

知道某一部分，比如知道这一部分，求另外一部分这个呢，要确定领域各部分中间中间量。啊，中介量的话就相当于是有时候用总量作为中介量，有时候用某一个部分量做中介量，然后可以设位数求解或者列。方程求解都可以，好都可以，都是没问题的，好，那接下来咱们看一下例四这个题。好例四某单位有男职工四百二十人，男职工人数是女职工人数的一又三分之一倍，

好，那么这个题它。小等量比较多，也就是说每一句话都作为一个小等量，大家可以看第一句话，男职工420这个呢，等量很简单，就男生就是420了。就等于四百二，然后第二句话等量是男职工是女职工的一又三分之一，大家知道一又三分之一可以把它写成三分之四。也就说，男职工人数是女职工人数三分之四倍，那通过这个就可以得到男生他的小等量是女生的三分之四。好，

这是它的这个等量，然后工龄20年以上，占全体的20%啊，工龄20，所以它就按照工龄分。工龄，20年以上占20%，十到20年呢，是十年以下人数的一半儿啊，这就是一个小等量。啊，它是谁是谁的一半儿是吧？然后呢？工龄在十年以下的人数到底是多少？那这道题我们第一步怎么写呢？

第一步大家呢？首先根据这个，我们把女职工人数求出来。因为男职工是女职工的三分之四倍，说明女职工就等于男职工的四分之三。然后这样的话就可以得到315，这样就求解出来了好吧，得到315人，所以女职工她就是315人，这个写好。啊，315好，那么女职工315这个写出来以后，那么就可以找到她的总人数，对吧？

其实这道题就是全体人数啊。全体全体，它又按照性别分为男生女生，它又按照这个工龄分分，为什么分为20以上的？还有十到20的，还有十以下的。啊，分为这几个是吧？分为这几个情况，分为男生女生，还有20以上的十到20的十以下的啊，这样的一个情况。好，那接下来咱们来看一下它这道题，

这道题就相当于是啊，那么男生刚才咱们求解出来，男生是420，女生呢是315，那这全体的人数就735。全体人数就拿男生加女生就是全体人数，那接下来它又分为20以上20以上，它占了20%。占的比例百20%，然后在这里面，那这两个就占了80%，好在这80%里面，它又是它一半儿，这个是它的一半儿。一半儿它所以说这两项是一比二的关系啊，

一比二知道吧，在80%里面它就按照一比二来进行分，那说明十年以下的应该占了。三分之二啊，占三分之二，那接下来我们就可以写出啊，那么十年以下的人数。好实验一下，然后就拿这个735。乘以个80%。然后再乘以三分之二，这样就可以了好，那这是它的这个式子，所以说因为它。十到二十年是它的一半儿是吧？

是这个数量一半儿一比二，所以说按照一比二，然后按照一比二来分，一个占三分之二，一个占三分之一，按照这样的式子，我们就可以求解出来。最后算出来就等于392答案就求出来了，好这个呢，应该选择c选项，当然像有的数不好算，大家也可以看什么看它的末位或采用这个预估的方法。来进行分析和思考是吧？所以大家知道三分之二大概是零点儿六六六是吧？零点儿六要按照零点儿六来分析的话，

乘以百分之八十六八四十八，所以百分之八十乘以三分之二。大概呢，就是大概约约等于零点儿四八零点儿四九的样子，或者说呢，正好呢，大概你可以近似零点儿五。所以735大概正好除以个二，所以大概近似占一半儿的样子，一半儿的样子，那么735你可以近似按照740来进行估。所以说那么占一半儿一小半儿样子啊，一小半儿样子，所以大概就在啊这这样的，我们就可以求解出来。

啊，所以说近似呢，就三百九十二这样就写好，所以大家呢，就是按照这个预估的方法来进行写好吧，就三分之二按照零点儿六来预估。啊，零点儿六六，然后80%按照零点儿八啊来估，只有零点儿四九的样子啊，零点儿四四九乘以它。然后这个基本我们呢就可以啊，预估出来它的大概的数值啊，这样就可以写出它的啊数好，那么其他选项呢，

就是差别太大。是吧，差别太大就不可能，所以这样的话，你可以也可以看末位，看它的个位，看个位到底是多少？好，那这是它的做题的一个计算上的窍门儿，因为咱们都是选择题是吧？你可以边做边排除选项，然后采用预估的方法来进行找答案就可以了。好，那接下来定比例，咱们就讲完了，

接下来咱们看变比率问题啊，变比变比它又分，为什么分为某一辆不变？啊，某个量不变，比如说在变化过程中有一个量是不变的，因为不变，我们就要统一不变量的份数，分析变化量的份数。啊，然后用分数法，因为长方法就设备数设备数啊，就比较复杂是吧？设备数啊，列方程去求解，

那就运算量比较大，所以咱们可以采用份数。把统一完后，看它的这个份数到底什么样子，我们就可以求解出来。然后接下来咱们看一下啊例五。加粮仓库存储的粮食啊之比是。四比三，然后甲仓库中调出十万吨粮食，然后这甲乙它之比呢是七比六，问甲原有多少吨，大家可以发现这道题呢是乙。乙是不变化的是吧？乙是不变的，当然如果呃，

对于这种变化的比例问题，它的数量发生变化，那如果采用列方程的方法，不要设xy。知道吧，大家一定要设比例系数k啊，如果要想列方程就这样列，原来甲呢就可以设为4k，乙呢设为3k啊，采用设k法，这要简单知道吧，所以因为它四比三。四比三的话，那么一个4k，一个3k，

然后这时候呢甲呢，它的等量关系怎么列呢？就甲掉出十万吨。减掉十，然后这时候呢，甲乙之比是七比六，甲比乙正好等于七比六。这样的情况好吧，所以说这个就4k，然后减掉十万吨，然后除以3k，然后这样就得到是七比六。这样的一个比例关系，然后这时候呢，我们呢，

就可以把k求出来好k求出来以后，然后呢，我们呢，再算原来。原来甲到底有多少多少粮食，这样就求解出来了，比如说k我们算成等于20。是吧k=20那么甲，原来呢？就是80万吨正确答案就选择c好，这是一种列方程的方法，好如果不列方程方法应该什么情况？不列方程方法。好不列方程方法就应该这样写啊，不列方程方法不列方程方法就相当于是我们呃，

看一下这个乙不变，把乙给统一了，所以原来甲b是等于四比三。现在加b正好等于七比六。啊七比六，所以原来加b就是四比三，现在加b就变成七比六，因为它这个乙呢是没有发生变化的。啊乙呢？是没有变化乙没有变化，把乙统一四比三可以变成八比六，这变成七比六是吧？变成七比六，所以这八比六这是七比六。啊，

这样的一个方法啊，八比六七比六，然后这一块儿大家可以发现这时候乙呢是没有变化，然后这个甲呢，我们呢就可以看到它少了多少份儿？是吧，正好由原来八份儿变成七份儿，甲少了一份儿好，那这一份儿正好是对应什么对应十万吨粮食？好一份儿，它正好对应十万吨。好一份儿，对应十万吨。那么甲原来呢？是八份儿啊，

八份儿，然后有80万吨，这样就写好了是吧？那么甲。原来。就是80万吨。啊，就求解出来了，所以用这样的方法就很快知道吧，不管它中间的过程嗯，再怎么复杂，如果它这个有没有变量，把它统一了，这个就代表是某一个人没有变化。那接下来咱们再看另外下一个题，

当然这个题也可以采用啊，这个列方程的方法做也行，你看。操场有一百零八名学生在锻炼身体，其中女生占九分之二，又来了若干名女生后，女生人数达到男生人数的七分之三。问，后来来了多少名女生？如果这道题，那么要列方程的话，就这样列，所以它的等量关系怎么找等量关系呢？它大等量大等量就最后这句话，大等量女生人数。

那么是男人数的七分之三好，那么我们列等量大家知道这个一百零八名学生乘以九分之二，这个是代表什么等量呢？大家想想。这因为女生她占九分之二，女生占九分之二，所以一百零八乘以九分之二就代表是女生的啊，这个人数。是吧，拟人证书，然后再加上又来了若干名来。女生又来了若干名女生，增加女生以后，这时候女生人数达到男生人数的七分之三，男生人数是多少？

男生人数是一百零八乘以九分之七。再乘以七分之三是吧？然后这样就可以把x给它解出来，好，这是它的这个方法是吧？x就解出来了，解完后那这个也很好解，因为这个大家知道这个。就可以七跟七可以约掉嘛，约掉，然后九分之三就差三分之一嘛啊，三分之一，所以这个得到三十六是吧？得到三十六，然后这个呢？

算出来一百零八乘以九分之二。正好呢，就得到24。24所以x就算就等于12x就求解错了x=12好，这个呢，就选择d选项。好，那这是一个列方程的方法，当然我们不用列方程，直接用最后的女生人数减掉原来女生人数，直接就可以写出来，这就不列方程就相当于逆向把这个加法。逆向变成减法用最后的女生人数减掉原来女生人数就代表增加多少名女生，这样就写好了，懂了吧，

然后接下来咱们看这道题还可以用比例法比例法怎么做呢？笔法大家知道这个男生是不变的。男生是不变的，男生既然不变，我们看原来男女之比到底是几比几，原来大家知道女生占了九分之二，男生占九分之七，所以男女之比应该是七比二。是吧，男生占了九分之七，女生占九分之二，然后这个就七比二，然后呢，接下来咱们再看一下呃，又来了若干名女生，

你甚至说是男生的七分之三。女生是男生的七分之三，我们可以看到是什么呢？正好是，如果男生是七份，女生就三份。是吧，就是女生是男生的七分之三嘛啊，这样的，所以大家发现男生至少不变，至少不变，咱这个也不用统一了，因为刚好都是七是吧，如果它这两个数要不一样，咱们再统一一下？

现在呢，刚好是一样的，都是七都是七的话，那这个就无所谓了，都是七的话，那接下来你看女生有两份儿到三份儿，女生增加一份儿。啊，增加了一份儿是吧？关键是我们要看一份儿代表是多少？大家知道原来总共是七+29份儿，也就说九份儿相当于是。啊，108人对吧？因为总共它总共呢？

原来是108人，108人分成九份，所以说七+2正好是九。九份儿，所以九份儿的话，正好108人，108那说明一份儿就是12人，一份儿12人，这个女生正好增加一份儿，就增加12，如果女生要增加两份儿，就增加24。好，按照这个分数来进行分析，答案仍然是选择d选项，

所以说你要抓住啊，谁不变就把谁的数统一，然后再看另外它变化了多少？然后来进行求解啊，这是它的命题的数学思维，看是不是懂了？下面咱们看这个题。某国参加北京奥运会的男女比例原来是19比12。它这个过程呢，遇到一个难题。过程比较复杂，不要着急，把一个难题分成几个简单题就可以了啊，由于先增加若干名女动员若干名名女动员增加时候，这时候呢，

相当于男生呢，是没有变化。男生他是没发生变化啊，这时候男女比例变成20比13后增加若干名男运动员。男女运动员比例最终变成30比19。如果后增加的男运动员比先增加女运动员多三人，则最后运动员总人数到底多少？那这道题大家想想。想想一想，如果采用设未知数方法，那就比较复杂是吧？你要设很多未知数，那最少最少我们要设两个，比如说原来。原来它的男女之比是19比12，

19比12，然后接接下来我们呢就可以看男生呢是19k，女生呢是12k。是吧，它正好是19比12嘛，19比12就男生，他这个人数19k，女生呢？12k好，这是19比12。好，这样就写好了是吧？然后接下来我们看先增加，假如增加啊，这个x女生。

啊女运动员那么后又增加男运动员就增加男男生多少呢？男生就s+3。男运动员是吧？因为他给了一个小等量，就后增加男运动员，比先增加女运动员要多三个人。是不是所以在这里面大家呢？就可以呃，把这个是小等量先给它写出来，接着那接下来我们找大等量。第一个大等量就是20比13，这个大等量因为这时候增加了女运动员，男生没有变化，所以就19k，然后女运动员增加女运动员是12k，

然后呢，这时候女运动员增加的话增加x。然后这时候男女比例变成20比13，所以分子就代表男生还是19k，男生指数没有变化，女生呢，就12k又增加了x人，所以说女生呢？啊，变成12 k+x，这时候男女它的比例正好变成了20比13，这样就写好好，那接下来我们再来看。啊，这个就是后面要增加若干男运动员，

男运动员，这时候女生没变，这个女生呢，就还是12 k+x啊，女生仍然是这么多，那男生呢，就变成19k加上。x+3这样就等于30比19这样得到30比。19好，这样就写好了，写好写好，然后接下来我们呢就可以看出来它的这个两方两个未知数，然后去解，这样话就比较复杂，把把这个两个未知数解出来后，

然后再算最后的总人数，最后总人数是什么？最后总人数。我们说就按照最后的女运动员和男运动员加在一起就行了啊，这样列方程可以看运算量非常大是吧？接下来咱们就采用了。这个。比例统一法统一法，大家可以发现男女之比等于个19比12。啊10u比比12，然后在这里面好，那么这个男女之比变成了20比13，大家知道这个变化过程中。啊，我们知道男生是没有变化，

男生不没有变化，我们画一个圈儿是吧把男生呢这个数呢，给他进行统一，男生不变。两不一样，我们一起呢，就是怎么统一呢？咱们学过最小公倍数，把19和20找一个最小公倍数就可以了，十有20最小公倍数就380。这么也就说上面这个数都乘以20倍得到，这是240了，这都乘以19倍乘以19倍13×19=247。好，这样就写好了，

好，这样大家可以发现这个女运动员啊，女女运动员她增加了七份儿。虽然咱不知道一份儿是几个人啊，但是它从240到247增加了七份儿，接下来咱们再看从20比13到30比19这个过程。大家继续再写。啊，男生比女生还要变成30比19好，30比19，我们可以看从这个20比13到30比19，这个过程是男生在变，女生没有发生变化，对不对？所以我们呢，

就把这个女生，然后给大家进行统一了，统一化，然后13和19这两个数是互质的，互质的话，它的最小公倍数就是拿两者相乘就可以了，所以上面都乘以个19。正好是247，就不用再动了，下面就乘以13×13就变成390，比上247。然后这一块大家可以发现，这个男生由380变成390，所以男生增加了。增加了十份儿，

增加十份儿好，那总之我们可以看到男生的增加的数量比女生增加数量多了三份儿，这三份儿正好他给了最后一句话，正好多三个人。多三个人，也就说这个三份儿对应三个人，一份儿正好对应一个人啊，听懂没有？如果最后改成这个，把最后这个三就这三改成六。改完六就相当于是这个三份对应六个人，三份对应六个人，一份呢就是两个人。啊，一份儿只有两个人好吧，

所以在这里面它的这个方法啊，一份儿它就有两个人这样的一个思路好看，这个懂了没有？好，那这是它的这个要点啊，一份儿啊，看他找好几个人，找几个人呢，他要问最后的总人数，最后总人数那么最后。共共就390，加上247啊，就等于。637啊，正确答案选择b好，

这样就写好。好，这个方法比上面解方程要简单一点好吧，所以说它就相当于中间呢，又多变化一次，相当于它把这个题呢，又更复杂一点，过程复杂一点，把它拆开就行了。然后这道题当然还有一个技巧方法，技巧方法，比如说我们考试时候也可以呃，遇到笔记问题可以一定用整除和倍数这个技巧来进行排除选项。好吧，我们也可以用技巧方法来进行分析和思考，

它的技巧方法就这样的。计量方法，你看一下倍数。利用倍数，因为大家知道他们最后运动员的总人数，最后运动员总人数，那最后大家知道这个运动员总共呢，就相当于是一定是。49的倍数应该最后男女不是30比19嘛，最后男生和女生30比19，所以最后运动员应该49的倍数。对吧，因为他是30比19男生，比如说咱班男生和女生。它的人数之比是30比19就可以得到什么呢？

得到男生一定是30的倍数，女生呢？一定是19的倍数，那么全班的总人数一定是49的倍数，所以这样的话就可以排除选项49倍数，你简单除一除。所以说大家可以发现c选项，它除以49不行d选项不行e选项不可以，所以你简单除一下，它不是49的倍数AB选项都是49的倍数。接下来到底选a还是选b呢啊？接下来就很关键点就是答案还应该是13的倍数。这道题答案还应该是13的倍数。所以说那只能选择b了啊，为什么答案是13倍数呢？

原因是什么呢？我们看为什么答案是13倍数。你用637÷13，它是可以的，那有同学看不出来，看不出来原因是这样的，因为从20比13到30比19，大家知道这个是女生没有变化，女生没有变化，也就说。20比13说明女生是13的倍数，对不对？女生13倍数，女生的数没变化，到后面女生还应该13倍数。

为什么到后面看不到了，因为13被约掉了，所以你把它还原回来，还原回来就30乘以十三十九×13，你把它还原回来。还回来你就可以看到了，所以女生呢，她一定要保持不变，一定还应该是13的倍数，13倍数都给它还原，回来你看不到这个13原因，她约掉了，把这个13还原回来。13还原回来以后你就可以发现这个女生就是13倍数，这时候男生呢，

也跟着沾光了，所以最后运动员问如果这道题问最后男生的人数。这个男生的数也应该13倍数，知道吧，因为它都乘以13男生呢，也跟着沾光了，所以最后男生呢，应该13倍数，最后男生还应该30的倍数。知道吧，所以这样就找这个倍数，如果他问最后的总人数，男生加女生，男生加女生肯定还是。13的倍数知道吧，

因为它啊，女生13倍数，男生13倍数，它还总人数还是13倍数，所以说答案就这13倍数，就这样得到的，懂了吧，所以这个给大家强调的问题，这个呃原理就是相当于什么相当于比例的。比如说女生13倍数，女生的数没有变化，她会往下遗传是吧？比如说像呃，有的小孩长得特别像他爸爸，就他爸爸的基因遗传。

遗传的多，有的呢，长得像他妈妈是不是？所以在这里面呢，就相当于是。啊，就看它比例遗传遗传一般质数，它会往下遗传啊，这种像13，因为它很难被其他约掉，它能被遗传像一些核数，可能有时候能遗传，有时候遗传不了。知道吧，所以大家一定要看清楚，

所以这13它这个质数，因为质数它这个13这个特征还会往下遗传下来，遗传下来，所以说这个都是13的倍数，就这个意思好吧，所以通过这个题我们呢就可以给它进行总结，比如说甲。比乙。等于a比b，然后现在甲b变成c比d啊，如果乙要不变啊？当然有可能甲不变，咱们又举这个例子好吧，如果乙是不变的。乙不变的，

而且这个乙如果这块儿是个质数，这块儿是一个质数，跟这个d呢，它正好是互质的啊啊，就b和d这两个正好是互质的。如果这两个要互质的话，那么在这里面大家呢就是。就可以把它变成这样了啊，如果BD互质啊BD要互互质的话，它最小公倍数就是它们两个相乘，所以把第一个式子都乘以d。第二次都乘以b。是吧，这样的话，你就可以把啊乙给它统一了，

统统一统一成一样的，这样大家可以看出那么这个b这个数会往下遗遗传。往下遗传是吧？遗传到这，所以它的数量就是这些倍数关系，所以这就是13倍数啊，有同学不明白，现在你就可能明白了是吧？这叫比例的遗传关系。这样就可以写出来好看，大家是不懂了，这大家要掌握这样的比例的一个统一的方法。

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